Relaciones de equivalencia

Si $A=\{a,b,1,2\}$ y $R=\{(a,b),(b,1),(2,2)\}$ es una relación binaria en $A$: A) justificar si $R$ es reflexiva, simétrica y transitiva. B) Justificar si $R'=R\cup\{(a,a),(b,b),(1,1),(1,b),(a,1)\}$ es de equivalencia. C) Hacer los diagramas de Venn de $R$ y $R'$.

Qué se pide. Revisar tres propiedades sobre un grafo de flechas pequeño. Lo importante: para negar basta un contraejemplo, para afirmar hay que revisar todo.

1. Grafo de $R$ (Def. 4.1): flechas $a\to b$, $b\to1$ y un lazo en $2$.
2. Reflexiva (hacen falta los 4 lazos): solo está $(2,2)$; $(a,a)\notin R$. No.
3. Simétrica: $(a,b)\in R$ pero $(b,a)\notin R$. No.
4. Transitiva: $a\to b\to1$ exigiría $(a,1)\notin R$. No. Respuesta A): $R$ no cumple ninguna de las tres.
5. $R'$ completo (8 pares): $(a,b),(b,1),(2,2),(a,a),(b,b),(1,1),(1,b),(a,1)$. Lazos en los 4 elementos; $a\to b$; $b\leftrightarrow1$; $a\to1$.
6. Reflexiva: $(a,a),(b,b),(1,1),(2,2)\in R'$. Sí.
7. Simétrica: $(a,b)\in R'$ y $(b,a)\notin R'$ (también falla $(a,1)$ sin $(1,a)$). No.
8. Transitiva (se revisan todas las cadenas; los lazos dan cadenas triviales). Flechas no triviales: $a\to b$, $b\to1$, $1\to b$, $a\to1$.

   1.ª flecha	2.ª flecha	exige	¿está?
   $a\to b$	$b\to1$	$(a,1)$	sí
   $a\to1$	$1\to b$	$(a,b)$	sí
   $b\to1$	$1\to b$	$(b,b)$	sí
   $1\to b$	$b\to1$	$(1,1)$	sí

   Ninguna flecha sale de $b$ o $1$ hacia $a$, y $2$ solo se relaciona consigo mismo: no hay más cadenas. Sí es transitiva.
9. Conclusión B): $R'$ es reflexiva y transitiva pero no simétrica; por la Def. 4.2 no es de equivalencia.
10. C) Los «diagramas de Venn» son los grafos de los pasos 1 y 5.

Error típico: afirmar la transitividad tras comprobar una o dos cadenas (el libro lo hace con dos ejemplos); o creer que el lazo en $2$ basta para la reflexividad. Teoría: Def. 4.1 (U p.142), propiedades (p.143), Def. 4.2 (p.144).

Para $A$ y $R'$ del Ejercicio 4.1: A) añadir los pares necesarios a $R'$ para formar una relación $N$ con $R'\subset N$ de equivalencia. B) Escribir las clases de $A/N$.

Qué se pide. Hallar la menor relación de equivalencia que contiene a $R'$: añadir solo lo que obligan las tres propiedades, hasta que no haya que añadir más.

1. Reflexiva: $R'$ ya tiene los 4 lazos. Nada que añadir.
2. Simétrica: $(a,b)$ obliga a $(b,a)$; $(a,1)$ obliga a $(1,a)$; $b\leftrightarrow1$ ya está en ambos sentidos.
3. Transitiva (con las flechas nuevas hay cadenas nuevas, hay que repasarlas): $b\to a\to1\Rightarrow(b,1)$ ✓; $1\to a\to b\Rightarrow(1,b)$ ✓; $b\to a\to b\Rightarrow(b,b)$ ✓; $1\to a\to1\Rightarrow(1,1)$ ✓; $a\to b\to a\Rightarrow(a,a)$ ✓; $b\to1\to a\Rightarrow(b,a)$ ✓; $1\to b\to a\Rightarrow(1,a)$ ✓. Todas están: hemos terminado. $$N=\{(a,a),(b,b),(1,1),(2,2),(a,b),(b,a),(b,1),(1,b),(a,1),(1,a)\}\quad(10\text{ pares}).$$
4. B) Clases ($[x]=\{y: xNy\}$): $[a]=[b]=[1]=\{a,b,1\}$ y $[2]=\{2\}$. $$A/N=\{\{a,b,1\},\{2\}\}.$$ Es una partición: sin solapes y con unión $A$.

Error típico: añadir $(b,a)$ y $(1,a)$ y olvidar volver a comprobar la transitividad con las flechas nuevas. Teoría: Def. 4.2 y Ej. 4.4 (U p.144-145).

En $\mathbb N$ (naturales distintos de 0) se define $xRy\Leftrightarrow x+y$ es par. A) Justificar si $R$ es de equivalencia. B) Escribir el conjunto cociente.

Qué se pide. Una relación definida por una frase sobre infinitos elementos: ya no se pueden listar las cadenas, hay que demostrar con letras.

1. Traducción: $x+y$ par $\iff$ $x$ e $y$ tienen la misma paridad (par+par y impar+impar dan par; par+impar da impar).
2. Reflexiva: $$x+x=2x\ \text{es par}\ \Rightarrow\ xRx.\ ✓$$
3. Simétrica: $y+x=x+y$ (conmutativa) $\Rightarrow$ si $xRy$ entonces $yRx$. ✓
4. Transitiva: si $x+y=2m$ e $y+z=2k$, sumando y restando $2y$: $$x+z=2m+2k-2y=2(m+k-y),$$

   par. ✓

5. A) Es de equivalencia (Def. 4.2): cierta.
6. B) Clases: $[1]=\{1,3,5,\dots\}$ (impares) y $[2]=\{2,4,6,\dots\}$ (pares). Todo natural es par o impar y no ambos: exactamente dos clases. $$\mathbb N/R=\{\{\text{pares}\},\{\text{impares}\}\}.$$

Error típico: «probar» la transitividad con ejemplos ($2R4$, $4R6\Rightarrow2R6$): un ejemplo no demuestra un «para todo». Teoría: Def. 4.2 (U p.144).

¿Es de equivalencia? Halla las clases.

1. Reflexiva: los tres lazos están. Simétrica: la única flecha no trivial $1\to2$ tiene vuelta $2\to1$.
2. Transitiva: cadenas $1\to2\to1\Rightarrow(1,1)$ ✓ y $2\to1\to2\Rightarrow(2,2)$ ✓.
3. Sí es de equivalencia; $A/R=\{\{1,2\},\{3\}\}$.

Demuestra que es de equivalencia y halla las clases.

1. Reflexiva: $x-x=0=3\cdot0$. Simétrica: $y-x=-(x-y)=3(-k)$. Transitiva: $x-z=(x-y)+(y-z)=3k+3l=3(k+l)$.
2. Clases: $[0]=\{\dots,-3,0,3,\dots\}$, $[1]=\{\dots,-2,1,4,\dots\}$, $[2]=\{\dots,-1,2,5,\dots\}$: tres clases, los restos al dividir entre 3 ($f(x)$ = resto).

Halla la menor relación de equivalencia $N\supset R$ y $A/N$.

1. Lazos: $(p,p),(q,q),(r,r),(s,s)$. Vueltas: $(q,p),(r,q)$.
2. Atajos: $p\to q\to r\Rightarrow(p,r)$ y $r\to q\to p\Rightarrow(r,p)$. Se revisa de nuevo: no surge nada más.
3. $N$ tiene $3^2+1=10$ pares y $A/N=\{\{p,q,r\},\{s\}\}$.

Si $A$ y $B$ son dos matrices regulares de orden $n$, justificar si es cierto que: A) son equivalentes. B) Son congruentes. C) Son semejantes.

Qué se pide. «¿Es cierto siempre?»: para negar basta un contraejemplo.

1. Recordatorio: equivalentes $B=MAN$ ($M,N$ independientes); congruentes $B=P^tAP$; semejantes $B=P^{-1}AP$. Congruentes y semejantes son casos particulares de equivalentes.
2. A) Cierta. Regulares de orden $n$ $\Rightarrow$ ambas de rango $n$ $\Rightarrow$ equivalentes (Teor. 4.2). Directo: $M=BA^{-1}$ (regular) y $N=I$ dan $MAN=BA^{-1}A=B$.
3. B) Falsa. $A=I_n$, $B=-I_n$. Si fueran congruentes, $-I=P^tIP=P^tP$; pero el elemento $(1,1)$ de $P^tP$ es $\sum_kp_{k1}^2\ge0$, no puede valer $-1$.
4. C) Falsa. $A=I$, $B=2I$: para toda $P$ regular $P^{-1}IP=I\neq2I$ (también: $\det I=1\neq2^n$).
5. Conclusión: solo A) es cierta. B y C no son «imposibles» (con $A=B$ valen con $P=I$): son falsas porque no se cumplen siempre.

Error típico: pensar que «mismo rango» basta para semejanza o congruencia. Nota: el libro solo dice que no hay datos para afirmar $M=N^t$; los contraejemplos son la justificación rigurosa. Teoría: Def. 4.3 (U p.146), Teor. 4.2 y Def. 4.4 (p.147), Def. 4.5 (p.148).

Si $A$ es una matriz de orden 2 semejante a $\begin{pmatrix}2&0\cr0&-1\end{pmatrix}$, justificar si $|A|$ es: A) 1. B) $-2$. C) 0. D) No se puede calcular.

Qué se pide. No se conoce $P$, pero el determinante no depende de ella: es un invariante.

1. Sea $D=\operatorname{diag}(2,-1)$. Por la Def. 4.5 existe $P$ regular con $A=P^{-1}DP$ (la semejanza es simétrica, el orden no importa).
2. Determinante del producto (U p.26): $$|A|=|P^{-1}|\,|D|\,|P|.$$
3. $P^{-1}P=I$ da $|P^{-1}||P|=1$, es decir $|P^{-1}|=1/|P|$ (existe: $|P|\neq0$).
4. Luego $$|A|=|D|=2\cdot(-1)=-2$$

   (diagonal: producto de la diagonal).

5. B) cierta. A y C son falsas (además $A$ es regular); D es falsa: se calcula sin conocer $P$.

Error típico: elegir D porque «no conocemos $P$». Teoría: Def. 4.5 (U p.148), U p.26. Mismo método: X Feb. 2019 (B) ej. 4.

Si $A=\begin{pmatrix}2&0\cr0&-1\end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix}1&1\cr1&0\end{pmatrix}$, justificar: A) existe una matriz de paso que demuestra que son semejantes. B) La matriz de paso, si existe, es única. C) Existe pero no se puede determinar con estos datos. D) No existe porque $A$ y $B$ no son semejantes.

Qué se pide. Decidir si son semejantes; la respuesta correcta se ve con un invariante, pero se confirma con el método general del sistema.

1. Invariante. $$|A|=-2,\qquad|B|=1\cdot0-1\cdot1=-1.$$

   Si fueran semejantes tendrían el mismo determinante (Ej. 4.5): no son semejantes.

2. Confirmación por el sistema. $B=P^{-1}AP\iff PB=AP$, con $P=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$: $$PB=\begin{pmatrix}a+b&a\\c+d&c\end{pmatrix},\qquad AP=\begin{pmatrix}2a&2b\\-c&-d\end{pmatrix}.$$

   Igualando entrada a entrada:

   $$a+b=2a,\ a=2b\ \Rightarrow\ b=a\ \text{y}\ a=2a\ \Rightarrow\ a=b=0,$$ $$c+d=-c,\ c=-d\ \Rightarrow\ d=-2c\ \text{y}\ d=-c\ \Rightarrow\ c=d=0.$$

   Única solución $P=0$, no regular.

3. Opciones: A falsa; B falsa (y cuando existe nunca es única: si $P$ vale, $kP$ con $k\neq0$ también, porque $(kP)^{-1}A(kP)=P^{-1}AP$); C falsa (no existe; cuando existe se determina resolviendo $PB=AP$); D cierta.

Error típico: escribir $B=P^{-1}AP$ con $P^{-1}$ simbólica (no lineal): pasa siempre a $PB=AP$. Teoría: Def. 4.5 (U p.148).

Si $A=\begin{pmatrix}0&0\cr0&8\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}1&-1\cr0&1\end{pmatrix}$, $C=\begin{pmatrix}2&4\cr3&6\end{pmatrix}$, justificar si son semejantes: A) $A$ y $B$. B) $B$ y $C$. C) $A$ y $C$. D) Ninguno de los tres pares.

Qué se pide. Descartar con invariantes los pares imposibles, y para el que sobreviva hallar la matriz de paso.

1. Determinantes: $$|A|=0,\qquad|B|=1\cdot1-(-1)\cdot0=1,\qquad|C|=12-12=0.$$
2. A) y B) falsas: $|A|=0\neq1=|B|$ y $|B|=1\neq0=|C|$.
3. Par $A,C$: $|A|=|C|$ es necesario pero no suficiente; también coinciden las trazas ($0+8=2+6$) y los rangos (1). Hay que buscar $P$: $A=P^{-1}CP\iff PA=CP$. $$PA=\begin{pmatrix}0&8b\\0&8d\end{pmatrix},\qquad CP=\begin{pmatrix}2a+4c&2b+4d\\3a+6c&3b+6d\end{pmatrix}.$$

   Igualando:

   $$2a+4c=0,\quad8b=2b+4d,\quad3a+6c=0,\quad8d=3b+6d,$$

   es decir $a=-2c$ y $3b=2d$ (las otras dos son proporcionales).

4. Regularidad (el libro la omite): con $a=-2c$, $d=\tfrac32b$: $$\det P=ad-bc=-3bc-bc=-4bc\neq0\iff b\neq0,\ c\neq0.$$
5. Elección sin fracciones: $c=1$, $b=2$, $a=-2$, $d=3$: $$P=\begin{pmatrix}-2&2\\1&3\end{pmatrix},\qquad\det P=-8.$$
6. Comprobación: $$CP=\begin{pmatrix}0&16\\0&24\end{pmatrix},\qquad P^{-1}=\frac1{-8}\begin{pmatrix}3&-2\\-1&-2\end{pmatrix},\qquad P^{-1}(CP)=\begin{pmatrix}0&0\\0&8\end{pmatrix}=A\ ✓$$
7. Respuesta: C). D es falsa porque el par $A,C$ sí lo es.

Error típico: dar una $P$ sin comprobar que es regular (con $b=0$ o $c=0$ hay solución del sistema que no es matriz de paso). Teoría: Def. 4.5 (U p.148); la traza como invariante, U p.153.

Si $A=\begin{pmatrix}2&0\cr0&1\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}2&-1\cr0&1\end{pmatrix}$ y $P=\begin{pmatrix}a&b\cr c&d\end{pmatrix}$, justificar si para que $A$ y $B$ sean semejantes y $P$ sea matriz de paso deben cumplirse: A) $a^2+b^2=c^2$, $d=0$. B) $b=c=0$, $d\neq0$, $a\neq0$. C) $b=d\neq0$, $c=0$, con $a\neq0$. D) Nunca pueden ser semejantes.

Qué se pide. No una matriz de paso, sino la familia completa de matrices de paso, y ver cuál opción la describe.

1. Invariantes (orientan, no deciden): $|A|=2=|B|$ y trazas $3=3$. Puede haber semejanza.
2. Sistema $A=P^{-1}BP\iff PA=BP$: $$PA=\begin{pmatrix}2a&b\\2c&d\end{pmatrix},\qquad BP=\begin{pmatrix}2a-c&2b-d\\c&d\end{pmatrix}.$$

   Posición $(1,1)$: $2a=2a-c\Rightarrow c=0$. $(1,2)$: $b=2b-d\Rightarrow b=d$. $(2,1)$: $2c=c\Rightarrow c=0$. $(2,2)$: $d=d$. Solución:

   $$P=\begin{pmatrix}a&b\\0&b\end{pmatrix},\qquad a,b\ \text{libres}.$$
3. Regularidad: $\det P=ab\neq0\iff a\neq0$ y $b\neq0$. Las matrices de paso son exactamente $P=\begin{pmatrix}a&b\\0&b\end{pmatrix}$ con $a\neq0$, $b=d\neq0$, $c=0$.
4. Opciones. A) $d=0\Rightarrow b=0\Rightarrow\det P=0$: falsa. B) $b=0$ y $d\neq0$ contradice $b=d$; falsa (con $P=\operatorname{diag}(a,d)$: $PA=\operatorname{diag}(2a,d)\neq BP$). C) cierta: es la condición del paso 3. D) falsa: con $a=b=d=1$, $c=0$, $P=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ y $$P^{-1}BP=\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&-1\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}=A\ ✓$$

Error típico: olvidar $\det P\neq0$ y dar por válida una opción con $P$ singular (A), o no comprobar que la opción es compatible con el sistema (B). Teoría: Def. 4.5 (U p.148), U p.26-27.

$A=\begin{pmatrix}1&2\cr2&4\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}0&0\cr0&3\end{pmatrix}$. ¿Equivalentes? ¿Semejantes?

1. $\operatorname{rang}A=1$ ($F_2=2F_1$) y $\operatorname{rang}B=1$: equivalentes (Teor. 4.2). Explícitamente, $$M=\begin{pmatrix}-2&1\\3&0\end{pmatrix}\ (\det=-3),\qquad N=\begin{pmatrix}2&1\\-1&0\end{pmatrix}\ (\det=1)$$

   dan $MAN=B$ (comprobado).

2. Trazas $5\neq3$: no semejantes. Moraleja: equivalentes no implica semejantes.

$J=\begin{pmatrix}1&1\cr0&1\end{pmatrix}$ e $I$: ¿semejantes?

1. Mismo rango (2), determinante (1) y traza (2).
2. $P^{-1}IP=I\neq J$ para toda $P$: no semejantes. Con el sistema: $PI=JP$ da $c=d=0\Rightarrow\det P=0$.
3. Los invariantes son condición necesaria, no suficiente.

$A=\begin{pmatrix}3&0\cr0&1\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}3&2\cr0&1\end{pmatrix}$. Halla todas las $P$ con $A=P^{-1}BP$.

1. $PA=BP$: $$PA=\begin{pmatrix}3a&b\\3c&d\end{pmatrix},\qquad BP=\begin{pmatrix}3a+2c&3b+2d\\c&d\end{pmatrix}.$$
2. Entradas: $$3a=3a+2c\Rightarrow c=0;\qquad b=3b+2d\Rightarrow b=-d;\qquad3c=c\Rightarrow c=0.$$
3. La solución es $$P=\begin{pmatrix}a&-d\\0&d\end{pmatrix},\qquad\det P=ad\neq0.$$

   Con $a=d=1$: $P=\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}$ (comprobado).

Si $A=\begin{pmatrix}3&-1&-1\cr-2&2&2\cr1&1&1\end{pmatrix}$ y $\Lambda=\begin{pmatrix}2&0&0\cr0&4&0\cr0&0&0\end{pmatrix}$: A) encontrar, si es posible, una matriz de paso $P$ para que $\Lambda$ sea semejante a $A$ siendo $(1,0,1)$ la primera columna de $P^{-1}$. B) Encontrar una matriz de paso $P$ para que $\Lambda$ sea semejante a $A$.

Aviso de notación: la $Q=P^{-1}$ de esta solución (notación del libro) no es la $Q$ del convenio del tema 3.5 ($x_B=Qx_{B'}$); aquí es solo un nombre para $P^{-1}$.

Qué se pide. Encontrar una $P$ que «diagonalice» a $A$ sin saber todavía valores propios: se resuelve como un sistema lineal. (Este es un adelanto del tema 4.3.)

1. Planteamiento. $\Lambda=P^{-1}AP$ con $P$ regular. Como el enunciado habla de $P^{-1}$, llamamos $Q=P^{-1}$: $$\Lambda=QAQ^{-1}\ \Rightarrow\ \Lambda Q=QA.$$

   Es lineal en las 9 incógnitas de $Q$.

2. Invariantes. $\operatorname{rang}A=2=\operatorname{rang}\Lambda$, $\operatorname{tr}A=6=\operatorname{tr}\Lambda$, $\det=0$ en ambas. Pueden ser semejantes (condición necesaria, no suficiente).
3. Lectura por filas. Si $r_1,r_2,r_3$ son las filas de $Q$, la fila $i$ de $\Lambda Q$ es $\lambda_ir_i$ (una diagonal a la izquierda escala filas) y la fila $i$ de $QA$ es $r_iA$. Así $\Lambda Q=QA$ equivale a tres sistemas independientes: $$r_1A=2r_1,\qquad r_2A=4r_2,\qquad r_3A=0.$$

   Con $r=(x,y,z)$:

   $$rA=(3x-2y+z,\ -x+2y+z,\ -x+2y+z).$$
4. Fila 1 ($rA=2r$): $x-2y+z=0$, $z=x$, $-x+2y-z=0$, lo que da $z=x$, $y=x$: $$r_1=\alpha(1,1,1).$$
5. Fila 2 ($rA=4r$): $-x-2y+z=0$ y $-x+2y-3z=0$; $z=x+2y$ y entonces $-4x-4y=0$: $y=-x$, $z=-x$: $$r_2=\beta(1,-1,-1).$$
6. Fila 3 ($rA=0$): $3x-2y+z=0$, $-x+2y+z=0$; sumando $2x+2z=0\Rightarrow z=-x$, $y=x$: $$r_3=\gamma(1,1,-1).$$
7. Familia completa: $$Q=\begin{pmatrix}\alpha&\alpha&\alpha\\\beta&-\beta&-\beta\\\gamma&\gamma&-\gamma\end{pmatrix},\qquad\det Q=4\alpha\beta\gamma.$$

   $Q$ es regular $\iff\alpha,\beta,\gamma\neq0$.

8. A) La primera columna de $Q$ es $(\alpha,\beta,\gamma)$; imponer $(1,0,1)$ obliga a $\beta=0$: fila 2 nula, $\det Q=0$, $Q$ no es invertible y $Q=P^{-1}$ debería serlo. No es posible.
9. B) Tomamos $\alpha=\beta=1$, $\gamma=-1$: $$Q=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&-1&-1\\-1&-1&1\end{pmatrix},\qquad\det Q=-4,\qquad P=Q^{-1}=\begin{pmatrix}1/2&1/2&0\\0&-1/2&-1/2\\1/2&0&1/2\end{pmatrix}.$$

   Comprobación: $QAP=\Lambda$ (sympy) o, sin invertir, $\Lambda Q=QA$: la fila 1 de $QA$ es $(1,1,1)A=(2,2,2)=2(1,1,1)$ ✓.

10. Interpretación. Las columnas de $P$ son vectores propios de $A$ (tema 4.2-4.3): $(1,0,1)$ para $\lambda=2$, $(1,-1,0)$ para $4$ y $(0,-1,1)$ para $0$ (salvo múltiplos). Curiosamente $(1,0,1)$ es una columna de $P$, no de $P^{-1}$: la pregunta A) trampea con esa confusión.

Error típico: confundir columnas de $P$ con columnas de $P^{-1}$, y concluir semejanza solo porque coinciden los rangos. Teoría: Def. 4.5 (U p.148); frontera con U §4.2-4.3 (tema 4.3, donde se enlazará).

Si $A$ es la matriz del Ejercicio 4.9, justificar si $A^{15}$ es alguna de las matrices: A) $\begin{pmatrix}2^{14}&2^{14}-2^{29}&2^{29}\cr2^{14}&2^{29}-2^{14}&-2^{29}\cr2^{14}&2^{14}-2^{29}&2^{29}\end{pmatrix}$. B) $\begin{pmatrix}2^{15}&2^{15}&0\cr0&-2^{30}&2^{30}\cr0&0&0\end{pmatrix}$. C) $\begin{pmatrix}2^{14}&2^{29}&0\cr2^{14}&-2^{29}&0\cr2^{14}&2^{29}&0\end{pmatrix}$. D) Ninguna de las anteriores.

Qué se pide. Calcular una potencia grande: se evita multiplicar 15 veces usando $A=P\Lambda P^{-1}$ (idea central del tema 4.3).

1. Despejar $A$. De $\Lambda=P^{-1}AP$: $A=P\Lambda P^{-1}$.
2. Potencia. $$A^n=(P\Lambda P^{-1})\cdots(P\Lambda P^{-1})=P\Lambda(P^{-1}P)\Lambda\cdots\Lambda P^{-1}=P\Lambda^nP^{-1}.$$

   La potencia de una diagonal es la diagonal de las potencias:

   $$\Lambda^{15}=\operatorname{diag}(2^{15},4^{15},0)=\operatorname{diag}(2^{15},2^{30},0).$$
3. Una $P$ sin fracciones (columnas = vectores propios): $$P=\begin{pmatrix}1&1&0\\0&-1&1\\1&0&-1\end{pmatrix},\qquad P^{-1}=\frac12\begin{pmatrix}1&1&1\\1&-1&-1\\1&1&-1\end{pmatrix}$$

   (comprobado: $P^{-1}AP=\Lambda$). No es «el doble» de la de 4.9: la 3.ª columna cambia de signo; vale igualmente.

4. Producto. $P\Lambda^{15}$ escala las columnas de $P$: $$P\Lambda^{15}=\begin{pmatrix}2^{15}&2^{30}&0\\0&-2^{30}&0\\2^{15}&0&0\end{pmatrix}.$$

   Multiplicando por $P^{-1}$: fila 1 $=\tfrac12(2^{15}+2^{30},\,2^{15}-2^{30},\,2^{15}-2^{30})$; fila 2 $=\tfrac12(-2^{30},2^{30},2^{30})$; fila 3 $=\tfrac12(2^{15},2^{15},2^{15})$.

   $$A^{15}=\begin{pmatrix}2^{14}+2^{29}&2^{14}-2^{29}&2^{14}-2^{29}\\-2^{29}&2^{29}&2^{29}\\2^{14}&2^{14}&2^{14}\end{pmatrix}.$$

   (El libro imprime el elemento $(2,3)$ como $-2^{29}$: errata; sympy da $+2^{29}$.)

5. Comparar: el elemento $(1,1)$ debería ser $2^{14}+2^{29}$ y ninguna opción lo tiene. D) cierta.
6. Atajo de examen (sin calcular $A^{15}$). La traza es invariante: $\operatorname{tr}A^{15}=2^{15}+2^{30}$. Trazas de las opciones: A) $2^{30}$; B) $2^{15}-2^{30}$; C) $2^{14}-2^{29}$. Ninguna coincide $\Rightarrow$ D.

Error típico: escribir $A^n=P^{-1}\Lambda^nP$ (orden invertido; depende de si se partió de $\Lambda=P^{-1}AP$ o de $A=P^{-1}\Lambda P$); o creer que $A^{15}$ se obtiene elevando cada elemento. Teoría: Def. 4.5 (U p.148), U §1.2; frontera con U §4.3 (p.159 ss.).

$A=\begin{pmatrix}1&2\cr0&3\end{pmatrix}$, $D=\operatorname{diag}(1,3)$. Halla $P$ con $D=P^{-1}AP$.

1. $PD=AP$: $$\begin{pmatrix}a&3b\\c&3d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a+2c&b+2d\\3c&3d\end{pmatrix}\ \Rightarrow\ c=0,\ b=d.$$
2. $P=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ ($\det=1$). Comprobado: $P^{-1}AP=D$.

$A=\begin{pmatrix}2&1\cr1&2\end{pmatrix}$. Halla $A^n$.

1. Con $D=\operatorname{diag}(1,3)$, $PD=AP$ da $a=-c$, $b=d$: $$P=\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix},\qquad P^{-1}=\frac12\begin{pmatrix}1&-1\\1&1\end{pmatrix}.$$
2. La potencia: $$A^n=PD^nP^{-1}=\dfrac12\begin{pmatrix}3^n+1&3^n-1\\3^n-1&3^n+1\end{pmatrix};\qquad A^4=\begin{pmatrix}41&40\\40&41\end{pmatrix}$$

   (coincide con el cálculo directo).

3. Control: $\operatorname{tr}A^4=82=1^4+3^4$.

Para la $A$ anterior, ¿$A^5$ es: A) $\begin{pmatrix}122&121\cr121&122\end{pmatrix}$, B) $\begin{pmatrix}32&1\cr1&32\end{pmatrix}$, C) $\begin{pmatrix}243&0\cr0&1\end{pmatrix}$?

1. Traza correcta: $1^5+3^5=244$. A) 244; B) 64; C) 244. Se descarta B.
2. C es diagonal, pero $A^5$ no lo es: por la fórmula, el elemento $(1,2)=(243-1)/2=121\neq0$. Es A.
3. Moraleja: la traza descarta, pero no siempre decide.

Definir una relación de equivalencia $R$ en un conjunto $A$ no vacío.

Qué se pide. Una definición de teoría. La solución oficial («corresponde al apartado 4.1; bastaría también con dar un ejemplo») no la escribe; un ejemplo solo vale si se comprueban las tres propiedades.

1. Relación binaria (U Def. 4.1, p.142): un subconjunto no vacío $R\subset A\times A$; $(a,b)\in R$ se escribe $aRb$.
2. Definición (U Def. 4.2, p.144, propiedades de p.143). $R$ es de equivalencia si es a la vez: reflexiva ($aRa$ para todo $a\in A$), simétrica ($aRb\Rightarrow bRa$) y transitiva ($aRb$ y $bRc\Rightarrow aRc$).
3. Consecuencia: $A$ queda partido en clases disjuntas $[a]=\{x\in A:xRa\}$ ($a$ = representante); el conjunto de clases es el cociente $A/R$ (U p.144).
4. Ejemplo comprobado: la semejanza de matrices. En $\mathcal M_n$, $A\,R\,A'$ si existe $P$ regular con $A'=P^{-1}AP$ (U Def. 4.5).
   • Reflexiva: $A=I^{-1}AI$ con $P=I$ regular.
   • Simétrica: de $A'=P^{-1}AP$, multiplicando por $P$ a la izquierda y $P^{-1}$ a la derecha, $A=PA'P^{-1}=(P^{-1})^{-1}A'(P^{-1})$ y $P^{-1}$ es regular.
   • Transitiva: si $A'=P^{-1}AP$ y $A''=S^{-1}A'S$ ($P,S$ regulares), $A''=S^{-1}P^{-1}APS=(PS)^{-1}A(PS)$, y $PS$ es regular ($\det(PS)=\det P\det S\neq0$).
5. Contraejemplo para fijar ideas: «$a\le b$» en $\mathbb R$ es reflexiva y transitiva pero no simétrica: no es de equivalencia. (Ejemplo no matricial de U: «tener el mismo número de letras», Ej. 4.3-4.4.)

Error típico: confundir simétrica con antisimétrica, dar un ejemplo sin comprobar nada, u olvidar la transitiva (la que más cuesta: hay que cerrar el producto de matrices de paso).

Se pide explicar qué tipo de relación verifican las matrices asociadas a un endomorfismo diagonalizable.

Qué se pide. La oficial dice: «Son matrices equivalentes. Semejantes a una matriz diagonal». Es correcta pero imprecisa: «equivalentes» es la relación débil (vale para cualquier aplicación lineal y solo garantiza el mismo rango); para un endomorfismo la relación exacta es la semejanza. Hay que deducirla.

1. Situación. $f:V\to V$ endomorfismo, $\dim V=n$, con matriz $A$ en una base $B$ y $A'$ en otra $B'$. Sea $P$ la matriz de cambio de $B'$ a $B$ (columnas = vectores de $B'$ escritos en $B$): $x_B=Px_{B'}$. $P$ es regular (sus columnas son una base).
2. Dos caminos para $f(x)$ en $B'$ (U p.148): directo, $x_{B'}\mapsto A'x_{B'}$; o pasando por $B$: $$x_{B'}\mapsto Px_{B'}=x_B\mapsto APx_{B'}\mapsto P^{-1}APx_{B'}.$$

   Ambos dan $f(x)$ en $B'$, para todo $x_{B'}$; tomando $x_{B'}=e_j$ se igualan las columnas:

   $$A'=P^{-1}AP.$$
3. Conclusión 1: son semejantes (Def. 4.5): es $A'=P^{-1}AQ$ con $Q=P$, porque entrada y salida se cambian a la vez.
4. Conclusión 2: también equivalentes (Def. 4.3, $M=P^{-1}$, $N=P$), por tanto con el mismo rango. La semejanza es un caso particular; el recíproco no.
5. Qué añade «diagonalizable». Existe una base $B'$ (de vectores propios, tema 4.3) en la que la matriz $D$ es diagonal. Por la conclusión 1, todas las matrices de $f$ son semejantes a esa $D$: forman una clase de semejanza que contiene una diagonal (U p.145).
6. Invariantes que se pueden añadir: $\det A'=\det A$, y mismo polinomio característico y misma traza (U Teor. 4.4, p.153); en particular $\det A$ y $\operatorname{tr}A$ son el producto y la suma de los elementos de $D$.
7. Ejemplo numérico (verificado): el endomorfismo $f(x,y)=(x+y,2y)$ del apartado 4: $$A=\begin{pmatrix}1&1\\0&2\end{pmatrix},\qquad A'=\begin{pmatrix}2&1\\0&1\end{pmatrix},\qquad D=\operatorname{diag}(1,2)$$

   (en $\{(1,0),(1,1)\}$, $P_2=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$). Las tres tienen $\det=2$, traza 3 y polinomio $(\lambda-1)(\lambda-2)$.

Error típico: contestar solo «equivalentes» (verdad que pierde la información clave) o «congruentes» ($P^tAP$ es la relación de las formas bilineales, tema 6.1).

Estudie si la siguiente proposición es verdadera: si dos matrices son congruentes, entonces tienen que tener el mismo determinante.

Qué se pide. La oficial calcula $|B|=|P|^2|A|$ y concluye «no siempre es verdadera». Falta el contraejemplo: si $|P|^2=1$ sí coincidirían.

1. Definición (U Def. 4.4): $B=P^tAP$ con $P$ regular.
2. Determinante ($|XY|=|X||Y|$ y $|X^t|=|X|$, U p.26): $$|B|=|P^t||A||P|=|P|^2|A|.$$
3. ¿Es $|P|^2=1$? No necesariamente: solo se sabe $|P|\neq0$. $|B|=|A|$ solo si $|P|=\pm1$ (o $|A|=0$).
4. Contraejemplo. $A=I_2$, $P=\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix}$ (regular): $$B=P^tAP=\begin{pmatrix}4&0\\0&1\end{pmatrix}.$$

   Son congruentes, pero $|A|=1\neq4=|B|$.

5. Conclusión: la proposición es falsa.
6. Lo que sí se conserva: como $|P|^2>0$, el signo del determinante (y si es nulo) y el rango. Contraste: las matrices semejantes sí tienen el mismo determinante.

Error típico: confundir congruencia ($P^t\cdots P$) con semejanza ($P^{-1}\cdots P$) y responder «verdadera»; o decir «no siempre» sin contraejemplo. Para el caso de semejanza: tema 1.3, X Feb. 2019 (B).

Si $G$ y $G'$ son dos matrices de Gram del mismo producto escalar en bases diferentes, razonar si son o no ciertas las siguientes afirmaciones: los dos determinantes son iguales y ambas matrices son congruentes y equivalentes.

Qué se pide. Tres afirmaciones. El concepto de matriz de Gram es del tema 5.1; el núcleo de la pregunta (congruencia y equivalencia) es de este tema. Solo necesitas saber que, al cambiar de base, $G'=Q^tGQ$ (U Teor. 5.1, p.198).

1. Matriz de Gram en una base $B$: $G=(e_i\bullet e_j)$, con $x\bullet y=X^tGY$. Si $Q$ es el cambio de $B'$ a $B$, $X=QX'$ e $Y=QY'$, luego $$x\bullet y=X'^t(Q^tGQ)Y',$$

   y por unicidad $G'=Q^tGQ$.

2. Congruentes: VERDADERA. $Q$ es regular (cambio de base) y $G'=Q^tGQ$ es exactamente la Def. 4.4.
3. Equivalentes: VERDADERA. $M=Q^t$ y $N=Q$ son regulares: Def. 4.3. En particular tienen el mismo rango (aquí $n$, porque las matrices de Gram son regulares).
4. Mismos determinantes: FALSA en general. $|G'|=|Q|^2|G|$. Contraejemplo: producto escalar estándar de $\mathbb R^2$, $B$ canónica, $G=I_2$; $B'=\{(1,1),(1,-1)\}$, $Q=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}$ ($|Q|=-2$): $$G'=Q^tGQ=\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix},\qquad|G'|=4\neq1=|G|.$$

   Comprobación directa: $(1,1)\cdot(1,1)=2$, $(1,1)\cdot(1,-1)=0$, $(1,-1)\cdot(1,-1)=2$.

5. Lo que sí se conserva: el signo ($|Q|^2>0$) y el rango. Los determinantes coinciden si $|Q|=\pm1$, p. ej. entre bases ortonormales ($Q$ ortogonal).

Error típico: aplicar la fórmula de los endomorfismos ($Q^{-1}GQ$) a la matriz de Gram y concluir que el determinante no cambia. Nota: la oficial es correcta pero sin contraejemplo en la parte del determinante.