El espacio ℝ

Sean $I_1=(-3,5]$ e $I_2=\{x\in\mathbb R:\ |x-3|<4\}$. Elige la o las opciones correctas: a) los dos intervalos tienen el mismo radio; b) el centro de $I_1$ es menor que el centro de $I_2$; c) $I_1\subset I_2$; d) ninguna de las anteriores.

1. Traducir $I_2$ a extremos. $\{x:|x-c|<r\}=(c-r,c+r)$ (U p.17). Aquí $c=3$, $r=4$, luego $I_2=(-1,7)$. Comprobación: $|x-3|<4\iff-4<x-3<4\iff-1<x<7$ (sumando 3).
2. Centro y radio de $I_1$. Las fórmulas valen para cualquier intervalo de extremos $a<b$ (abierto, cerrado o semiabierto): $c_1=\frac{-3+5}2=1$, $r_1=\frac{5-(-3)}2=4$.
3. a) $r_1=4=r_2$. Correcta.
4. b) $c_1=1<3=c_2$. Correcta.
5. c) Para negar una inclusión basta un punto de $I_1$ fuera de $I_2$ (contraejemplo, U Ej. 1.3): $x=-2$ está en $I_1$ ($-3<-2\le5$) pero $|-2-3|=5\not<4$, luego no está en $I_2$. Así $I_1\not\subset I_2$; de hecho $I_1\setminus I_2=(-3,-1]$. Falsa.
6. d) Falsa, porque a) y b) son correctas.

Respuesta: a) y b).

Error típico: leer $|x-3|<4$ como $(-4,4)$ o $(3,7)$; o creer que dos intervalos con el mismo radio y centros cercanos han de estar uno dentro del otro.

Sean $x$, $y$ reales con $|x|<|y|$. ¿Debe ser $|x|<|y+4|$?

1. Entender la pregunta. Se pregunta si la implicación $|x|<|y|\Rightarrow|x|<|y+4|$ es cierta para todos $x,y$. Para responder «no» basta un contraejemplo; para «sí» habría que probarlo en general.
2. Lectura geométrica. $|x|<|y|$ dice que $x\in(-|y|,|y|)$. La pregunta es si $(-|y|,|y|)\subset(-|y+4|,|y+4|)$, lo cual depende de si $|y|\le|y+4|$.
3. Caso $y>0$. $|y|=y$ y, como $y+4>0$, $|y+4|=y+4$. Como $y<y+4$, por transitividad $|x|<|y|=y<y+4=|y+4|$. Aquí sí se cumple.
4. Caso $y=0$. Ningún $x$ cumple $|x|<0$, porque $|x|\ge0$. La hipótesis nunca se da y la implicación es cierta por vacuidad: una implicación «si $P$ entonces $Q$» solo falla cuando ocurre $P$ y no ocurre $Q$; como $|x|<0$ no ocurre nunca, no puede fallar.
5. Caso $y<0$. $|y|=-y$ y el signo de $y+4$ puede ser cualquiera. Si $y<-4$, $|y+4|=-(y+4)=-y-4<-y=|y|$: el segundo intervalo es más pequeño y la implicación puede fallar.
6. Contraejemplo. $y=-6$, $x=-5$: $|x|=5<6=|y|$ (la hipótesis se cumple), pero $|y+4|=|-2|=2<5=|x|$, así que no se cumple $|x|<|y+4|$.
7. Ampliación (propia). Para que valga con todo $x$ hace falta $|y|\le|y+4|$. Ambos lados son $\ge0$, así que se puede elevar al cuadrado: $y^2\le y^2+8y+16\iff y\ge-2$. Es decir, la implicación es válida para todo $x$ si y solo si $y\ge-2$; para $y<-2$ hay contraejemplos, cualquier $x$ con $|y+4|\le|x|<|y|$.

Respuesta: no, en general no (contraejemplo $y=-6$, $x=-5$).

Errata de E: para $y<0$ escribe $x\in(-y,y)$, que es vacío ($-y>y$); debe ser $(y,-y)=(-|y|,|y|)$. Y «$|x|>|y+4|$» debería ser «$|x|\ge|y+4|$». Para $y=0$ escribe $x<0$ queriendo decir $|x|<0$.

Error típico: creer que las desigualdades «pasan» dentro del valor absoluto: $y<y+4$ no implica $|y|<|y+4|$ (compárese con U Ej. 1.3). Otro error es contestar «sí» por haber probado solo el caso $y>0$.

Dado $A=\{x\in\mathbb R:\ 0<x^2<1\}$, elige la opción correcta: a) $\inf A=0$; b) $A$ tiene supremo pero no ínfimo; c) $A$ está acotado; d) ninguna de las anteriores.

1. Valor absoluto. $x^2=|x|^2$ (Def. 1.1). $0<x^2\iff x\neq0\iff0<|x|$ (Teorema 1.1.1). Y $x^2<1\iff|x|<1$, porque para $t\ge0$, $t^2<1\iff t<1$. Luego $A=\{x:\ 0<|x|<1\}$.
2. Intervalos. $|x|<1\iff x\in(-1,1)$ (centro 0, radio 1). Quitando el $0$: $A=(-1,0)\cup(0,1)$.
3. Cotas. Todo $a\in A$ cumple $-1<a<1$: $1$ es cota superior y $-1$ cota inferior. Luego $A$ está acotado.
4. $\sup A=1$. (i) $1$ es cota superior. (ii) Si $c<1$ fuera cota superior: como $\frac12\in A$, $c\ge\frac12>0$; el punto medio $a=\frac{c+1}2$ cumple $c<a<1$ y $a>0$, luego $a\in A$ y $a>c$: contradicción. Así $1$ es la menor cota superior. Como $1\notin A$, es supremo pero no máximo.
5. $\inf A=-1$. Igual por simetría ($x\in A\iff-x\in A$); compárese con U Ej. 1.10: $(-1,1)$ tiene sup $1$ e ínf $-1$, y quitar el $0$ (interior) no cambia los extremos.
6. Opciones. a) falsa: $\inf A=-1$ (ni siquiera $0$ es cota inferior: $-\frac12\in A$ y $-\frac12<0$). b) falsa: sí tiene ínfimo. c) correcta. d) falsa.

Respuesta: c).

Error típico: ver «$0<x^2$» y concluir $\inf A=0$ (confundir $x^2$ con $x$), u olvidar los $x$ negativos al despejar $x^2<1$.

Sea $S=\left\{1,\frac12,\frac13,\dots,\frac1n,\dots\right\}$. Hallar su ínfimo y su supremo. ¿Están en $S$?

1. Describir. $S=\{\frac1n:\ n\in\mathbb N\}$ con $\mathbb N=\{1,2,3,\dots\}$. Parece decrecer hacia $0$; hay que demostrarlo con las definiciones.
2. 1 es cota superior. $n\ge1$; multiplicando por $\frac1n>0$ (prop. 6): $1\ge\frac1n$.
3. $\sup S=1\in S$. Si $c$ es cota superior cualquiera, como $1\in S$ ($n=1$), $1\le c$: es la condición (ii) de la Def. 1.7. Luego $\sup S=1$ y, al pertenecer a $S$, es el máximo. Idea general: si una cota superior está en el conjunto, es su supremo y su máximo.
4. 0 es cota inferior. $n>0\Rightarrow\frac1n>0$.
5. 0 es la mayor cota inferior (absurdo). Supongamos que $c>0$ fuera cota inferior de $S$. Por la propiedad arquimediana (U Ej. 1.7), $\frac1c$ no es cota superior de $\mathbb N$: existe $m\in\mathbb N$ con $m>\frac1c$. Multiplicando por $\frac cm>0$: $c>\frac1m$. Pero $\frac1m\in S$ es estrictamente menor que $c$: contradice que $c$ sea cota inferior. Por tanto $\inf S=0$.
6. $0\notin S$, pues $\frac1n>0$ para todo $n$. El ínfimo no es mínimo.

Respuesta: $\sup S=1\in S$ (máximo); $\inf S=0\notin S$ (no hay mínimo).

Errata de E: escribe «$c\ge\frac1m>0$ (basta tomar $m\ge1/c$)». Con $m\ge\frac1c$ solo se obtiene $\frac1m\le c$, que no contradice nada (podría ser $\frac1m=c$). Hay que tomar $m>\frac1c$ para tener $\frac1m<c$ estricto.

Error típico: decir $\inf S=0$ «porque $\frac1n\to0$» sin demostrar que ningún $c>0$ es cota inferior; o afirmar que $0\in S$ o que $S$ tiene mínimo.

Dos condensadores en serie tienen capacidad equivalente $C$ con $\frac1C=\frac1{C_1}+\frac1{C_2}$. $C_1$ varía entre $2$ y $4$ µF y $C_2$ entre $1$ y $7$ µF. ¿Entre qué valores está $C$? (Se interpreta «varía entre» como $C_1\in[2,4]$ y $C_2\in[1,7]$.)

1. Datos como desigualdades. $2\le C_1\le4$ y $1\le C_2\le7$; todo es positivo.
2. Invertir da la vuelta a las desigualdades (entre positivos). Si $0<a\le b$, multiplicando por $\frac1{ab}>0$: $\frac1b\le\frac1a$. Así $\frac14\le\frac1{C_1}\le\frac12$ y $\frac17\le\frac1{C_2}\le1$.
3. Sumar (U Ej. 1.2): $\dfrac{11}{28}=\dfrac14+\dfrac17\ \le\ \dfrac1C\ \le\ \dfrac12+1=\dfrac32$.
4. Invertir otra vez: $\dfrac23\le C\le\dfrac{28}{11}$. Son una cota inferior y una cota superior ($\frac{28}{11}\approx2{,}545$ µF).
5. ¿Son las mejores? (paso que falta en E). Con $C_1=2$ y $C_2=1$: $\frac1C=\frac12+1=\frac32$, luego $C=\frac23$. Con $C_1=4$ y $C_2=7$: $\frac1C=\frac14+\frac17=\frac{11}{28}$, luego $C=\frac{28}{11}$. Como las cotas se alcanzan, son el ínfimo y el supremo, y además mínimo y máximo (como en el 1.4, paso 3). Además, $\frac1C=\frac1{C_1}+\frac1{C_2}$ decrece al aumentar $C_1$ o $C_2$ (invertir positivos invierte el orden), luego $C$ crece con cada capacidad; por eso el mínimo de $C$ está en los mínimos de $C_1,C_2$ y el máximo en los máximos.

Respuesta: $\frac23\ \mu F\le C\le\frac{28}{11}\ \mu F$; $\frac23=\min$ y $\frac{28}{11}=\max$. Si los intervalos de $C_1$ y $C_2$ fueran abiertos, esos valores seguirían siendo ínfimo y supremo, pero no se alcanzarían.

Errata de E: afirma que $\frac23$ y $\frac{28}{11}$ son ínfimo y supremo «porque se obtienen a partir de los de $C_1$ y $C_2$». Ese argumento no basta: hay que comprobar que se alcanzan.

Error típico: invertir sin dar la vuelta a la desigualdad ($\frac12\le\frac1{C_1}\le\frac14$), o creer que cualquier cota obtenida combinando desigualdades ya es el supremo o el ínfimo (si una variable aparece en varios sitios, las cotas pueden no alcanzarse).

(a) Escribe $\{x\in\mathbb R:\ |2x-5|\le3\}$ como intervalo y da su centro y radio. (b) Escribe $(-7,3)$ con valor absoluto.

1. (a) Saca el coeficiente: $|2x-5|=2\,|x-\tfrac52|$. Luego $|2x-5|\le3\iff|x-\tfrac52|\le\tfrac32$.
2. Es el intervalo $[\tfrac52-\tfrac32,\tfrac52+\tfrac32]=[1,4]$, con centro $\tfrac52$ y radio $\tfrac32$.
3. (b) $c=\frac{-7+3}2=-2$, $r=\frac{3-(-7)}2=5$. Por tanto $(-7,3)=\{x:\ |x+2|<5\}$.

Sea $A=\{x\in\mathbb R:\ |x-1|+|x+2|<5\}$. Halla $\sup A$ e $\inf A$. ¿Tiene máximo o mínimo?

1. Puntos críticos: donde cambia el signo de lo de dentro, $x=-2$ y $x=1$. Tres casos (Def. 1.1).
2. $x<-2$: $-(x-1)-(x+2)=-2x-1<5\iff x>-3$, luego $(-3,-2)$.
   $-2\le x\le1$: $-(x-1)+(x+2)=3<5$, siempre cierto: $[-2,1]$.
   $x>1$: $(x-1)+(x+2)=2x+1<5\iff x<2$: $(1,2)$.
3. Uniendo: $A=(-3,2)$.
4. Como en U Ej. 1.10, $\sup A=2$ e $\inf A=-3$. En $x=2$ y $x=-3$ la suma vale exactamente $5$, así que no están en $A$: no hay ni máximo ni mínimo.
5. Idea geométrica: $|x-1|+|x+2|$ es la suma de las distancias de $x$ a $1$ y a $-2$: nunca baja de $3$ (la distancia entre ellos) y vale $5$ a una unidad por fuera de cada punto.

Sea $B=\left\{\dfrac{2n-1}{n+1}:\ n\in\mathbb N\right\}$. Demuestra que $\sup B=2$, que $\inf B=\min B=\tfrac12$ y que $B$ no tiene máximo.

1. Reescribir: $\frac{2n-1}{n+1}=2-\frac3{n+1}$. Los primeros términos: $\frac12,1,\frac54,\frac75,\frac32,\dots$
2. Mínimo. $b_{n+1}-b_n=\frac3{(n+1)(n+2)}>0$: los términos crecen y el menor es $b_1=\frac12$. Como $\frac12\in B$ y es cota inferior, $\inf B=\min B=\frac12$.
3. 2 es cota superior. $\frac3{n+1}>0\Rightarrow b_n<2$. Además $2\notin B$.
4. 2 es la menor cota superior (caracterización ε). Dado $\varepsilon>0$ buscamos $n$ con $b_n>2-\varepsilon$, es decir $\frac3{n+1}<\varepsilon\iff n+1>\frac3\varepsilon$. Por la propiedad arquimediana existe $n>\frac3\varepsilon$, y entonces $n+1>\frac3\varepsilon$. Así $2-\varepsilon$ no es cota superior para ningún $\varepsilon>0$ y $\sup B=2$. Como $2\notin B$, no hay máximo.
5. Comprobación numérica. Para $\varepsilon=0{,}01$ basta $n=300$: $b_{300}=\frac{599}{301}\approx1{,}99003>1{,}99$.

Determine el ínfimo y el supremo del conjunto $A=\{x\in\mathbb R:\ 0\le x^3<1\}$. Razone la respuesta.

1. Quitar el cubo. La gráfica de $y=x^3$ siempre sube de izquierda a derecha, así que mantiene el orden: si un número es mayor que otro, su cubo también es mayor. Como $0^3=0$ y $1^3=1$:
   • $0\le x^3\iff 0\le x$ (el cubo es positivo o cero justo cuando $x$ lo es);
   • $x^3<1\iff x<1$ (el único número cuyo cubo es $1$ es $1$, y por debajo de él los cubos son menores que $1$).
   Por tanto $A=[0,1)$: todos los números desde $0$ (incluido) hasta $1$ (sin incluir).
2. Ínfimo (el «suelo»). Todos los elementos de $A$ cumplen $x\ge0$, así que $0$ es cota inferior. Y además $0$ está en $A$. Si la cota es un elemento del conjunto, ya no hay nada más pequeño: $\inf A=0$ y también es el mínimo.
3. Supremo (el «techo»). Conjetura: $\sup A=1$. Hay que comprobar dos cosas:
   • $1$ es cota superior: todo $x\in A$ cumple $x<1$. ✔
   • No hay una cota menor que $1$: si alguien propone una cota menor, por ejemplo $0{,}9$, enseño un elemento de $A$ que la supera: $0{,}95\in A$ y $0{,}95>0{,}9$. Con cualquier $c<1$ pasa lo mismo, porque siempre hay números de $A$ entre $c$ y $1$ (por ejemplo, el punto medio $\frac{c+1}{2}$). ✔
   Luego $\sup A=1$.
4. ¿Máximo? El máximo tendría que ser un elemento de $A$. Pero $1\notin A$ (porque $1^3=1$ no es menor que $1$). Así que no hay máximo: el supremo existe, pero «no se alcanza».

Resultado: $\inf A=\min A=0$, $\sup A=1$ (sin máximo).

Calcule el ínfimo y el supremo del conjunto $A=\{x\in\mathbb R:\ 0<x^2<1\}$.

1. Condición $0<x^2$. Un cuadrado nunca es negativo y solo vale $0$ si $x=0$. Así que $0<x^2$ significa simplemente $x\ne0$.
2. Condición $x^2<1$. Los números cuyo cuadrado es menor que $1$ son los que están a distancia menor que $1$ del origen: $|x|<1$, es decir, $-1<x<1$. (Prueba: $0{,}9^2=0{,}81<1$, $(-0{,}9)^2=0{,}81<1$, pero $1{,}1^2=1{,}21>1$ y $(-1{,}1)^2>1$.)
3. Juntar las dos. $A$ es el intervalo $(-1,1)$ quitando el punto $0$: $A=(-1,0)\cup(0,1)$.
4. Supremo $=1$ y ínfimo $=-1$. Son los dos extremos del conjunto: $A$ está dentro de $(-1,1)$ y se acerca tanto como se quiera a $1$ y a $-1$ (por ejemplo, $0{,}99$, $0{,}999$… están en $A$). Ninguna cota menor que $1$ vale, porque siempre hay elementos de $A$ más cerca de $1$.
5. Máximo y mínimo: $1\notin A$ y $-1\notin A$, luego no hay ni máximo ni mínimo. El agujero en $0$ no cambia nada: el sup y el ínf los mandan los extremos exteriores.

Resultado: $\inf A=-1$, $\sup A=1$; ni mínimo ni máximo.

Variante del mismo tipo (X p.56): $A=\{x\in\mathbb R:\ 0\le|x|\le1\}$. Como $|x|\ge0$ siempre, queda $|x|\le1\iff-1\le x\le1$, $A=[-1,1]$, $\inf A=\min A=-1$, $\sup A=\max A=1$ (aquí sí hay mínimo y máximo).

Error típico: escribir $A=(-1,1)$ olvidando que $0<x^2$ excluye $x=0$ (no cambia sup/ínf, pero el conjunto queda mal), o «$x^2<1\iff x<1$» (falso: $x=-2$ cumple $x<1$ pero $x^2=4$).

Dado el conjunto $A=\left\{x\in\mathbb R:\ \dfrac1{e^x}<1\right\}$ señale la respuesta correcta: A) no tiene supremo ni ínfimo; B) $\inf A=0$; C) $\sup A=0$; D) $A$ es acotado.

1. Quitar el denominador. $e^x$ siempre es positivo, así que se puede multiplicar sin cambiar el sentido: $\frac1{e^x}<1\iff1<e^x$.
2. Qué $x$ cumplen $e^x>1$. La gráfica de $e^x$ siempre sube y pasa por $e^0=1$. Por tanto $e^x>1$ solo a la derecha de $0$ (prueba: $e^{1}\approx2{,}7>1$, $e^{-1}\approx0{,}37<1$). Así $A=(0,+\infty)$.
3. Lee el intervalo. Tiene suelo en $0$ (no incluido): $\inf A=0$, sin mínimo. No tiene techo: $A$ no está acotado superiormente, no hay supremo.
4. Opciones. A) falsa (sí hay ínfimo). C) falsa (no hay supremo). D) falsa (no está acotado). B) correcta.

Resultado: B.

Sea $f(x)=\sqrt{2x^2-6}$. Determine el dominio de la función $f$.

1. Condición. Radicando $\ge0$: $2x^2-6\ge0$.
2. Despejar. Sumar $6$ y dividir entre $2$ no cambia el sentido: $x^2\ge3$.
3. Qué $x$ tienen cuadrado $\ge3$. Los que están lejos del origen: a distancia al menos $\sqrt3$, es decir $|x|\ge\sqrt3$. Salen $x\le-\sqrt3$ o $x\ge\sqrt3$.
4. Dominio: $(-\infty,-\sqrt3]\cup[\sqrt3,+\infty)$. Comprobación: $x=\pm\sqrt3$ da radicando $0$ (vale); $x=0$ da $-6$ (no vale); $x=-2$ da $2$ (vale).

Resultado: $\operatorname{Dom}f=(-\infty,-\sqrt3]\cup[\sqrt3,+\infty)$.

Determine el dominio de definición de $f(x)=\sqrt{\dfrac{2-x}{(x+1)^2}}$.

1. Denominador. $(x+1)^2=0$ solo si $x=-1$, así que hay que excluir $x=-1$.
2. Signo. Para $x\ne-1$, $(x+1)^2>0$, por lo que el cociente es $\ge0$ justo cuando el numerador lo es: $2-x\ge0\iff x\le2$. Es $\ge$ y no $>$ porque $\sqrt0=0$ existe.
3. Juntar: $x\le2$ y $x\ne-1$, luego $\operatorname{Dom}f=(-\infty,-1)\cup(-1,2]$.
4. Comprobación: $x=2$ da $\sqrt{0/9}=0$ (vale); $x=-1$ divide entre $0$ (no vale); $x=3$ da $\sqrt{-1/16}$ (no vale); $x=-5$ da $\sqrt{7/16}$ (vale).

Resultado: $(-\infty,-1)\cup(-1,2]$, es decir, el impreso «$(-\infty,2]-\{-1\}$».