Series numéricas

Sean $\sum_{n=1}^{+\infty}a_n$ y $\sum_{n=1}^{+\infty}b_n$ dos series de números reales que son divergentes. ¿Debe ser $\sum_{n=1}^{+\infty}(a_n+b_n)$ también divergente?

1. Qué se pregunta. Es una pregunta «¿siempre?». Para responder no basta un contraejemplo: dos series divergentes cuya suma converja.
2. Por qué no sirve la Prop. 1.7 (U p.37). Dice que la suma de dos series sumables es sumable. Aquí las hipótesis son las contrarias (divergentes), así que no dice nada: hay que investigar.
3. Idea. Si los términos de una serie son los opuestos de los de la otra, se cancelan: tomamos $a_n=\dfrac1n$, $b_n=-\dfrac1n$.
4. $\sum a_n$ diverge. Es la armónica; U Ej. 1.35 (p.37) prueba que $s_{2n}>s_n+\tfrac12$, luego $\{s_n\}$ no converge. Además es creciente, y al no converger no está acotada (Teorema 1.3, U p.31), luego $s_n\to+\infty$ (creciente y no acotada superiormente: supera cualquier $M$ y ya no baja de él).
5. $\sum b_n$ diverge. Sus sumas parciales son $-s_n\to-\infty$.
6. La suma converge. $a_n+b_n=\frac1n-\frac1n=0$ para todo $n$: las sumas parciales de $\sum(a_n+b_n)$ son todas $0$ y convergen a $0$. La serie es convergente con suma $0$ (Def. 1.15, U p.35).

Respuesta: No; la suma de dos series divergentes puede ser convergente. Otro contraejemplo igual de válido: $a_n=1$, $b_n=-1$ (ambas divergen por la Prop. 1.6, porque el término no tiende a $0$).

Observación (de E, justificada). Si $a_n\ge0$ y $b_n\ge0$, entonces $0\le a_n\le a_n+b_n$ y, por el criterio de comparación (U p.38: «si la menor no es convergente, la mayor tampoco»), $\sum(a_n+b_n)$ sí es divergente. El contraejemplo necesita signos distintos.

Error típico: creer que «divergente + divergente = divergente» como si fueran «infinitos que se suman». Solo es cierto si ambas son de términos no negativos (o ambas tienden a $+\infty$). Lo que sí es siempre cierto: convergente + divergente = divergente (apartado 3).

Teoría: U Def. 1.15 p.35; Ej. 1.35 p.37; Prop. 1.7 p.37; comparación p.38; Teorema 1.3 p.31. Mismo ejercicio: S §11.2 ej. 84 p.713; L §9.2 ej. 97 p.604.

Sea la serie $\sum_{n=1}^{+\infty}a_n$ de término general $a_n=\dfrac1{3+\cos n+n^{5/2}}$. Elige la opción u opciones correctas: a) es una serie convergente pero no es absolutamente convergente; b) es una serie absolutamente convergente; c) es una serie divergente; d) es una serie alternada.

1. Signo de los términos. Como $-1\le\cos n\le1$, se tiene $3+\cos n\ge2>0$; además $n^{5/2}>0$. El denominador es positivo y $a_n>0$ para todo $n$. Luego d) es falsa: una serie alternada (Def. 1.17, U p.41) cambia de signo y esta no.
2. Con qué comparar. Para $n$ grande manda $n^{5/2}$ (el $3+\cos n$ está acotado entre $2$ y $4$). Así $a_n\approx\dfrac1{n^{5/2}}$: serie $\sum1/n^\gamma$ con $\gamma=\tfrac52>1$, convergente (U p.38).
3. Desigualdad término a término. Para todo $n\ge1$: $3+\cos n+n^{5/2}\ge2+n^{5/2}>n^{5/2}$, y al invertir números positivos la desigualdad cambia de sentido: $$0<a_n=\frac1{3+\cos n+n^{5/2}}<\frac1{n^{5/2}}.$$
4. Criterio de comparación (U p.38). Ambas series son de términos no negativos, $a_n\le b_n=1/n^{5/2}$ y $\sum b_n$ converge $\Rightarrow$ $\sum a_n$ converge.
5. Convergencia absoluta. Como $a_n>0$, $|a_n|=a_n$: $\sum|a_n|=\sum a_n$ converge. La serie es absolutamente convergente (Def. 1.16, U p.40) y b) es correcta.
6. Descartar a) y c). a) afirma que no es absolutamente convergente: falso por el paso 5. c) afirma que diverge: falso por el paso 4.

Respuesta: solo b). (Comprobación numérica: $\sum a_n\approx0{,}4949<\sum1/n^{5/2}\approx1{,}3415$.)

Error típico: (i) ver un $\cos n$ y pensar «alternada»: lo que decide es el signo de todo el término. (ii) Comparar en la dirección inútil: mayorar por una serie divergente o minorar por una convergente no concluye nada.

Teoría: U Def. 1.16 y Prop. 1.8 p.40; Def. 1.17 p.41; comparación y $\sum1/n^\gamma$ p.38; ejemplo gemelo U Ej. 1.39 pp.40-41.

Se pide estudiar el carácter de la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac1{n^{1/2}+n^{2/3}}$.

1. Tipo de serie. Términos positivos: se puede usar comparación (U p.38).
2. Qué potencia manda. $\tfrac12<\tfrac23$, así que para $n$ grande $n^{2/3}$ domina y $a_n\approx\dfrac1{n^{2/3}}$: serie $p$ con $\gamma=\tfrac23\le1$, divergente (U p.38). Sospecha: diverge. Para probarlo hay que minorar $a_n$ por algo divergente.
3. Comparar potencias. Si $n\ge1$ y $p<q$ entonces $n^p\le n^q$ (porque $n^q/n^p=n^{q-p}\ge1$). Con $p=\tfrac12$, $q=\tfrac23$: $n^{1/2}\le n^{2/3}$.
4. Acotar el denominador por arriba (para acotar la fracción por abajo): $$n^{1/2}+n^{2/3}\le2n^{2/3}\quad\Longrightarrow\quad a_n=\frac1{n^{1/2}+n^{2/3}}\ \ge\ \frac1{2n^{2/3}}\ \ge0\qquad(n\ge1).$$
5. La serie minorante diverge. $\sum\frac1{2n^{2/3}}=\frac12\sum\frac1{n^{2/3}}$. Si convergiera, multiplicando por $2$ (Prop. 1.7) convergería $\sum1/n^{2/3}$, que diverge porque $\gamma=\tfrac23\le1$ (U p.38).
6. Criterio de comparación (U p.38), segunda parte: si la menor $\sum\frac1{2n^{2/3}}$ no es convergente, la mayor $\sum a_n$ tampoco. La serie es divergente (numéricamente $s_{10^6}\approx253{,}5$; crece del orden de $3n^{1/3}$: cociente $\to1$).

Respuesta: diverge. (Alternativa con comparación por el límite: $a_n/n^{-2/3}\to1$, apartado 4.)

Error típico: acotar $a_n\le\frac1{n^{1/2}}$ (quitando $n^{2/3}$): es cierto, pero mayorar por una serie divergente no concluye nada. Para divergencia: $a_n\ge$ (divergente); para convergencia: $a_n\le$ (convergente).

Teoría: U comparación y $\sum1/n^\gamma$ p.38; Prop. 1.7 p.37.

Para la serie con sucesión de sumas parciales $\{s_k\}$ dada por $s_k=\sum_{n=1}^ka_n$, donde $a_n=\dfrac{n^n}{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-3)\cdot(2n-1)}$, se pide estudiar su carácter.

1. Tipo de serie. Numerador y denominador positivos: $a_n>0$. Se pueden usar cociente o raíz (U p.38).
2. Por qué el cociente. Al pasar de $a_n$ a $a_{n+1}$ el denominador solo gana un factor, $2n+1$. En los productos «que se alargan» el cociente $a_{n+1}/a_n$ simplifica casi todo; la raíz $n$-ésima de ese producto es difícil.
3. Calcular el cociente. Sea $P_n=1\cdot3\cdots(2n-1)$, de modo que $P_{n+1}=P_n(2n+1)$: $$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1)^{n+1}}{P_n(2n+1)}\cdot\frac{P_n}{n^n}=\frac{(n+1)^{n+1}}{(2n+1)\,n^n}=\Big(\frac{n+1}n\Big)^n\cdot\frac{n+1}{2n+1}.$$ (Se separa $(n+1)^{n+1}=(n+1)^n(n+1)$ para agrupar $\frac{(n+1)^n}{n^n}$.)
4. Límite de cada factor. $\big(\frac{n+1}n\big)^n=\big(1+\frac1n\big)^n\to e$ (Prop. 1.5, U p.31). $\frac{n+1}{2n+1}=\frac{1+1/n}{2+1/n}\to\frac12$ (Prop. 1.3, U p.26). Ambos límites existen y son finitos, luego $$\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac e2\approx1{,}359>1.$$
5. Criterio del cociente (U p.38): $\ell=e/2\in(1,\infty]$ $\Rightarrow$ la serie no converge (diverge).
6. Comprobación elemental (propia). Para todo $n\ge1$, $(1+\frac1n)^n\ge1+n\cdot\frac1n=2$ (primeros términos del binomio, todos positivos) y $\frac{n+1}{2n+1}>\frac12$, así que $\frac{a_{n+1}}{a_n}>1$: $\{a_n\}$ es creciente y $a_n\ge a_1=1$, luego $a_n\not\to0$ y la serie diverge también por la Prop. 1.6. (Numéricamente $a_{10}\approx15{,}3$.)

Respuesta: diverge.

Error típico: (i) escribir $a_{n+1}$ cambiando solo el numerador y olvidar que el denominador gana el factor $2n+1$; (ii) pensar que $\ell>1$ significa «converge a algo grande»; (iii) calcular $a_n/a_{n+1}$ (el inverso) y leer al revés la conclusión.

Teoría: U criterio del cociente p.38; Prop. 1.5 p.31; Prop. 1.3 p.26; Prop. 1.6 p.36. Nota: $1\cdot3\cdots(2n-1)=\frac{(2n)!}{2^nn!}$.

Estudia si la siguiente serie es convergente: $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n^{\ln n}}{(\ln n)^n}$. Errata: para $n=1$ el término es $\frac{1^0}{0^1}=\frac10$, no está definido; estudiamos $\sum_{n=2}^\infty$ (el carácter no cambia; U admite series desde $n=p$, p.35).

1. Tipo de serie. Para $n\ge2$, $\ln n>0$ y $a_n=\frac{n^{\ln n}}{(\ln n)^n}>0$.
2. Elegir criterio. El denominador es una potencia $n$-ésima, $(\ln n)^n$: su raíz $n$-ésima es simplemente $\ln n$. El cociente no simplifica nada. $\Rightarrow$ criterio de la raíz (U p.38).
3. Raíz $n$-ésima. $\displaystyle\sqrt[n]{a_n}=\frac{\big(n^{\ln n}\big)^{1/n}}{\ln n}=\frac{n^{(\ln n)/n}}{\ln n}.$
4. Tomar logaritmos ($\ln(x^y)=y\ln x$). Sea $\lambda_n=\ln\sqrt[n]{a_n}$: $$\lambda_n=\frac{\ln n}n\cdot\ln n-\ln(\ln n)=\frac{(\ln n)^2}n-\ln(\ln n).$$ (Mejor así que como en E, que escribe $\ln A=\ln\lim_{n\to\infty}(\dots)$ suponiendo que el límite ya existe: aquí calculamos primero $\lim_{n\to\infty}\lambda_n$ y luego volvemos.)
5. Límite auxiliar $\dfrac{(\ln n)^2}n\to0$. Con el criterio de Stolz (U p.32; $b_n=n$ es monótona y $\to\infty$):
   • (a) $\dfrac{\ln n}n\to0$: Stolz lleva a $\dfrac{\ln(n+1)-\ln n}{(n+1)-n}=\ln\!\big(1+\tfrac1n\big)\to\ln1=0$.
   • (b) $\dfrac{(\ln n)^2}n$: Stolz lleva a $(\ln(n+1))^2-(\ln n)^2=\ln\!\big(1+\tfrac1n\big)\big(\ln(n+1)+\ln n\big)=\underbrace{n\ln\!\big(1+\tfrac1n\big)}_{\to\ln e=1}\cdot\underbrace{\dfrac{\ln(n+1)+\ln n}n}_{\to0}\to1\cdot0=0.$ El primer factor usa la Prop. 1.5 (U p.31) y la continuidad de $\ln$; en el segundo, $\frac{\ln n}n\to0$ por (a) y $\frac{\ln(n+1)}n=\frac{\ln(n+1)}{n+1}\cdot\frac{n+1}n\to0\cdot1=0$.
6. Límite de $\lambda_n$. $\ln(\ln n)\to+\infty$ (porque $\ln n\to\infty$ y $\ln$ es creciente y no acotada). Entonces $\lambda_n\to0-\infty=-\infty$ (operación válida en la recta ampliada, U Def. 1.12 p.27; no es indeterminación).
7. Deshacer el logaritmo. $\sqrt[n]{a_n}=e^{\lambda_n}\to e^{-\infty}=0$ (continuidad de la exponencial, U p.29). Atajo equivalente: $n^{(\ln n)/n}=e^{(\ln n)^2/n}\to e^0=1$, luego $\sqrt[n]{a_n}=\frac{n^{(\ln n)/n}}{\ln n}\to\frac1\infty=0$.
8. Criterio de la raíz (U p.38): $\ell=0\in[0,1)$ $\Rightarrow$ la serie $\sum_{n\ge2}a_n$ converge. (Numéricamente $\sum_{n=2}^\infty a_n\approx10{,}54$; los primeros términos son grandes, $a_2\approx3{,}37$, pero caen muy rápido: $a_{20}\approx2{,}3\cdot10^{-6}$.)

Respuesta: converge.

Error típico: (i) no mirar el dominio (el término $n=1$ no existe); (ii) escribir $\ln(\lim_{n\to\infty} x_n)=\lim_{n\to\infty}\ln x_n$ sin saber aún que el límite existe y es positivo; (iii) tratar $0-\infty$ como indeterminación (no lo es: vale $-\infty$); (iv) confundir $n^{\ln n}$ con $(\ln n)^n$: $n^{\ln n}=e^{(\ln n)^2}$ crece mucho más despacio que $(\ln n)^n=e^{n\ln\ln n}$.

Teoría: U raíz p.38; fórmula $a_n^{b_n}=e^{b_n\ln a_n}$ y continuidad p.29; Def. 1.12 p.27; Stolz p.32; Prop. 1.5 p.31; series desde $n=p$ p.35.

Estudia si la siguiente serie es convergente: $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^ne^n}{e^{2n}+1}$.

1. Tipo de serie. Escribimos el término como $(-1)^nc_n$ con $c_n=\dfrac{e^n}{e^{2n}+1}>0$: es alternada (Def. 1.17, U p.41). Comparación, cociente y raíz no se aplican directamente (solo valen para términos no negativos, U p.39).
2. Criterio de Leibniz (U p.41). Para una serie alternada con $\{|a_n|\}=\{c_n\}$ decreciente, converge si y solo si el término general tiende a $0$. Hay que comprobar: $c_n$ decreciente y $c_n\to0$.
3. $c_n$ decrece (vía de E). Como $c_n>0$, «$c_{n+1}\le c_n$» equivale a «$c_{n+1}/c_n\le1$»: $$\frac{c_{n+1}}{c_n}=\frac{e^{n+1}}{e^{2n+2}+1}\cdot\frac{e^{2n}+1}{e^n}=\frac{e^{2n+1}+e}{e^{2n+2}+1}.$$ Como el denominador es positivo, $\frac{c_{n+1}}{c_n}\le1\iff e^{2n+1}+e\le e^{2n+2}+1\iff e^{2n+1}(1-e)\le1-e$. Dividimos por $1-e<0$ (la desigualdad cambia de sentido): $\iff e^{2n+1}\ge1$, cierto para todo $n\ge0$. Vía más rápida (propia): $c_n=\dfrac1{e^n+e^{-n}}$ (dividiendo por $e^n$) y $(e^{n+1}+e^{-n-1})-(e^n+e^{-n})=(e-1)(e^n-e^{-n-1})>0$: el denominador crece y $c_n$ decrece.
4. $c_n\to0$. $e^n+e^{-n}\to\infty$, luego $c_n\to0$ y por tanto $(-1)^nc_n\to0$.
5. Conclusión por Leibniz: la serie converge.
6. Más fuerte (omitido en E). $0<c_n=\dfrac{e^n}{e^{2n}+1}<\dfrac{e^n}{e^{2n}}=\Big(\dfrac1e\Big)^n$ y $\sum(1/e)^n$ es geométrica de razón $1/e<1$, convergente (U Ej. 1.33). Por comparación, $\sum|a_n|=\sum c_n$ converge: la serie es absolutamente convergente y, por la Prop. 1.8 (U p.40), convergente. Esta vía hace innecesario Leibniz. (Valores: $\sum a_n\approx-0{,}2274$; $\sum|a_n|\approx0{,}5356<\frac1{e-1}\approx0{,}5820$.)

Respuesta: converge, y es absolutamente convergente.

Error típico: (i) aplicar Leibniz comprobando solo $a_n\to0$ y olvidar el decrecimiento (ejemplo propio 3b); (ii) dividir una desigualdad por un negativo ($1-e$) sin cambiar el sentido; (iii) aplicar el cociente de U al término con signo: U lo enuncia para $a_n>0$.

Teoría: U Def. 1.17 y Leibniz p.41; Def. 1.16 y Prop. 1.8 p.40; geométrica Ej. 1.33 p.36; comparación p.38.

1. (a) $\sum\dfrac n{2n+5}$. $\dfrac n{2n+5}=\dfrac1{2+5/n}\to\dfrac12\ne0$. Por la Prop. 1.6 (contrarrecíproco), diverge.
2. (b) $\sum_{n\ge1}\dfrac3{2^n}$. Geométrica de primer término $\frac32$ y razón $\tfrac12$: suma $\dfrac{3/2}{1-1/2}=3$.
3. (c) $\sum_{n\ge1}\dfrac1{n(n+1)}$ (telescópica): $\frac1{n(n+1)}=\frac1n-\frac1{n+1}$, luego $s_n=1-\frac1{n+1}\to1$. Suma $=1$.
4. (d) Si $\sum a_n$ converge y $\sum b_n$ diverge, entonces $\sum(a_n+b_n)$ diverge (si convergiera, $\sum b_n=\sum[(a_n+b_n)-a_n]$ convergería por la Prop. 1.7). Ejemplo: $\sum\big(\frac1{2^n}+\frac1n\big)$ diverge.

1. (a) $\sum\dfrac{n+1}{n^3+2}$. Para $n\ge1$: $n+1\le2n$ y $n^3+2>n^3$, luego $0<a_n\le\dfrac{2n}{n^3}=\dfrac2{n^2}$; como $\sum\frac1{n^2}$ converge, la serie converge (suma $\approx1{,}4247$).
2. (b) $\sum\dfrac1{\sqrt n+1}$. $1\le\sqrt n$ $\Rightarrow$ $\sqrt n+1\le2\sqrt n$ $\Rightarrow$ $a_n\ge\dfrac1{2\sqrt n}$; $\sum\frac1{n^{1/2}}$ diverge ($\gamma=\tfrac12\le1$), luego diverge.
3. (c) $\sum\dfrac{n!}{n^n}$ (cociente). $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}\cdot\dfrac{n^n}{n!}=\Big(\dfrac n{n+1}\Big)^n=\dfrac1{(1+1/n)^n}\to\dfrac1e<1$: converge (suma $\approx1{,}8799$).
4. (d) $\sum\Big(\dfrac n{n+1}\Big)^{n^2}$ (raíz). $\sqrt[n]{a_n}=\Big(\dfrac n{n+1}\Big)^n\to\dfrac1e<1$: converge (suma $\approx0{,}8174$).

(a) $\displaystyle\sum_{n\ge1}\frac{(-1)^nn}{n^2+1}$.

1. No absolutamente: $\dfrac n{n^2+1}\ge\dfrac1{2n}$ (equivale a $n^2\ge1$) y $\sum\frac1{2n}$ diverge; por comparación $\sum|a_n|$ diverge.
2. Leibniz: $c_n=\frac n{n^2+1}$ decrece: $c_{n+1}\le c_n\iff(n+1)(n^2+1)\le n\big((n+1)^2+1\big)\iff0\le n^2+n-1$, cierto para $n\ge1$. Y $c_n=\frac{1/n}{1+1/n^2}\to0$.
3. Luego converge, pero no absolutamente (condicionalmente convergente). Suma $\approx-0{,}2696$.

(b) Trampa: $\displaystyle\sum_{n\ge2}\frac{(-1)^n}{\sqrt n+(-1)^n}$. Es alternada y su término tiende a $0$, pero $|a_n|$ no decrece ($|a_2|\approx0{,}414<|a_3|\approx1{,}366$), así que Leibniz no se aplica. Multiplicando por el conjugado: $$\frac{(-1)^n}{\sqrt n+(-1)^n}=\frac{(-1)^n\big(\sqrt n-(-1)^n\big)}{n-1}=\underbrace{\frac{(-1)^n\sqrt n}{n-1}}_{\text{converge (Leibniz)}}-\underbrace{\frac1{n-1}}_{\text{armónica: diverge}}.$$

1. $\frac{\sqrt n}{n-1}$ decrece para $n\ge2$ (elevando al cuadrado, $\frac{\sqrt{n+1}}{n}\le\frac{\sqrt n}{n-1}\iff(n+1)(n-1)^2\le n^3\iff0\le n^2+n-1$) y tiende a $0$: la primera serie converge.
2. Convergente $-$ divergente = divergente (apartado 3): la serie diverge (sumas parciales: $-6{,}55$ en $n=10^3$, $-13{,}48$ en $n=10^6$; bajan como $-\ln n$). Moraleja: la hipótesis «$|a_n|$ decreciente» de Leibniz no es decorativa.

Defina serie alternada.

1. Definición (U Def. 1.17, p.41). $\sum_{n=1}^\infty a_n$ es alternada si sus términos son alternativamente positivos (o nulos) y negativos (o nulos).
2. Cómo se escribe casi siempre. $a_n=(-1)^nb_n$ o $a_n=(-1)^{n-1}b_n$ con $b_n\ge0$. El factor $(-1)^n$ pone el signo y $b_n=|a_n|$ es el tamaño. Ejemplo: $\sum(-1)^n$ (U Ej. 1.40, p.41).
3. Contraejemplo. $\sum\frac{\cos n}{n^2}$ cambia de signo, pero sin seguir el patrón $+,-,+,-$: no es alternada (U Ej. 1.39, pp.40-41).

Lo que escribes en el examen: la definición, la forma $a_n=(-1)^nb_n$ con $b_n\ge0$ y un ejemplo. Si sobra tiempo, añade Leibniz (U p.41): alternada con $\{|a_n|\}$ decreciente converge si y solo si $a_n\to0$.

Estudie si la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{4^n}$ es convergente.

1. Mira el término. $a_n=\frac{n^2}{4^n}$ es positivo y lleva una potencia $4^n$: usa el criterio del cociente (U p.38), que exige $a_n>0$.
2. Escribe el cociente $\frac{a_{n+1}}{a_n}$, cambiando $n$ por $n+1$ en el numerador de la fracción grande: $$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1)^2/4^{n+1}}{n^2/4^n}=\frac{(n+1)^2}{n^2}\cdot\frac{4^n}{4^{n+1}}.$$
3. Simplifica. $\frac{4^n}{4^{n+1}}=\frac14$ y $\frac{(n+1)^2}{n^2}=\big(1+\frac1n\big)^2$. Queda $\frac14\big(1+\frac1n\big)^2$.
4. Límite. Cuando $n$ es enorme, $\frac1n$ casi es $0$ y el paréntesis casi es $1$. Luego $\ell=\frac14$.
5. Conclusión. $\ell=\frac14<1$: la serie converge.

Lo que escribes en el examen: «$a_n>0$; $\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac14(1+\frac1n)^2\to\frac14<1$; por el criterio del cociente (U p.38) la serie converge».

Demuestre que es convergente la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n^3}$.

1. Tamaños. $|a_n|=\frac1{n^3}$ (el factor $(-1)^{n-1}$ solo pone el signo).
2. Serie de referencia. $\sum\frac1{n^\gamma}$ converge si y solo si $\gamma>1$ (U p.38). Aquí $\gamma=3>1$, así que $\sum|a_n|$ converge: la serie es absolutamente convergente (U Def. 1.16, p.40).
3. Conclusión. Toda serie absolutamente convergente es convergente (U Prop. 1.8, p.40). Queda demostrado.

Lo que escribes en el examen: los tres pasos anteriores. Alternativa con Leibniz (U p.41): (a) es alternada; (b) $\{\frac1{n^3}\}$ decrece, porque $n^3$ crece al aumentar $n$ (por ejemplo $\frac18>\frac1{27}$); (c) $\frac1{n^3}\to0$.

Estudie la convergencia de la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt n}$.

1. Tamaños. La serie es alternada (U Def. 1.17, p.41) y $|a_n|=\frac1{\sqrt n}=\frac1{n^{1/2}}$.
2. Sin signos. $\sum\frac1{n^{1/2}}$ es una serie $p$ con $\gamma=\frac12\le1$: diverge (U p.38). No hay convergencia absoluta; hay que usar Leibniz.
3. Condición 1: los tamaños decrecen. Al aumentar $n$, $\sqrt n$ aumenta y $\frac1{\sqrt n}$ disminuye (por ejemplo $\frac1{\sqrt4}=\frac12>\frac1{\sqrt9}=\frac13$).
4. Condición 2: tienden a $0$. $\frac1{\sqrt n}\to0$.
5. Conclusión. Por Leibniz (U p.41) la serie converge; como no converge absolutamente, es condicionalmente convergente.

Lo que escribes en el examen: «alternada; $\sum|a_n|$ diverge (serie $p$, $\gamma=\frac12$); $\{|a_n|\}$ decreciente y $\to0$; por Leibniz converge: condicionalmente».

Sean $k,n\in\mathbb N$, $k>1$. ¿Podemos aplicar el criterio del cociente para estudiar el carácter de la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\binom nk$? ¿Nos permite decidir si es convergente?

1. Los términos. $a_n=\binom nk=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}$ si $n\ge k$ y $a_n=0$ si $n<k$. Ejemplo con $k=2$: $0,1,3,6,10,\dots$
2. ¿Se puede aplicar el cociente? Sí. El criterio pide términos positivos (U p.38) y solo los primeros $k-1$ términos valen $0$; quitar unos pocos términos no cambia si la serie converge. Se aplica a partir de $n=k$.
3. Calcula el cociente para $n\ge k$: $$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1)!}{k!\,(n+1-k)!}\cdot\frac{k!\,(n-k)!}{n!}=\frac{n+1}{n+1-k}.$$ (Comprobación con $k=2$, $n=3$: $\frac{a_4}{a_3}=\frac63=2=\frac{4}{2}$.)
4. Límite. Para $n$ grande, $\frac{n+1}{n+1-k}$ es casi $\frac nn=1$. Con $\ell=1$ el criterio no decide (U p.38).
5. Para saber si converge. Para $n\ge k$, $\binom nk$ es un natural distinto de $0$, luego $a_n\ge1$ y no tiende a $0$. Por la condición necesaria (U Prop. 1.6, p.36), la serie diverge.

Lo que escribes en el examen: «sí se puede aplicar (a partir de $n=k$); $\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{n+1}{n+1-k}\to1$, luego no decide. (Además $a_n\ge1$, así que diverge)».

Sea $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ una serie convergente de términos positivos. Señale la opción válida: A) $\sum e^{a_n}$ converge; B) $\sum\frac1{a_n}$ converge; C) $\sum a_n^2$ converge; D) $\sum\sqrt{a_n}$ converge.

1. Dato clave. $\sum a_n$ converge, así que $a_n\to0$ (U Prop. 1.6, p.36). Además $a_n>0$.
2. A falsa. $e^{a_n}$ es mayor que $1$, así que no tiende a $0$ y la serie diverge (condición necesaria).
3. B falsa. Si $a_n$ se acerca a $0$, $\frac1{a_n}$ se hace enorme: no tiende a $0$ y la serie diverge.
4. C verdadera. Desde cierto $n$ se cumple $a_n<1$. Entonces $a_n^2<a_n$ (ejemplo: $0{,}1^2=0{,}01<0{,}1$). Por comparación con $\sum a_n$ (U p.38, vale «a partir de cierto $n$») la serie $\sum a_n^2$ converge.
5. D falsa (contraejemplo). Con $a_n=\frac1{n^2}$: $\sum\frac1{n^2}$ converge, pero $\sqrt{a_n}=\frac1n$ y la armónica diverge (U Ej. 1.35, p.37).

Resultado: C.