Módulo II · Funciones derivables · Tema 2.1

La derivada de una función

Qué es la derivada (velocidad instantánea y pendiente de la tangente), cuándo existe, por qué derivable implica continua y qué pasa cuando no existe (esquinas, tangentes verticales). Es la herramienta central del resto del curso.

Libro oficial: Cálculo para Ingenieros, §2.1 (pp. 73-78) + derivadas laterales (§2.2, p. 81)Ejercicios: E Ej. 2.1, 2.2, 2.6-2.9, 2.14, 2.17-2.23 (pp. 52-66)⏱ ~6 h de estudio

U oficial S Stewart L Larson E ejercicios P propio — pasa el ratón (o toca) por cada etiqueta para ver libro y página; en pantallas anchas aparecen en el margen derecho.

0Antes de empezar U pp.73-74

La idea del tema en una frase

La derivada de $f$ en un punto $a$ mide cómo de deprisa cambia $f$ justo en $a$: es la velocidad instantánea si $f$ es una posición, y la pendiente de la recta tangente a la gráfica. Si una función es derivable en un punto, su gráfica «se ve como una recta» al ampliarla mucho alrededor de ese punto; si lo es en todo un intervalo, la gráfica no tiene aristas: es suave.

U p.73 S pp.159-160

Qué necesitas saber ya U pp.16-52U p.74

Límites de funciones y su álgebra (suma, producto, cociente), límites laterales y el teorema «el límite existe $\iff$ existen los dos laterales y coinciden» (U §1.4, pp. 43-47).
Continuidad en un punto (U Def. 1.20, p. 51): $f$ es continua en $a$ si $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$. Conservación del signo (U Prop. 1.9, p. 44), regla del emparedado (U p. 45) y el teorema de Bolzano (U p. 52).
Valor absoluto y su desigualdad $\big||u|-|v|\big|\le|u-v|$ (U Teorema 1.1, p. 16).
Ecuación de una recta: la de pendiente $m$ que pasa por $(x_0,y_0)$ es $y-y_0=m(x-x_0)$.
Derivadas de las funciones elementales (tabla en el apartado 6 de este resumen): U da por hecho que «la mayoría de lo tratado en este tema debería resultarle familiar» y que sabe derivar; la única forma de derivar con soltura es hacer muchas derivadas.

Mapa del tema

Apartado de este resumen	Qué contiene	Dónde está en U	Otras fuentes
1 Velocidad media e instantánea	motivación, hormiga y radar	§2.1.2 pp. 74-75	S §2.7 p.145
2 La derivada en un punto	Def. 2.1, notación, Ejemplos 2.1-2.2	§2.1.2 pp. 75-76	S pp.146-147 · L p.99
3 Tangente y normal	secante → tangente, ecuaciones, ángulo	pendiente: p.75 (Fig. 2.1); ecuación de la tangente: §2.4.2 p.87; la normal no aparece en U	S pp.143-147, 176-177 · L pp.97-100
4 Derivable ⇒ continua	Teorema 2.1 y su demostración, Ej. 2.3-2.5	p.76-77 (sin demostración)	S pp.158-159 · L p.102
5 Derivadas laterales y cuándo falla	esquina, tangente vertical, oscilación	Def. 2.3: §2.2.2 p.81 (no está en §2.1)	S pp.157-159 · L pp.101-102
6 Función derivada	Def. 2.2, notación, reglas mínimas	§2.1.3 p.78; reglas §2.2.2 p.79	L p.99
7 Ejercicios	E 2.1, 2.2, 2.6-2.9, 2.14, 2.17-2.23 + 3 ejemplos propios	—	E pp.52-66

Qué se pide en los ejercicios E pp.52-66

Los 14 ejercicios de E de este tema (los enunciados son de elegir opción o de razonar) piden cinco destrezas: (1) distinguir $f'(a)$ (número), $f'$ (función) y la tangente, y traducir «velocidad media/instantánea»; (2) usar que la pendiente de la tangente es $f'(a)$ para hallar puntos con una tangente dada (horizontal, con un ángulo, perpendicular a un vector); (3) calcular derivadas laterales y decidir la derivabilidad en un punto conflictivo (valor absoluto, funciones a trozos con parámetros); (4) usar «derivable $\Rightarrow$ continua» y su versión con Bolzano; (5) demostrar propiedades sobre $|f|$.

Lo que U no dice, o dice en otro sitio (y aquí se explica)

Derivadas laterales: E las ejercita en el 2.1, pero U las define en §2.2.2 (Def. 2.3, p. 81). Aquí están en el apartado 5.
Ecuación de la recta tangente: en §2.1 U solo da la pendiente (p. 75); la ecuación aparece de pasada en §2.4.2 (p. 87), al explicar el método de Newton. Aquí, en el apartado 3.
Recta normal y la relación pendiente $=\tan\theta$: no están en U (la normal, en S §3.1 pp. 176-177; la relación, en el margen de E p. 55).
Demostración de «derivable $\Rightarrow$ continua»: U enuncia el Teorema 2.1 (p. 76) sin demostrarlo; la demostración está en S (pp. 158-159) y L (p. 102) y aquí se da completa.
Derivada de $|f|$ (Ej. 2.21-2.22): no es un resultado de U, S ni L; se demuestra en los ejercicios.

1Velocidad media y velocidad instantánea U pp.74-75

Idea intuitiva

En un viaje en coche, el cuentakilómetros te dice lo recorrido y el reloj el tiempo; dividiendo obtienes la velocidad media del trayecto. Pero el velocímetro marca otra cosa: la velocidad en este instante. ¿Cómo se define «velocidad en un instante» si en un instante no se recorre distancia alguna? Se calcula la velocidad media en intervalos de tiempo cada vez más cortos alrededor del instante y se mira a qué valor se acercan: ese valor límite es la velocidad instantánea. Ese «se acercan» es exactamente un límite (el del tema 1.4).

U pp.74-75 S p.145

Velocidad media e instantánea

Si $f(x)$ es la posición en el instante $x$ de un móvil (U usa una hormiga en la recta real), la velocidad media entre los instantes $x=a$ y $x=b$ es $$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$ La velocidad instantánea en $x=c$ se define como el límite de las velocidades medias: $$\lim_{x\to c}\frac{f(x)-f(c)}{x-c}.$$ Ese límite es, por definición, la derivada de $f$ en $c$.

U pp.74-75

Error típico

Confundir las dos velocidades. Un radar de tramo, que solo conoce dos posiciones y dos instantes, calcula únicamente la velocidad media; no mide la velocidad instantánea. En el ejercicio 2.2 verás que una velocidad media alta es suficiente para multar, y que además obliga a que en algún instante la velocidad instantánea fuese alta (Teorema del valor medio, U §2.5.3, p. 96; tema 2.5).

2La derivada en un punto U pp.75-76

Definición 2.1 (derivada en un punto)

Sea $f:D\to\mathbb R$ y $a\in D$. Para poder calcular un límite en $a$, U exige que $a$ no esté «aislado» en $D$: que para cada $r>0$ se cumpla $(a-r,a+r)\cap(D\setminus\{a\})\neq\emptyset$ (siempre hay puntos de $D$, distintos de $a$, arbitrariamente cerca; se cumple, por ejemplo, si $D$ es un intervalo con más de un punto). Entonces, $f$ es derivable en $a$ si existe y es finito $$\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\;=\;\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.$$ El valor de ese límite se denota $f'(a)$ y es la derivada de $f$ en $a$. Otra notación frecuente: $\dfrac{df}{dx}(a)$.

U p.75 L pp.99, 101

Las dos formas del límite son la misma

En la primera forma, $x$ se acerca a $a$; en la segunda, medimos cuánto nos alejamos: $h=x-a$, es decir, $x=a+h$. Que $x\to a$ es lo mismo que $h\to0$, y $x-a=h$. Usa la que te resulte más cómoda: la de $h$ para desarrollar $f(a+h)$, la de $x$ cuando se puede factorizar $x-a$.

U p.75

Dos puntos finos de la definición

«Finito». Un límite $+\infty$ o $-\infty$ no da derivada. La función $\sqrt x$ en $0$ tiene cociente $\frac{\sqrt h}{h}=\frac1{\sqrt h}\to+\infty$: no es derivable en $0$ (tiene tangente vertical, apartado 5).
El cociente no está definido en $h=0$ (sería $0/0$). No importa: un límite solo mira los $h\neq0$. Cada cociente con $h\neq0$ es una pendiente perfectamente normal (apartado 3); lo que hace falta es ver a qué número tiende.

U p.75

Ejemplo 2.1 de U: la derivada de una constante

Si $f(x)=k$ con $k\in\mathbb R$, para todo $a$: $f'(a)=\lim_{h\to0}\dfrac{k-k}{h}=\lim_{h\to0}0=0$. Una función constante es derivable en todo punto y su derivada es $0$ (su gráfica es horizontal: no cambia).

U p.76

Ejemplo 2.2 de U: la derivada de $x^2$

Formamos el cociente con la primera forma: $\dfrac{x^2-a^2}{x-a}$. En $x=a$ da $0/0$, así que hay que simplificar antes de tomar el límite.
Factorizamos: $x^2-a^2=(x-a)(x+a)$. Para $x\neq a$ se cancela $x-a$: $\dfrac{x^2-a^2}{x-a}=x+a$.
Límite: $\lim_{x\to a}(x+a)=2a$. Luego $f'(a)=2a$ para todo $a\in\mathbb R$.

U p.76

Receta: derivar por definición

Escribe el cociente $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ (o $\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$).
Sustituye $f$ y simplifica hasta que $h$ (o $x-a$) desaparezca del denominador: desarrollar un cuadrado, factorizar, multiplicar por el conjugado si hay raíces...
Toma el límite. Si es un número real, ese es $f'(a)$; si es $\pm\infty$ o no existe, $f$ no es derivable en $a$.

P L pp.99-100

Error típico

Llamar «la derivada» a tres cosas distintas: el número $f'(a)$ (la pendiente en un punto), la función $f'$ (que a cada $x$ le da su pendiente, apartado 6) y la recta tangente (una recta, apartado 3). También: pensar que para hallar $f'(a)$ se puede primero sustituir $x=a$ en $f$ y luego derivar. $f(a)$ es una constante y su derivada es $0$; $f'(a)$ es la derivada de $f$ y después se evalúa en $a$.

E p.52

3Interpretación geométrica: tangente y normal U pp.75, 87

Idea intuitiva: de la secante a la tangente

Toma dos puntos de la gráfica, $P=(a,f(a))$ y $Q=(a+h,f(a+h))$, y traza la recta que los une: la secante. Su pendiente es justo el cociente de la definición. Ahora acerca $Q$ a $P$ (haz $h$ más pequeño): la secante gira y se va «pegando» a la curva en $P$. La recta a la que tiende es la tangente, y su pendiente es el límite de las pendientes de las secantes, es decir, $f'(a)$. Es la misma idea que arriba: la velocidad media era la pendiente de una secante en la gráfica posición-tiempo.

U p.75 L p.97 S p.143

Las secantes (finas) que pasan por $P$ y por un punto $Q$ cada vez más cercano giran hacia la tangente (gruesa, naranja). Sus pendientes $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ tienden a $f'(a)$. (Figura propia; véase U Fig. 2.1 p. 75.)

Recta tangente (definición) y su ecuación

Si $f$ es derivable en $a$, la recta tangente a la gráfica de $f$ en $(a,f(a))$ es la recta que pasa por ese punto y tiene pendiente $f'(a)$. Como la recta por $(x_0,y_0)$ con pendiente $m$ es $y-y_0=m(x-x_0)$, la tangente es $$y=f(a)+f'(a)\,(x-a).$$ Un punto de la gráfica donde la pendiente vale $0$ (tangente horizontal) es aquel con $f'(a)=0$.

U pp.75, 87 S pp.144, 147 · L pp.97, 100

Recta normal

La recta normal a una curva en un punto $P$ es la recta que pasa por $P$ y es perpendicular a la tangente en $P$. Si $f'(a)\neq0$, su pendiente es $-\dfrac1{f'(a)}$ (el opuesto del inverso). Una forma que vale siempre, incluso cuando $f'(a)=0$, es $$x-a=-f'(a)\,\big(y-f(a)\big),$$ que es la recta por $(a,f(a))$ con vector director $\big(-f'(a),\,1\big)$ (la tangente tiene vector director $(1,\,f'(a))$ y el producto escalar es $-f'(a)+f'(a)=0$). Si $f'(a)=0$, la tangente es horizontal y la normal es la vertical $x=a$; la fórmula con $-1/f'(a)$ no serviría ahí.

S pp.176-177 E pp.54-55

Del ángulo a la pendiente

Si una recta forma con el eje $x$ un ángulo $\theta$ (medido desde el eje hacia la recta, en sentido contrario a las agujas del reloj), su pendiente es $m=\tan\theta$. Así, $\theta=\frac\pi4$ da $m=1$; $\theta=0$ da $m=0$ (horizontal).

E p.55

Ejemplo: tangente y normal a $y=x^2$ en $(1,1)$

Por el Ejemplo 2.2, $f'(a)=2a$; en $a=1$, $f'(1)=2$. Pendiente de la tangente: $2$.
Tangente: $y-1=2(x-1)$, es decir, $y=2x-1$.
Normal: pendiente $-\tfrac12$; $y-1=-\tfrac12(x-1)$, es decir, $y=-\tfrac12x+\tfrac32$. (Con la forma general: $x-1=-2(y-1)$.)

S p.144

Error típico

(i) Escribir la tangente como $y=f'(a)(x-a)$ y olvidar el $+f(a)$: esa recta pasa por $(a,0)$, no por el punto de la gráfica. (ii) Tomar la pendiente de la normal como $-f'(a)$ o como $1/f'(a)$ en lugar de $-1/f'(a)$. (iii) Confundir el ángulo con la pendiente: igualar $f'(x)=\pi/4$ en vez de $f'(x)=\tan\frac\pi4$.

4Derivable implica continua U pp.76-77

Idea intuitiva

Continua significa «sin saltos»: se puede dibujar sin levantar el lápiz. Derivable pide algo más fuerte: sin saltos y sin aristas ni tangentes verticales. Si hubiera un salto en $a$, no habría una tangente única (a un lado y a otro la curva estaría a alturas distintas), así que derivable $\Rightarrow$ continua. En cambio una esquina es continua pero no derivable. Y ojo: «continua» no significa que puedas dibujarla con el lápiz cerca de cada punto; el Ej. 2.5 de U es continua en $0$ y aun así oscila infinitas veces cerca de $0$. La continuidad es la condición precisa $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$.

U p.76

Teorema 2.1

Si $f$ es derivable en $a$, entonces $f$ es continua en $a$.

Demostración (U no la incluye). Para $h\neq0$ con $a+h\in D$, multiplicamos y dividimos por $h$: $$f(a+h)-f(a)=h\cdot\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.$$ Al hacer $h\to0$, el primer factor tiende a $0$ y el segundo a $f'(a)$ (que es un número real, porque $f$ es derivable). Por el límite de un producto (U Prop. 1.11, p. 46) el producto tiende a $0\cdot f'(a)=0$. Por tanto $\lim_{h\to0}f(a+h)=f(a)$, que es la definición de continuidad en $a$ (U Def. 1.20, p. 51). $\blacksquare$

U p.76 S pp.158-159 L p.102

Cómo se usa: dos lecturas del teorema

Contrarrecíproco: si $f$ no es continua en $a$, entonces no es derivable en $a$. No hace falta estudiar el límite de la derivada.
Ser continua no basta para ser derivable (el recíproco es falso): ver $|x|$ en el apartado 5 y el Ejemplo 2.5 de U.

U p.76 L p.102

Ejemplos 2.3, 2.4 y 2.5 de U

Ej. 2.3 (Heaviside). $f(x)=1$ si $x>0$, $f(x)=0$ si $x\le0$, es discontinua en $0$ (salto). Por el Teorema 2.1 no es derivable en $0$, sin calcular ningún límite.
Ej. 2.4. $f(x)=x^2\operatorname{sen}^2\frac3x$ si $x\neq0$, $f(0)=0$. En $a=0$: $\dfrac{f(h)-f(0)}{h}=h\operatorname{sen}^2\frac3h\to0$, porque $\left|h\operatorname{sen}^2\frac3h\right|\le|h|\to0$ (el seno está acotado; U Prop. 1.10, p. 45). Luego sí es derivable en $0$ con $f'(0)=0$.
Ej. 2.5. $f(x)=x\cos\frac{10}x$ si $x\neq0$, $f(0)=0$ es continua en $\mathbb R$ (en $0$: $\left|x\cos\frac{10}x\right|\le|x|\to0=f(0)$, por el emparedado, U p. 45), pero $\dfrac{f(h)-f(0)}{h}=\cos\frac{10}h$ oscila entre $-1$ y $1$ cada vez más rápido al acercarse $h$ a $0$: no existe el límite, luego no es derivable en $0$. Continua sin ser derivable.

Diferencia entre los dos últimos: la gráfica del Ej. 2.4 queda entre $0$ y $x^2$ (dos curvas que se tocan en $0$ y comparten tangente horizontal); la del Ej. 2.5 queda entre $-x$ y $x$ (rectas de pendientes distintas: no hay tangente común).

U pp.76-78

5Derivadas laterales y cuándo falla la derivada U p.81 (§2.2)

Idea intuitiva

Al calcular $\lim_{h\to0}$ te acercas a $a$ por dos lados: $h>0$ (por la derecha) y $h<0$ (por la izquierda). Si cada lado da su propia pendiente, y esas pendientes son distintas, la gráfica llega al punto con dos «direcciones» distintas: una esquina, sin una única tangente. Las derivadas laterales miden cada una de esas dos pendientes por separado.

U p.81 L p.101

Definición 2.3 (derivadas laterales)

$f$ es derivable por la derecha en $a$ si existe y es finito $$f'(a^+)=\lim_{h\to0^+}\frac{f(a+h)-f(a)}{h},$$ y derivable por la izquierda si existe y es finito $f'(a^-)=\lim_{h\to0^-}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$. Son las derivadas laterales ($a^+$: valores mayores que $a$; $a^-$: menores).

Criterio. Si las derivadas laterales en $a$ existen y coinciden, entonces $f$ es derivable en $a$ y $f'(a)$ vale ese valor común. Recíprocamente, si $f$ es derivable en $a$ y $a$ es un punto interior de $D$ (hay puntos de $D$ a ambos lados de $a$ arbitrariamente cerca), existen ambas y son iguales: el límite bilateral existe si y solo si existen los laterales y coinciden (U Teorema 1.4, p. 47). Si $a$ es un extremo de $D$ solo hay un lado y el recíproco falla: $f(x)=x$ en $[0,\infty)$ es derivable en $0$ con $f'(0)=1$, pero no existe $f'(0^-)$.

U p.81 U p.47

Ejemplo: $f(x)=|x|$ en $0$ (continua, no derivable)

Para $h>0$, $\frac{|h|}{h}=1$; para $h<0$, $\frac{|h|}{h}=\frac{-h}{h}=-1$. Luego $f'(0^+)=1$ y $f'(0^-)=-1$: existen ambas, pero son distintas, así que $|x|$ no es derivable en $0$, aunque sí continua en $0$ (los dos límites laterales de $|x|$ valen $0=|0|$). Es el ejercicio 2.19.

S pp.157-158 L p.102

Gráfica de $f(x)=|x|$. Por la derecha la recta tiene pendiente $+1$ y por la izquierda $-1$: las dos derivadas laterales existen pero no coinciden, y en el origen hay una arista.

Error típico

Creer que «existen las dos derivadas laterales» basta para ser derivable. Hace falta que además coincidan (ejercicio 2.18: $|x|$ es el contraejemplo). Tampoco tomes la derivada de la fórmula de un lado como derivada lateral sin comprobar que esa fórmula toma en $a$ el valor $f(a)$ (ejercicio 2.23).

Las formas en que una función deja de ser derivable en $a$ S p.159

1. Esquina o picoLas derivadas laterales existen y son distintas, o una de ellas es infinita. Ej.: $|x|$ en $0$.

2. DiscontinuidadSi $f$ no es continua en $a$, no es derivable (Teorema 2.1). Ej.: Heaviside.

3. Tangente vertical$f$ continua en $a$ y el cociente tiende a $+\infty$ o a $-\infty$. Ej.: $\sqrt x$ en $0$, $\sqrt[3]{x}$ en $0$.

4. OscilaciónEl cociente oscila sin tender a nada. Ej.: $x\cos\frac{10}x$ en $0$ (U Ej. 2.5).

Tangente vertical

Si $f$ es continua en $a$ y el cociente $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ tiende a $+\infty$ o a $-\infty$ cuando $h\to0$, la recta vertical $x=a$ es tangente a la gráfica (definición de L, p. 98). La función no es derivable en $a$ (no hay derivada finita), pero geométricamente sí hay tangente (vertical). Ejemplos de L: $f(x)=\sqrt x$ en $(0,0)$ (cociente $\frac1{\sqrt h}\to+\infty$; solo hay lado derecho, porque el dominio es $[0,\infty)$) y $f(x)=x^{1/3}$ en $0$, donde $\frac{x^{1/3}-0}{x}=x^{-2/3}\to+\infty$ por ambos lados.

Aviso: S (p. 159) usa un criterio más amplio, $\lim_{x\to a}|f'(x)|=\infty$ con $f$ continua en $a$, que también recoge picos como $\sqrt{|x|}$ en $0$ (cociente $-\infty$ por la izquierda y $+\infty$ por la derecha). Con la definición de L ahí no hay tangente vertical. Aquí seguimos L.

L pp.98-102 S p.159

Para $f(x)=\sqrt x$ en $0$, la secante por $(0,0)$ y $(h,\sqrt h)$ tiene pendiente $m=\frac{\sqrt h}{h}=\frac1{\sqrt h}$: vale $1$, $2$ y $4$ para $h=1,\ \frac14,\ \frac1{16}$ y crece sin límite al reducir $h$. Las secantes tienden a la recta vertical $x=0$: hay tangente vertical, pero no derivada finita.

6La función derivada y las reglas que necesitas U pp.78-79

Definición 2.2 (derivable en un conjunto; función derivada)

Una función es derivable en un conjunto $A\subset D$ si lo es en todos los puntos de $A$. Dada $f$, la función derivada (o derivada primera) es la función $f'$ que tiene por dominio el conjunto $A$ donde $f$ es derivable y que a cada $x\in A$ le asigna el número $f'(x)$: $$f':A\to\mathbb R.$$

U p.78 L p.99

Idea intuitiva

La derivada en un punto es un número (la pendiente ahí). Si haces esto en todos los puntos donde se pueda, obtienes una función: $f'(x)$ = «pendiente de la gráfica en $x$». El concepto de derivada es local (solo depende de cómo es $f$ cerca de $a$), pero las funciones derivables en todo su dominio tienen propiedades muy útiles (U §2.5: Rolle, valor medio, monotonía; tema 2.5). Por ejemplo, con $f(x)=x^2$ (Ej. 2.2 de U) resulta $f'(x)=2x$: en $x=1$ la pendiente es $2$, en $x=0$ es $0$ (fondo de la parábola).

U p.78

Reglas mínimas (para calcular sin usar la definición) U p.79

Proposición 2.1, regla de la cadena y tabla (resumen)

Si $f$ y $g$ son derivables en $a$: $(f+g)'(a)=f'(a)+g'(a)$; $(f\cdot g)'(a)=f'(a)g(a)+f(a)g'(a)$; si $g(a)\neq0$, $\left(\dfrac fg\right)'(a)=\dfrac{f'(a)g(a)-f(a)g'(a)}{[g(a)]^2}$. Cadena: si $f$ es derivable en $a$ y $g$ en $f(a)$, entonces $(g\circ f)'(a)=g'(f(a))\cdot f'(a)$.

$f(x)$	$f'(x)$	$f(x)$	$f'(x)$
$c$ (constante)	$0$	$x^c$	$c\,x^{c-1}$
$e^x$	$e^x$	$a^x$ $(a>0)$	$a^x\ln a$
$\ln x$	$1/x$	$\log_a x$	$\dfrac1x\log_a e$
$\operatorname{sen}x$	$\cos x$	$\cos x$	$-\operatorname{sen}x$

U p.79

Estas reglas se estudian en el tema 2.2; aquí se usan en los ejercicios 2.7-2.9, 2.20 c) y 2.23 y en los ejemplos propios 2 y 3. Recuerda que una regla como esta vale en los puntos donde $f$ y $g$ son derivables: no las apliques en un punto donde la función tenga una esquina.

7Ejercicios resueltos del libro (E) y ejemplos propios E pp.52-66

Erratas y omisiones del libro E que aquí se corrigen

2.2: E toma $0{,}0541$ h y obtiene $55{,}3914$ km/h, pero $3/0{,}0541\approx55{,}45$ y el valor exacto es $720/13\approx55{,}38$. Además no responde «sí» explícitamente.
2.9: E afirma que «$f$ es periódica»: es falso ($f'$ no es periódica por el factor $e^{2x^2-x}$). La gráfica de E es la de $f'$ (pasa por el origen con $f'(0)=0$ y cambia de signo allí), no la de $f$; la gráfica de $f$ debería tener un mínimo en $0$ y máximos en $\pm1$.
2.20 y 2.23: usan L'Hôpital (U §2.3, sección posterior); no hace falta: cada límite es una derivada por definición ($\operatorname{sen}'(0)$ en 2.20; $G'(0)$ con la regla de la cadena en 2.23).
2.17: correcto, pero no advierte que la hipótesis $f'(a^-)=f'(a^+)$ es innecesaria para la continuidad.
2.14: no justifica por qué existe $n$ con $f(\frac1n)f(1-\frac1n)<0$ (falta la conservación del signo, U Prop. 1.9 p. 44).
2.22: en la última fórmula el denominador es $x$; debe ser $x-a$.

Nota sobre símbolos: el texto extraído de los PDF pierde la barra en $\neq$ y falla con $\sqrt{\ }$ en algunos enunciados; se han restituido contrastando con el PDF.

Concepto de derivada

Ejercicio 2.1 — ¿qué es la derivada en un punto? E p.52

La derivada en un punto $a\in\mathbb R$ de una función derivable $f:\mathbb R\to\mathbb R$ es: a) una recta tangente; b) un número real; c) una función.

Por la Def. 2.1 (U p. 75), $f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$, que por definición es finito, es decir, un número real. Luego $f'(a)\in\mathbb R$.
a) La tangente es otro objeto: la recta por $(a,f(a))$ con pendiente $f'(a)$. $f'(a)$ es un dato suyo (la pendiente), no la recta.
c) La función derivada $f'$ (U Def. 2.2, p. 78) asigna a cada $x$ el número $f'(x)$; la derivada en un punto es su valor en $a$.

Respuesta: b).

Receta: distingue tres objetos: $f'(a)$ es un número (la pendiente), $f'$ es una función, y la tangente es la recta $y=f(a)+f'(a)(x-a)$.

Error típico: llamar «la derivada» indistintamente a $f'$, a $f'(a)$ y a la tangente.

Ejercicio 2.2 — radar de tramo en un túnel E p.52

Un coche entra en un túnel de 3 km limitado a 50 km/h. Un radar de tramo fotografía al entrar y al salir, y refleja que ha tardado 3 minutos y 15 segundos. ¿Es posible que al conductor le llegue una multa?

Qué mide el radar. Solo conoce dos posiciones y dos instantes, así que solo puede calcular $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$: la velocidad media (U p. 74). La velocidad instantánea sería la derivada (U p. 75) y el radar de tramo no la mide.
Unidades homogéneas. Como la velocidad está en km/h, el tiempo va en horas: $3\text{ min }15\text{ s}=3{,}25\text{ min}=\frac{3{,}25}{60}\text{ h}=\frac{13}{240}\text{ h}\approx0{,}054167\text{ h}$.
Velocidad media. $v_m=\dfrac{3}{13/240}=\dfrac{720}{13}\approx55{,}38$ km/h.
Conclusión. $55{,}38>50$: sí, puede llegarle una multa, que es justo lo que sanciona un radar de tramo.
Ampliación (tema 2.5). Si la posición $f(t)$ es continua en $[0,T]$ y derivable en $(0,T)$, el Teorema del valor medio (U §2.5.3, p. 96) da un instante $c$ con $f'(c)=v_m\approx55{,}38$ km/h. Es decir, el coche superó los 50 km/h en al menos un instante.

Respuesta: sí, $v_m=\frac{720}{13}\approx55{,}38$ km/h $>50$ km/h.

Receta: velocidad media = incremento de posición entre incremento de tiempo, con las unidades homogeneizadas antes de dividir. La derivada es el límite de ese cociente.

Error típico: escribir 3,15 min en lugar de 3,25 min, o redondear el tiempo en horas antes de dividir.

Recta tangente

Ejercicio 2.6 — tangente y normal (tres afirmaciones) E p.54

Si $f:\mathbb R\to\mathbb R$ es derivable en $a$: a) la recta $y=f'(a)(x-a)+f(a)$ es tangente a la gráfica en $(a,f(a))$; b) la pendiente de la recta tangente en $(a,f(a))$ es $f'(a)$; c) la recta $x=-f'(a)(y-f(a))+a$ corta perpendicularmente a la gráfica en $(a,f(a))$.

b) La derivada es el límite de las pendientes de las secantes por $(a,f(a))$ y $(a+h,f(a+h))$, y ese límite es la pendiente de la tangente (U p. 75, Fig. 2.1). Cierta.
a) La recta por $(x_0,y_0)$ con pendiente $m$ es $y-y_0=m(x-x_0)$ (U p. 87). Con $(a,f(a))$ y $m=f'(a)$ sale exactamente esa recta. Cierta.
c) «Cortar perpendicularmente a la gráfica» es ser perpendicular a la tangente en ese punto. Pasa por el punto: si $y=f(a)$, $x=a$. Dirección: reescrita como $x-a=-f'(a)(y-f(a))$, con $y-f(a)=t$ sus puntos son $(a-f'(a)t,\ f(a)+t)$: vector director $(-f'(a),1)$. La tangente tiene vector director $(1,f'(a))$ y el producto escalar es $-f'(a)+f'(a)=0$: son perpendiculares. Cierta.
Por qué se escribe así la normal. Si $f'(a)=0$ la tangente es horizontal y la normal es la vertical $x=a$, que da la fórmula de c). La forma con pendiente $-\frac1{f'(a)}$ no tiene sentido ahí.

Respuesta: a), b) y c) son ciertas.

Receta: tangente: $y=f(a)+f'(a)(x-a)$. Normal: vector director $(-f'(a),1)$, es decir, $x-a=-f'(a)(y-f(a))$. Para comprobar perpendicularidad basta que el producto escalar de los vectores directores sea $0$.

Error típico: escribir la normal con pendiente $-1/f'(a)$ sin excluir el caso $f'(a)=0$. (Nota: en el .txt el margen de E p. 55 aparece como «Si $u=0$»; el PDF dice $u\neq0$: fallo de extracción.)

Fuentes: U p. 75 y p. 87; la normal no está en U (S pp. 176-177).

Ejercicio 2.7 — tangente paralela al eje $x$ E p.55

Halla los puntos en los que la tangente a la gráfica de $f(x)=-\frac13x^3-x^2-1$ es paralela al eje $x$.

Traducir. Paralela al eje $x$ = horizontal = pendiente $0$. La pendiente en $(x,f(x))$ es $f'(x)$ (U p. 75): buscamos los $x$ con $f'(x)=0$.
Derivar (tabla y linealidad, U p. 79): $f'(x)=-\frac13\cdot3x^2-2x=-x^2-2x$.
Resolver: $-x^2-2x=0\iff-x(x+2)=0\iff x=0$ o $x=-2$.
Ordenadas (sustituyendo en $f$, no en $f'$): $f(0)=-1$; $f(-2)=-\frac13(-8)-4-1=\frac83-5=-\frac73$.

Respuesta: $(0,-1)$ y $\left(-2,-\frac73\right)$.

Receta: «tangente con pendiente $m$» se resuelve con la ecuación $f'(x)=m$; después se sustituye cada solución en $f$ (no en $f'$) para obtener el punto.

Error típico: dar solo las abscisas, o sustituir en $f'$ para obtener la ordenada.

Ejercicio 2.8 — tangente con un ángulo de $\pi/4$ E pp.55-56

Calcula los puntos en los que la tangente a la gráfica de $f(x)=-\frac13x^3-x^2-1$ forma un ángulo de $\frac\pi4$ radianes con el eje $x$ (medido desde el eje $x$ a la recta, en sentido contrario a las agujas del reloj).

Del ángulo a la pendiente: $m=\tan\theta$ (margen de E p. 55). Aquí $m=\tan\frac\pi4=1$.
Ecuación. Por el ejercicio 2.7, $f'(x)=-x^2-2x$. Imponemos $-x^2-2x=1\iff x^2+2x+1=0\iff(x+1)^2=0\iff x=-1$ (raíz doble).
Ordenada: $f(-1)=-\frac13(-1)-1-1=\frac13-2=-\frac53$.
Tangente: $y=-\frac53+1\cdot(x+1)=x-\frac23$.
Por qué solo un punto: $f'(x)=1-(x+1)^2\le1$, así que $1$ es la pendiente máxima de la gráfica y solo se alcanza en $x=-1$.

Respuesta: $\left(-1,-\frac53\right)$.

Receta: ángulo $\theta$ $\Rightarrow$ pendiente $\tan\theta$ $\Rightarrow$ resolver $f'(x)=\tan\theta$.

Error típico: igualar $f'(x)=\pi/4$, es decir, confundir el ángulo con la pendiente.

Ejercicio 2.9 — tangente de una función de la que solo conocemos $f'$ E pp.56-57

De una función derivable $f:\mathbb R\to\mathbb R$ se sabe que $f'(x)=\operatorname{sen}(\pi x)\,e^{2x^2-x}$. Señala la afirmación correcta sobre la tangente a la gráfica en $(x,f(x))$: a) nunca es paralela al eje $x$; b) para $x=\frac12$ es perpendicular al vector $(-1,1)$; c) solo es paralela al eje $x$ si $x=0$; d) ninguna de las anteriores.

No conocemos $f$, pero la pendiente en $x$ es $f'(x)$ (U p. 75) y eso basta.
Tangente horizontal $\iff f'(c)=0$. Como $e^{2c^2-c}>0$, $f'(c)=0\iff\operatorname{sen}(\pi c)=0\iff c\in\mathbb Z$. Hay infinitos puntos con tangente horizontal: a) y c) son falsas.
En $x=\frac12$: $f'(\tfrac12)=\operatorname{sen}\tfrac\pi2\cdot e^{2\cdot\frac14-\frac12}=1\cdot e^0=1$.
Perpendicularidad. Con pendiente $1$, un vector director de la tangente es $(1,1)$; $(1,1)\cdot(-1,1)=-1+1=0$: perpendicular. b) es cierta, y por tanto d) es falsa.

Respuesta: b).

Receta: pendiente $m$ $\Rightarrow$ vector director $(1,m)$. «Perpendicular al vector $v$» equivale a $(1,m)\cdot v=0$.

Error típico: confundir «perpendicular al vector $(-1,1)$» con «paralela a $(-1,1)$», que correspondería a pendiente $-1$.

Derivadas laterales y derivabilidad

Orden propuesto: el 2.19 primero (calcula las laterales de $|x|$ y da el contraejemplo que usan después), luego el 2.18 y el 2.17 (sobre qué garantizan las laterales), y por último el 2.20 y el 2.23 (aplicaciones).

Ejercicio 2.19 — $|x|$: continua pero no derivable en 0 E p.62

Calcula $f'(0^+)$ y $f'(0^-)$ para $f(x)=|x|$. Deduce que no es derivable en $0$ pese a ser continua en $0$.

Definición (U Def. 2.3, p. 81): $f'(0^\pm)=\lim_{h\to0^\pm}\frac{|h|}{h}$, porque $f(0)=0$.
Derecha ($h>0$): $|h|=h$ (U Def. 1.1, p. 15), cociente $1$: $f'(0^+)=1$.
Izquierda ($h<0$): $|h|=-h$, cociente $-1$: $f'(0^-)=-1$.
No derivable: el límite bilateral existe si y solo si existen los laterales y coinciden (U Teorema 1.4, p. 47); aquí $1\neq-1$.
Sí continua: $\lim_{x\to0^+}|x|=0=\lim_{x\to0^-}|x|$, luego $\lim_{x\to0}|x|=0=|0|$ (U Def. 1.20, p. 51).

Receta: en un punto donde la fórmula cambia (valor absoluto, función a trozos), calcula por separado $f'(a^+)$ y $f'(a^-)$ con la definición, usando en cada lado la expresión que corresponde al signo de $h$.

Error típico: pensar que «continua» implica «derivable». Solo es cierto al revés (Teorema 2.1). Mejor explicado en S §2.8 Ej. 5 y L §2.1 Ej. 6 (con $|x-2|$).

Ejercicio 2.18 — ¿derivables por los dos lados implica derivable? E p.62

Razona la veracidad o falsedad: si $f$ es derivable por la izquierda y por la derecha en $a$, entonces $f$ es derivable en $a$.

Para que exista $f'(a)$ hace falta que los laterales existan y coincidan (U Teorema 1.4, p. 47; criterio de U p. 81).
Contraejemplo: $f(x)=|x|$ en $a=0$. Por el 2.19, $f'(0^+)=1$ y $f'(0^-)=-1$ existen, pero $f$ no es derivable en $0$.

Respuesta: falsa.

Receta: para refutar un «si…, entonces…» basta un contraejemplo (U p. 16, margen). $|x|$ en $0$ es el contraejemplo estándar en derivabilidad.

Error típico: olvidar la condición «y coinciden».

Ejercicio 2.17 — laterales iguales implica continua E pp.61-62

Razona la veracidad o falsedad: si $f$ es derivable en $a$ por la izquierda y por la derecha, con $f'(a^-)=f'(a^+)$, entonces $f$ es continua en $a$.

Si las derivadas laterales existen y coinciden, $f$ es derivable en $a$ y $f'(a)=f'(a^\pm)$ (U p. 81).
Si $f$ es derivable en $a$, es continua en $a$ (Teorema 2.1, con la demostración del apartado 4).

Respuesta: verdadera.

Observación (la hipótesis de igualdad sobra). La conclusión es cierta aunque $f'(a^-)\neq f'(a^+)$. Si $h\to0^+$: $f(a+h)-f(a)=h\cdot\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\to0\cdot f'(a^+)=0$; si $h\to0^-$, igual con $f'(a^-)$. Los dos límites laterales de $f$ valen $f(a)$ y, por U Teorema 1.4 (p. 47), $f$ es continua en $a$. El ejemplo $|x|$: derivadas laterales distintas y aun así continua.

Receta: derivable (incluso solo lateralmente por ambos lados) $\Rightarrow$ continua. Para demostrarlo, multiplica y divide por $h$.

Error típico: creer que hace falta $f'(a^-)=f'(a^+)$ para la continuidad.

Ejercicio 2.20 — ¿cuál es derivable en 0? E pp.62-63

Señala la correcta: a) $f(x)=|x|$ es derivable en $0$; b) $g(x)=|x^3|$; c) $m(x)=|2\operatorname{sen}x|$; d) $j(x)=\sqrt{|x|}$ (todas «es derivable en $0$»).

a) Falsa, por el ejercicio 2.19.
b) Como $|h^3|=|h|^3$, $\dfrac{|h^3|-0}{h}=\dfrac{|h|^3}{h}=h|h|$, que vale $h^2$ si $h>0$ y $-h^2$ si $h<0$. Ambos tienden a $0$: $g'(0^+)=g'(0^-)=0$ y $g'(0)=0$. Cierta.
c) Para $0<|h|<\pi$ el signo de $\operatorname{sen}h$ es el de $h$. Entonces $m'(0^\pm)=\lim_{h\to0^\pm}\dfrac{\pm2\operatorname{sen}h}{h}=\pm2\lim_{h\to0}\dfrac{\operatorname{sen}h-\operatorname{sen}0}{h-0}=\pm2\operatorname{sen}'(0)=\pm2\cos0=\pm2$. El último límite es, por definición, la derivada del seno en $0$ (U Def. 2.1 y tabla, pp. 75, 79): no hace falta L'Hôpital. Como $2\neq-2$, c) es falsa.
d) Si $h>0$: $\frac{\sqrt h}{h}=\frac1{\sqrt h}\to+\infty$. Si $h<0$: $\frac{\sqrt{-h}}{h}=-\frac1{\sqrt{-h}}\to-\infty$. La definición exige límite finito (U Def. 2.1 y 2.3): no hay derivada: la gráfica tiene un pico (cúspide) en $0$, con laterales $-\infty$ y $+\infty$. d) es falsa.

Respuesta: b).

Receta: con $|\cdot|$ en el punto crítico, quita el valor absoluto según el signo de $h$ en cada lado. Si aparece $\frac{g(h)-g(0)}{h}$ con $g$ conocida, reconócelo como $g'(0)$.

Error típico: dar como derivada un límite infinito (d), o concluir que c) es derivable porque «$|2\operatorname{sen}x|$ es suave salvo en $0$» (justo el punto en el que se pregunta).

Ejercicio 2.23 — parámetros para que una función a trozos sea derivable E pp.65-66

Halla $a$ y $b$ para que sea derivable en todo $\mathbb R$: $f(x)=\begin{cases}2x+\operatorname{sen}x,&x\le0,\\ \operatorname{sen}(ax+b),&x>0.\end{cases}$ Opciones: a) $a=-3$, $b=0$; b) $a=3$, $b=1$; c) $a=0$, $b=-3$; d) $a=-3$, $b=-7\pi$.

Fuera de $0$ no hay problema: en $(-\infty,0)$ y en $(0,\infty)$, $f$ coincide con sumas y composiciones de funciones derivables (U p. 79). Solo hay que estudiar $x=0$.
Primero, continuidad en $0$ (necesaria por el Teorema 2.1). $f(0)=0$; $\lim_{x\to0^-}f=0$; $\lim_{x\to0^+}\operatorname{sen}(ax+b)=\operatorname{sen}b$ (U Prop. 1.14, p. 51). Hace falta $\operatorname{sen}b=0\iff b=k\pi$, $k\in\mathbb Z$. Esto descarta b) ($\operatorname{sen}1\neq0$) y c) ($3$ no es múltiplo de $\pi$). Quedan a) con $k=0$ y d) con $k=-7$.
Derivada por la izquierda: $f'(0^-)=\lim_{h\to0^-}\frac{2h+\operatorname{sen}h-0}{h}=2+\operatorname{sen}'(0)=2+1=3$.
Derivada por la derecha. Con $b=k\pi$, $f(0)=0=\operatorname{sen}(k\pi)$. Para $h>0$: $\frac{f(h)-f(0)}{h}=\frac{G(h)-G(0)}{h}$ con $G(x)=\operatorname{sen}(ax+k\pi)$, derivable en $\mathbb R$. Por la regla de la cadena, $f'(0^+)=G'(0)=a\cos(k\pi)=(-1)^ka$.
Igualamos (criterio de U p. 81): $(-1)^ka=3$. a) $k=0$: $a=-3$ da $-3\neq3$. Falla. d) $k=-7$: $(-1)^{-7}(-3)=3$. Cumple.
Comprobación: $\operatorname{sen}(-3x-7\pi)=\operatorname{sen}(3x)$ ($-7\pi$ es un múltiplo impar de $\pi$, lo que cambia el signo, y además $\operatorname{sen}(-3x)=-\operatorname{sen}3x$), y $(\operatorname{sen}3x)'(0)=3$ coincide con $f'(0^-)=3$.

Respuesta: d).

Receta (función a trozos con parámetros): (1) estudia solo los puntos de empalme; (2) impón continuidad: límites laterales iguales a $f(a)$; (3) impón $f'(a^-)=f'(a^+)$. Atajo: cada derivada lateral es la derivada de la fórmula de ese lado evaluada en $a$, pero solo después de comprobar que esa fórmula toma en $a$ el valor $f(a)$.

Error típico: saltarse la continuidad e igualar directamente las derivadas de las fórmulas. Con b) se «resolvería» $a\cos1=3$ aunque $f$ ni siquiera es continua.

Teoría aplicada

Ejercicio 2.14 — Bolzano con límites en los extremos E p.60

Sea $f:[0,1]\to\mathbb R$ derivable en $(0,1)$. Si $\big(\lim_{x\to0^+}f(x)\big)\big(\lim_{x\to1^-}f(x)\big)<0$, ¿tiene $f(x)=0$ al menos una solución en $[0,1]$? (Se sobrentiende que ambos límites existen.)

Continuidad. $f$ es derivable en cada punto de $(0,1)$, luego continua en $(0,1)$ (Teorema 2.1). No sabemos nada de $f(0)$ ni $f(1)$.
Signos cerca de los extremos. Sean $L_0=\lim_{0^+}f$ y $L_1=\lim_{1^-}f$. Como $L_0L_1<0$, tienen signos opuestos; supongamos $L_0<0<L_1$ (el otro caso es simétrico, o se aplica a $-f$). Por la conservación del signo (U Prop. 1.9, p. 44, con límites laterales, p. 47): existe $\delta_0>0$ con $f(x)<0$ en $(0,\delta_0)$, y existe $\delta_1>0$ con $f(x)>0$ en $(1-\delta_1,1)$.
Elegir $n$. Tomamos $n\in\mathbb N$ con $\frac1n<\min\{\delta_0,\delta_1,\frac12\}$. Entonces $\frac1n<1-\frac1n$, $f(\frac1n)<0$ y $f(1-\frac1n)>0$.
Bolzano. $f$ es continua en $[\frac1n,1-\frac1n]\subset(0,1)$ y cambia de signo en los extremos: el teorema de Bolzano (U p. 52) da $c\in(\frac1n,1-\frac1n)$ con $f(c)=0$.

Respuesta: verdadera; de hecho la solución está en $(0,1)$. (U p. 52 enuncia literalmente esta versión de Bolzano con $\lim_{a^+}f\cdot\lim_{b^-}f<0$.) «Derivable» es más de lo necesario: basta la continuidad en $(0,1)$.

Receta: si la hipótesis de Bolzano viene con límites laterales, usa la conservación del signo para bajar a un intervalo cerrado interior $[\frac1n,1-\frac1n]$ y aplica allí Bolzano.

Error típico: aplicar Bolzano en $[0,1]$ con $f(0)$ y $f(1)$: no sabemos si $f$ es continua en $0$ y en $1$.

Ejercicio 2.21 — derivada de $|f|$ donde $f(a)\neq0$ E pp.63-64

Muestra que si $f$ es derivable en $a$ y $f(a)\neq0$, entonces $|f|$ es derivable en $a$.

Continuidad. $f$ es continua en $a$ (Teorema 2.1): $\lim_{h\to0}f(a+h)=f(a)$.
Caso $f(a)>0$. Por conservación del signo (U Prop. 1.9, p. 44) existe $\delta>0$ con $f(a+h)>0$ si $|h|<\delta$. Para esos $h$, $|f(a+h)|=f(a+h)$ y $|f(a)|=f(a)$ (U Def. 1.1), luego $\frac{|f(a+h)|-|f(a)|}{h}=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\to f'(a)$. El límite solo depende de los $h$ pequeños: $|f|'(a)=f'(a)$.
Caso $f(a)<0$. Igual, con $f(a+h)<0$ cerca: $|f(a+h)|=-f(a+h)$, el cociente es $-\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\to-f'(a)$.
Resumen: $|f|'(a)=\operatorname{sgn}(f(a))\,f'(a)=\dfrac{f(a)}{|f(a)|}f'(a)$, donde $\operatorname{sgn}(t)=1$ si $t>0$ y $-1$ si $t<0$.

Receta: donde $f(a)\neq0$, $|f|$ coincide cerca de $a$ con $f$ o con $-f$, y la derivada se hereda con ese signo.

Error típico: escribir $|f|'=|f'|$. Contraejemplo: $f(x)=x-2$ en $a=1$: $|f|'(1)=-1$ mientras que $|f'(1)|=1$. (En el .txt aparece «$f(a)=0$»; el PDF dice $f(a)\neq0$: fallo de extracción.)

Ejercicio 2.22 — cuándo $|f|$ es derivable E pp.64-65

Sea $f$ derivable en $a$. Señala la correcta: a) $|f|$ siempre es derivable en $a$; b) si $f'(a)>0$, $|f|$ es derivable en $a$ y $|f|'(a)>0$; c) si $f'(a)=0$, $|f|$ es derivable en $a$ y $|f|'(a)=0$; d) si $f'(a)\neq0$, $|f|$ es derivable en $a$ y $|f|'(a)\neq0$.

a), b) y d) son falsas. Contraejemplo común: $f(x)=x$, $a=0$. Es derivable con $f'(0)=1>0$ y $f'(0)\neq0$, pero $|f|=|x|$ no es derivable en $0$ (ej. 2.19).
c) es cierta. Queremos $\lim_{x\to a}\frac{|f(x)|-|f(a)|}{x-a}=0$. Como $g\to0\iff|g|\to0$, basta ver que $\left|\frac{|f(x)|-|f(a)|}{x-a}\right|\to0$.
Cota. Por $\big||u|-|v|\big|\le|u-v|$ (U Teorema 1.1, p. 16): $0\le\left|\frac{|f(x)|-|f(a)|}{x-a}\right|\le\left|\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\right|$.
Límite de la cota. $\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\to f'(a)=0$, luego su valor absoluto también tiende a $0$.
Emparedado (U p. 45): el término central tiende a $0$, así que $|f|'(a)=0$. Vale sea cual sea $f(a)$; si $f(a)\neq0$, ya lo daba el ej. 2.21 ($|f|'(a)=\pm f'(a)=0$).

Respuesta: c).

Cuadro completo para $f$ derivable en $a$ (con $\operatorname{sgn}(t)=1$ si $t>0$, $-1$ si $t<0$):

Caso	¿$\|f\|$ derivable en $a$?	$\|f\|'(a)$
$f(a)\neq0$	Sí (2.21)	$\operatorname{sgn}(f(a))\,f'(a)$
$f(a)=0$ y $f'(a)=0$	Sí (2.22 c)	$0$
$f(a)=0$ y $f'(a)\neq0$	No	laterales $\pm\|f'(a)\|$

El último caso se ve así: $\frac{|f(a+h)|}{h}=\operatorname{sgn}(h)\left|\frac{f(a+h)}{h}\right|$, y $\left|\frac{f(a+h)}{h}\right|\to|f'(a)|$.

Receta: $|f|$ es derivable en $a$ si y solo si $f(a)\neq0$ o $f'(a)=0$. Para demostraciones con $|\cdot|$, combina $\big||u|-|v|\big|\le|u-v|$ con el emparedado.

Error típico: pensar que $f'(a)>0$ «arregla» la esquina. Es al revés: si $f(a)=0$, una pendiente no nula crea la esquina. (Errata de E: en la fórmula final el denominador debe ser $x-a$, no $x$.)

Ejemplos propios (de fácil a difícil)

Ejemplo propio 1 (fácil) — derivar $\sqrt x$ por definición; tangente y normal P

Calcula $f'(4)$ para $f(x)=\sqrt x$ con la definición, y halla la tangente y la normal en $(4,2)$.

Por la Def. 2.1: $f'(4)=\lim_{h\to0}\frac{\sqrt{4+h}-2}{h}$, del tipo $0/0$. Multiplicamos por el conjugado: $\dfrac{(4+h)-4}{h(\sqrt{4+h}+2)}=\dfrac1{\sqrt{4+h}+2}\xrightarrow[h\to0]{}\dfrac14$.
Tangente: $y=2+\frac14(x-4)=\frac x4+1$.
Normal: pendiente $-4$; $x-4=-\frac14(y-2)$, es decir, $y=-4x+18$.

Receta: cociente con raíces en el numerador $\Rightarrow$ multiplica y divide por el conjugado para que $h$ se cancele.

Ejemplo propio 2 (medio) — función a trozos con parámetros P

Halla $a,b$ para que $f(x)=\begin{cases}ax^2+bx,&x\le1,\\ \ln x,&x>1\end{cases}$ sea derivable en $\mathbb R$.

Fuera de $x=1$ es derivable (U p. 79; $\ln x$ lo es en $x>0$). Solo estudiamos $x=1$.
Continuidad: $f(1)=a+b$ y $\lim_{x\to1^+}\ln x=0$: $a+b=0$.
$f'(1^-)=\lim_{h\to0^-}\frac{a(1+h)^2+b(1+h)-(a+b)}{h}=\lim_{h\to0^-}(2a+b+ah)=2a+b$.
$f'(1^+)=\lim_{h\to0^+}\frac{\ln(1+h)-\ln1}{h}=\ln'(1)=1$ (válido porque $\ln1=0=f(1)$ una vez impuesta la continuidad).
Sistema $a+b=0$, $2a+b=1$: $a=1$, $b=-1$.

Receta: continuidad primero, después igualar derivadas laterales; resuelve el sistema de dos ecuaciones.

Ejemplo propio 3 (difícil) — ¿dónde son derivables $|x^3-x|$ y $|x^3-x^2|$? P

Estudia la derivabilidad de $F(x)=|x^3-x|$ y $G(x)=|x^3-x^2|$.

$F$. Sea $f(x)=x^3-x$, con ceros en $-1,0,1$ y $f'(x)=3x^2-1$. Fuera de los ceros, $F$ es derivable (2.21). En los ceros, $f'(\pm1)=2\neq0$ y $f'(0)=-1\neq0$: por el cuadro de 2.22, $F$ no es derivable en $-1,0,1$. Las derivadas laterales en cada cero $c$ son $F'(c^\pm)=\pm|f'(c)|$: $\pm2$ en $\pm1$ y $\pm1$ en $0$.
$G$. Sea $g(x)=x^3-x^2=x^2(x-1)$, con ceros en $0$ y $1$ y $g'(x)=3x^2-2x$. Como $g'(0)=0$, por 2.22 c) $G$ es derivable en $0$ con $G'(0)=0$. Como $g'(1)=1\neq0$, $G$ no es derivable en $1$, con laterales $\pm1$.

Respuesta: $F$ es derivable en $\mathbb R\setminus\{-1,0,1\}$; $G$ es derivable en $\mathbb R\setminus\{1\}$.

Receta: para $|f|$, busca los ceros de $f$; solo ahí puede haber problema, y allí $|f|$ es derivable $\iff f'(a)=0$ (los ceros dobles de un polinomio se «suavizan»; los simples dejan esquina).

Los métodos del tema, en resumen P

Derivar por definición: cociente incremental, simplificar hasta cancelar $h$, límite. (Ej. 2.2 de U, propio 1)
Velocidad media vs instantánea: media = cociente entre dos puntos; instantánea = derivada. (Ej. 2.2)
Tangente con pendiente dada: resolver $f'(x)=m$, con $m=\tan\theta$ si te dan un ángulo, y sustituir en $f$. (Ej. 2.7, 2.8)
Tangente y normal en un punto: $y=f(a)+f'(a)(x-a)$; normal con vector director $(-f'(a),1)$. Perpendicularidad: producto escalar $0$. (Ej. 2.6, 2.9)
Derivabilidad en un punto conflictivo: quita el valor absoluto o cambia de fórmula según el signo de $h$; calcula $f'(a^+)$ y $f'(a^-)$; deben existir, ser finitas e iguales. (Ej. 2.19, 2.20)
Funciones a trozos con parámetros: continuidad y luego igualdad de derivadas laterales. (Ej. 2.23, propio 2)
Refutar con un contraejemplo ($|x|$ en $0$ casi siempre). (Ej. 2.18, 2.22)
Derivable $\Rightarrow$ continua (multiplicar y dividir por $h$); contrarrecíproco para descartar derivabilidad. (Ej. 2.14, 2.17, 2.23)
Valor absoluto de una función derivable: $|f|$ es derivable en $a$ si y solo si $f(a)\neq0$ o $f'(a)=0$. (Ej. 2.21, 2.22, propio 3)

8Así lo preguntan en el examen X pp.14-106

Estos son los tipos reales que caen de este tema en los exámenes de la UNED (fuente X, Exámenes resueltos de Cálculo; las páginas citadas son las del PDF). La dificultad es la de los ejercicios de E, con un matiz: en el examen casi siempre hay que derivar por definición en un punto conflictivo (valor absoluto, trozos, oscilación) o plantear un parámetro. Van de fácil a difícil y todos están resueltos y verificados con sympy; donde la solución impresa tiene una errata se avisa.

Examen 1 — tangente a $\ln x$ en $(e,1)$ y corte con el eje $Y$ X p.106

Calcule el punto en el que la recta tangente en $(e,1)$ a la gráfica de $f(x)=\ln x$ corta al eje $Y$.

La idea en una frase

Una recta se escribe con un punto y una pendiente; aquí el punto es $(e,1)$ y la pendiente es la derivada en $e$. Con la recta hecha, se sustituye $x=0$.

Pendiente. La pendiente de la tangente es $f'(e)$ (U p. 75). Como $(\ln x)'=\frac1x$ (U p. 79), $f'(e)=\frac1e$.
Recta. Se usa la fórmula de la tangente (U p. 87): $y=f(e)+f'(e)(x-e)=1+\frac1e(x-e)$.
Corte con el eje $Y$. Ese eje es $x=0$: $y=1+\frac1e(0-e)=1-1=0$.

Respuesta: el punto $(0,0)$.

Receta: tangente en $a$: $y=f(a)+f'(a)(x-a)$. Eje $Y$: pon $x=0$. Eje $X$: pon $y=0$.

Error típico: olvidar el $f(a)$ inicial: saldría $(0,-1)$, que es incorrecto.

Examen 2 — ¿laterales iguales implican continuidad? (V/F) X p.77

Razone si es verdadera o falsa: si $f$ es derivable en $a$ por la derecha y por la izquierda, con $f'(a^+)=f'(a^-)$, entonces la función es continua.

La idea en una frase

Si las dos derivadas laterales dan el mismo número, la función es derivable en ese punto; y toda función derivable en un punto es continua en él. Son dos teoremas encadenados.

Laterales iguales: derivable. Un límite existe cuando los dos laterales existen y coinciden (U Teorema 1.4, p. 47). Aplicado al cociente $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$, $f$ es derivable en $a$ (U Def. 2.1, p. 75).
Derivable: continua en $a$ (U Teorema 2.1, p. 76).
Alcance. Solo se asegura continuidad en $a$, no en todos los puntos.

Respuesta: verdadera (continua en el punto $a$).

Lo que escribes en el examen

Por hipótesis existen $f'(a^+)$ y $f'(a^-)$ y son iguales; luego existe $f'(a)$ (Teorema 1.4 y Def. 2.1). Como toda función derivable en $a$ es continua en $a$ (Teorema 2.1), $f$ es continua en $a$. Verdadera.

Receta: laterales iguales $\Rightarrow$ derivable $\Rightarrow$ continua en ese punto.

Avisos

El enunciado no dice «en qué punto» es continua; se entiende en $a$.
No confundir con E 2.18: «derivable por los dos lados $\Rightarrow$ derivable» es falsa (hace falta que coincidan).

Examen 3 — ¿es derivable en $0$ la función $f(x)=|x^2\operatorname{sen}x|$? X p.22

¿Es derivable en $x=0$ la función $f(x)=|x^2\operatorname{sen}x|$? Justifique la respuesta.

La idea en una frase

En $x=0$ la función vale $0$ y el valor absoluto puede crear una «esquina», así que no se usan reglas: se calcula la derivada con la definición (el cociente incremental) y se mira si tiende a un número.

Valor en el punto: $f(0)=0$.
Cociente incremental (U Def. 2.1, p. 75): $\dfrac{f(h)-f(0)}{h}=\dfrac{|h^2\operatorname{sen}h|}{h}$.
Simplificar. $h^2$ es siempre positivo, así que sale del valor absoluto: queda $\dfrac{h^2\,|\operatorname{sen}h|}{h}=h\,|\operatorname{sen}h|$.
Límite. $|\operatorname{sen}h|$ nunca pasa de $1$, así que $\big|h\,|\operatorname{sen}h|\big|\le|h|$, que tiende a $0$. Por el emparedado (U p. 45), el límite es $0$.

Respuesta: sí es derivable en $0$, con $f'(0)=0$.

Lo que escribes en el examen

$\dfrac{f(h)-f(0)}{h}=h\,|\operatorname{sen}h|$ y $0\le h\,|\operatorname{sen}h|\le|h|\to0$ (emparedado). Luego $f'(0)=0$ y $f$ es derivable en $0$.

¿Por qué no hay esquina como en $|x|$? Porque el factor $x^2$ aplasta la gráfica contra el eje $X$ cerca de $0$.

Receta: para $|g|$ donde $g(a)=0$, escribe el cociente $\frac{|g(a+h)|}{h}$, saca del valor absoluto lo que es siempre positivo y mira si queda algo que tiende a $0$ (acotado por algo que tiende a $0$). Si el resultado depende del signo de $h$, calcula las dos derivadas laterales.

Erratas en las variantes

X p.69: el paso $\frac{|h^2|\,|e^h-1|}{h}=|h|\,|e^h-1|$ es incorrecto; debe ser $h\,|e^h-1|$. El resultado es correcto.
X p.93: dice «$x^2e^x>0$ siempre»; en $0$ vale $0$ (es $\ge0$). La conclusión (derivable, $f'(0)=0$) es correcta.

Examen 4 — $f(x)=\dfrac{a\,e^x}{2+x}$ con $f(-2)=0$: continuidad y pendiente dada X p.41

Para $a\in\mathbb R$, sea $f(x)=\dfrac{a\,e^x}{2+x}$ si $x\neq-2$ y $f(-2)=0$. a) ¿Es continua si $x\neq-2$? b) ¿Se puede encontrar $a$ para que $f$ sea continua en $x=-2$? c) Hallar $a$ para que la pendiente de la recta tangente a su gráfica sea $1$ en $x=0$. Razone las respuestas.

La idea en una frase

Cada apartado es una pregunta distinta: a) es mirar que no se anule el denominador; b) es que el límite en $-2$ valga $0$; c) es «pendiente $=1$» traducido a $f'(0)=1$.

a) Para $x\neq-2$, $f$ es un cociente de funciones continuas ($ae^x$ y $2+x$) y el denominador no es $0$: sí es continua.
b) Continua en $-2$ significa que $\lim_{x\to-2}f(x)=f(-2)=0$ (U Def. 1.20, p. 51). Dos casos:
- Si $a=0$, $f$ es la función $0$: continua.
- Si $a\neq0$, el numerador se acerca a $ae^{-2}\neq0$ y el denominador a $0$: la fracción se hace enorme (con signos opuestos a cada lado de $-2$), el límite no existe y no es $0$.
Solo $a=0$.
c) Derivada. Por la regla del cociente (U Prop. 2.1, p. 79): $f'(x)=\dfrac{ae^x(2+x)-ae^x}{(2+x)^2}=\dfrac{a(1+x)e^x}{(2+x)^2}$.
c) Pendiente $1$. La pendiente en $x=0$ es $f'(0)=\frac a4$ (U p. 75). Se pide $\frac a4=1$: $a=4$.

Lo que escribes en el examen

a) Cociente de continuas con denominador $\neq0$: continua. b) Si $a\neq0$ el numerador tiende a $ae^{-2}\neq0$ y el denominador a $0$, luego el límite es infinito y no existe: solo $a=0$. c) $f'(0)=\frac a4=1$, $a=4$.

Receta: si $f$ tiene un valor suelto en un punto, continua significa «límite de la fórmula $=$ ese valor». «Pendiente $m$ en $x_0$» significa $f'(x_0)=m$.

Errata en la solución impresa (apartado b)

Aplica L'Hôpital, pero no hay indeterminación $0/0$ (el numerador no tiende a $0$) y además deriva mal el denominador. No la copies: el límite no existe y la conclusión «solo $a=0$» es correcta.

Examen 5 — $a$ y $b$ para que una función a trozos sea continua y derivable X pp.35-36

Sea $f(x)=bx+2$ si $x<0$ y $f(x)=a\cos x$ si $x\ge0$. Hallar $a$ y $b$ para que sea continua y derivable, si existen; si no existen, demostrarlo.

La idea en una frase

Los dos trozos deben empalmar en $x=0$ (misma altura) y además con la misma pendiente. Son dos ecuaciones y dos incógnitas: la primera da $a$ y la segunda da $b$.

Dónde mirar. Fuera de $0$ cada trozo es una función derivable. Solo hay que estudiar $x=0$.
Misma altura (continuidad). Por la derecha el valor es $a\cos0=a$; por la izquierda, $b\cdot0+2=2$. Para que coincidan, $a=2$ (U Def. 1.20 p. 51).
Pendiente por la derecha (U Def. 2.3, p. 81): es la derivada de $2\cos x$ en $0$, es decir, $-2\operatorname{sen}0=0$.
Pendiente por la izquierda: el trozo $bx+2$ es una recta de pendiente $b$.
Misma pendiente: $b=0$.

Respuesta: $a=2$, $b=0$.

Lo que escribes en el examen

Continuidad en $0$: $a=2$. Entonces $f'(0^+)=-2\operatorname{sen}0=0$ y $f'(0^-)=b$. Derivable $\iff f'(0^+)=f'(0^-)$, luego $b=0$. Resultado: $a=2$, $b=0$.

Receta: (1) iguala los valores en el punto de unión; (2) iguala las pendientes de los dos trozos en ese punto. Primero continuidad: sin ella no hay derivabilidad.

Aviso sobre la solución impresa

Usa L'Hôpital (U §2.3, que es posterior a este tema) para la pendiente de la derecha. No hace falta: es la derivada de $\cos$ en $0$. El resultado es el mismo.

Examen 6 — $f(x)=x^n\operatorname{sen}\frac1x$, $f(0)=0$: continuidad y derivabilidad X p.14

Sea $f(x)=x^n\operatorname{sen}\dfrac1x$ si $x\neq0$ y $f(0)=0$. (a) Estudie si es continua en $\mathbb R$ para $n\ge1$. (b) Estudie si es derivable en $\mathbb R$ si $n=1$.

La idea en una frase

El seno de $\frac1x$ oscila sin parar entre $-1$ y $1$ cerca de $0$. Si va multiplicado por algo que tiende a $0$, queda aplastado; si no, sigue oscilando y no hay límite.

Puntos $x\neq0$. $f$ se forma con productos y composiciones de funciones conocidas: es continua y derivable (U Prop. 2.1 y regla de la cadena, p. 79).
(a) Continuidad en $0$. Como $|\operatorname{sen}\frac1x|\le1$, se tiene $|f(x)|\le|x|^n$, que tiende a $0$ si $n\ge1$. Por el emparedado (U p. 45), $\lim_{x\to0}f=0=f(0)$. Es continua en $\mathbb R$ para todo $n\ge1$.
(b) Derivada en $0$ con $n=1$ (definición): $\dfrac{f(h)-f(0)}{h}=\dfrac{h\operatorname{sen}\frac1h}{h}=\operatorname{sen}\dfrac1h$.
Ese límite no existe. Hay valores de $h$ tan pequeños como se quiera con $\operatorname{sen}\frac1h=1$ (los $h=\frac1{\pi/2+2k\pi}$) y otros con $\operatorname{sen}\frac1h=-1$ (los $h=\frac1{3\pi/2+2k\pi}$). Un límite no puede valer a la vez $1$ y $-1$ (U Ej. 1.44, p. 44).
Conclusión. Para $n=1$, $f$ es continua en $\mathbb R$, derivable en $x\neq0$ y no derivable en $0$ (como U Ej. 2.5, p. 77).

Lo que escribes en el examen

(a) $|f(x)|\le|x|^n\to0=f(0)$: continua. (b) $\frac{f(h)-f(0)}{h}=\operatorname{sen}\frac1h$ oscila entre $-1$ y $1$ al acercarse $h$ a $0$ y no tiene límite: no es derivable en $0$.

Comparación (no se pide). Con $n\ge2$ el cociente es $h^{n-1}\operatorname{sen}\frac1h$, que sí tiende a $0$: derivable en $0$ con $f'(0)=0$ (U Ej. 2.4, p. 76).

Receta: donde la fórmula no se puede evaluar, usa la definición. Si el cociente queda (algo que tiende a $0$)$\times$(algo acotado), el límite es $0$. Si queda $\operatorname{sen}\frac1h$ solo, no existe.

Aviso sobre la solución impresa

Dice que el límite «no existe» sin justificarlo (falta el paso 4). El resultado es correcto.

Tipos que también caen y no están en el PDF P

Derivar por definición una función concreta sin valor absoluto ni trozos ($\sqrt x$ o $\frac1x$ en un punto, con el conjugado o el común denominador): véase U Ej. 2.2 y el ejemplo propio 1.
Recta normal: no aparece en los exámenes indexados (solo tangentes).
Tangente vertical ($\sqrt[3]{x}$ en $0$) y esquina sin parámetros ($|x-2|$, $|\operatorname{sen}x|$): sin pregunta específica; lo más cercano es el Examen 3.
Velocidad media / instantánea (como E 2.2): no aparece en X.
Tangente con un ángulo o perpendicular a un vector (E 2.8, 2.9): solo X p.113 (45°) y X p.4 y p.56 (tangente horizontal), del mismo tipo que E 2.7-2.8.

9Chuleta y lista de comprobación

Chuleta

Concepto	Qué recordar
Derivada en $a$	$f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$, existe y es finito. Es un número.
Significados	Velocidad instantánea = límite de velocidades medias; pendiente de la tangente = límite de pendientes de secantes.
Tangente	$y=f(a)+f'(a)(x-a)$. Horizontal $\iff f'(a)=0$. Ángulo $\theta$ $\Rightarrow$ $m=\tan\theta$.
Normal	$x-a=-f'(a)(y-f(a))$; pendiente $-1/f'(a)$ si $f'(a)\neq0$; vertical $x=a$ si $f'(a)=0$.
Teorema 2.1	Derivable en $a$ $\Rightarrow$ continua en $a$. No al revés ($\|x\|$ en $0$). No continua $\Rightarrow$ no derivable.
Laterales	$f'(a^\pm)=\lim_{h\to0^\pm}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$. Derivable $\iff$ existen, son finitas y coinciden (si $a$ es interior a $D$; en un extremo de $D$ solo cuenta el lado que existe).
Cómo falla	Esquina (laterales distintas), discontinuidad, tangente vertical (cociente $\to\pm\infty$), oscilación (sin límite).
Función derivada	$f':A\to\mathbb R$, con $A$ el conjunto donde $f$ es derivable.
Tabla básica	$c'=0$; $(x^c)'=cx^{c-1}$; $(e^x)'=e^x$; $(\ln x)'=\frac1x$; $\operatorname{sen}'=\cos$; $\cos'=-\operatorname{sen}$; $(a^x)'=a^x\ln a$.
$\|f\|$ con $f$ derivable	$f(a)\neq0$: $\|f\|'(a)=\operatorname{sgn}(f(a))f'(a)$ ($\operatorname{sgn}t=\pm1$ según el signo de $t$). $f(a)=0$: derivable $\iff f'(a)=0$ (entonces vale $0$).
Bolzano con límites	$f$ continua en $(a,b)$ y $\lim_{a^+}f\cdot\lim_{b^-}f<0$ $\Rightarrow$ hay un cero en $(a,b)$.

Errores frecuentes

Confundir $f'(a)$ (número), $f'$ (función) y la tangente (recta).
Creer que continua $\Rightarrow$ derivable, o que «existen las dos laterales» $\Rightarrow$ derivable (hace falta que coincidan).
Olvidar el $+f(a)$ en la ecuación de la tangente; usar $-1/f'(a)$ para la normal cuando $f'(a)=0$.
Igualar $f'(x)$ al ángulo en lugar de a su tangente.
Sustituir en $f'$ para obtener la ordenada del punto de tangencia.
Escribir $|f|'=|f'|$; o pensar que $f'(a)\neq0$ garantiza que $|f|$ es derivable en un cero de $f$.
En funciones a trozos: igualar derivadas de las fórmulas sin imponer antes la continuidad.
Dar como derivada un límite infinito (tangente vertical no es derivada).

Lista de comprobación: «sé hacer…»

Explicar con palabras la diferencia entre velocidad media e instantánea, y entre secante y tangente.
Enunciar la definición de derivada (con «existe y es finito») y calcular la derivada por definición de funciones sencillas.
Escribir la tangente y la normal a una gráfica en un punto, incluido el caso de tangente horizontal.
Hallar los puntos con tangente de pendiente dada (o con un ángulo o dirección dados).
Calcular derivadas laterales y decidir la derivabilidad en un punto donde cambia la fórmula o aparece $|\cdot|$.
Enunciar y demostrar «derivable $\Rightarrow$ continua», y usar su contrarrecíproco.
Reconocer y ejemplificar las cuatro formas de no ser derivable (esquina, salto, tangente vertical, oscilación).
Hallar parámetros para que una función a trozos sea derivable (continuidad + laterales).
Decidir cuándo $|f|$ es derivable en un punto y cuál es su derivada.

10Fuentes de este tema

Mostrar lista de fuentes

Lista automática de todas las etiquetas usadas (libro y página impresa). Recuerda: U = Cálculo para Ingenieros (pág. impresa = PDF + 2), E = libro de ejercicios (impresa = PDF), S = Stewart (§2.7, §2.8 y §3.1), L = Larson (§2.1, pág. impresa = PDF − 17), X = Exámenes resueltos de Cálculo (páginas del PDF), P = explicación propia. Dónde está cada cosa en U: derivada y velocidad (§2.1.2, pp. 74-76), derivable ⇒ continua (p. 76), función derivada (§2.1.3, p. 78), derivadas laterales (§2.2, p. 81) y ecuación de la tangente (§2.4.2, p. 87).