Reglas de derivación

Calcula las derivadas de las funciones dadas por $f(x)=\operatorname{sen}x\cos x$ y $g(x)=\sec x$.

Parte $f$.

1. Estructura. $f$ es el producto de $u=\operatorname{sen}x$ y $v=\cos x$, derivables en todo $\mathbb R$: $u'=\cos x$, $v'=-\operatorname{sen}x$ (tabla, U p.79).
2. Regla del producto (U Prop. 2.1): $f'(x)=\cos x\cos x+\operatorname{sen}x(-\operatorname{sen}x)=\cos^2x-\operatorname{sen}^2x$.
3. Comprobación por otro camino. $\operatorname{sen}2x=2\operatorname{sen}x\cos x$, luego $f=\tfrac12\operatorname{sen}2x$ y por la cadena $f'(x)=\tfrac12\cos(2x)\cdot2=\cos2x$.
4. Ambas respuestas coinciden: $\cos2x=\cos^2x-\operatorname{sen}^2x$. Dos caminos correctos dan la misma función aunque con distinto aspecto.

Parte $g$.

1. Reescribir: $\sec x=\dfrac1{\cos x}$, con dominio $x\neq\frac\pi2+k\pi$, $k\in\mathbb Z$.
2. Cociente (exige denominador $\neq0$, justo el dominio): $g'(x)=\dfrac{0\cdot\cos x-1\cdot(-\operatorname{sen}x)}{\cos^2x}=\dfrac{\operatorname{sen}x}{\cos^2x}=\sec x\operatorname{tg}x$.
3. Otro camino (cadena): $g=(\cos x)^{-1}$, $g'=(-1)(\cos x)^{-2}(-\operatorname{sen}x)=\sec x\operatorname{tg}x$.
4. $g'$ existe en todo el dominio de $g$.

Resultado: $f'(x)=\cos^2x-\operatorname{sen}^2x=\cos2x$; $\ g'(x)=\sec x\operatorname{tg}x$ para $x\neq\frac\pi2+k\pi$.

Error típico: creer que $(uv)'=u'v'$ (daría $-\cos x\operatorname{sen}x$, falso), o tomar por distintas dos respuestas equivalentes.

Nota sobre E: el libro escribe «¡Oh! Hemos llegado a resultados distintos?» (falta el signo de apertura); no hay error matemático.

Calcula la derivada de la función dada por $h(x)=\operatorname{sen}\big((1+\cos x)^2\big)$.

1. Capas (de dentro hacia fuera): $u=1+\cos x\to v=u^2\to F=\operatorname{sen}v$. Todas derivables en $\mathbb R$; $h$ también.
2. Capa exterior (U p.79): $h'(x)=\cos\big((1+\cos x)^2\big)\cdot\big[(1+\cos x)^2\big]'$.
3. Capa intermedia (fila $u^c$, $c=2$, U p.80): $\big[(1+\cos x)^2\big]'=2(1+\cos x)\cdot(1+\cos x)'$.
4. Capa interior: $(1+\cos x)'=0-\operatorname{sen}x=-\operatorname{sen}x$.
5. Juntar: $$h'(x)=-2\operatorname{sen}x\,(1+\cos x)\cos\big((1+\cos x)^2\big).$$

Error típico: derivar dos capas de golpe y perder un factor (p. ej. el $-\operatorname{sen}x$), o cambiar el argumento del coseno.

Calcula la derivada de la función dada por $f(x)=\operatorname{sen}\!\big(e^{x^2}+(x+1)\ln x^2\big)$.

1. Dominio. $\operatorname{sen}$ y $e^t$ existen en todo $\mathbb R$; $\ln t$ exige $t>0$, aquí $t=x^2>0\iff x\neq0$. $\operatorname{dom}f=\mathbb R\setminus\{0\}$.
2. Capa exterior. $f=\operatorname{sen}\circ G$ con $G(x)=e^{x^2}+(x+1)\ln x^2$: $f'(x)=\cos(G(x))\cdot G'(x)$.
3. Derivar $G$ sumando a sumando:
   • $\big(e^{x^2}\big)'=2x\,e^{x^2}$ (fila $e^{u}$).
   • $\big((x+1)\ln x^2\big)'$ es un producto: $1\cdot\ln x^2+(x+1)(\ln x^2)'$.
   • $(\ln x^2)'=\dfrac1{x^2}\cdot2x=\dfrac2x$ (fila $\ln u$), válido para $x>0$ y para $x<0$.
   • Luego $\big((x+1)\ln x^2\big)'=\ln x^2+\dfrac{2(x+1)}x=\ln x^2+2+\dfrac2x$.
4. Resultado ($x\neq0$): $$f'(x)=\cos\!\big(e^{x^2}+(x+1)\ln x^2\big)\Big(2xe^{x^2}+\ln x^2+2+\frac2x\Big).$$
5. Dominio de $f'$: en todo $x\neq0$ se han cumplido las hipótesis de cada regla: $\operatorname{dom}f'=\mathbb R\setminus\{0\}=\operatorname{dom}f$.

Error típico: simplificar $\ln x^2=2\ln x$: sólo vale para $x>0$; lo correcto es $2\ln|x|$. Derivar como $\ln u(x)$, como aquí, evita el problema.

Compare el dominio de las funciones dadas por $f(x)=\sqrt{2+\sqrt[3]{x}}$ y $g(x)=e^{\frac{x}{x+1}}$ con el de las funciones que se obtienen al aplicar las reglas de derivación a $f(x)$ y $g(x)$. Represente gráficamente $f$ y $g$ utilizando Maxima.

Función $f$.

1. Dominio de $f$. $\sqrt[3]x$ existe para todo $x\in\mathbb R$ (raíz de índice impar). La raíz cuadrada exige $2+\sqrt[3]x\ge0\iff\sqrt[3]x\ge-2\iff x\ge-8$ (el último paso es válido porque $t\mapsto t^3$ es estrictamente creciente). $\operatorname{dom}f=[-8,+\infty)$.
2. Derivada de $\sqrt[3]x$. Para $x>0$ es $x^{1/3}$ y da $\frac13x^{-2/3}=\dfrac1{3\sqrt[3]{x^2}}$. Para $x<0$, $\sqrt[3]x=-(-x)^{1/3}$ y por la cadena sale la misma expresión. En $x=0$ no existe la fórmula: con la definición, $\dfrac{\sqrt[3]h-0}{h}=h^{-2/3}\to+\infty$, no es finito, $\sqrt[3]{\cdot}$ no es derivable en $0$.
3. Cadena (con $(\sqrt t)'=\frac1{2\sqrt t}$, válida para $t>0$): $$f'(x)=\frac1{2\sqrt{2+\sqrt[3]x}}\cdot\frac1{3\sqrt[3]{x^2}}=\frac1{6\sqrt{2+\sqrt[3]x}\,\sqrt[3]{x^2}},$$ válida si $x>-8$ y $x\neq0$.
4. Los puntos dudosos, con la definición. Que la fórmula no exista no prueba por sí solo que $f$ no sea derivable (apartado 10). En $x=0$: $\dfrac{f(h)-f(0)}h=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt[3]h}-\sqrt2}h\to+\infty$ (tangente vertical). En $x=-8$ (sólo por la derecha): $\dfrac{\sqrt{2+\sqrt[3]{-8+h}}}h\to+\infty$ si $h\to0^+$. En ambos, no derivable.
5. Conclusión: $\operatorname{dom}f'=(-8,0)\cup(0,+\infty)\subsetneq\operatorname{dom}f=[-8,+\infty)$.

Función $g$.

1. $\operatorname{dom}g=\mathbb R\setminus\{-1\}$ (el exponente exige $x\neq-1$).
2. Cadena con $e^{u}$ y cociente: $g'(x)=e^{\frac x{x+1}}\cdot\dfrac{1\cdot(x+1)-x\cdot1}{(x+1)^2}=\dfrac{e^{\frac x{x+1}}}{(x+1)^2}$.
3. Las reglas valen en todo $x\neq-1$: $\operatorname{dom}g'=\operatorname{dom}g=\mathbb R\setminus\{-1\}$.
4. Maxima. Con plot2d(sqrt(2+x^(1/3)),[x,-8,20]) Maxima toma $x^{1/3}$ como complejo para $x<0$ y no dibuja esa parte; usa la raíz real signum(x)*abs(x)^(1/3). Para $g$: plot2d(exp(x/(x+1)),[x,-5,5],[y,0,10]).

Error típico: dar como dominio de $f'$ «donde tiene sentido la fórmula», o incluir $x=-8$ porque «está en el dominio de $f$».

Omisión de E: el libro deduce $\operatorname{dom}f'$ sólo mirando dónde se anula el denominador de la fórmula. El resultado es correcto pero el argumento es incompleto: hay que estudiar $x=0$ y $x=-8$ con la definición.

Señale la derivada de la función dada por $h(x)=\operatorname{cotg}x^3$: a) $h'(x)=\dfrac{-3x^2}{\operatorname{sen}^2x^3}$; b) $h'(x)=\dfrac{-1}{\operatorname{sen}^2x^3}$; c) $h'(x)=\dfrac{3x^2}{\operatorname{sen}x}$.

1. Leer bien. $\operatorname{cotg}x^3=\operatorname{cotg}(x^3)$: composición $h=F\circ u$ con $u=x^3$, $F=\operatorname{cotg}$.
2. Exterior. $(\operatorname{cotg}t)'=\dfrac{-1}{\operatorname{sen}^2t}$ (apartado 7, cociente con $\operatorname{cotg}t=\frac{\cos t}{\operatorname{sen}t}$).
3. Interior. $u'=3x^2$.
4. Cadena: $h'(x)=\dfrac{-1}{\operatorname{sen}^2(x^3)}\cdot3x^2=\dfrac{-3x^2}{\operatorname{sen}^2x^3}$, válida donde $\operatorname{sen}(x^3)\neq0$.
5. Descartar. b) olvida $u'=3x^2$; c) tiene signo y denominador incorrectos. Correcta: a).

Error típico: la opción b), olvidar el factor $u'(x)$.

De la función $g$ se sabe que es derivable en todo $\mathbb R$ y además verifica $g'(2)=3$. Calcula el valor de $f'(1)$ para la función $f$ dada por $f(x)=g(2x^a)$, en función del parámetro $a\in[1,\infty)$.

1. Idea. No conocemos $g$, pero la cadena sólo necesita $g'$ en un punto concreto: el valor de la función interior en $x=1$.
2. Interior. $u(x)=2x^a$. Cerca de $x=1$ es $x>0$, y ahí $x^a$ es derivable con $(x^a)'=a x^{a-1}$ para cualquier $a$ real. Luego $u'(x)=2ax^{a-1}$ y $u(1)=2$.
3. Hipótesis de la cadena: $u$ derivable en $1$ y $g$ derivable en $u(1)=2$ (cierto, $g$ es derivable en todo $\mathbb R$). Entonces $$f'(1)=g'(u(1))\,u'(1)=g'(2)\cdot2a\cdot1^{a-1}=3\cdot2a=6a.$$

Resultado: $f'(1)=6a$.

Error típico: escribir $f'(1)=g'(1)\cdots$ (evaluar $g'$ en $x=1$ en vez de en $u(1)=2$), o pensar que «faltan datos».

Errata de E: el libro afirma que «$x^a$ es derivable en todo $\mathbb R$ para todo $a\in[1,\infty)$». Es falso si $a$ no es entero (p. ej. $x^{3/2}$ no está definida para $x<0$). No afecta al resultado porque sólo hace falta derivabilidad cerca de $x=1$. La restricción $a\ge1$ tampoco es necesaria: $f'(1)=6a$ vale para todo $a\in\mathbb R$.

Determina el dominio y calcula la derivada de la función dada por $f(x)=\arccos\sqrt x$.

1. Qué es $\arccos$. El coseno es estrictamente decreciente en $[0,\pi]$ y allí toma todos los valores de $[-1,1]$; por eso $\arccos:[-1,1]\to[0,\pi]$ (convenio de U p.62 y de E). $\arccos y$ es el único $\alpha\in[0,\pi]$ con $\cos\alpha=y$.
2. Dominio. Se necesita $x\ge0$ y $\sqrt x\in[-1,1]$, es decir $0\le\sqrt x\le1\iff0\le x\le1$. $\operatorname{dom}f=[0,1]$.
3. Derivada de $\arccos$ (apartado 8): $\arccos'(y)=\dfrac{-1}{\sqrt{1-y^2}}$ para $y\in(-1,1)$. Aquí es donde importa el signo: $\operatorname{sen}t>0$ en $(0,\pi)$.
4. Cadena con $u(x)=\sqrt x$, $u'(x)=\dfrac1{2\sqrt x}$ (para $x>0$), y $u(x)\in(-1,1)\iff x<1$: $$f'(x)=\frac{-1}{\sqrt{1-x}}\cdot\frac1{2\sqrt x}=\frac{-1}{2\sqrt{x-x^2}},\qquad0<x<1.$$ (Se usa $\sqrt a\sqrt b=\sqrt{ab}$ para $a,b\ge0$.)
5. Extremos. En $x=0$ y $x=1$ la fórmula no existe. Con la definición, las derivadas laterales valen $-\infty$ (tangentes verticales): por ejemplo, cerca de $1$, $f(1-h)\approx\sqrt h$ y el cociente incremental es $\approx-\frac1{\sqrt h}\to-\infty$. No derivable. Por tanto $\operatorname{dom}f'=(0,1)$.

Resultado: $\operatorname{dom}f=[0,1]$; $f'(x)=\dfrac{-1}{2\sqrt{x-x^2}}$ en $(0,1)$.

Error típico: escribir $\operatorname{sen}t=\pm\sqrt{1-\cos^2t}$ sin decidir el signo; olvidar el signo menos del $\arccos'$; dar $[0,1]$ como dominio de $f'$.

Omisión de E: el libro divide por $\operatorname{sen}x$ y toma la raíz positiva sin decir que eso exige $x\in(0,\pi)$; no da el dominio de $f'$ (que es $(0,1)$) y supone que $\arccos$ es derivable sin justificarlo.

Señala el valor de la derivada de la función inversa de $f(x)=x^5+x^3+x$ en el punto $y=3$: a) $6$; b) $9$; c) $\frac16$; d) $\frac19$.

1. ¿Existe $f^{-1}$? Hace falta $f$ inyectiva. $f'(x)=5x^4+3x^2+1\ge1>0$, luego $f$ es estrictamente creciente en $\mathbb R$ (esto lo justifica U en la Prop. 2.4 de §2.5.4, p.98) y por tanto inyectiva. También se ve directamente: $x^5$, $x^3$ y $x$ son estrictamente crecientes y su suma también.
2. ¿Dónde está definida? $f$ es continua, tiende a $-\infty$ y a $+\infty$ en los extremos; por el teorema de los valores intermedios (U p.52) toma todos los valores reales: $f^{-1}:\mathbb R\to\mathbb R$.
3. Fórmula. Como $f'(x)\neq0$, $f^{-1}$ es derivable (Teor. 5.9 de Larson). Derivando $f^{-1}(f(x))=x$: $(f^{-1})'(f(x))=\dfrac1{f'(x)}=\dfrac1{5x^4+3x^2+1}$.
4. El $x$ que corresponde a $y=3$. Se resuelve $x^5+x^3+x=3$; se prueba $x=1$: $1+1+1=3$. Es la única solución por inyectividad: $f^{-1}(3)=1$.
5. Sustituir: $(f^{-1})'(3)=\dfrac1{f'(1)}=\dfrac1{5+3+1}=\dfrac19$. Opción d).

Error típico: evaluar en el punto equivocado, $\frac1{f'(3)}=\frac1{433}$; o no invertir y contestar $f'(1)=9$ (opción b), que es la trampa del test.

Comentario: E usa «$f'>0$ implica estrictamente creciente» (en U es la Prop. 2.4, posterior a este tema) y la derivabilidad de $f^{-1}$, que ni U ni E demuestran. El ejemplo de L Ej. 5, p.341, es análogo (usa $f(x)=\frac{x^3}4+x-1$).

Calcula el valor de la derivada de $f:(0,+\infty)\to\mathbb R$ dada por $f(x)=\sqrt[x]{x}$ (raíz $x$-ésima de $x$).

1. Reescribir como potencia. $\sqrt[x]x=x^{1/x}$.
2. Por qué no sirve la tabla. La fila $x^c$ exige exponente constante y la $a^x$ exige base constante; aquí varían ambos.
3. Truco. Para $x>0$, $x=e^{\ln x}$, luego $f(x)=e^{\frac{\ln x}x}$. (Equivale a «tomar logaritmos»: $\ln f=\frac1x\ln x$, posible porque $f>0$.)
4. Derivar el exponente $u(x)=\dfrac{\ln x}x$ con el cociente: $u'(x)=\dfrac{\frac1x\cdot x-\ln x\cdot1}{x^2}=\dfrac{1-\ln x}{x^2}$.
5. Cadena con $e^{u}$: $f'(x)=e^{u}u'=x^{1/x}\,\dfrac{1-\ln x}{x^2}$, $x>0$.
6. Comprobación de sentido. $f'>0$ si $x<e$ y $f'<0$ si $x>e$: $x^{1/x}$ crece hasta $x=e$ y luego decrece (máximo $e^{1/e}\approx1{,}44$), y tiende a $1$ cuando $x\to\infty$ (U Ej. 2.12, p.84, calcula ese límite con logaritmos).

Resultado: $f'(x)=x^{1/x}\dfrac{1-\ln x}{x^2}$ (E da la forma equivalente $x^{1/x}\big[\frac{-1}{x^2}\ln x+\frac1{x^2}\big]$).

Error típico: aplicar la regla de la potencia $\frac1x x^{\frac1x-1}$ o la de la exponencial $x^{1/x}\ln x\cdot(\frac1x)'$: cada una trata como constante algo que no lo es (el resultado correcto es la suma de ambas). Otro: despejar $f'$ y olvidar multiplicar por $f(x)$.

Nota: no confundir con $x^{\sqrt x}$, que es el ejemplo (b) del apartado 9.

Determine la derivada de la función $f(x)=x^2e^{\cos x}$.

1. Regla del producto. $f=u\cdot v$ con $u=x^2$ y $v=e^{\cos x}$, y $f'=u'v+uv'$.
2. Derivar $u$: $u'=2x$.
3. Derivar $v$ con la cadena: se deriva la exponencial dejando el interior igual, y se multiplica por la derivada del interior: $v'=e^{\cos x}\cdot(-\operatorname{sen}x)$.
4. Juntar: $f'=2x\,e^{\cos x}+x^2e^{\cos x}(-\operatorname{sen}x)$.
5. Sacar factor común $e^{\cos x}$ (opcional, queda más limpio).

Lo que escribes en el examen: $$f'(x)=e^{\cos x}\bigl(2x-x^2\operatorname{sen}x\bigr),\qquad x\in\mathbb R$$ (es derivable en todo $\mathbb R$: producto y composición de funciones derivables).

Error típico: olvidar el signo de $(\cos x)'=-\operatorname{sen}x$. La solución impresa coincide.

Calcular la derivada de la función $\operatorname{sen}\left[\cos^2\left(\dfrac{2}{x}\right)\right]$.

1. Contar las capas (de fuera a dentro): $\operatorname{sen}(\cdots)$, luego $(\cdots)^2$, luego $\cos(\cdots)$, luego $2/x$. Son 4 capas, así que saldrán 4 factores.
2. Derivar cada capa dejando intacto lo que tiene dentro:
   • $\operatorname{sen}$ da $\cos\bigl[\cos^2\frac2x\bigr]$;
   • el cuadrado da $2\cos\frac2x$;
   • $\cos$ da $-\operatorname{sen}\frac2x$;
   • $\frac2x=2x^{-1}$ da $-\frac2{x^2}$.
3. Multiplicar los 4 factores. Los dos signos menos se cancelan y $2\cdot2=4$.

Lo que escribes en el examen: $$f'(x)=\frac{4}{x^2}\cos\frac2x\,\operatorname{sen}\frac2x\,\cos\!\Bigl[\cos^2\frac2x\Bigr],\qquad x\neq0.$$ (Opcional: $2\operatorname{sen}a\cos a=\operatorname{sen}2a$ da $f'(x)=\frac{2}{x^2}\operatorname{sen}\frac4x\cos[\cos^2\frac2x]$.)

Error típico: leer $\cos^2(2/x)$ como $\cos(\cos(2/x))$, o perder la capa $2/x$ o su signo.

Calcular la derivada de $f(x)=\operatorname{arctg}\sqrt{x^2-1}-\operatorname{sen}^2 3x$.

1. Dónde existe. La raíz pide $x^2-1\ge0$, o sea $|x|\ge1$. Pero $\sqrt{\ }$ no se puede derivar donde vale $0$, así que la fórmula valdrá para $|x|>1$ (en $x=\pm1$ la tangente es vertical y $f$ no es derivable).
2. Primer sumando, $\operatorname{arctg}\sqrt{x^2-1}$. Tres capas, tres factores:
   • $\operatorname{arctg}$ da $\dfrac1{1+(x^2-1)}=\dfrac1{x^2}$ (se simplifica ya);
   • la raíz da $\dfrac1{2\sqrt{x^2-1}}$;
   • $x^2-1$ da $2x$.
   Multiplicados: $\dfrac1{x^2}\cdot\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2-1}}=\dfrac{1}{x\sqrt{x^2-1}}$.
3. Segundo sumando, $\operatorname{sen}^2 3x$. Es $(\operatorname{sen}3x)^2$; tres capas: el cuadrado da $2\operatorname{sen}3x$, el seno da $\cos3x$, el $3x$ da $3$. Total: $6\operatorname{sen}3x\cos3x$.
4. Restar.

Lo que escribes en el examen: $$f'(x)=\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}-6\operatorname{sen}3x\cos3x,\qquad |x|>1.$$

Error típico: escribir $\frac{1}{\sqrt{x^4-x^2}}$: siempre es positivo, pero para $x<-1$ el término correcto $\frac1{x\sqrt{x^2-1}}$ es negativo. Deja $x$ sin meterla en la raíz.

Sabiendo que $f$ es derivable y verifica $f(2)=\pi$ y $f'(2)=3$, calcular $g'(\sqrt2)$ siendo $g(x)=\operatorname{sen}\bigl(f(5x^2-8)\bigr)$.

1. Derivar con la cadena (tres capas: $\operatorname{sen}$, $f$ y $5x^2-8$): $$g'(x)=\cos\bigl(f(5x^2-8)\bigr)\cdot f'(5x^2-8)\cdot10x.$$
2. Ver qué vale lo de dentro en $x=\sqrt2$: $5\cdot(\sqrt2)^2-8=5\cdot2-8=2$. Es el punto de los datos.
3. Sustituir $f(2)=\pi$ y $f'(2)=3$: $g'(\sqrt2)=\cos\pi\cdot3\cdot10\sqrt2$.

Lo que escribes en el examen: como $\cos\pi=-1$, $$g'(\sqrt2)=-30\sqrt2.$$

Error típico: escribir $f'(\sqrt2)$ en lugar de $f'(2)$ (la $f'$ se evalúa en lo de dentro, no en $x$).

Variantes del mismo tipo para practicar:

• $f(0)=1$, $f'(0)=-2$, $g(x)=f^2(\operatorname{sen}x)$: $g'(x)=2f(\operatorname{sen}x)\,f'(\operatorname{sen}x)\cos x$ y $g'(0)=-4$. Ojo: $f^2(\operatorname{sen}x)$ es $[f(\operatorname{sen}x)]^2$, no $f(f(\operatorname{sen}x))$. X p.25
• $f(0)=\pi$, $f'(0)=2$, $g(x)=\cos\bigl(f(\cos x)\bigr)$: $g'(x)=\operatorname{sen}\bigl(f(\cos x)\bigr)f'(\cos x)\operatorname{sen}x$ y $g'(\pi/2)=\operatorname{sen}\pi\cdot2\cdot1=0$ (opción A del test). La impresa tiene un paréntesis sin cerrar, errata tipográfica sin consecuencias. X pp.122-123

Se sabe que $f$ y $g$ son derivables, $g(2)=-1$, $f'(1)=2$ y que $f(x)=x\,g(2x)$. Calcule $g'(2)$. Indicación: aplique la regla de la cadena.

1. Derivar con el producto: $f'(x)=1\cdot g(2x)+x\cdot\bigl(g(2x)\bigr)'$.
2. Derivar $g(2x)$ con la cadena: $g'(2x)\cdot2$. Queda $$f'(x)=g(2x)+2x\,g'(2x).$$
3. Elegir $x$. Para tener $g'(2)$ hace falta $2x=2$, o sea $x=1$. Y en $x=1$ conocemos $f'(1)=2$.
4. Sustituir $x=1$ y los datos $g(2)=-1$, $f'(1)=2$: $\;2=-1+2g'(2)$.
5. Despejar: $2g'(2)=3$.

Lo que escribes en el examen: $f'(x)=g(2x)+2x\,g'(2x)$; en $x=1$: $2=-1+2g'(2)$, luego $g'(2)=\tfrac32$.

Error típico: olvidar el factor $2$ de la derivada de $2x$ y obtener $g'(2)=3$. La solución impresa coincide.

Sea $f(x)=\dfrac{1}{x^2+2x+1}+\cos(e^x)$. ¿Cuál es su derivada segunda?

1. Reescribir: $x^2+2x+1=(x+1)^2$, así que $\dfrac1{x^2+2x+1}=(x+1)^{-2}$ (dominio $x\neq-1$).
2. Primera derivada del primer sumando: $\bigl((x+1)^{-2}\bigr)'=-2(x+1)^{-3}$.
3. Primera derivada del segundo sumando (cadena: $\cos$ por fuera, $e^x$ por dentro): $\bigl(\cos e^x\bigr)'=-e^x\operatorname{sen}(e^x)$.
4. Segunda derivada del primer sumando: $\bigl(-2(x+1)^{-3}\bigr)'=6(x+1)^{-4}$.
5. Segunda derivada del segundo sumando. $-e^x\operatorname{sen}(e^x)$ es un producto; la derivada de $e^x\operatorname{sen}(e^x)$ es $e^x\operatorname{sen}(e^x)+e^x\cos(e^x)\,e^x$ (el último $e^x$ sale de la cadena). Con el signo menos delante queda $-e^x\operatorname{sen}(e^x)-e^{2x}\cos(e^x)$.

Lo que escribes en el examen: $f'(x)=-2(x+1)^{-3}-e^x\operatorname{sen}(e^x)$ y $$f''(x)=\frac{6}{(x+1)^4}-e^x\operatorname{sen}(e^x)-e^{2x}\cos(e^x),\qquad x\neq-1.$$

Error típico: derivar $e^x\operatorname{sen}(e^x)$ sin la regla del producto (quedándose solo con $e^{2x}\cos(e^x)$).