Formas bilineales

Si $f:\mathbb R^2\times\mathbb R^2\to\mathbb R$ es una aplicación bilineal, se verifica: A) No es forma bilineal porque el espacio imagen no es $\mathbb R$. B) No es bilineal porque el origen de la aplicación es un producto de dos espacios iguales. C) Es forma bilineal.

1. Qué es una forma bilineal (Def. 6.2): una aplicación bilineal que sale de $E\times E$ (el mismo espacio dos veces) y llega a $\mathbb R$. Hay que comprobar solo esas dos condiciones.
2. Origen: $\mathbb R^2\times\mathbb R^2$ es $E\times E$ con $E=\mathbb R^2$ ✓. Llegada: $\mathbb R$ ✓. Bilinealidad: la da el enunciado.
3. Conclusión: es forma bilineal, así que C es la verdadera. A es falsa (la imagen sí es $\mathbb R$). B es falsa: que los dos factores sean iguales no impide la bilinealidad, es justo lo que pide la Def. 6.2.

Error típico: confundir «aplicación» y «forma»: $x_1y_2+x_2y_3$ de $\mathbb R^2\times\mathbb R^3$ en $\mathbb R$ es bilineal pero no es forma (U Ej. 6.3, p.245). Teoría: U Def. 6.1 p.244, Def. 6.2 y Ej. 6.3 p.245.

Demuéstrese si son bilineales las aplicaciones $f((x_1,x_2),(y_1,y_2))$ siguientes: A) $x_1+y_2$. B) $x_1y_2$.

A) No es bilineal.

1. Para negar basta que una de las cuatro igualdades de la Def. 6.1 falle en un caso. Elegimos $\lambda=2$, $x=(0,1)$, $y=(1,1)$.
2. $f(2x,y)=f((0,2),(1,1))=0+1=1$, mientras que $2f(x,y)=2(0+1)=2$. Como $1\neq2$, falla $f(\lambda x,y)=\lambda f(x,y)$.
3. Por qué falla en general: $f(\lambda x,y)=\lambda x_1+y_2$ pero $\lambda f(x,y)=\lambda x_1+\lambda y_2$; el sumando $y_2$ no lleva ninguna $x$ y no «escala» al multiplicar $x$ por $\lambda$.
4. Atajo (propiedad de U p.248): toda bilineal cumple $f(0,y)=0$, y aquí $f((0,0),(0,1))=0+1=1\neq0$. (Con $y=(0,0)$ no se vería: $f(0,0)=0$ sí se cumple.)

B) Sí es bilineal. Con $x,x',y,y'$ y $\lambda$ cualesquiera (hay que probarlo en general, no con números):

1. $f(x+x',y)=(x_1+x_1')y_2=x_1y_2+x_1'y_2=f(x,y)+f(x',y)$ (distributiva en $\mathbb R$).
2. $$f(\lambda x,y)=(\lambda x_1)y_2=\lambda(x_1y_2)=\lambda f(x,y)$$

   (asociatividad).

3. $f(x,y+y')=x_1(y_2+y_2')=x_1y_2+x_1y_2'=f(x,y)+f(x,y')$.

4. $f(x,\lambda y)=x_1(\lambda y_2)=\lambda f(x,y)$. Las cuatro se cumplen y $f$ va de $\mathbb R^2\times\mathbb R^2$ a $\mathbb R$: es forma bilineal, con matriz

   $$\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$$

   (solo $a_{12}=f(e_1,e_2)=1$).

E solo desarrolla la 1.ª variable y dice «análogamente» para la 2.ª; aquí están escritos los pasos 3 y 4.

Error típico: «tiene grado 1 en $x$ y grado 1 en $y$»: $x_1+y_2$ no es bilineal. Cada sumando debe tener grado 1 en $x$ y grado 1 en $y$. Teoría: U Def. 6.1 p.244; propiedades p.248.

Dada $f:\mathbb R^2\times\mathbb R^2\to\mathbb R$ definida por $f(\bar x,\bar y)=x_1y_1-x_1y_2-3x_2y_1+3x_2y_2$, demostrar que es una aplicación bilineal.

Sean $x,x',y,y'\in\mathbb R^2$ y $\lambda\in\mathbb R$ cualesquiera. Como en U Ej. 6.2 (p.244-245), se calcula el primer y el segundo miembro de cada igualdad por separado.

1. $f(x+x',y)=f(x,y)+f(x',y)$. 1.er miembro: $(x_1+x_1')y_1-(x_1+x_1')y_2-3(x_2+x_2')y_1+3(x_2+x_2')y_2$; al desarrollar con la distributiva queda $(x_1y_1-x_1y_2-3x_2y_1+3x_2y_2)+(x_1'y_1-x_1'y_2-3x_2'y_1+3x_2'y_2)$, que es el 2.º miembro.
2. $f(\lambda x,y)=\lambda f(x,y)$. 1.er miembro: $\lambda x_1y_1-\lambda x_1y_2-3\lambda x_2y_1+3\lambda x_2y_2$; sacando $\lambda$ factor común es el 2.º miembro.
3. $f(x,y+y')=f(x,y)+f(x,y')$. $x_1(y_1+y_1')-x_1(y_2+y_2')-3x_2(y_1+y_1')+3x_2(y_2+y_2')$ se separa en los términos con $y$ y los términos con $y'$: es $f(x,y)+f(x,y')$.
4. $f(x,\lambda y)=\lambda f(x,y)$. El 1.er miembro, $\lambda x_1y_1-\lambda x_1y_2-3\lambda x_2y_1+3\lambda x_2y_2$, coincide con el 2.º.
5. Conclusión: $f$ es lineal en cada variable, luego bilineal; como va de $\mathbb R^2\times\mathbb R^2$ a $\mathbb R$, es forma bilineal.

Comprobación alternativa (más corta, también válida en examen). La expresión es $X^tAY$ con $A=\begin{pmatrix}1&-1\\-3&3\end{pmatrix}$ (coeficientes de $x_iy_j$). Por las propiedades del producto de matrices (sección 2), toda $X^tAY$ es bilineal.

Error típico: comprobarlo solo con vectores concretos: un ejemplo numérico vale para refutar, nunca para demostrar. Teoría: U Def. 6.1 p.244, Ej. 6.2 p.244-245, §6.1.2 p.246.

Si $\{e_1,e_2\}$ es la base canónica de $\mathbb R^2$ y $f:\mathbb R^2\times\mathbb R^2\to\mathbb R$ es bilineal con $f(e_1,e_1)=1$, $f(e_1,e_2)=2$, $f(e_2,e_1)=-1$, $f(e_2,e_2)=5$, entonces $f((5,3),(-1,2))$ vale: A) $-19$. B) $(-19,48)$. C) $48$.

1. Matriz asociada ($a_{ij}=f(e_i,e_j)$, la fila la da el primer vector):

   $$A=\begin{pmatrix}1&2\\-1&5\end{pmatrix}.$$
2. Por qué basta con eso: por la bilinealidad $f(x,y)=\sum x_iy_jf(e_i,e_j)=X^tAY$; los cuatro valores determinan $f$.

3. Evaluación (base canónica: coordenadas = componentes). Primero

   $$AY=\begin{pmatrix}1&2\\-1&5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\11\end{pmatrix}$$

   y luego

   $$X^t(AY)=(5\ \ 3)\begin{pmatrix}3\\11\end{pmatrix}=15+33=48.$$
4. Comprobación con la analítica: $f=x_1y_1+2x_1y_2-x_2y_1+5x_2y_2$ da $-5+20+3+30=48$ ✓.
5. Opciones: la correcta es C. B es absurda: $f$ toma valores en $\mathbb R$, no en $\mathbb R^2$. (De dónde sale $-19$ en A no lo explica el libro.)

Error típico: trasponer $A$: $X^tA^tY=f((-1,2),(5,3))=9\neq48$. Teoría: U Def. 6.3 y expresión matricial, p.246.

Si $f(\bar x,\bar y)=x_1y_1-4x_1y_2+6x_2y_3-x_3y_1-3x_3y_3$ es la expresión analítica de la forma bilineal $f:\mathbb R^3\times\mathbb R^3\to\mathbb R$, calcular su expresión matricial.

1. Qué se pide: escribir $f=X^tAY$ con $a_{ij}=f(e_i,e_j)$ en la base canónica (Def. 6.3).
2. Por qué vale «leer coeficientes». $f(e_1,e_1)$: sustituyes $x=y=(1,0,0)$ y solo sobrevive $x_1y_1=1$, así $a_{11}=1$. En general con $x=e_i$, $y=e_j$ solo sobrevive $x_iy_j$, luego $a_{ij}$ es el coeficiente de $x_iy_j$ (0 si no aparece).
3. Lectura: fila 1: $x_1y_1\to1$, $x_1y_2\to-4$, $x_1y_3\to0$. Fila 2: $x_2y_1,x_2y_2\to0$, $x_2y_3\to6$. Fila 3: $x_3y_1\to-1$, $x_3y_2\to0$, $x_3y_3\to-3$.
4. Resultado: $$f(x,y)=(x_1\ x_2\ x_3)\begin{pmatrix}1&-4&0\\0&0&6\\-1&0&-3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\y_3\end{pmatrix}.$$
5. Observación: $A$ no es simétrica ($a_{12}=-4$, $a_{21}=0$), así que $f$ no es simétrica (tema 6.2).

Error típico: «repartir» $-4$ entre $a_{12}$ y $a_{21}$ ($-2$ y $-2$): eso se hace con formas cuadráticas (6.2), nunca con una bilineal. Teoría: U Def. 6.3 p.246, Ej. 6.4 p.246-247.

Si $E$ es un espacio vectorial y $f:E\times E\to\mathbb R$ es una aplicación bilineal simétrica, ¿cuánto vale $f(x-y,x-y)$ para todo $x,y\in E$? A) $f(x,x)-f(y,y)$. B) $f(-x+y,-x+y)$. C) $f(x,x)-2f(x,y)+f(y,y)$. D) Ninguna de las anteriores.

Simétrica significa $f(x,y)=f(y,x)$ (U Def. 6.5, p.252; se estudia en el tema 6.2).

1. Desarrollo en la 1.ª variable (con $x-y=x+(-1)y$): $f(x-y,x-y)=f(x,x-y)-f(y,x-y)$.
2. En la 2.ª, en cada término: $=f(x,x)-f(x,y)-f(y,x)+f(y,y)$. Es «multiplicar como un producto», respetando el orden de los argumentos.
3. Simetría (aquí y solo aquí se usa la hipótesis): $f(y,x)=f(x,y)$, luego $=f(x,x)-2f(x,y)+f(y,y)$. C es verdadera.
4. B. Con $u=x-y$ y la propiedad $f(-u,v)=f(u,-v)=-f(u,v)$ (U p.248): $f(-u,-u)=-f(u,-u)=f(u,u)$. B también es verdadera, y para cualquier forma bilineal, simétrica o no.
5. A es falsa: con el producto escalar usual, $x=(1,0)$, $y=(0,1)$: $f(x-y,x-y)=2$ y $f(x,x)-f(y,y)=0$. D es falsa (B y C son ciertas).

Error típico: escribir $-2f(x,y)$ sin tener simetría; en general es $-f(x,y)-f(y,x)$. Teoría: U Def. 6.1 p.244, propiedades p.248; Def. 6.5 p.252 (tema 6.2).

Si $\{e_1,e_2,e_3\}$ es una base de $\mathbb R^3$ con $f(e_1,e_1)=f(e_2,e_2)=f(e_3,e_3)=1$ y $f(e_1,e_2)=f(e_2,e_3)=f(e_3,e_1)=a$, se pide la expresión analítica de la forma bilineal simétrica $f$.

1. Completar la matriz con la simetría. Se dan la diagonal y tres posiciones: $(1,2)$, $(2,3)$, $(3,1)$. Las otras tres, $(2,1)$, $(3,2)$, $(1,3)$, salen de $f(e_j,e_i)=f(e_i,e_j)$ (U Def. 6.5). Sin la palabra «simétrica» el problema no tendría solución única. $$A=\begin{pmatrix}1&a&a\\a&1&a\\a&a&1\end{pmatrix}.$$
2. Expresión analítica (con $x_i,y_j$ las coordenadas en esa base, que no es la canónica): $f(x,y)=\sum a_{ij}x_iy_j$, $$f(x,y)=x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3+a\,(x_1y_2+x_2y_1+x_2y_3+x_3y_2+x_1y_3+x_3y_1).$$
3. Lo que da E es $f(x,x)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2a(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1)$, la forma cuadrática asociada (tema 6.2), que se obtiene del paso 2 poniendo $y=x$.

Error típico: escribir $2a\,x_1y_2$ en la forma bilineal. El 2 solo aparece en $f(x,x)$, al juntar $x_1x_2$ con $x_2x_1$; en $f(x,y)$ los monomios $x_1y_2$ y $x_2y_1$ son distintos y cada uno lleva $a$. Teoría: U Def. 6.3 y §6.1.2 p.246; Def. 6.5 p.252.

Si $f(\bar x,\bar y)=x_1y_1-x_1y_3+x_2y_1+x_2y_2+x_2y_3-x_3y_1+x_3y_2+2x_3y_3$ es la expresión de $f$ respecto de la base $B=\{e_1,e_2,e_3\}$ de $\mathbb R^3$, y $B'=\{e_1',e_2',e_3'\}$ es otra base con $e_1'=(2,2,3)_B$, $e_2'=(-1,0,-1)_B$, $e_3'=(0,-1,-1)_B$, se pide la expresión matricial y analítica de $f$ en $B'$.

1. Matriz en $B$ (la expresión está dada en $B$: $a_{ij}$ = coeficiente de $x_iy_j$): fila 1: $1,0,-1$; fila 2: $1,1,1$; fila 3: $-1,1,2$. $$A=\begin{pmatrix}1&0&-1\\1&1&1\\-1&1&2\end{pmatrix}.$$
2. Matriz de paso $P$ de $B'$ a $B$: columnas = vectores de $B'$ en coordenadas de $B$ (así $X=PX'$, Teor. 6.1): $$P=\begin{pmatrix}2&-1&0\\2&0&-1\\3&-1&-1\end{pmatrix}.$$

3. ¿Es $B'$ una base? (E no lo comprueba.)

   $$|P|=2\begin{vmatrix}0&-1\\-1&-1\end{vmatrix}-(-1)\begin{vmatrix}2&-1\\3&-1\end{vmatrix}=2(-1)+1\cdot1=-1\neq0.$$

   Sí.

4. Por qué $A'=P^tAP$: $f(x,y)=X^tAY=(PX')^tA(PY')=X'^t(P^tAP)Y'$ (Teor. 6.1).
5. Primero $AP$: $$AP=\begin{pmatrix}1&0&-1\\1&1&1\\-1&1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&-1&0\\2&0&-1\\3&-1&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&0&1\\7&-2&-2\\6&-1&-3\end{pmatrix}.$$

6. Después $P^t(AP)$, con

   $$P^t=\begin{pmatrix}2&2&3\\-1&0&-1\\0&-1&-1\end{pmatrix}:$$

   fila 1: $(-2+14+18,\ 0-4-3,\ 2-4-9)=(30,-7,-11)$; fila 2: $(1-6,\ 0+1,\ -1+3)=(-5,1,2)$; fila 3: $(-7-6,\ 2+1,\ 2+3)=(-13,3,5)$.

   $$A'=P^tAP=\begin{pmatrix}30&-7&-11\\-5&1&2\\-13&3&5\end{pmatrix}.$$
7. Controles. Un elemento por definición: $a'_{12}=f(e_1',e_2')=(2,2,3)\,A\,(-1,0,-1)^t$; $A(-1,0,-1)^t$ es la 2.ª columna de $AP$, $(0,-2,-1)^t$, y $(2,2,3)\cdot(0,-2,-1)=-7$ ✓. Con determinantes: $|A'|=|P|^2|A|=1\cdot(-1)=-1$ ✓ (y $|A|=-1$).
8. Expresiones en $B'$ ($x_i,y_j$ ahora son coordenadas en $B'$): $$f(x,y)=(x_1\ x_2\ x_3)\begin{pmatrix}30&-7&-11\\-5&1&2\\-13&3&5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\y_3\end{pmatrix},$$ $$f(x,y)=30x_1y_1-7x_1y_2-11x_1y_3-5x_2y_1+x_2y_2+2x_2y_3-13x_3y_1+3x_3y_2+5x_3y_3.$$

El resultado de E es correcto; solo omite comprobar que $B'$ sea base.

Error típico: usar $P^{-1}AP$ (semejanza), poner los vectores en filas, o usar la $P$ de $B$ a $B'$ (la inversa). Teoría: U Def. 6.3 p.246, Ej. 6.6 p.248-249, Teor. 6.1 p.249-250, Ej. 6.8 p.250-251.

Decide cuáles de estas aplicaciones $\mathbb R^2\times\mathbb R^2\to\mathbb R$ son formas bilineales: (a) $f=2x_1y_2-x_2y_1$; (b) $g=x_1y_1+1$; (c) $h=x_1^2y_1$.

1. (a) Sí. Es $X^tAY$ con

   $$A=\begin{pmatrix}0&2\\-1&0\end{pmatrix}$$

   ($a_{12}=2$, $a_{21}=-1$); toda $X^tAY$ es bilineal y va de $E\times E$ a $\mathbb R$. (Si los coeficientes fueran iguales y opuestos, $2x_1y_2-2x_2y_1=2\det(x,y)$ sería el doble del área con signo; aquí son distintos y $A$ no es antisimétrica.)

2. (b) No. Toda bilineal cumple $g(0,y)=0$, pero $g((0,0),(0,0))=1\neq0$ (término constante).
3. (c) No. Falla $h(\lambda x,y)=\lambda h(x,y)$: con $\lambda=2$, $x=y=(1,0)$ da $h((2,0),(1,0))=4$ y $2h((1,0),(1,0))=2$. Aquí $h(0,y)=0$ sí se cumple: ese atajo es necesario pero no suficiente; la potencia $x_1^2$ delata el fallo.

Sea $f=2x_1y_1-x_1y_2+3x_2y_1+x_2y_2$ en la canónica de $\mathbb R^2$. Escribe su matriz y calcula $f((1,-2),(3,1))$ y $f((3,1),(1,-2))$.

1. $$A=\begin{pmatrix}2&-1\\3&1\end{pmatrix}$$

   (coeficientes de $x_iy_j$).

2. $$AY=A\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\10\end{pmatrix}$$

   y $f((1,-2),(3,1))=(1,-2)\cdot(5,10)=-15$. Con la analítica: $6-1-18-2=-15$ ✓.

3. Orden cambiado:

   $$A\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}$$

   y $f((3,1),(1,-2))=(3,1)\cdot(4,1)=13\neq-15$.

4. Moraleja: $f$ no es simétrica porque $A\neq A^t$; para una no simétrica el orden de los argumentos importa.

$f$ tiene matriz $A=\begin{pmatrix}1&2\\0&-1\end{pmatrix}$ en la canónica. Halla su matriz en $B'=\{v_1=(1,1),\ v_2=(1,2)\}$.

1. $$P=\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}$$

   (columnas $v_1,v_2$), $|P|=1\neq0$: $B'$ es base.

2. $$AP=\begin{pmatrix}1&2\\0&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&5\\-1&-2\end{pmatrix}$$

   (sus columnas son $Av_1,Av_2$).

3. $$A'=P^tAP=\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&5\\-1&-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&3\\1&1\end{pmatrix}.$$
4. Control por definición: $a'_{12}=f(v_1,v_2)=(1,1)\cdot(5,-2)=3$ ✓; $a'_{21}=f(v_2,v_1)=(1,2)\cdot(3,-1)=1$ ✓. Con determinantes: $|A'|=2-3=-1=|A||P|^2=(-1)\cdot1$ ✓.

5. Contraste con la semejanza:

   $$P^{-1}AP=\begin{pmatrix}7&12\\-4&-7\end{pmatrix},$$

   otra matriz distinta, la del endomorfismo $x\mapsto Ax$ en $B'$, no la de la forma bilineal.

$f$ tiene matriz $A=\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&2\\1&0&0\end{pmatrix}$ en la canónica. Halla su matriz en $B'=\{(1,0,0),(1,2,0),(0,1,1)\}$, comprueba el determinante y evalúa $f$ con $x'=(1,0,1)_{B'}$, $y'=(0,1,-1)_{B'}$.

1. $$P=\begin{pmatrix}1&1&0\\0&2&1\\0&0&1\end{pmatrix},$$

   triangular: $|P|=2\neq0$, $B'$ es base.

2. $$AP=\begin{pmatrix}1&3&1\\0&2&3\\1&1&0\end{pmatrix}$$

   (columna $j$ = $A$ por el $j$-ésimo vector nuevo).

3. $$P^t=\begin{pmatrix}1&0&0\\1&2&0\\0&1&1\end{pmatrix}$$ $$A'=P^t(AP)=\begin{pmatrix}1&3&1\\1&7&7\\1&3&3\end{pmatrix}$$

   (fila 2: $(1,2,0)$ por las columnas da $(1,7,7)$; fila 3: $(0,1,1)$ da $(1,3,3)$).

4. Determinante: $|A|=2$ (por la 3.ª fila), así que $|A'|$ debe valer $|A||P|^2=2\cdot4=8$; directamente, $|A'|=1(21-21)-3(3-7)+1(3-7)=8$ ✓. No coincide con $|A|$: la congruencia no conserva el determinante. El rango sí: 3 y 3.
5. Evaluar en $B'$: $A'y'=(3-1,\ 7-7,\ 3-3)^t=(2,0,0)^t$, luego $f=x'^tA'y'=(1,0,1)\cdot(2,0,0)=2$. Comprobación en la canónica: $X=Px'=(1,1,1)$, $Y=Py'=(1,1,-1)$, $AY=(2,-1,1)$ y $X^tAY=2-1+1=2$ ✓. El valor de $f$ no depende de la base; solo cambia su expresión.

(a) Con $A=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}$ y $P=\begin{pmatrix}1&1\\0&2\end{pmatrix}$, calcula $P^tAP$ y $P^{-1}AP$ y compara rango, determinante, traza, valores propios y simetría. (b) ¿Son congruentes $I_2$ y $-I_2$? ¿Y $I_2$ y $\operatorname{diag}(1,-1)$?

(a)

1. Primero

   $$AP=\begin{pmatrix}1&1\\0&4\end{pmatrix}$$

   y luego

   $$P^tAP=P^t(AP)=\begin{pmatrix}1&0\\1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\0&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\1&9\end{pmatrix}$$

   (congruente con $A$).

2. $$P^{-1}=\tfrac12\begin{pmatrix}2&-1\\0&1\end{pmatrix}$$ $$P^{-1}AP=\begin{pmatrix}1&-1\\0&2\end{pmatrix}$$

   (semejante a $A$).

(b)

1. $I_2$ y $-I_2$ no son congruentes, aunque tengan rango 2 y determinante $1$. Si $-I=P^tIP=P^tP$ con

   $$P=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix},$$

   el elemento $(1,1)$ de $P^tP$ es $a^2+c^2\geq0$, y no puede valer $-1$. Interpretación: para la forma de matriz $I$, $f(x,x)=x^tx>0$ en cualquier base.

2. $I_2$ y $\operatorname{diag}(1,-1)$ no son congruentes: sus determinantes tienen distinto signo y $|P|^2>0$ no cambia el signo.
3. Moraleja: rango y signo del determinante son condiciones necesarias de congruencia, no suficientes (caso 1). El invariante completo (la signatura) se verá en 6.3.

Si $\{e_1,e_2\}$ es la base canónica de $\mathbb R^2$ y $f:\mathbb R^2\times\mathbb R^2\to\mathbb R$ es una aplicación bilineal con $f(e_1,e_1)=5$, $f(e_1,e_2)=-9$, $f(e_2,e_1)=2$, $f(e_2,e_2)=1$, calcule $f((1,1),(2,3))$.

1. Matriz (U Def. 6.3, $a_{ij}=f(e_i,e_j)$, la fila la da el primer vector):

   $$A=\begin{pmatrix}5&-9\\2&1\end{pmatrix}.$$
2. Fórmula (por bilinealidad, $f(x,y)=\sum x_iy_jf(e_i,e_j)=X^tAY$).
3. $$AY=\begin{pmatrix}5&-9\\2&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10-27\\4+3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-17\\7\end{pmatrix}$$ $$X^tAY=(1\ \ 1)\begin{pmatrix}-17\\7\end{pmatrix}=-10.$$

4. Alternativa sin matrices:

   $$f(e_1+e_2,\,2e_1+3e_2)=2f(e_1,e_1)+3f(e_1,e_2)+2f(e_2,e_1)+3f(e_2,e_2)=10-27+4+3=-10$$

   ✓.

Coincide con la oficial ($-10$).

Error típico: trasponer $A$ o cambiar el orden de los vectores: $f((2,3),(1,1))=1\neq-10$.

Sea $B=\{e_1,e_2\}$ la base canónica de $\mathbb R^2$ y $B'=\{e_1+e_2,\ e_1-e_2\}$ (en ese orden). Sea $f:\mathbb R^2\times\mathbb R^2\to\mathbb R$ forma bilineal con matriz $\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}$ respecto de $B$. Calcule la matriz asociada a $f$ respecto de $B'$.

Método 1 (elemento a elemento, como U Ej. 6.6).

1. $v_1=(1,1)$, $v_2=(1,-1)$. Son base:

   $$\begin{vmatrix}1&1\\1&-1\end{vmatrix}=-2\neq0.$$
2. $a'_{ij}=f(v_i,v_j)=v_i^tAv_j$. Primero $Av_1=(2,2)^t$ y $Av_2=(0,0)^t$.
3. $a'_{11}=(1,1)\cdot(2,2)=4$; $a'_{12}=(1,1)\cdot(0,0)=0$; $a'_{21}=(1,-1)\cdot(2,2)=0$; $a'_{22}=(1,-1)\cdot(0,0)=0$.
4. $$A'=\begin{pmatrix}4&0\\0&0\end{pmatrix}.$$

Método 2 (congruencia, Teor. 6.1). $P=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}$ (columnas = $v_1,v_2$ en $B$), $AP=\begin{pmatrix}2&0\\2&0\end{pmatrix}$ y $P^tAP=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&0\\2&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&0\\0&0\end{pmatrix}$ ✓.

Controles: el rango se conserva ($\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}A'=1$) y $|A'|=|A||P|^2=0\cdot4=0$ ✓.

Intuición. $f(x,y)=(x_1+x_2)(y_1+y_2)$. En la base nueva, $v_2=(1,-1)$ tiene «suma de componentes» cero: todo lo que lo toca vale 0.

Si $A=\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}$ es la matriz que caracteriza a una forma bilineal en una base $B$ y $A'=\begin{pmatrix}1&2\\2&5\end{pmatrix}$ es la matriz de la misma forma en otra base $B'$, calcule la matriz de cambio de base de $B'$ a $B$. (Son las matrices del Ejemplo 6.7 de U, p.250.)

Lo que dice la oficial: solo plantea $\begin{pmatrix}1&2\\2&5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ y remite a U Ej. 6.7, que da $P=\begin{pmatrix}-1&-1\\1&2\end{pmatrix}$. No resuelve el sistema ni avisa de que la solución no es única.

1. Planteamiento. Por el Teor. 6.1, si

   $$P=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$$

   es la matriz de paso de $B'$ a $B$, es regular y $P^tAP=A'$.

2. Sistema. Multiplicando,

   $$P^tAP=\begin{pmatrix}a^2+2ac+2c^2&ab+ad+bc+2cd\\ab+ad+bc+2cd&b^2+2bd+2d^2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2\\2&5\end{pmatrix}:$$

   tres ecuaciones (las posiciones $(1,2)$ y $(2,1)$ coinciden) con cuatro incógnitas y no lineales. No cabe esperar solución única.

3. Truco: completar cuadrados. $a^2+2ac+2c^2=(a+c)^2+c^2=1$; $\ b^2+2bd+2d^2=(b+d)^2+d^2=5$; $\ ab+ad+bc+2cd=(a+c)(b+d)+cd=2$. Con $u=(a+c,\ c)$ y $v=(b+d,\ d)$ dicen $|u|^2=1$, $|v|^2=5$, $u\cdot v=2$.
4. Una solución entera. Prueba $c=0$, $a=1$, $u=(1,0)$. Entonces $b+d=2$ y $4+d^2=5$ ⇒ $d=\pm1$; con $d=1$, $b=1$: $$P_1=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix},\ |P_1|=1\neq0.$$

   Comprobación:

   $$AP_1=\begin{pmatrix}1&2\\1&3\end{pmatrix}$$ $$P_1^tAP_1=\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\\1&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2\\2&5\end{pmatrix}=A'$$

   ✓.

5. La de U Ej. 6.7 también sirve:

   $$P_2=\begin{pmatrix}-1&-1\\1&2\end{pmatrix}$$

   ($u=(0,1)$, $v=(1,2)$), con $|P_2|=-1$;

   $$AP_2=\begin{pmatrix}0&1\\1&3\end{pmatrix}$$ $$P_2^t(AP_2)=\begin{pmatrix}-1&1\\-1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\1&3\end{pmatrix}=A'$$

   ✓.

6. Hay infinitas. $u=(\cos t,\sin t)$ es cualquier unitario y $v=2u\pm u^\perp$ con $u^\perp=(-\sin t,\cos t)$. Deshaciendo el cambio, para todo $t\in\mathbb R$: $$P_+(t)=\begin{pmatrix}\cos t-\sin t&\cos t-3\sin t\\\sin t&\cos t+2\sin t\end{pmatrix}\ (|P_+|=1),\quad P_-(t)=\begin{pmatrix}\cos t-\sin t&3\cos t-\sin t\\\sin t&2\sin t-\cos t\end{pmatrix}\ (|P_-|=-1).$$ $P_1=P_+(0)$ y $P_2=P_-(\pi/2)$. Las soluciones enteras en $[-4,4]^4$ son exactamente 8: $(a,b,c,d)\in\{(1,1,0,1),(-1,-1,0,-1),(1,3,0,-1),(-1,-3,0,1),(-1,-1,1,2),(1,1,-1,-2),(-1,-3,1,2),(1,3,-1,-2)\}$.
7. Por qué no es única. Si $P$ cumple $P^tAP=A'$ y $U$ es regular con $U^tA'U=A'$, entonces $PU$ también: $(PU)^tA(PU)=U^t(P^tAP)U=U^tA'U=A'$. Geométricamente: como $|A|=1>0$ y $a_{11}>0$, $f$ es un producto escalar (tema 5.1); $A$ y $A'$ son matrices de Gram en dos bases, y cualquier giro o simetría para ese producto lleva una base en otra con la misma matriz de Gram.

Error típico: (a) plantear $P^{-1}AP=A'$ (semejanza): aquí no tiene solución, porque las trazas son 3 y 6 y las semejantes tienen la misma traza (U Teor. 4.4). (b) Dar por mala una $P$ distinta de la del libro. (c) Olvidar comprobar que $P$ es regular.

Si $G$ y $G'$ son dos matrices de Gram del mismo producto escalar en bases diferentes, razone si son o no ciertas: (i) los dos determinantes son iguales; (ii) ambas matrices son congruentes y equivalentes.

1. Relación entre ellas (U Teor. 5.1, p.198; teoría en el tema 5.1): $G'=Q^tGQ$ con $Q$ regular (matriz de cambio de base de $B'$ a $B$). Es exactamente el Teorema 6.1: $G$ es la matriz de una forma bilineal.
2. (ii) Verdadero. $G'=Q^tGQ$ es la definición de congruentes (Def. 6.4). Y congruentes ⇒ equivalentes ($G'=MGN$ con $M=Q^t$, $N=Q$ regulares; U §4.1, p.147), luego tienen el mismo rango (aquí, $n$).

3. (i) Falso en general. $\det G'=(\det Q)^2\det G$. Contraejemplo:

   $$G=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}$$

   ($\det G=1$) y

   $$Q=\begin{pmatrix}1&1\\0&2\end{pmatrix}:$$ $$G'=Q^tGQ=\begin{pmatrix}2&4\\4&10\end{pmatrix},$$

   con $\det G'=4\neq1$. Solo coinciden si $|\det Q|=1$. Lo que sí se conserva es el signo (en un producto escalar siempre positivo).

La oficial cita «Pg. 198» y «Pg. 146-147» de U; la congruencia ⇒ equivalencia está en U p.147, tras la Def. 4.4.

Error típico: decir que «son semejantes» (no tiene por qué: la traza cambia) o que «tienen el mismo determinante». Teoría: U Teor. 5.1 p.198; Def. 4.4 p.147.