Módulo 1 · Herramientas · Tema 1.4

Sistemas de ecuaciones lineales

Un sistema lineal se escribe siempre como $AX=B$: una matriz que combina las incógnitas. Aquí se cierra el Módulo 1 juntando todo lo anterior —rango (1.2) y determinante (1.3)— para clasificar sistemas sin resolverlos, y se aprenden los tres algoritmos con los que se resuelven en la práctica: Gauss, Gauss-Jordan y la factorización $LU$.

Libro oficial: Álgebra para Ingenieros, §1.4 (pp. 28-51)Ejercicios: E Ej. 1.30-1.44 (pp. 30-44)⏱ ~7 h de estudio

U oficial E ejercicios L Lay A tutoría P propio X examen — pasa el ratón (o toca) por cada etiqueta para ver libro y página; en pantallas anchas aparecen en el margen derecho.

0Antes de empezar U p.28

La idea del tema en una frase

Un sistema de ecuaciones lineales es una lista de ecuaciones de primer grado que deben cumplirse todas a la vez. Se puede escribir siempre en forma matricial $AX=B$, y todo lo que has visto en 1.2 (rango) y 1.3 (determinante) sirve para clasificar el sistema —¿tiene solución?, ¿una o infinitas?— antes incluso de resolverlo. Para resolverlo de verdad, hay tres algoritmos con distinto uso: Gauss (el más económico para un sistema suelto), Gauss-Jordan (da la solución sin retrosustituir, ideal para hallar inversas) y la factorización $LU$ (rentable cuando hay que resolver muchos sistemas con la misma matriz $A$ y distintos términos independientes $B$).

Qué necesitas saber ya

Del Tema 1.2: producto de matrices, matriz inversa, operaciones elementales por filas, matrices elementales y su inversa, matrices escalonadas y rango.
Del Tema 1.3: cálculo del determinante, $A$ regular $\iff\det A\neq0\iff\operatorname{rang}A=n$, y el rango por menores.
Resolver a mano sistemas $2\times2$ y $3\times3$ pequeños por sustitución (para reconocer los resultados de los algoritmos que vienen).

Mapa del tema

Apartado	Qué contiene	Dónde está en los libros
1 El sistema como $AX=B$	Matriz de coeficientes, matriz ampliada, homogéneos	U p.29
2 Clasificación por rango	Teorema 1.4, Rouché-Frobenius, interpretación geométrica	U p.29-30 · A "Sistemas de ecuaciones lineales"
3 Sistemas equivalentes	Definición 1.7, operaciones elementales, Teorema 1.5	U p.31-32
4 Cartesianas ↔ paramétricas	Ejemplos 1.27 y 1.28	U p.33-36
5 Métodos numéricos: tipos de error	Truncamiento, redondeo, exactos vs iterativos	U p.36-38
6 Método de Gauss	Pasos 1-6, complejidad, mal condicionamiento, regla de Cramer	U p.33 y p.38-43 · A "Método de Gauss"
7 Gauss-Jordan	Escalonada reducida, uso para la inversa	U p.43-44
8 Factorización $LU$	PASO 1-2, unicidad, resolución $LY=B$, $UX=Y$	U p.44-49 · L §2.5
9 $LU$ permutada $PA=LU$	Cuándo hace falta permutar, usos de $LU$	U p.50-51
10 Qué usar cuándo	Comparativa Gauss / Gauss-Jordan / $LU$	P
11 Ejercicios	E 1.30–1.44 + 3 ejemplos propios	E pp.30-44
12 Ejemplos de examen	14 preguntas de convocatorias anteriores, resueltas	X

Qué se pide en los ejercicios

Los ejercicios de esta sección piden: reconocer que los homogéneos siempre son compatibles (1.30); discutir con parámetros cuándo un homogéneo es indeterminado (1.31); clasificar un sistema cuadrado con dos parámetros usando rangos (1.32) y resolverlo en cada caso (1.33); comprobar si dos sistemas son equivalentes vía operaciones elementales (1.34); pasar de paramétricas a cartesianas y viceversa (1.35, 1.36); resolver por Gauss con pivotes normalizados (1.37); calcular una factorización $LU$ e identificar $L$ correctamente (1.38); clasificar un sistema con dos parámetros por determinante y menores de la ampliada (1.39) y repetirlo por eliminación gaussiana (1.40); razonar sobre compatibilidad a partir del rango sin resolver nada (1.41); demostrar la unicidad de la factorización $LU$ (1.42); identificar qué afirmaciones sobre $LU$ son ciertas (1.43); y resolver $AX=B$ completa vía $LU$ (1.44).

1El sistema como $AX=B$ U p.29

Definición

Un sistema de $m$ ecuaciones lineales con $n$ incógnitas es un conjunto de $m$ igualdades de la forma $$\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2\\\qquad\vdots\\a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n=b_m\end{cases}$$ que se escribe de forma compacta como $AX=B$, con $A=(a_{ij})\in\mathcal M_{m\times n}$ la matriz de coeficientes, $X=(x_1,\dots,x_n)^t$ el vector de incógnitas y $B=(b_1,\dots,b_m)^t$ el vector de términos independientes. La matriz ampliada es $(A\mid B)$, la matriz $A$ con la columna $B$ añadida a la derecha. Un sistema es homogéneo si $B=0$, es decir, $AX=0$.

U p.29

Otra forma de leer $AX=B$ (Lay)

Lay insiste en una lectura complementaria muy útil: $AX$ es una combinación lineal de las columnas de $A$ con coeficientes $x_1,\dots,x_n$. Así, «resolver $AX=B$» es lo mismo que preguntar: ¿se puede escribir $B$ como combinación lineal de las columnas de $A$? Esta idea no cambia nada de lo que hace U, pero ayuda a visualizar por qué el sistema tiene solución cuando $B$ «cae» dentro del espacio generado por las columnas (idea que se retoma en el Tema 2).

L p.35

Ejemplo numérico

El sistema $\begin{cases}2x-y+z=3\\x+3y-z=1\end{cases}$ tiene $m=2$ ecuaciones, $n=3$ incógnitas, $$A=\begin{pmatrix}2&-1&1\\1&3&-1\end{pmatrix},\quad X=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix},\quad(A\mid B)=\left(\begin{array}{ccc|c}2&-1&1&3\\1&3&-1&1\end{array}\right).$$ El sistema homogéneo asociado es $2x-y+z=0,\ x+3y-z=0$ (misma $A$, $B=0$); siempre tiene al menos la solución trivial $x=y=z=0$.

Error típico

Confundir el número de incógnitas $n$ (columnas de $A$) con el número de columnas de la ampliada $(A\mid B)$, que tiene $n+1$ columnas. Al leer «la ampliada tiene 4 columnas» hay que restar 1 para saber $n$ (ver Ejercicio 1.41).

2Clasificación por rango U p.29-31

Teorema 1.4 — una o infinitas, nunca «dos, tres, …»

Si un sistema $AX=B$ tiene más de una solución, tiene infinitas.

Por qué es cierto (idea de la demostración): si $X_0\neq X_1$ son dos soluciones distintas, cualquier combinación afín $X_\alpha=\alpha X_0+\beta X_1$ con $\alpha+\beta=1$ también es solución: $$A X_\alpha=\alpha AX_0+\beta AX_1=\alpha B+\beta B=(\alpha+\beta)B=B.$$ Como hay infinitos pares $(\alpha,\beta)$ con $\alpha+\beta=1$ (por ejemplo $\alpha=t,\ \beta=1-t$ para cualquier $t\in\mathbb R$), hay infinitas soluciones. Geométricamente, $X_\alpha$ recorre la recta que pasa por $X_0$ y $X_1$.

U p.30

Interactivo: un sistema $2\times2$ son dos rectas

Cada ecuación $ax+by=c$ es una recta del plano; las soluciones del sistema son los puntos comunes. Mira cómo los rangos de $A$ y $(A\mid b)$ deciden el caso: rectas que se cortan (determinado), paralelas (incompatible) o la misma recta (indeterminado).

Interactivo 3D: tres ecuaciones son tres planos

En tres incógnitas cada ecuación es un plano de $\mathbb R^3$. Mira las cinco formas en que pueden colocarse tres planos y relaciónalas con $\operatorname{rang}(A)$ y $\operatorname{rang}(A\mid b)$: un punto (determinado), una recta (indeterminado), un prisma triangular o planos paralelos (incompatible). Gira la figura con el ratón.

Clasificación por rangos (Rouché-Frobenius)

U llama solución de $AX=B$ a cualquier $X$ que cumpla la igualdad, y sistema cuadrado al caso $m=n$ (mismo número de ecuaciones que de incógnitas). Sea $AX=B$ con $A\in\mathcal M_{m\times n}$:

$\operatorname{rang}(A)\neq\operatorname{rang}(A\mid B)$ $\iff$ incompatible (sin solución).
$\operatorname{rang}(A)=\operatorname{rang}(A\mid B)=n$ $\iff$ compatible determinado (solución única).
$\operatorname{rang}(A)=\operatorname{rang}(A\mid B)=k\lt n$ $\iff$ compatible indeterminado, con $n-k$ parámetros libres.

Sistemas homogéneos. Como añadir una columna de ceros nunca crea un pivote nuevo, $\operatorname{rang}(A)=\operatorname{rang}(A\mid 0)$ siempre: un homogéneo es siempre compatible (al menos $X=0$). Es determinado (solo la solución nula) si $\operatorname{rang}(A)=n$, e indeterminado si $\operatorname{rang}(A)\lt n$.

U p.30

Interpretación geométrica: dos rectas en el plano

Con $m=n=2$ (dos ecuaciones, dos incógnitas), cada ecuación es una recta de $\mathbb R^2$ y «resolver el sistema» es buscar los puntos comunes a ambas rectas. Solo hay tres posibilidades, y cada una corresponde exactamente a un caso de la clasificación por rangos:

Las dos ecuaciones de un sistema $2\times2$ vistas como rectas: se cortan en un punto, son paralelas (distintas), o son la misma recta (dibujada como dos líneas superpuestas, una continua y otra discontinua, para indicar que son dos rectas idénticas). U p.30-31

Ejemplo propio (siguiendo el Ejemplo 1.25 de U) — las tres posibilidades con números

U plantea el Ejemplo 1.25 en general, con dos rectas $y=ax+b$, $y=a'x+b'$: si $a\neq a'$, son secantes (se cortan en un punto); si $a=a'$ y $b\neq b'$, son paralelas (distintas); si $a=a'$ y $b=b'$, son coincidentes (la misma recta). El siguiente ejemplo numérico ilustra los tres casos con la clasificación por rangos.

Secantes: $x+y=3,\ x-y=1$. $A=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}$, $\det A=-2\neq0$: $\operatorname{rang}(A)=\operatorname{rang}(A\mid B)=2=n$, compatible determinado, solución única $(2,1)$.
Paralelas: $x+y=3,\ x+y=1$. $\operatorname{rang}(A)=1$ (filas proporcionales) pero $\operatorname{rang}(A\mid B)=2$ (el menor $\begin{vmatrix}1&3\\1&1\end{vmatrix}=-2\neq0$): incompatible, ninguna solución.
Coincidentes: $x+y=3,\ 2x+2y=6$. $\operatorname{rang}(A)=\operatorname{rang}(A\mid B)=1\lt2$: compatible indeterminado, $\{(x,3-x):x\in\mathbb R\}$.

Lo mismo en $\mathbb R^3$

Con tres ecuaciones y tres incógnitas, cada ecuación es un plano de $\mathbb R^3$. La idea es la misma pero con más casos intermedios (dos planos secantes y uno paralelo, los tres pasando por una misma recta, etc.): siempre se resuelve con la misma clasificación por rangos, sin necesidad de imaginar la figura.

Error típico

Concluir «incompatible» solo con mirar $\det(A)=0$ (o $\operatorname{rang}(A)\lt n$): eso descarta el caso determinado, pero para decidir entre incompatible e indeterminado hace falta comparar con $\operatorname{rang}(A\mid B)$ (ver Ejercicios 1.32 y 1.39).

3Sistemas equivalentes y operaciones elementales U p.31-32

Definición 1.7 — sistemas equivalentes

Dos sistemas (con las mismas incógnitas) son equivalentes si tienen exactamente el mismo conjunto de soluciones.

U p.31

Tres operaciones elementales sobre las ecuaciones

Intercambiar dos ecuaciones de posición.
Multiplicar una ecuación por un escalar $\alpha\neq0$.
Reemplazar una ecuación por su suma con un múltiplo de otra: $E_i\to E_i+\alpha E_j$.

Son idénticas a las operaciones elementales por filas de la matriz ampliada, vistas ya en 1.2 para escalonar.

U p.31

Teorema 1.5

Si la matriz ampliada de un sistema se transforma en otra mediante operaciones elementales por filas, el sistema resultante es equivalente al original.

Idea de la demostración: cada operación elemental corresponde a multiplicar $(A\mid B)$ por una matriz elemental $E$ (Tema 1.2) por la izquierda; $E$ es invertible y $E^{-1}$ es también una matriz elemental. Si $X$ cumple $AX=B$, entonces $(EA)X=EB$: toda solución del sistema original lo es del nuevo. Y como la operación se puede deshacer (con $E^{-1}$, también elemental), toda solución del nuevo sistema es también solución del original. Por tanto tienen el mismo conjunto de soluciones.

U p.32

Ejemplo 1.26 de U — escalonando paso a paso, con la cuenta de por qué es equivalente

Sistema $2y+z=7,\ 6x+2y+z=-1,\ 2x+y+z=1$: $$(A\mid B)=\left(\begin{array}{ccc|c}0&2&1&7\\6&2&1&-1\\2&1&1&1\end{array}\right)\xrightarrow{F_1\leftrightarrow F_2}\left(\begin{array}{ccc|c}6&2&1&-1\\0&2&1&7\\2&1&1&1\end{array}\right)\xrightarrow{F_3\to F_3-\frac13F_1}\left(\begin{array}{ccc|c}6&2&1&-1\\0&2&1&7\\0&\frac13&\frac23&\frac43\end{array}\right)\xrightarrow{F_3\to F_3-\frac16F_2}\left(\begin{array}{ccc|c}6&2&1&-1\\0&2&1&7\\0&0&\frac12&\frac16\end{array}\right).$$

Cada flecha es una operación elemental por filas, así que por el Teorema 1.5 el sistema final es equivalente al inicial. Es triangular: por retrosustitución, $\frac12z=\frac16\Rightarrow z=\frac13$; $2y+\frac13=7\Rightarrow y=\frac{10}{3}$; $6x+2\cdot\frac{10}{3}+\frac13=-1\Rightarrow x=-\frac43$.

U p.32-33

Regla de Cramer, de paso

Para un sistema cuadrado ($m=n$) con $\operatorname{rang}(A)=n$ (es decir, $\det A\neq0$), la incógnita $x_i$ se puede calcular directamente sin escalonar: $$x_i=\frac{\det(A_i)}{\det(A)},$$ donde $A_i$ es $A$ con su columna $i$ sustituida por $B$. Es rápida para sistemas pequeños o con parámetros (aprovechando los menores ya calculados), pero exige calcular $n+1$ determinantes: para $n$ grande, Gauss es mucho más barato.

U p.33

Error típico

Aplicar Cramer cuando $\det A=0$: la fórmula divide entre $\det A$, así que no tiene sentido; hay que clasificar primero por rangos.

4Cartesianas y paramétricas U p.33-36

Idea intuitiva

Un sistema compatible indeterminado tiene infinitas soluciones que se pueden describir de dos maneras: con ecuaciones cartesianas (las del propio sistema, que las soluciones deben cumplir) o con ecuaciones paramétricas (una fórmula que genera todas las soluciones a partir de uno o varios parámetros libres). Son dos formas de describir el mismo conjunto, y hay que saber pasar de una a la otra en los dos sentidos.

Ejemplo 1.27 de U — de cartesianas a paramétricas

Sistema $2x_1+2x_2+2x_4+x_5=-2,\ x_1+x_2+x_3+2x_4+x_5=0,\ x_1+x_2+x_4+x_5=-1$. Escalonando la ampliada se obtiene $\operatorname{rang}(A)=\operatorname{rang}(A\mid B)=3<5=n$: compatible indeterminado, con $5-3=2$ parámetros. Las columnas sin pivote son $x_2$ y $x_4$: se toman como parámetros $x_2=\alpha,\ x_4=\beta$, y despejando el resto: $$x_1=-1-\alpha-\beta,\quad x_2=\alpha,\quad x_3=1-\beta,\quad x_4=\beta,\quad x_5=0.$$

U p.33-34

Ejemplo 1.28 de U — de paramétricas a cartesianas

Paramétricas $x_1=\alpha-\beta,\ x_2=2-\alpha-\beta,\ x_3=1+2\beta+\alpha,\ x_4=\alpha+\beta$. La idea: un punto $(x_1,x_2,x_3,x_4)$ pertenece al conjunto si y solo si existen $\alpha,\beta$ que lo produzcan, es decir, si el sistema en las incógnitas $\alpha,\beta$ es compatible. Escribiendo ese sistema y escalonando su ampliada se llega a $$\left(\begin{array}{cc|c}1&-1&x_1\\0&-2&x_1+x_2-2\\0&0&\tfrac12x_1+\tfrac32x_2+x_3-4\\0&0&x_2+x_4-2\end{array}\right).$$ Como la matriz de coeficientes (columnas $\alpha,\beta$) tiene rango 2, hacen falta las dos últimas filas nulas para que sea compatible: eso da exactamente las ecuaciones cartesianas $$x_1+3x_2+2x_3=8,\qquad x_2+x_4=2.$$

U p.34-36

Truco de examen

El número de ecuaciones cartesianas necesarias es siempre $n-(\text{número de parámetros independientes})$, con $n$ el número de incógnitas. Antes de imponer nada, calcula el rango de la matriz de coeficientes de los parámetros (eso es el número de parámetros independientes): así sabes de antemano cuántas ecuaciones cartesianas vas a obtener.

Error típico

Al pasar de paramétricas a cartesianas por sustitución directa, olvidar el término independiente (por ejemplo escribir $2z-x+2y=0$ en vez de $=-2$): comprueba siempre que el punto que se obtiene con los parámetros en $0$ satisface la ecuación final.

5Métodos numéricos: tipos de error U p.36-38

Por qué importa esto

Hasta ahora resolvíamos sistemas «a mano», con fracciones exactas. En la práctica (ordenador, calculadora) hay errores inevitables. U distingue varios tipos y dos familias de métodos; en el examen basta reconocer los nombres y la idea de cada uno.

Tipos de error

Error de truncamiento: el propio método es una aproximación (p. ej. cortar una serie infinita).
Error de redondeo: los números reales se representan con precisión finita (número fijo de cifras).
Error de los datos: los datos de partida ya venían con imprecisión (medidas, redondeos previos).
Error humano: errores al transcribir o calcular.
Propagación del error: un pequeño error inicial se va amplificando a lo largo de los cálculos.

U p.36-37

Métodos exactos frente a iterativos

Los métodos exactos (Gauss, Gauss-Jordan, $LU$) dan la solución en un número finito y conocido de pasos, salvo el error de redondeo de las operaciones. Los métodos iterativos (Jacobi, Gauss-Seidel, Relajación) generan una sucesión de aproximaciones que converge a la solución; no se desarrollan en este tema (entran en asignaturas de cálculo numérico), pero conviene reconocer los nombres. U señala que, en sistemas grandes, los métodos iterativos a veces dan más precisión que los exactos, porque evitan la acumulación de errores de redondeo de una larga cadena de operaciones exactas.

U p.37-38

6Método de Gauss U p.38-43

Idea intuitiva

Gauss es exactamente el escalonamiento del Tema 1.2, pero normalizando cada pivote a 1 a medida que se avanza, y aplicado a la matriz ampliada. Al final queda un sistema triangular, que se resuelve de abajo arriba (retrosustitución).

Animación: método de Gauss sobre un sistema

Solo se anula por debajo de cada pivote. Cuando la matriz queda escalonada, se resuelve de abajo hacia arriba. Puedes editar la matriz ampliada (la última columna es el término independiente).

Pasos del algoritmo

U lo enuncia para un sistema cualquiera (no hace falta que sea cuadrado): véase el Ejemplo 1.30 más abajo, con 3 ecuaciones y 5 incógnitas.

Localizar el pivote de la columna actual: un elemento no nulo en esa columna, en la fila actual o debajo (si el de la posición actual es $0$, intercambiar filas).
Normalizar: dividir toda la fila del pivote por su valor, para que quede $1$.
Eliminar por debajo: hacer $0$ todos los elementos debajo del pivote con reemplazos $F_i\to F_i-\lambda F_{\text{pivote}}$. Si una columna no tiene ningún elemento no nulo disponible para pivote, se pasa directamente a la siguiente columna (esa incógnita quedará libre).
Repetir los pasos 1-3 para la siguiente columna, hasta agotar filas o columnas.
Si queda una fila del tipo $(0\ 0\ \cdots\ 0\mid b)$ con $b\neq0$: el sistema es incompatible, parar.
Retrosustitución: con la matriz ya triangular (o escalonada), despejar la última incógnita con pivote, sustituirla en la ecuación anterior, y así hasta la primera.

Complejidad aproximada: $\sim n^3/3$ operaciones, muy inferior a la de Cramer para $n$ grande.

U p.39 L p.12-14

Cómo leer la clasificación directamente en la escalonada (A)

Una vez la ampliada está escalonada, el criterio general es: si aparece una fila $(0\cdots0\mid b)$ con $b\neq0$, el sistema es incompatible de inmediato; si no aparece ninguna fila así, es compatible, y entonces se compara el número de pivotes con el número de incógnitas: si coinciden, es determinado; si hay menos pivotes que incógnitas, es indeterminado (ojo: no basta con mirar si hay una fila nula $(0\cdots0\mid0)$, porque un sistema con menos ecuaciones que incógnitas puede ser indeterminado sin que aparezca ninguna fila nula). En el caso particular de las diapositivas de A —un sistema cuadrado $3\times3$ con pivotes en la diagonal— este criterio se reduce exactamente al de su ejemplo: sin filas nulas de coeficientes, determinado; con una fila $(0\,0\,0\mid0)$, indeterminado; con $(0\,0\,0\mid b)$, $b\neq0$, incompatible.

Ejemplo propio — Gauss con pivotes normalizados, $3\times3$ determinado

$\begin{cases}2x+4y-2z=4\\x+3y+z=10\\3x+y+2z=11\end{cases}$. $(A\mid B)=\left(\begin{array}{ccc|c}2&4&-2&4\\1&3&1&10\\3&1&2&11\end{array}\right)$; $F_1\to\frac12F_1$: $(1,2,-1,2)$; $F_2\to F_2-F_1$: $(0,1,2,8)$; $F_3\to F_3-3F_1$: $(0,-5,5,5)$; $F_3\to F_3+5F_2$: $(0,0,15,45)$; $F_3\to\frac1{15}F_3$: $(0,0,1,3)$: $$\left(\begin{array}{ccc|c}1&2&-1&2\\0&1&2&8\\0&0&1&3\end{array}\right).$$ Tres pivotes: compatible determinado. Retrosustitución: $z=3$, $y=8-2z=2$, $x=2-2y+z=1$. Solución $(1,2,3)$, comprobada con sympy.

Ejemplo 1.29 de U — Gauss detecta un sistema incompatible

$x+2y+z=2,\ -x+2y-z=0,\ x+y+z=4$. Escalonando la ampliada, la tercera fila termina siendo $(0\ 0\ 0\mid\tfrac52)$: una fila de coeficientes nulos con término independiente $\tfrac52\neq0$, así que el sistema es incompatible (paso 5 del algoritmo): no hace falta seguir ni retrosustituir.

U p.39-41

Ejemplo 1.30 de U — Gauss en un sistema no cuadrado, indeterminado con 2 parámetros

Sistema de 3 ecuaciones y 5 incógnitas $(x,y,z,t,v)$ cuya ampliada, ya escalonada por Gauss, tiene pivotes solo en las columnas de $x$, $y$ y $t$: las columnas de $z$ y $v$ quedan sin pivote (paso 3 del algoritmo: se pasa a la siguiente columna). Con $z=a,\ v=b$ como parámetros, la retrosustitución da $$x=2-3a+b,\quad y=7-5a,\quad z=a,\quad t=-1-2b,\quad v=b,\qquad a,b\in\mathbb R.$$ Este ejemplo muestra que Gauss se aplica igual a un sistema no cuadrado: basta con que, al llegar a una columna sin ningún elemento no nulo disponible, se pase a la siguiente sin crear un pivote ahí.

U p.39-41

De paso, en U

U también da un pseudocódigo completo del algoritmo para implementarlo en un ordenador (p.41-42), distingue los métodos de eliminación (Gauss, Gauss-Jordan) de los métodos de descomposición (como $LU$, §8) dentro de los métodos exactos (p.38), y menciona el pivoteo parcial (elegir en cada columna el mayor elemento en valor absoluto, intercambiando filas) y el pivoteo total (buscar el mayor elemento en toda la submatriz restante, intercambiando también columnas) como estrategias para reducir el error de redondeo (nota 20, p.42).

Def. 1.8 — sistemas mal condicionados

Un sistema está mal condicionado cuando pequeños cambios en los coeficientes producen cambios drásticos en la solución; es una propiedad del sistema en sí, no del método usado para resolverlo. Ejemplo 1.31 de U: $x_1+2x_2=10,\ 1.05x_1+2x_2=10.4$ tiene solución exacta $(8,1)$; cambiando el segundo coeficiente de $1.05$ a $1.1$ (un cambio pequeño, sin redondeo de por medio), la solución pasa a $(4,3)$: cambia por completo. Ningún método de resolución exacto puede arreglar esto: el problema está en los propios datos del sistema.

U p.42-43

No confundir con el pivoteo

El pivoteo (parcial o total, mencionado arriba) es un remedio distinto, contra un problema distinto: el error de redondeo que aparece cuando se divide entre un pivote muy pequeño o cercano a cero durante Gauss. No corrige el mal condicionamiento del sistema (que es exacto, como en el Ejemplo 1.31, sin ningún redondeo): un sistema mal condicionado sigue siendo sensible a los datos por muy bien que se pivotee.

7Método de Gauss-Jordan U p.43-44

Idea intuitiva: un paso más que Gauss

Gauss-Jordan hace todo lo de Gauss y además anula también por encima de cada pivote, no solo por debajo. El resultado es la matriz escalonada reducida: cada pivote vale 1 y es el único elemento no nulo de su columna. Si el sistema es determinado, la última columna de esa matriz reducida ya es la solución: no hace falta retrosustituir.

Animación: Gauss-Jordan (sistema compatible indeterminado)

Gauss-Jordan normaliza cada pivote a 1 y anula también por encima, de modo que la solución se lee directamente. Aquí la tercera ecuación es la suma de las dos primeras, así que sobra una ecuación y queda un parámetro libre. Prueba a cambiar el último término de la fila 3 para ver un sistema incompatible.

Comparación de coste y para qué sirve

Gauss-Jordan tiene complejidad $\sim n^3/2$, más cara que Gauss ($\sim n^3/3$): para resolver un único sistema no es lo más eficiente. Su utilidad principal es calcular la matriz inversa: aplicando Gauss-Jordan a $(A\mid I)$ se llega a $(I\mid A^{-1})$ (idea ya vista en 1.2, aquí formalizada como el mismo algoritmo que resuelve sistemas).

U p.43-44

Ejemplo 1.32 de U — Gauss-Jordan sobre el Ejemplo 1.26

Partiendo de la triangular ya obtenida en el Ejemplo 1.26 (§3), $\left(\begin{array}{ccc|c}6&2&1&-1\\0&2&1&7\\0&0&\frac12&\frac16\end{array}\right)$, Gauss-Jordan normaliza y anula también por encima de cada pivote, llegando directamente a $$\left(\begin{array}{ccc|c}1&0&0&-\frac43\\0&1&0&\frac{10}{3}\\0&0&1&\frac13\end{array}\right),$$ es decir, la solución $x=-\frac43,\ y=\frac{10}{3},\ z=\frac13$ se lee directamente, sin retrosustitución: el mismo resultado que en el Ejemplo 1.26.

U p.43-44

Error típico

Pensar que Gauss-Jordan es siempre mejor por dar la solución «directamente»: es más caro en operaciones; conviene sobre todo para hallar inversas, no para resolver un único sistema aislado (para eso, Gauss es más barato).

8Factorización $LU$ U p.45-49

Motivación: ¿por qué otro método más?

Si hay que resolver $AX=B_1$, $AX=B_2$, $AX=B_3,\dots$ con la misma $A$ pero distintos términos independientes, repetir Gauss completo cada vez es un desperdicio: la parte cara (triangularizar $A$) es siempre la misma. La factorización $LU$ hace ese trabajo una sola vez, guardándolo en dos matrices $L$ y $U$, y luego cada sistema nuevo se resuelve muy barato.

Definición

$A=LU$ con $L$ triangular inferior con unos en la diagonal y $U$ triangular superior. $U$ es el resultado de escalonar $A$ usando solo reemplazos $F_i\to F_i+\lambda F_j$ ($j\lt i$), sin normalizar los pivotes y sin intercambiar filas. $L$ recoge, en la posición $(i,j)$, el multiplicador usado (con el signo cambiado) para anular esa posición.

U p.45-46

Ojo: NO es lo mismo que el Gauss del §6

En el método de Gauss del §6 normalizábamos cada pivote a $1$ (paso 2 del algoritmo). Para $LU$, en cambio, nunca se normaliza: se deja el pivote tal cual salga y solo se usan reemplazos para anular lo de debajo. Si normalizaras, la $U$ resultante no coincidiría con la de la factorización (y perderías la información que va a parar a $L$). En realidad, la propia U permite omitir la normalización también en Gauss (nota 17, p.38): normalizar es solo una comodidad para leer la solución al final, no un paso obligatorio. De hecho, el Ejemplo 1.26 (§3) escalona sin normalizar los pivotes; solo el Ejercicio 1.37 de E normaliza. No te desconciertes si ves las dos variantes.

U p.45

Algoritmo

PASO 1 — triangularizar $A$ a $U$: aplicar reemplazos $F_i\to F_i+\lambda F_j$ sucesivos hasta obtener una triangular superior $U$. Si $U=E_p\cdots E_1A$ (producto de las matrices elementales de cada reemplazo), entonces $A=(E_p\cdots E_1)^{-1}U$.
PASO 2 — construir $L$: $L=E_1^{-1}\cdots E_p^{-1}$. Como la inversa de un reemplazo $F_i\to F_i+\lambda F_j$ es $F_i\to F_i-\lambda F_j$, en la práctica basta colocar, en la posición $(i,j)$ de $L$, el multiplicador $\lambda$ usado, con el signo cambiado (y unos en la diagonal). Este atajo vale cuando los reemplazos se hacen columna a columna y en orden (de izquierda a derecha, de arriba abajo), que es justo lo habitual y lo que hace U en sus ejemplos.

Complejidad: U cifra Gauss en $\sim n^3/3$ y $LU$ en $\sim2n^3/3$, es decir, el doble. Con esas cifras: resolver 1 sistema por Gauss cuesta $n^3/3$; factorizar y resolverlo por $LU$ cuesta $2n^3/3$ (el doble, más caro); pero cada sistema adicional con la misma $A$ cuesta $n^3/3$ más por Gauss y solo $\sim n^2$ (despreciable frente a $n^3$) por $LU$: con el 2.º sistema adicional (3 sistemas en total) el coste acumulado se empata, aproximadamente $n^3$ por ambos caminos, y a partir del 3.º sistema adicional $LU$ sale claramente más barato.

U p.45-46

La misma idea, con las cifras de Lay

Lay (p.127), contando todas las operaciones con más detalle, estima que factorizar $A=LU$ cuesta aproximadamente lo mismo que un Gauss completo; en ambos casos, cada sistema adicional con la misma $A$ cuesta solo $\sim n^2$. No mezcles esta cifra con la de U (arriba): son dos formas distintas de contar operaciones, pero la conclusión práctica es la misma: la ventaja de $LU$ aparece en cuanto hay más de un sistema que resolver con la misma matriz.

L p.124-127

La idea de $L$ en una frase

Al escalonar, cada vez que haces $F_i\to F_i-m\,F_j$ estás gastando información de $A$. $L$ es el cuaderno donde apuntas esos $m$: si algún día quieres deshacer todo el proceso (volver de $U$ a $A$), basta volver a sumar esos múltiplos en orden inverso, y eso es justo multiplicar por $L$. Por eso $A=LU$: «$U$» es el resultado y «$L$» el registro de cómo llegaste.

Receta práctica (3 reglas): (1) trabaja columna por columna, de izquierda a derecha y de arriba abajo; (2) para cada posición que anulas, calcula $m=\dfrac{\text{elemento a anular}}{\text{pivote}}$ y haz $F_i\to F_i-m\,F_j$; (3) apunta ese mismo $m$ (con su signo, tal cual lo restaste) en la posición $(i,j)$ de $L$. Diagonal de $L$ = unos; encima de la diagonal, ceros.

Animación: $A=LU$ paso a paso y resolución de $AX=B$ (Ejemplos 1.34 y 1.36 de U)

Pulsa «Siguiente» (o «Reproducir»): en cada paso verás el multiplicador $m$ que se calcula, la operación sobre $U$ y cómo ese mismo $m$ aparece en $L$. Después se resuelve $LY=B$ (de arriba abajo) y $UX=Y$ (de abajo arriba). Puedes cambiar $A$ y $B$ con «✎ Cambiar A y B».

Ejemplo 1.33 de U — $2\times2$, el caso más simple

$A=\begin{pmatrix}3&2\\1&1\end{pmatrix}$. $F_2\to F_2-\frac13F_1$: $(1,1)-\frac13(3,2)=(0,\frac13)$. Así $$U=\begin{pmatrix}3&2\\0&\frac13\end{pmatrix},\qquad L=\begin{pmatrix}1&0\\\frac13&1\end{pmatrix}$$ (el multiplicador usado fue $-\frac13$; en $L$ va con el signo cambiado, $+\frac13$). Comprobación: $LU=\begin{pmatrix}3&2\\1&1\end{pmatrix}=A$ ✓.

U p.46-47

Ejemplo 1.34 de U — $3\times3$

$A=\begin{pmatrix}2&2&2\\4&7&7\\6&18&22\end{pmatrix}$ ($\det A=24$). $F_2\to F_2-2F_1$: $(0,3,3)$; $F_3\to F_3-3F_1$: $(0,12,16)$; $F_3\to F_3-4F_2$: $(0,0,4)$: $$U=\begin{pmatrix}2&2&2\\0&3&3\\0&0&4\end{pmatrix},\qquad L=\begin{pmatrix}1&0&0\\2&1&0\\3&4&1\end{pmatrix}.$$ Los multiplicadores fueron $-2$, $-3$, $-4$: en $L$ van con el signo cambiado, en la posición que anularon.

U p.47-48

Ejemplo 1.35 de U — con fracciones

$A=\begin{pmatrix}4&-2&1\\-3&-1&4\\1&-1&2\end{pmatrix}$ ($\det A=-8$). Triangularizando con reemplazos se obtiene $$U=\begin{pmatrix}4&-2&1\\0&-\frac52&\frac{19}{4}\\0&0&\frac45\end{pmatrix},\qquad L=\begin{pmatrix}1&0&0\\-\frac34&1&0\\\frac14&\frac15&1\end{pmatrix}.$$

U p.48

Resolver $AX=B$ con $L$ y $U$ ya calculadas

Como $A=LU$: $AX=B\iff LUX=B$. Llamando $Y=UX$, se resuelve en dos pasos, ambos triangulares y por tanto muy baratos:

PASO 1: resolver $LY=B$ (sustitución progresiva, de la primera ecuación hacia abajo, porque $L$ es triangular inferior).
PASO 2: resolver $UX=Y$ (retrosustitución, de la última ecuación hacia arriba, porque $U$ es triangular superior).

U p.49

Ejemplo 1.36 de U — aplicando $L$ y $U$ del Ejemplo 1.34

Con $A,L,U$ del Ejemplo 1.34 y $B=(2,2,1)^t$: resolviendo $LY=B$ (progresiva): $y_1=2$; $2y_1+y_2=2\Rightarrow y_2=-2$; $3y_1+4y_2+y_3=1\Rightarrow y_3=1-6+8=3$: $Y=(2,-2,3)^t$. Resolviendo $UX=Y$ (retrosustitución): $4z=3\Rightarrow z=\frac34$; $3y+3z=-2\Rightarrow y=-\frac23-\frac34=-\frac{17}{12}$; $2x+2y+2z=2\Rightarrow x=1-y-z=1+\frac{17}{12}-\frac34=\frac53$: $$X=\left(\tfrac53,-\tfrac{17}{12},\tfrac34\right)^t.$$

U p.49

Error típico

Resolver $UY=B$ y luego $LX=Y$: el orden está cambiado. Como $A=LU$, primero hay que «deshacer» $L$ (la que está más a la izquierda en $LU X=B$): se resuelve $LY=B$ primero, y $UX=Y$ después (ver el Ejercicio 1.44).

9Factorización $LU$ permutada y usos de $LU$ U p.50-51

Cuándo NO existe la $LU$ sin permutar

Si al triangularizar $A$ aparece un $0$ en la posición del pivote y no se puede arreglar sin intercambiar filas, la factorización $LU$ (tal como se ha definido) no existe. Ejemplo mínimo (propio): $A=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ es regular ($\det A=-1$), pero si $A=LU$ con $L=\begin{pmatrix}1&0\\l&1\end{pmatrix}$, la entrada $(1,1)$ obligaría a $u_{11}=0$ y la $(2,1)$ a $l\,u_{11}=1$, es decir $0=1$: imposible. El remedio es permutar filas primero.

U p.50 P

Animación: cuándo falla la $LU$ sin permutar

Esta $A$ tiene un $0$ donde debería ir el primer pivote: la animación se detiene y avisa. Cambia un valor (p. ej. $a_{11}=1$) con «✎ Cambiar A y B» y verás cómo ya sí se puede factorizar.

$LU$ permutada

Cuando hace falta intercambiar filas, se busca una matriz de permutación $P$ (la identidad con las mismas filas reordenadas que se aplicaron a $A$) tal que $PA$ sí se pueda triangularizar sin más intercambios: $PA=LU$. (Dato adicional, no imprescindible para el examen: si $A$ es regular, existe $LU$ sin permutar $\iff$ todos sus menores principales —los que se forman con las primeras $k$ filas y columnas, para $k=1,\dots,n$— son no nulos.)

U p.50

Ejemplo 1.37 de U — $PA=LU$ y resolución de $AX=B$

$A=\begin{pmatrix}0&-2&1\\3&1&4\\1&1&2\end{pmatrix}$, $B=(0,3,1)^t$. $F_1\leftrightarrow F_2$ da $PA=\begin{pmatrix}3&1&4\\0&-2&1\\1&1&2\end{pmatrix}$. Triangularizando: $U=\begin{pmatrix}3&1&4\\0&-2&1\\0&0&1\end{pmatrix}$, $L=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\\frac13&-\frac13&1\end{pmatrix}$. Para resolver $AX=B$: como $PA=LU$, se tiene $AX=B\iff PAX=PB\iff LUX=PB$ (¡se permuta también $B$!). Con $PB=(3,0,1)^t$: $LY=PB$ da $Y=(3,0,0)^t$; $UX=Y$ da $X=(1,0,0)^t$.

U p.50-51

Error típico

Resolver $LY=B$ en lugar de $LY=PB$: al permutar $A$, hay que permutar $B$ exactamente igual (con la misma $P$), o el sistema que se resuelve ya no es el original.

Otros usos de $LU$

Inversa: $A^{-1}=U^{-1}L^{-1}$ (invertir dos triangulares, cada una más barata que invertir $A$ directamente).
Determinante: $\det(A)=\det(L)\det(U)=1\cdot\det(U)$ (porque $\det L=1$, producto de la diagonal), y $\det(U)$ es simplemente el producto de la diagonal de $U$. Con $PA=LU$: $\det(P)\det(A)=\det(U)$, y $\det P=\pm1$ según la paridad de la permutación.

U p.51

10Qué usar cuándo P

Situación	Método recomendado	Por qué
Resolver un sistema $AX=B$ concreto	Gauss	El más barato ($\sim n^3/3$); no necesitas la escalonada reducida.
Calcular la matriz inversa $A^{-1}$	Gauss-Jordan sobre $(A\mid I)$	Da directamente $(I\mid A^{-1})$; el coste extra frente a Gauss se compensa porque ya obtienes toda la inversa, no solo una solución.
Resolver varios sistemas $AX=B_1,B_2,\dots$ con la misma $A$	Factorización $LU$ (calculada una sola vez)	El trabajo caro (triangularizar $A$) se hace una vez; cada $B_i$ nuevo solo cuesta $\sim n^2$ (dos sustituciones triangulares).
Sistema con parámetros, pequeño y cuadrado ($n\le3$)	Cramer, o determinante + rango de menores	Aprovecha lo visto en 1.3; solo donde $\|A\|\neq0$; en los valores que anulan $\|A\|$, usar rangos de la ampliada (evita escalonar con parámetros, aunque para $n$ grande Gauss con parámetros es más manejable).
Necesitas $\det A$ y ya tienes $A=LU$ (o vas a resolver sistemas de todos modos)	$\det A=\det U$ (producto de la diagonal de $U$)	Gratis a partir de la factorización, sin desarrollar por adjuntos.
Sistema con parámetro que puede anular un pivote	Gauss/Gauss-Jordan discutiendo el pivote (no dividir por una expresión que se puede anular)	Evita perder el caso especial al dividir prematuramente entre una expresión con el parámetro (Ejercicio 1.40).

Requisito de $LU$ (recordatorio)

$LU$ (sin permutar) exige poder triangularizar $A$ solo con reemplazos, sin intercambiar filas. Si un pivote sale $0$ y no se puede evitar el intercambio, hay que usar la versión permutada $PA=LU$ (§9) y recordar permutar también $B$.

11Ejercicios del libro, resueltos

Ejercicio 1.30 E p.30

Se pide elegir la opción correcta, si existe: A) Un sistema homogéneo es siempre compatible determinado. B) Existe una solución común a cualquier sistema homogéneo. C) Un sistema homogéneo puede ser incompatible.

Un sistema es homogéneo si $B=0$: $AX=0$.
B es cierta: $X=0$ cumple $A\cdot0=0$ para cualquier $A$, así que es solución de todos los homogéneos.
C es falsa: la ampliada es $(A\mid0)$; añadir una columna de ceros nunca crea un pivote nuevo, así que $\operatorname{rang}(A)=\operatorname{rang}(A\mid0)$ siempre: un homogéneo es siempre compatible (§2).
A es falsa: compatible determinado exige $\operatorname{rang}(A)=n$. Contraejemplo: $x+y=0$ tiene $\operatorname{rang}(A)=1<2$ e infinitas soluciones $(\lambda,-\lambda)$.

Respuesta: B.

Receta: homogéneo $\Rightarrow$ siempre compatible ($X=0$ es solución); determinado $\iff\operatorname{rang}(A)=n$; si no, indeterminado.

Error típico: pensar que «homogéneo» significa «solo la solución nula»: eso solo ocurre si $\operatorname{rang}(A)=n$.

Ejercicio 1.31 E p.30

Los valores de $a$ y $b$ que hacen que el sistema $(a-1)x+2y=0,\ (a+b)x-y=0,\ bx-4y=0$ sea compatible e indeterminado cumplen la condición: A) $a+b=1$. B) $a+b=-1$.

Homogéneo, $m=3$, $n=2$: siempre compatible (Ejercicio 1.30); solo falta ver cuándo es indeterminado, es decir, $\operatorname{rang}(A)<2$ con $A=\begin{pmatrix}a-1&2\\a+b&-1\\b&-4\end{pmatrix}$.
El rango no puede ser $0$ (columna 2 no nula), así que hace falta $\operatorname{rang}(A)=1$: los tres menores de orden 2 deben anularse. $$\begin{vmatrix}a-1&2\\a+b&-1\end{vmatrix}=-3a-2b+1=0,\quad\begin{vmatrix}a-1&2\\b&-4\end{vmatrix}=-4a-2b+4=0,\quad\begin{vmatrix}a+b&-1\\b&-4\end{vmatrix}=-4a-3b=0.$$
Restando las dos primeras: $a-3=0\Rightarrow a=3$; sustituyendo en la primera: $b=-4$. Se comprueba en la tercera: $-12+12=0$ ✓.
$a+b=3-4=-1$. Respuesta: B.

Matiz

B es una condición necesaria, no suficiente: $a=0,b=-1$ también cumple $a+b=-1$ pero el menor $\begin{vmatrix}-1&2\\-1&-1\end{vmatrix}=3\neq0$ y el sistema es determinado. La única pareja que realmente da rango 1 es $a=3,b=-4$.

Receta: homogéneo con $n$ incógnitas: indeterminado $\iff\operatorname{rang}(A)\lt n$. Si $A$ no es cuadrada, anular todos los menores de orden $n$ y resolver ese sistema de parámetros.

Error típico: anular un solo menor de orden 2 (eso solo da una condición necesaria, no garantiza rango 1).

Ejercicio 1.32 E p.31

El sistema $2x+3y-z=2,\ bx+ay+2z=0,\ 5x+5y+z=0$ es: A) compatible indeterminado si $a=2$ y $b\neq3$. B) compatible determinado si $a\neq2$ y $b=3$. C) incompatible si $a=2$ y $b=5$.

$A=\begin{pmatrix}2&3&-1\\b&a&2\\5&5&1\end{pmatrix}$, $n=3$. Desarrollando por la primera fila: $|A|=7a-8b+10$.
$\operatorname{rang}(A)\ge2$ siempre (el menor $\begin{vmatrix}2&3\\5&5\end{vmatrix}=-5\neq0$ no depende de los parámetros).
A) $a=2,b\neq3$: $|A|=8(3-b)\neq0\Rightarrow$ determinado, no indeterminado. Falsa.
B) $a\neq2,b=3$: $|A|=7(a-2)\neq0\Rightarrow\operatorname{rang}(A)=3=\operatorname{rang}(A\mid B)=n\Rightarrow$ compatible determinado. Cierta.
C) $a=2,b=5$: $|A|=14-40+10=-16\neq0\Rightarrow$ determinado, no incompatible. Falsa.

Respuesta: B. (Se puede comprobar además que el único caso realmente indeterminado es $a=b=10$, que anula $|A|$ y hace coincidir los rangos en 2; para el resto de valores que anulan $|A|$ es incompatible.)

Receta: sistema cuadrado con parámetros: calcula $|A|$; donde $|A|\neq0$, determinado; en los valores que lo anulan, compara rangos de $A$ y $(A\mid B)$ con menores de la ampliada.

Error típico: concluir «incompatible» solo porque $|A|=0$, sin mirar el rango de la ampliada.

Ejercicio 1.33 E p.32

Calcúlese el conjunto de soluciones de los sistemas de los Ejercicios 1.31 y 1.32 según sus parámetros.

1.31, caso $a=3,b=-4$ (indeterminado): las tres ecuaciones son múltiplos de $x+y=0$ (Teorema 1.5); con $x=\alpha$: $\{(\alpha,-\alpha):\alpha\in\mathbb R\}$.
1.31, resto de casos: $\operatorname{rang}(A)=2=n\Rightarrow$ solo la solución trivial $\{(0,0)\}$.
1.32, caso $7a-8b+10\neq0$ (determinado, sistema cuadrado con $|A|\neq0$): por Cramer, $$x=\frac{2a-20}{7a-8b+10},\quad y=\frac{20-2b}{7a-8b+10},\quad z=\frac{10b-10a}{7a-8b+10}.$$
1.32, caso $a=b=10$ (indeterminado): la 2ª ecuación es el doble de la 3ª; el sistema equivale a $2x+3y-z=2,\ 5x+5y+z=0$. Con $z=5\mu$: $x+y=-\mu$ y $7x+8y=2$ dan $y=2+7\mu,\ x=-2-8\mu$: $$\{(-2-8\mu,\,2+7\mu,\,5\mu):\mu\in\mathbb R\}.$$
1.32, caso $7a-8b+10=0$ y $a\neq10$ (incompatible): conjunto de soluciones $\varnothing$.

Receta: primero clasifica por rangos; determinado cuadrado → Cramer o Gauss; indeterminado → elimina ecuaciones redundantes, escalona y toma como parámetros las incógnitas sin pivote; incompatible → $\varnothing$.

Error típico: aplicar Cramer con $|A|=0$, u olvidar mencionar el caso incompatible ($\varnothing$) al dar la lista completa según los parámetros.

Ejercicio 1.34 E p.33

Compruébese si son equivalentes: $S_1:\ 2x+4y-3z=-2,\ x+2y-z=-1,\ 8x+16y-11z=-8$; $S_2:\ 3x+6y-4z=-3,\ 2x+4y-2z=-2,\ 5x+10y-7z=-5$; $S_3:\ 2x+4y-3z=-2,\ x+2y-z=-1$; $S_4:\ x-y=2,\ 2x-2y=4$.

Dos sistemas son equivalentes si tienen las mismas soluciones (Definición 1.7); basta llevar una ampliada a la otra por operaciones elementales (Teorema 1.5).
$S_1\equiv S_2$: partiendo de $(A_1\mid B_1)$, con $F_1\to F_1+F_2$, luego $F_2\to2F_2$, luego $F_3\to F_3-F_1$, se llega exactamente a $(A_2\mid B_2)$.
$S_1\equiv S_3$: la tercera ecuación de $S_1$ es combinación de las otras dos, $E_3=3E_1+2E_2$ (se comprueba restando). Con $F_3\to F_3-3F_1$ y $F_3\to F_3-2F_2$ queda la ecuación $0=0$, que se puede suprimir sin cambiar las soluciones: queda exactamente $S_3$.
Resolviendo $S_3$ ($E_1-2E_2$ da $z=0$, y $x+2y=-1$): soluciones de $S_1,S_2,S_3$: $\{(-1-2\lambda,\lambda,0):\lambda\in\mathbb R\}$.
$S_4$ tiene solo dos incógnitas $(x,y)$: sus soluciones no viven en el mismo espacio que las de $S_1,S_2,S_3$ (ternas $(x,y,z)$); no es equivalente a ninguno.

Receta: para comprobar equivalencia entre sistemas con las mismas incógnitas, escalona (o reduce) ambas ampliadas y compara, o resuelve ambos y compara los conjuntos de soluciones.

Error típico: creer que sistemas con distinto número de ecuaciones no pueden ser equivalentes (las ecuaciones redundantes no cambian el conjunto de soluciones).

Ejercicio 1.35 E p.34

Las ecuaciones $x=2\alpha,\ y=\beta-1,\ z=\alpha-\beta$ ($\alpha,\beta\in\mathbb R$) son paramétricas de un sistema. Calcúlense unas ecuaciones cartesianas.

Hay 3 incógnitas y 2 parámetros independientes (la matriz de sus coeficientes $\begin{pmatrix}2&0\\0&1\\1&-1\end{pmatrix}$ tiene rango 2), así que hace falta $3-2=1$ ecuación cartesiana.
Vía directa: de la 1ª, $\alpha=x/2$; de la 2ª, $\beta=y+1$; sustituyendo en la 3ª: $z=\frac x2-y-1$, es decir, $2z-x+2y=-2$.
Vía rangos (equivalente): $(x,y,z)$ pertenece al conjunto si el sistema en $\alpha,\beta$ dado por $2\alpha=x,\ \beta=y+1,\ \alpha-\beta=z$ es compatible, es decir, si $\operatorname{rang}\begin{pmatrix}2&0&x\\0&1&y+1\\1&-1&z\end{pmatrix}=2$, lo que equivale a $\det=0$: $2z-x+2(y+1)=0$, la misma ecuación.

$$\boxed{2z-x+2y=-2}$$

Receta: paramétricas → cartesianas: nº de ecuaciones $=n-$(nº de parámetros independientes); eliminar parámetros por sustitución, o imponer que el sistema en los parámetros sea compatible.

Error típico: olvidar el término independiente (el conjunto no pasa por el origen: con $\alpha=\beta=0$ se obtiene $(0,-1,0)$, no $(0,0,0)$).

Ejercicio 1.36 E p.35

Calcúlense las ecuaciones paramétricas del sistema $x-y+2z=2,\ y-3z=1,\ 2x-3y+7z=3$.

$(A\mid B)=\left(\begin{array}{ccc|c}1&-1&2&2\\0&1&-3&1\\2&-3&7&3\end{array}\right)$. $F_3\to F_3-2F_1$: $(0,-1,3,-1)$; $F_3\to F_3+F_2$: $(0,0,0,0)$.
$\operatorname{rang}(A)=\operatorname{rang}(A\mid B)=2<3$: compatible indeterminado, $1$ parámetro.
Columnas con pivote: $x,y$; sin pivote: $z$, que se toma como parámetro, $z=\lambda$.
Retrosustitución: $y=1+3\lambda$; $x=2+y-2z=3+\lambda$.

$$\begin{cases}x=3+\lambda\\y=1+3\lambda\\z=\lambda\end{cases}\quad\lambda\in\mathbb R$$

Receta: cartesianas → paramétricas: escalona la ampliada, comprueba compatibilidad, toma como parámetros las incógnitas de columnas sin pivote y despeja el resto de abajo arriba.

Error típico: escribir paramétricas sin comprobar antes que $\operatorname{rang}(A)=\operatorname{rang}(A\mid B)$, o usar $n-m$ en vez de $n-\operatorname{rang}(A)$ para contar los parámetros.

Ejercicio 1.37 E p.36

Resuélvase por el método de Gauss el sistema $2x-y+z=8,\ -x+y-3z=2,\ 2x-3y+5z=3$.

$(A\mid B)=\left(\begin{array}{ccc|c}2&-1&1&8\\-1&1&-3&2\\2&-3&5&3\end{array}\right)$. Normalizar $F_1\to\frac12F_1$: $(1,-\frac12,\frac12,4)$.
$F_2\to F_2+F_1$: $(0,\frac12,-\frac52,6)$; $F_3\to F_3-2F_1$: $(0,-2,4,-5)$.
Normalizar $F_2\to2F_2$: $(0,1,-5,12)$; anular debajo: $F_3\to F_3+2F_2$: $(0,0,-6,19)$.
Normalizar $F_3\to-\frac16F_3$: $(0,0,1,-\frac{19}{6})$: $$\left(\begin{array}{ccc|c}1&-\frac12&\frac12&4\\0&1&-5&12\\0&0&1&-\frac{19}{6}\end{array}\right).$$
Tres pivotes: compatible determinado. Retrosustitución: $z=-\frac{19}{6}$; $y=12+5z=-\frac{23}{6}$; $x=4+\frac12y-\frac12z=\frac{11}{3}$.

$$\boxed{x=\tfrac{11}{3},\ y=-\tfrac{23}{6},\ z=-\tfrac{19}{6}}$$

Receta: Gauss por columnas: (i) pivote no nulo, intercambiando filas si hace falta; (ii) normalizarlo; (iii) anular lo de debajo; al final, retrosustitución.

Error típico: errores de signo con fracciones. Truco: se puede posponer la normalización y usar reemplazos con enteros (aquí, $F_2\to2F_2+F_1$ y $F_3\to F_3-F_1$ evitan fracciones hasta el final).

Ejercicio 1.38 E p.37-38

En la descomposición $LU$ de $A=\begin{pmatrix}1&2&-1\\-1&2&-3\\3&-1&-2\end{pmatrix}$, la matriz $L$ es: A) $\begin{pmatrix}1&0&0\\-1&1&0\\3&-\frac74&1\end{pmatrix}$. B) $\begin{pmatrix}-1&0&0\\-1&1&0\\3&-7&1\end{pmatrix}$. C) $\begin{pmatrix}0&1&0\\1&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$.

$L$ debe ser triangular inferior con unos en la diagonal: B tiene $-1$ en $(1,1)$, y C tiene un $0$ en la diagonal y un $1$ por encima: ambas descartadas por definición.
PASO 1, hallar $U$ (solo reemplazos, sin normalizar): $F_2\to F_2+F_1$ da $(0,4,-4)$; $F_3\to F_3-3F_1$ da $(0,-7,1)$; $F_3\to F_3+\frac74F_2$ da $(0,0,-6)$: $$U=\begin{pmatrix}1&2&-1\\0&4&-4\\0&0&-6\end{pmatrix}.$$ Sin intercambios de fila: la factorización existe (y es única, porque $\det A=-24\neq0$).
PASO 2, hallar $L$: en cada posición, el multiplicador usado con el signo cambiado: $F_2\to F_2+F_1$ (multiplicador $+1$) $\Rightarrow l_{21}=-1$; $F_3\to F_3-3F_1$ (multiplicador $-3$) $\Rightarrow l_{31}=3$; $F_3\to F_3+\frac74F_2$ (multiplicador $+\frac74$) $\Rightarrow l_{32}=-\frac74$: $$L=\begin{pmatrix}1&0&0\\-1&1&0\\3&-\frac74&1\end{pmatrix}.$$

Respuesta: A. (Comprobación: la fila 3 de $LU$ da $(3,-1,-2)$, la fila 3 de $A$ ✓.)

Erratas de E

En el texto explicativo de E hay dos erratas de signo al describir las operaciones inversas (dice «multiplicada por $-3$» donde debería ser «por $3$», y «multiplicada por $\frac74$» donde debería ser «por $-\frac74$»); las matrices $E_2^{-1},E_3^{-1}$ y $L$ que da E sí son correctas.

Receta: $LU$ sin intercambios: triangulariza $A$ con reemplazos $F_i\to F_i+\lambda F_j$ ($j\lt i$, sin normalizar) para obtener $U$; en $L$ (unos en la diagonal) coloca $-\lambda$ en la posición $(i,j)$ correspondiente.

Error típico: poner en $L$ el multiplicador con su mismo signo, o normalizar los pivotes (entonces $U$ ya no coincide con la de esta factorización).

Ejercicio 1.39 E p.39

El sistema $x+by+z=1,\ y+az=b,\ x+(b-1)y+2z=1$ es compatible indeterminado cuando $a$ y $b$ valen: A) $a=-1,\ b\neq0$. B) $a\neq-1,\ b\neq0$. C) $a=b=-1$. D) Otros.

$A=\begin{pmatrix}1&b&1\\0&1&a\\1&b-1&2\end{pmatrix}$; $\operatorname{rang}(A)\ge2$ siempre (el menor $\begin{vmatrix}1&b\\0&1\end{vmatrix}=1\neq0$).
$|A|$: $F_3\to F_3-F_1$ da $\begin{vmatrix}1&b&1\\0&1&a\\0&-1&1\end{vmatrix}=a+1$. Indeterminado exige $\operatorname{rang}(A)<3$, es decir $a=-1$ (esto ya descarta B).
Con $a=-1$, los otros tres menores de orden 3 de la ampliada que usan la columna $B$ valen (columnas 2,3,4): $-b(b+1)$; (columnas 1,3,4): $-b$; (columnas 1,2,4): $b$. Los tres se anulan a la vez si y solo si $b=0$. Así, con $a=-1$: $b=0\Rightarrow\operatorname{rang}(A\mid B)=2=\operatorname{rang}(A)\Rightarrow$ indeterminado; $b\neq0\Rightarrow\operatorname{rang}(A\mid B)=3\neq2\Rightarrow$ incompatible.
La condición real es exactamente $a=-1$ y $b=0$, que no coincide con ninguna de A ($b\neq0$, incompatible), B (determinado) ni C ($a=b=-1$, que también da $b\neq0$, incompatible).

Respuesta: D.

Receta: igual que en 1.32: usa $|A|$ para localizar dónde baja el rango; en esos valores, menores de la ampliada para decidir entre compatible e incompatible.

Error típico: marcar A o C basándose solo en $|A|=0$, sin comprobar el rango de la ampliada.

Ejercicio 1.40 E p.40

Clasifíquese el sistema del Ejercicio 1.39 según $a,b$ mediante eliminación gaussiana.

Escalonar solo con reemplazos (sin dividir por expresiones con parámetros): $(A\mid B)\xrightarrow{F_3\to F_3-F_1}\left(\begin{array}{ccc|c}1&b&1&1\\0&1&a&b\\0&-1&1&0\end{array}\right)\xrightarrow{F_3\to F_3+F_2}\left(\begin{array}{ccc|c}1&b&1&1\\0&1&a&b\\0&0&1+a&b\end{array}\right)$.
Sistema equivalente: $x+by+z=1,\ y+az=b,\ (1+a)z=b$. La discusión gira en torno al último pivote, $1+a$.
$a\neq-1$: tres pivotes, compatible determinado: $z=\frac b{1+a}$; $y=\frac b{1+a}$; $x=\frac{1+a-b^2-b}{1+a}$.
$a=-1$, $b\neq0$: última fila $(0,0,0\mid b)$ con $b\neq0$: incompatible.
$a=-1$, $b=0$: última fila nula: compatible indeterminado, $x+z=1,\ y-z=0$; con $z=\alpha$: $x=1-\alpha,\ y=\alpha,\ z=\alpha$.

Valores	$\operatorname{rang}A$	$\operatorname{rang}(A\mid B)$	Tipo
$a\neq-1$	3	3	Compatible determinado
$a=-1,\ b=0$	2	2	Compatible indeterminado
$a=-1,\ b\neq0$	2	3	Incompatible

Receta: con parámetros, escalona preferentemente con operaciones que no dividan por expresiones con parámetros; al final, discute los pivotes que dependen de ellos y, si se anulan, mira el término independiente de esa fila.

Error típico: dividir por $1+a$ antes de discutir el caso $a=-1$.

Ejercicio 1.41 E p.41

Si $AX=B$, elíjase la opción correcta: A) con 5 incógnitas, 4 ecuaciones y $\operatorname{rang}A=4$, el sistema es compatible y su solución se puede hallar por Gauss-Jordan. B) si $A$ es regular, el sistema es compatible determinado. C) si la ampliada tiene 4 columnas, $B=(0,0,0)^t$ y $\operatorname{rang}A=2$, el sistema solo tiene la solución nula.

B es cierta: «regular» significa $A$ cuadrada $n\times n$ con $\operatorname{rang}(A)=n$; entonces $\operatorname{rang}(A\mid B)$ está entre $n$ y $n$ (la ampliada tiene $n$ filas), así $\operatorname{rang}(A)=\operatorname{rang}(A\mid B)=n$: compatible determinado, $X=A^{-1}B$.
C es falsa: ampliada con 4 columnas $\Rightarrow n=3$ incógnitas; $B=(0,0,0)^t\Rightarrow$ homogéneo, siempre compatible; $\operatorname{rang}(A)=2<3\Rightarrow$ indeterminado, con infinitas soluciones (no solo la nula).
A, análisis: $A$ es $4\times5$ con $\operatorname{rang}A=4$; la ampliada tiene 4 filas, así $\operatorname{rang}(A\mid B)\le4$ y $\ge\operatorname{rang}(A)=4$: es $4$, luego compatible; pero $4<5=n$, así que es indeterminado, no determinado. El enunciado literal de A solo dice «compatible y se puede hallar por Gauss-Jordan», lo que es cierto (Gauss-Jordan también da la solución general de un indeterminado); si se lee «su solución» como «su única solución», sería falsa.

Respuesta (según E): B; A es falsa si «su solución» se entiende como «su única solución» — leída literalmente, A es cierta (B sigue siendo la única respuesta cierta sin ambigüedad).

Receta: $n=$ columnas de $A=$ columnas de la ampliada $-1$; si $\operatorname{rang}A=m$ (máximo por filas), compatible; si además $m\lt n$, indeterminado. Regular $\Rightarrow$ cuadrada de rango máximo $\Rightarrow$ determinado.

Error típico: confundir el número de columnas de la ampliada con el de incógnitas (hay una menos).

Ejercicio 1.42 E p.42

Usando que el producto de triangulares superiores (resp. inferiores) es triangular superior (resp. inferior), y que si además son regulares sus inversas también lo son, demuéstrese que si $A$ es regular y tiene factorización $LU$, esta es única.

Supongamos $A=L_1U_1=L_2U_2$. Todas son regulares: $\det L_i=1\neq0$ (triangular con unos en la diagonal), y de $\det A=\det L_i\det U_i\neq0$ se sigue $\det U_i\neq0$.
De $L_1U_1=L_2U_2$: multiplicando por $L_2^{-1}$ a la izquierda y $U_1^{-1}$ a la derecha, $T:=L_2^{-1}L_1=U_2U_1^{-1}$.
$T$ es triangular inferior (producto de $L_2^{-1}$ y $L_1$, ambas triangulares inferiores) y triangular superior (producto de $U_2$ y $U_1^{-1}$): por tanto $T$ es diagonal.
La diagonal de $T$ es de unos: si $M,N$ son triangulares inferiores, $(MN)_{ii}=m_{ii}n_{ii}$ (los demás términos de la suma se anulan por la estructura triangular); aplicado a $L_2L_2^{-1}=I$ con $(L_2)_{ii}=1$, resulta $(L_2^{-1})_{ii}=1$, y entonces $T_{ii}=(L_2^{-1})_{ii}(L_1)_{ii}=1$.
$T=I\Rightarrow L_2^{-1}L_1=I\Rightarrow L_1=L_2$, y $U_2U_1^{-1}=I\Rightarrow U_2=U_1$.

Aviso sobre E

E no justifica por qué $L_2^{-1}L_1$ tiene unos en la diagonal (el paso 4, imprescindible para pasar de «$T$ diagonal» a «$T=I$»), y escribe la igualdad final al revés ($U_2^{-1}U_1=I$ cuando lo obtenido es $U_2U_1^{-1}=I$; ambas implican $U_1=U_2$, pero conviene citar la que realmente se dedujo).

Receta: unicidad de factorizaciones: igualar las dos, pasar los factores de un tipo a un lado y los del otro al otro lado, y observar que el resultado pertenece a dos clases (triangular superior e inferior) cuya intersección con diagonal fija es solo $\{I\}$.

Error típico: usar $U_1^{-1}$ sin haber probado antes que $U_1$ es regular.

Ejercicio 1.43 E p.43

La factorización $LU$ de una matriz $A$ cuadrada verifica: A) siempre existe. B) permite resolver sistemas mediante sistemas triangulares. C) permite calcular $\det A$ vía $\det U$. D) ninguna de las anteriores.

A es falsa: $LU$ (sin permutar) exige poder triangularizar $A$ solo con reemplazos. Contraejemplo: $A=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ es regular ($\det A=-1$) pero no admite $LU$: si $A=LU$, la posición $(1,1)$ obliga a $u_{11}=0$ y la $(2,1)$ a $l\,u_{11}=1$, es decir $0=1$.
B es cierta: $AX=B\iff LUX=B$; resolviendo $LY=B$ (sustitución progresiva) y luego $UX=Y$ (retrosustitución), ambos triangulares.
C es cierta: $\det A=\det L\det U=1\cdot\det U$, y $\det U$ es el producto de su diagonal.

Respuesta: B y C (varias ciertas). D es falsa.

Aviso sobre E

E escribe la operación de reemplazo como «$F_i\leftrightarrow F_i+\lambda F_j$»; la notación correcta es $F_i\to F_i+\lambda F_j$ (la flecha $\leftrightarrow$ se reserva para intercambios de filas, un tipo de operación distinto).

Receta: recuerda los usos de $LU$: resolver $AX=B$ con dos sistemas triangulares, $\det A=\det U$, $A^{-1}=U^{-1}L^{-1}$; y que puede no existir sin permutar filas.

Error típico: pensar que toda matriz regular tiene factorización $LU$ (el contraejemplo del paso 1 es regular y no la tiene).

Ejercicio 1.44 E p.44

Calcúlese la factorización $LU$ de $A=\begin{pmatrix}2&-2&4\\1&-3&1\\3&7&5\end{pmatrix}$ para resolver $AX=(0,-5,7)^t$.

PASO 1, $U$ (reemplazos sin normalizar): $F_2\to F_2-\frac12F_1$: $(0,-2,-1)$; $F_3\to F_3-\frac32F_1$: $(0,10,-1)$; $F_3\to F_3+5F_2$: $(0,0,-6)$: $$U=\begin{pmatrix}2&-2&4\\0&-2&-1\\0&0&-6\end{pmatrix}.$$ Sin intercambios: $\det A=\det U=2(-2)(-6)=24\neq0$, la factorización existe y es única.
PASO 2, $L$ (multiplicadores con signo cambiado): $l_{21}=\frac12,\ l_{31}=\frac32,\ l_{32}=-5$: $$L=\begin{pmatrix}1&0&0\\\frac12&1&0\\\frac32&-5&1\end{pmatrix}.$$
Resolver $LY=B$ (progresiva): $y_1=0$; $\frac12y_1+y_2=-5\Rightarrow y_2=-5$; $\frac32y_1-5y_2+y_3=7\Rightarrow y_3=7-25=-18$: $Y=(0,-5,-18)^t$.
Resolver $UX=Y$ (retrosustitución): $-6z=-18\Rightarrow z=3$; $-2y-z=-5\Rightarrow y=1$; $2x-2y+4z=0\Rightarrow x=-5$.

$$\boxed{X=(-5,\,1,\,3)^t}$$ Comprobación: $2(-5)-2(1)+4(3)=0$ ✓; $-5-3+3=-5$ ✓; $-15+7+15=7$ ✓.

Receta: $AX=B$ con $LU$ ya conocidas: (1) $U$ por reemplazos; (2) $L$ con los multiplicadores cambiados de signo; (3) $LY=B$ de arriba abajo; (4) $UX=Y$ de abajo arriba.

Error típico: resolver $UY=B$ y $LX=Y$ (el orden contrario): como $A=LU$, primero se «deshace» $L$.

Ejemplos propios (dificultad creciente)

Ejemplo propio 1 — sistema $2\times2$ con parámetro que cambia de clasificación P

Clasifica y resuelve según $k\in\mathbb R$: $x+ky=1,\ kx+y=1$.

$A=\begin{pmatrix}1&k\\k&1\end{pmatrix}$, $|A|=1-k^2=(1-k)(1+k)$.
$k\neq\pm1$: $|A|\neq0$: compatible determinado. Por Cramer, $x=y=\dfrac1{1+k}$.
$k=1$: ambas ecuaciones son $x+y=1$: rango 1, compatible indeterminado; $(x,y)=(1-\lambda,\lambda)$: rectas coincidentes (§2).
$k=-1$: $x-y=1,\ -x+y=1$; sumando, $0=2$: incompatible. Rectas paralelas (§2).

Receta: con parámetros, calcula primero $|A|$ factorizado; en cada raíz, compara rangos (no supongas que todas las raíces se comportan igual).

Error típico: simplificar $\frac{1-k}{1-k^2}=\frac1{1+k}$ y pensar que solo $k=-1$ es «especial»: en $k=1$ la fórmula de Cramer directamente no es aplicable ($|A|=0$) y el sistema es indeterminado, no determinado con ese cociente.

Ejemplo propio 2 — factorización $LU$ permutada y resolución completa P

Sea $A=\begin{pmatrix}0&1&2\\1&1&1\\2&1&3\end{pmatrix}$, $B=(3,2,7)^t$. (a) Prueba que $A$ no admite $LU$ sin permutar. (b) Halla $P,L,U$ con $PA=LU$ y resuelve $AX=B$.

(a) Si $A=LU$, la posición $(1,1)$ da $u_{11}=a_{11}=0$ y la $(2,1)$ da $l_{21}u_{11}=a_{21}=1$: $0=1$, imposible. $A$ es regular ($\det A=-3$) pero necesita permutar.
(b) $F_1\leftrightarrow F_2$: $P=\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}$, $PA=\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&2\\2&1&3\end{pmatrix}$. $F_3\to F_3-2F_1$: $(0,-1,1)$; $F_3\to F_3+F_2$: $(0,0,3)$: $U=\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&2\\0&0&3\end{pmatrix}$, $L=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\2&-1&1\end{pmatrix}$.
$PB=(2,3,7)^t$ (se permutan sus dos primeras componentes, igual que las filas de $A$). $LY=PB$: $y_1=2,\ y_2=3,\ 2y_1-y_2+y_3=7\Rightarrow y_3=6$.
$UX=Y$: $3z=6\Rightarrow z=2$; $y+2z=3\Rightarrow y=-1$; $x+y+z=2\Rightarrow x=1$.

$$\boxed{X=(1,-1,2)^t}$$ Comprobación en $A$: $0-1+4=3$ ✓, $1-1+2=2$ ✓, $2-1+6=7$ ✓.

Receta: si $A$ no admite $LU$ directa, permuta filas para obtener $PA=LU$; al resolver, no olvides aplicar la misma $P$ a $B$: $LY=PB$, luego $UX=Y$.

Error típico: resolver $LY=B$ en lugar de $LY=PB$.

Ejemplo propio 3 — de paramétricas con 3 parámetros a cartesianas P

$x_1=\alpha,\ x_2=\beta,\ x_3=\alpha+\beta,\ x_4=2\alpha-\beta$ ($\alpha,\beta\in\mathbb R$). Halla las ecuaciones cartesianas.

4 incógnitas, 2 parámetros independientes (la matriz de coeficientes $\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\1&1\\2&-1\end{pmatrix}$ tiene rango 2): hacen falta $4-2=2$ ecuaciones cartesianas.
Eliminando: $\alpha=x_1,\ \beta=x_2$; sustituyendo en las otras dos: $x_3=x_1+x_2$ y $x_4=2x_1-x_2$.

$$\begin{cases}x_3-x_1-x_2=0\\x_4-2x_1+x_2=0\end{cases}$$

Receta: con parámetros «limpios» (uno igual a cada parámetro directamente), la eliminación por sustitución es más rápida que plantear rangos; cuenta primero cuántas ecuaciones cartesianas esperas ($n-$parámetros independientes) para saber cuándo parar.

12Ejemplos de examen X

Preguntas de exámenes de otros años que caen en este tema, agrupadas por método: (A) Rouché-Frobenius razonado, (B) sistemas equivalentes y paramétricas ↔ cartesianas, (C) sistemas con parámetro, (D) $LU$ y métodos numéricos. Las soluciones oficiales son muy breves; aquí se desarrolla el razonamiento completo (el examen puntúa el proceso). Dos errores recurrentes que los correctores señalan: (1) al anotar operaciones elementales hay que decir sobre qué fila se actúa: escribir $F_1\to F_1+F_2$, no «$F_1+F_2$» X Feb. 2026 (2.ª); (2) en las preguntas «resuelva», la solución debe darse en función del parámetro, no para un valor concreto X Feb. 2023 (2.ª).

A. Rouché-Frobenius razonado (V/F y clasificación)

Sept. 2023, pregunta 1 — clasificar $AX=B$ con $A\in\mathcal M_{5\times6}$ y $\operatorname{rang}A=5$ X Sept. 2023

Considere el sistema matricial $AX=B$ siendo $A\in\mathcal M_{5\times6}$ la matriz de coeficientes, $X\in\mathcal M_{6\times1}$ la de incógnitas y $B\in\mathcal M_{5\times1}$ la de términos independientes. Clasifique el sistema sabiendo que $\operatorname{rang}(A)=5$.

Datos. $m=5$ ecuaciones y $n=6$ incógnitas; la ampliada $(A\mid B)$ es de orden $5\times7$ (U p.29).
Cota inferior. $A$ es submatriz de $(A\mid B)$ (sus 6 primeras columnas), luego todo menor no nulo de $A$ lo es de $(A\mid B)$: $\operatorname{rang}(A\mid B)\ge\operatorname{rang}A=5$ (U p.27).
Cota superior. El rango no supera el número de filas y $(A\mid B)$ tiene 5: $\operatorname{rang}(A\mid B)\le5$.
Compatibilidad. $\operatorname{rang}A=\operatorname{rang}(A\mid B)=5$: por Rouché-Frobenius (U p.30) es compatible, para cualquier $B$.
Determinado o no. El rango común, $5$, es menor que $n=6$: compatible indeterminado con $n-5=1$ parámetro.

Resultado: compatible indeterminado con un parámetro.

Receta: si $\operatorname{rang}A=m$ (n.º de ecuaciones), el sistema es compatible para todo $B$ (la ampliada tiene $m$ filas y no puede subir de rango). Después se compara ese rango con $n$: igual, determinado; menor, indeterminado con $n-m$ parámetros.

Error típico: afirmar «$\operatorname{rang}(A\mid B)=5$» sin dar las dos desigualdades (≥ porque contiene a $A$; ≤ porque solo tiene 5 filas).

Feb. 2026 (2.ª sem.), pregunta 1 — 6 ecuaciones, 7 incógnitas, $\operatorname{rang}A=6$ X Feb. 2026 (2.ª)

Clasifique el sistema $AX=B$, si es posible, de manera razonada, sabiendo que tiene 6 ecuaciones, 7 incógnitas y $\operatorname{rang}(A)=6$.

$A\in\mathcal M_{6\times7}$ y $(A\mid B)\in\mathcal M_{6\times8}$.
$\operatorname{rang}(A\mid B)\ge\operatorname{rang}A=6$ (contiene a $A$) y $\operatorname{rang}(A\mid B)\le6$ (tiene 6 filas).
Luego $\operatorname{rang}A=\operatorname{rang}(A\mid B)=6\lt7=n$: por Rouché-Frobenius (U p.30), compatible indeterminado con $7-6=1$ parámetro.

Sí es posible clasificarlo sin conocer $B$, justo porque $\operatorname{rang}A$ ya es «máximo por filas».

Receta: la misma del ejemplo anterior: $\operatorname{rang}A=m\Rightarrow$ siempre compatible; luego comparar con $n$.

Error típico: responder «no se puede clasificar porque no se conoce $B$». $B$ solo importaría si $\operatorname{rang}A\lt m$.

Feb. 2024 (1.ª sem.), pregunta 1 — V/F: $\operatorname{rang}A=4$ y existe solución $\Rightarrow$ compatible determinado X Feb. 2024 (1.ª)

Sea $AX=B$ con $A\in\mathcal M_{7\times4}$, $X\in\mathcal M_{4\times1}$, $B\in\mathcal M_{7\times1}$. Justifique si es verdadera o falsa: «Si $\operatorname{rang}(A)=4$ y existe $X$ solución de $AX=B$, entonces el sistema es compatible determinado».

Datos: $m=7$ ecuaciones, $n=4$ incógnitas, $\operatorname{rang}A=4$. Aquí $\operatorname{rang}A$ no garantiza compatibilidad: $(A\mid B)$ es $7\times5$ y podría tener rango 5. Por eso se añade la hipótesis «existe solución».
Existe solución $\Rightarrow$ compatible (definición, U p.30) $\Rightarrow\operatorname{rang}(A\mid B)=\operatorname{rang}A=4$.
Determinado: el rango común es $4=n$: compatible determinado. Respuesta: VERDADERO.
Comprobación sin Rouché. Si $X_0,X_1$ son soluciones, $A(X_0-X_1)=0$; como $\operatorname{rang}A=n$, el homogéneo solo tiene la solución nula (U p.30), luego $X_0=X_1$.

Ejemplo que muestra por qué hace falta la hipótesis: $A=\begin{pmatrix}I_4\\0_{3\times4}\end{pmatrix}$. Con $B=(1,2,3,4,0,0,0)^t$ hay una única solución; con $B=(1,2,3,4,1,0,0)^t$, $\operatorname{rang}(A\mid B)=5$ y es incompatible.

Receta: «determinado» depende solo de $\operatorname{rang}A$ frente a $n$; «compatible» depende de $\operatorname{rang}(A\mid B)$. Con solución y $\operatorname{rang}A=n$, la solución es única.

Error típico: creer que $\operatorname{rang}A=n$ basta para tener solución cuando $m\gt n$: puede ser incompatible.

Feb. 2022 (tipo A), problema, apartado b) — $A$ ortogonal $m\times n$ $\Rightarrow$ $AX=B$ es compatible determinado o incompatible X Feb. 2022 (A)

Compruebe que si $A$ es una matriz ortogonal de orden $m\times n$, cualquier sistema $AX=B$ es compatible determinado o bien incompatible.

Aclaración. En U una matriz $A\in\mathcal M_{m\times n}$ es ortogonal si sus columnas forman un sistema ortonormal de $\mathbb R^m$ (Def. 5.13, U p.214), equivalente a $A^tA=I_n$ (Teorema 5.5, p.215); no tiene por qué ser cuadrada.

Rango de $A$. Un sistema ortonormal es linealmente independiente, luego las $n$ columnas de $A$ lo son y $\operatorname{rang}A=n$. (Con matrices: si $AX=0$, multiplicando por $A^t$ queda $A^tAX=X=0$; el homogéneo solo tiene la solución nula.)
Rouché-Frobenius (U p.30) con $n$ incógnitas. Como $\operatorname{rang}(A\mid B)\ge n$: si $\operatorname{rang}(A\mid B)=n=\operatorname{rang}A$, el sistema es compatible determinado; si $\operatorname{rang}(A\mid B)\neq\operatorname{rang}A$ (solo puede ser $n+1$, y únicamente si $m\gt n$), es incompatible.
No hay tercera opción: «compatible indeterminado» exigiría $\operatorname{rang}A\lt n$, imposible. ∎

Bonus. Si existe solución $X_0$, multiplicando $AX_0=B$ por $A^t$ se obtiene $X_0=A^tB$: es única y vale $A^tB$.

Ejemplo: $A=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\0&0\end{pmatrix}$ ($A^tA=I_2$). Con $B=(1,2,0)^t$: $\operatorname{rang}A=\operatorname{rang}(A\mid B)=2$, $X=A^tB=(1,2)^t$. Con $B=(1,2,3)^t$: $\operatorname{rang}(A\mid B)=3$, incompatible.

Receta: para probar que un sistema «nunca es indeterminado» basta probar $\operatorname{rang}A=n$ (columnas independientes, o $AX=0\Rightarrow X=0$); el resto lo da Rouché-Frobenius.

Error típico: suponer $A$ cuadrada (entonces siempre sería determinado); con $m\gt n$ puede ser incompatible.

B. Sistemas equivalentes y paramétricas ↔ cartesianas

Sept. 2022, ejercicio 1 — V/F: escalonada reducida única y sistemas equivalentes X Sept. 2022

Razonar si son ciertas: A) La matriz escalonada reducida de una matriz $A$ no es única; B) Se puede obtener un sistema equivalente a uno dado mediante transformaciones elementales en las ecuaciones que definen el sistema inicial.

A) FALSA (desarrollada en el tema 1.2). Una escalonada equivalente a $A$ no es única (se pueden multiplicar filas por escalares), pero la escalonada reducida sí lo es (U p.21).

B) VERDADERA (es el apartado de 1.4):

Definición 1.7 (U p.31): dos sistemas son equivalentes si tienen las mismas soluciones.
Transformaciones elementales con ecuaciones (U p.31-32): $E_i\leftrightarrow E_j$; $E_i\to\alpha E_i$ con $\alpha\neq0$; $E_i\to E_i+\alpha E_j$ ($j\neq i$). Cada una es una operación elemental por filas de $(A\mid B)$, es decir, multiplicar por una matriz elemental $E$ a la izquierda.
Teorema 1.5 (U p.32): si $(A'\mid B')=E_p\cdots E_1(A\mid B)$, entonces $AX=B$ y $A'X=B'$ son equivalentes. Porque las $E_i$ son regulares: $A'X_0=B'\iff E_p\cdots E_1AX_0=E_p\cdots E_1B\iff AX_0=B$.
Es el fundamento del método de Gauss (U p.38).

Receta: en V/F de teoría cita la definición (equivalente = mismas soluciones) y el teorema (1.5), y explica el porqué en una línea (las matrices elementales son invertibles).

Error típico: olvidar la condición $\alpha\neq0$: multiplicar una ecuación por $0$ la elimina y cambia el conjunto de soluciones.

Sept. 2018 (tipo A), ejercicio 1 — escribir dos sistemas equivalentes con ampliada $3\times4$ X Sept. 2018

Escribir dos sistemas de ecuaciones lineales equivalentes entre sí tales que las matrices ampliadas asociadas sean de dimensión $3\times4$, justificando la equivalencia.

Error en la solución oficial

La solución oficial parte de $S:\ 2x_1+x_2-x_3=1,\ 2x_1-x_2+x_3=2,\ x_1-3x_2=3$ y da como segundo sistema uno con la fila $-5x_2+x_3=5$. Pero la operación correcta $F_3\to2F_3-F_1$ da $-7x_2+x_3=5$. Comprobado: la única solución de $S$ es $(\tfrac34,-\tfrac34,-\tfrac14)$, mientras que los sistemas de la solución oficial tienen por solución $(\tfrac34,-\tfrac98,-\tfrac58)$, que no cumple la 3.ª ecuación de $S$ ($\tfrac34+\tfrac{27}8=\tfrac{33}8\neq3$). Es decir, el ejemplo oficial no es un par de sistemas equivalentes. Abajo, la versión corregida.

Sistema de partida y su ampliada ($3\times4$: 3 ecuaciones, 3 incógnitas y la columna de términos independientes, U p.29): $$S:\ \begin{cases}2x_1+x_2-x_3=1\\2x_1-x_2+x_3=2\\x_1-3x_2=3\end{cases}\qquad(A\mid B)=\left(\begin{array}{ccc|c}2&1&-1&1\\2&-1&1&2\\1&-3&0&3\end{array}\right).$$
Por qué basta con operaciones elementales. Por el Teorema 1.5 (U p.32), toda matriz obtenida de $(A\mid B)$ por operaciones elementales por filas es la ampliada de un sistema equivalente (Def. 1.7, p.31).
Anular la columna 1 bajo el pivote $2$.
- $F_2\to F_2-F_1$: $(2-2,\,-1-1,\,1+1\mid2-1)=(0,-2,2\mid1)$.
- $F_3\to2F_3-F_1$ (composición de $F_3\to2F_3$, tipo 2 con $\alpha=2\neq0$, y $F_3\to F_3-F_1$, tipo 3; se usa para evitar fracciones): $(2-2,\,-6-1,\,0+1\mid6-1)=(0,-7,1\mid5)$.
$$\left(\begin{array}{ccc|c}2&1&-1&1\\0&-2&2&1\\0&-7&1&5\end{array}\right).$$
Anular el $-7$ bajo el pivote $-2$: $F_3\to2F_3-7F_2$: $(0,\,-14+14,\,2-14\mid10-7)=(0,0,-12\mid3)$. $$S':\ \begin{cases}2x_1+x_2-x_3=1\\-2x_2+2x_3=1\\-12x_3=3\end{cases}\qquad(A'\mid B')=\left(\begin{array}{ccc|c}2&1&-1&1\\0&-2&2&1\\0&0&-12&3\end{array}\right).$$
Comprobación (recomendable): de $S'$, $x_3=-\tfrac14$; $-2x_2-\tfrac12=1\Rightarrow x_2=-\tfrac34$; $2x_1-\tfrac34+\tfrac14=1\Rightarrow x_1=\tfrac34$. En $S$: $\tfrac32-\tfrac34+\tfrac14=1$ ✓, $\tfrac32+\tfrac34-\tfrac14=2$ ✓, $\tfrac34+\tfrac94=3$ ✓.
Conclusión: $S$ y $S'$ son equivalentes (Teorema 1.5) y ambas ampliadas son $3\times4$.

Respuesta mínima válida: intercambiar dos ecuaciones ($E_1\leftrightarrow E_2$) ya da un sistema equivalente; basta citar el Teorema 1.5.

Receta: para fabricar un sistema equivalente, aplica a la ampliada operaciones elementales anotando cada una («$F_3\to2F_3-F_1$») y cita el Teorema 1.5. Comprueba al final que la solución satisface el sistema original.

Error típico: equivocarse en una operación (como la propia solución oficial) y no comprobarlo: sustituir la solución en el sistema original lo detecta en segundos.

Feb. 2022 (tipo A), ejercicio 1 — unas paramétricas de «un sistema» y sus cartesianas X Feb. 2022 (A)

Escriba unas ecuaciones paramétricas de un sistema y halle las ecuaciones cartesianas de dicho sistema. Considere 3 incógnitas.

La solución oficial es mínima ($x=\alpha,\ y=-\alpha,\ z=0\Rightarrow x+y=0,\ z=0$). Aquí, un ejemplo más completo, con dos parámetros y término independiente (U §1.4.2, Ej. 1.28, p.34-36).

Elegimos paramétricas (3 incógnitas, 2 parámetros): $x=1+\alpha+\beta,\ y=\alpha,\ z=2-\beta$, con $\alpha,\beta\in\mathbb R$.
Qué es «hallar las cartesianas». Es eliminar los parámetros: un punto $(x,y,z)$ es de esa forma si y solo si el sistema en las incógnitas $\alpha,\beta$ $$\alpha+\beta=x-1,\qquad\alpha=y,\qquad-\beta=z-2$$ es compatible.
Igualdad de rangos (Rouché-Frobenius). La matriz de coeficientes en $(\alpha,\beta)$ tiene rango 2 (el menor de las filas 2-3 es $\begin{vmatrix}1&0\\0&-1\end{vmatrix}=-1\neq0$). La ampliada $$\left(\begin{array}{cc|c}1&1&x-1\\1&0&y\\0&-1&z-2\end{array}\right)$$ debe tener también rango 2; como es $3\times3$, equivale a que su determinante sea $0$ (U p.27): $$\begin{vmatrix}1&1&x-1\\1&0&y\\0&-1&z-2\end{vmatrix}=y-(z-2)-(x-1)=-x+y-z+3=0.$$
Cartesiana: $x-y+z=3$ (una ecuación: $3$ incógnitas $-\ 2$ parámetros $=1$).
Atajo (U p.36): como $\alpha=y$, se despeja $\beta=2-z$ y se sustituye: $x=1+y+(2-z)$, es decir, $x-y+z=3$.
Comprobación: $(1+\alpha+\beta)-\alpha+(2-\beta)=3$ ✓ para todo $\alpha,\beta$.

Receta: paramétricas $\to$ cartesianas: escribe el sistema en los parámetros con las $x_i$ como términos independientes y exige $\operatorname{rang}(\text{coef.})=\operatorname{rang}(\text{ampliada})$ (escalonando o con un determinante). N.º de cartesianas $=$ n.º de incógnitas $-$ n.º de parámetros independientes.

Error típico: dar ecuaciones que cumplen solo algunos puntos (comprobar solo con $\alpha=\beta=0$) o dar demasiadas ecuaciones (describen un conjunto más pequeño).

Sept. 2025, problema 7 (1.er apartado) — sistema con incógnitas matriciales: calcular $X+Y$ X Sept. 2025

Las matrices $X,Y\in\mathcal M_{2\times2}$ satisfacen $\begin{cases}2X+3Y=A\\X-Y=B\end{cases}$ con $A=\begin{pmatrix}5&1\\0&4\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}1&-1\\2&0\end{pmatrix}$. Calcule $X+Y$. (Los otros dos apartados —base de $\mathcal M_{2\times2}$ y dimensión— son del tema 2.3.)

Desarrollado en el tema 1.2. Resumen: es un sistema $2\times2$ cuyas incógnitas son matrices; se resuelve por reducción/sustitución como uno numérico, sin multiplicar matrices. De $X=Y+B$: $5Y=A-2B=\begin{pmatrix}3&3\\-4&4\end{pmatrix}$, $Y=\tfrac15\begin{pmatrix}3&3\\-4&4\end{pmatrix}$, $X=Y+B$, y $$X+Y=\frac{2A+B}{5}=\frac15\begin{pmatrix}11&1\\2&8\end{pmatrix}$$ (atajo: $\tfrac25(2X+3Y)+\tfrac15(X-Y)=X+Y$).

Receta: sistemas con incógnitas matriciales: reducción o sustitución como con números; solo se divide por escalares; comprueba sustituyendo.

C. Sistemas con parámetro

Ene. 2020 (tipo A), ejercicio 1 — soluciones de un sistema homogéneo según $m$ X Ene. 2020 (A)

Calcular las soluciones del sistema $\begin{cases}mx+y+z=0\\x+my+z=0\\x+y+mz=0\end{cases}$ para los distintos valores de $m\in\mathbb R$. (La solución oficial aclara: se piden soluciones, no la clasificación.)

Es homogéneo, luego siempre compatible: $(0,0,0)$ es solución (U p.30). La cuestión es cuándo hay más.
Criterio: solo la solución nula $\iff\operatorname{rang}A=3\iff\det A\neq0$ (U p.22 y p.30).
Determinante (las filas suman $m+2$): $C_1\to C_1+C_2+C_3$ no cambia $\det A$ (U §1.3), y luego $F_2\to F_2-F_1$, $F_3\to F_3-F_1$: $$\det A=(m+2)\begin{vmatrix}1&1&1\\1&m&1\\1&1&m\end{vmatrix}=(m+2)\begin{vmatrix}1&1&1\\0&m-1&0\\0&0&m-1\end{vmatrix}=(m+2)(m-1)^2.$$
Caso $m\neq1$ y $m\neq-2$: $\det A\neq0$, $\operatorname{rang}A=3=n$: compatible determinado, única solución $x=y=z=0$.
Caso $m=1$: las tres ecuaciones son $x+y+z=0$; $\operatorname{rang}A=1$, $3-1=2$ parámetros (las incógnitas que no son pivote, U p.34): $$x=\alpha,\quad y=\beta,\quad z=-\alpha-\beta,\qquad\alpha,\beta\in\mathbb R.$$
Caso $m=-2$: se escalona (se intercambia para tener pivote 1): $$\begin{pmatrix}-2&1&1\\1&-2&1\\1&1&-2\end{pmatrix}\xrightarrow{F_1\leftrightarrow F_2}\begin{pmatrix}1&-2&1\\-2&1&1\\1&1&-2\end{pmatrix}\xrightarrow[F_3\to F_3-F_1]{F_2\to F_2+2F_1}\begin{pmatrix}1&-2&1\\0&-3&3\\0&3&-3\end{pmatrix}\xrightarrow{F_3\to F_3+F_2}\begin{pmatrix}1&-2&1\\0&-3&3\\0&0&0\end{pmatrix}.$$ $\operatorname{rang}A=2$, un parámetro. De $-3y+3z=0$: $y=z$; con $z=\alpha$, $x=2y-z=\alpha$: $x=y=z=\alpha$.
Comprobación: con $m=-2$: $-2\alpha+\alpha+\alpha=0$ ✓ (las tres ecuaciones). Con $m=1$: $\alpha+\beta-\alpha-\beta=0$ ✓.

Receta: homogéneo cuadrado con parámetro: (1) siempre compatible; (2) $\det A=0$ da los valores críticos; (3) fuera de ellos, solo la solución nula; (4) en cada valor crítico, escalona y escribe la solución con $n-\operatorname{rang}A$ parámetros.

Error típico: quedarse en «compatible indeterminado» sin dar las soluciones, o dividir por $m-1$ al escalonar sin separar el caso $m=1$.

Feb. 2023 (2.ª sem.), problema 8 — discutir y resolver con parámetro $a$ (problema, 2 puntos) X Feb. 2023 (2.ª)

Sea $a\in\mathbb R$ y el sistema $\begin{cases}(1+a)x+y+z=1\\x+(1+a)y+z=a\\x+y+(1+a)z=a^2\end{cases}$. (i) Discútalo en función de $a$. (ii) Resuélvalo en los casos en que sea compatible.

(i) Discusión

Ampliada reordenada con $F_1\leftrightarrow F_3$, para que el primer pivote sea el número $1$ y no $1+a$ (que se anula si $a=-1$ y obligaría a separar casos). El intercambio da un sistema equivalente (Teorema 1.5): $$\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1+a&a^2\\1&1+a&1&a\\1+a&1&1&1\end{array}\right).$$
Anular la columna 1: $F_2\to F_2-F_1$ y $F_3\to F_3-(1+a)F_1$. Fila 2: $(0,\,a,\,-a\mid a-a^2)$. Fila 3: $(0,\,-a,\,-a^2-2a\mid1-a^2-a^3)$. $$\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1+a&a^2\\0&a&-a&-a^2+a\\0&-a&-a^2-2a&-a^3-a^2+1\end{array}\right).$$
Anular la columna 2: $F_3\to F_3+F_2$ (no divide por nada: vale para todo $a$): $$\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1+a&a^2\\0&a&-a&-a^2+a\\0&0&-a(a+3)&-a^3-2a^2+a+1\end{array}\right).$$
Comprobación con el determinante: $\det A=a^2(a+3)$ (sumando las tres columnas en la primera sale el factor $a+3$, como en el ejemplo anterior); se anula solo en $a=0$ y $a=-3$.
$a\neq0,\,-3$: los pivotes $1,\ a,\ -a(a+3)$ son no nulos: $\operatorname{rang}A=\operatorname{rang}(A\mid B)=3=n$, compatible determinado.
$a=0$: la matriz queda $\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&0\\0&0&0&0\\0&0&0&1\end{array}\right)$: $\operatorname{rang}A=1\neq2=\operatorname{rang}(A\mid B)$, incompatible (el sistema es $x+y+z=1$ y $x+y+z=0$ a la vez).
$a=-3$: fila 2 $=(0,-3,3\mid-12)$, fila 3 $=(0,0,0\mid27-18-3+1)=(0,0,0\mid7)$: $\operatorname{rang}A=2\neq3=\operatorname{rang}(A\mid B)$, incompatible ($0=7$).

(ii) Resolución para $a\neq0,-3$ (sustitución hacia atrás, U p.39 PASO 6), en función de $a$:

Fila 3: $-a(a+3)z=-a^3-2a^2+a+1\Rightarrow z=\dfrac{a^3+2a^2-a-1}{a(a+3)}$.
Fila 2 (se divide por $a\neq0$): $y-z=1-a\Rightarrow y=z+1-a=\dfrac{a^3+2a^2-a-1+(1-a)(a^2+3a)}{a(a+3)}=\dfrac{2a-1}{a(a+3)}$, pues $(1-a)(a^2+3a)=-a^3-2a^2+3a$.
Fila 1: $x=a^2-y-(1+a)z=\dfrac{a^3(a+3)-(2a-1)-(1+a)(a^3+2a^2-a-1)}{a(a+3)}=\dfrac{2-a^2}{a(a+3)}$, pues $(1+a)(a^3+2a^2-a-1)=a^4+3a^3+a^2-2a-1$.

$$\boxed{x=\frac{2-a^2}{a(a+3)},\qquad y=\frac{2a-1}{a(a+3)},\qquad z=\frac{a^3+2a^2-a-1}{a(a+3)}}\qquad(a\neq0,-3).$$

Comprobación con $a=1$: $(\tfrac14,\tfrac14,\tfrac14)$ cumple $2\cdot\tfrac14+\tfrac14+\tfrac14=1$ ✓, $\tfrac14+\tfrac12+\tfrac14=1=a$ ✓, $\tfrac14+\tfrac14+\tfrac12=1=a^2$ ✓. Con $a=2$ sale $(-\tfrac15,\tfrac3{10},\tfrac{13}{10})$. (Alternativa: regla de Cramer con $|A|=a^2(a+3)$, U p.33; mismo resultado con más cálculo.)

Resumen: $a\neq0,-3$: compatible determinado; $a=0$ o $a=-3$: incompatible. Nunca es compatible indeterminado.

Fallo recurrente (comentario oficial): en los casos compatibles determinados, resolver el sistema solo para un valor concreto de $a$; la solución debe darse en función de $a$.

Receta: (1) escalona $(A\mid B)$ sin dividir por expresiones con el parámetro (pivotes numéricos, reordenando si hace falta); (2) los valores que anulan pivotes son los casos críticos (confírmalos con $\det A$ si es cuadrado); (3) caso general por Rouché-Frobenius; (4) sustituye cada valor crítico en la escalonada y compara rangos; (5) resuelve en función del parámetro y comprueba con un valor concreto.

Error típico: dividir una fila por $a$ o por $1+a$ sin haber excluido antes $a=0$ o $a=-1$; olvidar estudiar aparte los valores críticos.

D. Factorización $LU$ y métodos numéricos

Sept. 2017 (tipo A), ejercicio 1 — test sobre la factorización $LU$ X Sept. 2017

La factorización $LU$ de una matriz $A$ cuadrada de orden $n$: A) siempre es única; B) NO se puede utilizar para resolver $AX=B$; C) permite calcular el determinante de $A$ ya que coincide con el determinante de $U$; D) ninguna de las anteriores es cierta.

Recordatorio (U p.45-46): $A=LU$ con $L$ triangular inferior con unos en la diagonal y $U$ triangular superior obtenida por Gauss solo con reemplazos $F_i\to F_i+\lambda F_j$, sin normalizar pivotes. U garantiza la unicidad cuando $A$ es regular (p.46); si es singular puede no serlo.
A) Falsa. Sin regularidad puede no ser única: $A=\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\ \ell&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}$ para todo $\ell\in\mathbb R$. (Además puede no existir sin permutar filas: $\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ necesita $PA=LU$, U p.50.)
B) Falsa. Es su uso principal: $AX=B\iff L(UX)=B$; se resuelve $LY=B$ (hacia delante) y luego $UX=Y$ (hacia atrás) (U p.49).
C) Verdadera. $\det(LU)=\det L\det U$ (U p.26), y el determinante de una triangular es el producto de su diagonal, así que $\det L=1$ y $\det A=\det U$ (U p.51).
Respuesta: C.

Receta: en tests de $LU$, tres frases: única si $A$ es regular; sirve para resolver $AX=B$ con dos sistemas triangulares; $\det A=\det U$ porque $\det L=1$.

Error típico: confundir «$L$ con unos en la diagonal» con «$U$ con unos en la diagonal»: en U no se normalizan los pivotes de $U$.

Feb. 2020 (1.ª sem., tipo B), ejercicio 1 — calcular la factorización $LU$ de una matriz $3\times3$ X Feb. 2020 (1.ª, B)

Calcular la factorización $LU$ de $A=\begin{pmatrix}1&0&2\\4&3&5\\2&0&1\end{pmatrix}$.

¿Es única? $\det A=-9\neq0$: $A$ es regular y, triangularizando solo con reemplazos, la factorización es única (U p.46).
PASO 1 (obtener $U$). Pivote $a_{11}=1$; multiplicador $=$ elemento / pivote:
- $F_2\to F_2-4F_1$: $(4-4,\ 3-0,\ 5-8)=(0,3,-3)$;
- $F_3\to F_3-2F_1$: $(2-2,\ 0-0,\ 1-4)=(0,0,-3)$.
$$A\longrightarrow U=\begin{pmatrix}1&0&2\\0&3&-3\\0&0&-3\end{pmatrix}.$$ El elemento bajo el segundo pivote ya es $0$ (multiplicador $0$). No se ha permutado ni normalizado: es válido.
PASO 2 (obtener $L$). $L=E^{-1}=E_1^{-1}E_2^{-1}$ (U p.46): las inversas de $F_2\to F_2-4F_1$ y $F_3\to F_3-2F_1$ son $F_2\to F_2+4F_1$ y $F_3\to F_3+2F_1$: $$L=\begin{pmatrix}1&0&0\\4&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\2&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0\\4&1&0\\2&0&1\end{pmatrix}.$$ Regla práctica: en la posición $(i,j)$ de $L$ va el multiplicador $\lambda$ de $F_i\to F_i-\lambda F_j$ ($\ell_{21}=4$, $\ell_{31}=2$, $\ell_{32}=0$).
Comprobación: $LU=\begin{pmatrix}1&0&2\\4&3&8-3\\2&0&4-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&2\\4&3&5\\2&0&1\end{pmatrix}=A$ ✓.
Usos: $\det A=\det U=1\cdot3\cdot(-3)=-9$ ✓. Para $AX=(3,12,3)^t$: $LY=B$ da $y_1=3$, $y_2=12-12=0$, $y_3=3-6=-3$; $UX=Y$ da $x_3=1$, $3x_2-3=0\Rightarrow x_2=1$, $x_1+2=3\Rightarrow x_1=1$: $X=(1,1,1)^t$ ✓.

Receta: $LU$: Gauss sin normalizar y solo con $F_i\to F_i-\lambda F_j$ ($i\gt j$) hasta $U$; $L$ = identidad con los multiplicadores $\lambda$ en su sitio; comprueba $LU=A$.

Error típico: poner en $L$ los multiplicadores con el signo cambiado ($-4$, $-2$): eso sería $E$, no $L=E^{-1}$.

Feb. 2018 (tipo A), problema, apartado c) — explicar la factorización $LU$ y enunciar una aplicación X Feb. 2018 (A)

Explicar la factorización $LU$ para matrices regulares (0,5 ptos.) y enunciar una aplicación (0,5 ptos.). (La solución oficial solo dice «teoría del primer tema».)

Qué es (U p.45-46). Si $A\in\mathcal M_n$ es regular y se puede llevar a triangular superior por Gauss sin normalizar pivotes y solo con reemplazos $F_i\to F_i+\lambda F_j$, entonces $A=LU$ de modo único, con $U$ la triangular superior obtenida y $L$ triangular inferior con unos en la diagonal que guarda las operaciones.
Por qué funciona. Si $E_1,\dots,E_p$ son las matrices elementales usadas, $U=E_p\cdots E_1A=EA$ y $L=E^{-1}=E_1^{-1}\cdots E_p^{-1}$ (U p.46). Cada $E_k^{-1}$ es triangular inferior con unos en la diagonal, y el producto también.
Ejemplo (propio). $A=\begin{pmatrix}1&1&1\\2&1&-1\\1&-1&1\end{pmatrix}$ ($\det A=-6\neq0$): $F_2\to F_2-2F_1$ da $(0,-1,-3)$; $F_3\to F_3-F_1$ da $(0,-2,0)$; $F_3\to F_3-2F_2$ da $(0,0,6)$. $$U=\begin{pmatrix}1&1&1\\0&-1&-3\\0&0&6\end{pmatrix},\qquad L=\begin{pmatrix}1&0&0\\2&1&0\\1&2&1\end{pmatrix},\qquad LU=A.$$
Aplicación: resolver $AX=B$ (U p.49). Como $L(UX)=B$: se resuelve $LY=B$ (hacia delante) y $UX=Y$ (hacia atrás). Con $B=(6,1,2)^t$: $y_1=6$; $12+y_2=1\Rightarrow y_2=-11$; $6-22+y_3=2\Rightarrow y_3=18$. Luego $6z=18\Rightarrow z=3$; $-y-9=-11\Rightarrow y=2$; $x+2+3=6\Rightarrow x=1$. Solución $(1,2,3)$ ✓. Ventaja: con muchos $B$ distintos y la misma $A$, la factorización se hace una sola vez (U p.51).
Otras aplicaciones (U p.51): $\det A=\det U$ (aquí $1\cdot(-1)\cdot6=-6$ ✓) y $A^{-1}=U^{-1}L^{-1}$.

Receta: pregunta de teoría de $LU$: definición (forma de $L$ y $U$ + hipótesis: regular y sin permutaciones), construcción ($U$ por Gauss con reemplazos, $L=E^{-1}$), unicidad y una aplicación con los dos sistemas triangulares. Un ejemplo $3\times3$ breve vale mucho.

Error típico: escribir solo «$A=LU$» sin decir qué son $L$ y $U$ ni bajo qué hipótesis.

Feb. 2019 (tipo A), problema, apartado b) — enunciar un método numérico y mostrar sus pasos X Feb. 2019 (A)

Enunciar algún método numérico para resolver un sistema de ecuaciones lineales y mostrar sus pasos, es decir, cómo se aplica. (Solución oficial: «pueden explicarse método LU, QR…»). Modelo con el método de Gauss (U §1.4.3, p.38-39); también valdría $LU$.

Idea. Transformar $(A\mid B)$, con operaciones elementales por filas, en una matriz escalonada; el sistema obtenido es equivalente (Teorema 1.5, U p.32) y se resuelve por sustitución hacia atrás.
Pasos (U p.39). PASO 1: localizar el pivote de la primera fila (si $a_{11}=0$, intercambiar con una fila con elemento no nulo en esa columna). PASO 2: normalizar el pivote si se desea y anular todo lo que hay debajo. PASOS 3-5: repetir con la fila siguiente hasta obtener una escalonada. PASO 6: sustitución hacia atrás. Comparando rangos en la escalonada se clasifica el sistema (Rouché-Frobenius).
Ejemplo (propio): $x+2y+z=4$, $2x+5y+3z=10$, $x+3y+4z=8$. $$\left(\begin{array}{ccc|c}1&2&1&4\\2&5&3&10\\1&3&4&8\end{array}\right)\xrightarrow[F_3\to F_3-F_1]{F_2\to F_2-2F_1}\left(\begin{array}{ccc|c}1&2&1&4\\0&1&1&2\\0&1&3&4\end{array}\right)\xrightarrow{F_3\to F_3-F_2}\left(\begin{array}{ccc|c}1&2&1&4\\0&1&1&2\\0&0&2&2\end{array}\right).$$ Por qué: el pivote $1$ de la fila 1 anula el $2$ y el $1$ de la columna 1; el pivote $1$ de la fila 2 anula el $1$ de la fila 3.
Clasificación: $\operatorname{rang}A=\operatorname{rang}(A\mid B)=3=n$: compatible determinado.
Sustitución hacia atrás: $2z=2\Rightarrow z=1$; $y+z=2\Rightarrow y=1$; $x+2y+z=4\Rightarrow x=1$. Comprobación: $1+2+1=4$, $2+5+3=10$, $1+3+4=8$ ✓.
Comentarios numéricos (U p.41-42): Gauss cuesta del orden de $n^3/3$ operaciones; problemas: redondeo con pivotes pequeños (pivoteo parcial/total) y sistemas mal condicionados (Def. 1.8, Ej. 1.31). Gauss-Jordan (U p.43-44) sigue hasta la escalonada reducida y evita la sustitución, pero cuesta más ($\sim n^3/2$).

Receta: «enuncie un método»: nombre + idea (sistema equivalente más sencillo) + pasos numerados + un ejemplo $3\times3$ con cada operación anotada (con la fila sobre la que se actúa: $F_2\to F_2-2F_1$) + clasificación por rangos + comprobación.

Error típico: usar una fila ya «usada» para hacer ceros bajo un pivote posterior: deshace los ceros conseguidos (U p.40, al margen).

Para practicar (exámenes cuyo tema principal es otro, pero que se resuelven como un sistema) X varios

X, Sept. 2025, pregunta 3 (tema 3.2) — hallar $a,b$ con $(10,a,b)\in\operatorname{Nuc}f$, $M=\begin{pmatrix}1&2&1\\2&4&3\\3&6&4\end{pmatrix}$. Es un sistema de 3 ecuaciones con 2 incógnitas: $10+2a+b=0,\ 20+4a+3b=0,\ 30+6a+4b=0$. Con la ampliada $\left(\begin{array}{cc|c}2&1&-10\\4&3&-20\\6&4&-30\end{array}\right)$, $F_2\to F_2-2F_1$, $F_3\to F_3-3F_1$, $F_3\to F_3-F_2$ queda $\left(\begin{array}{cc|c}2&1&-10\\0&1&0\\0&0&0\end{array}\right)$: rangos $2=2=n$, compatible determinado, $b=0$, $a=-5$. Lección: con más ecuaciones que incógnitas hay que comprobar que la ecuación «sobrante» es compatible.
Combinaciones lineales y coordenadas (temas 2.2-2.3), que se reducen a plantear y discutir un sistema lineal: Feb. 2025 (1.ª sem.), pregunta 3; Sept. 2023, pregunta 2; Feb. 2024 (1.ª sem.), preguntas 2 y 8; Sept. 2024, pregunta 2; y Feb. 2022 (tipo A), ejercicio 2 (generadores de $U$ dado por cartesianas). Método: plantea el sistema, escalona y aplica Rouché-Frobenius.
Rango por Gauss y escalonada reducida (tema 1.2): Feb. 2017 (2.ª sem., tipo A), problema, apartado a); Sept. 2022, problema, apartado a); Feb. 2019 (tipo A), ejercicio 1; Feb. 2026 (1.ª y 2.ª sem.): pregunta 1 y problema 7. Sistemas matriciales por reducción, tipo Sept. 2025 p.7 (con $A^2-B^2$): Feb. 2018 (tipo A), ejercicio 1 y Sept. 2024, pregunta 1 (tema 1.2).

13Chuleta y lista de comprobación

Resultado	Fórmula / idea	Hipótesis
Forma matricial	$AX=B$, ampliada $(A\mid B)$	$A\in\mathcal M_{m\times n}$
Teorema 1.4	más de una solución $\Rightarrow$ infinitas	combinación afín $\alpha X_0+\beta X_1$, $\alpha+\beta=1$
Incompatible	$\operatorname{rang}(A)\neq\operatorname{rang}(A\mid B)$	—
Compatible determinado	$\operatorname{rang}(A)=\operatorname{rang}(A\mid B)=n$	—
Compatible indeterminado	$\operatorname{rang}(A)=\operatorname{rang}(A\mid B)=k\lt n$, con $n-k$ parámetros	—
Homogéneo $AX=0$	siempre compatible; determinado $\iff\operatorname{rang}A=n$	—
Sistemas equivalentes	mismas soluciones; se preservan por operaciones elementales (Teorema 1.5)	—
Cramer	$x_i=\dfrac{\det A_i}{\det A}$	$A$ cuadrada, $\det A\neq0$
Paramétricas ↔ cartesianas	nº cartesianas $=n-$(parámetros independientes)	—
Gauss	pivote, normalizar, anular debajo, repetir, retrosustituir	coste $\sim n^3/3$
Gauss-Jordan	como Gauss + anular por encima → escalonada reducida = solución directa	coste $\sim n^3/2$; útil para $A^{-1}=(A\mid I)\to(I\mid A^{-1})$
Factorización $LU$	$A=LU$, $U$ por reemplazos sin normalizar, $L$ = multiplicadores con signo cambiado	se puede triangularizar sin intercambiar filas; si no, usar $PA=LU$
Resolver con $LU$	$LY=B$ (progresiva), luego $UX=Y$ (retrosustitución)	orden importa: primero $L$, luego $U$
$LU$ permutada	$PA=LU$; resolver $LY=PB$, $UX=Y$	hace falta intercambiar filas; ¡permutar también $B$!
Usos de $LU$	$A^{-1}=U^{-1}L^{-1}$; $\det A=\det U$ (porque $\det L=1$)	—

Sé escribir un sistema como $AX=B$ y su matriz ampliada, y distinguir el número de incógnitas del número de columnas de la ampliada.
Sé clasificar un sistema (incompatible / determinado / indeterminado) comparando $\operatorname{rang}(A)$ y $\operatorname{rang}(A\mid B)$, incluyendo homogéneos y sistemas con parámetros.
Sé razonar sobre sistemas equivalentes usando operaciones elementales por filas (Teorema 1.5).
Sé pasar de ecuaciones cartesianas a paramétricas (y viceversa), contando bien el número de parámetros o de ecuaciones.
Sé resolver un sistema por Gauss (normalizando pivotes) y por Gauss-Jordan (escalonada reducida), y sé cuándo usar cada uno.
Sé calcular una factorización $LU$ (sin normalizar pivotes) construyendo $L$ con los multiplicadores cambiados de signo, y resolver $AX=B$ con $LY=B$ y $UX=Y$ en ese orden.
Sé reconocer cuándo hace falta la $LU$ permutada $PA=LU$ y aplicar la permutación también a $B$.
Sé elegir el método adecuado según el contexto: Gauss para un sistema suelto, Gauss-Jordan para la inversa, $LU$ para varios sistemas con la misma $A$.
Sé qué es un sistema mal condicionado (propiedad del sistema, no del método) y qué es el pivoteo parcial/total (remedio contra el error de redondeo, un problema distinto).

★Fuentes de este tema

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