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Módulo 1 · Herramientas · Tema 1.3

Determinantes

Un número que se calcula a partir de una matriz cuadrada y que responde de golpe a varias preguntas: ¿es invertible la matriz?, ¿cuál es su rango?, ¿cómo se calcula la inversa sin resolver sistemas? Es también la pieza que, más adelante, sirve para hallar valores propios (Tema 4) y clasificar formas cuadráticas (Tema 6).

Libro oficial: Álgebra para Ingenieros, §1.3 (pp. 23-28)Ejercicios: E Ej. 1.21-1.29 (pp. 23-28)⏱ ~5 h de estudio
U oficial E ejercicios L Lay A tutoría P propio — pasa el ratón (o toca) por cada etiqueta para ver libro y página; en pantallas anchas aparecen en el margen derecho.

0Antes de empezar U p.23

La idea del tema en una frase

El determinante $\det(A)$ (o $|A|$) es un único número real asociado a cada matriz cuadrada $A$, calculado combinando todos sus elementos, que vale cero exactamente cuando $A$ no es invertible. Para $2\times2$ es una fórmula corta; para $3\times3$ tiene una regla mnemotécnica (Sarrus); para tamaños mayores se calcula «bajando» el orden con el desarrollo por adjuntos. Detrás de todo eso hay una única definición formal con permutaciones, que no hace falta usar a mano salvo para entender de dónde salen las fórmulas y las propiedades.

Qué necesitas saber ya

Mapa del tema

ApartadoQué contieneDónde está en los libros
1 Determinantes de orden 2 y 3Fórmulas directas, Ejemplo 1.16U p.23 · A "Determinantes de orden dos/tres"
2 Desarrollo por adjuntosMenor, adjunto $A_{ij}$, desarrollo por fila o columnaU p.24 · L §3.1
3 Permutaciones y fórmula de Leibniz$S_n$, paridad, signo, Definición 1.6U pp.24-26
4 Regla de SarrusFórmula mnemotécnica para $3\times3$U p.26 · A "Determinantes de orden tres"
5 Propiedades del determinanteFila de ceros, triangular, traspuesta, $\det(\alpha A)$, $\det(AB)$U p.26 · A "Propiedades de los determinantes"
6 Efecto de las operaciones elementalesPermutar, escalar, reemplazo; comparación con 1.2U p.27
7 Determinante, rango, inversa$A$ regular $\iff\det A\neq0$; $A^{-1}=\frac1{|A|}(\operatorname{Adj}A)^t$; rango por menores; interpretación geométricaU p.27-28 · L §3.3 p.179 (¡ojo, notación distinta! ver aviso en §7)
8 EjerciciosE 1.21–1.29 + ejemplos propiosE pp.23-28
9 Ejemplos de examen10 preguntas de convocatorias anteriores, resueltasX
Qué se pide en los ejercicios

Los ejercicios de esta sección piden: desarrollar un determinante por una fila o columna concreta, con parámetro (1.21); razonar sobre el signo de un término de la fórmula de Leibniz vía permutaciones (1.22); decidir cuándo existe el determinante y calcularlo con atajos —triangular, fila de ceros, elemental— (1.23); usar la matriz adjunta para hallar solo una columna de la inversa (1.24); combinar $\det(AB)=\det A\det B$ con el rango (1.25); seguir el determinante a través de una cadena de operaciones elementales (1.26); reconocer estructuras (trasposición, factores comunes) para reutilizar un determinante ya conocido (1.27); desarrollar por la línea con más ceros y factorizar (1.28); y usar el determinante y los menores para discutir el rango según un parámetro (1.29).

1Determinantes de orden 2 y 3 U p.23

Definición

Si $A$ es una matriz cuadrada de orden $n$, su determinante es un número real, denotado $\det(A)$ o $|A|$. El determinante solo está definido para matrices cuadradas: si $A$ no es cuadrada, «$\det A$» no existe (no es que valga 0, es que la expresión no tiene sentido).

U p.23
Fórmulas directas de orden 2 y 3

Para $n=2$: $\displaystyle\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$.

Para $n=3$ (regla de Sarrus, se detalla en el §4): $$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{21}a_{32}a_{13}+a_{12}a_{23}a_{31}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{23}a_{32}a_{11}-a_{21}a_{12}a_{33}.$$

A
Interactivo: el determinante $2\times2$ es un área con signo

Las columnas de $A$ son dos vectores $u$ y $v$. El determinante $ad-bc$ es el área del paralelogramo que forman, con signo según la orientación. Mueve los deslizadores: verás que $\det=0$ justo cuando $u$ y $v$ quedan alineados (matriz no invertible).

P
Interactivo 3D: el determinante $3\times3$ es un volumen

Igual que el $2\times2$ era un área, el determinante de una matriz $3\times3$ es el volumen con signo del paralelepípedo que forman sus columnas. Si $\det=0$ el paralelepípedo se aplasta en un plano. Gira la figura y prueba los casos.

P
Ejemplo 1.16 de U

$$\begin{vmatrix}2&3\\4&1\end{vmatrix}=2\cdot1-3\cdot4=-10.$$ $$\begin{vmatrix}1&2&0\\3&2&2\\5&4&3\end{vmatrix}=1\cdot2\cdot3+3\cdot4\cdot0+2\cdot2\cdot5-0\cdot2\cdot5-2\cdot4\cdot1-3\cdot2\cdot3=6+0+20-0-8-18=0.$$

U p.23
Truco mnemotécnico $2\times2$

«Diagonal principal menos diagonal secundaria»: $a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$. En $2\times2$, un determinante $0$ significa que las dos filas (o columnas) son proporcionales, coherente con lo visto en 1.2 sobre matrices singulares.

2Desarrollo por adjuntos (o por cofactores) U p.24

Idea intuitiva

Sarrus solo funciona para $3\times3$. Para calcular un determinante de cualquier orden $n$, se «baja» el problema a $n$ determinantes de orden $n-1$: se elige una fila (o columna), y por cada elemento de esa fila se calcula el determinante que queda al tachar su fila y su columna (el menor complementario), con un signo que alterna en tablero de ajedrez. Lay llama a esta idea «desarrollo por cofactores»; U la llama «desarrollo por adjuntos»: son el mismo concepto con distinto nombre, pero ojo: Lay usa la letra $A_{ij}$ para otra cosa (ver el aviso justo debajo).

L p.165-166
Animación: desarrollo por adjuntos paso a paso

Se elige una fila o columna; para cada elemento se tacha su fila y su columna (gris), se calcula el determinante $2\times2$ que queda (el menor, en azul) y se multiplica por el signo del «tablero de ajedrez». Prueba con distintas líneas: el resultado no cambia, pero con una línea con ceros hay menos trabajo.

P
Menor complementario y adjunto (cofactor)

Dada $A=(a_{ij})$ de orden $n$, el menor complementario $M_{ij}$ es el determinante de orden $n-1$ que resulta de eliminar la fila $i$ y la columna $j$ de $A$ (U lo denota $\alpha_{ij}$ en el texto). El adjunto (o cofactor) es $$A_{ij}=(-1)^{i+j}\,M_{ij}.$$ El signo $(-1)^{i+j}$ forma un «tablero de ajedrez»: $+,-,+,-,\dots$ empezando en $+$ en la posición $(1,1)$. Más adelante (§7) se usa también la palabra menor en un sentido más general —el determinante de cualquier submatriz cuadrada, no solo la que sale de tachar una fila y una columna de una matriz cuadrada— para hablar del rango; no lo confundas con este menor complementario, que es un caso particular.

U p.24
Ojo si lees Lay: notación distinta para $A_{ij}$

En Lay, $A_{ij}$ denota la submatriz que queda al eliminar la fila $i$ y la columna $j$ (lo que aquí, siguiendo a U, llamamos menor complementario $M_{ij}$), y el cofactor con signo se llama $C_{ij}=(-1)^{i+j}\det(A_{ij})$. Es decir, la $A_{ij}$ de Lay es una matriz, mientras que la $A_{ij}$ de U es un número (el cofactor). En este resumen seguimos siempre la notación de U: $A_{ij}$ es el adjunto (número, con signo).

L p.165
Desarrollo por una fila o columna

Para cualquier fila $i$: $\displaystyle|A|=\sum_{j=1}^n a_{ij}A_{ij}=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\cdots+a_{in}A_{in}$. Análogamente, para cualquier columna $j$: $\displaystyle|A|=\sum_{i=1}^n a_{ij}A_{ij}$. El resultado no depende de la fila o columna elegida.

U p.24 L p.166
Ejemplo 1.17 de U — el Ejemplo 1.16 por adjuntos

Desarrollando $\begin{vmatrix}1&2&0\\3&2&2\\5&4&3\end{vmatrix}$ por la fila $F_1=(1,2,0)$: $$|A|=1\cdot A_{11}+2\cdot A_{12}+0\cdot A_{13},\quad A_{11}=+\begin{vmatrix}2&2\\4&3\end{vmatrix}=-2,\quad A_{12}=-\begin{vmatrix}3&2\\5&3\end{vmatrix}=-(9-10)=1.$$ $$|A|=1(-2)+2(1)+0=0,$$ el mismo resultado que por Sarrus. Nótese que el elemento $a_{13}=0$ ahorra calcular $A_{13}$: conviene elegir la fila o columna con más ceros.

U p.24
Estrategia — bajar de orden repetidamente (orden 4 o más)

Con un determinante $4\times4$ como $M=\begin{pmatrix}x&a&b&c\\a&x&0&0\\b&0&x&0\\c&0&0&x\end{pmatrix}$ (ver el desarrollo numérico completo en el Ejercicio 1.28), desarrollando por $F_3=(b,0,x,0)$ (dos ceros) se llega a dos determinantes $3\times3$, y uno de ellos vuelve a tener una fila con dos ceros: conviene repetir el desarrollo por adjuntos en vez de forzar Sarrus. Así, un determinante $4\times4$ se reduce a $3\times3$ y luego a $2\times2$, aplicando la misma idea las veces que haga falta (esta es exactamente la definición recursiva de Lay).

Error típico

Olvidar el signo $(-1)^{i+j}$ (confundir el menor $M_{ij}$ con el adjunto $A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$), o tachar la fila/columna equivocada. Escribe siempre primero el «tablero de signos» de la fila o columna elegida antes de calcular ningún menor.

3Permutaciones y la fórmula de Leibniz U p.24-26

Idea intuitiva antes de la definición formal

Piensa en un determinante $n\times n$ como una manera de elegir un elemento de cada fila y de cada columna, sin repetir ninguna columna, multiplicarlos todos, y sumar (con signo) sobre todas las formas posibles de hacer esa elección. En $2\times2$ solo hay dos formas de elegir «un elemento por fila y por columna sin repetir»: la diagonal principal $(a_{11},a_{22})$ y la diagonal secundaria $(a_{12},a_{21})$; por eso la fórmula tiene dos términos, uno con $+$ y otro con $-$. En $3\times3$ hay $3!=6$ formas, que son justamente los 6 términos de Sarrus. El «signo» de cada elección se llama signo de la permutación y depende solo de cómo estén desordenadas las columnas elegidas, no de los valores $a_{ij}$.

P
Permutaciones de $\{1,\dots,n\}$

Una permutación de $\{1,2,\dots,n\}$ es una reordenación $p=(p_1,p_2,\dots,p_n)$ de esos $n$ números. El conjunto de todas las permutaciones se denota $S_n$ y tiene $n!$ elementos.

U p.24-25
Aviso de notación

U escribe cada permutación con llaves, como $\{1,3,2\}$; en este resumen usamos paréntesis, $(1,3,2)$, que es la notación más habitual fuera de U. Son lo mismo: una lista ordenada de los $n$ números. Reconoce ambas si te aparecen en el libro o en el examen.

Ejemplo 1.18 de U — $S_3$

$S_3$ tiene $3!=6$ permutaciones de $\{1,2,3\}$: $(1,2,3)$, $(1,3,2)$, $(2,1,3)$, $(2,3,1)$, $(3,1,2)$, $(3,2,1)$.

U p.25
Paridad y signo de una permutación

Toda permutación $p$ se puede obtener a partir de $(1,2,\dots,n)$ mediante una serie de intercambios de dos posiciones. El número de intercambios necesarios no es único, pero su paridad (par o impar) sí lo es. Se define $$\operatorname{sig}(p)=\begin{cases}+1&\text{si el número de intercambios es par}\\-1&\text{si es impar.}\end{cases}$$

U p.25
Ejemplo 1.19 de U — paridad contando intercambios

Para $S_4$: la permutación $(1,3,2,4)$ necesita un intercambio para llegar a la identidad (basta cambiar $3$ y $2$ de sitio): es impar. La permutación $(4,2,1,3)$ necesita dos intercambios: $(4,2,1,3)\to(1,2,4,3)\to(1,2,3,4)$ (se intercambian primero $4$ y $1$, luego $4$ y $3$): es par. El número de intercambios puede variar según el camino elegido, pero su paridad siempre coincide.

U p.25
Ejemplo 1.20 de U — signos de las 6 permutaciones de $S_3$

$(1,2,3)$: 0 intercambios, $\operatorname{sig}=+1$ (identidad). $(2,1,3)$: 1 intercambio, $-1$. $(1,3,2)$: 1 intercambio, $-1$. $(3,2,1)$: 1 intercambio, $-1$. $(2,3,1)$: 2 intercambios ($(1,2,3)\to(2,1,3)\to(2,3,1)$), $+1$. $(3,1,2)$: 2 intercambios, $+1$.

U p.25
Definición 1.6 (definición formal del determinante)

Para $A=(a_{ij})$ cuadrada de orden $n$: $$\det(A)=\sum_{p\in S_n}\operatorname{sig}(p)\,a_{1p_1}a_{2p_2}\cdots a_{np_n}.$$ Cada sumando toma un elemento de cada fila (los primeros subíndices, en orden $1,\dots,n$) y un elemento de cada columna (los segundos subíndices $p_1,\dots,p_n$, una permutación), y se suman los $n!$ productos con el signo de su permutación. Esta suma tiene exactamente $n!$ términos, tantos como permutaciones hay en $S_n$; uno de ellos es siempre el producto de la diagonal principal $a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}$, que corresponde a la permutación identidad $p=(1,2,\dots,n)$ y lleva signo $+$ (0 intercambios).

U p.25
Ejemplo 1.21 de U — de la Definición 1.6 a la fórmula $2\times2$

Para $n=2$, $S_2=\{(1,2),(2,1)\}$ con $\operatorname{sig}(1,2)=+1$ y $\operatorname{sig}(2,1)=-1$ (un intercambio). Aplicando la Definición 1.6: $$\det(A)=\operatorname{sig}(1,2)\,a_{11}a_{22}+\operatorname{sig}(2,1)\,a_{12}a_{21}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21},$$ exactamente la fórmula del §1.

U p.26
Para qué sirve la Definición 1.6 en la práctica

En el examen casi nunca se aplica la Definición 1.6 directamente para calcular un determinante (para eso están Sarrus y los adjuntos); sirve para razonar sobre el signo de un término concreto del desarrollo (ver Ejercicio 1.22) y para entender por qué funcionan las propiedades del §5: todas se demuestran a partir de esta suma sobre permutaciones.

4Regla de Sarrus U p.26

Idea intuitiva

Sarrus es un atajo visual para no tener que pensar en las 6 permutaciones de $S_3$: se repiten las dos primeras filas debajo de la matriz (también vale copiar las dos primeras columnas a la derecha: salen los mismos seis productos) y se suman los productos de las tres «diagonales» que bajan (con $+$) y se restan los de las tres que suben (con $-$).

Cómo funciona, paso a paso (animación)

Pulsa Reproducir o avanza con Siguiente. Verás cómo se copian debajo las dos primeras filas, cómo se trazan las tres diagonales que bajan (azul, suman) y las tres que suben (naranja, restan), y cómo se obtiene el determinante. Puedes cambiar los números de la matriz para practicar con otros.

P
Fórmula

$$|A|=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{21}a_{32}a_{13}+a_{12}a_{23}a_{31}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{23}a_{32}a_{11}-a_{21}a_{12}a_{33}.$$ Cada uno de los 6 términos corresponde a una de las 6 permutaciones de $S_3$ (Ejemplo 1.20) con su signo.

TérminoPermutación (2.º subíndices)Signo
$a_{11}a_{22}a_{33}$$(1,2,3)$$+$
$a_{21}a_{32}a_{13}$$(3,1,2)$$+$
$a_{12}a_{23}a_{31}$$(2,3,1)$$+$
$a_{13}a_{22}a_{31}$$(3,2,1)$$-$
$a_{23}a_{32}a_{11}$$(1,3,2)$$-$
$a_{21}a_{12}a_{33}$$(2,1,3)$$-$

Los signos coinciden con $\operatorname{sig}(p)$ del Ejemplo 1.20 (§3): Sarrus no es más que la Definición 1.6 escrita término a término para $n=3$.

U p.26
Error típico

Aplicar Sarrus a matrices que no son $3\times3$: la regla solo vale para orden 3. Para cualquier otro orden hay que usar el desarrollo por adjuntos (§2) o, si la matriz es triangular, la propiedad del §5.

5Propiedades del determinante U p.26

Propiedades básicas
  1. Si $A$ tiene una fila (o columna) de ceros, $\det(A)=0$.
  2. Si $A$ es triangular (superior o inferior), $\det(A)=a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}$ (producto de la diagonal). En particular $\det(I_n)=1$.
  3. En general $\det(A+B)\neq\det(A)+\det(B)$: el determinante no es aditivo.
  4. $\det(A)=\det(A^t)$: todo lo que vale para filas vale igual para columnas.
  5. $\det(\alpha A)=\alpha^n\det(A)$ (¡no $\alpha\det(A)$!, $n$ es el orden de $A$).
  6. $\det(AB)=\det(A)\det(B)$ (multiplicativo).
  7. Si $A$ es regular, $\det(A^{-1})=\dfrac1{\det(A)}$ (se deduce de la propiedad 6 con $B=A^{-1}$: $\det(A)\det(A^{-1})=\det(AA^{-1})=\det(I_n)=1$).
U p.26
Ejemplo numérico — comprobando 3, 5 y 6

Con $A=B=I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$: $\det A=\det B=1$, pero $\det(A+B)=\det(2I_2)=\begin{vmatrix}2&0\\0&2\end{vmatrix}=4\neq\det A+\det B=1+1=2$: confirma que el determinante no es aditivo (propiedad 3). Con $A=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$: $\det(3A)=3^2\det A=3^2\cdot2=18$ (no $3\cdot2=6$: propiedad 5). $AB=\begin{pmatrix}0&1\\2&0\end{pmatrix}$, $\det(AB)=-2=\det A\cdot\det B=2\cdot(-1)$ ✓ (propiedad 6).

P
Error típico

Confundir «multiplicar una fila por $\alpha$» (multiplica $\det A$ por $\alpha$, ver §6) con «multiplicar toda la matriz por $\alpha$» (lo multiplica por $\alpha^n$). Son la propiedad 5 (matriz completa) y la primera regla del §6 (una sola fila): no son lo mismo.

6Efecto de las operaciones elementales en el determinante U p.27

Aviso importante: aquí SÍ cambia (salvo un caso)

En el Tema 1.2 usábamos las tres operaciones elementales por filas para escalonar, sin preocuparnos de si «cambiaban» la matriz: el objetivo era llegar a una forma más simple equivalente. Aquí, en cambio, cada operación tiene un efecto medible y distinto sobre el determinante, y hay que llevar la cuenta de ese efecto para poder calcular $\det A$ a partir de una escalonada de $A$ (que es triangular, y por tanto su determinante es inmediato por la propiedad 2 del §5).

Operación elemental (por filas o columnas)Efecto en el determinante¿Cambia el rango (1.2)?
$F_i\leftrightarrow F_j$ (permutar)cambia de signo: $\times(-1)$No
$F_i\to\alpha F_i$, $\alpha\neq0$ (escalar)se multiplica por $\alpha$: $\times\alpha$No
$F_i\to F_i+\alpha F_j$ (reemplazo)no cambiaNo
¿Y por columnas?

La tabla anterior está enunciada para filas. Las mismas tres reglas valen igual para columnas: hacer una operación sobre las columnas de $A$ es hacer la misma operación sobre las filas de $A^t$, y $\det(A)=\det(A^t)$ (propiedad 4 del §5), así que el efecto sobre el determinante es idéntico.

Ejemplo numérico — escalonando con intercambio y reescalado

Calculemos $\det D$ con $D=\begin{pmatrix}0&4&2\\1&3&1\\2&5&3\end{pmatrix}$ escalonando, anotando cada factor.

  1. $a_{11}=0$: hace falta permutar. $F_1\leftrightarrow F_2$ (factor $-1$): $\begin{pmatrix}1&3&1\\0&4&2\\2&5&3\end{pmatrix}$.
  2. Para trabajar con números más pequeños, $F_2\to\frac12F_2$ (factor $\frac12$): $\begin{pmatrix}1&3&1\\0&2&1\\2&5&3\end{pmatrix}$.
  3. $F_3\to F_3-2F_1$ (reemplazo, factor $1$): $\begin{pmatrix}1&3&1\\0&2&1\\0&-1&1\end{pmatrix}$.
  4. $F_3\to F_3+\frac12F_2$ (reemplazo, factor $1$): $\begin{pmatrix}1&3&1\\0&2&1\\0&0&1.5\end{pmatrix}=D_e$, ya triangular.
  5. $\det D_e=1\cdot2\cdot1.5=3$. Factores acumulados: $(-1)\cdot\frac12\cdot1\cdot1=-\frac12$.
  6. $\det D=\dfrac{\det D_e}{\text{producto de factores}}=\dfrac{3}{-\frac12}=-6$.

Comprobación directa por Sarrus sobre $D$: $0+10+8-12-0-12=-6$ ✓ (verificado también con sympy).

P
Ejemplo 1.22 de U — determinantes de matrices elementales

Retomando las 4 matrices elementales del Ejemplo 1.7 de 1.2: $E_1$ (de $F_2\to2F_2$ en $I_3$) tiene $\det E_1=2$; $E_2$ (de $F_1\to F_1+5F_4$ en $I_4$, reemplazo) tiene $\det E_2=1$; $E_3$ (de $F_1\leftrightarrow F_2$ en $I_3$, permutación) tiene $\det E_3=-1$; $E_4$ (de $F_1\to F_1-F_2$ en $I_2$, reemplazo) tiene $\det E_4=1$. Coincide con «el determinante de una elemental es $\alpha$, $-1$ o $1$ según su tipo», porque toda elemental sale de aplicar una operación a $I_n$, cuyo determinante es 1.

U p.27
Consecuencia práctica: calcular un determinante escalonando

Para calcular $\det A$ de cualquier orden: se lleva $A$ a una escalonada $A_e$ (triangular superior) anotando el factor de cada operación (permutar $\to\times(-1)$, escalar $\to\times\alpha$, reemplazo $\to\times1$); entonces $$\det A=\frac{1}{\text{producto de los factores anotados}}\cdot\det A_e=\frac{1}{\text{producto de los factores}}\cdot(\text{producto de la diagonal de }A_e).$$ Es el método más rápido para órdenes altos, y el que conecta directamente con el escalonamiento de 1.2.

P
Error típico

Aplicar el reemplazo con un factor: pensar que $F_i\to F_i+\alpha F_j$ multiplica el determinante por $\alpha$ (o por $1+\alpha$). El reemplazo nunca cambia el determinante, sea cual sea $\alpha$; es justo la operación «gratis» que permite escalonar sin alterar $\det A$ salvo por los intercambios y los reescalados de filas.

7Determinante, regularidad, rango e inversa U p.27-28

Regularidad

$A$ (cuadrada de orden $n$) es regular $\iff$ $\det(A)\neq0$. Enlaza con el Tema 1.2: $A$ regular $\iff\operatorname{rang}(A)=n$ (U p.22), así que también $\det(A)\neq0\iff\operatorname{rang}(A)=n$.

Por qué es cierto (con lo visto en el §6): al escalonar, $\det A=c\cdot\det A_e$ con $c\neq0$ (el producto de los factores de permutar/escalar; el reemplazo no aporta factor). Por otro lado, $A$ es regular $\iff$ su escalonada $A_e$ es triangular sin ceros en la diagonal (U p.22, Tema 1.2). Y una triangular tiene determinante no nulo exactamente cuando su diagonal no tiene ceros (propiedad 2 del §5). Encadenando ambas cosas: $A$ regular $\iff\det A_e\neq0\iff\det A=c\cdot\det A_e\neq0$ (pues $c\neq0$).

U p.27
Matriz adjunta y fórmula de la inversa

La matriz adjunta de $A$, $\operatorname{Adj}(A)$, es la matriz cuyo elemento $(i,j)$ es el adjunto $A_{ij}$ (definido en el §2). Si $\det(A)\neq0$: $$A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\big(\operatorname{Adj}A\big)^t.$$ Nótese la trasposición: la columna $k$ de $A^{-1}$ se obtiene con los adjuntos de la fila $k$ de $A$, no de su columna $k$.

U p.27-28
Ejemplo numérico $2\times2$ — comparar con el Ejemplo 1.5 de 1.2

Con $A=\begin{pmatrix}2&3\\1&5\end{pmatrix}$ (Ejemplo 1.5 del Tema 1.2, calculado allí resolviendo un sistema): $\det A=2\cdot5-3\cdot1=7\neq0$, luego $A$ es regular. Los adjuntos son $A_{11}=5$, $A_{12}=-1$, $A_{21}=-3$, $A_{22}=2$, así que $\operatorname{Adj}A=\begin{pmatrix}5&-1\\-3&2\end{pmatrix}$ y $$A^{-1}=\frac17\begin{pmatrix}5&-3\\-1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac57&-\frac37\\-\frac17&\frac27\end{pmatrix},$$ el mismo resultado que en 1.2, pero sin plantear ningún sistema: para $2\times2$, «cruzar la diagonal, cambiar de signo la secundaria y dividir por $\det A$» es la versión rápida de esta fórmula.

P
Ejemplo 1.23 de U — inversa $3\times3$ completa por adjuntos

Con $A=\begin{pmatrix}1&2&1\\3&2&2\\5&4&3\end{pmatrix}$ (nótese: $a_{13}=1$, no es la matriz del Ejemplo 1.16, que tenía un $0$ ahí). Por Sarrus, $|A|=6+12+20-10-8-18=2\neq0$: $A$ es regular.

Los nueve adjuntos: $A_{11}=-2$, $A_{12}=1$, $A_{13}=2$, $A_{21}=-2$, $A_{22}=-2$, $A_{23}=6$, $A_{31}=2$, $A_{32}=1$, $A_{33}=-4$, así que $$\operatorname{Adj}A=\begin{pmatrix}-2&1&2\\-2&-2&6\\2&1&-4\end{pmatrix},\qquad A^{-1}=\frac12\begin{pmatrix}-2&-2&2\\1&-2&1\\2&6&-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&-1&1\\\frac12&-1&\frac12\\1&3&-2\end{pmatrix}.$$

Comprobación: $AA^{-1}=I_3$ (verificado con sympy).

U p.28
Interpretación geométrica

En $\mathbb R^2$, $|\det[v_1\ v_2]|$ es el área del paralelogramo que forman los vectores $v_1,v_2$ (colocados como columnas). Por ejemplo, con $v_1=(1,2)$ y $v_2=(3,0)$: $\left|\det\begin{pmatrix}1&3\\2&0\end{pmatrix}\right|=|0-6|=6$: el paralelogramo que forman tiene área 6. En $\mathbb R^3$, $|\det[v_1\ v_2\ v_3]|$ es el volumen del paralelepípedo que forman los tres vectores. Es coherente con la propiedad de que $\det=0$ cuando hay filas/columnas proporcionales: si dos vectores son paralelos (o uno es combinación de los otros), la figura se «aplasta» y su área/volumen es 0.

U p.27
Ojo si lees Lay: fórmula de la inversa con notación distinta

En Lay, la matriz adjunta $\operatorname{adj}(A)$ ya está traspuesta (Lay la define directamente como la traspuesta de la matriz de cofactores $C_{ij}$), y su fórmula es $A^{-1}=\dfrac1{\det A}\operatorname{adj}(A)$, sin trasponer de nuevo. En U, en cambio, $\operatorname{Adj}(A)$ es la matriz de adjuntos sin trasponer, y hay que trasponerla a mano: $A^{-1}=\dfrac1{|A|}(\operatorname{Adj}A)^t$. Ambas fórmulas dan el mismo resultado, pero si mezclas la matriz "Adj" de un libro con la fórmula del otro, te sale la traspuesta de $A^{-1}$ en vez de $A^{-1}$. En este resumen usamos siempre la notación de U.

L p.179
Rango por menores

El rango de $A\in\mathcal M_{m\times n}$ también se puede definir como el mayor orden $r$ para el que existe un menor (determinante de una submatriz cuadrada $r\times r$) no nulo. Coincide con la definición de 1.2 (número de filas no nulas de una escalonada), pero esta versión con menores es la que permite discutir el rango según un parámetro sin escalonar (ver Ejercicio 1.29).

U p.27-28
Ejemplo 1.24 de U — rango por menores de una matriz singular

La matriz del Ejemplo 1.16 (§1), $A=\begin{pmatrix}1&2&0\\3&2&2\\5&4&3\end{pmatrix}$, tiene $|A|=0$ (ya calculado), así que $\operatorname{rang}(A)\lt3$. El menor de filas 1-2 y columnas 1-2, $\begin{vmatrix}1&2\\3&2\end{vmatrix}=2-6=-4\neq0$, es de orden 2 y no nulo: por tanto $\operatorname{rang}(A)=2$. No hace falta escalonar para llegar a esta conclusión.

U p.28
Truco de examen

Para discutir el rango de una matriz cuadrada con parámetro: calcula primero $\det A$ (factorizado, si puedes). Donde $\det A\neq0$, el rango es máximo ($n$) sin más trabajo. En los valores que anulan $\det A$, sustituye ese valor y busca un solo menor de orden $n-1$ no nulo (basta uno); si todos son nulos, baja otra vez de orden.

Error típico

Concluir que $\det A=0$ implica rango $1$ o rango $0$: solo implica $\operatorname{rang}(A)\lt n$. Hay que seguir bajando de orden, comprobando menores, hasta encontrar uno no nulo (ver Ejercicio 1.29).

8Ejercicios del libro, resueltos

Ejercicio 1.21 E p.23

Calcúlese el determinante de la matriz $A$ de filas $(1,2,m,4)$, $(3,2,1,m)$, $(0,1,4,0)$ y $(3m,5,1,2)$ mediante el desarrollo de la columna $C_4$, siendo $m\in\mathbb R$.

  1. $A=\begin{pmatrix}1&2&m&4\\3&2&1&m\\0&1&4&0\\3m&5&1&2\end{pmatrix}$. Desarrollo por $C_4$: $|A|=a_{14}A_{14}+a_{24}A_{24}+a_{34}A_{34}+a_{44}A_{44}$, con $A_{i4}=(-1)^{i+4}M_{i4}$.
  2. $a_{14}=4$, $a_{24}=m$, $a_{34}=0$, $a_{44}=2$; signos $(-1)^{i+4}$: $-,+,-,+$. Como $a_{34}=0$, no hace falta calcular $A_{34}$.
  3. $M_{14}=\begin{vmatrix}3&2&1\\0&1&4\\3m&5&1\end{vmatrix}=21m-57$ (Sarrus), así que $A_{14}=57-21m$.
  4. $M_{24}=\begin{vmatrix}1&2&m\\0&1&4\\3m&5&1\end{vmatrix}=-3m^2+24m-19=A_{24}$.
  5. $M_{44}=\begin{vmatrix}1&2&m\\3&2&1\\0&1&4\end{vmatrix}=3m-17=A_{44}$.
  6. Suma: $4(57-21m)+m(-3m^2+24m-19)+2(3m-17)=228-84m-3m^3+24m^2-19m+6m-34$.

$$\boxed{|A|=-3m^3+24m^2-97m+194}$$ (comprobado desarrollando también por $F_3$, que también tiene dos ceros, y con sympy: coincide).

Receta: desarrolla por la fila o columna que te pidan (o la que tenga más ceros); escribe primero el tablero de signos $(-1)^{i+j}$ y calcula solo los menores cuyo elemento no es 0.

Error típico: olvidar el signo $(-1)^{i+j}$ del adjunto (aquí, el $-$ de $A_{14}$), o confundir el menor $M_{ij}$ con el adjunto $A_{ij}$.

Ejercicio 1.22 E p.23

Si $a_{15}a_{2i}a_{3j}a_{42}a_{53}$ es un término del desarrollo de un determinante de orden 5, dicho término debe llevar signo negativo cuando $(i,j)$ sea: A) $(1,4)$. B) $(4,1)$. C) Lo es siempre.

  1. Por la Definición 1.6, cada término toma un elemento de cada fila (en orden $1,\dots,5$) y un elemento de cada columna: los segundos subíndices $p=(5,i,j,2,3)$ deben ser una permutación de $\{1,\dots,5\}$.
  2. Las columnas $5,2,3$ ya están usadas, luego $\{i,j\}=\{1,4\}$: solo hay dos opciones, $(i,j)=(1,4)$ o $(4,1)$.
  3. Paridad de $p=(5,1,4,2,3)$ (opción A), contando intercambios hasta la identidad: $(5,1,4,2,3)\to(3,1,4,2,5)\to(3,1,2,4,5)\to(1,3,2,4,5)\to(1,2,3,4,5)$: 4 intercambios, par, $\operatorname{sig}=+1$.
  4. Paridad de $p=(5,4,1,2,3)$ (opción B): $(5,4,1,2,3)\to(3,4,1,2,5)\to(1,4,3,2,5)\to(1,2,3,4,5)$: 3 intercambios, impar, $\operatorname{sig}=-1$.

El término de A lleva signo $+$ (A es falsa); el de B lleva signo $-$: respuesta B. C es falsa (el caso A tiene signo $+$). Comprobado con sympy (Permutation.signature()).

Receta: lee los segundos subíndices en el orden de las filas: eso es la permutación $p$. Completa lo que falte para que sea una permutación completa y cuenta intercambios hasta la identidad: par $\to+$, impar $\to-$.

Error típico: pensar que el signo depende de los valores $a_{ij}$ (depende solo de la permutación de columnas), o equivocarse contando intercambios.

Ejercicio 1.23 E p.24

Calcúlense, si es posible, los determinantes de las matrices del Ejercicio 1.13 (Tema 1.2): $A_1=\begin{pmatrix}1&0\\0&3\end{pmatrix}$, $A_2=\begin{pmatrix}1&2&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$, $A_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&2\\0&0&1\end{pmatrix}$, $A_4=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}$, $A_5=\begin{pmatrix}1&0&5&1\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}$, $A_6=\begin{pmatrix}2&1&0\\0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}$.

  1. Antes de calcular, se comprueba si es cuadrada y se buscan atajos (elemental, triangular, fila de ceros).
  2. $A_1$: elemental de $F_2\to3F_2$; $\det A_1=3$.
  3. $A_2$: elemental de $F_1\to F_1+2F_2$ (reemplazo); $\det A_2=\det I_3=1$.
  4. $A_3$ es $4\times3$: no es cuadrada, su determinante no existe.
  5. $A_4$: elemental de $F_1\leftrightarrow F_3$ (permutación); $\det A_4=-1$.
  6. $A_5$: no es elemental, pero es triangular superior; $\det A_5=1\cdot1\cdot1\cdot1=1$.
  7. $A_6$: tiene una fila de ceros ($F_2$); $\det A_6=0$.
$A_1$$A_2$$A_3$$A_4$$A_5$$A_6$
31no existe−110
Receta: antes de calcular, busca atajos: ¿cuadrada?, ¿fila/columna de ceros?, ¿triangular?, ¿elemental? Determinante de una elemental: $-1$ (permutar), $\alpha$ (escalar), $1$ (reemplazo).

Error típico: intentar «calcular» el determinante de $A_3$ (no existe por no ser cuadrada), o creer que hay que desarrollar $A_5$ por no ser elemental cuando basta ver que es triangular.

Ejercicio 1.24 E p.25

Si $A$ es la matriz de filas $(-1,-5,-7)$, $(2,5,6)$ y $(1,3,4)$, hállese la tercera columna de $A^{-1}$.

  1. $A=\begin{pmatrix}-1&-5&-7\\2&5&6\\1&3&4\end{pmatrix}$. Con $A^{-1}=\frac1{|A|}(\operatorname{Adj}A)^t$, la columna 3 de $(\operatorname{Adj}A)^t$ es la fila 3 de $\operatorname{Adj}A$: $(A_{31},A_{32},A_{33})$. No hace falta calcular los nueve adjuntos.
  2. $A_{31}=+\begin{vmatrix}-5&-7\\5&6\end{vmatrix}=5$, $A_{32}=-\begin{vmatrix}-1&-7\\2&6\end{vmatrix}=-8$, $A_{33}=+\begin{vmatrix}-1&-5\\2&5\end{vmatrix}=5$.
  3. Reaprovechando esos adjuntos, desarrollando $|A|$ por $F_3=(1,3,4)$: $|A|=1\cdot5+3\cdot(-8)+4\cdot5=1\neq0$: $A$ es regular.
  4. Tercera columna de $A^{-1}$: $\frac11(5,-8,5)^t=(5,-8,5)^t$.

$$\boxed{\text{3.ª columna de }A^{-1}=(5,-8,5)^t}$$ Comprobación: $A(5,-8,5)^t=(0,0,1)^t=e_3$ ✓, como exige $AA^{-1}=I$.

Receta: la columna $k$ de $A^{-1}$ es $\frac1{|A|}\times$ (adjuntos de la fila $k$ de $A$); y $|A|$ sale gratis desarrollando por esa misma fila.

Error típico: olvidar la trasposición y tomar los adjuntos de la columna 3 (que dan la fila 3 de $A^{-1}$, no la columna); olvidar el signo $(-1)^{i+j}$ en $A_{32}$.

Ejercicio 1.25 E p.25

Si $A$ es una matriz cuadrada real de orden $n$ y $B$ la traspuesta de la matriz adjunta de $A$, calcúlese $\operatorname{rang}(B)$ suponiendo que $\operatorname{rang}(A)=n$.

  1. $\operatorname{rang}(A)=n\Rightarrow A$ regular $\Rightarrow|A|\neq0$.
  2. $B=(\operatorname{Adj}A)^t$, así que $A^{-1}=\frac1{|A|}B$; multiplicando por $A$ a la derecha: $I_n=A^{-1}A=\frac1{|A|}BA$, es decir $BA=|A|\,I_n$.
  3. Tomando determinantes (paso que E omite): $\det(BA)=\det B\det A$ (propiedad 6 del §5). Y $\det(|A|I_n)=|A|^n$ porque $|A|I_n$ es «$I_n$ multiplicada por el escalar $|A|$», y la propiedad 5 del §5 dice $\det(\alpha M)=\alpha^n\det(M)$; aquí $\alpha=|A|$, $M=I_n$ y $\det(I_n)=1$ (propiedad 2), así que $\det(|A|I_n)=|A|^n\cdot1=|A|^n$. Igualando: $|B||A|=|A|^n\Rightarrow|B|=|A|^{n-1}\neq0$ (se puede dividir porque $|A|\neq0$).
  4. $|B|\neq0\Rightarrow B$ regular $\Rightarrow\operatorname{rang}(B)=n$.

$$\boxed{\operatorname{rang}(B)=n}$$ (Forma más corta: $B=|A|A^{-1}$ es un escalar no nulo por una matriz regular, luego regular.) Comprobado con sympy con matrices genéricas.

Receta: si aparece $(\operatorname{Adj}A)^t$ con $A$ regular, sustitúyelo por $|A|A^{-1}$ y razona con eso.
Aviso sobre E

E afirma que «de $BA=|A|I_n$ se deduce $|B|\neq0$» sin decir cómo: hace falta el paso 3 (tomar determinantes y usar $\det(XY)=\det X\det Y$). Sin justificarlo, en el examen la deducción quedaría incompleta.

Ejercicio 1.26 E p.26

Si $A$ es cuadrada de orden 4 y en sus filas se hace: multiplicar por $\frac12$ la primera, multiplicar por $\frac13$ la segunda, restar a la tercera el doble de la cuarta y trasponer, obtenemos $B$ que verifica: A) $|A|=|B|$. B) $|A|=6|B|$. C) $|A|=(2-\frac16)|B|$.

PasoOperaciónEfecto
1$F_1\to\frac12F_1$$\times\frac12$
2$F_2\to\frac13F_2$$\times\frac13$
3$F_3\to F_3-2F_4$no cambia
4trasponerno cambia
  1. Encadenando los factores: $|B|=\frac12\cdot\frac13\cdot1\cdot1\cdot|A|=\frac16|A|$, es decir $|A|=6|B|$.

Respuesta: B. A es falsa salvo que $|A|=0$; C confunde el reemplazo (no cambia nada) con un factor $-2$. Comprobado con sympy simbólicamente.

Receta: recorre las operaciones anotando un factor: permutar $\to(-1)$, escalar una fila por $\alpha\to\alpha$, reemplazo $\to1$, trasponer $\to1$. El determinante final es el inicial multiplicado por el producto de los factores.

Error típico: pensar que $F_3\to F_3-2F_4$ multiplica el determinante por $-2$. El distractor C no corresponde a ninguna regla válida de las operaciones elementales: un reemplazo de fila ($F_i\to F_i+\alpha F_j$) siempre tiene factor $1$, nunca aparece el $-2$ del coeficiente en el propio factor.

Ejercicio 1.27 E p.27

Sabiendo que $\begin{vmatrix}x&y&z\\1&0&2\\1&1&3\end{vmatrix}=1$, calcúlese $\begin{vmatrix}x&\frac14&4\\y&0&4\\z&\frac12&12\end{vmatrix}$.

  1. Sea $M$ la primera matriz y $N$ la segunda. La columna 1 de $N$ es $(x,y,z)^t$: la fila 1 de $M$ traspuesta. Las columnas 2 y 3 de $N$ son múltiplos de las filas 2 y 3 de $M$: $C_2(N)=\frac14(1,0,2)^t$, $C_3(N)=4(1,1,3)^t$.
  2. Sacando esos factores comunes de columnas: $|N|=\frac14\cdot4\cdot\begin{vmatrix}x&1&1\\y&0&1\\z&2&3\end{vmatrix}=1\cdot\begin{vmatrix}x&1&1\\y&0&1\\z&2&3\end{vmatrix}$.
  3. Esa matriz es $M^t$ (comparar filas de $M$ con columnas de aquí), y $\det M^t=\det M$.

$$\boxed{|N|=|M|=1}$$ (comprobado con sympy: ambos determinantes valen $-2x-y+z$).

Receta: compara las filas/columnas de la matriz pedida con las de la conocida: busca trasposición, factores comunes en una línea y aplica a cada cambio su factor correspondiente.

Error típico: sacar el factor como si fuera de toda la matriz (elevándolo a $n$), en vez de reconocer que solo se saca de columnas sueltas; o no ver la trasposición e intentar comparar filas con filas.

Ejercicio 1.28 E p.27

Calcúlese el determinante de la matriz de filas $(x,a,b,c)$, $(a,x,0,0)$, $(b,0,x,0)$, $(c,0,0,x)$.

  1. $M=\begin{pmatrix}x&a&b&c\\a&x&0&0\\b&0&x&0\\c&0&0&x\end{pmatrix}$. Desarrollo por $F_3=(b,0,x,0)$ (dos ceros): $|M|=b\,A_{31}+x\,A_{33}$.
  2. $A_{31}=+\begin{vmatrix}a&b&c\\x&0&0\\0&0&x\end{vmatrix}$; desarrollando este $3\times3$ por su fila 2, $=-bx^2$.
  3. $A_{33}=+\begin{vmatrix}x&a&c\\a&x&0\\c&0&x\end{vmatrix}\overset{\text{Sarrus}}{=}x^3-a^2x-c^2x$.
  4. Suma: $b(-bx^2)+x(x^3-a^2x-c^2x)=x^4-x^2(a^2+b^2+c^2)$.

$$\boxed{|M|=x^2(x^2-a^2-b^2-c^2)}$$ (comprobado por $C_4$, y con sympy factorizando).

Receta: desarrolla por la línea con más ceros; si un menor $3\times3$ vuelve a tener una línea casi nula, repite el desarrollo en vez de forzar Sarrus. Factoriza el resultado: aquí revela enseguida cuándo $M$ es singular ($x=0$ o $x^2=a^2+b^2+c^2$).

Error típico: errores de signo en el adjunto de un elemento fuera de la diagonal (aquí $A_{14}$, en el desarrollo alternativo, lleva $-$), o tachar la fila/columna equivocada.

Ejercicio 1.29 E p.28

El rango de $\begin{pmatrix}1&2&0\\1&2+a&1\\2&4+a&1+a\end{pmatrix}$ es: A) 1 si $a=0$. B) 3 si $a\neq0$. C) 2 si $a=0$.

  1. Reemplazos (no cambian el determinante): $F_2\to F_2-F_1$, $F_3\to F_3-2F_1$, $F_3\to F_3-F_2$ dan $\begin{pmatrix}1&2&0\\0&a&1\\0&0&a\end{pmatrix}$, triangular: $|A|=a^2$.
  2. $a\neq0$: $|A|=a^2\neq0\Rightarrow\operatorname{rang}A=3$: B es verdadera.
  3. $a=0$: $|A|=0\Rightarrow\operatorname{rang}A\le2$. Con $a=0$, el menor de filas 1-2, columnas 1 y 3: $\begin{vmatrix}1&0\\1&1\end{vmatrix}=1\neq0$, luego $\operatorname{rang}A=2$: C es verdadera, A es falsa.
  4. Comprobación por escalonada con $a=0$: $\begin{pmatrix}1&2&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}$, ya escalonada, 2 filas no nulas: rango 2 ✓.

Respuesta: B y C son ambas verdaderas; A es falsa (es un test atípico con dos opciones correctas, que E reconoce explícitamente). Comprobado con sympy: rango 2 para $a=0$, rango 3 para $a\neq0$; $\det=a^2$.

Receta: para el rango de una matriz cuadrada con parámetro, calcula el determinante factorizado; donde no se anula, rango máximo; en cada valor que lo anula, sustituye y busca un menor no nulo del orden inmediatamente inferior (o escalona).
Aviso sobre E

E afirma que los menores de orden 2 que lista son «las únicas posibilidades» no nulas: es impreciso (una matriz $3\times3$ tiene 9 menores de orden 2, y hay más no nulos), pero no afecta a la conclusión porque basta encontrar uno no nulo.

Error típico: concluir «$\det=0\Rightarrow$ rango 1 o 0»: solo dice rango $\lt n$, hay que bajar de orden en orden buscando un menor no nulo.

Ejemplos propios (dificultad creciente)

Ejemplo propio 1 — Sarrus frente a adjuntos (fácil) P

Calcula $\det M$ con $M=\begin{pmatrix}2&1&3\\0&-1&4\\1&2&1\end{pmatrix}$ por Sarrus y por desarrollo por la primera columna; comprueba que coinciden.

  1. Sarrus: $2(-1)(1)+0\cdot2\cdot3+1\cdot4\cdot1-3(-1)(1)-4\cdot2\cdot2-0\cdot1\cdot1=-2+0+4+3-16-0=-11$.
  2. Por $C_1=(2,0,1)^t$ (tiene un cero): $\det M=2A_{11}+0\cdot A_{21}+1\cdot A_{31}$, con $A_{11}=\begin{vmatrix}-1&4\\2&1\end{vmatrix}=-9$ y $A_{31}=\begin{vmatrix}1&3\\-1&4\end{vmatrix}=7$: $\det M=2(-9)+7=-11$.

$$\boxed{\det M=-11}$$ Como $\det M\neq0$, $M$ es regular.

Receta: Sarrus solo sirve para $3\times3$; el desarrollo por adjuntos sirve para cualquier orden y aprovecha los ceros.
Ejemplo propio 2 — singularidad por fila proporcional (medio) P

Sin desarrollar, justifica que $N=\begin{pmatrix}1&2&-1\\3&0&2\\-2&-4&2\end{pmatrix}$ no es invertible y calcula su rango.

  1. $F_3=(-2,-4,2)=-2F_1$: las filas 1 y 3 son proporcionales.
  2. El reemplazo $F_3\to F_3+2F_1$ no cambia el determinante y produce una fila de ceros: $\det N=0$.
  3. $\det N=0\Rightarrow N$ no es regular. Rango: el menor $\begin{vmatrix}1&2\\3&0\end{vmatrix}=-6\neq0$, luego $\operatorname{rang}N=2$.
Receta: dos filas (o columnas) proporcionales $\Rightarrow\det=0$; justifícalo con un reemplazo que deje una fila de ceros, en vez de desarrollar directamente.
Ejemplo propio 3 — seguir el determinante a través de operaciones (medio) P

Sea $A=\begin{pmatrix}1&2&0\\3&1&2\\0&1&1\end{pmatrix}$. Se hacen, en este orden, $F_1\leftrightarrow F_2$, $F_3\to3F_3$, $F_2\to F_2-2F_1$, obteniendo $B$. Sin calcular $\det B$ directamente, halla $\det B$, $\det B^t$ y $\det(2A)$.

  1. $\det A$ por Sarrus: $1+0+0-0-2-6=-7$.
  2. Factores: permutar $\to-1$; multiplicar $F_3$ por 3 $\to3$; reemplazo $\to1$: total $-3$.
  3. $\det B=-3\cdot(-7)=21$; $\det B^t=\det B=21$; $\det(2A)=2^3\det A=-56$ (no $2\cdot(-7)=-14$).

$$\boxed{\det B=21,\quad\det B^t=21,\quad\det(2A)=-56}$$ Comprobado con sympy.

Receta: encadena los factores de cada operación en el orden en que se aplican; para $\det(\alpha A)$ usa siempre $\alpha^n$, nunca $\alpha$.
Ejemplo propio 4 — determinante con parámetro, rango e inversa por adjuntos (difícil) P

Discute, según $a\in\mathbb R$, el rango de $P=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&a&1\\1&1&a\end{pmatrix}$ y, para $a=2$, calcula $P^{-1}$ por adjuntos.

  1. Reemplazos $F_2\to F_2-F_1$, $F_3\to F_3-F_1$: $\begin{pmatrix}1&1&1\\0&a-1&0\\0&0&a-1\end{pmatrix}$, triangular: $\det P=(a-1)^2$.
  2. $a\neq1$: $\det P\neq0\Rightarrow\operatorname{rang}P=3$.
  3. $a=1$: todas las filas son $(1,1,1)$; todos los menores de orden 2 son nulos y hay un menor de orden 1 no nulo: $\operatorname{rang}P=1$ (baja dos unidades, no basta con suponer rango 2).
  4. $a=2$: $\det P=1$. Adjuntos: $A_{11}=3$, $A_{12}=-1$, $A_{13}=-1$, $A_{21}=-1$, $A_{22}=1$, $A_{23}=0$, $A_{31}=-1$, $A_{32}=0$, $A_{33}=1$, así que $\operatorname{Adj}P=\begin{pmatrix}3&-1&-1\\-1&1&0\\-1&0&1\end{pmatrix}$ (simétrica, porque $P$ lo es) y $P^{-1}=\frac11(\operatorname{Adj}P)^t=\operatorname{Adj}P$.

Comprobación: $PP^{-1}=I_3$ (sympy: $\det P=(a-1)^2$; rango 1 para $a=1$, rango 3 para $a=2$).

Receta: con parámetros, factoriza siempre $\det P$; cada caso que lo anula se estudia aparte comprobando menores, sin suponer que el rango baja solo en 1.

Error típico: suponer que si $\det P=0$ el rango es siempre $n-1$: aquí, para $a=1$, baja hasta 1.

9Ejemplos de examen X

Preguntas de exámenes de otros años que caen en este tema (en los últimos años casi siempre hay una). Las soluciones oficiales son muy escuetas; aquí se desarrolla el razonamiento completo, porque el examen puntúa el proceso («lo que no se justifica no se puntúa»). Están agrupadas por método:

Dos propiedades que U no enuncia literalmente (se deducen en la solución)

(P1) Operaciones por columnas. U p.27 enuncia el efecto de las operaciones elementales por filas. Hacer una operación sobre las columnas de $A$ es hacerla sobre las filas de $A^t$, y $\det A=\det A^t$ (U p.26): por tanto las tres reglas (permutar $\times(-1)$, escalar $\times\alpha$, reemplazo sin cambio) valen igual por columnas. (P2) $\det(A^{-1})=1/\det A$. De $AA^{-1}=I$ y $\det(AB)=\det A\det B$ (U p.26): $\det A\cdot\det A^{-1}=\det I=1$ ($I$ es triangular, U p.26), y $\det A\neq0$ por ser $A$ regular (U p.27). P

A. Operaciones de filas o columnas sobre un determinante dado

Sept. 2025, pregunta 1 — operaciones por columnas y determinante de la traspuesta X Sept. 2025

Sea $A\in\mathcal M_{6\times6}$ una matriz de orden 6 en cuyas columnas se realizan las siguientes transformaciones (en el orden indicado): se intercambia la primera columna con la sexta, se multiplica la tercera columna por 7, se le suma a la segunda columna la cuarta y la quinta. Llamamos $B$ a la matriz resultante. Sabiendo que $\det A=4$, calcule de manera razonada el determinante de la traspuesta de $B$.

  1. Por qué valen para columnas las reglas de filas (P1). Una operación sobre las columnas de $A$ es la misma operación sobre las filas de $A^t$, y $\det A=\det A^t$ (U p.26).
  2. $C_1\leftrightarrow C_6$: intercambio de dos columnas, el determinante cambia de signo: $4\cdot(-1)=-4$.
  3. $C_3\to7C_3$: multiplicar una columna por $7\neq0$ multiplica por 7: $-4\cdot7=-28$.
  4. $C_2\to C_2+C_4+C_5$: son dos reemplazos, $C_2\to C_2+C_4$ y luego $C_2\to C_2+C_5$ (las columnas 4 y 5 no han cambiado). Cada reemplazo $C_i\to C_i+\alpha C_j$ con $j\neq i$ no cambia el determinante: sigue valiendo $-28$. Así $\det B=-28$.
  5. Traspuesta: $\det B^t=\det B=-28$ (U p.26).

Resultado: $\det B^t=-28$. (Sympy: con una $A$ regular aleatoria de orden 6, $\det(B^t)/\det A=-7$.)

Receta: recorre las operaciones en orden y acumula un factor: intercambio $\to\times(-1)$; escalar $\alpha\to\times\alpha$; sumar a una fila/columna múltiplos de otras $\to\times1$. La traspuesta no cambia nada.

Error típico: creer que la traspuesta cambia el signo o invierte el determinante; o pensar que «sumar dos columnas» multiplica por 2 (eso solo pasaría con $C_2\to2C_2+\dots$, es decir, si se multiplica la propia columna que se sustituye).

Feb. 2023 (1.ª sem.), pregunta 1 — determinante de orden 5 a partir de operaciones por filas X Feb. 2023 (1.ª)

Sean $a,b\in\mathbb R$ y $$A=\begin{pmatrix}3&-1&0&5&4\\7&0&-3&8&2\\1&2&9&3&a\\1&4&2&-2&6\\-5&4&1&0&b\end{pmatrix}\in\mathcal M_{5\times5}.$$ Sabiendo que $\det A=15$, calcule el siguiente determinante: $$\det\begin{pmatrix}1&4&2&-2&6\\21&0&-9&24&6\\1&2&9&3&a\\3&-1&0&5&4\\-4&6&10&3&a+b\end{pmatrix}.$$

Llamemos $F_1,\dots,F_5$ a las filas de $A$ y $M$ a la matriz pedida. La idea es reconocer cada fila de $M$ como una fila de $A$ modificada: no se calcula ningún determinante de orden 5 (con $a,b$ sería inviable).

  1. Identificar filas. Fila 1 de $M$: $(1,4,2,-2,6)=F_4$. Fila 2: $(21,0,-9,24,6)=3\cdot(7,0,-3,8,2)=3F_2$. Fila 3: $(1,2,9,3,a)=F_3$. Fila 4: $(3,-1,0,5,4)=F_1$. Fila 5: $(-4,6,10,3,a+b)=(-5+1,\,4+2,\,1+9,\,0+3,\,b+a)=F_5+F_3$.
  2. Traducir a operaciones elementales (U p.27). $F_1\leftrightarrow F_4$: cambia el signo, $15\cdot(-1)=-15$. $F_2\to3F_2$: multiplica por 3, $-45$. $F_5\to F_5+F_3$: reemplazo, sigue en $-45$. (Tras el intercambio, la fila 3 sigue siendo $F_3$, así que el reemplazo es correcto en ese orden.)
  3. Estas tres operaciones llevan exactamente $A$ a $M$.

Resultado: $\det M=15\cdot(-1)\cdot3=-45$. (Sympy, con $a,b$ simbólicos: $\det M/\det A=-3$ idénticamente.)

Receta: (1) escribe cada fila nueva como combinación de las antiguas; (2) tradúcelo a operaciones elementales; (3) multiplica $\det A$ por $(-1)^{\#\text{intercambios}}$ y por los escalares; los reemplazos no cuentan.

Error típico: contar $F_5\to F_5+F_3$ como «multiplica por 2», o no ver que la fila 2 es un múltiplo ($\times3$) de la original.

Feb. 2025 (2.ª sem.), pregunta 1 — determinante de orden 4 a partir de operaciones por filas X Feb. 2025 (2.ª)

Sean $a,b\in\mathbb R$ y $$A=\begin{pmatrix}a&1&4&-7\\0&b&2&4\\1&5&a&0\\-9&-2b&1&1\end{pmatrix}\in\mathcal M_{4\times4}.$$ Sabiendo que $\det A=7$, calcule el siguiente determinante: $$\det\begin{pmatrix}a-9&1-2b&5&-6\\1&5&a&0\\0&10b&20&40\\-9&-2b&1&1\end{pmatrix}.$$

  1. Identificar filas (filas de $A$: $F_1,\dots,F_4$; $M$ la matriz pedida). Fila 1 de $M$: $(a-9,\,1-2b,\,5,\,-6)=(a+(-9),\,1+(-2b),\,4+1,\,-7+1)=F_1+F_4$. Fila 2: $(1,5,a,0)=F_3$. Fila 3: $(0,10b,20,40)=10\cdot(0,b,2,4)=10F_2$. Fila 4: $F_4$.
  2. Operaciones (U p.27). $F_1\to F_1+F_4$: reemplazo, sigue valiendo 7. $F_2\to10F_2$: $\times10$, 70. $F_2\leftrightarrow F_3$: cambio de signo, $-70$.
  3. Se obtiene exactamente $M$ (la fila $10F_2$ se coloca en el lugar 3 y $F_3$ en el 2).

Resultado: $\det M=7\cdot10\cdot(-1)=-70$. (Sympy: $\det M/\det A=-10$ con $a,b$ simbólicos.)

Receta: la misma que en el ejemplo anterior (identificar filas, traducir a operaciones, acumular factores).

Error típico: olvidar el intercambio de las filas 2 y 3: las filas «están» pero en otro orden, y eso ya es un intercambio.

B. Productos, traspuestas y matrices semejantes

Feb. 2024 (2.ª sem.), pregunta 2 — $\det(ABA^t)$ X Feb. 2024 (2.ª)

Sea $a\in\mathbb R$ y $$A=\begin{pmatrix}2&-1&0\\-1&a&9\\0&9&7\end{pmatrix}\in\mathcal M_{3\times3}.$$ Sabiendo que $\det A=5$, calcule el determinante de la matriz $ABA^t$, donde $$B=\begin{pmatrix}0&9&7\\-3&3a&27\\2&-1&0\end{pmatrix}.$$ (La matriz $A^t$ denota la traspuesta de $A$.)

  1. Determinante de un producto. Por U p.26, $\det(ABA^t)=\det A\cdot\det B\cdot\det A^t$.
  2. Traspuesta. $\det A^t=\det A=5$ (U p.26; vale para cualquier matriz cuadrada, no hace falta que $A$ sea simétrica, aunque aquí lo sea).
  3. Relacionar $B$ con $A$. Filas de $A$: $F_1=(2,-1,0)$, $F_2=(-1,a,9)$, $F_3=(0,9,7)$. Filas de $B$: $(0,9,7)=F_3$; $(-3,3a,27)=3F_2$; $(2,-1,0)=F_1$. Luego $B$ sale de $A$ con $F_1\leftrightarrow F_3$ ($\times(-1)$) y $F_2\to3F_2$ ($\times3$) (U p.27): $\det B=5\cdot(-1)\cdot3=-15$.
  4. Juntar. $\det(ABA^t)=5\cdot(-15)\cdot5=-375$.

Resultado: $-375$. (Sympy: $\det A=14a-169$, $\det B=-3\det A$; con $a=87/7$, $\det(ABA^t)=-375$.)

Fallo recurrente (señalado en el propio examen)

«Decir que el determinante de un producto de matrices es la suma de los determinantes. Decir que el determinante de la matriz traspuesta de $A$ es el inverso del determinante de $A$.» Lo correcto: $\det(XY)=\det X\det Y$ y $\det A^t=\det A$.

Receta: $\det$ de un producto = producto de $\det$; $\det A^t=\det A$; para $\det B$ busca qué operaciones elementales llevan $A$ a $B$.

Error típico: despejar $a$ de $\det A=5$ ($a=87/7$) y calcular todo a mano: posible, pero largo y propenso a errores.

Feb. 2019 (tipo B), ejercicio 4 — determinante de una matriz semejante a una diagonal de orden 2 X Feb. 2019 (B)

Si $A$ es una matriz cuadrada de orden 2 que es semejante a $\begin{pmatrix}2&0\\0&-1\end{pmatrix}$, calcule, si es posible, el valor del determinante de $A$.

  1. Qué significa «semejante». Por la Definición 4.5 (U §4.1.3 p.148), existe una matriz regular $P$ con $A=P^{-1}DP$, $D=\begin{pmatrix}2&0\\0&-1\end{pmatrix}$. (Es lo mismo que $D=PAP^{-1}$; en todo este tema se usa la convención de U, $A=P^{-1}DP$.)
  2. Determinante del producto (U p.26, dos veces): $\det A=\det(P^{-1})\,\det D\,\det P$.
  3. Determinante de la inversa (P2). De $PP^{-1}=I$: $\det P\cdot\det P^{-1}=1$; $P$ es regular, luego $\det P\neq0$ (U p.27) y $\det P^{-1}=1/\det P$.
  4. Se cancela $P$: $\det A=\dfrac1{\det P}\cdot\det D\cdot\det P=\det D$. No hace falta conocer $P$: por eso «sí es posible».
  5. $\det D$: diagonal, luego triangular: producto de la diagonal (U p.26), $2\cdot(-1)=-2$.

Resultado: $\det A=-2$. (Sympy: con $P=\begin{pmatrix}1&2\\1&3\end{pmatrix}$, $\det(P^{-1}DP)=-2$.)

Receta: matrices semejantes tienen el mismo determinante: $\det(P^{-1}DP)=\det D$. Si $D$ es diagonal (o triangular), $\det D$ = producto de la diagonal = producto de los autovalores contados con su multiplicidad.

Error típico: intentar hallar una $P$ concreta (no se pide y no hace falta), o escribir $\det(P^{-1})=-\det P$ en vez de $1/\det P$.

Sept. 2024, pregunta 4 — determinante de una matriz de orden 5 semejante a una diagonal X Sept. 2024

Calcule el determinante de una matriz $A$ de orden 5 que es semejante a una matriz diagonal $D$ cuyos valores propios son $-5$ y $-2$ con multiplicidades algebraicas 1 y 4, respectivamente.

  1. Semejanza. Existe $P$ regular con $A=P^{-1}DP$ (Def. 4.5, U p.148).
  2. Mismo determinante. Por $\det(XY)=\det X\det Y$ y $\det P^{-1}=1/\det P$ (P2): $|A|=|P^{-1}|\,|D|\,|P|=|D|$.
  3. Quién es $D$. Diagonal de orden 5 cuyos valores propios son sus elementos diagonales (si $D$ es diagonal, $|D-\lambda I|=\prod(d_{ii}-\lambda)$). Con las multiplicidades dadas la diagonal tiene una vez $-5$ y cuatro veces $-2$ (el orden no afecta al producto): $D=\operatorname{diag}(-5,-2,-2,-2,-2)$.
  4. Producto de la diagonal (U p.26): $|D|=(-5)\cdot(-2)^4=(-5)\cdot16=-80$.

Resultado: $|A|=-80$.

Receta: $\det A=\prod\lambda_i^{\,m_i}$ (cada autovalor elevado a su multiplicidad algebraica). Cuidado con el signo: $(-2)^4>0$.

Error típico: multiplicar los autovalores sin elevarlos a su multiplicidad ($(-5)(-2)=10$).

Feb. 2026 (2.ª sem.), pregunta 4 — determinante de una matriz de orden 7 semejante a una diagonal X Feb. 2026 (2.ª)

Calcule el determinante de una matriz $A$ de orden 7, sabiendo que es semejante a una matriz diagonal $D$ cuyos valores propios son $-1$ y $5$ con multiplicidades algebraicas 3 y 4, respectivamente.

  1. $A$ semejante a $D$: existe $P$ regular con $A=P^{-1}DP$ (Def. 4.5, U p.148).
  2. $|A|=|P^{-1}|\,|D|\,|P|=\dfrac1{|P|}\,|D|\,|P|=|D|$ (U p.26 y P2).
  3. $D$ es diagonal de orden $3+4=7$ (se comprueba que las multiplicidades suman el orden) con diagonal $(-1,-1,-1,5,5,5,5)$ en algún orden.
  4. $|A|=|D|=(-1)^3\cdot5^4=(-1)\cdot625=-625$.

Resultado: $|A|=-625$. (Sympy, construyendo $A=P^{-1}DP$ con una $P$ regular de orden 7: $\det A=-625$.)

Receta: igual que en el ejemplo anterior: comprobar que la suma de multiplicidades es el orden y multiplicar $\lambda^{m}$.

Error típico: $(-1)^3=-1$ (exponente impar): olvidar el signo.

C. Permutaciones y signo de un término del desarrollo

Feb. 2019 (tipo B), ejercicio 1 — signo de un término del desarrollo de un determinante de orden 5 X Feb. 2019 (B)

Si $a_{15}a_{2i}a_{3j}a_{42}a_{53}$ es un término del desarrollo de un determinante de orden 5 de una matriz $A=(a_{ij})$ tal que el signo de la permutación asociada $p$, $\operatorname{sig}(p)$, es negativo, calcular el valor de $(i,j)$. E Ej. 1.22 (Ver también el Ejercicio 1.22.)

  1. Forma de los términos. Por la Definición 1.6 (U p.25), $\det A=\sum_{p\in S_5}\operatorname{sig}(p)\,a_{1p_1}\cdots a_{5p_5}$: cada término tiene un factor de cada fila (primer subíndice $1,\dots,5$) y los segundos subíndices forman una permutación de $\{1,\dots,5\}$ (un factor de cada columna).
  2. Permutación asociada. Leyendo los segundos subíndices por filas: $p=(5,i,j,2,3)$. Ya están usadas las columnas 5, 2, 3; faltan 1 y 4. Como $i\neq j$, solo hay dos casos: $(i,j)=(1,4)$ o $(4,1)$.
  3. Paridad de $(5,1,4,2,3)$ (intercambios hasta la identidad, U p.25): $(5,1,4,2,3)\to(3,1,4,2,5)\to(3,1,2,4,5)\to(1,3,2,4,5)\to(1,2,3,4,5)$: 4 intercambios, par, signo $+1$.
  4. Paridad de $(5,4,1,2,3)$: $(5,4,1,2,3)\to(3,4,1,2,5)\to(1,4,3,2,5)\to(1,2,3,4,5)$: 3 intercambios, impar, signo $-1$.
  5. Comprobación por inversiones. $(5,1,4,2,3)$ tiene $4+0+2+0=6$ inversiones (par); $(5,4,1,2,3)$ tiene $4+3+0+0=7$ (impar). Coincide: la paridad no depende de los intercambios elegidos (U p.25).

Resultado: $(i,j)=(4,1)$. (Sympy, Permutation.signature(): $+1$ y $-1$.)

Receta: (1) escribe los segundos subíndices ordenando por filas; (2) completa con las columnas que faltan; (3) cuenta intercambios (o inversiones) hasta la identidad: par $\to+$, impar $\to-$.

Error típico: leer la permutación por columnas en lugar de por filas, o pensar que el signo depende del valor de los $a_{ij}$ (es solo de la permutación).

D. Factorización $LU$ y determinante

Sept. 2017 (tipo A), ejercicio 1 — factorización $LU$ y $\det A=\det U$ (test) X Sept. 2017 (A)

La factorización $LU$ de una matriz $A$ cuadrada de orden $n$: A) Siempre es única; B) NO se puede utilizar en la resolución de $AX=B$; C) Permite calcular el determinante de $A$ ya que coincide con el determinante de $U$; D) Ninguna de las anteriores es cierta.

Respuesta: C. Con $A=LU$, $L$ triangular inferior de diagonal unitaria (U p.45): $\det A=\det L\cdot\det U=1\cdot\det U$ (U p.26 y p.51). El ejercicio completo (con las razones por las que A y B son falsas) está resuelto en el tema 1.4.

E. El determinante como test de base (frontera con el tema 2.3)

Feb. 2018 (tipo B), ejercicio 1 — $\det$ de orden 4 para probar que $S_1$ es base de $\mathbb R^4$ X Feb. 2018 (B)

Se incluye aquí porque la solución oficial se reduce a calcular un determinante de orden 4 («su determinante vale 420»), que es la destreza de este tema; el objeto (base, sistema ligado) es del tema 2.3.

Sean el sistema $S_1$ de vectores definido por las filas de $\begin{pmatrix}4&1&-3&-4\\2&4&-4&3\\2&3&1&3\\4&0&-1&2\end{pmatrix}$ y el sistema $S_2$ definido por las filas de $\begin{pmatrix}1&1&-4\\1&5&6\\4&2&3\\-2&0&-2\end{pmatrix}$. Se pide comprobar que $S_1$ es una base de $\mathbb R^4$ y que $S_2$ es un sistema ligado de $\mathbb R^3$.

  1. Por qué basta un determinante. $S_1$ tiene 4 vectores en $\mathbb R^4$ (dimensión 4): son base $\iff$ son linealmente independientes $\iff$ la matriz $S$ con ellos por filas tiene rango 4 $\iff\det S\neq0$ (U p.27).
  2. Hacer ceros en la columna 2 con el 1 de la posición $(1,2)$ como pivote (reemplazos: no cambian el determinante). $F_2\to F_2-4F_1$: $(2-16,\,0,\,-4+12,\,3+16)=(-14,0,8,19)$. $F_3\to F_3-3F_1$: $(2-12,\,0,\,1+9,\,3+12)=(-10,0,10,15)$. $F_4$ ya tiene 0. $$\det S=\det\begin{pmatrix}4&1&-3&-4\\-14&0&8&19\\-10&0&10&15\\4&0&-1&2\end{pmatrix}.$$
  3. Desarrollar por la columna 2 (U p.24): solo queda $a_{12}=1$, con signo $(-1)^{1+2}=-1$: $$\det S=-\det\begin{pmatrix}-14&8&19\\-10&10&15\\4&-1&2\end{pmatrix}.$$
  4. Sacar factor 5 de la fila 2. $F_2\to\tfrac15F_2$ divide el determinante por 5, así que fuera se multiplica por 5: $$\det\begin{pmatrix}-14&8&19\\-10&10&15\\4&-1&2\end{pmatrix}=5\det\begin{pmatrix}-14&8&19\\-2&2&3\\4&-1&2\end{pmatrix}.$$
  5. Sarrus (U p.26). Positivos: $(-14)(2)(2)+8\cdot3\cdot4+19\cdot(-2)(-1)=-56+96+38=78$. Negativos: $19\cdot2\cdot4+(-14)\cdot3\cdot(-1)+8\cdot(-2)\cdot2=152+42-32=162$. Determinante $=78-162=-84$.
  6. Juntar: $\det S=-1\cdot5\cdot(-84)=420\neq0$: rango 4, $S_1$ libre y, con 4 vectores en dimensión 4, base de $\mathbb R^4$.
  7. $S_2$. Son 4 vectores de $\mathbb R^3$: el rango de una matriz $4\times3$ es a lo sumo 3 $<4$, luego son linealmente dependientes (ligados). No hace falta ningún cálculo. (Sympy: rango 3.)

Resultado: $\det S=420$ (sympy) $\Rightarrow$ $S_1$ base; $S_2$ ligado por tener más vectores que la dimensión.

Receta: $n$ vectores de $\mathbb R^n$ son base $\iff$ el determinante de la matriz que forman es $\neq0$. Para un $4\times4$: elige una fila/columna con un 1 (o ceros), haz ceros con reemplazos, desarrolla por adjuntos y acaba con Sarrus.

Error típico: intentar calcular un determinante para $S_2$: no es cuadrada y el determinante no está definido (U p.23).

Para practicar (usan determinantes pero son de otros temas) X varios
  • X, Sept. 2023, pregunta 5 (tema 4.1, congruencia) — «dos matrices congruentes tienen el mismo determinante»: falso. Con $B=P^tAP$, $|B|=|P|^2|A|$; contraejemplo $A=I_2$, $P=\operatorname{diag}(2,1)$, $|B|=4$. Solo se conserva el signo. (Con semejanza, $A=P^{-1}DP$, sí se conserva: ejemplos B.)
  • X, Ene. 2022 (tipo A), ejercicio 5, 1.ª afirmación (tema 5.1, matrices de Gram) — los determinantes de dos matrices de Gram del mismo producto escalar en bases distintas no son iguales en general: $G=Q^tG'Q$, $|G|=|Q|^2|G'|$.
  • X, Feb. 2026 (1.ª sem.), pregunta 3 (tema 2.3) — ¿es una colección de 4 matrices $2\times2$ base de $\mathcal M_{2\times2}$? Se pasa a coordenadas y se estudia el determinante $4\times4$; aquí sale una fila de ceros al escalonar, $\det=0$: no es base.
  • X, Sept. 2023, pregunta 2 (tema 2.2) — valor de $k$ para que $(1,1,-2,k)$ sea combinación lineal de tres vectores independientes de $\mathbb R^4$: determinante $4\times4$ igual a $0$ (desarrollo por una columna): $k=-8$.
  • X, Feb. 2026 (1.ª sem.), pregunta 4 (tema 4.2) — con polinomio característico $p(\lambda)=(\lambda+8)^2(\lambda-3)^2$, $|A+8I|=p(-8)=0=p(3)=|A-3I|$: igualdad cierta.

10Chuleta y lista de comprobación

ResultadoFórmulaHipótesis
Orden 2$|A|=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$$A$ cuadrada de orden 2
Orden 3 (Sarrus)$a_{11}a_{22}a_{33}+a_{21}a_{32}a_{13}+a_{12}a_{23}a_{31}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{23}a_{32}a_{11}-a_{21}a_{12}a_{33}$$A$ cuadrada de orden 3 (¡solo orden 3!)
Desarrollo por adjuntos$|A|=\sum_j a_{ij}A_{ij}$ (fila $i$) o $\sum_i a_{ij}A_{ij}$ (columna $j$), $A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$cualquier orden $n$; elige la línea con más ceros
Definición 1.6 (Leibniz)$\det A=\sum_{p\in S_n}\operatorname{sig}(p)\,a_{1p_1}\cdots a_{np_n}$$n!$ sumandos; base teórica de todas las propiedades
Fila/columna de ceros$\det A=0$—
Triangular$\det A=a_{11}\cdots a_{nn}$triangular superior o inferior
Traspuesta$\det A=\det A^t$—
Escalar$\det(\alpha A)=\alpha^n\det A$$n$ = orden de $A$ (no confundir con escalar una fila)
Producto$\det(AB)=\det A\det B$$A,B$ cuadradas del mismo orden
Inversa (escalar)$\det(A^{-1})=\dfrac1{\det A}$$A$ regular (sale de $\det(AB)=\det A\det B$ con $B=A^{-1}$)
Permutar filas/columnas$\times(-1)$una permutación de dos líneas
Escalar una fila/columna$\times\alpha$$\alpha\neq0$
Reemplazono cambia$F_i\to F_i+\alpha F_j$, cualquier $\alpha$
Regularidad$A$ regular $\iff\det A\neq0\iff\operatorname{rang}A=n$$A$ cuadrada de orden $n$
Inversa por adjuntos$A^{-1}=\frac1{\det A}(\operatorname{Adj}A)^t$$\det A\neq0$; ¡ojo a la trasposición!
Rango por menores$\operatorname{rang}A=$ mayor orden de un menor no nuloequivalente a la definición por escalonamiento (1.2)

★Fuentes de este tema

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