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Módulo IV · Funciones de varias variables · Tema 4.1

El espacio $\mathbb R^n$

El «escenario» donde viven las funciones de varias variables: puntos y vectores con $n$ coordenadas, cómo medir longitudes, distancias y ángulos, qué significa «abierto», «cerrado» y «frontera» en el plano, y tres formas de dar las coordenadas de un punto (polares, cilíndricas y esféricas).

Libro oficial: Cálculo para Ingenieros, §4.1 (pp. 142-152)Ejercicios: E Ej. 4.1–4.8Examen: 7 problemas de X⏱ ~4 h de estudio
U oficial S Stewart L Larson E ejercicios P propio X exámenes — pasa el ratón (o toca) por cada etiqueta para ver libro y página; en pantallas anchas aparecen en el margen derecho.

0Antes de empezar U p.142

La idea del tema en una frase

Hasta ahora las funciones tenían una entrada, un número $x$ de la recta. Pero casi todo lo real depende de varias cosas a la vez (la presión de un gas depende de la temperatura y del volumen). Para estudiarlo necesitamos «rectas con más dimensiones»: $\mathbb R^2$ (el plano), $\mathbb R^3$ (el espacio) y, en general, $\mathbb R^n$. Este tema construye ese escenario: vectores, longitudes, distancias, ángulos y conjuntos, copiando lo que ya sabes de la recta (intervalos abiertos y cerrados, extremos de un intervalo, valor absoluto como distancia).

U p.142

Qué necesitas saber ya

Mapa del tema

Mapa del tema
ApartadoQué contieneDónde está
1 El espacio $\mathbb R^n$$n$-uplas, suma, producto por escalares, base canónicaU pp.142-144
2 Producto escalar, norma, distancia y ánguloDef. 4.1 y 4.2, ortogonalidad, desigualdad triangularU pp.143-147
3 Discos y topología del planodisco, punto interior, frontera, abierto, cerrado, acotadoU pp.145-147
4 Polares, cilíndricas y esféricaslos tres cambios de coordenadas y sus trampasU pp.148-152
5 Ejercicios de E4.1-4.8E pp.136-141
6 Ejemplos propios4 ejemplospropio
7 Examen7 problemas de XX
8 Chuleta y comprobaciónfórmulas, errores, erratas, listasíntesis

Qué se pide en los ejercicios y en el examen

(A) Producto escalar, norma y ortogonalidad de dos vectores concretos (E 4.3, 4.4; X 2010, 2012, 2018). (B) Distancia entre dos puntos de $\mathbb R^3$ (X 2015, 2016, 2018). (C) Ángulo entre dos vectores (E 4.6; X 2018). (D) Cambios de coordenadas: polares, cilíndricas y esféricas, en los dos sentidos (E 4.6-4.8; X 2011). (E) Abierto, cerrado, frontera de un conjunto del plano (E 4.5); no suele preguntarse suelto, pero se usa luego para extremos absolutos (Tema 5). (F) Preguntas de «tipo test» conceptuales sobre qué operaciones tienen sentido (E 4.1, 4.2). Casi todo son preguntas cortas de 1 punto: cuentas simples que hay que hacer sin fallar.

1El espacio $\mathbb R^n$ U pp.142-144

Idea intuitiva · la dirección de una casa

Para decir dónde está un punto de la recta basta un número. Para un punto de un mapa, dos (calle y número, o latitud y longitud). Para un dron en el aire, tres (los dos anteriores y la altura). $\mathbb R^n$ es el conjunto de todas las «direcciones» con $n$ números: no hace falta poder dibujarlo para $n\ge4$; las fórmulas funcionan igual y es lo que se usa, por ejemplo, para describir la posición y la velocidad de un objeto que se mueve en un plano: $2+2$ números.

P
El espacio $\mathbb R^n$

Para $n\in\mathbb N$, $\mathbb R^n=\mathbb R\times\overset{n}{\cdots}\times\mathbb R$ es el conjunto de las $n$-uplas $\bar x=(x_1,\dots,x_n)$ con cada $x_i\in\mathbb R$. Escribimos $\bar x$ para indicar que es un elemento de $\mathbb R^n$ (un vector o un punto), no un número. Las $x_i$ son las coordenadas cartesianas.

Operaciones (componente a componente): $\bar x+\bar y=(x_1+y_1,\dots,x_n+y_n)$ y $\lambda\bar x=(\lambda x_1,\dots,\lambda x_n)$, con $\lambda\in\mathbb R$ (un número, «escalar»). Con ellas $\mathbb R^n$ es un espacio vectorial de dimensión $n$.

Base canónica: $\bar e_1=(1,0,\dots,0),\ \bar e_2=(0,1,0,\dots,0),\dots,\bar e_n=(0,\dots,0,1)$. Todo vector se escribe $\bar x=x_1\bar e_1+\dots+x_n\bar e_n$. En U los vectores también se denotan $\vec u$ o $u$.

U pp.142-143
Ejemplo 4.1 de U · sumar y escalar en $\mathbb R^2$

$\bar x=(1,2)=\bar e_1+2\bar e_2$ y $\bar y=(3,1)=3\bar e_1+\bar e_2$. Entonces $\bar z=\bar x+\bar y=(4,3)$ y $\bar v=2\bar x=(2,4)$. Geométricamente, $\bar z$ es la diagonal del paralelogramo de lados $\bar x$ e $\bar y$ y $\bar v$ es $\bar x$ estirado al doble (Figura 4.1). Norma y distancia: $\|\bar y\|=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$ y $d((1,2),(3,1))=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt5$.

U p.144
Plano con los vectores x, y, su suma z (diagonal del paralelogramo punteado) y v, doble de x, junto a los vectores de la base canónica e1 y e2
Figura 4.1 de U: vectores en $\mathbb R^2$ y suma por el paralelogramo. U p.144
Ejemplo 4.2 de U · $\mathbb R^3$

En $\mathbb R^3$, $\bar e_1=(1,0,0)$, $\bar e_2=(0,1,0)$, $\bar e_3=(0,0,1)$ apuntan en los ejes $x,y,z$ positivos. Para $\bar x=(1,2,1)$: $\|\bar x\|=\sqrt{1+4+1}=\sqrt6$. Distancia entre $(0,1,3)$ y $(1,2,1)$: $\sqrt{(0-1)^2+(1-2)^2+(3-1)^2}=\sqrt6$.

U pp.144-145
Caja rectangular en el espacio con ejes x, y, z y el vector (1,2,1) dibujado como diagonal de la caja
Figura 4.2 de U: el vector $(1,2,1)$ en $\mathbb R^3$ como diagonal de una caja de aristas $1,2,1$. U p.145
Error típico

Tratar $\bar x$ como un número: no se puede «dividir por un vector», ni escribir $\bar x>\bar y$ (no hay un orden natural en $\mathbb R^n$ como en $\mathbb R$). Solo se comparan números: normas, distancias, productos escalares.

2Producto escalar, norma, distancia y ángulo U pp.143-147

Idea intuitiva

En la recta, $|x|$ es la «longitud» de $x$ y $|x-y|$ la distancia entre $x$ e $y$. En $\mathbb R^n$ queremos lo mismo. El truco: el producto escalar multiplica «lo que un vector tiene de común con otro» y devuelve un número. Si lo calculas de un vector consigo mismo, obtienes el cuadrado de su longitud (Pitágoras generalizado). Y compara direcciones: es $0$ si son perpendiculares, positivo si apuntan «más o menos al mismo lado» y negativo si apuntan «a lados opuestos».

P
Definición 4.1 · producto escalar y norma

El producto escalar de $\bar x=(x_1,\dots,x_n)$ e $\bar y=(y_1,\dots,y_n)$ de $\mathbb R^n$ es el número $$\bar x\cdot\bar y=x_1y_1+\dots+x_ny_n=\sum_{i=1}^nx_iy_i.$$ La norma (longitud) de $\bar x$ es $\|\bar x\|=\sqrt{\bar x\cdot\bar x}=\sqrt{x_1^2+\dots+x_n^2}$. Los vectores de norma $1$ se llaman unitarios.

Distancia entre $\bar x$ e $\bar y$: $d(\bar x,\bar y)=\|\bar y-\bar x\|=\sqrt{(y_1-x_1)^2+\dots+(y_n-x_n)^2}$.

U p.143
Truco de examen · los dos objetos distintos

$\bar x\cdot\bar y$ es un número (multiplicar parejas y sumar). $\lambda\bar x$ es un vector (multiplicar cada componente por $\lambda$). El producto escalar necesita dos vectores del mismo $\mathbb R^n$. Antes de operar, mira qué «tipo» sale en cada paso.

Definición 4.2 · ángulo y ortogonalidad

El ángulo $\alpha$ que forman dos vectores no nulos $\bar x,\bar y$ cumple $$\cos\alpha=\frac{\bar x\cdot\bar y}{\|\bar x\|\,\|\bar y\|},\qquad \alpha=\arccos\Big(\frac{\bar x\cdot\bar y}{\|\bar x\|\|\bar y\|}\Big)\in[0,\pi].$$ Dos vectores son ortogonales si y solo si su producto escalar es $0$. (Recuerda: por convención $\arccos x\in[0,\pi]$ para $x\in[-1,1]$.)

U p.147
Plano con dos vectores x e y que parten del origen y el ángulo alfa entre ellos
Figura 4.5 de U: el ángulo $\alpha$ entre dos vectores $\bar x$ e $\bar y$. U p.147
Ejemplo resuelto · todo con números

$\bar a=(1,2,2)$, $\bar b=(2,0,-1)$ en $\mathbb R^3$.

  1. $\bar a\cdot\bar b=1\cdot2+2\cdot0+2\cdot(-1)=0$: ortogonales ($\alpha=\pi/2$).
  2. $\|\bar a\|=\sqrt{1+4+4}=3$ y $\|\bar b\|=\sqrt{4+0+1}=\sqrt5$.
  3. $d(\bar a,\bar b)=\|\bar b-\bar a\|=\|(1,-2,-3)\|=\sqrt{14}$.
P

Propiedades que U da por sabidas propia

U dice (p. 143) que «se limita a enunciar» las operaciones y sus propiedades porque son conocidas del Álgebra, pero no las enuncia. Estas tres se usan en los ejercicios:

Propiedades de la norma y del producto escalar
  • Homogeneidad. $\|\lambda\bar u\|=|\lambda|\,\|\bar u\|$. Ojo al valor absoluto: una norma nunca es negativa. (Razón: $\sqrt{\lambda^2u_1^2+\dots+\lambda^2u_n^2}=\sqrt{\lambda^2}\,\|\bar u\|$.)
  • Desigualdad triangular. $\|\bar u+\bar v\|\le\|\bar u\|+\|\bar v\|$. Dibuja $\bar u$, luego $\bar v$ a continuación: $\bar u+\bar v$ es el tercer lado del triángulo, y un lado nunca supera a la suma de los otros dos. Hay igualdad solo si $\bar u$ y $\bar v$ apuntan en el mismo sentido (o uno de ellos es nulo). Es la versión vectorial de $|a+b|\le|a|+|b|$ (S App. A, p. A8). Útil después: $\|\bar q\|\ge\|\bar p\|-\|\bar p-\bar q\|$.
  • Cauchy-Schwarz. $|\bar u\cdot\bar v|\le\|\bar u\|\,\|\bar v\|$. Es lo que garantiza que el cociente de la Def. 4.2 está en $[-1,1]$ y, por tanto, que el $\arccos$ existe. No hace falta demostrarla para el examen.
P
Error típico

(i) Creer que $\|\bar u+\bar v\|=\|\bar u\|+\|\bar v\|$ («la longitud es lineal»): en general es menor. (ii) Escribir $\|-3\bar u\|=-3\|\bar u\|$. (iii) Dejar el producto escalar como vector, sin sumar. (iv) Dar el ángulo en grados cuando U y E trabajan en radianes.

3Discos y conjuntos abiertos y cerrados U pp.145-147

Idea intuitiva · el borde de un charco

En la recta, el intervalo $(0,1)$ es «abierto» (sus extremos no le pertenecen) y $[0,1]$ «cerrado» (los contiene). En el plano, un conjunto es como un charco: el borde es la frontera. Si estás en un punto de dentro y puedes dar un pasito en cualquier dirección sin salirte, el punto es interior. Si, por pequeño que sea el pasito, hay direcciones que te sacan del charco y otras que te dejan dentro, estás en la frontera. Un charco es abierto si no incluye su borde, y cerrado si lo incluye. Estas ideas serán necesarias al estudiar extremos de funciones de varias variables.

P
Discos y puntos interiores

El disco abierto de centro $(a,b)$ y radio $r$ es $\{(x,y)\in\mathbb R^2: d((a,b),(x,y))<r\}$ (el círculo sin su circunferencia). El disco cerrado, con $\le$, la incluye. En $\mathbb R^3$ (y $\mathbb R^n$) se habla de bola abierta o cerrada, con las mismas definiciones.

Dado $C\subset\mathbb R^2$, $(a,b)$ es un punto interior de $C$ si existe un disco abierto de centro $(a,b)$ incluido en $C$.

U p.145

Un punto es exterior a $C$ si existe un disco abierto centrado en él sin ningún punto de $C$. Todo punto del plano es exactamente una de estas tres cosas respecto de $C$: interior, exterior o frontera. U (p. 142, objetivos) nombra «interior, exterior y frontera» pero no define «exterior»; esa definición es propia.

U p.142 P
Frontera, abierto, cerrado, acotado
  • Punto frontera de $C$: aquel $(a,b)$ tal que todo disco abierto centrado en él tiene puntos de $C$ y puntos que no están en $C$. Su conjunto es la frontera de $C$.
  • Abierto: $C$ es vacío o todos sus puntos son interiores. $\mathbb R^2$ es abierto.
  • Cerrado: $C$ contiene a su frontera. Si no tiene puntos frontera (como $\mathbb R^2$), es cerrado.
  • Acotado: se puede incluir en un disco (su «extensión» es finita).
U p.146
Cinco dibujos de un conjunto con forma de riñón: (a) punto interior con un disco pequeño dentro; (b) punto frontera con discos que sobresalen; (c) conjunto abierto con borde discontinuo; (d) conjunto cerrado con borde continuo; (e) conjunto acotado dentro de un círculo
Figura 4.3 de U: punto interior y punto frontera (arriba); conjunto abierto, cerrado y acotado (abajo). U p.146
Ejemplo 4.3 de U · un disco abierto

$\{(x,y):(x-1)^2+(y+2)^2<9\}$ es el círculo de radio $3$ centrado en $(1,-2)$, sin la circunferencia. Su frontera es $\{(x-1)^2+(y+2)^2=9\}$; son frontera, por ejemplo, $(-2,-2)$, $(1,1)$ y $(2,2\sqrt2-2)$. El punto $(0,0)$ es interior (se puede rodear con un disco contenido). Todos sus puntos son interiores: el conjunto es abierto.

U pp.146-147
Círculo azul de radio 3 centrado en (1,-2) con borde punteado, y los puntos frontera (-2,-2), (1,1) y (2, 2 raíz de 2 menos 2) marcados sobre la circunferencia
Figura 4.4 de U: el conjunto $\{(x-1)^2+(y+2)^2<9\}$, con borde punteado (no incluido). U p.147
Truco de examen · cómo leer una desigualdad

$(x-a)^2+(y-b)^2\ \square\ r^2$ significa «distancia al centro $(a,b)$ $\square$ $r$». Con «$<$» o «$>$»: sin borde (abierto). Con «$\le$» o «$\ge$»: con borde (cerrado). La frontera es siempre la igualdad.

Error típico

«Abierto» y «cerrado» no son contrarios: un conjunto puede ser ninguno de los dos (una corona con un borde dentro y otro fuera: ver Propio 2), y $\mathbb R^2$ y $\emptyset$ son ambos. Tampoco confundas frontera con «exterior»: la frontera es el borde, no «todo lo que no es $C$».

4Coordenadas polares, cilíndricas y esféricas U pp.148-152

Idea intuitiva · «cuánto a la derecha y arriba» frente a «a qué distancia y hacia dónde»

Las coordenadas cartesianas $(x,y)$ dicen cuánto avanzar en horizontal y en vertical. Las polares dicen: «mira en la dirección $\theta$ (un ángulo) y camina una distancia $\rho$». Son como el radar de un barco. Las cilíndricas añaden la altura $z$ (como un ascensor en un edificio redondo) y las esféricas dan, además de la distancia, la «longitud» $\theta$ y la «latitud» $\varphi$ (como en el globo terráqueo). Se usan porque ciertas curvas y superficies (círculos, cilindros, esferas) tienen ecuaciones mucho más simples.

P

Polares en $\mathbb R^2$ U pp.148-149

Coordenadas polares

Todo $(x,y)\in\mathbb R^2\setminus\{(0,0)\}$ queda determinado de forma única por un radio $\rho>0$ y un ángulo $\theta\in[0,2\pi)$: $\rho$ es la distancia al origen y $\theta$ el ángulo que forma $(x,y)$ con el semieje $x$ positivo, medido en sentido contrario a las agujas del reloj. $$\begin{cases}x=\rho\cos\theta\\ y=\rho\operatorname{sen}\theta\end{cases}\ \longleftrightarrow\ \begin{cases}\rho=\sqrt{x^2+y^2}=\|(x,y)\|\\ \operatorname{tg}\theta=\dfrac yx\end{cases}$$ Para elegir $\theta$ hay que fijarse en los signos de $x$ e $y$. Si $x=0$: $\theta=\pi/2$ ($y>0$) o $\theta=3\pi/2$ ($y<0$).

U p.148
Punto en el plano con el vector desde el origen, su longitud rho y el ángulo theta con el eje x positivo, con las proyecciones x e y punteadas
Figura 4.6 de U: coordenadas polares $(\rho,\theta)$. U p.148
La trampa del ángulo $\theta$

La calculadora da $\arctan(y/x)\in(-\pi/2,\pi/2)$, que solo es el $\theta$ correcto en el primer cuadrante. Los dos ángulos de $[0,2\pi)$ con la misma tangente están en cuadrantes opuestos (I y III, o II y IV). Regla segura con $\theta_0=\arctan|y/x|\in[0,\pi/2)$:

Elección de $\theta$ según el cuadrante
SignosCuadrante$\theta$
$x>0,\ y\ge0$I$\theta_0$
$x<0,\ y\ge0$II$\pi-\theta_0$
$x<0,\ y<0$III$\pi+\theta_0$
$x>0,\ y<0$IV$2\pi-\theta_0$
$x=0$eje $y$$\pi/2$ si $y>0$; $3\pi/2$ si $y<0$

Siempre se puede comprobar sustituyendo: $\rho\cos\theta$ debe devolver $x$ y $\rho\operatorname{sen}\theta$ debe devolver $y$. La tabla es un resumen propio de la regla de U.

P
Ejemplos 4.4 y 4.5 de U
  1. De cartesianas a polares: $(2,2\sqrt3)$. $\rho=\sqrt{4+12}=4$; $\operatorname{tg}\theta=\sqrt3$, y como $x,y>0$ (primer cuadrante) $\theta=\pi/3$. Polares: $(4,\pi/3)$.
  2. De polares a cartesianas: $(\rho,\theta)=(2,7\pi/4)$. $x=2\cos\frac{7\pi}4=\sqrt2$, $y=2\operatorname{sen}\frac{7\pi}4=-\sqrt2$.
U p.149
Otro libro · Stewart

Stewart (§10.3, pp. 654-656) presenta las polares con $(r,\theta)$ y permite $r$ negativo (el punto $(r,\theta)$ coincide con $(-r,\theta+\pi)$). En U $\rho>0$ siempre: gana U. Las fórmulas son las mismas: $x=r\cos\theta$, $y=r\operatorname{sen}\theta$, $r^2=x^2+y^2$, $\operatorname{tg}\theta=y/x$.

S pp.654-656

Cilíndricas en $\mathbb R^3$ U pp.149-150

Coordenadas cilíndricas $(\rho,\theta,z)$

Son las polares de $(x,y)$ más la tercera coordenada sin cambiar: $$x=\rho\cos\theta,\quad y=\rho\operatorname{sen}\theta,\quad z=z\ \ \longleftrightarrow\ \ \rho=\sqrt{x^2+y^2},\quad\operatorname{tg}\theta=\frac yx,\quad z=z.$$ Aquí $\rho$ es la distancia del punto al eje $z$ (no al origen). Muy convenientes para cilindros y superficies de revolución.

U p.149
Ejemplo 4.6 de U

$(\rho,\theta,z)=(2,2\pi/3,-1)$: $x=2\cos\frac{2\pi}3=-1$, $y=2\operatorname{sen}\frac{2\pi}3=\sqrt3$, $z=-1$. Cartesianas: $(-1,\sqrt3,-1)$.

U pp.149-150
Ejes x, y, z con un cilindro rosa semitransparente, un punto (x,y,z), su altura z, el radio rho en el plano xy y el ángulo theta
Figura 4.7 de U: coordenadas cilíndricas. U p.150

Esféricas en $\mathbb R^3$ U pp.150-152

Coordenadas esféricas $(\rho,\theta,\varphi)$

Con $\rho>0$, $\theta\in[0,2\pi)$ y $\varphi\in[-\pi/2,\pi/2]$. $\rho$ es la distancia al origen; $\theta$ es el ángulo de la proyección sobre el plano $xy$ con el semieje $x$ positivo (la «longitud»); $\varphi$ es el ángulo que forma $(x,y,z)$ con su proyección sobre el plano $xy$ (la «latitud»: positivo hacia arriba). $$\begin{cases}x=\rho\cos\varphi\cos\theta\\ y=\rho\cos\varphi\operatorname{sen}\theta\\ z=\rho\operatorname{sen}\varphi\end{cases}\longleftrightarrow\ \begin{cases}\rho=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\\ \operatorname{tg}\theta=y/x\\ \operatorname{sen}\varphi=\dfrac z{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\end{cases}$$ $\theta$ se calcula como en cilíndricas. Como $\varphi\in[-\pi/2,\pi/2]$, queda determinado de forma única por $\operatorname{sen}\varphi=z/\rho$ (en ese intervalo el seno toma cada valor una sola vez); su signo es el de $z$. U escribe $\varphi$ como «ϕ»; E, «φ».

U pp.150-151
Ejes x, y, z con una semiesfera de malla rosa, un punto (x,y,z), la distancia rho al origen, el ángulo theta en el plano xy y el ángulo varphi sobre el plano xy
Figura 4.8 de U: coordenadas esféricas; $\varphi$ se mide desde el plano $xy$. U p.151
Ejemplos 4.7 y 4.8 de U
  1. Ej. 4.7. Punto $(3,-4,-1)$. Cilíndricas: $\rho=\sqrt{9+16}=5$, $z=-1$, $\operatorname{tg}\theta=-4/3$ con $x>0$, $y<0$ (cuarto cuadrante, fila IV de la tabla): $\theta_0=\arctan\frac43\approx0{,}9273$ y $\theta=2\pi-\theta_0\approx5{,}3559$ rad. Esféricas: $\rho=\sqrt{26}$ (es otra $\rho$), el mismo $\theta$ y $\varphi=\operatorname{arcsen}(-1/\sqrt{26})\approx-0{,}1974$ rad.
  2. Ej. 4.8. $(\rho,\theta,\varphi)=(1,5\pi/4,\pi/6)$: $x=\cos\frac\pi6\cos\frac{5\pi}4=-\frac{\sqrt6}4$, $y=\cos\frac\pi6\operatorname{sen}\frac{5\pi}4=-\frac{\sqrt6}4$, $z=\operatorname{sen}\frac\pi6=\frac12$.
U pp.151-152
Errores típicos
  • Otra convención de $\varphi$. Muchos libros miden el ángulo esférico desde el eje $z$ ($z=\rho\cos\varphi$, $\varphi\in[0,\pi]$). En U, $\varphi$ se mide desde el plano $xy$ y $z=\rho\operatorname{sen}\varphi$. En el examen manda U.
  • Dos $\rho$ distintas. En cilíndricas $\rho=\sqrt{x^2+y^2}$; en esféricas $\rho=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$.
  • El eje $z$. U dice que valen en $\mathbb R^3\setminus\{(0,0,0)\}$, pero en los puntos $(0,0,z)$ del eje $z$ es $\rho=0$ en cilíndricas y $\theta$ no está determinado. La unicidad solo se tiene fuera de ese eje (no afecta a los ejercicios).
  • La calculadora en grados: aquí siempre radianes.
P

5Ejercicios del libro, resueltos E pp.136-141

Orden recomendado para aprender: 4.1 → 4.2 → 4.3 → 4.4 → 4.6 → 4.7 → 4.8 → 4.5 (el 4.5, de conjuntos, es el más conceptual). El 4.9 y siguientes (E p. 142 en adelante) son de §4.2.

Ejercicio 4.1 · ¿se pueden multiplicar escalarmente tres vectores? ¿Y uno de $\mathbb R^2$ con uno de $\mathbb R^3$? E p.136

¿Se pueden multiplicar escalarmente tres vectores? ¿Y un vector de $\mathbb R^2$ con uno de $\mathbb R^3$?

Idea en una frase

El producto escalar toma dos vectores del mismo $\mathbb R^n$ y devuelve un número; cualquier otra cosa no encaja en la definición.

  1. Qué dice la definición (Def. 4.1, U p.143): $\bar x\cdot\bar y=x_1y_1+\dots+x_ny_n$ con $\bar x,\bar y\in\mathbb R^n$: dos vectores con el mismo número $n$ de componentes, porque se multiplican «la primera con la primera, la segunda con la segunda…».
  2. Tres vectores. Si intentamos $(\bar u\cdot\bar v)\cdot\bar w$, el primer paréntesis ya es un número $\lambda$. Queda $\lambda\bar w$, que no es un producto escalar sino un número por un vector (da un vector, ver 4.2). No existe un «producto escalar de tres vectores».
  3. $\mathbb R^2$ con $\mathbb R^3$. Por ejemplo $(1,2)$ y $(3,4,5)$: la tercera componente $5$ no tiene pareja. La definición no se aplica.

Respuesta: no en ambos casos.

Receta: antes de operar, mira el tipo de cada objeto: vector·vector (mismo $n$) $\to$ número; número·vector $\to$ vector; nada más.
Error típico

Rellenar con ceros el vector corto ($(1,2)\to(1,2,0)$) y «multiplicar»: eso identifica $\mathbb R^2$ con un plano de $\mathbb R^3$, que no es la Def. 4.1.

Ejercicio 4.2 · el vector $(\bar u\cdot\bar v)\,\bar w$ E p.136

El vector $(\bar u\cdot\bar v)\,\bar w$, con $\bar u,\bar v,\bar w\in\mathbb R^n$, verifica: a) es nulo o paralelo al vector $\bar w$; b) es nulo o paralelo a $\bar v$; c) es nulo o paralelo a $\bar u$; d) esa expresión no da lugar a un vector.

Idea en una frase

Lo del paréntesis es un número $\lambda$, y «número por $\bar w$» es $\bar w$ estirado, encogido o dado la vuelta: paralelo a $\bar w$, o el vector cero.

  1. Tipo del paréntesis. $\bar u\cdot\bar v$ es un producto escalar: un número. Llámalo $\lambda$.
  2. Tipo del total. $\lambda\bar w=(\lambda w_1,\dots,\lambda w_n)$ es un producto por escalar: es un vector. Queda descartada la d).
  3. Cuándo es nulo: si $\lambda=0$ (es decir, $\bar u\perp\bar v$) o si $\bar w=\bar 0$.
  4. Si no es nulo, es un múltiplo no nulo de $\bar w$: eso es exactamente «paralelo a $\bar w$» (mismo sentido si $\lambda>0$, opuesto si $\lambda<0$).
  5. Por qué no b) ni c). Contraejemplo: $\bar u=\bar v=(1,0)$ y $\bar w=(0,1)$ dan $1\cdot(0,1)=(0,1)$, que no es nulo ni paralelo a $(1,0)$.

Respuesta: a).

Matiz sobre E

La solución impresa dice «siempre es paralelo al vector $\bar w$» y luego corrige con el caso nulo. Lo exacto es «nulo o paralelo», como dice a).

Receta: en una expresión con varios productos, ve de dentro afuera anotando qué sale en cada paso (número o vector). Un número por un vector es siempre «nulo o paralelo» a ese vector.
Error típico

Elegir d) por leer «algo entre tres vectores», o decir «paralelo a $\bar w$» olvidando el caso $\bar u\cdot\bar v=0$.

Ejercicio 4.3 · ¿son ortogonales $(0,1,2)$ y $(-3,-4,2)$? E p.136

¿Son ortogonales los vectores $(0,1,2)$ y $(-3,-4,2)$?

Idea en una frase

Ortogonal = producto escalar cero: multiplicar componente a componente y sumar.

  1. Criterio (Def. 4.2): ortogonales $\iff\bar x\cdot\bar y=0$.
  2. Cálculo (Def. 4.1): $(0,1,2)\cdot(-3,-4,2)=0\cdot(-3)+1\cdot(-4)+2\cdot2=0-4+4=0$.
  3. Conclusión: sí, son ortogonales.
En el examen escribe

«$(0,1,2)\cdot(-3,-4,2)=0\cdot(-3)+1\cdot(-4)+2\cdot2=0$. Como el producto escalar es $0$, los vectores son ortogonales.»

Receta: para saber si dos vectores son ortogonales, calcula $\bar u\cdot\bar v$ y comprueba si es $0$.
Error típico

Multiplicar componentes y dar el vector $(0,-4,4)$: falta sumar.

Este mismo ejercicio cayó en examen (X1, X p.1, feb. 2010), ver apartado 7.

Ejercicio 4.4 · suma, normas y desigualdad triangular con $\bar u=(-1,1)$, $\bar v=(2,3)$ E pp.136-137

Dados $\bar u=(-1,1)$ y $\bar v=(2,3)$: 1) calcular $\bar u+\bar v$, $\|\bar u\|$, $\|\bar v\|$ y $\|\bar u+\bar v\|$; ¿se cumple $\|\bar u\|+\|\bar v\|=\|\bar u+\bar v\|$? ¿contradice esto que cumpla la desigualdad triangular? 2) calcular $3\bar u$ y $\|3\bar u\|$; ¿se cumple $\|3\bar u\|=3\|\bar u\|$? 3) representar $\bar u$, $\bar v$, $\bar u+\bar v$ y $3\bar u$.

Idea en una frase

La longitud de la suma no es la suma de longitudes (un lado de un triángulo es más corto que los otros dos juntos), pero multiplicar por $3$ sí multiplica la longitud por $3$.

  1. Suma (componente a componente): $\bar u+\bar v=(-1+2,\,1+3)=(1,4)$.
  2. Normas (raíz de la suma de cuadrados): $\|\bar u\|=\sqrt{(-1)^2+1^2}=\sqrt2\approx1{,}414$; $\|\bar v\|=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}\approx3{,}606$; $\|\bar u+\bar v\|=\sqrt{1+16}=\sqrt{17}\approx4{,}123$.
  3. Igualdad. $\|\bar u\|+\|\bar v\|\approx5{,}020\ne4{,}123\approx\|\bar u+\bar v\|$. No se cumple. (Sin calculadora: si $\sqrt2+\sqrt{13}=\sqrt{17}$, al elevar al cuadrado saldría $15+2\sqrt{26}=17$, es decir $\sqrt{26}=1$, falso.)
  4. Desigualdad triangular (margen de E p. 137): $\|\bar u+\bar v\|\le\|\bar u\|+\|\bar v\|$ — «menor o igual», no «igual». Aquí $4{,}12\le5{,}02$: se cumple con desigualdad estricta. No hay contradicción. La igualdad solo ocurre si $\bar u$ y $\bar v$ apuntan en el mismo sentido (o uno de ellos es nulo); $(-1,1)$ y $(2,3)$ no.
  5. Apartado 2. $3\bar u=(-3,3)$ y $\|3\bar u\|=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3\sqrt2=3\|\bar u\|$. Sí se cumple (en general $\|\lambda\bar u\|=|\lambda|\|\bar u\|$).
  6. Apartado 3. Flechas desde el origen hasta $(-1,1)$, $(2,3)$, $(1,4)$ y $(-3,3)$: $\bar u+\bar v$ es la diagonal del paralelogramo de lados $\bar u$ y $\bar v$ y $3\bar u$ está sobre la misma recta que $\bar u$, mismo sentido, triple de largo (figura en E p. 137).
Plano con los vectores u=(-1,1), v=(2,3), su suma (1,4) y 3u=(-3,3) partiendo del origen, con el paralelogramo punteado
Figura de E p. 137: $\bar u$, $\bar v$, $\bar u+\bar v$ y $3\bar u$. E p.137
Receta: norma $=\sqrt{\text{suma de cuadrados}}$. Recuerda $\|\bar u+\bar v\|\le\|\bar u\|+\|\bar v\|$ (en general $<$) y $\|\lambda\bar u\|=|\lambda|\|\bar u\|$.
Errores típicos

(i) Creer $\|\bar u+\bar v\|=\|\bar u\|+\|\bar v\|$. (ii) $\|-3\bar u\|=-3\|\bar u\|$: es $|-3|\|\bar u\|=3\sqrt2$. (iii) $\sqrt{(-1)^2+1^2}=\sqrt{-1+1}$: el cuadrado de $-1$ es $+1$.

Ejercicio 4.5 · el disco $x^2+y^2\le4$: frontera, abierto o cerrado E pp.138-139

Dado $C=\{(x,y)\in\mathbb R^2:x^2+y^2\le4\}$: 1) representarlo; 2) determinar y representar su frontera; 3) razonar si es abierto o cerrado.

Idea en una frase

$C$ es el disco de radio $2$ con su borde; la frontera es la circunferencia del borde y, como $C$ la contiene, $C$ es cerrado.

  1. Apartado 1. $x^2+y^2=d\big((0,0),(x,y)\big)^2$, así que $x^2+y^2\le4$ significa «distancia al origen $\le2$»: el disco cerrado de centro $(0,0)$ y radio $2$, relleno y con borde continuo.
  2. Apartado 2 (los pasos 2-4 son la justificación analítica; E solo pide el argumento gráfico y deja la demostración «para el lector»). Cada punto de la circunferencia $S=\{x^2+y^2=4\}$ es frontera. Ejemplo: $P=(2,0)$ y un disco de radio $0{,}1$ centrado en él contiene a $P\in C$ ($4\le4$) y a $(2{,}05;0)$, que no es de $C$ ($4{,}2025>4$). En general: si $\|P\|=2$ y el disco tiene radio $r$, el punto $Q=(1+\tfrac r4)P$ está a distancia $\tfrac r4\cdot2=\tfrac r2<r$ de $P$ y cumple $\|Q\|=2+\tfrac r2>2$, o sea $Q\notin C$. Así todo disco centrado en $P$ tiene puntos de $C$ ($P$) y de fuera ($Q$).
  3. Un punto de dentro no es frontera. Ejemplo: $P''=(1,0)$ y disco de radio $1$: si $Q$ dista menos de $1$ de $(1,0)$ entonces $\|Q\|<1+1=2$, luego $Q\in C$. En general: sea $s=\|P''\|<2$ y toma el disco de radio $\delta=2-s$. Si $Q$ está en él, $\|Q-P''\|<2-s$ y, por la desigualdad triangular, $\|Q\|\le\|P''\|+\|Q-P''\|<s+(2-s)=2$, luego $Q\in C$. Todo el disco está en $C$: es punto interior.
  4. Un punto de fuera no es frontera. Ejemplo: $P'=(3,0)$ y disco de radio $1$: si $\|Q-P'\|<1$ entonces $\|Q\|\ge\|P'\|-\|P'-Q\|>3-1=2$, luego $Q\notin C$. En general: con $s=\|P'\|>2$ y $\delta=s-2$: si $\|Q-P'\|<\delta$, entonces $\|Q\|\ge\|P'\|-\|P'-Q\|>s-(s-2)=2$, así que $Q\notin C$. El disco no tiene puntos de $C$.
  5. Frontera $=S=\{x^2+y^2=4\}$ (por ejemplo $(2,0)$ y $(\sqrt2,\sqrt2)$). Se dibuja solo la circunferencia.
  6. Apartado 3. $C$ es cerrado porque contiene a su frontera: todos los puntos de $S$ cumplen $x^2+y^2=4\le4$. No es abierto: $(2,0)\in C$ no es interior (todo disco centrado en él se sale de $C$).
Disco azul relleno de radio 2 centrado en el origen
Apartado 1 (figura de E p. 138): el disco cerrado $x^2+y^2\le4$. E p.138
Circunferencia de radio 2 con los puntos (raíz de 2, raíz de 2) y (2,0) marcados
Apartado 2 (figura de E p. 138): la frontera es la circunferencia; $(\sqrt2,\sqrt2)$ y $(2,0)$ están en ella. E p.138
Disco gris de radio 2 centrado en el origen con un disco azul pequeño totalmente dentro (centro P doble prima) y otro disco azul pequeño totalmente fuera (centro P prima)
Figura de E p. 139: $P''$ dentro de $C$ (con un disco que cabe dentro) y $P'$ fuera de $C$ (con un disco que no corta a $C$): ninguno es frontera. E p.139
Errata en E (p. 139)

El texto dice «elegimos dos que no estén en la circunferencia: $P'\in C$ y $P''\notin C$… un círculo centrado en $P'$ cuya intersección con $C$ sea vacía… otro centrado en $P''$ incluido en $C$». Las pertenencias están intercambiadas: un disco centrado en un punto de $C$ siempre corta a $C$. Debe decir $P'\notin C$ y $P''\in C$, que es lo que muestra la figura.

Receta: (1) traduce la desigualdad a «distancia al centro $\le$ / $<$ radio»; (2) frontera = puntos con distancia igual al radio; (3) con $\le$ contiene el borde: cerrado; con $<$: abierto.
Errores típicos

(i) Pensar que abierto y cerrado son contrarios. (ii) Decir que la frontera es «el exterior». (iii) Dibujar el disco con borde discontinuo (eso indica que el borde no está incluido).

Ejercicio 4.6 · polares de $(-1,1)$ y ángulo entre $\bar u$ y $\bar v$ E p.140

Dados $\bar u=(-1,1)$ y $\bar v=(2,3)$: 1) expresar $\bar u$ en coordenadas polares; 2) determinar el ángulo que forman $\bar u$ y $\bar v$.

Idea en una frase

Polares = (distancia al origen, ángulo con el eje $x$), eligiendo el ángulo por el cuadrante; el ángulo entre dos vectores sale del producto escalar.

  1. Radio: $\rho=\sqrt{(-1)^2+1^2}=\sqrt2$.
  2. Tangente: $\operatorname{tg}\theta=1/(-1)=-1$.
  3. Cuadrante: $x=-1<0$, $y=1>0$: segundo cuadrante.
  4. Ángulo: en $[0,2\pi)$ hay dos con tangente $-1$: $3\pi/4$ (II) y $7\pi/4$ (IV). Como estamos en el II, $\theta=3\pi/4$. (Con la tabla: $\theta_0=\pi/4$, $\theta=\pi-\pi/4$.)
  5. Comprobación: $\sqrt2\cos\frac{3\pi}4=\sqrt2\cdot(-\frac{\sqrt2}2)=-1$ y $\sqrt2\operatorname{sen}\frac{3\pi}4=1$. ✓ Resultado: $(\rho,\theta)=(\sqrt2,3\pi/4)$.
  6. Apartado 2. $\bar u\cdot\bar v=(-1)\cdot2+1\cdot3=1$; $\|\bar u\|=\sqrt2$, $\|\bar v\|=\sqrt{13}$.
  7. $\cos\alpha=\dfrac1{\sqrt2\sqrt{13}}=\dfrac1{\sqrt{26}}\approx0{,}1961$, así que $\alpha=\arccos\frac1{\sqrt{26}}\approx1{,}3734$ rad $\approx78{,}69^\circ$. Aquí no hay que elegir cuadrante: $\arccos$ ya devuelve un valor en $[0,\pi]$ (U p.147). Como $\cos\alpha>0$, el ángulo es agudo.
Receta: polares: $\rho=\sqrt{x^2+y^2}$, $\theta$ por la tangente y el cuadrante (comprobar sustituyendo). Ángulo entre vectores: $\alpha=\arccos\frac{\bar u\cdot\bar v}{\|\bar u\|\|\bar v\|}$.
Errores típicos

(i) $\theta=\arctan(-1)=-\pi/4$: ni está en $[0,2\pi)$ ni en el cuadrante correcto. (ii) Calculadora en grados. (iii) Confundir el ángulo polar de $\bar u$ ($3\pi/4$, con el eje $x$) con el ángulo entre $\bar u$ y $\bar v$.

Ejercicio 4.7 · cilíndricas de $(1,1,1)$ E p.140

Si las coordenadas cartesianas de un punto son $(1,1,1)$, ¿cuáles son sus coordenadas cilíndricas?

Idea en una frase

Cilíndricas = polares de $(x,y)$ + la misma $z$.

  1. Fórmulas (U p.149): $\rho=\sqrt{x^2+y^2}$, $\operatorname{tg}\theta=y/x$ (con el cuadrante), $z=z$.
  2. $\rho=\sqrt{1+1}=\sqrt2$.
  3. $\operatorname{tg}\theta=1$ con $x>0$, $y>0$ (primer cuadrante): $\theta=\pi/4$.
  4. $z=1$. Comprobación: $\sqrt2\cos\frac\pi4=1$, $\sqrt2\operatorname{sen}\frac\pi4=1$. ✓

Resultado: $(\rho,\theta,z)=(\sqrt2,\pi/4,1)$.

Receta: de cartesianas a cilíndricas, trabaja solo con $(x,y)$ como en polares y copia $z$.
Error típico

Poner $\rho=\sqrt{x^2+y^2+z^2}=\sqrt3$: esa es la $\rho$ de las esféricas. En cilíndricas $\rho$ es la distancia al eje $z$.

Ejercicio 4.8 · cambios entre cartesianas, cilíndricas y esféricas E p.141

1) Dado $(1,2,-1)$ en cartesianas, determinar sus coordenadas cilíndricas y esféricas. 2) Dado $(1,\pi,0)$ en cilíndricas, hallar sus cartesianas. 3) Dado $(1,\pi/2,0)$ en esféricas, hallar sus cartesianas.

Idea en una frase

Ir hacia cartesianas es solo sustituir en las fórmulas; salir de cartesianas exige elegir bien los ángulos ($\theta$ por el cuadrante, $\varphi$ por el signo de $z$).

  1. Cilíndricas de $(1,2,-1)$. $\rho=\sqrt{1+4}=\sqrt5$; $\operatorname{tg}\theta=2$ con $x,y>0$ (primer cuadrante): $\theta=\arctan2\approx1{,}1071$; $z=-1$. Cilíndricas: $(\sqrt5,\arctan2,-1)\approx(2{,}2361;1{,}1071;-1)$.
  2. Esféricas. $\rho=\sqrt{1+4+1}=\sqrt6$ (ahora es la distancia al origen). $\theta$ es el mismo que en cilíndricas: $\arctan2\approx1{,}1071$.
  3. $\operatorname{sen}\varphi=z/\rho=-1/\sqrt6$; como $\varphi\in[-\pi/2,\pi/2]$, $\varphi=\operatorname{arcsen}(-1/\sqrt6)\approx-0{,}4205$ rad (negativo: el punto está por debajo del plano $xy$). Esféricas: $(\sqrt6,\arctan2,\operatorname{arcsen}(-1/\sqrt6))\approx(2{,}4495;1{,}1071;-0{,}4205)$.
  4. Comprobación: $\cos\varphi=\sqrt{5/6}$, luego $\rho\cos\varphi=\sqrt5$, y $\sqrt5\cos\theta=1$, $\sqrt5\operatorname{sen}\theta=2$, $z=\sqrt6\cdot(-1/\sqrt6)=-1$. ✓
  5. Apartado 2 (cilíndricas $(1,\pi,0)$): $x=1\cdot\cos\pi=-1$, $y=\operatorname{sen}\pi=0$, $z=0$. Cartesianas: $(-1,0,0)$.
  6. Apartado 3 (esféricas $(1,\pi/2,0)$): $x=\cos0\cos\frac\pi2=0$, $y=\cos0\operatorname{sen}\frac\pi2=1$, $z=\operatorname{sen}0=0$. Cartesianas: $(0,1,0)$ ($\varphi=0$: en el plano $xy$; $\theta=\pi/2$: semieje $y$ positivo).
Receta: cartesianas $\to$ cilíndricas/esféricas: $\theta$ con tangente + cuadrante; $\rho_{\text{cil}}=\sqrt{x^2+y^2}$, $\rho_{\text{esf}}=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$; $\varphi=\operatorname{arcsen}(z/\rho)$. Al revés: sustituir.
Errores típicos

(i) Usar la convención de otros libros ($z=\rho\cos\varphi$): en U, $z=\rho\operatorname{sen}\varphi$. (ii) Usar la misma $\rho$ en cilíndricas y esféricas.

6Ejemplos propios (de fácil a difícil) P

Propio 1 · producto escalar, norma, unitario, ángulo y desigualdad triangular en $\mathbb R^3$ P

$\bar a=(1,2,2)$ y $\bar b=(2,-1,2)$. Calcula $\bar a\cdot\bar b$, las normas, un vector unitario en la dirección de $\bar a$, el ángulo y comprueba la desigualdad triangular.

  1. $\bar a\cdot\bar b=2-2+4=4$.
  2. $\|\bar a\|=\sqrt{1+4+4}=3$ y $\|\bar b\|=\sqrt{4+1+4}=3$.
  3. Unitario: $\bar a/\|\bar a\|=(\tfrac13,\tfrac23,\tfrac23)$; su norma es $\sqrt{\tfrac19+\tfrac49+\tfrac49}=1$. ✓
  4. $\cos\alpha=\tfrac4{9}$, $\alpha=\arccos\tfrac49\approx1{,}1102$ rad $\approx63{,}61^\circ$ (agudo, porque $\bar a\cdot\bar b>0$).
  5. $\bar a+\bar b=(3,1,4)$, $\|\bar a+\bar b\|=\sqrt{26}\approx5{,}10\le6=\|\bar a\|+\|\bar b\|$. ✓
Receta: unitario = vector dividido por su norma. Signo de $\bar a\cdot\bar b$: $>0$ agudo, $=0$ recto, $<0$ obtuso.
Error típico

Dividir por la suma de componentes ($1+2+2=5$) en vez de por la norma.

Propio 2 · una corona: ni abierta ni cerrada P

$A=\{(x,y)\in\mathbb R^2:1<x^2+y^2\le4\}$. Descríbelo, halla su frontera y decide si es abierto, cerrado y acotado.

Idea en una frase

Es el anillo entre la circunferencia de radio $1$ (excluida) y la de radio $2$ (incluida): un borde no le pertenece y el otro sí.

  1. La condición es $1<\|(x,y)\|\le2$: corona circular, borde interior discontinuo y exterior continuo.
  2. Frontera: las dos circunferencias $x^2+y^2=1$ y $x^2+y^2=4$ (mismo razonamiento que en E 4.5). Un punto con $1<\|P\|<2$ es interior: el disco de radio $\min(\|P\|-1,2-\|P\|)$ queda dentro. Ejemplo: $P=(1{,}5;0)$ con radio $0{,}5$.
  3. Abierto: no. $(2,0)\in A$ es frontera, no interior.
  4. Cerrado: no. $(1,0)$ es frontera y no está en $A$ (no cumple $1<1$).
  5. Acotado: sí, cabe en el disco de centro $(0,0)$ y radio $3$.
Receta: cada desigualdad aporta un trozo de frontera; «$<$» lo deja fuera, «$\le$» lo mete. Si hay de las dos clases, no es ni abierto ni cerrado.
Error típico

Concluir «no es abierto, luego es cerrado».

Propio 3 · reconocer una bola en $\mathbb R^3$ completando cuadrados P

$B=\{(x,y,z):x^2+y^2+z^2-2z<3\}$. Demuestra que es una bola abierta (centro y radio) y clasifica $(0,0,0)$, $(1,1,1)$, $(0,0,3)$, $(2,0,1)$ y $(0,0,5)$ en interiores, frontera o exteriores.

Idea en una frase

Completar el cuadrado en $z$ para que aparezca «distancia al centro».

  1. $z^2-2z=(z-1)^2-1$, luego la condición es $x^2+y^2+(z-1)^2<4$, es decir $d\big((x,y,z),(0,0,1)\big)<2$: bola abierta de centro $(0,0,1)$ y radio $2$. Es abierta y acotada.
  2. Frontera: la esfera $x^2+y^2+(z-1)^2=4$.
  3. Con $g=x^2+y^2+z^2-2z$ (interior si $g<3$, frontera si $g=3$, exterior si $g>3$): $(0,0,0)$: $g=0$, interior. $(1,1,1)$: $g=1$, interior. $(0,0,3)$: $g=3$, frontera (y no pertenece a $B$). $(2,0,1)$: $g=3$, frontera. $(0,0,5)$: $g=15$, exterior.
Receta: completa cuadrados: $z^2-2kz=(z-k)^2-k^2$. Luego lee centro y radio de $\|\bar x-\bar c\|<r$.
Error típico

Olvidar el $-1$ al completar el cuadrado y obtener radio $\sqrt3$.

Propio 4 · conversiones con el cuadrante «trampa» P

a) Pasa a polares $(-1,-\sqrt3)$ y $(0,-3)$. b) Pasa $(-\sqrt3,-1,2)$ a cilíndricas y esféricas y comprueba volviendo a cartesianas. c) Escribe en cilíndricas el cilindro $x^2+y^2=9$ y en esféricas la esfera $x^2+y^2+z^2=4$.

Idea en una frase

La calculadora no sabe en qué cuadrante estás: hay que decírselo con los signos de $x$ e $y$.

  1. a) $(-1,-\sqrt3)$: $\rho=2$, $\operatorname{tg}\theta=\sqrt3$. La calculadora da $\pi/3$, pero $x<0,y<0$ es el tercer cuadrante: $\theta=\pi+\pi/3=4\pi/3$. Comprobación: $2\cos\frac{4\pi}3=-1$, $2\operatorname{sen}\frac{4\pi}3=-\sqrt3$. ✓ Polares $(2,4\pi/3)$.
  2. $(0,-3)$: $x=0$, no se puede dividir; por la regla de U (p. 148), $y<0$ da $\theta=3\pi/2$, $\rho=3$. Polares $(3,3\pi/2)$.
  3. b) Cilíndricas: $\rho=\sqrt{3+1}=2$, $\operatorname{tg}\theta=\frac1{\sqrt3}$ con $\theta_0=\pi/6$; tercer cuadrante: $\theta=7\pi/6$; $z=2$. Cilíndricas $(2,7\pi/6,2)$.
  4. Esféricas: $\rho=\sqrt{3+1+4}=2\sqrt2$, $\theta=7\pi/6$, $\operatorname{sen}\varphi=\frac2{2\sqrt2}=\frac{\sqrt2}2$, luego $\varphi=\pi/4$. Esféricas $(2\sqrt2,7\pi/6,\pi/4)$.
  5. Vuelta: $x=2\sqrt2\cdot\frac{\sqrt2}2\cdot(-\frac{\sqrt3}2)=-\sqrt3$; $y=2\operatorname{sen}\frac{7\pi}6=-1$; $z=2\sqrt2\cdot\frac{\sqrt2}2=2$. ✓
  6. c) $x^2+y^2=\rho^2\cos^2\theta+\rho^2\operatorname{sen}^2\theta=\rho^2$: el cilindro es $\rho=3$ ($\theta$ y $z$ libres). Y $x^2+y^2+z^2=\rho^2\cos^2\varphi+\rho^2\operatorname{sen}^2\varphi=\rho^2$: la esfera es $\rho=2$.
Receta: $\theta$: tangente, ángulo de referencia $\theta_0$, ajustar por cuadrante y comprobar sustituyendo. Superficies: sustituir y simplificar con $\cos^2+\operatorname{sen}^2=1$.
Error típico

Dar $\theta=\pi/3$ para $(-1,-\sqrt3)$: ese ángulo corresponde a $(1,\sqrt3)$, el punto opuesto.

7Así lo preguntan en el examen X

Las preguntas de $\mathbb R^n$ son siempre cortas (1 punto) y de cuatro tipos: producto escalar y normas, distancia, ángulo u ortogonalidad y teoría de polares. En X no hay preguntas sueltas de abiertos, cerrados y frontera: ese tipo se practica con E 4.5 y reaparece como paso intermedio en extremos absolutos de temas posteriores (justificar que un conjunto es cerrado y acotado, p. ej. X p.25 y X p.97). Las demás preguntas con polares (X pp.47, 57, 65, 143) pertenecen a §4.2-4.4 y se verán más adelante.

X1 · ortogonalidad de $(0,1,2)$ y $(-3,-4,2)$ X p.1 (feb. 2010)

¿Son ortogonales los vectores $(0,1,2)$ y $(-3,-4,2)$? Justifíquese la respuesta.

Idea en una frase

Ortogonal significa producto escalar cero: se multiplica componente a componente y se suma.

Es idéntico al Ejercicio 4.3 de E: $(0,1,2)\cdot(-3,-4,2)=0-4+4=0$, luego son ortogonales (Def. 4.2). La solución de X es correcta.

Receta: ortogonalidad = producto escalar nulo; «justificar» es nombrar el criterio.
X2 · teoría de las coordenadas polares (referencia a otra edición de U) X p.13 (feb. 2011)

Describa brevemente las coordenadas polares en $\mathbb R^2$. Indique también cómo se cambia de coordenadas polares a cartesianas y viceversa.

Referencia a otra edición de U

La solución impresa solo dice «Vea la página 194 del libro Cálculo para Ingenieros». En la edición actual de U (2023) la p. 194 es de §5.2 (regla de la cadena); las polares están en U §4.1.3, pp. 148-149. Aquí se da la respuesta completa.

Idea en una frase

En vez de «cuánto a la derecha y cuánto arriba» $(x,y)$, se dice «a qué distancia del origen y en qué dirección» $(\rho,\theta)$.

Respuesta modelo (lo que hay que escribir)
  1. Descripción. Todo punto $(x,y)\ne(0,0)$ queda determinado de forma única por un radio $\rho>0$ y un ángulo $\theta\in[0,2\pi)$: $\rho=\|(x,y)\|$ es la distancia al origen y $\theta$ el ángulo que forma el vector $(x,y)$ con el semieje $x$ positivo, medido en sentido antihorario.
  2. Polares a cartesianas: $x=\rho\cos\theta$, $y=\rho\operatorname{sen}\theta$.
  3. Cartesianas a polares: $\rho=\sqrt{x^2+y^2}$; $\operatorname{tg}\theta=y/x$ si $x\ne0$, eligiendo de los dos ángulos de $[0,2\pi)$ con esa tangente el del cuadrante que indican los signos de $x$ e $y$; si $x=0$, $\theta=\pi/2$ ($y>0$) o $3\pi/2$ ($y<0$).
  4. Ejemplo: $(2,2\sqrt3)\mapsto\rho=4$, $\theta=\pi/3$; $(\rho,\theta)=(2,7\pi/4)\mapsto(\sqrt2,-\sqrt2)$.
Receta: pregunta de teoría = definición (qué son $\rho$ y $\theta$ y sus rangos) + las dos fórmulas + el aviso del cuadrante + un ejemplo.
Error típico

Dar $\theta=\arctan(y/x)$ sin más (falla en los cuadrantes II, III y IV y para $x=0$), u olvidar que el origen no tiene ángulo definido.

X3 · producto escalar y normas en $\mathbb R^4$ X pp.22-23 (feb. 2012)

Calcule el producto escalar de $(1,2,3,4)$ y $(-1,-2,-3,-4)$ y la norma de estos dos vectores.

Idea en una frase

Las fórmulas de $\mathbb R^2$ y $\mathbb R^3$ valen igual en $\mathbb R^4$: multiplicar y sumar; raíz de la suma de cuadrados.

  1. Producto escalar: $1\cdot(-1)+2\cdot(-2)+3\cdot(-3)+4\cdot(-4)=-1-4-9-16=-30$.
  2. $\|(1,2,3,4)\|=\sqrt{1+4+9+16}=\sqrt{30}$.
  3. $\|(-1,-2,-3,-4)\|=\sqrt{30}$ (es el primero por $-1$ y $\|-\bar x\|=|-1|\|\bar x\|$).
  4. Comentario: $\bar x\cdot\bar y=-30=-\|\bar x\|\|\bar y\|$, luego $\cos\alpha=-1$, $\alpha=\pi$: vectores opuestos.

X da los mismos resultados (correctos).

En el examen escribe

«$\bar x\cdot\bar y=-1-4-9-16=-30$; $\|\bar x\|=\sqrt{1+4+9+16}=\sqrt{30}$; $\|\bar y\|=\sqrt{30}$.»

Receta: en $\mathbb R^n$, mismas fórmulas con más sumandos. Un producto escalar puede ser negativo; una norma no.
Error típico

Escribir $\|(-1,-2,-3,-4)\|=-\sqrt{30}$.

X4 · distancia entre $(1,-1,0)$ y $(1,3,5)$ X p.53 (sept. 2015)

Calcular la distancia euclídea entre los puntos $(1,-1,0)$ y $(1,3,5)$.

Idea en una frase

La distancia entre dos puntos es la longitud (norma) del vector que va de uno al otro: se restan y se hace la raíz de la suma de cuadrados.

  1. Fórmula (U p.143): $d(\bar x,\bar y)=\|\bar y-\bar x\|$.
  2. Diferencia: $(1,3,5)-(1,-1,0)=(0,4,5)$ (X resta al revés y obtiene $(0,-4,-5)$; da igual porque $\|-\bar w\|=\|\bar w\|$).
  3. Norma: $\sqrt{0+16+25}=\sqrt{41}\approx6{,}403$.

X: correcto.

En el examen escribe

«$d=\|(1,3,5)-(1,-1,0)\|=\|(0,4,5)\|=\sqrt{0+16+25}=\sqrt{41}$.»

Receta: distancia = norma de la resta (en cualquier orden).
Error típico

Restar mal un negativo: $3-(-1)=4$, no $2$.

X5 · distancia entre $(4,2,0)$ y $(1,-1,3)$ X p.70 (sept. 2016)

Calcule la distancia entre los elementos $(4,2,0)$ y $(1,-1,3)\in\mathbb R^3$.

Idea en una frase

Es la misma cuenta que X4: restar, elevar al cuadrado, sumar y raíz.

  1. Diferencia: $(4,2,0)-(1,-1,3)=(3,3,-3)$.
  2. $d=\sqrt{9+9+9}=\sqrt{27}=3\sqrt3\approx5{,}196$.

X da $\sqrt{27}$ (correcto; conviene simplificar a $3\sqrt3$).

En el examen escribe

«$d=\|(4,2,0)-(1,-1,3)\|=\|(3,3,-3)\|=\sqrt{27}=3\sqrt3$.»

Receta y error típico: como X4; además $\sqrt{27}=\sqrt{9\cdot3}=3\sqrt3$.
X6 · distancia y ángulo (con errata en la solución impresa) X p.89 (feb. 2018)

Calcule la distancia entre los puntos $(1,0,-1)$ y $(2,0,-1)$ con la métrica euclídea. Determine el ángulo que forman los vectores $(0,1,2)$ y $(1,-1,1)$.

Idea en una frase

Dos cuentas independientes: norma de una resta y $\arccos$ del producto escalar dividido entre el producto de normas.

  1. Distancia: $(1,0,-1)-(2,0,-1)=(-1,0,0)$, $d=1$ (solo difieren en una unidad en $x$).
  2. Producto escalar: $(0,1,2)\cdot(1,-1,1)=0-1+2=1$.
  3. Normas: $\sqrt5$ y $\sqrt3$.
  4. Coseno (Def. 4.2): $\cos\alpha=\dfrac1{\sqrt5\sqrt3}=\dfrac1{\sqrt{15}}\approx0{,}2582$.
  5. Ángulo: $\alpha=\arccos\frac1{\sqrt{15}}\approx\mathbf{1{,}3096}$ rad $\approx75{,}04^\circ$.
Errata de X

La solución impresa termina con «$\alpha=1.209$ radianes». Es incorrecto: $\cos(1{,}209)\approx0{,}354\ne0{,}258\approx1/\sqrt{15}$. El valor correcto es $\arccos(1/\sqrt{15})\approx1{,}3096$ rad. Lo anterior de la solución de X, incluido $\cos\alpha=1/\sqrt{15}$, es correcto. (El enunciado impreso ha perdido además el símbolo del ángulo.)

En el examen escribe

«$d=\|(1,0,-1)-(2,0,-1)\|=1$. $\cos\alpha=\dfrac{(0,1,2)\cdot(1,-1,1)}{\sqrt5\sqrt3}=\dfrac1{\sqrt{15}}$, luego $\alpha=\arccos\frac1{\sqrt{15}}\approx1{,}3096$ rad.»

Receta: $\cos\alpha=\frac{\bar u\cdot\bar v}{\|\bar u\|\|\bar v\|}$ y $\alpha=\arccos(\dots)\in[0,\pi]$, en radianes; comprueba calculando el coseno del resultado.
Error típico

Teclear mal la calculadora (o usarla en grados) y no comprobar. Dejarlo en «$\alpha=\arccos(1/\sqrt{15})$» es una respuesta exacta válida.

X7 · producto escalar y normas en $\mathbb R^4$ (sin solución en X) X p.139 (sept. 2018)

Calcule el producto escalar de $(1,2,0,1)$ y $(-1,-2,3,0)$ y la norma de estos dos vectores.

X no trae solución; esta es propia (verificada con sympy).

Idea en una frase

Es el mismo tipo de pregunta que X3, con un cero escondido en cada vector: multiplicar y sumar, y raíz de la suma de cuadrados.

  1. Producto escalar: $1\cdot(-1)+2\cdot(-2)+0\cdot3+1\cdot0=-1-4+0+0=-5$.
  2. $\|(1,2,0,1)\|=\sqrt{1+4+0+1}=\sqrt6\approx2{,}449$.
  3. $\|(-1,-2,3,0)\|=\sqrt{1+4+9+0}=\sqrt{14}\approx3{,}742$.
  4. Extra: $\cos\alpha=-5/\sqrt{84}\approx-0{,}546$, $\alpha\approx2{,}148$ rad: obtuso, coherente con el signo negativo.
En el examen escribe

«$\bar x\cdot\bar y=-1-4+0+0=-5$; $\|\bar x\|=\sqrt6$; $\|\bar y\|=\sqrt{14}$.»

Receta: como X3. Error típico: saltarse los sumandos con un $0$ y desordenar las parejas de componentes.

8Errores frecuentes, chuleta y lista de comprobación

Errores frecuentes

Erratas y avisos de este tema

  1. U §4.1 ocupa las pp. 142-152 (el Ej. 4.8 está en la p. 152; §4.2 empieza al pie de esa página).
  2. U p. 143 no enuncia la desigualdad triangular, la homogeneidad de la norma ni Cauchy-Schwarz («conocidas del Álgebra»). La triangular aparece en el margen de E p. 137; aquí van marcadas como propias.
  3. U pp. 149-150: las cilíndricas y esféricas «valen en $\mathbb R^3\setminus\{(0,0,0)\}$», pero en el eje $z$ el ángulo $\theta$ no está determinado.
  4. E 4.2 (p. 136): «siempre es paralelo a $\bar w$» es impreciso; lo correcto es «nulo o paralelo».
  5. E 4.5 (p. 139): $P'\in C$ y $P''\notin C$ están intercambiados; debe ser $P'\notin C$, $P''\in C$.
  6. X p.13 (feb. 2011): remite a «la página 194» de U; las polares están en U pp. 148-149.
  7. X p.89 (feb. 2018): $\alpha=1.209$ rad es incorrecto; $\alpha=\arccos(1/\sqrt{15})\approx1{,}3096$ rad.
  8. X p.139 (sept. 2018): sin solución en el PDF (aquí: $-5$, $\sqrt6$, $\sqrt{14}$).
  9. E trae «φ» y U «ϕ» para el ángulo esférico: es el mismo.
  10. Larson (tomo 1) no cubre esta materia y el Stewart de una variable solo trata las polares (§10.3); vectores y cilíndricas/esféricas están en su tomo de varias variables.

Chuleta

Chuleta de fórmulas del tema
ConceptoEnunciadoFuente
$\mathbb R^n$$n$-uplas; suma y producto por escalar componente a componente; base canónica $\bar e_i$U pp.142-143
Producto escalar$\bar x\cdot\bar y=\sum x_iy_i$ (un número)U p.143
Norma, unitario$\|\bar x\|=\sqrt{\bar x\cdot\bar x}=\sqrt{\sum x_i^2}$; unitario: $\|\bar x\|=1$; $\bar x/\|\bar x\|$ es unitarioU p.143
Distancia$d(\bar x,\bar y)=\|\bar y-\bar x\|$U p.143
Ángulo, ortogonalidad$\cos\alpha=\frac{\bar x\cdot\bar y}{\|\bar x\|\|\bar y\|}$, $\alpha\in[0,\pi]$; ortogonales $\iff\bar x\cdot\bar y=0$U p.147
Propiedades de la norma$\|\lambda\bar u\|=|\lambda|\|\bar u\|$; $\|\bar u+\bar v\|\le\|\bar u\|+\|\bar v\|$; $|\bar u\cdot\bar v|\le\|\bar u\|\|\bar v\|$propia (E p.137)
Disco/bolaabierto: $d<r$; cerrado: $d\le r$U pp.145-146
Interior, fronterainterior: existe un disco dentro; frontera: todo disco tiene puntos de $C$ y de fueraU pp.145-146
Abierto, cerrado, acotadotodos los puntos interiores; contiene su frontera; cabe en un discoU p.146
Polares$x=\rho\cos\theta$, $y=\rho\operatorname{sen}\theta$; $\rho=\sqrt{x^2+y^2}$, $\operatorname{tg}\theta=y/x$ (cuadrante); $\theta\in[0,2\pi)$U p.148
Cilíndricaspolares + $z$; $\rho$ = distancia al eje $z$U p.149
Esféricas$x=\rho\cos\varphi\cos\theta$, $y=\rho\cos\varphi\operatorname{sen}\theta$, $z=\rho\operatorname{sen}\varphi$; $\rho=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$, $\operatorname{sen}\varphi=z/\rho$; $\varphi\in[-\pi/2,\pi/2]$U pp.150-151

Lista de comprobación

★Fuentes de este tema

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