Concavidad y convexidad

Sea $f(x)=3x^5-5x^4-20x^3+2x-1$. ¿Cuándo es cóncava y cuándo convexa?

1. ¿Se puede usar la Prop. 3.10? $f$ es un polinomio: dos veces derivable en todo $\mathbb R$. Sí.
2. Derivar dos veces. $f'(x)=15x^4-20x^3-60x^2+2$ y $f''(x)=60x^3-60x^2-120x$.
3. Factorizar $f''$. Factor común $60x$: $f''(x)=60x(x^2-x-2)$. Las raíces de $x^2-x-2$ son $x=\frac{1\pm\sqrt{1+8}}2=2,\,-1$, así que $f''(x)=60\,x\,(x-2)(x+1)$. Por qué factorizar: un producto solo puede cambiar de signo donde se anula algún factor; entre dos raíces consecutivas $f''$ conserva su signo.
4. Tabla de signos (basta probar con un punto de cada intervalo: $-2$, $-\tfrac12$, $1$, $3$):

   intervalo	$x+1$	$x$	$x-2$	$f''$	$f$
   $(-\infty,-1)$	$-$	$-$	$-$	$-$	cóncava
   $(-1,0)$	$+$	$-$	$-$	$+$	convexa
   $(0,2)$	$+$	$+$	$-$	$-$	cóncava
   $(2,\infty)$	$+$	$+$	$+$	$+$	convexa

5. Conclusión (Prop. 3.10). $f$ es convexa en $[-1,0]$ y en $[2,\infty)$ y cóncava en $(-\infty,-1]$ y en $[0,2]$. (Se pueden cerrar porque en los extremos $f''=0$ cumple a la vez $\ge0$ y $\le0$.)
6. Extra (no se pide): inflexiones. $f''$ cambia de signo en $-1$, $0$ y $2$: tres puntos de inflexión $(-1,9)$, $(0,-1)$, $(2,-141)$. Con la Prop. 3.12: $f'''(x)=180x^2-120x-120$, $f'''(-1)=180>0$ (cóncava $\to$ convexa), $f'''(0)=-120<0$ (convexa $\to$ cóncava), $f'''(2)=360>0$ (cóncava $\to$ convexa).

Sea $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ con $a\ne0$. ¿Es cierto que $f$ tiene exactamente un máximo local y un mínimo local en su dominio, cualesquiera que sean $a,b,c,d$?

La parte de extremos está en el tema 3.4 (respuesta: no; contraejemplos $2x^3+6x$, sin puntos críticos, y $x^3$, con un punto crítico que no es extremo). Aquí se completa lo que toca a 3.5.

1. $f''(x)=6ax+2b$: una recta con pendiente $6a\neq0$. Se anula en un solo punto, $x_0=-\frac b{3a}$, y cambia de signo allí.
2. Por la Def. 3.10 (o por la Prop. 3.12: $f'''=6a\neq0$, orden 3, impar), $x_0$ es el único punto de inflexión. Si $a>0$, pasa de cóncava a convexa; si $a<0$, al revés.
3. En $f=x^3$: $x_0=0$ y $f'(0)=0$, inflexión con tangente horizontal (y no es extremo). En $f=2x^3+6x$: $x_0=0$ pero $f'(0)=6\neq0$: inflexión con tangente inclinada.

Sea $f(x)=\dfrac1{1-x}$. ¿Alcanza extremos relativos? ¿Tiene algún punto de inflexión?

1. Dominio. $\mathbb R\setminus\{1\}$. Ahí $f$ es derivable las veces que haga falta.
2. Extremos. $f'(x)=\frac1{(1-x)^2}>0$ en todo el dominio: nunca vale $0$ y no hay puntos de no derivabilidad dentro del dominio. No hay puntos críticos ni extremos relativos (U p. 131).
3. Concavidad. $f''(x)=\frac2{(1-x)^3}$. Si $x<1$, $1-x>0$ y $f''>0$: convexa en $(-\infty,1)$. Si $x>1$, $1-x<0$ y $f''<0$: cóncava en $(1,\infty)$.
4. ¿Inflexión? Un punto de inflexión es un punto de la gráfica donde cambia la curvatura (Def. 3.10). El cambio ocurre «a través» de $x=1$, pero $f(1)$ no existe. Y $f''$ no se anula en ningún punto del dominio, así que la Prop. 3.11 no da otro candidato. No tiene puntos de inflexión.
5. Asíntota. $\lim_{x\to1^-}f(x)=+\infty$ y $\lim_{x\to1^+}f(x)=-\infty$: $x=1$ es asíntota vertical.

Sea $f(x)=x\,|x-4|$. Es cierto que: a) es cóncava en $(4,+\infty)$; b) es convexa en $(-4,4)$; c) en $x=4$ tiene un punto de inflexión; d) ninguna de las anteriores.

1. Quitar el valor absoluto. Si $x<4$, $|x-4|=4-x$ y $f(x)=-x^2+4x$. Si $x\ge4$, $f(x)=x^2-4x$.
2. Derivadas fuera de $4$. $x<4$: $f'=-2x+4$, $f''=-2<0$. $x>4$: $f'=2x-4$, $f''=2>0$.
3. Curvatura (Prop. 3.10). Cóncava en $(-\infty,4)$ y convexa en $(4,\infty)$.
4. Descartar a) y b). a): en $(4,\infty)$ es convexa, no cóncava. b): $(-4,4)\subset(-\infty,4)$, donde $f''=-2<0$: es cóncava, no convexa.
5. c) ¿Inflexión en $4$? $f$ es continua en $4$ ($f(4)=0$ y ambos trozos tienden a $0$), $4$ está en el dominio y $f$ es cóncava a su izquierda y convexa a su derecha. Por la Def. 3.10, sí.
6. ¿Contradice la Prop. 3.11? No: $f$ no es derivable en $4$ ($f'(4^-)=-4$, $f'(4^+)=4$) y esa proposición no se aplica. Es una inflexión donde $f''$ no existe.
7. Respuesta: c).

La gráfica de la derivada de una función dos veces derivable $f$ con dominio todo $\mathbb R$ aparece en la figura. Razona si alguna de las afirmaciones es correcta: a) $f$ tiene dos puntos críticos, pero un solo extremo relativo. b) $f$ tiene dos extremos relativos. c) La ecuación $f''(x)=0$ no tiene soluciones reales.

1. $f$ es dos veces derivable: $f'$ es derivable y $f''=(f')'$.
2. En la figura, $f'$ tiene un máximo relativo en $x=-1$ (altura $2$) y un mínimo relativo en $x=1$ (altura $0$). En un extremo relativo interior de una función derivable, su derivada vale $0$ (U Prop. 3.6, aplicada a $f'$): $f''(-1)=0$ y $f''(1)=0$.
3. c) es falsa: $f''(x)=0$ tiene al menos dos soluciones reales. (Coincide con E; a) es correcta y b) falsa: ver tema 3.4.)
4. Extra (3.5): $f'$ crece en $(-\infty,-1)$, decrece en $(-1,1)$ y crece en $(1,\infty)$. Por la Prop. 3.9, $f$ es convexa en $(-\infty,-1]$, cóncava en $[-1,1]$ y convexa en $[1,\infty)$; $x=-1$ y $x=1$ son puntos de inflexión. Fíjate: $x=1$ es a la vez punto crítico ($f'(1)=0$) e inflexión: el «punto de silla» de a).

De $f:\mathbb R\to\mathbb R$ tres veces derivable conocemos la gráfica de $f'$ (figura). Razona si son correctas: a) $f$ es cóncava en $(-\infty,0)$. b) $f$ es convexa en $(-\infty,0)$. c) $f$ tiene un punto de inflexión en $x=1$.

1. Tramos de $f'$ (lectura de la figura): decreciente en $(-\infty,0]$, creciente en $[0;0{,}5]$, decreciente en $[0{,}5;1]$, creciente en $[1,\infty)$.
2. a) y b). $f$ es derivable y $f'$ es decreciente en $(-\infty,0)$: $f$ es cóncava en $(-\infty,0)$ (Prop. 3.9). a) correcta, b) falsa.
3. c). En $(0{,}5;1)$ $f'$ decrece: $f$ cóncava; en $(1,\infty)$ $f'$ crece: $f$ convexa. Hay cambio de curvatura en $x=1$, que está en el dominio: inflexión en $x=1$ (Def. 3.10). c) correcta.
4. Extra. Igual ocurre en $x=0$ (cóncava $\to$ convexa) y $x=0{,}5$ (convexa $\to$ cóncava). En los tres $f'$ crece a un lado y decrece al otro (son extremos de $f'$) y $f''=0$, como exige la Prop. 3.11. $x=0$ y $x=1$ son además puntos críticos de $f$ que no son extremos ($f'\ge0$: $f$ crece a ambos lados).

Sea $f:\mathbb R\to\mathbb R$ dos veces derivable con continuidad en $\mathbb R\setminus\{1\}$. Su derivada se representa en la figura. A partir de la gráfica de $f'$, ¿cuáles son los intervalos de concavidad y convexidad de $f$? ¿Tiene puntos de inflexión? ¿Es convexa en $\mathbb R$?

1. Intervalos. En $(-\infty,1)$, $f$ es derivable y $f'$ es creciente: convexa en $(-\infty,1)$ (Prop. 3.9). Igual en $(1,\infty)$: convexa en $(1,\infty)$. No es cóncava en ningún intervalo, porque $f'$ no decrece en ningún tramo.
2. Inflexiones. No hay: a ambos lados de cualquier punto $f$ es convexa, nunca pasa a cóncava (Def. 3.10).
3. ¿Convexa en $\mathbb R$? No. Intuición: justo antes de $1$ la gráfica sube con pendiente enorme y justo después baja con pendiente enorme: cerca de $1$ tiene forma de $\cap$.
4. Un ejemplo numérico primero. En una sonrisa las cuerdas se van «empinando» de izquierda a derecha (pendientes crecientes; se obtiene de la Def. 3.8 escribiendo $q=(1-t)p+tr$). Con $f=x^2$: la cuerda de $[0,1]$ tiene pendiente $\frac{1-0}{1}=1$, la de $[1,2]$ tiene $\frac{4-1}{1}=3$ y la de $[2,3]$ tiene $\frac{9-4}{1}=5$: $1<3<5$. Si $f$ fuese convexa, con cuatro puntos $0{,}5<0{,}6<1{,}2<1{,}3$ habría que tener $$\text{pend. de }[0{,}5;0{,}6]\ \le\ \text{pend. de }[0{,}6;1{,}2]\ \le\ \text{pend. de }[1{,}2;1{,}3].$$
5. Qué valen las pendientes de los extremos. $f$ es derivable en $[0{,}5;0{,}6]$ y en $[1{,}2;1{,}3]$ (no contienen a $1$), y el teorema del valor medio (U p. 96) dice que la pendiente de la cuerda es $f'(\xi)$ con $\xi\in(0{,}5;0{,}6)$, y la última es $f'(\eta)$ con $\eta\in(1{,}2;1{,}3)$. En la figura, $f'>0$ en $(0,1)$ y $f'<0$ en $(1,2)$: queda «número positivo $\le$ número negativo». Gráficamente: una cuerda que sube con fuerza antes de $1$ y otra que baja después de $1$ no pueden ir «empinándose». Contradicción: $f$ no es convexa en $\mathbb R$, sea o no continua en $1$.

La función $f(x)=\sqrt{|x|}$ es continua en $\mathbb R$ y tiene derivada segunda negativa en $\mathbb R\setminus\{0\}$. Muestra que no es cóncava en $\mathbb R$.

1. Por qué no sirve la Prop. 3.10. Si $x>0$, $f''(x)=-\frac1{4x^{3/2}}<0$; si $x<0$, $f''(x)=-\frac1{4(-x)^{3/2}}<0$. Pero en $0$ no existe ni $f'$ (la gráfica tiene un pico) y la Prop. 3.10 exige $f$ dos veces derivable en todo el intervalo. No se puede concluir «cóncava en $\mathbb R$».
2. Qué hay que contradecir. Cóncava en $\mathbb R$ significa (Def. 3.9) $f((1-t)a+tb)\ge(1-t)f(a)+tf(b)$ para todo $a,b$ y $t\in[0,1]$ (gráfica por encima de la cuerda).
3. Elegir $a$ y $b$ a lados opuestos de $0$ (si no, el intervalo no contiene a $0$ y ahí sí hay concavidad). Tomamos $a=-1$, $b=1$: $f(-1)=f(1)=1$ y la cuerda es el segmento horizontal de altura $1$.
4. Punto medio ($t=\tfrac12$). $(1-t)a+tb=0$ y $f(0)=0$. La cuerda en ese punto vale $\tfrac12\cdot1+\tfrac12\cdot1=1$. Como $0<1$, la gráfica queda por debajo de la cuerda: falla la desigualdad de concavidad.
5. Conclusión. $f$ no es cóncava en $\mathbb R$. Sí lo es en $(-\infty,0]$ y en $[0,\infty)$ por separado: la concavidad no se conserva al unir intervalos.

Da una expresión, si es posible, que defina una función real de una variable real con las propiedades indicadas: a) derivable en su dominio, creciente en $(-\infty,2)$ y decreciente en $(2,+\infty)$; b) derivable, estrictamente creciente en $(-\infty,2)$ y estrictamente decreciente en $(2,+\infty)$; c) derivable, convexa en $(-\infty,0)$ y cóncava en $(0,+\infty)$; d) derivable en su dominio y con asíntota vertical $x=-\pi$; e) positiva en $(-\infty,1)$, con gráfica que corta al eje $x$ en $(2,0)$ y al eje $y$ en $(0,-3)$.

1. a) $f(x)=\pi$ (o cualquier constante). Es derivable y, con la Def. 2.5 de U (no estricta), una constante es a la vez creciente y decreciente en cualquier intervalo ($a<b\Rightarrow f(a)\le f(b)$ y $f(b)\le f(a)$). También sirve la de b).
2. b) $f(x)=-(x-2)^2$. $f'(x)=-2(x-2)$: $>0$ si $x<2$ y $<0$ si $x>2$: estrictamente creciente en $(-\infty,2)$ y estrictamente decreciente en $(2,\infty)$ (Prop. 2.4). Es $-x^2$ con el vértice trasladado a $x=2$.
3. c) $f(x)=-x^3$. $f''(x)=-6x$: $>0$ si $x<0$ (convexa) y $<0$ si $x>0$ (cóncava). También vale $\operatorname{arctg}x$ ($f''=\frac{-2x}{(1+x^2)^2}$, mismos signos). Con la Def. 3.8 (que usa $\le$), la recta $f(x)=x$ o la constante $\pi$ cumplen la condición solo en sentido débil (son convexas y cóncavas a la vez). No vale $\operatorname{tg}x$: no está definida en $-\frac\pi2$, $-\frac{3\pi}2,\dots$, así que no tiene sentido «convexa en $(-\infty,0)$», y además en $(-\frac\pi2,0)$ es cóncava ($f''=\frac{2\operatorname{sen}x}{\cos^3x}<0$), al revés de lo pedido.
4. d) $f(x)=\ln(x+\pi)$ (dominio $(-\pi,\infty)$, $\lim_{x\to-\pi^+}f(x)=-\infty$) o $f(x)=\dfrac1{x+\pi}$. Ambas derivables en su dominio y con asíntota vertical en $x=-\pi$.
5. e) No existe. $0\in(-\infty,1)$: «positiva en $(-\infty,1)$» exige $f(0)>0$; pero «corta al eje $y$ en $(0,-3)$» dice $f(0)=-3<0$. Contradicción.

Dibuja la gráfica de una función continua que sea decreciente en todo $\mathbb R$, cóncava en $(-\infty,0)$, convexa en $(0,+\infty)$ y tenga dos asíntotas (una horizontal y una oblicua).

1. Propuesta (E): $f(x)=\begin{cases}-\operatorname{arctg}x,&x\le0,\\[2pt] -\tfrac x2-\operatorname{arctg}x,&x>0.\end{cases}$
2. Continua. Cada trozo es continuo. En $0$: $f(0)=0$ y $\lim_{x\to0^+}\big(-\tfrac x2-\operatorname{arctg}x\big)=0$.
3. Decreciente. $x<0$: $f'(x)=-\frac1{1+x^2}<0$. $x>0$: $f'(x)=-\frac12-\frac1{1+x^2}<0$. Cada trozo es estrictamente decreciente (Prop. 2.4) y, como $f$ es continua en $0$, lo es en todo $\mathbb R$.
4. Curvatura. En ambos trozos $f''(x)=\dfrac{2x}{(1+x^2)^2}$ (la recta $-\tfrac x2$ tiene segunda derivada $0$). Si $x<0$, $f''<0$: cóncava en $(-\infty,0)$; si $x>0$, $f''>0$: convexa en $(0,\infty)$ (Prop. 3.10). Por la Def. 3.10, $x=0$ es inflexión aunque $f$ no sea derivable en $0$ ($f'(0^-)=-1$, $f'(0^+)=-\tfrac32$).
5. Asíntota horizontal. $\lim_{x\to-\infty}f(x)=-(-\tfrac\pi2)=\tfrac\pi2$: $y=\tfrac\pi2$ (a la izquierda).
6. Asíntota oblicua. $m=\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}x=-\tfrac12$ y $b=\lim_{x\to+\infty}\big(f(x)+\tfrac x2\big)=\lim_{x\to+\infty}(-\operatorname{arctg}x)=-\tfrac\pi2$: $y=-\tfrac x2-\tfrac\pi2$ (a la derecha).

Comentario. La solución de E es correcta. Solo falta decir que en $x=0$ $f$ no es derivable (el enunciado no lo exige) y que, por eso, la inflexión en $0$ no sale de $f''(0)=0$ sino de la Def. 3.10 (como en E 3.40).

Sea $f$ la función definida por $f(x)=\dfrac{x^2}{x-1}$. ¿Cuál es su representación gráfica?

1. Dominio. $x-1\neq0$: $\mathbb R\setminus\{1\}$. Ahí $f$ es cociente de polinomios con denominador no nulo: continua y derivable las veces que haga falta.
2. Cortes. Eje $y$: $f(0)=0$. Eje $x$: $\frac{x^2}{x-1}=0\iff x=0$. Único corte: el origen.
3. Asíntota vertical. $\lim_{x\to1^-}\frac{x^2}{x-1}=-\infty$ (numerador $\to1$, denominador $\to0^-$) y $\lim_{x\to1^+}\frac{x^2}{x-1}=+\infty$: $x=1$.
4. Asíntota horizontal. $\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\pm\infty$: no hay.
5. Asíntota oblicua. $m=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x^2}{x(x-1)}=1$ y $b=\lim_{x\to\pm\infty}\Big(\frac{x^2}{x-1}-x\Big)=\lim_{x\to\pm\infty}\frac x{x-1}=1$: $y=x+1$ en $\pm\infty$.
6. Crecimiento. $f'(x)=\frac{2x(x-1)-x^2}{(x-1)^2}=\frac{x(x-2)}{(x-1)^2}$. El denominador es $>0$: el signo es el de $x(x-2)$. Creciente en $(-\infty,0)$ y $(2,\infty)$; decreciente en $(0,1)$ y $(1,2)$.
7. Curvatura. $f''(x)=\frac{(2x-2)(x-1)^2-(x^2-2x)\cdot2(x-1)}{(x-1)^4}=\frac{2\big[(x-1)^2-(x^2-2x)\big]}{(x-1)^3}=\frac2{(x-1)^3}$ (el corchete vale $1$). $f''<0$ en $(-\infty,1)$: cóncava; $f''>0$ en $(1,\infty)$: convexa.
8. Extremos. $f'=0\iff x=0$ o $x=2$. $f''(0)=-2<0$: máximo relativo en $(0,0)$; $f''(2)=2>0$: mínimo relativo en $(2,4)$. Ninguno es absoluto (la gráfica tiende a $\pm\infty$ junto a la asíntota).
9. Inflexiones. $f''$ no se anula nunca y el cambio de curvatura es en $x=1$, fuera del dominio: no hay (igual que E 3.43).
10. Dibujo. Rama izquierda: viene de abajo pegada a $y=x+1$, sube hasta el máximo $(0,0)$ y cae a $-\infty$ junto a $x=1$ (forma $\cap$). Rama derecha: baja desde $+\infty$ junto a $x=1$ hasta el mínimo $(2,4)$ y sube pegada a $y=x+1$ (forma $\cup$).

Estudia la curvatura y los puntos de inflexión de $f(x)=\ln(1+x^2)$.

1. Dominio $\mathbb R$ ($1+x^2>0$). $f'(x)=\frac{2x}{1+x^2}$.
2. $f''(x)=\frac{2(1+x^2)-2x\cdot2x}{(1+x^2)^2}=\frac{2(1-x^2)}{(1+x^2)^2}$.
3. Signo de $1-x^2$: $>0$ en $(-1,1)$ y $<0$ si $|x|>1$. Convexa en $[-1,1]$; cóncava en $(-\infty,-1]$ y en $[1,\infty)$.
4. Inflexiones en $x=\pm1$, puntos $(\pm1,\ln2)$. Control con la Prop. 3.12: $f'''(1)=-1<0$ (de convexa a cóncava).

(a) Estudia la curvatura de $f(x)=x^4-4x^3+6x^2+x$. (b) Lo mismo para $g(x)=x^5-5x^4+10x^3-10x^2$. ¿Hay inflexión en $x=1$ en cada una?

1. (a) $f''(x)=12x^2-24x+12=12(x-1)^2\ge0$: convexa en $\mathbb R$. $f''(1)=0$, pero no cambia de signo: no hay inflexión. Con derivadas: $f'''(1)=0$ y $f^{(4)}(1)=24$ (orden 4, par): la Prop. 3.12 no da inflexión.
2. (b) $g''(x)=20x^3-60x^2+60x-20=20(x-1)^3$: $<0$ si $x<1$ y $>0$ si $x>1$. Cóncava en $(-\infty,1]$, convexa en $[1,\infty)$; inflexión en $(1,-4)$. Con derivadas: $g''(1)=g'''(1)=g^{(4)}(1)=0$ y $g^{(5)}(1)=120>0$ (orden 5, impar, positiva): de cóncava a convexa.

Demuestra que $\operatorname{sen}x\ge\dfrac2\pi x$ para todo $x\in\big[0,\tfrac\pi2\big]$.

1. Concavidad. $(\operatorname{sen}x)''=-\operatorname{sen}x\le0$ en $[0,\tfrac\pi2]$: el seno es cóncavo ahí (Prop. 3.10).
2. Def. 3.9 con $x=0$, $y=\frac\pi2$: $\operatorname{sen}\big(t\tfrac\pi2\big)\ge(1-t)\operatorname{sen}0+t\operatorname{sen}\tfrac\pi2=t$ para todo $t\in[0,1]$.
3. Cambio de nombre. Todo $x\in[0,\tfrac\pi2]$ se escribe $x=t\frac\pi2$ con $t=\frac{2x}\pi\in[0,1]$. Sustituyendo: $\operatorname{sen}x\ge\frac{2x}\pi$. $\blacksquare$
4. Comprobación numérica: $x=\tfrac\pi6$: $\operatorname{sen}\tfrac\pi6=0{,}5\ge\tfrac13$.
5. Variante: $\sqrt x$ es cóncava en $[0,\infty)$; con $t=\tfrac12$ en la Def. 3.9, $\dfrac{\sqrt a+\sqrt b}2\le\sqrt{\dfrac{a+b}2}$ para $a,b\ge0$ (p. ej. $a=3$, $b=11$: $2{,}524\le2{,}646$).

Representa $f(x)=\dfrac{x^3}{x^2-1}$.

1. Dominio: $\mathbb R\setminus\{-1,1\}$. Simetría: $f(-x)=-f(x)$ (impar). Corte: solo $(0,0)$.
2. Asíntotas verticales: $x=1$ y $x=-1$ ($\lim_{x\to1^-}f=-\infty$, $\lim_{x\to1^+}f=+\infty$, $\lim_{x\to-1^-}f=-\infty$, $\lim_{x\to-1^+}f=+\infty$).
3. Oblicua: $m=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x^3}{x(x^2-1)}=1$; $f(x)-x=\frac x{x^2-1}\to0$, así que $b=0$: $y=x$.
4. Crecimiento: $f'(x)=\frac{3x^2(x^2-1)-x^3\cdot2x}{(x^2-1)^2}=\frac{x^2(x^2-3)}{(x^2-1)^2}$. Signo $=$ el de $x^2-3$ (salvo en $0$): creciente en $(-\infty,-\sqrt3]$ y $[\sqrt3,\infty)$; decreciente en $[-\sqrt3,-1)$, $(-1,1)$ y $(1,\sqrt3]$.
5. Extremos: máximo relativo en $\big(-\sqrt3,-\tfrac{3\sqrt3}2\big)$ y mínimo relativo en $\big(\sqrt3,\tfrac{3\sqrt3}2\big)$. En $x=0$ ($f'(0)=0$) decrece a ambos lados: no es extremo.
6. Curvatura: $f''(x)=\frac{2x(x^2+3)}{(x^2-1)^3}$. Como $x^2+3>0$, mandan los signos de $x$ y de $(x^2-1)^3$:

   intervalo	$x$	$(x^2-1)^3$	$f''$	$f$
   $(-\infty,-1)$	$-$	$+$	$-$	cóncava
   $(-1,0)$	$-$	$-$	$+$	convexa
   $(0,1)$	$+$	$-$	$-$	cóncava
   $(1,\infty)$	$+$	$+$	$+$	convexa

7. Inflexión: solo en $x=0$ (los cambios en $\pm1$ son en asíntotas, fuera del dominio). $f'''(0)=-6<0$: de convexa a cóncava, y como $f'(0)=0$, la tangente es horizontal.
8. Dibujo. Rama $x<-1$: sube por debajo de $y=x$ hasta el máximo en $-\sqrt3$ y cae a $-\infty$ junto a $x=-1$ ($\cap$). Rama central: baja desde $+\infty$ (junto a $x=-1$), pasa por el origen con tangente horizontal cambiando de $\cup$ a $\cap$, y baja a $-\infty$ junto a $x=1$. Rama $x>1$: simétrica de la primera respecto del origen.

Sea $f:\mathbb R\to\mathbb R$ continua y derivable cinco veces cuya derivada segunda se representa en la figura. Determine sus puntos de inflexión y los intervalos de concavidad y convexidad. Razone la respuesta.

1. $f''>0$ en $(-\infty,-2)$ y en $(2,\infty)$: convexa ahí (Prop. 3.10).
2. $f''<0$ en $(-2,2)$: cóncava ahí.
3. $f''$ cambia de signo en $x=-2$ y en $x=2$: puntos de inflexión $x=-2$ y $x=2$ (Def. 3.10).

Sea $f:[-2,2]\to\mathbb R$ continua y dos veces derivable con continuidad. Su derivada segunda se representa en la figura. Determine los intervalos de concavidad, de convexidad y sus puntos de inflexión. Razone la respuesta.

1. $f''\ge0$ en $[-1,0]$ y en $[1,2]$: convexa ahí.
2. $f''\le0$ en $[-2,-1]$ y en $[0,1]$: cóncava ahí.
3. $f''$ cambia de signo en $-1$, $0$ y $1$: inflexiones en $x=-1,0,1$. Los extremos $\pm2$ del dominio no son de inflexión: la Def. 3.10 necesita un trozo a cada lado.

Sea $f$ una función cuya derivada segunda, en $[a,b]$, se representa en la gráfica. Llamamos $x_0,x_1,x_2$ a los puntos de corte de $f''(x)$ con el eje $x$, de menor a mayor. Indique en qué intervalos es $f$ cóncava y en cuáles convexa.

1. $f''\le0$ en $[a,x_0]$ y en $[x_1,x_2]$: cóncava en cada uno.
2. $f''\ge0$ en $[x_0,x_1]$ y en $[x_2,b]$: convexa en cada uno.
3. (No se pide: inflexiones en $x_0$, $x_1$, $x_2$.)

Determine los intervalos de concavidad y convexidad de $f(x)=x^4-2x$.

1. $f'(x)=4x^3-2$ y $f''(x)=12x^2\ge0$ para todo $x$.
2. Convexa en $(-\infty,\infty)$ (Prop. 3.10). No es cóncava en ningún intervalo.
3. Sin inflexiones: $f''(0)=0$ pero no cambia de signo. (Con derivadas: $f'''(0)=0$, $f^{(4)}(0)=24\neq0$, orden par.)

Sea $f:\mathbb R\to\mathbb R$ dada por $f(x)=xe^x$. (a) ¿Cuáles son los intervalos de concavidad y de convexidad? (b) Calcule $\int f(x)\,dx$.

1. $f'(x)=e^x+xe^x=(1+x)e^x$; $f''(x)=e^x+(1+x)e^x=(x+2)e^x$.
2. Como $e^x>0$: $f''\le0\iff x\le-2$ y $f''\ge0\iff x\ge-2$.
3. Cóncava en $(-\infty,-2]$, convexa en $[-2,\infty)$; inflexión en $x=-2$ (cambia el signo), punto $(-2,-2e^{-2})$.

Determine los intervalos donde la función $f(x)=\dfrac{x^2}{x+1}$ sea cóncava y donde sea convexa.

1. Dominio: $\mathbb R\setminus\{-1\}$.
2. $f'(x)=\frac{2x(x+1)-x^2}{(x+1)^2}=\frac{x(x+2)}{(x+1)^2}$.
3. $f''(x)=\frac{(2x+2)(x+1)^2-x(x+2)\cdot2(x+1)}{(x+1)^4}=\frac{2(x+1)\big[(x+1)^2-x(x+2)\big]}{(x+1)^4}=\frac2{(x+1)^3}$ (el corchete vale $1$).
4. $f''>0\iff x>-1$: convexa en $(-1,\infty)$; $f''<0\iff x<-1$: cóncava en $(-\infty,-1)$.
5. Sin inflexiones: $f''\neq0$ y $x=-1$ no es del dominio (asíntota vertical).

Sea $f(x)=\dfrac1{x^2+4}$. (a) Estudie si es continua y derivable en $\mathbb R$, determinando la derivada cuando exista. (b) Determine los intervalos de concavidad y convexidad. (c) Aproxime un punto fijo (ver abajo).

1. (a) $x^2+4>0$: continua y derivable en $\mathbb R$; $f'(x)=-\frac{2x}{(x^2+4)^2}$.
2. (b) $f''(x)=-\frac{2(x^2+4)^2-2x\cdot2(x^2+4)\cdot2x}{(x^2+4)^4}=-\frac{2(x^2+4)-8x^2}{(x^2+4)^3}=\frac{6x^2-8}{(x^2+4)^3}$.
3. $(x^2+4)^3>0$. $6x^2-8\ge0\iff x^2\ge\frac43\iff|x|\ge\frac2{\sqrt3}\approx1{,}155$.
4. Convexa en $\big(-\infty,-\tfrac2{\sqrt3}\big]$ y en $\big[\tfrac2{\sqrt3},\infty\big)$; cóncava en $\big[-\tfrac2{\sqrt3},\tfrac2{\sqrt3}\big]$.
5. Inflexiones en $x=\pm\frac2{\sqrt3}$ (cambia el signo de $f''$), con $f\big(\pm\tfrac2{\sqrt3}\big)=\frac1{4/3+4}=\frac3{16}$. X no lo dice, pero es lo primero que se espera.

Sea $f(x)=(3x-1)e^x$ definida en $\mathbb R$. (a) Polinomio de Taylor de orden 3 centrado en $x=-1$ (apartado de la sección 3.1). (b) Intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f$. ¿Tiene puntos de inflexión? (c) Puntos donde se alcanzan extremos relativos y si son máximos o mínimos.

1. $f'=(3x+2)e^x$, $f''=(3x+5)e^x$, $f'''=(3x+8)e^x$.
2. (b) Crecimiento. $e^x>0$: el signo es el de $3x+2$. Decreciente en $(-\infty,-\tfrac23]$, creciente en $[-\tfrac23,\infty)$.
3. (b) Inflexión. $f''=0\iff x=-\tfrac53$. $f'''(-\tfrac53)=3e^{-5/3}\neq0$ (orden 3, impar, positiva): inflexión en $x=-\tfrac53$, de cóncava a convexa (Prop. 3.12). Equivalente: $f''<0$ si $x<-\tfrac53$ (cóncava) y $f''>0$ si $x>-\tfrac53$ (convexa).
4. (c) Extremos. Único crítico $x=-\tfrac23$; $f$ decrece antes y crece después: mínimo relativo, valor $f(-\tfrac23)=-3e^{-2/3}$. (También $f''(-\tfrac23)=3e^{-2/3}>0$.)

Para $f(x)=e^{x^k}$ con $k\in\{0,1,2,3,\dots\}$: calcule su dominio y su imagen según $k$; sus intervalos de crecimiento, decrecimiento, concavidad y convexidad para $k=2$ y $k=3$; sus asíntotas y extremos relativos para $k=2$ y $k=3$.

1. Dominio: $\mathbb R$ para todo $k$. Imagen: $k=0$: $x^0=1$ y $f\equiv e$, imagen $\{e\}$. $k\ge2$ par: $x^k\in[0,\infty)$, imagen $[1,\infty)$. $k$ impar: imagen $(0,\infty)$.
2. $k=2$. $f'=2xe^{x^2}$: decreciente en $(-\infty,0]$, creciente en $[0,\infty)$; mínimo relativo y absoluto en $0$ ($f(0)=1$). $f''=(4x^2+2)e^{x^2}>0$: convexa en $\mathbb R$, sin inflexiones. Sin asíntotas ($f\to\infty$ y $f/x\to\pm\infty$ en $\pm\infty$).
3. $k=3$. $f'=3x^2e^{x^3}\ge0$, que solo vale $0$ en $x=0$: creciente en $\mathbb R$; $x=0$ es crítico sin extremo. $f''=(6x+9x^4)e^{x^3}=3x(3x^3+2)e^{x^3}$, con ceros en $x=0$ y $x=-\sqrt[3]{2/3}\approx-0{,}874$.

   intervalo	$3x$	$3x^3+2$	$f''$	$f$
   $(-\infty,-\sqrt[3]{2/3})$	$-$	$-$	$+$	convexa
   $(-\sqrt[3]{2/3},0)$	$-$	$+$	$-$	cóncava
   $(0,\infty)$	$+$	$+$	$+$	convexa

4. Dos inflexiones en $k=3$: $x=-\sqrt[3]{2/3}$ y $x=0$. Asíntota horizontal $y=0$ cuando $x\to-\infty$ ($e^{x^3}\to0$); ninguna en $+\infty$.

Dibuje la gráfica de una función que sea creciente en todo $\mathbb R$, convexa en $(-\infty,0)$, cóncava en $(0,\infty)$ y tenga dos asíntotas (una horizontal y una oblicua).

1. $f(x)=\begin{cases}\operatorname{arctg}x,&x\le0,\\[2pt] \tfrac x2+\operatorname{arctg}x,&x>0.\end{cases}$ Continua en $0$ (ambos lados valen $0$).
2. Creciente: $f'=\frac1{1+x^2}>0$ ($x<0$) y $f'=\tfrac12+\frac1{1+x^2}>0$ ($x>0$), y $f$ continua en $0$.
3. Curvatura: $f''=\frac{-2x}{(1+x^2)^2}$ en ambos trozos: $>0$ si $x<0$ (convexa), $<0$ si $x>0$ (cóncava). Inflexión en $0$.
4. Asíntotas: $y=-\tfrac\pi2$ cuando $x\to-\infty$; $y=\tfrac x2+\tfrac\pi2$ cuando $x\to+\infty$.