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Módulo 1 · Herramientas · Tema 1.2

Álgebra matricial

Cómo se suman, multiplican e invierten matrices; qué es una matriz elemental y por qué sirve para escalonar y para calcular la inversa; qué es el rango. Es la base algebraica de todo lo que viene después: sistemas de ecuaciones, aplicaciones lineales y diagonalización.

Libro oficial: Álgebra para Ingenieros, §1.2 (pp. 9-22)Ejercicios: E Ej. 1.6–1.20 (pp. 11-21)⏱ ~5 h de estudio
U oficial E ejercicios L Lay A tutoría P propio — pasa el ratón (o toca) por cada etiqueta para ver libro y página; en pantallas anchas aparecen en el margen derecho.

0Antes de empezar U p.9-10

La idea del tema en una frase

Una matriz es una tabla de números con la que se puede sumar, multiplicar por un número y, sobre todo, multiplicar por otra matriz siguiendo una regla concreta (fila por columna). Ese producto no se comporta como el producto de números: no es conmutativo. Las matrices elementales son el «traductor» entre hacer una operación con filas a mano y multiplicar por una matriz concreta; eso es lo que hace funcionar el algoritmo de Gauss para invertir matrices y calcular el rango.

Qué necesitas saber ya

Mapa del tema

ApartadoQué contieneDónde está en los libros
1 Notación y tipos$\mathcal M_{m\times n}$, matriz cuadrada, tipos (identidad, nula, simétrica, diagonal, triangular…)U pp.9-11
2 Suma y producto por escalarDefiniciones y sus propiedades (grupo conmutativo)U pp.11-12
3 Producto de matricesDefinición, condiciones de tamaño, propiedades, no conmutatividad, traspuestaU pp.12-13 · L §2.1 pp.92-101
4 Matriz inversa y trazaRegular/singular, propiedades de la inversa, trazaU pp.13-14 · L §2.2 pp.102-110
5 Operaciones y matrices elementalesLas 3 operaciones por filas, Def. 1.2, tipos, sus inversasU pp.14-16
6 Matriz de paso y algoritmo de la inversaTeorema 1.1, $(A\mid I)\to(I\mid A^{-1})$U pp.18-19 · L §2.2 pp.104-106
7 Matrices equivalentes por filasDef. 1.1, Teorema 1.2U pp.15, 19
8 Matrices escalonadasDef. 1.3-1.4, pivotes normalizados, unicidad de la reducidaU pp.19-21
9 RangoDef. 1.5, Teorema 1.3, $A$ regular $\iff\operatorname{rang}A=n$U p.22
10 EjerciciosE 1.6–1.20 + ejemplos propiosE pp.11-21
Qué se pide en los ejercicios

Los ejercicios de esta sección piden: calcular potencias y sumas de matrices sin caer en las «trampas» de las identidades notables de números (1.6-1.10); manipular igualdades matriciales multiplicando por el mismo lado (1.11); reconocer matrices elementales y su efecto al multiplicar por la izquierda o por la derecha (1.12, 1.13, 1.15); escalonar una matriz y hallar matrices de paso (1.14); calcular una inversa por Gauss-Jordan (1.16); y trabajar con el rango: por qué no es aditivo (1.17), calcularlo correctamente (1.18), y demostrar que se conserva por equivalencia (1.19, 1.20).

1Notación $\mathcal M_{m\times n}$ y tipos de matrices U p.10-11

Definición

$\mathcal M_{m\times n}$ es el conjunto de las matrices reales de $m$ filas y $n$ columnas (orden o dimensión $m\times n$). Si $A\in\mathcal M_{m\times n}$: $$A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\end{pmatrix},\qquad a_{ij}\in\mathbb R,$$ abreviado $A=(a_{ij})$. Si $m=n$, $A$ es una matriz cuadrada de orden $n$. Una matriz $1\times n$ es una matriz fila, $A=(a_1\ a_2\ \cdots\ a_n)$; una matriz $m\times1$ es una matriz columna (se omiten subíndices innecesarios).

U p.10
Ejemplo 1.2 de U — tipos de matrices
  • $I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ es la matriz identidad de orden 2.
  • $\begin{pmatrix}0&0\\0&0\\0&0\\0&0\end{pmatrix}$ es la matriz nula de orden $4\times2$.
  • $\begin{pmatrix}1&2&3&4\\2&2&5&6\\3&5&1&3\\4&6&3&4\end{pmatrix}$ es simétrica porque $a_{ij}=a_{ji}$ para todo $i,j$.
  • $\begin{pmatrix}1&2&3\\0&0&3\\0&0&2\end{pmatrix}$ es triangular superior porque $a_{ij}=0$ para $i>j$ (ceros por debajo de la diagonal).

Otros tipos que hay que conocer (bachillerato + U): diagonal (solo elementos no nulos en la diagonal), antisimétrica ($a_{ij}=-a_{ji}$, en particular $a_{ii}=0$) y triangular inferior.

U p.10-11
Error típico

Confundir «cuadrada» con «diagonal» o «simétrica»: cuadrada solo dice $m=n$, no dice nada sobre los valores. Toda matriz diagonal es simétrica, pero no toda simétrica es diagonal (el ejemplo de arriba lo es y no es diagonal).

2Suma y producto por escalar U p.11-12

Definiciones

Si $A,B\in\mathcal M_{m\times n}$, la matriz suma $C=A+B$ verifica $c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$ (mismo orden $m\times n$): la suma es una operación interna. Si $\alpha\in\mathbb R$ (un escalar), la matriz producto por escalar $C=\alpha A$ verifica $c_{ij}=\alpha a_{ij}$; en particular $-A=(-a_{ij})$. Es una operación externa porque $\alpha$ y $A$ son de naturaleza distinta.

U p.11
Propiedades

De la suma (para $A,B,C\in\mathcal M_{m\times n}$): asociativa $(A+B)+C=A+(B+C)$; conmutativa $A+B=B+A$; elemento neutro $A+0=A$ (matriz nula); elemento opuesto $A+(-A)=0$. (Esto da a $\mathcal M_{m\times n}$ estructura de grupo conmutativo.)

Del producto por escalar (para $\alpha,\beta\in\mathbb R$): asociativa $(\alpha\beta)A=\alpha(\beta A)$; distributiva respecto a escalares $(\alpha+\beta)A=\alpha A+\beta A$; distributiva respecto a matrices $\alpha(A+B)=\alpha A+\alpha B$; elemento unidad $1A=A$.

U p.11-12
Ejemplo numérico

Con $A=\begin{pmatrix}2&1\\4&0\\5&3\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}1&2\\-4&4\\2&-3\end{pmatrix}$: $A+B=\begin{pmatrix}3&3\\0&4\\7&0\end{pmatrix}$ y $3(A+B)=\begin{pmatrix}9&9\\0&12\\21&0\end{pmatrix}$.

U p.12

3Producto de matrices U p.12-13

Idea intuitiva

Para multiplicar $A$ por $B$, cada elemento del resultado es «fila de $A$ punto columna de $B$»: se recorren a la vez, se multiplican término a término y se suman. Por eso hace falta que la fila de $A$ y la columna de $B$ tengan la misma longitud: el número de columnas de $A$ debe coincidir con el número de filas de $B$.

L p.96-97
Animación: el producto fila × columna

Pulsa Siguiente: en cada paso se resalta una fila de A y una columna de B; se multiplican elemento a elemento y se suman para dar un elemento de C. Observa por qué las dimensiones tienen que encajar.

P
Definición

Si $A\in\mathcal M_{m\times n}$ y $B\in\mathcal M_{n\times r}$, existe la matriz producto $P=AB\in\mathcal M_{m\times r}$ y $$p_{ij}=\sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj}.$$ En general $AB$ no está definido si los tamaños no encajan. Si $A$ es cuadrada de orden $n$, $AI_n=I_nA=A$.

U p.12
Ejemplo numérico $2\times2$

Sean $A=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}2&0\\1&1\end{pmatrix}$. $$AB=\begin{pmatrix}1\cdot2+2\cdot1&1\cdot0+2\cdot1\\0\cdot2+1\cdot1&0\cdot0+1\cdot1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&2\\1&1\end{pmatrix},\qquad BA=\begin{pmatrix}2&4\\1&3\end{pmatrix}.$$ $AB\ne BA$: el producto de matrices no es conmutativo, ni siquiera en $2\times2$. En general, $AB=BA$ solo en casos particulares.

P
Propiedades del producto

Asociativa: $(AB)C=A(BC)$. Distributiva por la izquierda/derecha: $A(B+C)=AB+AC$, $(A+B)C=AC+BC$. Asociativa con el escalar: $\alpha(AB)=(\alpha A)B$. Existen ambos productos $AB$ y $BA$ si $A\in\mathcal M_{m\times n}$ y $B\in\mathcal M_{n\times m}$; además, $AB$ y $BA$ tienen el mismo tamaño si y solo si $A$ y $B$ son cuadradas del mismo orden.

U p.12-13
Imprecisión de U

U (p.12) afirma literalmente que «existen ambos productos $AB$ y $BA$ si y solo si $A$ y $B$ son cuadradas del mismo orden». Es una imprecisión: si $A\in\mathcal M_{m\times n}$ y $B\in\mathcal M_{n\times m}$ (no necesariamente cuadradas, ni $m=n$) ya existen los dos productos, aunque $AB\in\mathcal M_{m\times m}$ y $BA\in\mathcal M_{n\times n}$ pueden tener tamaños distintos entre sí. Lo que sí es cierto es que $AB$ y $BA$ tienen el mismo tamaño exactamente cuando $A,B$ son cuadradas del mismo orden.

U p.12
Error típico

Usar identidades notables de números con matrices: $(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$ y $A^2-B^2=(A+B)(A-B)$ son falsas en general, porque desarrollarlas exige que $AB=BA$ y eso no se puede suponer. Lo correcto es $(A+B)^2=A^2+AB+BA+B^2$ (ver Ejercicio 1.8 más abajo).

Matriz traspuesta

$A^t$ se obtiene cambiando la fila $i$ por la columna $i$ (es decir, $(A^t)_{ij}=a_{ji}$). Propiedades: $(A^t)^t=A$, $(A+B)^t=A^t+B^t$, $(AB)^t=B^tA^t$ (el orden se invierte).

U p.13
Ejemplo 1.4 de U — traspuesta de un producto

Con $A=\begin{pmatrix}2&1&2\\5&4&3\end{pmatrix}\in\mathcal M_{2\times3}$ y $B=\begin{pmatrix}1&2&3&3\\4&2&5&6\\0&1&3&2\end{pmatrix}\in\mathcal M_{3\times4}$, existe $AB\in\mathcal M_{2\times4}$: $$AB=\begin{pmatrix}6&8&17&16\\21&21&44&45\end{pmatrix},\qquad (AB)^t=\begin{pmatrix}6&21\\8&21\\17&44\\16&45\end{pmatrix}.$$ $(AB)^t$ también se podría calcular como $B^tA^t$ (ver comprobación numérica en el Ejemplo propio 1 más abajo).

U p.13

4Matriz inversa y traza U p.13-14

Definición

Si $A$ es cuadrada de orden $n$, la matriz $B$ de orden $n$ es la matriz inversa de $A$, $B=A^{-1}$, si $AB=BA=I_n$. Entonces $A$ es regular (si existe $A^{-1}$) o singular (si no existe). La inversa solo se define para matrices cuadradas, no siempre existe, y si existe es única. Propiedades: $$(A^{-1})^{-1}=A,\qquad (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\ \text{(orden invertido, requiere que $A$ y $B$ sean regulares)},\qquad (A^{-1})^t=(A^t)^{-1}.$$

U p.13
Traza

La traza de una matriz cuadrada $A$ es la suma de los elementos de su diagonal: $\operatorname{tr}(A)=\sum_i a_{ii}$.

U p.13
Ejemplo 1.5 de U

Con $A=\begin{pmatrix}2&3\\1&5\end{pmatrix}$: $\operatorname{tr}(A)=2+5=7$. Buscando $A^{-1}=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ tal que $AA^{-1}=I_2$ se plantea un sistema $2a+3c=1,\ 2b+3d=0,\ a+5c=0,\ b+5d=1$, cuya solución da $$A^{-1}=\begin{pmatrix}\frac57&-\frac37\\-\frac17&\frac27\end{pmatrix}.$$ En cambio, $\begin{pmatrix}2&10\\1&5\end{pmatrix}$ es un ejemplo de matriz singular (no tiene inversa): sus filas son proporcionales.

U p.14
Truco de examen

Antes de lanzarte a plantear el sistema $AA^{-1}=I$, comprueba a ojo si las filas (o columnas) de $A$ son proporcionales: si lo son, $A$ es singular y te ahorras el cálculo. Esto se verá con rigor con el determinante (§1.3) y con el rango (§9 de este tema).

5Operaciones y matrices elementales U p.14-16

Idea intuitiva

Cuando resuelves un sistema «a mano» haces cosas como intercambiar dos ecuaciones o sumarle a una un múltiplo de otra. Cada una de esas acciones sobre las filas de una matriz se puede reproducir multiplicando por la izquierda por una matriz muy concreta: la matriz elemental de esa operación. Es la pieza que conecta «hacer Gauss a mano» con «multiplicar matrices», y es la base del algoritmo de la inversa.

P
Operaciones elementales por filas

Con $A\in\mathcal M_{m\times n}$, se denota $F_i$ la fila $i$-ésima. Las tres operaciones elementales por filas son:

  1. Permutar dos filas: $F_i\leftrightarrow F_j$.
  2. Multiplicar una fila por un escalar $\alpha\ne0$: $F_i\to\alpha F_i$.
  3. Sumar a una fila un múltiplo de otra: $F_i\to F_i+\alpha F_j$.

Análogamente se definen las operaciones elementales por columnas ($C_i$).

U p.14
Definición 1.2 (matriz elemental)

Una matriz elemental (por filas) es la matriz cuadrada que resulta al realizar una sola operación elemental por filas en la matriz identidad.

U p.15
Ejemplo 1.7 de U — reconocer matrices elementales

$E_1=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&1\end{pmatrix}$ viene de $F_2\to2F_2$ en $I_3$. $E_2=\begin{pmatrix}1&0&0&5\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}$ viene de $F_1\to F_1+5F_4$ en $I_4$. $E_3=\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}$ viene de $F_1\leftrightarrow F_2$ en $I_3$. $E_4=\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}$ viene de $F_1\to F_1-F_2$ en $I_2$.

U p.15
Las matrices elementales son regulares

Cada operación se deshace con otra del mismo tipo, y esa operación «inversa» da la matriz inversa:

  1. La inversa de $F_i\leftrightarrow F_j$ es ella misma.
  2. La inversa de $F_i\to\alpha F_i$ ($\alpha\ne0$) es $F_i\to\frac1\alpha F_i$.
  3. La inversa de $F_i\to F_i+\alpha F_j$ es $F_i\to F_i-\alpha F_j$.
U p.16
Ejemplo 1.8 de U — inversa de una elemental

$E=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&-4\\0&0&1\end{pmatrix}$ viene de $F_2\to F_2-4F_3$ en $I_3$. La operación que la deshace es $F_2\to F_2+4F_3$, así que $$E^{-1}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&4\\0&0&1\end{pmatrix},\qquad EE^{-1}=I_3.$$

U p.16
Operación por filas = multiplicar por la izquierda

Hacer una operación elemental por filas en $A\in\mathcal M_{m\times n}$ equivale a multiplicar por la izquierda la matriz elemental asociada $E\in\mathcal M_{m\times m}$: el resultado es $EA$. Análogamente, hacer una operación elemental por columnas equivale a multiplicar por la derecha: $AF$. Como el producto no es conmutativo, hay que respetar el lado.

U p.16
Ejemplo numérico — mismo tipo de operación, dos lados distintos

Sea $A=\begin{pmatrix}2&1&3\\0&5&4\\1&7&6\end{pmatrix}$ y $E=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&3&1\end{pmatrix}$ (viene de $F_3\to F_3+3F_2$ en $I_3$).

  1. Por la izquierda ($EA$, operación por filas): se suma $3F_2$ a $F_3$: $EA=\begin{pmatrix}2&1&3\\0&5&4\\1&22&18\end{pmatrix}$, pues $(1,7,6)+3(0,5,4)=(1,22,18)$.
  2. Por la derecha ($AE$, operación por columnas): la misma $E$, leída por columnas sobre $I_3$, es $C_2\to C_2+3C_3$ (el «3» de $E$ está en la posición $(3,2)$, así que al multiplicar por la derecha afecta a la columna 2 sumándole $3$ veces la columna 3 — los índices se cruzan respecto al caso por filas). $AE=\begin{pmatrix}2&10&3\\0&17&4\\1&25&6\end{pmatrix}$, pues $(1,5,7)^t+3(3,4,6)^t=(10,17,25)^t$.
E p.18
Error típico

Pensar que $AE$ hace «lo mismo» que $EA$ pero por columnas con los mismos índices: si $E$ tiene el escalar en la posición $(i,j)$ (con $i\ne j$), por filas es $F_i\to F_i+\alpha F_j$ pero por columnas es $C_j\to C_j+\alpha C_i$ (los índices se invierten). Repasa el Ejercicio 1.15 más abajo, donde se ve con tres matrices elementales distintas.

6Teorema 1.1: matriz de paso y algoritmo de la inversa U p.18

Teorema 1.1

Si $B$ se obtiene de $A\in\mathcal M_{m\times n}$ mediante $p$ operaciones elementales por filas $O_1,\dots,O_p$ (con $E_i$ la matriz elemental de $O_i$), entonces $$B=E_pE_{p-1}\cdots E_1A=EA,\qquad E=E_pE_{p-1}\cdots E_1.$$ Equivalentemente, si $(A\mid I_m)\xrightarrow{\text{mismas operaciones}}(B\mid E)$, entonces $B=EA$. Como $E$ es regular (producto de regulares), $E^{-1}=E_1^{-1}E_2^{-1}\cdots E_p^{-1}$. A $E$ se le llama matriz de paso de $A$ a $B$.

U p.18
Animación: el algoritmo de la inversa $(A\mid I)\to(I\mid A^{-1})$

Cada paso es una operación elemental por filas aplicada a toda la matriz ampliada. Se marca el pivote (azul), la fila que cambia (naranja) y el elemento que se anula. Al terminar, la mitad derecha es la inversa. Puedes cambiar la matriz (si no es invertible, el algoritmo lo detecta).

P
Algoritmo para calcular la inversa

Si $A$ es cuadrada de orden $n$ y regular, y $(A\mid I_n)\xrightarrow{\text{op. por filas}}(I_n\mid E)$, entonces por el Teorema 1.1, $I_n=EA$, luego $E=A^{-1}$. Si en algún paso aparece una fila nula en la parte izquierda, $A$ no es regular y es imposible llegar a $I_n$: se para el proceso.

U p.18-19
Ejemplo 1.9-1.10 de U — varias operaciones seguidas

Con $A=\begin{pmatrix}1&2\\5&3\\2&2\\4&2\end{pmatrix}$, se hacen (en este orden) $F_1\to F_1-2F_2$ y luego $F_3\leftrightarrow F_4$: $$A\xrightarrow{F_1\to F_1-2F_2}\begin{pmatrix}-9&-4\\5&3\\2&2\\4&2\end{pmatrix}\xrightarrow{F_3\leftrightarrow F_4}\begin{pmatrix}-9&-4\\5&3\\4&2\\2&2\end{pmatrix}=B.$$ Las matrices elementales asociadas son $E_1=\begin{pmatrix}1&-2&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}$ (de $F_1\to F_1-2F_2$) y $E_2=\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{pmatrix}$ (de $F_3\leftrightarrow F_4$), y se cumple $B=E_2E_1A$: la última operación realizada queda más a la izquierda en el producto.

U p.17
Error típico

Escribir $B=E_1E_2A$ en vez de $E_2E_1A$: como el producto no es conmutativo, el orden de las matrices elementales en el producto es el inverso al orden temporal en que se hicieron las operaciones (la última operación es la matriz más a la izquierda).

Ejemplo 1.11 de U

Con $A=\begin{pmatrix}2&0\\4&1\end{pmatrix}$: $$\left(\begin{array}{cc|cc}2&0&1&0\\4&1&0&1\end{array}\right)\xrightarrow{F_1\to\frac12F_1}\left(\begin{array}{cc|cc}1&0&\frac12&0\\4&1&0&1\end{array}\right)\xrightarrow{F_2\to F_2-4F_1}\left(\begin{array}{cc|cc}1&0&\frac12&0\\0&1&-2&1\end{array}\right),$$ $$A^{-1}=\begin{pmatrix}\frac12&0\\-2&1\end{pmatrix}.$$

U p.19
Ejemplo alternativo — método de Gauss para la inversa (A)

Variante sin fracciones a medio camino: en vez de normalizar cada pivote a $1$ nada más aparecer (como en el Ejemplo 1.11), primero se iguala la columna que se quiere anular a un múltiplo común de sus dos entradas, se resta, y solo al final se divide para dejar $1$s en la diagonal. Con $A=\begin{pmatrix}3&5\\4&8\end{pmatrix}$:

  1. $\left(\begin{array}{cc|cc}3&5&1&0\\4&8&0&1\end{array}\right)$. La primera columna es $\binom{3}{4}$; $\operatorname{mcm}(3,4)=12$, así que se multiplica $F_1$ por $4$ y $F_2$ por $3$ para que ambas tengan un $12$ ahí: $$\xrightarrow[F_2\to3F_2]{F_1\to4F_1}\left(\begin{array}{cc|cc}12&20&4&0\\12&24&0&3\end{array}\right).$$
  2. Con el $12$ igualado, $F_2\to F_2-F_1$ anula la columna 1 en la fila 2: $$\left(\begin{array}{cc|cc}12&20&4&0\\0&4&-4&3\end{array}\right).$$
  3. Ahora toca anular la columna 2 por encima del pivote $4$: para no arrastrar fracciones, se iguala también esa columna a un múltiplo común ($20$ y $4$, $\operatorname{mcm}=20$, o directamente $F_1\to F_1-5F_2$ ya que $20=5\cdot4$): $$\xrightarrow{F_1\to F_1-5F_2}\left(\begin{array}{cc|cc}12&0&24&-15\\0&4&-4&3\end{array}\right).$$
  4. Por último se normaliza cada fila dividiendo por su pivote ($F_1\to\frac1{12}F_1$, $F_2\to\frac14F_2$): $$\left(\begin{array}{cc|cc}1&0&2&-\frac{15}{12}\\0&1&-1&\frac34\end{array}\right)\;\Rightarrow\;A^{-1}=\begin{pmatrix}2&-\frac{15}{12}\\-1&\frac34\end{pmatrix}.$$

Se comprueba con $AA^{-1}=I_2$.

A
Truco de examen

Comprueba siempre el resultado multiplicando $AA^{-1}$ (o $A^{-1}A$): es rápido y detecta casi cualquier error de arrastre de fracciones. En el examen, escribir la comprobación también demuestra que dominas la definición de inversa (U p.13), no solo el algoritmo.

7Matrices equivalentes por filas U p.15, 19

Definición 1.1

Dos matrices $A,B\in\mathcal M_{m\times n}$ son equivalentes por filas si se puede pasar de una a otra mediante operaciones elementales por filas.

U p.15
Ejemplo 1.6 de U

Las matrices $\begin{pmatrix}2&1&2\\1&0&3\end{pmatrix}$ y $\begin{pmatrix}1&0&3\\1&1&-1\end{pmatrix}$ son equivalentes por filas: $$\begin{pmatrix}2&1&2\\1&0&3\end{pmatrix}\xrightarrow{F_1\to F_1-F_2}\begin{pmatrix}1&1&-1\\1&0&3\end{pmatrix}\xrightarrow{F_1\leftrightarrow F_2}\begin{pmatrix}1&0&3\\1&1&-1\end{pmatrix}.$$ La matriz de paso es $Q=\begin{pmatrix}0&1\\1&-1\end{pmatrix}$ (producto de las elementales de $F_1\leftrightarrow F_2$ y $F_1\to F_1-F_2$, en ese orden): $Q\begin{pmatrix}2&1&2\\1&0&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&3\\1&1&-1\end{pmatrix}$.

U p.15
Teorema 1.2

$A,B\in\mathcal M_{m\times n}$ son equivalentes por filas $\iff$ existe una matriz regular $Q\in\mathcal M_{m\times m}$ (matriz de paso) tal que $B=QA$. ($\Rightarrow$: $Q$ es la $E$ del Teorema 1.1. $\Leftarrow$: invirtiendo las operaciones de $Q$ se pasa de $B$ a $A$.)

U p.19

8Matrices escalonadas U p.19-21

Idea intuitiva

Una matriz escalonada es la que, dibujada, forma una «escalera»: cada fila empieza más a la derecha que la anterior, y las filas de solo ceros quedan al final. Es la forma más simple a la que se puede llevar cualquier matriz usando solo operaciones por filas, y sirve para leer el rango a simple vista.

Definición 1.3

$A\in\mathcal M_{m\times n}$ es escalonada (por filas) si: (i) el primer elemento no nulo de cada fila (el pivote) tiene ceros debajo; (ii) cada fila empieza con más ceros que la anterior; (iii) las filas nulas (si las hay) son las últimas.
Es escalonada con pivotes normalizados si además todos los pivotes valen 1. Es escalonada reducida si, además de tener los pivotes a 1, todos los elementos por encima de cada pivote también son cero.

U p.20
Ejemplo 1.12 de U — matrices escalonadas

Son escalonadas: $$\begin{pmatrix}1&0&2&3&4&2\\0&0&0&2&3&0\\0&0&0&0&3&4\end{pmatrix},\qquad\begin{pmatrix}1&2\\0&3\\0&0\\0&0\end{pmatrix},\qquad\begin{pmatrix}4&0&3&0&-1&4&2\\0&2&5&0&0&3&7\\0&0&0&1&2&5&-1\end{pmatrix}.$$ En las tres, cada pivote (primer elemento no nulo de su fila) tiene ceros debajo, cada fila empieza con más ceros que la anterior y las filas nulas (si las hay) están al final: los pivotes «forman una escalera».

U p.20
Ejemplo 1.12 de U — matrices NO escalonadas
  • $\begin{pmatrix}2&2&3\\0&1&5\\0&2&0\\0&0&1\end{pmatrix}$: falla (i), hay un $2$ debajo del pivote $1$ de la fila 2.
  • $\begin{pmatrix}1&0&2&3&4&2\\0&0&0&2&3&0\\0&0&0&3&3&4\end{pmatrix}$: falla (ii), las filas 2 y 3 empiezan con el mismo número de ceros (su pivote cae en la misma columna).
  • $\begin{pmatrix}1&0&2&3&4\\0&0&0&0&1\\0&0&-3&2&2\end{pmatrix}$: falla (ii), la fila 3 empieza antes (con menos ceros) que la fila 2.
  • $\begin{pmatrix}1&2\\0&3\\0&2\\0&1\end{pmatrix}$: falla (i), hay elementos no nulos debajo del pivote $3$ de la fila 1.
U p.20
Error típico

Creer que basta con que la matriz «tenga pinta» de escalera para serlo: hay que comprobar las tres condiciones de la Def. 1.3 una por una, elemento a elemento. Compárense $\begin{pmatrix}1&2\\0&3\\0&0\\0&0\end{pmatrix}$ (escalonada) y $\begin{pmatrix}1&2\\0&3\\0&2\\0&1\end{pmatrix}$ (no escalonada): son casi idénticas, pero en la segunda hay elementos no nulos debajo del pivote de la primera fila.

Definición 1.4

Se llama matriz escalonada (o escalonada reducida) de $A\in\mathcal M_{m\times n}$ a una matriz escalonada (o escalonada reducida) $B\in\mathcal M_{m\times n}$ que se obtiene mediante operaciones elementales por filas en $A$. En consecuencia, $A$ es equivalente por filas a cualquiera de sus matrices escalonadas, y además se puede calcular la matriz de paso asociada (Teorema 1.1).

U p.20
Unicidad

Toda $A\in\mathcal M_{m\times n}$ se puede llevar a forma escalonada (o escalonada reducida) mediante operaciones por filas. La matriz escalonada no es única (depende de las operaciones elegidas), pero la escalonada reducida sí es única.

U p.21
Ejemplo 1.13-1.14 de U

Con $A=\begin{pmatrix}1&2\\2&3\\1&1\end{pmatrix}$: escalonando $(A\mid I_3)$ con $F_2\to F_2-2F_1$, $F_3\to F_3-F_1$, $F_3\to F_3-F_2$ (las mismas operaciones actúan a la vez sobre $A$ y sobre $I_3$) se pasa de $$\left(\begin{array}{cc|ccc}1&2&1&0&0\\2&3&0&1&0\\1&1&0&0&1\end{array}\right)\longrightarrow\left(\begin{array}{cc|ccc}1&2&1&0&0\\0&-1&-2&1&0\\0&0&1&-1&1\end{array}\right)=(A_e\mid E).$$ A la izquierda de la barra queda la escalonada y a la derecha la matriz de paso: $$A_e=\begin{pmatrix}1&2\\0&-1\\0&0\end{pmatrix}=EA,\qquad E=\begin{pmatrix}1&0&0\\-2&1&0\\1&-1&1\end{pmatrix}.$$ Otras escalonadas válidas de la misma $A$ son $\begin{pmatrix}1&2\\0&1\\0&0\end{pmatrix}$ o $\begin{pmatrix}2&4\\0&1\\0&0\end{pmatrix}$: distintas, pero todas tienen 2 filas no nulas. La escalonada reducida, en cambio, es única: $\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\0&0\end{pmatrix}$.

U p.21

9Rango de una matriz U p.22

Consecuencia del algoritmo de la inversa

$A\in\mathcal M_{n\times n}$ es regular $\iff$ su escalonada reducida es $I_n$ $\iff$ cualquiera de sus escalonadas es triangular superior sin ceros en la diagonal.

U p.22
Animación: escalonar para calcular el rango

El rango es el número de filas no nulas de una escalonada. Fíjate en que en la columna 2 no aparece pivote (al anular la columna 1 todo lo de abajo queda en 0), y el pivote «salta» a la columna 3.

P
Definición 1.5 (rango)

El rango de $A\in\mathcal M_{m\times n}$, denotado $\operatorname{rang}(A)$, es el número de filas no nulas de cualquier matriz escalonada de $A$ (el número no depende de cuál se elija).

U p.22
Ejemplo 1.15 de U

Retomando $A=\begin{pmatrix}1&2\\2&3\\1&1\end{pmatrix}$ del Ejemplo 1.13 (§8), su escalonada $A_e=\begin{pmatrix}1&2\\0&-1\\0&0\end{pmatrix}$ tiene 2 filas no nulas: $\operatorname{rang}(A)=2$.

U p.22
Teorema 1.3 y condición de regularidad

Si $A,B\in\mathcal M_{m\times n}$ son equivalentes por filas, entonces $\operatorname{rang}(A)=\operatorname{rang}(B)$ (condición necesaria, no suficiente: dos matrices con el mismo rango pueden no ser equivalentes por filas, p. ej. $\begin{pmatrix}2&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}$ y $\begin{pmatrix}3&1&1\\0&0&0\end{pmatrix}$, ambas de rango 1).

Condición necesaria y suficiente de regularidad: para $A\in\mathcal M_{n\times n}$, $A$ es regular $\iff\operatorname{rang}(A)=n$.

U p.22
Error típico

Contar «filas no nulas» de una matriz que no está escalonada todavía: la definición de rango exige contarlas sobre una matriz escalonada, no sobre cualquier matriz. Si la matriz no es escalonada, primero hay que escalonarla (a veces basta una permutación de filas). Ver el Ejercicio 1.18.

10Ejercicios del libro, resueltos

Ejercicio 1.6 E p.11

Calcúlese $A^3$ sabiendo que $A$ es la matriz cuyas filas son $(0,\cos x,\operatorname{sen}x)$, $(\cos x,0,-1)$, $(\operatorname{sen}x,1,0)$.

  1. Escribimos $c=\cos x$, $s=\operatorname{sen}x$: $A=\begin{pmatrix}0&c&s\\c&0&-1\\s&1&0\end{pmatrix}$. $A^3=A\cdot A\cdot A$; por asociatividad, calculamos primero $A^2$ y luego $A\cdot A^2$.
  2. $A^2$ fila por columna: $A^2=\begin{pmatrix}c^2+s^2&s&-c\\-s&c^2-1&cs\\c&cs&s^2-1\end{pmatrix}$.
  3. Simplificamos con $s^2+c^2=1$: $A^2=\begin{pmatrix}1&s&-c\\-s&-s^2&cs\\c&cs&-c^2\end{pmatrix}$.
  4. $A^3=A\cdot A^2$, fila por columna: cada entrada se cancela por parejas (p. ej. la $(1,1)$ es $c(-s)+s\cdot c=0$). Resultado: $A^3=0_3$ para todo $x\in\mathbb R$.

Comprobado con sympy: simplify(A**3) == zeros(3).

Receta: para $A^n$, calcula $A^2$ y simplifica antes de seguir (aquí con $s^2+c^2=1$); usa $A^{k+1}=A\cdot A^k$, el orden de agrupación no importa por la asociatividad.

Error típico: elevar al cubo cada elemento ($\cos^3x,\dots$): $A^3$ es el producto matricial, no la potencia elemento a elemento.

Ejercicio 1.7 E p.11

$A$ tiene filas $(0,a,0)$, $(0,0,b)$, $(c,0,0)$ con $a,b,c\in\mathbb R$. ¿Es cierto que A) $A^3$ es una matriz escalar? B) $A^n$ es escalar para todo $n\in\mathbb N$?

  1. Una matriz escalar es $\lambda I_n$: diagonal con la diagonal constante.
  2. $A=\begin{pmatrix}0&a&0\\0&0&b\\c&0&0\end{pmatrix}$; $A^2=\begin{pmatrix}0&0&ab\\bc&0&0\\0&ac&0\end{pmatrix}$.
  3. $A^3=A\cdot A^2=abc\,I_3=\begin{pmatrix}abc&0&0\\0&abc&0\\0&0&abc\end{pmatrix}$: es escalar para cualesquiera $a,b,c$. Opción A cierta.
  4. Para $n=1$, $A^1=A$ tiene $a$ fuera de la diagonal: si $a\ne0$ ni siquiera es diagonal. Basta este contraejemplo. Opción B falsa (salvo $a=b=c=0$).

Comprobado con sympy: A**3 == a*b*c*eye(3); A**4 no es diagonal.

Receta: calcula $A^2,A^3,\dots$ hasta ver un patrón (aquí $A^{3k+r}=(abc)^kA^r$). Una afirmación «para todo $n$» se refuta con un solo $n$.

Error típico: generalizar de $A^3$ a $A^n$; que una potencia sea escalar no implica que todas lo sean.

Ejercicio 1.8 E p.12

$A+B=\begin{pmatrix}3&2\\7&0\end{pmatrix}$ y $A-B=\begin{pmatrix}2&3\\-1&0\end{pmatrix}$. ¿Cuál es cierta? A) $A^2+B^2=\begin{pmatrix}12&6\\\frac{19}2&\frac{11}2\end{pmatrix}$. B) $(A+B)^2=\begin{pmatrix}9&4\\49&0\end{pmatrix}$. C) $A^2-B^2=\begin{pmatrix}4&9\\14&21\end{pmatrix}$.

  1. Sumando y restando las dos igualdades: $A=\frac12[(A+B)+(A-B)]=\begin{pmatrix}\frac52&\frac52\\3&0\end{pmatrix}$, $B=\frac12[(A+B)-(A-B)]=\begin{pmatrix}\frac12&-\frac12\\4&0\end{pmatrix}$.
  2. $A^2=\begin{pmatrix}\frac{55}4&\frac{25}4\\\frac{15}2&\frac{15}2\end{pmatrix}$, $B^2=\begin{pmatrix}-\frac74&-\frac14\\2&-2\end{pmatrix}$.
  3. A: $A^2+B^2=\begin{pmatrix}12&6\\\frac{19}2&\frac{11}2\end{pmatrix}$. Cierta.
  4. B: $(A+B)^2=(A+B)(A+B)=\begin{pmatrix}23&6\\21&14\end{pmatrix}\ne\begin{pmatrix}9&4\\49&0\end{pmatrix}$. Falsa (la matriz de la opción B es la que sale de elevar cada elemento al cuadrado: trampa).
  5. C: $A^2-B^2=\begin{pmatrix}\frac{31}2&\frac{13}2\\\frac{11}2&\frac{19}2\end{pmatrix}\ne\begin{pmatrix}4&9\\14&21\end{pmatrix}$. Falsa (la matriz de C es $(A+B)(A-B)$, que solo coincide con $A^2-B^2$ si $AB=BA$, y aquí no conmutan).

Comprobado con sympy.

Receta: dados $A+B$ y $A-B$, despeja $A=\frac12[(A+B)+(A-B)]$, $B=\frac12[(A+B)-(A-B)]$. Desarrolla productos solo con la distributiva: $(A+B)^2=A^2+AB+BA+B^2$.

Error típico: aplicar identidades notables de números ($(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$, $A^2-B^2=(A+B)(A-B)$): falsas en general porque el producto no es conmutativo.

Ejercicio 1.9 E p.13

Con $A=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}$, calcúlese $S=A+AB+AB^2+\cdots+AB^n$. A) $S=\begin{pmatrix}2^{n+1}-1&0\\0&\frac{3^{n+1}-1}2\end{pmatrix}$. B) $S=\begin{pmatrix}2^{n+1}-1&0\\0&3^{n+1}-1\end{pmatrix}$.

  1. Sacando $A$ factor común por la izquierda (todos los sumandos la tienen a la izquierda): $S=A(I+B+B^2+\cdots+B^n)$.
  2. Por inducción, $B^k=\begin{pmatrix}2^k&0\\0&3^k\end{pmatrix}$. La suma de diagonales es diagonal: $$I+B+\cdots+B^n=\begin{pmatrix}1+2+\cdots+2^n&0\\0&1+3+\cdots+3^n\end{pmatrix}.$$
  3. Progresión geométrica $1+r+\cdots+r^n=\frac{r^{n+1}-1}{r-1}$: da $2^{n+1}-1$ y $\frac{3^{n+1}-1}2$.
  4. Multiplicando por $A$: $S=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2^{n+1}-1&0\\0&\frac{3^{n+1}-1}2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2^{n+1}-1&0\\0&3^{n+1}-1\end{pmatrix}$. Opción B cierta (A es la suma sin multiplicar por $A$).
  5. Comprobación $n=1$: $S=A+AB=\begin{pmatrix}3&0\\0&8\end{pmatrix}$, y B da $(2^2-1,3^2-1)=(3,8)$ ✓.
Receta: saca factor común respetando el lado; si son diagonales, trabaja entrada a entrada con la fórmula de la progresión geométrica; comprueba con $n=0$ o $n=1$.

Error típico: olvidar el factor $A$ (da la opción A) o sacarlo por el lado equivocado.

Ejercicio 1.10 E p.14

Suponiendo que $I_n-A$ es regular con $A\in\mathcal M_{n\times n}$ y $A^3=0$, calcúlese $(I-A)^{-1}$ en función de las potencias de $A$.

  1. Analogía numérica: $1-x^3=(1-x)(1+x+x^2)$; si $x^3=0$, $(1-x)(1+x+x^2)=1$. Probamos $C=I+A+A^2$.
  2. Hay que comprobar $(I-A)C=I$ y $C(I-A)=I$ (definición de inversa, U p.13).
  3. $(I-A)(I+A+A^2)=I+A+A^2-A-A^2-A^3=I-A^3=I$.
  4. $(I+A+A^2)(I-A)=I-A+A-A^2+A^2-A^3=I-A^3=I$.
  5. Luego $(I-A)^{-1}=I+A+A^2$ (única, por unicidad de la inversa).

Comprobado con sympy con $A=\begin{pmatrix}0&1&2\\0&0&3\\0&0&0\end{pmatrix}$ ($A^3=0$): $(I-A)^{-1}=I+A+A^2=\begin{pmatrix}1&1&5\\0&1&3\\0&0&1\end{pmatrix}$.

Receta: si $A^k=0$, entonces $(I-A)^{-1}=I+A+\cdots+A^{k-1}$: se justifica multiplicando por ambos lados y viendo que queda $I-A^k=I$.
Aviso sobre E

E menciona «utilizando $A^{-1}$»: es una errata, porque $A$ no puede ser regular (si existiera $A^{-1}$, de $A^3=0$ saldría $I=0$, contradicción). Lo que en realidad se usa es $(I-A)^{-1}$. Además, la hipótesis «$I_n-A$ regular» es innecesaria: los pasos 3-4 la demuestran.

Ejercicio 1.11 E p.14

$A,B$ cuadradas de orden $n$ con $AB=A$ y $BA=B$. A) Si $A$ es regular, $B=I_n$. B) $A^2=A$ y $B^2=B$.

  1. A) Si $A$ es regular, multiplicamos $AB=A$ por $A^{-1}$ a la izquierda: $A^{-1}(AB)=A^{-1}A\Rightarrow(A^{-1}A)B=I\Rightarrow B=I_n$. Cierta.
  2. B, $A^2=A$: multiplicamos $BA=B$ por $A$ a la izquierda: $A(BA)=AB\Rightarrow(AB)A=AB$; sustituyendo $AB=A$: $A\cdot A=A$.
  3. B, $B^2=B$: multiplicamos $AB=A$ por $B$ a la izquierda: $B(AB)=BA\Rightarrow(BA)B=BA\Rightarrow B\cdot B=B$. Cierta.

Ambas opciones son ciertas. Comprobado con el contraejemplo y el razonamiento anterior (no es un cálculo numérico, sino una demostración abstracta válida para cualquier $A,B$ que cumplan las hipótesis).

Receta: en igualdades matriciales, multiplica por el mismo lado en ambos miembros y reagrupa con la asociatividad hasta poder sustituir las hipótesis.
Error en E (y error típico)

La solución de E llega exactamente a este razonamiento pero concluye «por tanto A) es falsa»: es una contradicción con su propio cálculo, que prueba que A) es cierta. El error típico real es «simplificar» $A$ en $AB=A$ para concluir $B=I$ sin saber que $A$ es regular: con $A$ singular es falso, p. ej. $A=B=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}$ cumple $AB=A$, $BA=B$ y $B\ne I$.

Ejercicio 1.12 E p.15

A) Las matrices elementales son cuadradas. B) Son regulares. C) Permiten calcular la inversa de una matriz regular.

  1. A) Cierta: Def. 1.2 parte de $I_n$ (cuadrada) y una operación por filas no cambia el tamaño.
  2. B) Cierta: cada operación se deshace con otra del mismo tipo, y esa es la inversa (U p.16).
  3. C) Cierta: si $A$ es regular, su reducida es $I_n$ (U p.22); por el Teorema 1.1 y el algoritmo, $E=A^{-1}$ con $E$ producto de elementales.

Todas ciertas.

Receta: en preguntas V/F sobre definiciones, cita la definición literal y la propiedad del libro que la garantiza.

Error típico: olvidar que en $F_i\to\alpha F_i$ se exige $\alpha\ne0$; con $\alpha=0$ la matriz no sería regular ni elemental.

Ejercicio 1.13 E p.15

Justifíquese si son elementales las siguientes matrices: $$A_1=\begin{pmatrix}1&0\\0&3\end{pmatrix},\quad A_2=\begin{pmatrix}1&2&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix},\quad A_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&2\\0&0&1\end{pmatrix},$$ $$A_4=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix},\quad A_5=\begin{pmatrix}1&0&5&1\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix},\quad A_6=\begin{pmatrix}2&1&0\\0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}.$$

  1. Criterio: compárese con $I_n$. Cada tipo deja una huella reconocible: intercambio cambia dos posiciones de la diagonal y crea dos unos fuera; $F_i\to\alpha F_i$ cambia un elemento de la diagonal; $F_i\to F_i+\alpha F_j$ cambia un elemento fuera de la diagonal.
  2. $A_1$: sí, $F_2\to3F_2$ en $I_2$.
  3. $A_2$: sí, $F_1\to F_1+2F_2$ en $I_3$.
  4. $A_3$: no, es $4\times3$, no cuadrada.
  5. $A_4$: sí, $F_1\leftrightarrow F_3$ en $I_3$.
  6. $A_5$: no, difiere de $I_4$ en dos posiciones fuera de la diagonal, $(1,3)$ y $(1,4)$: ningún tipo produce esa huella (es producto de dos elementales).
  7. $A_6$: no, tiene una fila nula ⇒ no es regular, pero toda elemental es regular.

Respuesta: son elementales $A_1,A_2,A_4$; no lo son $A_3,A_5,A_6$. Comprobado con sympy.

Receta: compara con $I_n$: si es cuadrada y la diferencia es la huella de una sola operación, es elemental (indica cuál).

Error típico: aceptar $A_5$ porque «solo tiene cosas en una fila» (son dos operaciones), o $A_6$ por parecer «casi» la identidad.

Ejercicio 1.14 E p.16

Dada $A=\begin{pmatrix}2&2&3\\1&2&5\\3&0&1\\5&3&1\end{pmatrix}$, calcúlese una escalonada, una escalonada con pivotes normalizados, la escalonada reducida, y sus matrices de paso.

  1. Partimos de $(A\mid I_4)$ (identidad de orden 4, tantas filas como $A$) y hacemos ceros bajo el pivote $a_{11}=2$ con $F_2\to F_2-\frac12F_1$, $F_3\to F_3-\frac32F_1$, $F_4\to F_4-\frac52F_1$: $$\left(\begin{array}{ccc|cccc}2&2&3&1&0&0&0\\0&1&\frac72&-\frac12&1&0&0\\0&-3&-\frac72&-\frac32&0&1&0\\0&-2&-\frac{13}2&-\frac52&0&0&1\end{array}\right).$$
  2. Ceros bajo el segundo pivote con $F_3\to F_3+3F_2$, $F_4\to F_4+2F_2$; luego bajo el tercero con $F_4\to F_4-\frac1{14}F_3$. Se llega a $(A_e\mid P_1)$: $$\left(\begin{array}{ccc|cccc}2&2&3&1&0&0&0\\0&1&\frac72&-\frac12&1&0&0\\0&0&7&-3&3&1&0\\0&0&0&-\frac{23}7&\frac{25}{14}&-\frac1{14}&1\end{array}\right).$$
  3. Normalizando los pivotes ($F_1\to\frac12F_1$, $F_3\to\frac17F_3$): $(A_{en}\mid P_2)$: $$\left(\begin{array}{ccc|cccc}1&1&\frac32&\frac12&0&0&0\\0&1&\frac72&-\frac12&1&0&0\\0&0&1&-\frac37&\frac37&\frac17&0\\0&0&0&-\frac{23}7&\frac{25}{14}&-\frac1{14}&1\end{array}\right).$$
  4. Haciendo ceros por encima de cada pivote con $F_1\to F_1-F_2$, $F_1\to F_1+2F_3$ y $F_2\to F_2-\frac72F_3$ se llega a la reducida $(A_{er}\mid P_3)$: $$\left(\begin{array}{ccc|cccc}1&0&0&\frac17&-\frac17&\frac27&0\\0&1&0&1&-\frac12&-\frac12&0\\0&0&1&-\frac37&\frac37&\frac17&0\\0&0&0&-\frac{23}7&\frac{25}{14}&-\frac1{14}&1\end{array}\right).$$
  5. $A_e$, $A_{en}$ y $A_{er}$ tienen 3 filas no nulas (la cuarta se anula): $\operatorname{rang}(A)=3$. Las matrices de paso $P_1,P_2,P_3$ son regulares (producto de elementales) pero no tienen por qué ser escalonadas ni tener relación directa con el número de filas no nulas. $A_{er}$ es única; $A_e$, $A_{en}$ y las matrices de paso dependen de las operaciones elegidas.

Comprobado con sympy: $A_e=P_1A$, $A_{en}=P_2A$, $A_{er}=P_3A=$ A.rref()[0], $\det P_1\ne0$.

Receta: escribe $(A\mid I_m)$; baja columna a columna haciendo ceros bajo cada pivote con $F_i\to F_i-\frac{a_{ik}}{\text{pivote}}F_k$; normaliza; sube haciendo ceros encima. Lo que queda a la derecha es la matriz de paso.

Error típico: usar $I_3$ en vez de $I_4$ (tantas filas como $A$); operar con una fila ya modificada sin darse cuenta; olvidar aplicar la operación también a la parte derecha.

Ejercicio 1.15 E p.18

Dada $A=\begin{pmatrix}2&1&3\\0&5&4\\1&7&6\end{pmatrix}$ y las matrices elementales $$E_1=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix},\quad E_2=\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix},\quad E_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&3&1\end{pmatrix},$$ calcúlense e interprétense $E_iA$ y $AE_i$.

  1. Cada $E_i$ es la operación por filas sobre $I_3$: $E_1$: $F_1\to2F_1$; $E_2$: $F_1\leftrightarrow F_2$; $E_3$: $F_3\to F_3+3F_2$.
  2. Por la izquierda (filas): $E_1A=\begin{pmatrix}4&2&6\\0&5&4\\1&7&6\end{pmatrix}$, $E_2A=\begin{pmatrix}0&5&4\\2&1&3\\1&7&6\end{pmatrix}$, $E_3A=\begin{pmatrix}2&1&3\\0&5&4\\1&22&18\end{pmatrix}$.
  3. Las mismas $E_i$ vistas por columnas sobre $I_3$: $E_1$: $C_1\to2C_1$; $E_2$: $C_1\leftrightarrow C_2$; $E_3$: $C_2\to C_2+3C_3$ (los índices se cruzan respecto al caso por filas).
  4. Por la derecha (columnas): $AE_1=\begin{pmatrix}4&1&3\\0&5&4\\2&7&6\end{pmatrix}$, $AE_2=\begin{pmatrix}1&2&3\\5&0&4\\7&1&6\end{pmatrix}$, $AE_3=\begin{pmatrix}2&10&3\\0&17&4\\1&25&6\end{pmatrix}$.

Comprobado con sympy.

Receta: $EA$ aplica a las filas de $A$ la operación que convierte $I$ en $E$ por filas; $AE$ aplica a las columnas la misma operación leída por columnas. Si $E$ es de tipo 3 con $\alpha$ en $(i,j)$: por filas $F_i\to F_i+\alpha F_j$, por columnas $C_j\to C_j+\alpha C_i$.

Error típico: creer que $AE_3$ hace $C_3\to C_3+3C_2$ (índices invertidos); confundir el orden, ya que $EA\ne AE$ en general.

Ejercicio 1.16 E p.19

Calcúlese, si es posible, la inversa de $A=\begin{pmatrix}0&5&-3\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}$ mediante operaciones elementales por filas.

  1. $\left(\begin{array}{ccc|ccc}0&5&-3&1&0&0\\1&0&0&0&1&0\\0&0&1&0&0&1\end{array}\right)\xrightarrow{F_1\leftrightarrow F_2}\left(\begin{array}{ccc|ccc}1&0&0&0&1&0\\0&5&-3&1&0&0\\0&0&1&0&0&1\end{array}\right)$ (había que permutar: $a_{11}=0$ no puede ser pivote).
  2. $\xrightarrow{F_2\to\frac15F_2}\left(\begin{array}{ccc|ccc}1&0&0&0&1&0\\0&1&-\frac35&\frac15&0&0\\0&0&1&0&0&1\end{array}\right)$.
  3. $\xrightarrow{F_2\to F_2+\frac35F_3}\left(\begin{array}{ccc|ccc}1&0&0&0&1&0\\0&1&0&\frac15&0&\frac35\\0&0&1&0&0&1\end{array}\right)$.
  4. La parte izquierda es $I_3$, luego $A$ es regular: $A^{-1}=\begin{pmatrix}0&1&0\\\frac15&0&\frac35\\0&0&1\end{pmatrix}$.

Comprobación $AA^{-1}=I_3$ ✓ (sympy: A.inv() coincide, $\det A=-5$).

Receta: $(A\mid I)\to(I\mid A^{-1})$ solo con operaciones por filas: pivote no nulo (permuta si hace falta), normaliza, ceros debajo y luego encima.
Error en E

Una nota al margen de E afirma que a veces «pueden ser necesarias también operaciones elementales por columnas» para invertir por filas: es falso. U p.22 asegura que $A$ regular $\iff$ su reducida (obtenida solo por filas) es $I_n$, así que el algoritmo por filas funciona siempre con una matriz regular. Lo que nunca se debe hacer es mezclar filas y columnas en el mismo cálculo.

Ejercicio 1.17 E p.19

¿Es cierto que $\operatorname{rang}(A)+\operatorname{rang}(B)=\operatorname{rang}(A+B)$ para $A,B\in\mathcal M_{m\times n}$?

  1. Una igualdad «en general» se refuta con un contraejemplo.
  2. Contraejemplo simple: $A=I_2$, $B=-I_2$. $\operatorname{rang}A=\operatorname{rang}B=2$, pero $A+B=0$ tiene rango 0: $2+2\ne0$.
  3. Contraejemplo de E: $A=\begin{pmatrix}2&1\\0&0\end{pmatrix}$ (escalonada, rango 1), $B=\begin{pmatrix}2&1\\1&0\end{pmatrix}$ (con $F_2\to F_2-\frac12F_1$ da $\begin{pmatrix}2&1\\0&-\frac12\end{pmatrix}$, rango 2). $A+B=\begin{pmatrix}4&2\\1&0\end{pmatrix}$ tiene rango 2 (con $F_2\to F_2-\frac14F_1$): $1+2\ne2$.

No es cierto en general (aunque en casos concretos sí puede coincidir, p. ej. $\operatorname{diag}(1,0)+\operatorname{diag}(0,1)$: $1+1=2$). Comprobado con sympy.

Receta: para «¿es cierto en general?», prueba con matrices simples ($I$, $-I$, $0$, diagonales); un solo contraejemplo basta.

Error típico: «demostrar» algo con un ejemplo donde sí se cumple; el rango no respeta sumas.

Ejercicio 1.18 E p.20

Calcúlese el rango de las matrices del Ejercicio 1.13.

  1. $A_1$ ya es escalonada: $\operatorname{rang}=2$.
  2. $A_2$ es escalonada (triangular superior sin ceros en la diagonal): $\operatorname{rang}=3$.
  3. $A_3$ ($4\times3$) no es escalonada; tras $F_2\leftrightarrow F_3$ y $F_4\to F_4-F_3$ queda con 3 filas no nulas: $\operatorname{rang}=3$.
  4. $A_4$ no es escalonada (la fila 2 empieza con menos ceros que la fila 1); con $F_1\leftrightarrow F_3$ se obtiene $I_3$: $\operatorname{rang}=3$.
  5. $A_5$ es escalonada (triangular superior con unos en la diagonal): $\operatorname{rang}=4$.
  6. $A_6$ no es escalonada (la fila nula no está al final); tras $F_2\leftrightarrow F_3$: $\operatorname{rang}=2$ (confirma que $A_6$ no es regular, Ej. 1.13).

Rangos: $2,3,3,3,4,2$. Comprobado con sympy (.rank()).

Receta: antes de contar filas no nulas, comprueba que la matriz es escalonada (Def. 1.3); si no, escalona primero (a menudo basta una permutación).
Error en E

E justifica $\operatorname{rang}(A_4)=3$ diciendo que $A_4$ «es escalonada»: no lo es (la fila 2 empieza en la columna 2 y la fila 1 en la columna 3, contradiciendo la Def. 1.3). El resultado es correcto pero la justificación no; en examen hay que dar la operación que escalona ($F_1\leftrightarrow F_3$) o el argumento «elemental ⇒ regular ⇒ rango 3».

Ejercicio 1.19 E p.21

Si $A$ y $B$ son matrices no cuadradas de orden $m\times n$, se pide decidir si son o no ciertas las siguientes proposiciones. A) Si $A,B$ son equivalentes por filas, $\operatorname{rang}(A)=\operatorname{rang}(B)$. B) Si son equivalentes por columnas, $\operatorname{rang}(A)=\operatorname{rang}(B)$.

  1. A) Cierta: es el Teorema 1.3 (que $A,B$ no sean cuadradas no cambia nada: el teorema vale para cualquier $A,B\in\mathcal M_{m\times n}$).
  2. B) Cierta, pasando a traspuestas: equivalentes por columnas significa $B=AQ$ con $Q$ regular (producto de elementales); trasponiendo, $B^t=Q^tA^t$ con $Q^t$ regular, así que $A^t,B^t$ son equivalentes por filas (Teorema 1.2) y por A) tienen el mismo rango.
  3. Falta $\operatorname{rang}(M)=\operatorname{rang}(M^t)$ (fuera de §1.2, se obtiene con determinantes en §1.3: el rango es el mayor orden de un menor no nulo y $\det N=\det N^t$). Con esto, $\operatorname{rang}A=\operatorname{rang}A^t=\operatorname{rang}B^t=\operatorname{rang}B$.

Ambas ciertas. (El recíproco de A) es falso: igual rango no implica equivalencia por filas.)

Receta: «columnas» se convierte en «filas» trasponiendo: $B=AQ\Rightarrow B^t=Q^tA^t$.

Error típico: escribir $(AQ)^t=A^tQ^t$ (el orden se invierte) o usar $\operatorname{rang}A=\operatorname{rang}A^t$ sin justificarlo.

Ejercicio 1.20 E p.21

Si $A,B\in\mathcal M_{m\times n}$ y existen $P,Q$ regulares con $B=PAQ$, justifíquese en términos de operaciones elementales y decídase si $\operatorname{rang}(A)=\operatorname{rang}(B)$.

  1. Toda matriz regular es producto de elementales (por el algoritmo de la inversa, $P^{-1}=E_p\cdots E_1\Rightarrow P=E_1^{-1}\cdots E_p^{-1}$).
  2. Interpretación: $AQ$ = hacer operaciones por columnas en $A$ (matriz de paso $Q$); $P(AQ)$ = hacer luego operaciones por filas. Como $P(AQ)=(PA)Q$, el orden entre ambas da igual.
  3. Rango: $AQ$ es equivalente por columnas a $A\Rightarrow\operatorname{rang}(AQ)=\operatorname{rang}(A)$ (Ej. 1.19 B); $B=P(AQ)$ es equivalente por filas a $AQ\Rightarrow\operatorname{rang}(B)=\operatorname{rang}(AQ)$ (Teorema 1.3). Luego $\operatorname{rang}(A)=\operatorname{rang}(B)$.

Ejemplo propio: $A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\end{pmatrix}$. Filas: $F_2\to F_2-2F_1$, $P=\begin{pmatrix}1&0\\-2&1\end{pmatrix}$. Columnas: $C_2\to C_2-2C_1$, $C_3\to C_3-3C_1$. $PAQ=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}$, rango 1 como $A$ (sympy ✓).

Receta: $P\cdot(\ )$ = filas, $(\ )\cdot Q$ = columnas; multiplicar por matrices regulares, a cualquier lado, no cambia el rango.

Error típico: pensar que $B=PAQ$ implica que $A,B$ son equivalentes por filas sin más (en general solo lo son «por filas y columnas»), o que $PAQ=PQA$.

Ejemplos propios (dificultad creciente)

Ejemplo propio 1 — operaciones con matrices (fácil) P

Con $A=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}2&0\\1&1\end{pmatrix}$: (a) $AB$ y $BA$; (b) comprobar $(A+B)^2\ne A^2+2AB+B^2$; (c) comprobar $(AB)^t=B^tA^t\ne A^tB^t$; (d) hallar $A^n$.

  1. $AB=\begin{pmatrix}4&2\\1&1\end{pmatrix}$, $BA=\begin{pmatrix}2&4\\1&3\end{pmatrix}$: no conmutan.
  2. $A+B=\begin{pmatrix}3&2\\1&2\end{pmatrix}$, $(A+B)^2=\begin{pmatrix}11&10\\5&6\end{pmatrix}$. $A^2=\begin{pmatrix}1&4\\0&1\end{pmatrix}$, $B^2=\begin{pmatrix}4&0\\3&1\end{pmatrix}$, $A^2+2AB+B^2=\begin{pmatrix}13&8\\5&4\end{pmatrix}\ne(A+B)^2$, pero $A^2+AB+BA+B^2=\begin{pmatrix}11&10\\5&6\end{pmatrix}$ ✓.
  3. $(AB)^t=\begin{pmatrix}4&1\\2&1\end{pmatrix}=B^tA^t$; $A^tB^t=\begin{pmatrix}2&1\\4&3\end{pmatrix}\ne(AB)^t$.
  4. $A^2=\begin{pmatrix}1&4\\0&1\end{pmatrix}$, $A^3=\begin{pmatrix}1&6\\0&1\end{pmatrix}$: conjetura $A^n=\begin{pmatrix}1&2n\\0&1\end{pmatrix}$; se prueba por inducción con $A^{n+1}=A^nA$.
Receta: desarrolla con la distributiva sin conmutar; para $A^n$, conjetura con $n=2,3$ y demuestra por inducción.
Ejemplo propio 2 — inversa por Gauss-Jordan y detección de singular (medio) P

(a) Calcula la inversa de $A=\begin{pmatrix}1&2&1\\0&1&1\\1&2&2\end{pmatrix}$ por filas. (b) Intenta lo mismo con $S=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&7\\1&2&4\end{pmatrix}$.

  1. (a) $F_3\to F_3-F_1$ da pivotes 1 en escalera, así que $A$ es regular. Tras normalizar y subir: $A^{-1}=\begin{pmatrix}0&-2&1\\1&1&-1\\-1&0&1\end{pmatrix}$ (comprobado $AA^{-1}=I_3$, $\det A=1$).
  2. (b) $F_2\to F_2-2F_1$, $F_3\to F_3-F_1$ dejan $\begin{pmatrix}1&2&3\\0&0&1\\0&0&1\end{pmatrix}$; $F_3\to F_3-F_2$ anula la tercera fila: $\operatorname{rang}S=2\lt3$, $S$ no es regular ($\det S=0$): no tiene inversa.
Receta: en cuanto aparezca una fila nula en la parte izquierda del algoritmo, para: la matriz es singular.
Ejemplo propio 3 — rango por escalonamiento, numérico y con parámetro (difícil) P

(a) Rango de $C=\begin{pmatrix}1&2&0&1\\2&1&3&0\\3&3&3&1\\1&-1&3&-1\end{pmatrix}$. (b) Discute según $k\in\mathbb R$ el rango de $M=\begin{pmatrix}1&1&k\\1&k&1\\k&1&1\end{pmatrix}$.

  1. (a) $F_2-2F_1$, $F_3-3F_1$, $F_4-F_1$ dan tres filas iguales $(0,-3,3,-2)$; tras $F_3-F_2$, $F_4-F_2$ quedan dos filas nulas: $\operatorname{rang}C=2$.
  2. (b) $F_2\to F_2-F_1$, $F_3\to F_3-kF_1$ (válidas para todo $k$, tipo 3) y luego $F_3\to F_3+F_2$ dan pivotes $1$, $k-1$, $-(k-1)(k+2)$.
  3. Casos: $k\ne1,-2$: $\operatorname{rang}M=3$. $k=1$: $\operatorname{rang}M=1$. $k=-2$: $\operatorname{rang}M=2$.

Comprobado con sympy ($\det M=-(k-1)^2(k+2)$).

Receta: con parámetros, usa solo operaciones de tipo 3 (y permutaciones) mientras puedas; los valores que anulan un posible pivote se estudian aparte, nunca dividiendo por algo que podría ser cero.

Error típico: hacer $F_2\to\frac1{k-1}F_2$ sin excluir antes $k=1$ (la operación de tipo 2 exige $\alpha\ne0$).

11Ejemplos de examen X

Preguntas de exámenes de otros años que caen en este tema, agrupadas por método. Las soluciones oficiales son breves; aquí se desarrolla el razonamiento completo (el examen puntúa el proceso). Para anotar operaciones se usa la notación de U: $F_i\leftrightarrow F_j$ intercambia filas y $F_i\to F_i+\alpha F_j$ sustituye la fila $i$ (U p.14). La factorización LU y los sistemas equivalentes también usan matrices elementales, pero en U están en §1.4 y caen en el tema 1.4.

A. $A^2-B^2$ y no conmutatividad del producto

Feb. 2018 (tipo A), ejercicio 1 — calcular $A^2-B^2$ conocidas $A+B$ y $A-B$ X Feb. 2018 (A)

Se consideran dos matrices $A$ y $B$ tales que $A+B=\begin{pmatrix}3&2\\7&0\end{pmatrix}$ y $A-B=\begin{pmatrix}2&3\\-1&0\end{pmatrix}$. Calcule $A^2-B^2$.

  1. El atajo falla. Con la distributiva (U p.12), $(A+B)(A-B)=A^2-AB+BA-B^2$, que solo es $A^2-B^2$ si $AB=BA$. El producto de matrices no es conmutativo en general (U p.13), así que hay que hallar $A$ y $B$.
  2. Despejar $A$. Sumando: $2A=(A+B)+(A-B)=\begin{pmatrix}5&5\\6&0\end{pmatrix}$, luego $A=\begin{pmatrix}5/2&5/2\\3&0\end{pmatrix}$.
  3. Despejar $B$. Restando: $2B=(A+B)-(A-B)=\begin{pmatrix}1&-1\\8&0\end{pmatrix}$, luego $B=\begin{pmatrix}1/2&-1/2\\4&0\end{pmatrix}$.
  4. $A^2=AA$ (fila por columna): $A^2=\begin{pmatrix}55/4&25/4\\15/2&15/2\end{pmatrix}$.
  5. $B^2=BB$: $B^2=\begin{pmatrix}-7/4&-1/4\\2&-2\end{pmatrix}$.
  6. Restar: $$A^2-B^2=\begin{pmatrix}31/2&13/2\\11/2&19/2\end{pmatrix}.$$
  7. Contraste. $(A+B)(A-B)=\begin{pmatrix}4&9\\14&21\end{pmatrix}\ne A^2-B^2$, porque aquí $AB=\begin{pmatrix}45/4&-5/4\\3/2&-3/2\end{pmatrix}\ne BA=\begin{pmatrix}-1/4&5/4\\10&10\end{pmatrix}$.

Resultado: $A^2-B^2=\begin{pmatrix}31/2&13/2\\11/2&19/2\end{pmatrix}$. (Verificado con sympy.)

Receta: si te dan $A+B$ y $A-B$, $A=\tfrac12[(A+B)+(A-B)]$ y $B=\tfrac12[(A+B)-(A-B)]$. Calcula luego $A^2=AA$ y $B^2=BB$ por separado. Nunca uses $(A+B)(A-B)$ sin comprobar que $AB=BA$.

Error típico (lo señala el examen): «$A^2-B^2=(A+B)(A-B)$ en general», olvidando que el producto no conmuta.

Sept. 2024, pregunta 1 — otra vez $A^2-B^2$ con $A+B$ y $A-B$ X Sept. 2024

Sabiendo que $A,B\in\mathcal M_{2\times2}$ satisfacen $A+B=\begin{pmatrix}3&3\\1&3\end{pmatrix}$ y $A-B=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&3\end{pmatrix}$, calcule $A^2-B^2$.

  1. Misma razón que antes: el producto no conmuta (U p.13), no vale $(A+B)(A-B)$. Hay que hallar $A$ y $B$.
  2. $2A=(A+B)+(A-B)=\begin{pmatrix}4&2\\0&6\end{pmatrix}$, luego $A=\begin{pmatrix}2&1\\0&3\end{pmatrix}$.
  3. $2B=(A+B)-(A-B)=\begin{pmatrix}2&4\\2&0\end{pmatrix}$, luego $B=\begin{pmatrix}1&2\\1&0\end{pmatrix}$.
  4. $A^2=\begin{pmatrix}2&1\\0&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&1\\0&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&5\\0&9\end{pmatrix}$.
  5. $B^2=\begin{pmatrix}1&2\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\\1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&2\\1&2\end{pmatrix}$.
  6. $A^2-B^2=\begin{pmatrix}1&3\\-1&7\end{pmatrix}$.
  7. Contraste: $(A+B)(A-B)=\begin{pmatrix}0&6\\-2&8\end{pmatrix}\ne A^2-B^2$, pues $AB=\begin{pmatrix}3&4\\3&0\end{pmatrix}\ne BA=\begin{pmatrix}2&7\\2&1\end{pmatrix}$.

Resultado: $\begin{pmatrix}1&3\\-1&7\end{pmatrix}$. (Verificado con sympy.)

Receta: la misma que en Feb. 2018 (A): despejar $A$ y $B$, y elevar cada una al cuadrado con el producto fila por columna.

Errores típicos (literal del examen): calcular $A^2$ elevando al cuadrado cada elemento (recuerda $A^2=AA$) y usar $(A+B)(A-B)$.

Sept. 2018 (tipo A), problema a) — ¿es $(A-B)(A+B)=A^2-B^2$? y dos matrices elementales X Sept. 2018 (A)

a) Si $A,B$ son matrices cuadradas, justificar si es cierta o no la igualdad $(A-B)(A+B)=A^2-B^2$. Escribir dos matrices elementales asociadas a operaciones elementales de distinto tipo.

  1. Desarrollo. Por la distributiva (U p.12): $(A-B)(A+B)=A(A+B)-B(A+B)=A^2+AB-BA-B^2$.
  2. Luego $(A-B)(A+B)=A^2-B^2\iff AB-BA=0\iff AB=BA$.
  3. No es cierta en general, pues el producto no es conmutativo (U p.13). Contraejemplo: $A=\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}$. Aquí $AB=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\ne BA=\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}$; además $A^2=A$, $B^2=B$, y $A^2-B^2=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$, mientras que $(A-B)(A+B)=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&1\\0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$. Son distintas.
  4. Matiz: la igualdad sí vale cuando $A$ y $B$ conmutan (por ejemplo $B=I$ o $B=A$).
  5. Elementales de distinto tipo (Def. 1.2, U p.15: una sola operación elemental sobre $I$). En $I_3$: permutar $F_1\leftrightarrow F_2$ da $E_1=\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}$; multiplicar $F_2\to2F_2$ da $E_2=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&1\end{pmatrix}$; y (tercer tipo) $F_1\to F_1+5F_3$ da $E_3=\begin{pmatrix}1&0&5\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$.
Receta: para una «identidad notable» con matrices, desarrolla con la distributiva sin conmutar los factores, mira qué condición queda (casi siempre $AB=BA$) y da un contraejemplo $2\times2$. Una matriz elemental es $I$ tras una operación; indica cuál.

Error típico: olvidar que puede ocurrir $AB\ne BA$.

Sept. 2025, problema 7 (primer apartado) — sistema con matrices incógnita X Sept. 2025

Las matrices $X,Y\in\mathcal M_{2\times2}$ satisfacen $2X+3Y=A$ y $X-Y=B$, con $A=\begin{pmatrix}5&1\\0&4\end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix}1&-1\\2&0\end{pmatrix}$. Calcule $X+Y$.

  1. Por qué se puede despejar como con números: solo hay sumas y productos por escalares, que cumplen asociativa, conmutativa, opuesto y distributivas (U p.11-12). No aparece ningún producto de matrices.
  2. De la 2.ª: $X=Y+B$.
  3. En la 1.ª: $2(Y+B)+3Y=A\Rightarrow5Y=A-2B\Rightarrow Y=\tfrac15(A-2B)$.
  4. $A-2B=\begin{pmatrix}3&3\\-4&4\end{pmatrix}$, luego $Y=\begin{pmatrix}3/5&3/5\\-4/5&4/5\end{pmatrix}$ y $X=Y+B=\begin{pmatrix}8/5&-2/5\\6/5&4/5\end{pmatrix}$.
  5. $X+Y=\begin{pmatrix}11/5&1/5\\2/5&8/5\end{pmatrix}$.
  6. Comprobación: $2X+3Y=\begin{pmatrix}5&1\\0&4\end{pmatrix}=A$ y $X-Y=B$ ✓.

Resultado: $X+Y=\begin{pmatrix}11/5&1/5\\2/5&8/5\end{pmatrix}$. (Verificado con sympy. Los otros apartados del problema son del tema 2; en el apartado 3 la solución oficial escribe «si $\lambda A=B$ … necesariamente $\lambda=0$», pero lo correcto es que no existe ningún $\lambda$ con $\lambda A=B$, pues con $\lambda=0$ saldría $B=0$, falso.)

Receta: un sistema con matrices como incógnitas y solo sumas/escalares se resuelve como uno numérico (sustitución o reducción). Comprueba sustituyendo al final.

B. Traspuesta, inversa y simétricas

Feb. 2017 (2.ª sem., tipo A), ejercicio 1 — simplificar con inversas y traspuestas (test) X Feb. 2017 (2.ª, A)

Sean $A,B,C$ cuadradas regulares. La expresión simplificada de $[A(BC)^{-1}]^{-1}[A(A^tB^t)^t(BA)^{-1}]$ es: A) $AB$; B) $ABC$; C) $BC$; D) ninguna de ellas.

  1. Las inversas existen (todas regulares) y $(MN)^{-1}=N^{-1}M^{-1}$ (U p.13).
  2. 1.er corchete: $[A(BC)^{-1}]^{-1}=\big((BC)^{-1}\big)^{-1}A^{-1}=(BC)A^{-1}$, usando $(M^{-1})^{-1}=M$.
  3. Traspuesta interior: $(A^tB^t)^t=(B^t)^t(A^t)^t=BA$, por $(MN)^t=N^tM^t$ y $(M^t)^t=M$.
  4. 2.º corchete: $A\,(BA)\,(BA)^{-1}=A\,I=A$.
  5. Producto: $(BC)A^{-1}\cdot A=BC\,(A^{-1}A)=BC$, por la asociatividad.

Respuesta: C) $BC$. (Comprobado con sympy con matrices regulares aleatorias.)

Receta: simplifica de dentro afuera con $(MN)^{-1}=N^{-1}M^{-1}$, $(MN)^t=N^tM^t$ (ambas invierten el orden), $(M^{-1})^{-1}=M$ y $(M^t)^t=M$. Cancela solo pares $MM^{-1}$ contiguos.

Error típico: escribir $(AB)^{-1}=A^{-1}B^{-1}$ o $(AB)^t=A^tB^t$, o cancelar $A$ con $A^{-1}$ teniendo otra matriz en medio.

Ene. 2022 (tipo A), ejercicio 1 — regular y $A^2=A$ implica $A=I$ X Ene. 2022 (A)

Probar que si $A\in\mathcal M_n$ es real, regular y tal que $A^2=A$, entonces $A$ solo puede ser la matriz unidad de orden $n$.

  1. Por ser regular, existe $A^{-1}$ con $AA^{-1}=A^{-1}A=I_n$ (U p.13).
  2. Multiplicamos $AA=A$ por la derecha por $A^{-1}$ en ambos miembros (mismo lado, porque no hay conmutatividad): $(AA)A^{-1}=AA^{-1}$.
  3. Por asociatividad (U p.12), el lado izquierdo es $A(AA^{-1})=AI_n=A$; el derecho es $I_n$.
  4. Luego $A=I_n$. $\blacksquare$
  5. La hipótesis «regular» es necesaria: $A=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}$ cumple $A^2=A$, no es $I_2$ y es singular (rango $1<2$, U p.22).
Receta: para «cancelar» una matriz, multiplica por su inversa por el mismo lado en los dos miembros, y solo si es regular; luego asociatividad y $MM^{-1}=I$.

Error típico: «dividir» entre $A$ sin justificar que existe $A^{-1}$, o multiplicar por un lado en un miembro y por el otro en el otro.

Ene. 2020 (tipo A), problema, apartado b) — la inversa de una simétrica regular es simétrica X Ene. 2020 (A)

Razonar si es cierta: «Si $A$ es una matriz regular simétrica, entonces su inversa $A^{-1}$ también es simétrica».

  1. Qué probar: $(A^{-1})^t=A^{-1}$ (simétrica: $A=A^t$, U p.11). Datos: $A^t=A$ y existe $A^{-1}$.
  2. Vía 1 (propiedad de U p.13): $(A^{-1})^t=(A^t)^{-1}=A^{-1}$. $\blacksquare$
  3. Vía 2 (solo con la traspuesta del producto). De $AA^{-1}=I$, trasponiendo: $(A^{-1})^tA^t=I^t=I$. Como $A^t=A$: $(A^{-1})^tA=I$. Multiplicando por la derecha por $A^{-1}$: $(A^{-1})^t=A^{-1}$. $\blacksquare$
  4. Ejemplo: $A=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}$ es simétrica y $A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}$ también (sympy).

Resultado: la proposición es cierta.

Receta: para demostrar que $M$ es simétrica, prueba $M^t=M$. Parte de una igualdad conocida ($AA^{-1}=I$), traspónla con $(MN)^t=N^tM^t$ y sustituye la hipótesis $A^t=A$.

Error típico: «demostrar» con un ejemplo: un ejemplo solo sirve para refutar, no para probar una afirmación general.

Feb. 2024 (2.ª sem.), pregunta 1 — simétricas $A,B$ con $AB$ simétrica conmutan (V/F) X Feb. 2024 (2.ª)

Razone si es verdadera o falsa: «Si $A$ y $B$ son matrices cuadradas simétricas tales que $AB$ es también simétrica, entonces $AB=BA$».

  1. Hipótesis como igualdades: $A^t=A$, $B^t=B$ y $(AB)^t=AB$ (U p.11).
  2. Cadena: $$AB\overset{(1)}{=}(AB)^t\overset{(2)}{=}B^tA^t\overset{(3)}{=}BA.$$ (1) $AB$ es simétrica; (2) traspuesta del producto, que invierte el orden (U p.13); (3) $A$ y $B$ son simétricas. $\blacksquare$
  3. La hipótesis «$AB$ simétrica» no sobra: $A=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ son simétricas, pero $AB=\begin{pmatrix}0&1\\2&0\end{pmatrix}$ no lo es y $BA=\begin{pmatrix}0&2\\1&0\end{pmatrix}\ne AB$.

Resultado: verdadera.

Receta: en afirmaciones sobre simétricas, escribe cada hipótesis como una igualdad con traspuestas ($M^t=M$) y encadénalas con $(MN)^t=N^tM^t$.

C. Matrices elementales: la matriz $M$ con $MA=B$

Feb. 2023 (2.ª sem.), pregunta 1 — $M$ con $MA=B$ (filas permutadas y escaladas) X Feb. 2023 (2.ª)

Siendo $A=(a_{ij})$ de orden $3$ y $B=\begin{pmatrix}a_{31}&a_{32}&a_{33}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\-6a_{11}&-6a_{12}&-6a_{13}\end{pmatrix}$, determine la matriz $M$ que verifica $MA=B$ sean cuales sean los $a_{ij}$.

  1. Idea clave (U p.16; Teorema 1.1, p.18): hacer una operación por filas en $A$ equivale a multiplicar por la izquierda por su matriz elemental. Varias operaciones $O_1,\dots,O_p$ (en ese orden) equivalen a $E_p\cdots E_1$.
  2. Identificar las operaciones. Con $F_i$ = fila $i$ de $A$: fila 1 de $B$ = $F_3$, fila 2 = $F_2$, fila 3 = $-6F_1$. Se consigue con $O_1:\ F_1\to-6F_1$ y después $O_2:\ F_1\leftrightarrow F_3$.
  3. Elementales (operación hecha en $I_3$, Def. 1.2, U p.15): $E_1=\begin{pmatrix}-6&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$, $E_2=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}$.
  4. Orden: la última operación queda a la izquierda: $M=E_2E_1=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\-6&0&0\end{pmatrix}$.
  5. Atajo. La fila $i$ de $MA$ es (fila $i$ de $M$)$\cdot A$. Para obtener $F_3$ en la fila 1, la fila 1 de $M$ es $(0,0,1)$; para $F_2$, $(0,1,0)$; para $-6F_1$, $(-6,0,0)$. Es decir, $M$ es lo que resulta de hacer en $I_3$ las mismas operaciones que llevan $A$ a $B$.
  6. Comprobación: $MA=B$ simbólicamente (sympy).

Resultado: $M=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\-6&0&0\end{pmatrix}$.

Receta: si $B$ sale de $A$ por filas, $M$ va a la izquierda ($MA=B$) y su fila $i$ dice con qué combinación de filas de $A$ se forma la fila $i$ de $B$. Equivalente: aplica a $I$ las mismas operaciones. Por columnas sería $AM=B$.

Error típico: multiplicar en el orden equivocado ($E_1E_2$ en vez de $E_2E_1$) o poner $M$ a la derecha (eso opera columnas).

Feb. 2025 (1.ª sem.), pregunta 1 — $M$ con $MA=B$ (permutación cíclica con escalados) X Feb. 2025 (1.ª)

Siendo $A=(a_{ij})$ de orden $3$ y $B=\begin{pmatrix}5a_{31}&5a_{32}&5a_{33}\\a_{11}&a_{12}&a_{13}\\-3a_{21}&-3a_{22}&-3a_{23}\end{pmatrix}$, determine $M$ con $MA=B$ para cualesquiera $a_{ij}$.

  1. Igual que en el ejercicio anterior (U p.16, Teorema 1.1 p.18): $M$ va a la izquierda y su fila $i$ dice cómo se forma la fila $i$ de $B$.
  2. Fila 1 de $B$ $=5F_3\Rightarrow$ fila 1 de $M$ es $(0,0,5)$. Fila 2 $=F_1\Rightarrow(1,0,0)$. Fila 3 $=-3F_2\Rightarrow(0,-3,0)$.
  3. $M=\begin{pmatrix}0&0&5\\1&0&0\\0&-3&0\end{pmatrix}$.
  4. Como producto de elementales. Primero la permutación cíclica de filas $(F_1,F_2,F_3)\to(F_3,F_1,F_2)$, con dos intercambios: $F_1\leftrightarrow F_3$ y después $F_2\leftrightarrow F_3$. Luego los escalados $F_1\to5F_1$ y $F_3\to-3F_3$. Con $E_{13},E_{23}$ los intercambios y $D_1,D_3$ los escalados, $M=D_3D_1E_{23}E_{13}$ (la última operación a la izquierda); se comprueba que da la misma $M$.
  5. Comprobación: $MA=B$ simbólicamente (sympy).

Resultado: $M=\begin{pmatrix}0&0&5\\1&0&0\\0&-3&0\end{pmatrix}$.

Receta: la misma que en el ejercicio anterior; con el atajo basta leer qué fila de $A$ y con qué factor forma cada fila de $B$.
Sept. 2019 (tipo A), ejercicio 1 — ¿la suma de dos elementales es elemental? (V/F) X Sept. 2019 (A)

Comprobar si es cierta o falsa: «Si $A,B\in\mathcal M_{3\times3}$ son dos matrices elementales, entonces $A+B$ es una matriz elemental». Usar distintos ejemplos.

  1. Definición (Def. 1.2, U p.15): elemental = $I$ tras una sola operación por filas. Difiere de $I_3$ en una fila (multiplicar $F_i$ por $\alpha\ne0$, o $F_i\to F_i+\alpha F_j$) o en dos filas intercambiadas (permutar).
  2. Contraejemplo 1. $I_3$ es elemental ($F_1\to1\cdot F_1$; es el caso trivial admitido por la Def. 1.2, que solo exige $\alpha\ne0$), pero $I_3+I_3=2I_3$ difiere de $I_3$ en las tres filas; ninguna operación única hace eso. No es elemental.
  3. Contraejemplo 2. $A=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}$ ($F_2\leftrightarrow F_3$) y $B=I_3$: $A+B=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&1&1\\0&1&1\end{pmatrix}$ tiene las filas 2 y 3 iguales; al restarlas aparece una fila nula, luego su rango es $2<3$ y es singular (U p.22). Las elementales, en cambio, son regulares (U p.16), así que $A+B$ no puede ser elemental. (Atajo: $\det(A+B)=0$, tema 1.3.)
  4. Ejemplo mezclando dos tipos: $\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&5&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&6&0\\1&1&0\\0&0&2\end{pmatrix}$ difiere de $I_3$ en las tres filas y no es un intercambio de dos filas: no es elemental (aquí la suma sí es regular, así que la regularidad por sí sola no basta para descartar).
  5. Basta un contraejemplo para refutar una proposición universal.

Resultado: falsa.

Receta: compara $M$ con $I$: debe diferir en una sola fila (escalada o con múltiplo de otra) o ser $I$ con dos filas intercambiadas. Atajo: si $\det M=0$ (tema 1.3), no es elemental.

Error típico: confundir «elemental» con «regular» o «sencilla»: la suma no conserva la propiedad.

D. Escalonada, escalonada reducida y rango por Gauss

Feb. 2019 (tipo A), ejercicio 1 — una escalonada y el rango de una $3\times3$ X Feb. 2019 (A)

Hallar una matriz escalonada de $A=\begin{pmatrix}0&2&-1\\1&5&0\\1&-1&2\end{pmatrix}$ y, con ella, calcular el rango de $A$.

  1. Objetivo (Def. 1.3, U p.20): ceros debajo de cada pivote, cada fila empieza con más ceros que la anterior, filas nulas al final. Solo operaciones elementales por filas, que dan matrices equivalentes por filas con el mismo rango (Teorema 1.3, U p.22).
  2. $F_1\leftrightarrow F_2$ (el elemento $(1,1)$ es 0 y no puede ser pivote): $\begin{pmatrix}1&5&0\\0&2&-1\\1&-1&2\end{pmatrix}$.
  3. $F_3\to F_3-F_1$ (anula el 1 bajo el pivote): $\begin{pmatrix}1&5&0\\0&2&-1\\0&-6&2\end{pmatrix}$.
  4. $F_3\to F_3+3F_2$ (anula el $-6$; múltiplo $6/2=3$): $A_e=\begin{pmatrix}1&5&0\\0&2&-1\\0&0&-1\end{pmatrix}$.
  5. $A_e$ es escalonada: pivotes $1,2,-1$ en las columnas $1,2,3$, sin filas nulas.
  6. Rango (Def. 1.5, U p.22) = nº de filas no nulas: $\operatorname{rang}A=3$; como $A$ es $3\times3$, es regular. Comprobación: $\det A=2\ne0$.

Resultado: $\operatorname{rang}A=3$.

Receta (Gauss para el rango): columna a columna, elige un pivote no nulo (permuta si hace falta) y anula solo lo de debajo con $F_i\to F_i-\frac{a}{p}F_k$; pasa a la siguiente fila y columna; cuenta las filas no nulas. Indica siempre sobre qué fila actúas.

Error típico: tomar un 0 como pivote, o escribir operaciones como $F_3\to2F_3-F_1$ sin decir que son dos elementales (tipo 2 y tipo 3).

Feb. 2017 (2.ª sem., tipo A), problema a) — rango de una $4\times5$ por Gauss X Feb. 2017 (2.ª, A)

Calcular, por el método de Gauss, el rango de $\begin{pmatrix}1&1&2&2&-1\\1&2&0&3&1\\1&0&4&1&-3\\2&1&6&3&-4\end{pmatrix}$.

  1. Se escalona por filas (Def. 1.3, U p.20); el rango es el nº de filas no nulas (Def. 1.5, U p.22) y las operaciones elementales no lo cambian (Teorema 1.3, p.22).
  2. Columna 1 (pivote 1): $F_2\to F_2-F_1$, $F_3\to F_3-F_1$, $F_4\to F_4-2F_1$: $\begin{pmatrix}1&1&2&2&-1\\0&1&-2&1&2\\0&-1&2&-1&-2\\0&-1&2&-1&-2\end{pmatrix}$.
  3. Columna 2 (pivote 1): $F_3\to F_3+F_2$, $F_4\to F_4+F_2$: $\begin{pmatrix}1&1&2&2&-1\\0&1&-2&1&2\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}$.
  4. Ya es escalonada, con dos filas no nulas: rango 2 (sympy ✓).
Receta: la de Feb. 2019 (A). Si al escalonar aparecen filas iguales u opuestas, una resta las convierte en filas de ceros.
Sept. 2022, problema a) — rango de una $3\times5$ y su reducida X Sept. 2022 (pb. a)

Calcular, por el método de Gauss, el rango de $\begin{pmatrix}1&1&2&2&-1\\1&2&0&3&1\\1&0&4&1&-3\end{pmatrix}$.

  1. Es la matriz anterior sin la cuarta fila; mismo método (U p.20-22).
  2. $F_2\to F_2-F_1$, $F_3\to F_3-F_1$: $\begin{pmatrix}1&1&2&2&-1\\0&1&-2&1&2\\0&-1&2&-1&-2\end{pmatrix}$.
  3. $F_3\to F_3+F_2$: $\begin{pmatrix}1&1&2&2&-1\\0&1&-2&1&2\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}$.
  4. Dos filas no nulas: rango 2. Para quien quiera la reducida (única, U p.21), $F_1\to F_1-F_2$ da $\begin{pmatrix}1&0&4&1&-3\\0&1&-2&1&2\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}$.
Receta: la de Feb. 2019 (A). Justifica el final diciendo que la matriz ya es escalonada y contando sus filas no nulas (el examen dice solo «no se puede seguir escalonando»).
Feb. 2026 (1.ª sem.), pregunta 1 — forma escalonada reducida de una $3\times3$ X Feb. 2026 (1.ª)

Calcule de manera razonada la forma escalonada reducida de $A=\begin{pmatrix}1&2&-3\\0&2&1\\-1&0&3\end{pmatrix}$.

  1. Qué se busca (Def. 1.3, U p.20): escalonada con pivotes iguales a 1 y ceros por encima y por debajo de cada pivote; es única (U p.21).
  2. $F_3\to F_3+F_1$ (anula el $-1$ bajo el pivote): $\begin{pmatrix}1&2&-3\\0&2&1\\0&2&0\end{pmatrix}$.
  3. $F_3\to F_3-F_2$ (anula el 2 bajo el pivote de la columna 2): $\begin{pmatrix}1&2&-3\\0&2&1\\0&0&-1\end{pmatrix}$. Ya es escalonada; falta normalizar y subir.
  4. $F_3\to-F_3$: $\begin{pmatrix}1&2&-3\\0&2&1\\0&0&1\end{pmatrix}$.
  5. $F_2\to F_2-F_3$ y $F_1\to F_1+3F_3$ (ceros encima del pivote de la columna 3): $\begin{pmatrix}1&2&0\\0&2&0\\0&0&1\end{pmatrix}$.
  6. $F_2\to\tfrac12F_2$: $\begin{pmatrix}1&2&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$.
  7. $F_1\to F_1-2F_2$: $I_3$.
  8. Conclusión: la reducida es $I_3$, luego $A$ es regular (U p.22). Comprobación: $\det A=-2\ne0$.

Resultado: la escalonada reducida de $A$ es $I_3$.

Receta (Gauss-Jordan): (1) escalona hacia abajo; (2) normaliza cada pivote a 1; (3) anula hacia arriba empezando por el último pivote, para no estropear los ceros ya logrados.

Nota de notación: el examen escribe «$R_3\leftrightarrow R_3+R_1$»; en U $\leftrightarrow$ es solo para intercambiar filas, y la sustitución se escribe $F_3\to F_3+F_1$ (U p.14).

Feb. 2026 (2.ª sem.), problema 7 (apartado de la reducida) — pivotes que no están en la diagonal X Feb. 2026 (2.ª)

Para la aplicación lineal $f(x,y,z,t)=(x+2y-z+3t,\ 2x+4y+6t,\ -x-2y+z-3t)$, la matriz asociada es $A=\begin{pmatrix}1&2&-1&3\\2&4&0&6\\-1&-2&1&-3\end{pmatrix}$. Halle la forma escalonada reducida de $A$. (El examen pide antes hallar $A$ a partir de $f$; ese apartado es del tema 3.)

  1. Columna 1 (pivote 1): $F_2\to F_2-2F_1$, $F_3\to F_3+F_1$: $\begin{pmatrix}1&2&-1&3\\0&0&2&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}$. La columna 2 no tiene pivote (bajo el 2 de la fila 1 solo hay ceros); el siguiente pivote es el 2 de la columna 3. Ya es escalonada, de rango 2.
  2. $F_2\to\tfrac12F_2$ (normalizar): $\begin{pmatrix}1&2&-1&3\\0&0&1&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}$.
  3. $F_1\to F_1+F_2$ (anula el $-1$ encima del pivote de la columna 3): $$A_r=\begin{pmatrix}1&2&0&3\\0&0&1&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}.$$
  4. Comprobación con sympy (rref): coincide con $A_r$, columnas pivote 1 y 3 ✓. (Los apartados de matriz asociada y núcleo son del tema 3.)
Receta: la de Gauss-Jordan del ejercicio anterior. Si una columna no tiene pivote, se salta y se sigue con la siguiente: los pivotes no tienen por qué estar en la diagonal.

Fallos comunes (literal del examen): la escalonada reducida no es una «triangular inferior equivalente»; y hay que indicar sobre qué fila se hace cada operación (no basta escribir «$F_1+F_2$»).

Sept. 2022, ejercicio 1 — ¿es única la reducida? ¿equivalen las transformaciones elementales de ecuaciones? (V/F) X Sept. 2022 (ej. 1)

Razonar si son ciertas: A) «La matriz escalonada reducida de una matriz $A$ no es única»; B) «Se puede obtener un sistema equivalente a uno dado mediante transformaciones elementales en sus ecuaciones».

  1. A) Falsa. U p.21: la escalonada no es única, pero la escalonada reducida sí lo es. Ejemplo (U Ej. 1.13-1.14): $\begin{pmatrix}1&2\\2&3\\1&1\end{pmatrix}$ tiene varias escalonadas, como $\begin{pmatrix}1&2\\0&-1\\0&0\end{pmatrix}$ o $\begin{pmatrix}1&2\\0&1\\0&0\end{pmatrix}$, pero una única reducida, $\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\0&0\end{pmatrix}$. Lo que no es única es la escalonada «a secas»; la reducida queda determinada porque sus pivotes valen 1 y tiene ceros encima y debajo.
  2. B) Verdadera. Es el resultado sobre sistemas equivalentes (U p.31-32), desarrollado completo en el tema 1.4: se apoya en que las matrices elementales son regulares (U p.16).
Receta: en un V/F de teoría, cita el resultado exacto de U y añade un ejemplo pequeño.
Fuera de este tema La factorización LU y los sistemas equivalentes caen en el tema 1.4 (§1.4.3, factorización $LU$). P

12Chuleta y lista de comprobación

ResultadoFórmulaHipótesis
Suma / producto por escalar$(A+B)+C=A+(B+C)$, $A+0=A$, $\alpha(A+B)=\alpha A+\alpha B$$A,B,C\in\mathcal M_{m\times n}$, mismo tamaño
Producto de matrices$p_{ij}=\sum_k a_{ik}b_{kj}$, $(AB)C=A(BC)$$A\in\mathcal M_{m\times n}$, $B\in\mathcal M_{n\times r}$: columnas de $A$ = filas de $B$
No conmutatividad$AB\ne BA$ en generalincluso si ambos productos existen (cuadradas, mismo orden)
Traspuesta$(AB)^t=B^tA^t$, $(A+B)^t=A^t+B^t$tamaños compatibles
Inversa$AA^{-1}=A^{-1}A=I_n$; $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$; $(A^{-1})^t=(A^t)^{-1}$$A$ cuadrada regular (y $B$ regular para el producto)
Matriz elemental$EA$ = operación por filas; $AF$ = operación por columnas$E,F$ elementales del tamaño adecuado
Inversas de elementales$F_i\leftrightarrow F_j\to$ ella misma; $F_i\to\alpha F_i\to F_i\to\frac1\alpha F_i$; $F_i\to F_i+\alpha F_j\to F_i\to F_i-\alpha F_j$$\alpha\ne0$ en el tipo 2
Algoritmo de la inversa$(A\mid I_n)\to(I_n\mid A^{-1})$$A$ cuadrada regular; solo operaciones por filas
Rango$\operatorname{rang}(A)=$ nº de filas no nulas de una escalonadacontar sobre una matriz ya escalonada
Regularidad y rango$A$ regular $\iff\operatorname{rang}(A)=n$$A\in\mathcal M_{n\times n}$
Multiplicar por regulares$\operatorname{rang}(A)=\operatorname{rang}(PA)=\operatorname{rang}(AQ)=\operatorname{rang}(PAQ)$$P,Q$ regulares

★Fuentes de este tema

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