Módulo III · Aplicaciones de la derivada · Tema 3.4

Optimización. Extremos relativos y absolutos

Cómo encontrar el mayor y el menor valor de una función, cómo decidir si un punto crítico es máximo, mínimo o ninguno de los dos, y cómo aplicarlo a problemas de «hacer algo lo más grande (o barato) posible».

Libro oficial: Cálculo para Ingenieros, §3.4 (pp. 125-134)Ejercicios: E Ej. 3.29–3.38 y 3.44Examen: 8 problemas de X⏱ ~5 h de estudio

U oficial S Stewart L Larson E ejercicios P propio X exámenes — pasa el ratón (o toca) por cada etiqueta para ver libro y página; en pantallas anchas aparecen en el margen derecho.

0Antes de empezar U p.125

La idea del tema en una frase

Todos buscamos «lo máximo con lo mínimo»: la caja de más volumen con una lámina dada, la lata que gasta menos chapa, el instante de máxima velocidad. Matemáticamente: dada una función, encontrar dónde alcanza su valor más grande o más pequeño. La derivada da la pista: en lo alto de una colina (o en el fondo de un valle) la tangente es horizontal, o hay un «pico» donde ni siquiera hay tangente. Esos son los puntos críticos, los únicos sospechosos.

U p.125

Qué necesitas saber ya U §2.2-2.3, pp.52, 98

Derivar y resolver $f'(x)=0$ (reglas de derivación, Tema 2).
Crecimiento y decrecimiento: $f'>0\Rightarrow f$ estrictamente creciente; $f'<0\Rightarrow$ estrictamente decreciente (Prop. 2.4, p. 98).
Límites en $\pm\infty$ y L'Hôpital (para intervalos no acotados), §2.3.
Una función continua en un intervalo cerrado y acotado alcanza máximo y mínimo (Weierstrass, Prop. 1.15, p. 52).

Mapa del tema

Apartado	Qué contiene	Dónde está
1 Extremos absolutos	Def. 3.4-3.5, Weierstrass, Prop. 3.4, método del intervalo cerrado, intervalos abiertos	U pp.125-129
2 Extremos relativos	Def. 3.6, Ej. 3.22, aviso del borde, Prop. 3.5-3.8, Ej. 3.23-3.24, punto de silla	U pp.130-133
3 Optimización	receta con restricción, Ej. 3.25-3.26	U pp.132-134
4 Ejercicios de E	3.29-3.38 y 3.44, de fácil a difícil	E pp.114-127
5 Ejemplos propios	4 ejemplos	propio
6 Examen	8 problemas de X	X
7 Chuleta y comprobación	fórmulas, errores, lista	síntesis

Qué se pide en los ejercicios y en el examen

(A) Extremos en un intervalo cerrado: lista de candidatos, tabla de valores (E 3.32-3.33; X feb. 2010, Electrónica s/f). (B) Clasificar puntos críticos con la 1.ª o la 2.ª derivada, o con derivadas de orden superior (E 3.29-3.31, 3.36, 3.44; X Examen 5). (C) Casos con valor absoluto o raíz, donde no hay derivada (E 3.34-3.35). (D) Problemas de optimización: «dos números con suma fija y producto máximo», cajas, rectángulos (E 3.37-3.38; X sep. 2017, feb. 2018). (E) Preguntas teóricas: «¿alcanza máximo y mínimo?» (Weierstrass). Los ejercicios E 3.39-3.43, 3.45-3.48 (concavidad, inflexión, representación gráfica) son de 3.5 y se verán en 3.5.

1Extremos absolutos y puntos críticos U pp.125-129

Idea intuitiva

Imagina la gráfica como un perfil de montaña recorrido por un excursionista. El máximo absoluto es la cumbre más alta de todo el recorrido; el mínimo absoluto, el punto más bajo. Una función continua sobre un tramo con principio y final (un intervalo cerrado) no puede evitar tener un punto más alto y uno más bajo: no hay huecos por los que «escaparse». Si el recorrido no tiene final (intervalo infinito) o no incluye sus extremos (abierto), la cima puede quedar «fuera» y no existir.

Definición 3.4 · extremos absolutos

$f:D\to\mathbb R$ tiene un mínimo absoluto en $c$ si $f(c)\le f(x)$ para todo $x\in D$; tiene un máximo absoluto en $c$ si $f(c)\ge f(x)$ para todo $x\in D$. Un extremo absoluto es un máximo o un mínimo absoluto.

U p.126

Error típico · punto frente a valor

El máximo se alcanza en un punto $x=c$ (eje horizontal) y vale $f(c)$ (eje vertical). U avisa de que «un error habitual es confundir el punto en donde se alcanza el extremo con el valor extremo que se alcanza». Si te piden «los extremos», da ambos. Además, un mismo valor extremo puede alcanzarse en varios puntos.

U pp.127-128

Teorema de Weierstrass (valor extremo) · existencia

Si $f$ es continua en $[a,b]$, existen $c,d\in[a,b]$ con $f(c)\le f(x)\le f(d)$ para todo $x\in[a,b]$: $f$ alcanza un mínimo y un máximo absolutos. Garantiza que existen; no dice dónde están.

U p.52 S p.275 L p.162

Definición 3.5 · punto crítico

El punto $c\in(a,b)$ es un punto crítico de la función continua $f:[a,b]\to\mathbb R$ si $f'(c)=0$ o $f$ no es derivable en $c$.

U p.126 L p.164

Proposición 3.4 · dónde buscar los extremos absolutos

Los extremos absolutos de una función continua $f:[a,b]\to\mathbb R$ se alcanzan en los extremos del intervalo ($a$ o $b$) o en los puntos críticos de $f$.

La continuidad es esencial: $f(x)=1/x$ si $x\ne0$, $f(0)=0$, en $[-1,1]$ no tiene extremos absolutos.

U p.126

Método del intervalo cerrado (receta)

Comprobar que $f$ es continua en $[a,b]$ (así hay máximo y mínimo: Weierstrass).
Hallar los puntos críticos de $(a,b)$: ceros de $f'$ y puntos donde $f$ no es derivable.
Evaluar $f$ en los puntos críticos y en $a$ y $b$.
El valor mayor es el máximo absoluto; el menor, el mínimo absoluto. Decir en qué puntos se alcanzan.

U no lo enuncia como receta, pero es exactamente lo que hace en los Ejemplos 3.19 y 3.20.

U pp.126-128 L p.165 S pp.278-280

Ejemplo 3.19 de U · polinomio en un intervalo cerrado

Extremos absolutos de $f(x)=4x^3-3x^2-6x+2$ en $[0,2]$.

Derivada: $f'(x)=12x^2-6x-6=6(2x^2-x-1)$. Es un polinomio: derivable siempre, los críticos son los ceros de $f'$.
Ceros: $2x^2-x-1=0\iff x=1$ o $x=-\tfrac12$. Solo $x=1$ está en $(0,2)$.
Tabla: $f(0)=2$, $f(1)=-3$, $f(2)=32-12-12+2=10$.
Conclusión: mínimo absoluto $-3$ en $x=1$; máximo absoluto $10$ en $x=2$ (un borde).

U pp.126-127

Ejemplo 3.20 de U · con un punto no derivable

Extremos absolutos de $f(x)=|\operatorname{sen}x|$ en $[0,2\pi]$.

A trozos: $f=\operatorname{sen}x$ en $[0,\pi]$ y $f=-\operatorname{sen}x$ en $(\pi,2\pi]$.
Críticos: $\pi/2$ y $3\pi/2$ ($f'=0$) y $\pi$ (pico: no derivable).
Tabla: $f(0)=0$, $f(\pi/2)=1$, $f(\pi)=0$, $f(3\pi/2)=1$, $f(2\pi)=0$.
Conclusión: máximo absoluto $1$ en $\pi/2$ y $3\pi/2$; mínimo absoluto $0$ en $0$, $\pi$ y $2\pi$.

U pp.127-128

Gráfica de |sen x| en [0, 2π] con dos máximos de valor 1 en π/2 y 3π/2 y mínimos de valor 0 en 0, π y 2π — Figura 3.1: $|\operatorname{sen}x|$ y sus extremos absolutos en $[0,2\pi]$. U p.128

Intervalos abiertos o infinitos U p.128

Si el intervalo es abierto (o infinito) no se puede evaluar en los extremos, pero se sustituyen por los límites de $f$ al acercarse a ellos. Y como el intervalo no es cerrado y acotado, no hay garantía a priori de que existan máximo o mínimo.

Ejemplo 3.21 de U · $x/(x^2+1)$ en $(0,\infty)$

Derivada: $f'(x)=\dfrac{1-x^2}{(x^2+1)^2}$. El denominador no se anula, luego $f$ es derivable; $f'=0\iff x=\pm1$, y solo $x=1$ está en el intervalo $(0,\infty)$ ($x=-1$ no pertenece a él).
Límites en los bordes: $\lim_{x\to0^+}f(x)=0$ y $\lim_{x\to\infty}f(x)=0$ (por L'Hôpital: $\lim_{x\to\infty}\frac{x}{x^2+1}=\lim_{x\to\infty}\frac1{2x}=0$).
Comparar: $f(1)=\tfrac12>0$. Como la función sube desde $0$ hasta $\tfrac12$ y vuelve a acercarse a $0$, el máximo absoluto es $\tfrac12$, en $x=1$.
Mínimo: $f>0$ en todo el intervalo y se acerca a $0$ sin tocarlo ($0$ no pertenece al intervalo $(0,\infty)$): no hay mínimo absoluto.

U pp.128-129

La banda de los extremos

U resume: «si $f$ tiene máximo y mínimo absoluto en $D$, su gráfica estará encerrada en una banda determinada por los extremos». Es decir, toda la gráfica queda entre la recta horizontal del mínimo y la del máximo, como una película entre dos tiras. En el ejemplo, $0<f\le\tfrac12$: hay máximo pero no mínimo, y la gráfica no toca nunca la tira de abajo.

U p.129

Gráfica de x/(x²+1) para x>0: sube hasta el máximo 1/2 en x=1 y luego decrece acercándose a 0 — Figura 3.2: $x/(x^2+1)$ y su máximo absoluto en $(0,\infty)$. U p.129

2Extremos relativos y su clasificación U pp.130-133

Idea intuitiva

Un máximo relativo es una cima «de su vecindad»: la más alta si solo miras alrededor, aunque la montaña de al lado sea más alta. Todo extremo absoluto es también relativo (véase el aviso de abajo sobre los bordes), pero no al revés. U lo motiva con la bolsa: «comprar cuando la acción va a subir y vender cuando va a bajar» es aprovechar los extremos relativos de la función.

Definición 3.6 · extremos relativos

$f:D\to\mathbb R$ alcanza un mínimo relativo en $c$ si existe un intervalo $I\subset D$ (que contiene a $c$: aclaración propia, el texto impreso no lo dice) tal que $f(c)\le f(x)$ para todo $x\in I$. Alcanza un máximo relativo en $c$ si $f(c)\ge f(x)$ para todo $x\in I$. Un extremo relativo es un máximo o un mínimo relativo.

U p.130

Ejemplo 3.22 de U · relativos sí, absolutos no

La función $f(x)=1+\dfrac{(x+1)^2\,(x-\frac34)}{4-x^2}$ (fórmula comprobada en el libro) no tiene extremos absolutos en $(-2,2)$, pero sí relativos. $x=2$ y $x=-2$ son asíntotas verticales: al acercarse a $-2$ la función baja sin límite y al acercarse a $2$ sube sin límite, así que no hay valor más bajo ni más alto. Sin embargo, en la figura se ven una cima local cerca de $x=-1$ y un valle local cerca de $x\approx0{,}2$.

U p.130

Gráfica de f en (-2,2) entre las asíntotas verticales x=-2 y x=2: baja hacia menos infinito cerca de -2, tiene un máximo local cerca de x=-1, un mínimo local cerca de x=0,2 y sube hacia infinito cerca de 2 — Figura al margen del Ejemplo 3.22: extremos relativos sin extremos absolutos. U p.130

Aviso · los bordes del intervalo también cuentan (convenio de U)

Con la Def. 3.6 de U, un extremo del intervalo puede ser extremo relativo (basta tomar $I=[a,a+\delta]$). Por eso la Prop. 3.6 dice «en los extremos del intervalo o en los puntos críticos», y por eso E (3.31, 3.32, 3.33) llama extremos relativos a $t=0$, $x=\pm1$, $t=6$. Stewart (§4.1) solo llama «local» a un extremo interior. En el examen, sigue el convenio de U y, si quieres, aclara «extremo relativo en el borde del intervalo».

U pp.130-131

Proposición 3.5 · criterio de la 1.ª derivada (en forma de monotonía)

Sea $f$ continua y $c\in D$. Si existe $\varepsilon>0$ tal que $f$ es decreciente en $(c-\varepsilon,c)$ y creciente en $(c,c+\varepsilon)$, hay un mínimo relativo en $c$. Si es creciente a la izquierda y decreciente a la derecha, hay un máximo relativo.

En la práctica, con $f$ continua en $c$ y $f'\neq0$ a ambos lados de $c$ (cerca de $c$): el signo de $f'$ cambia en $c$. De $-$ a $+$: mínimo. De $+$ a $-$: máximo. Si $f'$ tiene el mismo signo a ambos lados, no hay extremo. Sin la continuidad en $c$ el criterio falla (Ej. 3.23). U lo subraya: «la continuidad es una hipótesis esencial».

U p.130 L p.179

Ejemplo 3.23 de U · crecer y luego decrecer no basta si hay un salto

$f(x)=x$ si $x<1$; $f(x)=1-x$ si $x\ge1$. Su derivada pasa de $+$ ($f'=1$ antes de $1$) a $-$ ($f'=-1$ después), y sin embargo no hay máximo relativo en $1$: $f(1)=0$ es menor que los valores justo a la izquierda (que se acercan a $1$) y mayor que los de justo a la derecha (negativos), así que $f(1)$ no es ni mayor ni menor o igual que los valores de $f$ en ningún intervalo que contenga a $1$. La causa: $f$ no es continua en $1$ (salta de $1$ a $0$), y la Prop. 3.5 exige continuidad.

U pp.130-131

Gráfica de la función a trozos x si x<1 y 1-x si x>=1: una recta creciente que termina en (1,1) sin llegar, y otra decreciente que empieza en (1,0) — Figura 3.3: creciente en $(-\infty,1)$ y decreciente en $(1,\infty)$, sin extremo relativo en $1$. U p.131

Proposición 3.6 · los candidatos (la idea de Fermat)

Los extremos relativos de una función continua $f:[a,b]\to\mathbb R$ se alcanzan en los extremos del intervalo o en los puntos críticos. Los extremos relativos de una función continua $f:(a,b)\to\mathbb R$ se alcanzan, de existir, en los puntos críticos.

U no enuncia el «teorema de Fermat» con ese nombre; esta Proposición 3.6 es su contenido: si $f$ es derivable y tiene un extremo relativo interior en $c$, entonces $f'(c)=0$. El recíproco es falso (ver punto de silla).

Nota de notación de U (p. 131): es muy común llamar «extremos» a los puntos en los que se alcanza un extremo relativo; así, «$f$ tiene un extremo en $x=a$» significa que $f$ alcanza un valor extremo para $x=a$ (lo mismo que se hace en E 3.34).

U p.131 S p.276 L p.164

Definición 3.7 · punto de silla

El punto $c$ es un punto de silla para $f$ si es un punto crítico de $f$ pero $f$ no alcanza un extremo relativo en $c$. Ejemplo: $f(x)=x^3$ en $x=0$.

U p.131

Proposición 3.7 · criterio de la 2.ª derivada

Sea $f:(a,b)\to\mathbb R$ dos veces derivable y $c\in(a,b)$ con $f'(c)=0$. Si $f''(c)>0$, mínimo relativo en $c$ (la gráfica se curva hacia arriba, como una «sonrisa»). Si $f''(c)<0$, máximo relativo en $c$ (curva hacia abajo). Si $f''(c)=0$, no decide.

U p.131 L p.191 S p.295

Proposición 3.8 · derivadas de orden superior

Si la primera derivada que no se anula en un punto crítico $c$ es de orden par, hay extremo: máximo si es negativa, mínimo si es positiva. Si es de orden impar, hay un punto de silla.

Truco para recordarlo: $x^2,x^4,\dots$ (orden par) tienen mínimo en $0$ y $-x^2,-x^4,\dots$ máximo; $x^3,x^5,\dots$ (orden impar) no tienen extremo.

U p.132

Ejemplo 3.24 de U · $f(x)=x^4-2x^3$

Críticos: $f'(x)=4x^3-6x^2=x^2(4x-6)=0\iff x=0$ o $x=\tfrac32$.
En $x=\tfrac32$: $f''(x)=12x^2-12x$, $f''(\tfrac32)=27-18=9>0$: mínimo relativo (Prop. 3.7), con $f(\tfrac32)=-\tfrac{27}{16}$.
En $x=0$: $f''(0)=0$, la Prop. 3.7 no decide. $f'''(x)=24x-12$, $f'''(0)=-12\neq0$: la primera derivada no nula es la 3.ª (orden impar) y hay un punto de silla (Prop. 3.8).
Comprobación con signos: $f'=x^2(4x-6)$ es negativa a ambos lados de $0$ (el factor $x^2\ge0$ no cambia de signo): $f$ decrece antes y después de $0$.

U p.132

Gráfica de x^4 - 2x^3: decreciente hasta x=3/2, mínimo ahí, creciente después, con un punto de silla en el origen — Figura 3.4: $x^4-2x^3$, con su intervalo de decrecimiento y crecimiento, su mínimo relativo y su punto de silla. U p.133

Una función puede tener infinitos extremos

U avisa de que una función puede tener infinitos extremos relativos y que los valores en ellos pueden no coincidir (ejemplo $x\cos x$).

U p.132

Cómo elegir el criterio

1.ª derivada (signos): funciona si $f$ es continua en $c$ (también con puntos no derivables y si $f''(c)=0$) y es la que hay que usar con una gráfica de $f'$. 2.ª derivada: más rápida si $f''$ es fácil de calcular y $f''(c)\neq0$. Definición: cuando hay cuadrados, valores absolutos o raíces, una desigualdad como $f(x)\ge f(c)$ lo resuelve sin derivar (E 3.34, 3.35, 3.44).

Errores típicos del apartado P

Pensar que «relativo» y «absoluto» se excluyen: un mínimo absoluto es también relativo.
Decir «$f'(c)=0$, luego hay extremo»: falso ($x^3$ en $0$).
Decir «$f''(c)=0$, luego es punto de silla (o de inflexión)»: la Prop. 3.7 no decide ($x^4$ tiene mínimo en $0$).
Olvidar los puntos donde $f$ no es derivable (pico del valor absoluto, raíz cúbica).
Usar $f''<0$ para asegurar que un máximo es absoluto: la 2.ª derivada solo da información local.

3Problemas de optimización U pp.132-134

Idea intuitiva

Un problema de optimización es un problema de texto disfrazado: hay una cantidad que quieres hacer máxima o mínima (área, volumen, coste) y una condición que limita (perímetro fijo, material fijo). Se usa la condición para dejar la cantidad en función de una sola variable, y entonces ya es el método del intervalo cerrado de siempre.

Receta de optimización con restricción

Dibujar y nombrar las variables (con unidades).
Escribir la cantidad a optimizar en función de todas las variables.
Usar la restricción para eliminar variables hasta dejar una.
Escribir el dominio (lados $\ge0$, etc.). Si es cerrado, método del intervalo cerrado; si es abierto, límites en los bordes.
Puntos críticos: derivar e igualar a $0$.
Justificar que es absoluto: comparar con los bordes, o estudiar el signo de $f'$ a ambos lados y los límites. Sola, $f''<0$ solo da máximo relativo.
Responder con palabras: valores de todas las variables originales y, si se pide, el valor óptimo.

P S pp.325-337 L pp.215-223

Ejemplo 3.25 de U · recinto rectangular con 100 m de tela

Variables. Un lado $x$; el otro es $\frac{100-2x}{2}=50-x$.
Función. $A(x)=x(50-x)$ en $x\in[0,50]$ (el lado no puede ser negativo ni mayor que 50).
Críticos. $A'(x)=50-2x=0\iff x=25$.
Clasificar. $A''(25)=-2<0$: máximo relativo.
Absoluto. $A(0)=A(50)=0<A(25)=625$. Máximo absoluto.
Respuesta: los cuatro lados iguales, 25 m (un cuadrado).

U pp.132-133

Ejemplo 3.26 de U · cuadrado más círculo: el máximo está en un borde

Con 100 m de tela se construyen a lo sumo dos recintos, uno cuadrado de lado $x$ y uno circular; ¿cómo hacer máxima el área total?

Tela: el cuadrado usa $4x$ m; al círculo le quedan $100-4x$ m, que es su circunferencia $2\pi r$: $r=\frac{50-2x}{\pi}$ y su área es $\pi r^2=\frac{(50-2x)^2}{\pi}$.
Función: $A(x)=x^2+\dfrac{(50-2x)^2}{\pi}$, $x\in[0,25]$.
Crítico: $A'(x)=2x-\dfrac{4(50-2x)}{\pi}=0\iff x=\dfrac{100}{4+\pi}\approx14{,}0$. Como $A''=2+\frac8\pi>0$, es un mínimo relativo (área $\approx350$): no es lo que buscamos.
Bordes: $A(0)=\dfrac{2500}{\pi}\approx795{,}77$ y $A(25)=625$.
Respuesta: el máximo absoluto está en $x=0$: toda la tela para el círculo.

Lección: el punto crítico no siempre es lo que buscas; siempre mira los bordes.

U pp.133-134

4Ejercicios del libro, resueltos E pp.114-127

Orden de estudio recomendado (de fácil a difícil): 3.44 → 3.34 → 3.35 → 3.29 → 3.36 → 3.30 → 3.38 → 3.37 → 3.32 → 3.31 → 3.33. Los ejercicios 3.39-3.43 y 3.45-3.48 (concavidad, inflexión, representación gráfica, asíntotas) se verán en 3.5; el 3.43 en su parte de extremos ($f'=1/(1-x)^2>0$ no se anula y $x=1$ no está en el dominio: no hay extremos) ya se puede entender aquí.

Ejercicio 3.44 · $f(x)=(x-1)^2$: ¿qué hay en $x=1$? E pp.126-127

Sea $f(x)=(x-1)^2$. ¿Cuál es correcta? a) En $x=1$ hay un máximo relativo. b) En $x=1$ hay un mínimo relativo no absoluto. c) En $x=1$ alcanza el único mínimo relativo y absoluto. d) En $x=1$ tiene un punto de inflexión.

Idea en una frase

Un cuadrado nunca es negativo y solo vale $0$ cuando lo de dentro es $0$: $x=1$ es el fondo de la parábola.

Críticos. $f$ es polinomio (derivable en todo $\mathbb R$): $f'(x)=2(x-1)=0\iff x=1$.
2.ª derivada. $f''(1)=2>0$: mínimo relativo (Prop. 3.7). Descarta a).
¿Absoluto? $f(x)=(x-1)^2\ge0=f(1)$ para todo $x$: mínimo absoluto (Def. 3.4). Descarta b).
¿Único? Los extremos relativos de una función derivable están en puntos críticos (Prop. 3.6) y el único es $x=1$.
Inflexión (de 3.5): la concavidad cambiaría si $f''$ cambiase de signo; aquí $f''=2>0$ siempre. d) es falsa.
Respuesta: c).

Receta: polinomio: $f'=0$, signo de $f''$ en el crítico y, para «absoluto», una desigualdad global (cuadrado $\ge0$) o los límites en $\pm\infty$.

Error típico

Contestar b) creyendo que «relativo» y «absoluto» se excluyen.

Ejercicio 3.34 · $f(x)=|x-1|$ E p.119

Sea $f(x)=|x-1|$. ¿Tiene un extremo en $x=1$? ¿Es máximo o mínimo?

Idea en una frase

La gráfica es una «V»: en el vértice $x=1$ no hay derivada, pero sí un mínimo.

A trozos. $f(x)=x-1$ si $x\ge1$; $f(x)=1-x$ si $x<1$. Donde sí hay derivada: $f'=1$ (si $x>1$) y $f'=-1$ (si $x<1$); nunca vale $0$.
En $x=1$. Derivadas laterales: $\lim_{x\to1^-}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=-1$ y $\lim_{x\to1^+}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=1$. Distintas: $f$ no es derivable en $1$, que es por tanto punto crítico (Def. 3.5), el único candidato (Prop. 3.6).
Decidir por la definición. $|x-1|\ge0=f(1)$ para todo $x$: mínimo absoluto en $x=1$ (y, por tanto, relativo).
(Alternativa con la Prop. 3.5: $f$ continua, decreciente a la izquierda ($f'=-1$) y creciente a la derecha ($f'=1$).)

Receta: con un valor absoluto o una raíz, mira también los puntos donde no hay derivada; muchas veces basta $|\cdot|\ge0$.

Error típico

«$f'$ nunca vale $0$, luego no hay extremos»: se olvida la otra mitad de la Def. 3.5 (no derivable). Igual que X Feb 2012 (ver §6).

Ejercicio 3.35 · $f(x)=x^{2/3}$ E pp.119-120

Sea $f(x)=x^{2/3}$. ¿Alcanza un extremo relativo en $x=0$? Si es así, ¿de qué tipo?

Idea en una frase

$x^{2/3}=(\sqrt[3]{x})^2$ es un cuadrado, nunca negativo; en $0$ vale $0$: mínimo, aunque la gráfica tenga ahí un pico vertical.

¿Derivable en 0? $\lim_{x\to0^-}\frac{x^{2/3}-0}{x}=\lim_{x\to0^-}x^{-1/3}=-\infty$ y $\lim_{x\to0^+}x^{-1/3}=+\infty$. (Ejemplo: $x=-0{,}001$ da $x^{-1/3}=-10$; con $x=-10^{-6}$, $-100$: crece sin límite en negativo.)
Conclusión. No es derivable en $0$: punto crítico (Def. 3.5).
Clasificar. $f(x)=(\sqrt[3]x)^2\ge0=f(0)$: mínimo absoluto y relativo.

Receta: en potencias fraccionarias, derivadas laterales en el punto sospechoso; si no existen, es crítico y se clasifica por definición o por monotonía.

Error típico

Sustituir $x=0$ en $f'=\frac23x^{-1/3}$, ver «división por cero» y decir «no hay extremo». La no derivabilidad no impide el extremo: lo hace candidato.

Ejercicio 3.29 · leer la gráfica de $f'$ E p.114

De $f:\mathbb R\to\mathbb R$ tres veces derivable conocemos la gráfica de su derivada $f'$ (en E, p. 114: una curva tipo $y=x^3$, negativa a la izquierda de $0$ y positiva a la derecha, con tangente horizontal en el origen). ¿Cuál es correcta? a) $f$ alcanza un mínimo relativo en $x=0$. b) Máximo relativo en $x=0$. c) $f$ es siempre creciente. d) Ninguna.

Gráfica de f': curva tipo x al cubo, negativa a la izquierda del origen, positiva a la derecha, con tangente horizontal en el origen — Gráfica de $f'$ del enunciado. E p.114

Idea en una frase

La gráfica de $f'$ es el «semáforo» de $f$: bajo el eje, $f$ baja; sobre el eje, $f$ sube.

Críticos: donde $f'$ corta al eje $x$: solo $x=0$.
Signos: en $(-\infty,0)$, $f'<0$, $f$ decreciente (Prop. 2.4); en $(0,\infty)$, $f'>0$, creciente.
Clasificar: $f$ es continua (derivable), baja y luego sube: mínimo relativo (Prop. 3.5). De hecho absoluto.
b) es lo contrario; c) falla porque decrece en $(-\infty,0)$.
Respuesta: a).

Receta: con la gráfica de $f'$: críticos = cortes con el eje $x$; hay extremo si $f'$ cambia de signo (de $-$ a $+$ mínimo; de $+$ a $-$ máximo).

Error típico

Razonar con «la curva sube» de la gráfica de $f'$ como si fuera la de $f$. Aquí tampoco sirve la Prop. 3.7: $f''(0)=0$ (tangente horizontal de $f'$).

Ejercicio 3.36 · cortar el eje o solo tocarlo E p.120

La gráfica de $f'$ (de $f$ dos veces derivable en $\mathbb R$) aparece en E p. 120: corta al eje en $x=-2$ subiendo, tiene un máximo de altura $2$ en $x=-1$, vale $1$ en $x=0$, toca el eje en $x=1$ sin cruzarlo y luego crece. a) $f$ tiene dos puntos críticos, pero un solo extremo relativo. b) $f$ tiene dos extremos relativos. c) $f''(x)=0$ no tiene soluciones reales.

Gráfica de f': corta al eje x en -2 subiendo, máximo de altura 2 en x=-1, vale 1 en x=0, toca el eje en x=1 sin cruzarlo y luego crece — Gráfica de $f'$ del enunciado. E p.120

Idea en una frase

Un cero de $f'$ donde $f'$ cruza el eje da extremo; si solo toca y rebota, es un punto de silla.

Críticos: $x=-2$ y $x=1$ (dos).
$x=-2$: $f'$ pasa de $-$ a $+$: mínimo relativo (Prop. 3.5).
$x=1$: $f'>0$ a ambos lados: $f$ creciente en $(-2,\infty)$, sin extremo: punto de silla (Def. 3.7).
a) correcta, b) falsa.
c): $f''=(f')'$. $f'$ tiene un máximo relativo en $x=-1$ y un mínimo en $x=1$ (se ve en la gráfica); son puntos críticos de $f'$, luego $f''(-1)=f''(1)=0$. c) es falsa.

Receta: clasifica cada cero de $f'$ mirando si hay cambio de signo; los picos y valles de la gráfica de $f'$ son ceros de $f''$.

Error típico

«Dos ceros de $f'$ = dos extremos».

Ejercicio 3.30 · cúbica: ¿siempre un máximo y un mínimo? E p.114

Sea $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$, $a\ne0$. ¿Es cierto que $f$ tiene exactamente un máximo local y un mínimo local, cualesquiera que sean $a,b,c,d$?

Idea en una frase

Para tener un máximo y un mínimo, $f'$ (grado 2) debe cortar el eje dos veces, y no siempre lo hace.

Derivada: $f'(x)=3ax^2+2bx+c$, de grado 2.
Dónde: $f$ es derivable: los extremos relativos solo están en los ceros de $f'$ (Prop. 3.6).
Contraejemplos (basta uno):
- $f(x)=2x^3+6x$: $f'=6x^2+6>0$, sin raíces; $f$ estrictamente creciente, ningún extremo.
- $f(x)=x^3$: $f'=3x^2$ solo se anula en $0$ y no cambia de signo: punto de silla.
Respuesta: no es cierto. Solo ocurre si $f'$ tiene dos raíces reales distintas: discriminante $4b^2-12ac>0$ (ej.: $x^3-3x$, críticos $\pm1$).

Receta: para «¿siempre…?», busca un contraejemplo sencillo; en cúbicas, mira el discriminante de $f'$.

Error típico

Creer que toda cúbica tiene forma de S con un pico y un valle.

Ejercicio 3.38 · rectángulo de perímetro 100 y área máxima E pp.121-122

Queremos construir un rectángulo con 100 cm de perímetro de forma que su área sea máxima. ¿Cuál es la longitud de sus lados?

Idea en una frase

La condición del perímetro permite despejar un lado en función del otro y el área queda como función de una variable en un intervalo cerrado.

Variables. Lados $a,b$: $2a+2b=100\Rightarrow b=50-a$.
Función. $S(a)=a(50-a)=50a-a^2$.
Dominio. $a\ge0$ y $b\ge0$: $a\in[0,50]$.
Críticos. $S'(a)=50-2a=0\iff a=25$ (interior).
Comparar (Prop. 3.4). $S(0)=0$, $S(25)=625$, $S(50)=0$: máximo absoluto en $a=25$. (Además $S''=-2<0$.)
Respuesta: $a=b=25$ cm (un cuadrado), área $625$ cm².

Receta (optimización): dibujar y nombrar; cantidad a optimizar; usar la restricción para dejar una variable; dominio; críticos; comparar con los bordes o $f''$ y justificar que es absoluto.

Error típico

Quedarse en $S''<0$ («máximo relativo») sin decir por qué es el absoluto.

Ejercicio 3.37 · la caja de mayor volumen E pp.120-121

A una lámina de acero cuadrada de 40 cm de lado se le quitan cuatro cuadrados iguales en las esquinas y se doblan los lados para formar una caja de base cuadrada. Calcula el lado del cuadrado que hay que quitar para maximizar el volumen.

Idea en una frase

Si quitas cuadrados muy pequeños la caja es casi plana; si los quitas muy grandes no queda base: el máximo está en medio.

Variable. $d$ = lado del cuadrado recortado = altura de la caja. La base es un cuadrado de lado $40-2d$.
Función. $V(d)=(40-2d)^2d=4d^3-160d^2+1600d$.
Dominio. $d\ge0$ y $40-2d\ge0$: $d\in[0,20]$.
Críticos. $V'(d)=12d^2-320d+1600=4(3d^2-80d+400)=0\iff d=\frac{80\pm\sqrt{6400-4800}}{6}=\frac{80\pm40}6$, es decir $d=\frac{20}3$ o $d=20$. $d=20$ es un borde (no queda base); el único crítico interior es $d=\frac{20}3$.
Comparar. $V(0)=V(20)=0$ y $V(\tfrac{20}3)=\left(\tfrac{80}3\right)^2\tfrac{20}3=\tfrac{128000}{27}\approx4740{,}7$ cm³: máximo absoluto. (Comprobación: $V''(d)=24d-320$, $V''(\tfrac{20}3)=-160<0$.)
Respuesta: $d=\frac{20}3\approx6{,}67$ cm (volumen máximo $\approx4741$ cm³).

Receta: igual que 3.38. Un cero de $V'$ que cae en un borde se trata como extremo del intervalo, no como crítico.

Omisión de E

E justifica solo con $V''(20/3)<0$, que da un máximo relativo; para el absoluto hay que comparar con $V(0)=V(20)=0$ (paso 5). Tampoco da el volumen máximo.

Ejercicio 3.32 · $\dfrac{1-x^2}{x+3}$ en $[-1,1]$ E pp.116-117

Sea $f(x)=\dfrac{1-x^2}{x+3}$. ¿Dónde alcanza los extremos relativos y absolutos en $[-1,1]$? ¿Cuáles son esos valores extremos?

Idea en una frase

Es el método del intervalo cerrado: lista de candidatos (bordes y críticos), evaluar y comparar.

Continuidad. Cociente de polinomios cuyo denominador solo se anula en $x=-3\notin[-1,1]$: continua y derivable en $[-1,1]$. Por Weierstrass (Prop. 1.15) hay máximo y mínimo.
Derivada. $f'(x)=\dfrac{-2x(x+3)-(1-x^2)}{(x+3)^2}=-\dfrac{x^2+6x+1}{(x+3)^2}$.
Críticos. $x^2+6x+1=0\iff x=-3\pm\sqrt8$. Numéricamente $-3+\sqrt8\approx-0{,}17\in(-1,1)$ y $-3-\sqrt8\approx-5{,}83$ queda fuera. Único crítico: $x_1=-3+2\sqrt2$.
Clasificar. $f''(x)=-\dfrac{16}{(x+3)^3}$; como $x+3>0$ en el intervalo, $f''<0$ siempre: $f''(x_1)=-\frac{16}{(\sqrt8)^3}=-\frac2{\sqrt8}=-\frac{\sqrt2}2<0$, máximo relativo.
Valores. $f(-1)=0$, $f(1)=0$, $f(x_1)=6-2\sqrt8=6-4\sqrt2\approx0{,}343$.
Conclusión. Máximo absoluto (y relativo) en $x_1=-3+2\sqrt2\approx-0{,}17$, de valor $6-4\sqrt2\approx0{,}343$. Mínimo absoluto $0$ en $x=-1$ y en $x=1$; con la Def. 3.6 de U, son también mínimos relativos (en el borde).

Receta (intervalo cerrado): continua en $[a,b]$ → críticos interiores → evaluar en críticos y bordes → mayor = máximo, menor = mínimo.

Error típico y nota sobre la fuente

Dar los puntos cuando piden los valores (o al revés). Sobre E: el libro escribe $f''(x_1)=-2/\sqrt8$, que es correcto. Sobre X (Feb 2010): su solución dice «no tiene mínimos relativos en este intervalo», lo que contradice la Prop. 3.6 de U (los bordes cuentan) y a E; solo es cierto con el convenio de Stewart.

Ejercicio 3.31 · extremos de la velocidad $v=s'$ E pp.115-116

Un móvil recorre $s(t)=t^4-8t^3+18t^2$ metros, con $t\in[0,+\infty)$ en segundos. ¿Cuáles son su velocidad y su aceleración? ¿Alcanza la velocidad algún valor máximo o mínimo relativo? ¿Cuándo? ¿Y absolutos?

Idea en una frase

La función que estudiamos es la velocidad, así que «su derivada» es la aceleración: los críticos de $v$ son los ceros de $a$.

Velocidad y aceleración. $v(t)=s'(t)=4t^3-24t^2+36t$; $a(t)=v'(t)=12t^2-48t+36=12(t-1)(t-3)$.
Candidatos. $a=0\iff t=1$ o $t=3$; además $t=0$ es el borde de $[0,\infty)$ (Prop. 3.6).
Signo de $a=v'$:

intervalo $t-1$ $t-3$ $a=v'$ $v$

$(0,1)$ $-$ $-$ $+$ crece

$(1,3)$ $+$ $-$ $-$ decrece

$(3,\infty)$ $+$ $+$ $+$ crece
Relativos (Prop. 3.5). $t=1$: sube y luego baja, máximo relativo, $v(1)=16$ m/s. $t=3$: baja y luego sube, mínimo relativo, $v(3)=0$. $t=0$: borde izquierdo con $v$ creciendo, mínimo relativo en el borde, $v(0)=0$. (Con Prop. 3.7: $v''=24t-48$; $v''(1)=-24<0$, $v''(3)=24>0$.)
Absolutos. $\lim_{t\to+\infty}v(t)=+\infty$ (domina $4t^3$): no hay máximo absoluto. Como $v(t)=4t(t-3)^2\ge0$ para $t\ge0$ y vale $0$ en $t=0$ y $t=3$: mínimo absoluto $0$ en $t=0$ y $t=3$.

intervalo	$t-1$	$t-3$	$a=v'$	$v$
$(0,1)$	$-$	$-$	$+$	crece
$(1,3)$	$+$	$-$	$-$	decrece
$(3,\infty)$	$+$	$+$	$+$	crece

Receta: «extremos de la velocidad» = extremos de $s'$: derivar una vez más y tabla de signos. En dominios no acotados, el máximo/mínimo absoluto se decide con los límites en el infinito.

Erratas de E y error típico

E escribe «$a(t)=(t-1)(t-3)$»: falta el factor $12$ (no cambia los signos). Dice también «la derivada no tiene asíntotas horizontales»; quiere decir la velocidad. Error típico: calcular los extremos de $s$ (ceros de $v$) en vez de los de $v$ (ceros de $a$).

Ejercicio 3.33 · sistema + intervalo cerrado E pp.117-118

La distancia (m) de una partícula a un punto fijo $P$ es $s(t)=at^3+bt^2+ct+d$, $t\in[0,6]$. Está en $P$ en $t=0$ y a 10 m al cabo de un segundo; su velocidad es nula en $t=0$ y $t=5$. Determina $a,b,c,d$ y los valores extremos relativos y absolutos de la distancia en $[0,6]$.

Idea en una frase

Primero se traduce cada frase del enunciado a una ecuación; después es un problema de intervalo cerrado.

Traducir. «En $P$ en $t=0$»: $s(0)=0$. «A 10 m tras 1 s»: $s(1)=10$. «Velocidad nula en 0 y 5»: $s'(0)=0$, $s'(5)=0$.
Sistema. $s'(t)=3at^2+2bt+c$. Queda: $d=0$; $a+b+c+d=10$; $c=0$; $75a+10b+c=0$.
Resolver. Con $c=d=0$: $a+b=10$ y $75a+10b=0\Rightarrow b=-7{,}5a$; $a-7{,}5a=10\Rightarrow a=-\frac{20}{13}$, $b=\frac{150}{13}$. Así $s(t)=-\frac{20}{13}t^3+\frac{150}{13}t^2$.
Críticos. $s'(t)=-\frac{60}{13}t(t-5)=0\iff t=0$ (borde) o $t=5$ (interior).
Monotonía. En $(0,5)$: $t>0$, $t-5<0$ y el signo $-$ delante dan $s'>0$ (crece). En $(5,6)$: $s'<0$ (decrece). Máximo relativo en $t=5$ ($s''(5)=-\frac{300}{13}<0$).
Valores. $s(0)=0$; $s(5)=\frac{1250}{13}\approx96{,}15$; $s(6)=\frac{1080}{13}\approx83{,}08$.
Conclusión. Mínimo absoluto $0$ en $t=0$ (también relativo, en el borde). Máximo absoluto y relativo $\frac{1250}{13}$ m en $t=5$. En $t=6$ hay un mínimo relativo (borde derecho, $s$ viene decreciendo) pero no absoluto, porque $s(0)=0<s(6)$.

Receta: «pasa por… / velocidad nula en…» → ecuaciones lineales en los coeficientes; después, método del intervalo cerrado y, para cada borde, mirar si la función crece o decrece al llegar a él.

Error típico

Olvidar que $t=6$ es candidato (borde, no crítico) o llamarlo mínimo absoluto.

5Ejemplos propios (de fácil a difícil) P

Propio 1 · intervalo cerrado: el ganador es un borde P

Halla los extremos absolutos de $f(x)=x^3-3x+1$ en $[-2,3]$.

$f$ continua en $[-2,3]$: hay máximo y mínimo (Prop. 1.15).
$f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)=0\iff x=\pm1$, ambos en $(-2,3)$.
Tabla: $f(-2)=-1$, $f(-1)=3$, $f(1)=-1$, $f(3)=19$.
Máximo absoluto $19$ en $x=3$ (un borde). Mínimo absoluto $-1$, alcanzado en dos puntos: $x=-2$ y $x=1$.

Receta: método del intervalo cerrado.

Error típico

Creer que el máximo absoluto es el relativo $x=-1$ (valor $3$): el borde da más.

Propio 2 · $f(x)=xe^{-x^2/2}$ en $\mathbb R$: relativos y absolutos P

Estudia los extremos relativos y absolutos de $f(x)=xe^{-x^2/2}$ en $\mathbb R$.

$f'(x)=(1-x^2)e^{-x^2/2}$. Como $e^{-x^2/2}>0$, los críticos son $x=\pm1$.
$f''(x)=x(x^2-3)e^{-x^2/2}$. $f''(1)=-2e^{-1/2}<0$: máximo relativo, $f(1)=e^{-1/2}\approx0{,}607$. $f''(-1)=2e^{-1/2}>0$: mínimo relativo, $f(-1)=-e^{-1/2}$.
Límites: $\lim_{x\to+\infty}xe^{-x^2/2}=0$ y $\lim_{x\to-\infty}xe^{-x^2/2}=0$ (la exponencial gana a la potencia; L'Hôpital).
En $(0,\infty)$, $f'>0$ en $(0,1)$ y $f'<0$ en $(1,\infty)$: sube hasta $x=1$ y luego baja hacia $0$, así que su mayor valor es $f(1)$; en $x\le0$, $f\le0$. Máximo absoluto $e^{-1/2}$ en $x=1$; como $f$ es impar, mínimo absoluto $-e^{-1/2}$ en $x=-1$.

Receta: dominio no acotado: relativos con $f''$; absolutos con la monotonía y los límites en $\pm\infty$ (como el Ej. 3.21 de U).

Error típico

«Es absoluto porque $f''<0$»: la 2.ª derivada solo da información local.

Propio 3 · $f(x)=x^5-5x^4$: cuando $f''(c)=0$ P

Clasifica los puntos críticos de $f(x)=x^5-5x^4$.

$f'(x)=5x^4-20x^3=5x^3(x-4)$: críticos $x=0$ y $x=4$.
$x=4$: $f''(x)=20x^3-60x^2$, $f''(4)=1280-960=320>0$: mínimo relativo, $f(4)=-256$.
$x=0$: $f''(0)=0$, $f'''(x)=60x^2-120x$, $f'''(0)=0$; $f^{(4)}(x)=120x-120$, $f^{(4)}(0)=-120\ne0$. Primera derivada no nula: orden 4 (par) y negativa: máximo relativo en $0$ (Prop. 3.8), $f(0)=0$.
Control con signos de $f'=5x^3(x-4)$: en $x=-0{,}1$ es positiva; en $x=0{,}1$, negativa: crece y luego decrece (máximo).
No hay extremos absolutos: $\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$ y $\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$.

Receta: si $f''(c)=0$, sigue derivando y mira el orden de la primera derivada no nula (par: extremo; impar: silla). Controla con el signo de $f'$ a ambos lados.

Error típico

«$f''(0)=0$, luego es silla»: $f''(c)=0$ no decide nada (compara $x^4$ con $x^3$).

Propio 4 · la lata de 1 litro: optimización en un intervalo abierto P

Se quiere fabricar una lata cilíndrica cerrada de 1 litro ($1000$ cm³) con la menor chapa posible. ¿Qué radio y qué altura debe tener?

Variables y restricción. Radio $r>0$, altura $h>0$ (cm): $\pi r^2h=1000\Rightarrow h=\frac{1000}{\pi r^2}$.
Superficie (dos tapas y el lateral): $A=2\pi r^2+2\pi rh=2\pi r^2+\dfrac{2000}{r}$, con $r\in(0,\infty)$.
Críticos. $A'(r)=4\pi r-\frac{2000}{r^2}=0\iff r^3=\frac{500}\pi\iff r_0=\sqrt[3]{500/\pi}\approx5{,}42$ cm.
Relativo. $A''(r)=4\pi+\frac{4000}{r^3}>0$: mínimo relativo (Prop. 3.7).
Absoluto. Se escribe $A'(r)=\dfrac{4\pi r^3-2000}{r^2}$: el denominador es positivo y el numerador es creciente y se anula solo en $r_0$. Luego $A'<0$ en $(0,r_0)$ y $A'>0$ en $(r_0,\infty)$: baja hasta $r_0$ y luego sube, así que $A(r_0)\le A(r)$ para todo $r>0$. (También $\lim_{r\to0^+}A=+\infty$ y $\lim_{r\to+\infty}A=+\infty$.)
Altura. $h_0=\frac{1000}{\pi r_0^2}=\frac{1000}{\pi r_0^3}r_0=\frac{1000}{500}r_0=2r_0\approx10{,}84$ cm. Superficie mínima $\approx553{,}6$ cm².
Respuesta: $r\approx5{,}42$ cm y $h=2r\approx10{,}84$ cm (la altura es igual al diámetro).

Receta: restricción → eliminar una variable → dominio (abierto) → críticos → para el absoluto, signo de $f'$ a cada lado o límites en los bordes.

Error típico

No usar la restricción y derivar $A$ «respecto de $r$» tratando $h$ como constante.

6Así lo preguntan en el examen X

Estos 8 problemas de X solo necesitan este tema (y Weierstrass). Tipos de pregunta que no se cubren aquí: las mezclas con concavidad e inflexión (3.5) y los extremos de funciones definidas por una integral (X9, abajo, que requiere el Tema 6).

X1 · $(1-x^2)/(x+3)$ en $[-1,1]$ (intervalo cerrado) X p.2 (feb. 2010)

Calcule los extremos relativos y absolutos de $f(x)=\dfrac{1-x^2}{x+3}$ en el intervalo $[-1,1]$.

Idea en una frase

Método del intervalo cerrado: candidatos = bordes $\pm1$ y puntos críticos; se evalúa $f$ en todos y se comparan los valores.

Es idéntico a E 3.32 (resuelto arriba). Lo que hay que escribir: continua en $[-1,1]$ (Prop. 1.15) → $f'$ → crítico $x_1=-3+2\sqrt2$ (el otro, fuera) → $f''(x_1)=-\frac{\sqrt2}2<0$ → tabla $f(-1)=0$, $f(x_1)=6-4\sqrt2\approx0{,}343$, $f(1)=0$ → «máximo absoluto y relativo en $x_1$; mínimo absoluto (y relativo, en el borde) en $x=\pm1$».

Receta: método del intervalo cerrado.

Errata de la solución impresa

Termina con «no tiene mínimos relativos en este intervalo»; según U (Def. 3.6, Prop. 3.6) y E 3.32, $x=\pm1$ sí lo son.

X2 · $|x-1|$: ¿extremo en $x=1$? X p.19 (feb. 2012)

Dada $f(x)=|x-1|$, ¿tiene un extremo en $x=1$? ¿Es máximo o mínimo? Justifique la respuesta.

Idea en una frase

Un valor absoluto nunca es negativo y vale $0$ solo en $x=1$: es el punto más bajo.

$f$ es continua (valor absoluto de un polinomio).
$|x-1|\ge0$ para todo $x$ y $|x-1|=0\iff x=1$.
$f(x)\ge f(1)=0$ para todo $x$: mínimo absoluto en $x=1$ (Def. 3.4), también relativo.

Receta: valor absoluto o cuadrado: la desigualdad $\ge0$ da el mínimo sin derivar.

Error típico

Resolver $f'(1)=0$: $f$ no es derivable en $1$ (E 3.34).

X3 · ¿alcanza máximo y mínimo? (Weierstrass) X p.40 (feb. 2014)

Razone si es verdadero o falso que $f(x)=x^3\cos(x+1)$ alcanza el máximo y el mínimo absoluto en $[-\pi,\pi]$.

Idea en una frase

No hay que calcular nada: una función continua en un intervalo cerrado y acotado siempre alcanza máximo y mínimo.

$x^3$ es polinomio y $\cos(x+1)$ es composición de continuas: el producto es continuo en $\mathbb R$.
$[-\pi,\pi]$ es cerrado y acotado.
Por la Prop. 1.15 (U p. 52), existen $c,d\in[-\pi,\pi]$ con $f(c)\le f(x)\le f(d)$ para todo $x$ del intervalo. Verdadero.

Receta: «¿alcanza máximo y mínimo?» → continua + cerrado y acotado ⇒ sí.

Precisión sobre la solución impresa y error típico

La solución de X invoca la Prop. 3.4 («los extremos absolutos se alcanzan en los extremos relativos o en los extremos del intervalo»). La Prop. 3.4 dice dónde se alcanzan (bordes o puntos críticos); la existencia la da la Prop. 1.15. Error típico: ponerse a resolver $f'=0$, una ecuación sin solución exacta.

X4 · ¿dónde puede haber extremo relativo? X p.85 (sep. 2017)

Señale los puntos donde puede alcanzar los extremos relativos $f(x)=x^3-3x^2-9x+2$. No es necesario estudiar si son extremos.

Idea en una frase

«Dónde puede haber extremo» = «cuáles son los puntos críticos»: basta resolver $f'(x)=0$.

$f$ es polinomio: derivable en $\mathbb R$ y sin bordes; los extremos relativos solo pueden estar donde $f'=0$ (Prop. 3.6).
$f'(x)=3x^2-6x-9=3(x+1)(x-3)$.
Candidatos: $x=-1$ y $x=3$.
(No se pide: $f''=6x-6$; $f''(-1)=-12<0$, máximo relativo, $f(-1)=7$; $f''(3)=12>0$, mínimo relativo, $f(3)=-25$.)

Receta: «dónde puede alcanzar» = puntos críticos.

Error típico

Factorizar mal: comprueba sustituyendo ($3(-1)^2-6(-1)-9=0$).

X5 · dos números positivos con suma 9 y producto máximo X p.87 (sep. 2017)

Encuentre dos números positivos tales que su suma sea $9$ y su producto sea máximo.

Idea en una frase

Como el rectángulo de perímetro fijo: suma fija, producto máximo cuando los dos números son iguales.

Variables y condición. $x,y>0$, $x+y=9\Rightarrow y=9-x$.
Función. $P(x)=x(9-x)=9x-x^2$.
Dominio. $x>0$ y $9-x>0$: $x\in(0,9)$. Para usar Weierstrass se estudia en $[0,9]$; en los bordes $P=0$, que no es el máximo, así que añadirlos no cambia la respuesta.
Críticos. $P'(x)=9-2x=0\iff x=\tfrac92$.
Absoluto. $P(0)=P(9)=0<P(\tfrac92)=\tfrac{81}4$ (Prop. 3.4); además $P''=-2<0$.
Respuesta: $x=y=\tfrac92$, producto $\tfrac{81}4=20{,}25$.

En el examen escribe

«Sean $x,y>0$ con $x+y=9$; entonces $y=9-x$ y el producto es $P(x)=x(9-x)$, $x\in(0,9)$ (se estudia en $[0,9]$). $P'(x)=9-2x=0\iff x=9/2$. $P(0)=P(9)=0<P(9/2)=81/4$, luego es el máximo (también $P''=-2<0$). Los números son $x=y=9/2$.»

Receta: la de optimización de §3.

Errores que cita la corrección

No escribir el dominio ($x\in(0,9)$) y no comprobar que es un máximo. La solución impresa remite al «ejemplo 6.25 del libro», que no corresponde a U; el análogo es el Ej. 3.25 (U pp. 132-133).

X6 · $xe^{-x}$ en $[0,2]$ X p.104 (Electrónica, sin fecha)

Calcule los extremos absolutos de $f(x)=xe^{-x}$ en $[0,2]$.

Idea en una frase

Función continua en un intervalo cerrado: lista de candidatos (los dos bordes y el punto donde $f'=0$), se evalúa en cada uno y gana el mayor y el menor.

$f$ es continua y derivable: hay máximo y mínimo.
$f'(x)=e^{-x}-xe^{-x}=(1-x)e^{-x}$. Como $e^{-x}>0$, $f'=0\iff x=1\in(0,2)$.
Tabla: $f(0)=0$, $f(1)=e^{-1}\approx0{,}368$, $f(2)=2e^{-2}\approx0{,}271$.
Mínimo absoluto $0$ en $x=0$; máximo absoluto $1/e$ en $x=1$.

En el examen escribe

«$f$ es continua en $[0,2]$, luego alcanza máximo y mínimo. $f'(x)=(1-x)e^{-x}=0\iff x=1$. Valores: $f(0)=0$, $f(1)=1/e$, $f(2)=2/e^2$. Como $1/e>2/e^2>0$: mínimo absoluto $0$ en $x=0$ y máximo absoluto $1/e$ en $x=1$.»

Receta: intervalo cerrado; la exponencial nunca se anula y se «quita» al buscar ceros de $f'$.

Error típico

Responder solo «el máximo es $x=1$» cuando piden el extremo (valor $1/e$): da ambos.

X7 · $x^4-2x^3$: ¿silla o extremo? X pp.122-123 (Examen 5)

Señale la afirmación correcta sobre $f(x)=x^4-2x^3$: A) es creciente; B) tiene dos extremos relativos; C) tiene un punto de silla; D) ninguna de las anteriores.

Idea en una frase

Si $f''(c)=0$ hay que seguir derivando hasta la primera derivada no nula y mirar si su orden es par o impar.

$f'(x)=4x^3-6x^2=2x^2(2x-3)=0\iff x=0$ o $x=\frac32$.
$f''(x)=12x^2-12x$: $f''(\frac32)=9>0$, mínimo relativo en $\frac32$, con $f(\frac32)=-\frac{27}{16}$.
$f''(0)=0$: no decide. $f'''(x)=24x-12$, $f'''(0)=-12\neq0$: orden 3 (impar), punto de silla en $0$ (Prop. 3.8).
A) falsa ($f'<0$ en $(-\infty,\frac32)$ salvo en $0$); B) falsa (solo un extremo); C) correcta.

Receta: primera derivada no nula en el crítico: orden par → extremo (positiva: mínimo; negativa: máximo); orden impar → silla.

Error típico

Contar los dos ceros de $f'$ como «dos extremos» (opción B).

X8 · dos números negativos con suma $-15$ y producto máximo X p.146 (feb. 2018)

Encuentre dos números reales negativos tales que su suma sea $-15$ y su producto sea máximo. Razone la solución.

Idea en una frase

Es X5 con otros números: suma fija, producto máximo cuando los dos son iguales ($-15/2$ cada uno).

$x,y<0$, $x+y=-15\Rightarrow y=-15-x$; $y<0\iff x>-15$. Dominio: $x\in(-15,0)$.
$P(x)=x(-15-x)=-15x-x^2$.
$P'(x)=-15-2x=0\iff x=-\tfrac{15}2\in(-15,0)$, y entonces $y=-\tfrac{15}2$.
Absoluto: en $[-15,0]$, $P(-15)=P(0)=0<P(-\tfrac{15}2)=\tfrac{225}4$ (Prop. 3.4); además $P''=-2<0$.
Respuesta: $x=y=-\tfrac{15}2$, producto $\tfrac{225}4=56{,}25$.

En el examen escribe

«Sean $x,y<0$ con $x+y=-15$: $y=-15-x$ y $x\in(-15,0)$. $P(x)=x(-15-x)$, $P'(x)=-15-2x=0\iff x=-15/2$. $P(-15)=P(0)=0<P(-15/2)=225/4$ y $P''=-2<0$: máximo. Los números son $x=y=-15/2$, con producto $225/4$.»

Receta: igual que X5.

Imprecisiones de la solución impresa

Escribe el dominio como $x\le0$, $y\le0$ (el enunciado dice «negativos», estricto; no cambia el máximo, pues en los bordes el producto es $0$) y evalúa «$f(-\frac{15}2,-\frac{15}2)$» como si fuera de dos variables. En el examen escribe $P(-15/2)=225/4$ y $P(-15)=P(0)=0$.

X9 · extremos de una función definida por una integral (requiere el Tema 6) X pp.109-110 (Examen 1)

Dada $F(x)=\int_0^x t\operatorname{sen}t\,dt$ definida en $[0,\infty)$, señale la opción correcta: A) $F$ es creciente; B) $F$ tiene un máximo en $x=7\pi$; C) $F$ es decreciente; D) ninguna de las anteriores.

Se entiende del todo tras el Tema 6 (teorema fundamental del cálculo); la parte de extremos es de este tema.

Por el teorema fundamental, $F'(x)=x\operatorname{sen}x$.
$F'$ cambia de signo ($F'(\pi/2)>0$, $F'(3\pi/2)<0$): A) y C) son falsas.
$F'(7\pi)=0$; en $(6\pi,7\pi)$, $\operatorname{sen}x>0$ y $F'>0$; en $(7\pi,8\pi)$, $\operatorname{sen}x<0$ y $F'<0$: $F'$ pasa de $+$ a $-$, máximo relativo (Prop. 3.5, $F$ es continua). Con la Prop. 3.7: $F''(x)=\operatorname{sen}x+x\cos x$, $F''(7\pi)=-7\pi<0$.
Respuesta: B) (relativo, no absoluto, pues $F(x)=\operatorname{sen}x-x\cos x$ no está acotada).

Receta: derivar con el teorema fundamental y aplicar los criterios de siempre a $F'$.

7Errores frecuentes, chuleta y lista de comprobación

Errores frecuentes

Confundir dónde se alcanza el extremo con cuánto vale.
Olvidar los puntos donde $f$ no es derivable, o los bordes del intervalo.
Creer que $f'(c)=0$ implica extremo (silla) o que $f''(c)=0$ implica silla.
Dar por absoluto un máximo relativo solo porque $f''<0$.
Decir que un mínimo absoluto no es relativo.
En optimización: no escribir el dominio, no usar la restricción, o no comparar con los bordes (Ej. 3.26).
Citar la Prop. 3.4 para la existencia de extremos: eso es Weierstrass (Prop. 1.15).

Erratas y avisos de este tema

U Def. 3.6 (p. 130): no dice «que contiene a $c$» (aclaración propia). Con ella, los bordes de $[a,b]$ cuentan como extremos relativos.
E 3.31 (pp. 115-116): $a(t)=12(t-1)(t-3)$ (falta el 12); «la derivada no tiene asíntotas» debería decir «la velocidad».
E 3.37 (p. 121): solo justifica un máximo relativo; falta comparar con los bordes.
X p.2 (feb. 2010): «no tiene mínimos relativos» contradice U y E 3.32.
X p.40 (feb. 2014): la existencia es la Prop. 1.15, no la 3.4.
X p.87 (sep. 2017): cita un «ejemplo 6.25» que no es de U (el análogo es U Ej. 3.25).
X p.146 (feb. 2018): dominio no estricto y notación de dos variables.

Chuleta

Concepto	Enunciado	Fuente
Weierstrass	$f$ continua en $[a,b]$ ⇒ alcanza máximo y mínimo absolutos	U p.52
Máx./mín. absoluto	$f(c)\ge f(x)$ (≤) para todo $x\in D$	U p.126
Punto crítico	$f'(c)=0$ o $f$ no derivable en $c$	U p.126
Extremos absolutos	en los bordes o en puntos críticos (Prop. 3.4)	U p.126
Intervalo cerrado	críticos + bordes → tabla de valores → mayor y menor	U pp.126-128
Intervalo abierto/infinito	límites en los bordes; la existencia no está garantizada	U p.128
Máx./mín. relativo	$f(c)\ge f(x)$ (≤) en un intervalo alrededor de $c$ (los bordes cuentan)	U p.130
1.ª derivada	con $f$ continua en $c$ y $f'\neq0$ cerca de $c$: $f'$ cambia $-\to+$ mínimo; $+\to-$ máximo; sin cambio de signo, no hay extremo	U p.130
Candidatos relativos	bordes y críticos; en abierto solo críticos	U p.131
Punto de silla	crítico sin extremo relativo	U p.131
2.ª derivada	$f'(c)=0$: $f''>0$ mínimo; $f''<0$ máximo; $f''=0$ no decide	U p.131
Orden superior	primera derivada no nula de orden par: extremo; impar: silla	U p.132
Optimización	variables → función → restricción → dominio → críticos → comparar bordes → responder	U pp.132-134

Lista de comprobación

Sé la diferencia entre extremo absoluto y relativo, y entre el punto y el valor.
Sé aplicar Weierstrass para contestar «¿alcanza máximo y mínimo?» sin calcular.
Sé hallar los puntos críticos, incluidos los de no derivabilidad (valor absoluto, raíces).
Sé aplicar el método del intervalo cerrado y escribir la tabla de valores.
Sé estudiar extremos absolutos en un intervalo abierto o infinito con límites.
Sé clasificar un punto crítico con la 1.ª derivada, con la 2.ª y con derivadas de orden superior.
Sé leer la gráfica de $f'$ para decidir extremos de $f$ (E 3.29, 3.36).
Sé que, con el convenio de U, los bordes pueden ser extremos relativos.
Sé plantear un problema de optimización con restricción y justificar que el extremo es absoluto.
Sé qué ejercicios de E quedan para 3.5 (3.39-3.43, 3.45-3.48).

★Fuentes de este tema

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