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Módulo III · Aplicaciones de la derivada · Tema 3.3

Interpolación polinómica

Cómo encontrar un polinomio que pase exactamente por una lista de puntos, cómo construirlo con la tabla de diferencias divididas de Newton y cuánto se equivoca fuera de los puntos.

Libro oficial: Cálculo para Ingenieros, §3.3 (pp. 119-124)Ejercicios: E Ej. 3.21–3.28 (pp. 107-113)Examen: 9 problemas de X⏱ ~4 h de estudio
U oficial S Stewart L Larson E ejercicios P propio X exámenes — pasa el ratón (o toca) por cada etiqueta para ver libro y página; en pantallas anchas aparecen en el margen derecho.

0Antes de empezar U pp.119-120

La idea del tema en una frase

Tienes una tabla de datos (por ejemplo, la temperatura de una habitación a las 0, 1, 2 y 4 horas) y quieres una fórmula que reproduzca esos datos exactamente y que sirva para estimar valores intermedios. Lo más sencillo es unir los puntos con segmentos (una poligonal), pero queda «picuda». Si quieres una curva suave, fácil de construir y de evaluar, lo mejor es un polinomio: el polinomio interpolador. En 3.1 el polinomio de Taylor copiaba a $f$ en un solo punto (usando derivadas); aquí el polinomio copia a $f$ en varios puntos (usando solo valores) y aproxima bien en todo el intervalo.

U pp.119-120

Qué necesitas saber ya

Mapa del tema

ApartadoQué contieneDónde está
1 Qué es interpolarnodos, polinomio interpolador, grado $\le n$, existencia y unicidad, recta y parábolaU pp.119-122
2 Diferencias divididasdefinición, tabla de diferenciasU p.123
3 Forma de Newtonel polinomio con la diagonal superior; añadir un nodoU p.124
4 Error de interpolaciónforma de Lagrange (apuntes propios, sin verificar contra las notas adicionales)P
5 Fuera de examensplinesU p.121
6 EjerciciosE 3.21–3.28 con recetaE pp.107-113
7 Ejemplos propios4 ejemplos, de fácil a difícilpropio
8 Examenproblemas reales de XX
9 Chuleta y comprobaciónfórmulas, erratas, listasíntesis

Qué se pide en los ejercicios y en el examen

(A) Calcular el polinomio interpolador de 3 o 4 datos con diferencias divididas y, casi siempre, evaluarlo en un punto (E 3.24-3.25, 3.27; X pp.5, 57, 101, 119, 151). (B) Preguntas teóricas de grado y unicidad: ¿el grado es exactamente $n$?, ¿puede haber más de uno? (E 3.21-3.23, 3.26). (C) Añadir un nodo sin repetir la tabla (E 3.27-3.28). (D) Preguntas que mezclan interpolación con trapecio y Simpson del Tema 6 (X pp.65-66, 85, 100, 107). Los splines no se preguntan.

Antes de calcular: dibuja y comprueba

U recomienda representar gráficamente los datos antes de resolver, para anticipar qué tipo de polinomio saldrá, y comprobar el resultado al final, porque «el proceso de interpolación supone realizar diversas operaciones y es fácil equivocarse». La comprobación es barata: sustituye el polinomio en dos o tres nodos y mira que da el dato.

U p.120

1Qué es interpolar: nodos, polinomio interpolador, existencia y unicidad U pp.120-122

Idea intuitiva

Dos puntos determinan una recta; tres puntos (no alineados), una parábola; cuatro, una cúbica. En general, $n+1$ puntos con abscisas distintas determinan un único polinomio de grado $\le n$ que pasa por todos ellos. Es como un ajuste «a medida» sin sobrantes: tantos datos como coeficientes libres ($a_0,\dots,a_n$ son $n+1$ números).

U pp.120-121
Definición · nodos y polinomio interpolador

Se dispone de datos $(x_k,f_k)$ para $k=0,\dots,n$. Los números $x_k$ (distintos) se llaman nodos y $f_k$ es el valor de la función $f(x)$ en $x_k$. Se busca un polinomio $$p_n(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n\quad\text{tal que}\quad p_n(x_k)=f_k,\ \ k=0,\dots,n.$$ Ese $p_n$ se llama polinomio de interpolación o polinomio interpolador.

U pp.120-121
Propiedad · sistema lineal, grado máximo, existencia y unicidad

Las $n+1$ condiciones $p_n(x_k)=f_k$ forman un sistema de $n+1$ ecuaciones lineales con $n+1$ incógnitas $a_0,\dots,a_n$. Por eso el grado de $p_n$ es $n$ como máximo (puede ser menor). El polinomio existe y es único. U afirma la unicidad («muy sencilla», remite a un libro externo) y prueba la existencia construyéndolo con diferencias divididas de Newton (apartados 2-3).

U p.121
Por qué es único (argumento propio)

Si $p$ y $q$ tienen grado $\le n$ y coinciden en los $n+1$ nodos, su diferencia $d=p-q$ tiene grado $\le n$ y se anula en $n+1$ puntos distintos. Un polinomio no nulo de grado $\le n$ tiene como mucho $n$ raíces (cada raíz $r$ aporta un factor $(x-r)$ y no caben más de $n$ factores). Luego $d\equiv0$ y $p=q$.

Consecuencia práctica, la usarás mucho: si encuentras de cualquier forma (a ojo, porque los puntos están alineados, etc.) un polinomio de grado $\le n$ que pase por los $n+1$ datos, ese es el interpolador. No hay otro.

P
Error típico · «n+1 datos ⇒ grado exactamente n»

«Grado $n$» es el máximo, no lo obligatorio. Con tres puntos alineados el interpolador es una recta (grado 1), no una parábola. Hasta U lo escribe así en el Ej. 3.18: «Su grado es 3, porque tenemos 4 datos»; es cierto allí porque la última diferencia dividida vale $\frac1{12}\neq0$. Lo seguro es «grado $\le3$».

U p.124
Resolver el sistema es posible, pero pesado

Con 2 o 3 datos puedes plantear el sistema y resolverlo a mano (lo haces en el ejemplo P1). Con 4 o más, U advierte de que «la resolución de este sistema … puede ser una tarea ardua»; por eso se usa el método de las diferencias divididas de Newton, que no necesita resolver ningún sistema.

U p.121
Ejemplo 3.16 de U · una recta y una parábola

Temperatura de una habitación al encender la calefacción: $x_k=0,1$ (horas) y $f_k=15,18$ (grados).

  1. Recta por dos puntos. La recta por $(x_0,f_0)$ con pendiente $m$ es $p_1(x)-f_0=m(x-x_0)$. Aquí $m=\frac{f_1-f_0}{x_1-x_0}=\frac{18-15}{1-0}=3$.
  2. Resultado: $p_1(x)=15+3x$. Esa pendiente $m$ aproxima la derivada de $f$, en analogía con el polinomio de Taylor de orden 1.
  3. Un tercer dato $(2,20)$. Se parte de $p_1$ y se suma un término que no estropea los datos anteriores (se anula en $0$ y en $1$): $p_2(x)=3x+15-\tfrac12\,x(x-1)$. El número $-\tfrac12$ se fija con el nuevo dato y aproxima la derivada segunda.
  4. Comprobación (U la deja al lector): $p_2(0)=15$, $p_2(1)=18$, $p_2(2)=6+15-1=20$. ✓

Este «ir añadiendo un término que no estropea lo anterior» es exactamente el método de Newton del apartado 3.

U pp.121-122

2Diferencias divididas y tabla de diferencias U p.123

Idea intuitiva

Una diferencia dividida de orden 1 es una pendiente (cociente incremental entre dos nodos). Una de orden 2 es la «pendiente de las pendientes»: mide cuánto se curva la gráfica. Una de orden 3, cómo cambia esa curvatura, y así sucesivamente. U lo dice con otras palabras: las diferencias divididas «son una aproximación de la derivada de orden $m$». Cada una se calcula con las del orden anterior, y se organizan en una tabla.

U pp.122-123
Definición · diferencias divididas

Orden 0: $f[x_k]=f_k$ (el valor de la función en el nodo).
Orden 1: $\displaystyle f[x_k,x_{k+1}]=\frac{f[x_{k+1}]-f[x_k]}{x_{k+1}-x_k}=\frac{f_{k+1}-f_k}{x_{k+1}-x_k}.$
Orden $m$ (recursiva): $$f[x_k,\dots,x_{k+m}]=\frac{f[x_{k+1},\dots,x_{k+m}]-f[x_k,\dots,x_{k+m-1}]}{x_{k+m}-x_k}.$$

U p.123
Cómo leer la fórmula (para no equivocarte)

Numerador: «la casilla de la columna anterior de abajo menos la de arriba». Denominador: el nodo más alto menos el nodo más bajo del grupo que abarca la casilla (los de los extremos, no los vecinos). La forma más sencilla de calcularlas es en una tabla, la tabla de diferencias.

U p.123
Ejemplo 3.17 de U · tabla de diferencias

Datos: $x_k=0,1,2,4$ y $f_k=15,18,20,23$ (temperatura a distintas horas).

$x_k$$f[x_k]$orden 1orden 2orden 3
015$\frac{18-15}{1-0}=\mathbf{3}$$\frac{2-3}{2-0}=-\mathbf{\tfrac12}$$\frac{-\frac16+\frac12}{4-0}=\mathbf{\tfrac1{12}}$
118$\frac{20-18}{2-1}=2$$\frac{\frac32-2}{4-1}=-\frac16$
220$\frac{23-20}{4-2}=\frac32$
423

En negrita, la diagonal superior ($15,\ 3,\ -\frac12,\ \frac1{12}$): son las que se usan para construir el polinomio. Fíjate en los denominadores del orden 2: $2-0$ y $4-1$, los nodos de los extremos de cada grupo de tres. (En U las columnas de la tabla van desplazadas medio renglón entre filas; aquí se alinean arriba, con los mismos valores.)

U p.123
Error típico · denominadores

En el orden 2 o 3, dividir entre la diferencia de nodos vecinos (por ejemplo $x_2-x_1$) en vez de entre los extremos ($x_2-x_0$). Otro error: restar «arriba menos abajo», que cambia el signo de todo.

P

3La forma de Newton del polinomio interpolador U p.124

Idea intuitiva · el polinomio «por capas»

Se construye apilando capas. Capa 0: una constante que acierta en $x_0$. Capa 1: una recta que lleva el factor $(x-x_0)$, así que vale 0 en $x_0$ (no estropea la capa 0) y se ajusta para acertar en $x_1$. Capa 2: una parábola con factor $(x-x_0)(x-x_1)$, que no toca los dos primeros nodos y acierta en $x_2$. Y así hasta el último dato. El coeficiente de cada capa es una diferencia dividida de la diagonal superior.

U pp.121-124
Fórmula de Newton

$$p_n(x)=f[x_0]+f[x_0,x_1](x-x_0)+f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1)+\cdots+f[x_0,\dots,x_n](x-x_0)(x-x_1)\cdots(x-x_{n-1}).$$ El término de orden $m$ lleva $m$ factores: $(x-x_0)\cdots(x-x_{m-1})$. El último factor es $(x-x_{m-1})$, no $(x-x_m)$.

U p.124
Ejemplo 3.18 de U · el polinomio de los datos del Ej. 3.17
  1. Diagonal superior del Ej. 3.17: $15,\ 3,\ -\frac12,\ \frac1{12}$ (U lo resalta: «elegimos las diferencias de la diagonal superior»).
  2. Newton: $p_3(x)=15+3(x-0)-\tfrac12(x-0)(x-1)+\tfrac1{12}(x-0)(x-1)(x-2)$.
  3. Desarrollado: $p_3(x)=\tfrac1{12}x^3-\tfrac34x^2+\tfrac{11}3x+15$.
  4. Comprobación: $p_3(4)=\frac{64}{12}-12+\frac{44}3+15=23$ ✓.
U p.124
Gráfica de p3(x) con los cuatro datos (0,15), (1,18), (2,20) y (4,23): una curva creciente que pasa por los cuatro puntos
Gráfica de $p_3(x)$ del Ejemplo 3.18 con los cuatro datos. U p.124
Añadir un nodo sin empezar de nuevo

$p_n(x)=p_{n-1}(x)+f[x_0,\dots,x_n]\,(x-x_0)\cdots(x-x_{n-1})$. «Al añadir un nuevo nodo no hace falta empezar todo el proceso de nuevo, basta con calcular las diferencias que nos faltan (que son las diferencias donde está $x_n$) y añadir este nuevo término.» El polinomio viejo se conserva; el término nuevo se anula en todos los nodos viejos.

U p.124
Propiedad que U no enuncia · el orden de los nodos no importa

$f[x_0,\dots,x_m]$ es el coeficiente de $x^m$ del interpolador de esos $m+1$ datos (en la forma de Newton solo el último término tiene $x^m$), y ese polinomio es único sea cual sea el orden en que se listen. Por eso los nodos no tienen que estar ordenados en la tabla, y un nodo nuevo se puede poner siempre al final de la lista. Lo usa el ejercicio 3.28.

P
Truco de examen · evaluar sin desarrollar

Si te piden $p(a)$ para un valor concreto (casi siempre), sustituye $a$ directamente en la forma de Newton y no desarrolles el polinomio: son menos cuentas y menos errores (y, con decimales, menos redondeo). Desarrolla en potencias de $x$ solo si el enunciado lo pide.

P

4Cuánto se equivoca el interpolador: forma de Lagrange del error P

Aviso sobre la fuente

Esta fórmula no aparece en U §3.3 (pp. 119-124), ni en Stewart, ni en Larson. El cronograma la cita entre las notas adicionales del módulo III, que no están en el repositorio, así que enunciado y notación están sin verificar contra ellas (es el resultado clásico). Se razona aquí con herramientas de U (Rolle, p. 95). Es la «hermana» del resto de Lagrange de Taylor (U Prop. 3.2, p. 111; S p.756; L p.642). Antes del examen, cotéjala con las notas.

P
Forma de Lagrange del error de interpolación (P)

Sea $f$ con derivada de orden $n+1$ en un intervalo $I$ que contiene los nodos distintos $x_0,\dots,x_n$ y el punto $x$, y sea $p_n$ el interpolador. Existe $\xi\in I$ (entre el menor y el mayor de $x,x_0,\dots,x_n$) tal que $$f(x)-p_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\,(x-x_0)(x-x_1)\cdots(x-x_n).$$ Si $|f^{(n+1)}|\le M$ en $I$, entonces $\ |f(x)-p_n(x)|\le\dfrac{M}{(n+1)!}\,|x-x_0|\cdots|x-x_n|.$

P
Comparación con Taylor

Taylor: $\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$, con toda la información concentrada en un punto. Interpolación: el mismo $\frac{f^{(n+1)}}{(n+1)!}$, pero la potencia se reparte entre los $n+1$ nodos. El producto vale 0 en cada nodo (el interpolador es exacto allí) y es grande lejos de ellos: por eso extrapolar (evaluar fuera del intervalo de los nodos) es peligroso.

U p.111
Por qué es cierta: esquema con Rolle
  1. Si $x$ es un nodo ambos lados valen 0. Supongamos que no lo es.
  2. Sea $w(t)=(t-x_0)\cdots(t-x_n)$ y elige $K$ con $f(x)-p_n(x)=K\,w(x)$ (posible, porque $w(x)\neq0$). Hay que ver que $K=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}$ para algún $\xi$.
  3. La función $g(t)=f(t)-p_n(t)-K\,w(t)$ se anula en los $n+1$ nodos y en $t=x$: $n+2$ ceros.
  4. Rolle entre ceros consecutivos: $g'$ tiene al menos $n+1$ ceros; $g''$, al menos $n$; … ; $g^{(n+1)}$, al menos uno, $\xi$.
  5. Derivando $n+1$ veces: $p_n^{(n+1)}=0$ (grado $\le n$) y $w^{(n+1)}=(n+1)!$. Así $g^{(n+1)}(t)=f^{(n+1)}(t)-K\,(n+1)!$.
  6. En $\xi$: $0=f^{(n+1)}(\xi)-K(n+1)!$, o sea $K=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}$. ∎

Caso particular: si $f$ es un polinomio de grado $\le n$, $f^{(n+1)}=0$ y el error es 0, es decir, el interpolador es $f$ (otra forma de ver la unicidad).

P

5Fuera de examen: splines U p.121

Fuera de examen: splines (recuadro de U, p. 121)

Si los datos no son suaves y se sube el grado del polinomio, la curva puede oscilar mucho entre los datos. Una alternativa son los splines: polinomios a trozos (de grado bajo en cada tramo entre nodos) con condiciones de derivabilidad en los nodos para que la curva salga suave. No aparece en las preguntas de X ni en E.

6Ejercicios del libro, resueltos E pp.107-113

Orden de estudio recomendado: primero los de teoría (3.21, 3.22, 3.23, 3.26, solo razonar), luego los de cálculo (3.24, 3.25) y por último «añadir un nodo» (3.27, 3.28). Todos son de examen.

Ejercicio 3.21 · ¿9 puntos dan siempre grado 8? E p.107

Razona si es cierto o falso que el polinomio interpolador que pasa por 9 puntos debe ser un polinomio exactamente de grado 8.

Idea en una frase

«Grado 8» es el máximo, no lo obligatorio: si los 9 puntos están en una recta, el interpolador es esa recta.

  1. Grado máximo. Con 9 datos, $n+1=9$, luego $n=8$: el interpolador es $a_0+a_1x+\dots+a_8x^8$ (9 incógnitas, 9 ecuaciones). U: «el grado … es $n$ como máximo».
  2. Puede salir $a_8=0$. Nada obliga a que el coeficiente de $x^8$ sea distinto de 0.
  3. Contraejemplo (el de E): los puntos $(a,2a)$, $a=1,\dots,9$.
  4. Un candidato. $q(x)=2x$ pasa por todos ($q(a)=2a$) y tiene grado $1\le8$.
  5. Es el interpolador, por unicidad (apartado 1). Así $p_8(x)=2x$, de grado 1.
  6. Respuesta: falso. (Comprobado: Newton con esos 9 datos da $2x$.)
Receta: para refutar «el interpolador tiene grado exactamente $n$»: dar puntos sobre una recta (o sobre un polinomio de grado menor) y usar la unicidad.
Ejercicio 3.22 · $n$ puntos de un polinomio de grado $n$ E p.107

Razona si es cierto o falso que si se interpolan $n$ puntos tomados de la gráfica de un polinomio de grado $n$ el resultado va a ser un polinomio de grado $n$.

Idea en una frase

Con $n$ puntos el interpolador tiene grado como mucho $n-1$, así que nunca puede ser de grado $n$: es falso siempre, no solo en un ejemplo.

  1. Cuenta los datos. Son $n$ puntos (índices $0,\dots,n-1$ en la notación de U).
  2. Grado máximo. El interpolador tiene $n$ coeficientes $a_0,\dots,a_{n-1}$: grado $\le n-1$ (U p. 121).
  3. Conclusión. Un polinomio de grado $\le n-1$ no puede ser de grado $n$. Falso, elijas los puntos que elijas.
  4. Por qué no se recupera el original. El polinomio original $P$ (grado $n$) pasa por los $n$ puntos, pero no es «el» interpolador (tiene grado $n$, no $\le n-1$). Harían falta $n+1$ puntos para recuperarlo (por unicidad).
  5. Ejemplo concreto. $P(x)=x^2$ ($n=2$) y los 2 puntos $(-1,1)$ y $(1,1)$: el interpolador es la constante $1$, no $x^2$.
Matiz sobre la solución impresa en E (p. 107)

E responde «es falso, el grado será menor o igual que $n$» con un contraejemplo (un polinomio con $n$ raíces: sus cortes con el eje $x$ dan $p\equiv0$). La conclusión «falso» es correcta, pero la cota es imprecisa: con $n$ puntos es $\le n-1$, lo que hace la afirmación siempre falsa. E llama «grado 0» al polinomio nulo, lo cual no es exacto (el polinomio nulo no tiene grado, o se le asigna $-\infty$ por convenio). Además, el contraejemplo de E necesita $n$ raíces reales distintas, cosa que no todo polinomio cumple ($x^2+1$ no tiene ninguna); el paso 2 no necesita nada.

Receta: contar: $m$ datos $\Rightarrow$ grado $\le m-1$. Para recuperar un polinomio de grado $n$ hacen falta $n+1$ puntos de su gráfica.
Ejercicio 3.23 · ¿puede haber más de un interpolador? E p.107

Dados los siguientes datos: $f(1)=1$, $f(3)=2$, $f(4)=-1$, $f(5)=0$, ¿puede haber más de un polinomio interpolador de grado 3 o menor que coincida con $f$ en 1, 3, 4 y 5?

Idea en una frase

No: es el teorema de unicidad. Muchas funciones pasan por esos 4 puntos, pero solo un polinomio de grado $\le3$.

  1. Datos. 4 nodos distintos ($1,3,4,5$): $n=3$.
  2. Teorema. El interpolador de grado $\le n$ existe y es único (U p. 121).
  3. Respuesta: no. Solo hay uno.
  4. Matiz. Si se permite grado 4 o más, sí hay infinitos: $p_3(x)+c\,(x-1)(x-3)(x-4)(x-5)$ para cualquier $c$ (el producto se anula en los cuatro nodos).
  5. (Para practicar; no se pedía.) Orden 1: $\frac12,\ -3,\ 1$; orden 2: $-\frac76,\ 2$; orden 3: $\frac{19}{24}$. Luego $p_3(x)=1+\frac12(x-1)-\frac76(x-1)(x-3)+\frac{19}{24}(x-1)(x-3)(x-4)=\frac{19}{24}x^3-\frac{15}2x^2+\frac{485}{24}x-\frac{25}2$.
Receta: «¿puede haber más de uno?» → unicidad, si el grado está limitado a $\le n$ con $n+1$ nodos distintos. Si el grado no está limitado, hay infinitos.
Error típico

Contestar «sí, porque hay muchas funciones que pasan por esos puntos»: cierto para funciones, falso para polinomios de grado $\le3$.

Ejercicio 3.24 · polinomio de grado 3 por diferencias divididas E p.108

Determina, mediante diferencias divididas, el polinomio de grado 3 que interpola los siguientes datos: $k=0,1,2,3$; $x_k=1,5,8,10$; $f(x_k)=3,11,38,56$.

Idea en una frase

Tabla de diferencias columna a columna, diagonal superior y forma de Newton.

  1. Orden 0: $3,\ 11,\ 38,\ 56$.
  2. Orden 1 (nodos vecinos): $f[x_0,x_1]=\frac{11-3}{5-1}=2$; $f[x_1,x_2]=\frac{38-11}{8-5}=9$; $f[x_2,x_3]=\frac{56-38}{10-8}=9$.
  3. Orden 2 (denominador: extremos del grupo): $f[x_0,x_1,x_2]=\frac{9-2}{8-1}=1$; $f[x_1,x_2,x_3]=\frac{9-9}{10-5}=0$.
  4. Orden 3: $f[x_0,\dots,x_3]=\frac{0-1}{10-1}=-\frac19$.
  5. Tabla (en negrita, la diagonal superior):
    $x_k$$f[x_k]$orden 1orden 2orden 3
    1321$\mathbf{-\frac19}$
    51190
    8389
    1056
  6. Forma de Newton: $\displaystyle p_3(x)=3+2(x-1)+(x-1)(x-5)-\tfrac19(x-1)(x-5)(x-8)$. Ya es una respuesta completa.
  7. (Solo si se pide en potencias de $x$.) $(x-1)(x-5)=x^2-6x+5$ y $(x-1)(x-5)(x-8)=x^3-14x^2+53x-40$. Sumando: $p_3(x)=-\tfrac19x^3+\tfrac{23}9x^2-\tfrac{89}9x+\tfrac{94}9$.
  8. Comprobación: $p_3(1)=3$, $p_3(5)=11$, $p_3(8)=38$, $p_3(10)=56$. E no tiene erratas aquí. (En U y en E las columnas de la tabla van desplazadas medio renglón entre filas; aquí se alinean arriba, con los mismos valores.)
Figura 3.4: gráfica del polinomio interpolador cúbico que pasa por los puntos (1,3), (5,11), (8,38) y (10,56)
Los cuatro puntos y la gráfica de su polinomio interpolador (el libro la imprime cortada por la cabecera de página). E p.109
Receta: (1) columna de orden 0 = valores. (2) Cada casilla = (la de la columna anterior de abajo − la de arriba) / ($x_{k+m}-x_k$: la $x$ del último nodo del grupo menos la del primero). (3) Polinomio = diagonal superior × productos $(x-x_0)(x-x_1)\cdots$, con tantos factores como el orden. (4) Comprobar en dos o tres nodos.
Error típico

Dividir entre nodos vecinos ($8-5$) en vez de entre extremos ($8-1$) en el orden 2; o poner en el término de orden $m$ el factor $(x-x_m)$, que no va. Este ejercicio es literalmente X p.57 (Feb. 2015, Modelo B, Ej. 5), con la misma solución (X tiene dos erratas de forma, ver el Examen 2).

Ejercicio 3.25 · velocidad al frenar: recta frente a cúbica E pp.109-110

Hemos medido la velocidad de un coche al frenar, tras haber pasado 1 segundo, a los 2 segundos y a los 4 segundos (variable $t$). Los valores obtenidos aparecen en la tabla siguiente: $t$ (s): 0, 1, 2, 4; $v$ (km/h): 210, 180, 160, 140. (1) Determina el polinomio interpolador que aproxima los datos mediante diferencias divididas considerando únicamente los instantes inicial y final. (2) Determina el polinomio interpolador que aproxima los datos mediante diferencias divididas considerando todos los datos. (3) Aproxima la velocidad transcurridos 3 segundos desde que comience el frenado mediante ambos polinomios.

Aviso de lectura

El texto nombra los instantes 1, 2 y 4 s, pero la tabla incluye también $t=0$ con 210 km/h, que es el «instante inicial» del apartado 1. Se sigue la tabla (comprobado en la imagen de E p. 109).

Idea en una frase

Con 2 nodos sale una recta; con 4, una cúbica. Las dos se evalúan en $t=3$ y dan valores distintos.

  1. Apartado 1: nodos $t_0=0$, $t_1=4$. $f[t_0,t_1]=\frac{140-210}{4-0}=-\frac{35}2$.
  2. Recta: $p_1(t)=210-\frac{35}2t$ (la que une $(0,210)$ y $(4,140)$).
  3. Apartado 2, orden 1 (nodos $0,1,2,4$): $\frac{180-210}{1-0}=-30$; $\frac{160-180}{2-1}=-20$; $\frac{140-160}{4-2}=-10$.
  4. Orden 2: $\frac{-20+30}{2-0}=5$; $\frac{-10+20}{4-1}=\frac{10}3$. Orden 3: $\frac{\frac{10}3-5}{4-0}=-\frac5{12}$.
  5. Cúbica (diagonal $210,-30,5,-\frac5{12}$): $p_3(t)=210-30t+5t(t-1)-\tfrac5{12}t(t-1)(t-2)$. Desarrollada: $-\frac5{12}t^3+\frac{25}4t^2-\frac{215}6t+210$.
  6. Apartado 3, recta: $p_1(3)=210-\frac{105}2=157{,}5$ km/h.
  7. Apartado 3, cúbica (en la forma de Newton): $210-90+5\cdot3\cdot2-\frac5{12}\cdot3\cdot2\cdot1=210-90+30-\frac52=147{,}5$ km/h.
  8. Lectura. La recta ignora que el coche frena cada vez menos (las pendientes pasan de $-30$ a $-10$); la cúbica lo recoge.
Receta: si piden comparar interpoladores con más y menos nodos: una tabla para cada conjunto de nodos y evaluar en la forma de Newton, sin desarrollar.
Error típico

Usar en el apartado 1 los nodos $1$ y $4$ porque el enunciado «empieza en 1 segundo». El instante inicial de la tabla es $t=0$.

Ejercicio 3.26 · interpolar $\cos2x$ en $0,\pi,2\pi$ E p.110

El polinomio interpolador que pasa por los puntos de la gráfica de $f(x)=\cos 2x$ en los puntos: $x=0$, $x=\pi$, $x=2\pi$, ¿es el polinomio idénticamente nulo?

Idea en una frase

El interpolador depende solo de los valores en los nodos, y en los tres $\cos2x$ vale $1$: es la constante $1$, no el $0$.

  1. Valores: $f(0)=\cos0=1$, $f(\pi)=\cos2\pi=1$, $f(2\pi)=\cos4\pi=1$.
  2. Un candidato: $q(x)=1$ pasa por los tres puntos y tiene grado $0\le2$.
  3. Es el interpolador por unicidad. (Con la tabla: todas las diferencias de orden 1 y 2 son 0 y Newton da $p_2(x)=1$.)
  4. Respuesta: no. $p_2(x)=1$ no es el polinomio nulo ($p_2(0)=1\neq0$).
Receta: antes de calcular nada, evaluar $f$ en los nodos. Si los valores son iguales, el interpolador es esa constante; si están alineados, es esa recta.
Error típico

Pensar en los ceros de la función: $\cos2x$ se anula en $\frac\pi4,\frac{3\pi}4,\dots$, pero esos no son los nodos. Solo si los nodos fueran ceros de $f$ saldría $p\equiv0$.

Ejercicio 3.27 · población de España y nodo adicional E pp.110-112

Los datos a 1 de enero de los años 2004 a 2008 del INE referentes a población de España son: 2004: 43197684; 2005: 44108530; 2006: 44708964; 2007: 45200737; 2008: 46157822. (1) Con estos datos, y utilizando interpolación ¿estima la población de España el 1 de julio de 2007? (2) Si conocemos el dato adicional de que la población el 1 de enero de 2009 es 46745809, ¿cuál sería la población estimada de España el 1 de julio de 2007?

Idea en una frase

Tabla con 5 nodos (los años), evaluar en $x=2007{,}5$ con la forma de Newton sin desarrollar y, para el apartado 2, añadir un nodo y un término.

  1. Datos. $x_k=2004,\dots,2008$ (5 nodos, $n=4$). El 1 de julio de 2007 es la mitad del año: $x=2007{,}5$.
  2. Denominadores. Nodos a distancia 1: se divide entre 1, 2, 3 y 4 en los órdenes 1, 2, 3 y 4.
  3. Orden 1: $910846,\ 600434,\ 491773,\ 957085$.
  4. Orden 2: $\frac{600434-910846}2=-155206$; $\frac{491773-600434}2=-54330{,}5$; $\frac{957085-491773}2=232656$.
  5. Orden 3: $\frac{-54330{,}5+155206}3=\frac{201751}6\approx33625{,}17$; $\frac{232656+54330{,}5}3=\frac{573973}6\approx95662{,}17$. (E los escribe como decimales periódicos, $33625{,}1\overline6$.)
  6. Orden 4: $\frac{573973/6-201751/6}4=\frac{62037}4=15509{,}25$.
  7. Newton: $p_4(x)=43197684+910846(x-2004)-155206(x-2004)(x-2005)+\frac{201751}6(x-2004)(x-2005)(x-2006)+\frac{62037}4(x-2004)\cdots(x-2007)$.
  8. Evaluar en 2007,5. Factores: $3{,}5;\ 2{,}5;\ 1{,}5;\ 0{,}5$. Término a término: $43197684+3187961-1358052{,}5+441330{,}31+101779{,}45=45\,570\,702{,}27$. Se redondea a 45 570 702 personas.
  9. Apartado 2: nodo nuevo $x_5=2009$ al final. Diferencias nuevas (las que contienen 2009): $587987$; $-184549$; $-\frac{417205}3$; $-\frac{469461}8$; y $f[x_0,\dots,x_5]=-\frac{118707}8=-14838{,}375$. Son 5 cuentas.
  10. Término nuevo: $p_5(x)=p_4(x)-14838{,}375\,(x-2004)(x-2005)(x-2006)(x-2007)(x-2008)$.
  11. Evaluar. El producto en 2007,5 es $3{,}5\cdot2{,}5\cdot1{,}5\cdot0{,}5\cdot(-0{,}5)=-3{,}28125$ (el último factor es negativo porque $2007{,}5<2008$). Término: $+48688{,}42$. Total: $45\,619\,390{,}68\approx$ 45 619 391 personas.
Receta: con nodos equiespaciados a distancia $h$, el denominador de orden $m$ es $m\cdot h$. Para estimar en un punto, evaluar la forma de Newton término a término. Al añadir un nodo, calcular solo la diagonal nueva y sumar un término.
Error típico

Desarrollar el polinomio con números de 8 cifras (largo y con redondeos), u olvidar el signo del factor $(x-2008)$ cuando $x<2008$.

Ejercicio 3.28 · cuántas diferencias hay que calcular E p.113

Supón que en el ejercicio anterior en lugar de proporcionarte el dato de la población en 2009 te dan el dato de la población en 2003. A partir de la tabla de diferencias divididas de los años 2004 a 2008. ¿Cuántas diferencias divididas de orden mayor o igual que 1 debes calcular para estimar la población en 2007.5? ¿Y si te proporcionasen la población en 2005.5?

Idea en una frase

Se reutiliza toda diferencia cuyo grupo de nodos no contiene el nodo nuevo; las que lo contienen hay que calcularlas.

  1. Total. Con 6 nodos ordenados hay $5+4+3+2+1=15$ diferencias de orden $\ge1$ (una por cada grupo de nodos consecutivos de tamaño $\ge2$).
  2. Nodo 2003 (un extremo). Los grupos que no lo contienen son los de la tabla vieja: $4+3+2+1=10$ reutilizables. Nuevas: $15-10=$ 5.
  3. Nodo 2005,5 (en medio). Va entre 2005 y 2006 y «parte» la tabla. Solo se reutilizan los grupos dentro de $\{2004,2005\}$ (1) y dentro de $\{2006,2007,2008\}$ (3): 4. Nuevas: $15-4=$ 11. Es la respuesta de E.
Matiz que E omite (propio, verificado con sympy)

Como las diferencias divididas no dependen del orden de los nodos (apartado 3), no hace falta meter 2005,5 en su sitio: se añade al final de la lista ($x_5=2005{,}5$) y solo hay que calcular $f[x_4,x_5]$, $f[x_3,x_4,x_5]$, $f[x_2,\dots,x_5]$, $f[x_1,\dots,x_5]$ y $f[x_0,\dots,x_5]$: 5 nuevas, igual que con 2003 o 2009, y $p_5=p_4+f[x_0,\dots,x_5](x-2004)\cdots(x-2008)$. La respuesta de E (11) es correcta si se exige la tabla ordenada; el mínimo es 5. En el examen, responde lo que E (5 y 11) y añade el matiz.

Receta: nuevas = las que contienen el nodo nuevo. Si se puede elegir, poner el nodo nuevo al final: son tantas como nodos había.
Error típico

Recalcular la tabla entera.

7Ejemplos propios, de fácil a difícil P propios

P1 · el mismo polinomio por sistema lineal y por Newton P

Halla el polinomio interpolador de $(-1,4)$, $(1,0)$, $(2,1)$: (a) resolviendo el sistema lineal de U p. 121; (b) con diferencias divididas. Comprueba que salen iguales.

Idea en una frase

Son dos caminos al mismo polinomio (por unicidad); Newton evita resolver el sistema.

(a) Sistema.

  1. 3 datos: $p_2(x)=a_0+a_1x+a_2x^2$.
  2. Una ecuación por dato: $a_0-a_1+a_2=4$; $a_0+a_1+a_2=0$; $a_0+2a_1+4a_2=1$.
  3. Restando las dos primeras: $2a_1=-4$, $a_1=-2$.
  4. Sustituyendo: la segunda da $a_0+a_2=2$ y la tercera $a_0+4a_2=5$. Restando: $3a_2=3$, $a_2=1$, $a_0=1$. Resultado: $p_2(x)=1-2x+x^2$.

(b) Diferencias divididas.

  1. Orden 1: $\frac{0-4}{1+1}=-2$ y $\frac{1-0}{2-1}=1$. Orden 2: $\frac{1-(-2)}{2-(-1)}=1$.
  2. Newton: $p_2(x)=4-2(x+1)+(x+1)(x-1)=4-2x-2+x^2-1=x^2-2x+1$.
  3. Iguales: $p_2(x)=(x-1)^2$ por los dos caminos. ✓
Receta: con 2 o 3 datos el sistema es viable; con 4 o más, Newton es más rápido y menos propenso a errores.
P2 · añadir un dato a P1 sin repetir P

A los datos de P1 se añade $(3,8)$. Halla $p_3$ aprovechando $p_2(x)=(x-1)^2$.

  1. Nodo nuevo al final: $x_3=3$, $f_3=8$.
  2. Diferencias nuevas (solo las que contienen $x_3$): $f[x_2,x_3]=\frac{8-1}{3-2}=7$; $f[x_1,x_2,x_3]=\frac{7-1}{3-1}=3$; $f[x_0,\dots,x_3]=\frac{3-1}{3+1}=\frac12$. Son 3 cuentas; las otras 3 de la tabla se reutilizan.
  3. Término nuevo: $\frac12(x+1)(x-1)(x-2)$, que se anula en los nodos viejos.
  4. Resultado: $p_3(x)=(x-1)^2+\frac12(x+1)(x-1)(x-2)=\frac12x^3-\frac52x+2$. Comprobación: $p_3(3)=\frac{27}2-\frac{15}2+2=8$ ✓.
Receta: añadir un nodo = calcular la nueva diagonal inferior (tantas diferencias como nodos había) + sumar un término.
P3 · interpolar $e^x$ y acotar el error con Lagrange P

Interpola $f(x)=e^x$ en $0,\frac12,1$; aproxima $e^{1/4}$ y acota el error con la forma de Lagrange del apartado 4.

Idea en una frase

El error es $\frac{f'''(\xi)}{3!}$ por el producto de las distancias a los 3 nodos; se acota $f'''=e^\xi$ entre su mínimo y su máximo en $[0,1]$.

  1. Tabla ($e^{1/2}\approx1{,}6487213$; $e\approx2{,}7182818$): orden 1: $\frac{1{,}6487213-1}{0{,}5}=1{,}2974425$ y $\frac{2{,}7182818-1{,}6487213}{0{,}5}=2{,}1391211$; orden 2: $\frac{2{,}1391211-1{,}2974425}{1-0}=0{,}8416786$.
  2. Newton: $p_2(x)=1+1{,}2974425\,x+0{,}8416786\,x\left(x-\frac12\right)$.
  3. Aproximación: $p_2(\frac14)=1+0{,}3243606-0{,}0526049=1{,}2717557$.
  4. Error ($n=2$): $e^{1/4}-p_2(\frac14)=\frac{e^{\xi}}{3!}\left(\frac14-0\right)\left(\frac14-\frac12\right)\left(\frac14-1\right)=\frac{e^\xi}{6}\cdot\frac{3}{64}$, con $\xi\in(0,1)$.
  5. Acotar $f'''(\xi)=e^\xi$: en $[0,1]$, $1\le e^\xi\le e$ (la exponencial es creciente).
  6. Cota: $0{,}0078\le e^{1/4}-p_2(\frac14)\le0{,}0212$. El error es positivo: el interpolador se queda por debajo.
  7. Comprobación: $e^{1/4}=1{,}2840254$; error real $0{,}0122697$, dentro de $[0{,}0078;\,0{,}0212]$ ✓.
Receta: error en un punto: (1) contar nodos: $n+1$; (2) $M$ = máximo de $|f^{(n+1)}|$ en el intervalo que contiene nodos y punto; (3) cota $=\frac{M}{(n+1)!}\prod|x-x_i|$.
Error típico

Usar $(x-x_0)^{n+1}$ (la de Taylor) en lugar del producto de las distancias a todos los nodos.

P4 · la cota de Lagrange frente al redondeo de los datos (ln 1,47) P

Se interpola $\ln x$ en $1{,}3;\ 1{,}4;\ 1{,}5;\ 1{,}6$ con los valores redondeados a 4 decimales (X p.119; es el Examen 7 de abajo) y se estima $\ln1{,}47\approx0{,}3853$. ¿Qué error garantiza la forma de Lagrange? ¿Por qué el error real es mayor?

Idea en una frase

La fórmula de Lagrange mide el error del método con datos exactos; aquí domina otro error, el del redondeo de los datos.

  1. Qué derivada. 4 nodos, $n=3$, hace falta $f^{(4)}$: $f'=\frac1x$, $f''=-\frac1{x^2}$, $f'''=\frac2{x^3}$, $f^{(4)}=-\frac6{x^4}$.
  2. Cota de $|f^{(4)}|$ en $[1{,}3;1{,}6]$: $\frac6{x^4}$ decrece, el máximo está en $1{,}3$: $M=\frac6{1{,}3^4}\approx2{,}1008$.
  3. Producto: $0{,}17\cdot0{,}07\cdot0{,}03\cdot0{,}13=4{,}641\cdot10^{-5}$.
  4. Cota: $\frac{2{,}1008}{4!}\cdot4{,}641\cdot10^{-5}\approx4{,}06\cdot10^{-6}$ (si los datos fueran exactos). Con los $\ln x_k$ exactos el error real es $2{,}6\cdot10^{-6}$: dentro de la cota.
  5. Pero los datos están redondeados (error $\le5\cdot10^{-5}$ cada uno). $p_3(1{,}47)$ es una combinación de los cuatro datos con pesos $-0{,}0455;\ 0{,}3315;\ 0{,}7735;\ -0{,}0595$, cuya suma de valores absolutos es $1{,}21$: el redondeo puede mover el resultado hasta $\approx6\cdot10^{-5}$.
  6. Conclusión. El error real, $|0{,}385262-0{,}385300|\approx3{,}7\cdot10^{-5}$, lo explica el redondeo de los datos, no la interpolación. No tiene sentido dar más de 4 cifras: $\ln1{,}47\approx0{,}3853$.
Receta: la cota de Lagrange mide el error del método; si los datos vienen redondeados hay que sumar el error de los datos; en la práctica, no dar más cifras que los datos.

8Así lo preguntan en el examen X exámenes

Qué cubre esta sección

X tiene 9 problemas distintos de interpolación (10 apariciones, contando X p.122). De interpolación pura son X pp.5, 57, 101 y 119; los demás la mezclan con trapecio y Simpson (Tema 6, aún no estudiado). Basta saber que Simpson con 3 nodos equiespaciados es la integral exacta de la parábola interpoladora: $\int_a^b f\approx\frac{b-a}6\left(f(a)+4f\!\left(\tfrac{a+b}2\right)+f(b)\right)$ y que el trapecio integra la poligonal. Esa es la conexión con este tema. Todos los resultados están verificados con sympy.

U pp.267-268
Examen 1 · cuatro datos alineados: el «grado 3» es una recta X p.5

Determine, por diferencias divididas, el polinomio de grado 3 que aproxima los siguientes datos: $k=0,1,2,3$; $x_k=-2,0,1,3$; $f(x_k)=0,2,3,5$.

Idea en una frase

Las tres pendientes salen iguales: los puntos están en una recta y el «polinomio de grado 3» es en realidad $x+2$.

  1. Orden 1: $\frac{2-0}{0+2}=1$; $\frac{3-2}{1-0}=1$; $\frac{5-3}{3-1}=1$.
  2. Orden 2: $\frac{1-1}{1+2}=0$ y $\frac{1-1}{3-0}=0$. Orden 3: $0$.
  3. Newton: $p_3(x)=0+1\cdot(x+2)+0+0=x+2$.
  4. Comprobación: $x+2$ vale $0,2,3,5$ en $-2,0,1,3$ ✓.
Errata de forma en X p.5

La fórmula recursiva impresa pone $f[x_{k+1},\dots,x_m]$ en el numerador; debe ser $f[x_{k+1},\dots,x_{k+m}]$. Los resultados son correctos.

Receta: si una columna de diferencias es toda ceros, las siguientes también y el grado es menor que el esperado (es E 3.21 en la práctica). No dudes de tu resultado solo porque pedían «grado 3».
Examen 2 · polinomio de grado 3 con $(1,3),(5,11),(8,38),(10,56)$ X p.57

Determínese, mediante diferencias divididas, el polinomio de grado 3 que interpola los siguientes datos: $k=0,1,2,3$; $x_k=1,5,8,10$; $f(x_k)=3,11,38,56$.

Es idéntico a E 3.24: $p_3(x)=3+2(x-1)+(x-1)(x-5)-\tfrac19(x-1)(x-5)(x-8)=-\tfrac19x^3+\tfrac{23}9x^2-\tfrac{89}9x+\tfrac{94}9$. Resultados correctos.

Erratas de forma en X p.57

(i) La fórmula recursiva impresa pone $f[x_{k+1},\dots,x_m]$ en el numerador; debe ser $f[x_{k+1},\dots,x_{k+m}]$. (ii) En la tabla, la tercera casilla de orden 1 tiene denominador $x_3-x_1$; debe ser $x_3-x_2$ (el número, $10-8$, está bien).

Receta: la del ejercicio 3.24.
Examen 3 · parábola por tres puntos: $f(8)$, $f(1)$ y Simpson X pp.101, 107

(p.101) De una función $f$ se sabe que $f(0)=1$, $f(2)=3$ y $f(4)=2$. Aproxime el valor de $f(8)$ utilizando el polinomio interpolador. (p.107) Mismos datos: (a) aproxime $f(1)$ con el polinomio interpolador; (b) aproxime $\int_0^4f(x)\,dx$ mediante la fórmula de Simpson; (c) compruebe que obtiene el mismo resultado si integra el polinomio interpolador entre 0 y 4.

Idea en una frase

Tres datos, parábola por Newton y se evalúa; Simpson es exactamente integrar esa parábola.

  1. Orden 1: $\frac{3-1}{2-0}=1$ y $\frac{2-3}{4-2}=-\frac12$. Orden 2: $\frac{-\frac12-1}{4-0}=-\frac38$.
  2. Polinomio: $p(x)=1+x-\frac38x(x-2)=-\frac38x^2+\frac74x+1$.
  3. (p.101) $f(8)\approx p(8)=1+8-\frac38\cdot8\cdot6=9-18=-9$.
  4. (p.107 a) $f(1)\approx p(1)=1+1-\frac38\cdot1\cdot(-1)=\frac{19}8=2{,}375$.
  5. (p.107 b) Simpson: $\frac{4-0}6\left(f(0)+4f(2)+f(4)\right)=\frac46(1+12+2)=10$.
  6. (p.107 c) $\int_0^4\left(-\frac38x^2+\frac74x+1\right)dx=-\frac38\cdot\frac{64}3+\frac74\cdot8+4=-8+14+4=10$. Iguales, porque Simpson se obtiene integrando el interpolador de grado 2 en $a,\frac{a+b}2,b$.
Errata (X p.101) y hueco (X p.107)

X p.101: la última línea dice «el valor aproximado de $f(3)$ viene dado por $p(8)$»; debe decir $f(8)$. El número, $-9$, es correcto. X p.107: la solución impresa no da el valor de $f(1)$ pedido en (a); es $\frac{19}8$ (cálculo propio).

Cuidado · extrapolar

$p(8)=-9$ es una extrapolación (8 está lejos de $[0,4]$). La forma de Lagrange (apartado 4, P) lo explica: el producto $|8-0||8-2||8-4|=192$ es enorme, frente a $|1-0||1-2||1-4|=3$ en $x=1$. Que salga negativo con datos entre 1 y 3 es una señal de alarma.

Receta: interpolar y evaluar. Para Simpson con 3 nodos equiespaciados: o la fórmula, o integrar la parábola (salen iguales).
Examen 4 · trapecio, Simpson y por qué $\int g$ coincide con Simpson X pp.65-66

Se consideran los siguientes valores de una función: $x=1,2,3$; $f(x)=31,26,43$. (a) Calcule $\int_1^3f$ por la regla del trapecio. (b) Calcule $\int_1^3f$ por la regla de Simpson con 3 nodos igualmente espaciados. (c) La función $g(x)=11x^2-38x+58$ verifica $f(1)=g(1)$, $f(2)=g(2)$, $f(3)=g(3)$. Calcule $\int_1^3g$ y compárelo con los valores obtenidos en los apartados anteriores. Justifique a qué se debe la diferencia.

Idea en una frase

El trapecio integra la poligonal (rectas entre datos); Simpson integra la parábola interpoladora, y $g$ es esa parábola: por eso $\int g$ coincide con Simpson.

  1. (a) Trapecio compuesto con 3 nodos, $h=1$: $\frac h2(f_0+2f_1+f_2)=\frac12(31+52+43)=63$.
  2. (b) Simpson: $\frac{3-1}6(31+4\cdot26+43)=\frac{178}3\approx59{,}333$.
  3. (c) ¿Es $g$ el interpolador? $g(1)=11-38+58=31$, $g(2)=44-76+58=26$, $g(3)=99-114+58=43$: sí, y como tiene grado 2, por unicidad es el interpolador. (Con Newton: orden 1: $-5$ y $17$; orden 2: $11$; $p_2=31-5(x-1)+11(x-1)(x-2)=11x^2-38x+58$.)
  4. Integral: $\int_1^3g=\left[\frac{11}3x^3-19x^2+58x\right]_1^3=\frac{178}3$.
  5. Justificación: Simpson es la integral exacta de la parábola que interpola en $a,\frac{a+b}2,b$; $g$ es esa parábola; luego $\int g=$ Simpson. El trapecio usa rectas y da otra cosa (63).
Erratas de X pp.65-66 y X p.123

En (a) y (b) de la solución se escribe «$f(0)=31$, $f(1)=26$, $f(3)=43$»; los nodos son $1,2,3$, debe ser $f(1)=31$, $f(2)=26$, $f(3)=43$. Los resultados (63 y $\frac{178}3$) son correctos. Error de cálculo en X p.123 (Examen 5, Ej. 5, el mismo problema sin (c)): en el trapecio sustituye $f(x_1)=31$ en lugar de $26$ y obtiene 68; lo correcto es 63. La comparación de la p.124 arrastra el error y repite la errata de rotulado.

Receta: «¿por qué coincide con Simpson?» → Simpson integra el interpolador de grado 2 y, por unicidad, la parábola dada es ese interpolador.
Examen 5 · Simpson con $f(0)=1,f(1)=-2,f(2)=0$ X p.85

Sea $f$ una función continua tal que $f(0)=1$, $f(1)=-2$, $f(2)=0$. Aproxime el valor de la integral $I=\int_0^2f(x)\,dx$ con el método de Simpson.

  1. Simpson con $a=0$, $\frac{a+b}2=1$, $b=2$: $I\approx(2-0)\frac{1+4(-2)+0}6=\frac{2\cdot(-7)}6=-\frac73$.
  2. Comprobación vía interpolación: el interpolador es $p_2(x)=\frac52x^2-\frac{11}2x+1$ y $\int_0^2p_2=-\frac73$ ✓.
Erratas de X p.85

(i) La nota dice «en el enunciado ponía $f(3)=0$ y era una errata, debía ser $f(3)=0$»: es contradictoria; quiere decir «debía ser $f(2)=0$», que es lo que se usa. (ii) La última línea escribe $\int_1^2f$ en lugar de $\int_0^2f$. El resultado $-\frac73$ es correcto.

Receta: Simpson = $\frac{b-a}6\,(f(a)+4f(\frac{a+b}2)+f(b))$, es decir, integrar la parábola por los tres datos.
Examen 6 · una función por $(0,15),(1,18),(2,20),(4,23)$ y su integral X p.100

Encuentre una función $f$ cuya gráfica pase por los puntos $(0,15)$, $(1,18)$, $(2,20)$ y $(4,23)$. Aproxime $\int_0^2f(x)\,dx$ utilizando el método del trapecio y el método de Simpson. (No hay una errata, se trata de la integral entre 0 y 2.)

Idea en una frase

Son los datos de U Ej. 3.17-3.18: la función pedida es el interpolador $p_3$; las integrales se hacen con los datos en $0,1,2$.

  1. Función (U Ej. 3.18): $p_3(x)=15+3x-\frac12x(x-1)+\frac1{12}x(x-1)(x-2)=\frac1{12}x^3-\frac34x^2+\frac{11}3x+15$.
  2. Trapecio simple: $\frac{2-0}2(15+20)=35$. Compuesto con $h=1$: $\frac12(15+2\cdot18+20)=\frac{71}2=35{,}5$.
  3. Simpson en $0,1,2$: $\frac26(15+4\cdot18+20)=\frac{107}3\approx35{,}667$.
  4. Comparación: $\int_0^2p_3=\frac{107}3$, igual que Simpson (Simpson solo usa $f(0),f(1),f(2)$, que $p_3$ reproduce; que dé justo $\int_0^2p_3$ se debe a que Simpson es exacto para polinomios de grado $\le3$, propiedad del Tema 6 no demostrada aquí: P).
Omisión de X

La solución impresa solo dice que el polinomio es el de U Ej. 3.18 y que la integral se aproxima «sin más que sustituir los datos»; no da ningún valor. Los números de arriba son cálculo propio (verificado con sympy).

Receta: «encuentre una función por estos puntos» = interpolador de Newton; luego, trapecio y Simpson con los datos que caen en el intervalo.
Examen 7 · interpolar $\ln x$ en $1{,}3;1{,}4;1{,}5;1{,}6$ y estimar $\ln1{,}47$ X pp.119-121

Determínese un polinomio de grado 3 que aproxime a $f(x)=\ln x$ a partir de los valores de la función $\ln x$ en los nodos 1,3; 1,4; 1,5 y 1,6. Para ello, utilícense diferencias divididas y 4 cifras significativas. A partir de este polinomio, estímese el valor de $\ln 1{,}47$.

Idea en una frase

Igual que E 3.24 pero con decimales: tabla, Newton y evaluar sin desarrollar para no acumular redondeos.

  1. Datos (4 decimales): $0{,}2624;\ 0{,}3365;\ 0{,}4055;\ 0{,}4700$.
  2. Orden 1 (entre $0{,}1$): $0{,}741;\ 0{,}690;\ 0{,}645$.
  3. Orden 2 (entre $0{,}2$): $\frac{0{,}690-0{,}741}{0{,}2}=-0{,}255$; $\frac{0{,}645-0{,}690}{0{,}2}=-0{,}225$.
  4. Orden 3 (entre $0{,}3$): $\frac{-0{,}225+0{,}255}{0{,}3}=0{,}1$.
  5. Newton: $p_3(x)=0{,}2624+0{,}741(x-1{,}3)-0{,}255(x-1{,}3)(x-1{,}4)+0{,}1(x-1{,}3)(x-1{,}4)(x-1{,}5)$.
  6. Evaluar en 1,47 (factores $0{,}17;\ 0{,}07;\ -0{,}03$): $0{,}2624+0{,}12597-0{,}0030345-0{,}0000357=0{,}3852998\approx\mathbf{0{,}3853}$. Comparación: $\ln1{,}47=0{,}385262$.
Detalles de X (no cambian el resultado)

(i) En X p.120 los rangos de $k$ están desplazados una unidad: $x_{k+1}-x_k=0{,}1$ es para $k=0,1,2$ (X pone $0,\dots,3$); $x_{k+2}-x_k=0{,}2$ para $k=0,1$ (X: $0,\dots,2$); $x_{k+3}-x_k=0{,}3$ solo para $k=0$ (X: $0,1$). (ii) En X p.121 se redondea $0{,}741\cdot0{,}17=0{,}12597$ a $0{,}1260$ y sale $0{,}3853293$; sin ese redondeo, $0{,}3852998$. Con 4 cifras, ambos dan $0{,}3853$. (iii) X desarrolla también el polinomio ($\approx0{,}1x^3-0{,}675x^2+2{,}017x-1{,}438$; sympy da $2{,}0165$, que X redondea a $2{,}017$: no es error) y avisa, con razón, de que evaluar esa forma introduce más redondeo.

Receta: con decimales, evaluar la forma de Newton directamente y redondear solo al final. Sobre el tamaño del error, ver el ejemplo propio P4.
Examen 8 · $f(2)$ con nodos no equiespaciados y Simpson compuesta X p.151

De una función $f$ se sabe que $f(1)=2$, $f(3)=3$, $f(4)=2$ y $f(8)=10$. (a) Aproxime el valor de $f(2)$ utilizando el polinomio interpolador (1,5 puntos). (b) Usando el valor de $f(2)$ obtenido en el apartado anterior, aproxime el valor de $\int_1^4f(x)\,dx$ mediante la fórmula compuesta de Simpson en dos subintervalos (1,5 puntos).

Idea en una frase

(a) Nodos no equiespaciados: cada división usa su propio denominador. (b) Con el interpolador se conoce $f$ «en cualquier punto» de $[1,4]$ y se aplica Simpson compuesta.

(a)

  1. Orden 1: $\frac{3-2}{3-1}=\frac12$; $\frac{2-3}{4-3}=-1$; $\frac{10-2}{8-4}=2$.
  2. Orden 2: $\frac{-1-\frac12}{4-1}=-\frac12$; $\frac{2+1}{8-3}=\frac35$.
  3. Orden 3: $\frac{\frac35+\frac12}{8-1}=\frac{11}{70}$.
  4. Newton: $p(x)=2+\frac12(x-1)-\frac12(x-1)(x-3)+\frac{11}{70}(x-1)(x-3)(x-4)$.
  5. En $x=2$ (factores $1,-1,-2$): $2+\frac12+\frac12+\frac{11}{70}\cdot2=3+\frac{11}{35}=\frac{116}{35}\approx\mathbf{3{,}3143}$.

(b) (X avisa de que el enunciado tiene una errata: debería decir «usando el polinomio interpolador»; admitió cualquier planteamiento razonable.)

  1. Simpson compuesta, 2 subintervalos de $[1,4]$: $h=\frac{4-1}2=\frac32$; nodos $1,\ \frac74,\ \frac52,\ \frac{13}4,\ 4$ (extremos y puntos medios de cada subintervalo).
  2. Fórmula: $\frac h6\left(p(1)+4p(\tfrac74)+2p(\tfrac52)+4p(\tfrac{13}4)+p(4)\right)=\frac{2409}{280}\approx\mathbf{8{,}6036}$ (X escribe 8,6035, truncado).
  3. Observación propia: es exactamente $\int_1^4p(x)\,dx=\frac{2409}{280}$, porque Simpson es exacto para cúbicas (propiedad del Tema 6, P). Otra lectura que X admite: Simpson simple en $1,2,3$ (con $p(2)$) más trapecio en $[3,4]$, que da $\frac{601}{70}\approx8{,}5857$.
Erratas de X p.151

(i) En el desarrollo de $p(x)$ aparece «$+[x_0,x_1,x_2,x_3](x-x_0)\ldots$»: falta la $f$; es $f[x_0,x_1,x_2,x_3]$. (ii) $\frac{116}{35}=3{,}31428\ldots$ se redondea a $3{,}3143$ (X escribe $3{,}3142$, truncando). (iii) Errata del enunciado del apartado (b), reconocida por X. (iv) En $f[x_1,x_2]$ escribe $\frac{2-3}{4-3}=\frac{2-3}2=-1$: el «$/2$» debe ser «$/1$»; el resultado $-1$ es correcto.

Receta: nodos no equiespaciados: el denominador es siempre $x_{\text{último}}-x_{\text{primero}}$ del grupo. Si un apartado necesita valores de $f$ que no se tienen, se sacan del interpolador.

9Errores frecuentes, erratas y chuleta

Errores frecuentes

Erratas y avisos detectados en este tema

  1. E 3.22 (p. 107): «el grado será menor o igual que $n$» es impreciso: con $n$ puntos el grado es $\le n-1$, y por eso la afirmación es siempre falsa. El contraejemplo de E supone que el polinomio tiene $n$ raíces reales.
  2. E 3.28 (p. 113): la respuesta «11» para el nodo 2005,5 supone la tabla ordenada; como las diferencias no dependen del orden de los nodos, añadiéndolo al final bastan 5.
  3. E 3.25 (p. 109): no es errata: el texto menciona 1, 2 y 4 s pero la tabla incluye $t=0$; se sigue la tabla (aviso de lectura en el ejercicio).
  4. U Ej. 3.18 (p. 124): «Su grado es 3, porque tenemos 4 datos»: lo preciso es «grado $\le3$; es 3 porque $f[x_0,\dots,x_3]=\frac1{12}\neq0$».
  5. X pp.65-66: «$f(0)=31$, $f(1)=26$» en lugar de $f(1)=31$, $f(2)=26$ (resultados correctos). X p.123 (Examen 5, Ej. 5): trapecio $=68$ por sustituir $f(x_1)=31$; lo correcto es $63$.
  6. X p.85: nota contradictoria sobre $f(3)$/$f(2)$ y $\int_1^2$ en lugar de $\int_0^2$. Resultado $-\frac73$ correcto.
  7. X p.100: no da ningún valor numérico (trapecio 35 o 35,5; Simpson $\frac{107}3$). X p.101: «$f(3)$» en lugar de $f(8)$. X p.107: no da $f(1)=\frac{19}8$.
  8. X pp.120-121: rangos de $k$ desplazados una unidad y redondeo intermedio ($0{,}3853293$ frente a $0{,}3852998$); ambos dan $0{,}3853$.
  9. X p.151: falta la $f$ en $f[x_0,x_1,x_2,x_3]$; $\frac{116}{35}\approx3{,}3143$ (no $3{,}3142$).
  10. Forma de Lagrange del error (apartado 4): no está en U/S/L; viene de las notas adicionales del cronograma y no se ha podido cotejar con ellas.

Chuleta

ConceptoFórmulaFuente
Problemadatos $(x_k,f_k)$, $k=0..n$; $p_n$ de grado $\le n$ con $p_n(x_k)=f_k$U pp.120-121
Existencia y unicidadexiste y es único (grado $\le n$); $m$ datos $\Rightarrow$ grado $\le m-1$U p.121
Diferencias divididas$f[x_k]=f_k$; $f[x_k,..,x_{k+m}]=\frac{f[x_{k+1},..,x_{k+m}]-f[x_k,..,x_{k+m-1}]}{x_{k+m}-x_k}$U p.123
Newton$p_n=f[x_0]+f[x_0,x_1](x-x_0)+\dots+f[x_0..x_n](x-x_0)\cdots(x-x_{n-1})$U p.124
Añadir un nodo$p_n=p_{n-1}+f[x_0..x_n](x-x_0)\cdots(x-x_{n-1})$; nuevas = las que contienen $x_n$U p.124
Orden de los nodoslas $f[\dots]$ no dependen del orden: el nodo nuevo puede ir al finalP
Nodos equiespaciadosel denominador de orden $m$ es $m\cdot h$E 3.27 · P
Error (Lagrange)$f(x)-p_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\prod_{i=0}^n(x-x_i)$ (sin verificar con notas adicionales)P
Simpson (3 nodos)$\frac{b-a}6\left(f(a)+4f(\tfrac{a+b}2)+f(b)\right)$ = $\int_a^bp_2$U p.268

Lista de comprobación

★Fuentes de este tema

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