Bases. Dimensión. Coordenadas

Si $B=\{e_1,e_2,e_3,e_4\}$ es una base de un espacio vectorial $V$, se pide comprobar si también son bases de $V$ los conjuntos: A) $B_1=\{e_1,\ e_1+e_2,\ e_1+e_2+e_3+e_4\}$. B) $B_2=\{e_1,\ e_1+e_2,\ e_1-e_2,\ e_1+e_3,\ e_4\}$. C) $B_3=\{e_1,\ e_1+e_2,\ e_1+e_2+e_3,\ e_1+e_2+e_3+e_4\}$.

1. Dimensión de $V$. $B$ es una base con 4 vectores; por el Teor. 2.4 (U p.87) toda base de $V$ tiene 4 vectores y $\operatorname{Dim}V=4$ (Def. 2.11).
2. A) Falso. $B_1$ tiene 3 vectores y una base de $V$ debe tener exactamente 4.

   Qué falla: $B_1$ sí es libre, pero no genera $V$. Por ejemplo, $e_3$ no se puede obtener: en

   $$a\,e_1+b(e_1+e_2)+c(e_1+e_2+e_3+e_4)$$

   los coeficientes de $e_3$ y de $e_4$ son ambos $c$, y para $e_3$ harían falta $1$ y $0$. Con las coordenadas respecto de $B$ por columnas:

   $$M_1=\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\\0&0&1\end{pmatrix},\qquad\operatorname{rang}M_1=3<4.$$

   Así $\operatorname{Dim}\langle B_1\rangle=3$ (Teor. 2.5, U p.88): es un «hiperplano» de $V$ (subespacio de dimensión $n-1=3$), no todo $V$.

3. B) Falso. $B_2$ tiene 5 vectores y una base debe tener 4.

   Qué falla: la independencia. Concretamente

   $$e_1-e_2=2e_1-(e_1+e_2),$$

   luego $B_2$ es ligado (Def. 2.5, U p.73). Observación que el libro no hace: $B_2$ sí genera $V$ (su matriz de coordenadas tiene rango 4); es un sistema generador al que le sobra un vector. Suprimiendo $e_1-e_2$ (Teor. 2.1, U p.79) queda $\{e_1,e_1+e_2,e_1+e_3,e_4\}$, que sí es base.

4. C) Verdadero. $B_3$ tiene 4 vectores $=\operatorname{Dim}V$: por el Teor. 2.6 (U p.88) basta ver que son libres. Se plantea la combinación nula: $$0=\lambda e_1+\mu(e_1+e_2)+\alpha(e_1+e_2+e_3)+\beta(e_1+e_2+e_3+e_4).$$

   Agrupando por los vectores de $B$:

   $$0=(\lambda+\mu+\alpha+\beta)e_1+(\mu+\alpha+\beta)e_2+(\alpha+\beta)e_3+\beta e_4.$$
5. Por qué se pueden igualar los coeficientes a 0. Como $B$ es base, la expresión de un vector (aquí $0=0e_1+0e_2+0e_3+0e_4$) como combinación de $B$ es única (U p.82). Luego: $$\begin{cases}\lambda+\mu+\alpha+\beta=0\\ \mu+\alpha+\beta=0\\ \alpha+\beta=0\\ \beta=0\end{cases}$$

   Es un sistema triangular; de abajo arriba:

   $$\beta=0\ \Rightarrow\ \alpha=0\ \Rightarrow\ \mu=0\ \Rightarrow\ \lambda=0.$$

   Solo la solución trivial: $B_3$ es libre, y con 4 vectores en dimensión 4 es base.

6. Atajo con matrices. Las coordenadas de $B_3$ respecto de $B$, en columnas: $$M_3=\begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&1&1&1\\0&0&1&1\\0&0&0&1\end{pmatrix}.$$

   Es triangular con diagonal $1,1,1,1$: $\det M_3=1\neq0$ (U p.27), rango 4, y «4 vectores en dimensión 4 son base $\iff$ rango 4» (U p.88).

Resultado: A falso, B falso, C verdadero. (Verificado con sympy: rangos 3, 4 y 4, $\det M_3=1$.)

Nota sobre el libro. E solo cuenta vectores en A y B (suficiente), pero no dice qué propiedad falla: en A falla «generar»; en B, «ser libre».

Error típico: pensar que, como $V$ es abstracto, no se pueden usar matrices. Sí se puede: se trabaja con las coordenadas respecto de la base dada (U p.88).

Teoría: Def. 2.9 y caracterización, U p.82 · Teor. 2.4, U p.87 · Teor. 2.5 y 2.6, U p.88

El conjunto $S=\{(1,2,1),(2,1,0),(4,-1,-4)\}$ verifica: A) Es una base de $\mathbb R^2$. B) Todo vector de $\mathbb R^3$ es combinación lineal de los vectores de $S$. C) Es un sistema linealmente dependiente o ligado.

1. A) Falso. Una base de $\mathbb R^2$ está formada por vectores de $\mathbb R^2$ (pares) y tendría 2 ($\operatorname{Dim}\mathbb R^2=2$, U p.87). Los de $S$ son ternas, elementos de $\mathbb R^3$.
2. B) Estrategia. «Todo vector de $\mathbb R^3$ es combinación lineal de $S$» significa que $S$ genera $\mathbb R^3$. Como $S$ tiene 3 vectores y $\operatorname{Dim}\mathbb R^3=3$, por el Teor. 2.6 (U p.88) basta ver que $S$ es libre, es decir, que la matriz de coordenadas tiene determinante no nulo (U p.27).
3. Determinante (regla de Sarrus), con los vectores como filas: $$\begin{vmatrix}1&2&1\\2&1&0\\4&-1&-4\end{vmatrix}=\big[1\cdot1\cdot(-4)+2\cdot0\cdot4+1\cdot2\cdot(-1)\big]-\big[1\cdot1\cdot4+1\cdot0\cdot(-1)+2\cdot2\cdot(-4)\big]$$ $$=(-6)-(-12)=6\neq0.$$
4. Conclusión B. $\det\neq0\Rightarrow$ rango 3 $\Rightarrow S$ libre (U p.78) $\Rightarrow$ base de $\mathbb R^3$ (Teor. 2.6) $\Rightarrow$ genera $\mathbb R^3$: B verdadera.
5. C) Falso, porque acabamos de ver que $S$ es libre (libre $=$ no ligado, Def. 2.6, U p.74).

Resultado: solo B es verdadera. (Verificado con sympy: $\det=6$.) Aviso: el texto digital de E muestra «$=6=0$»; en el libro es $=6\neq0$.

Error típico: escribir «es base de $\mathbb R^2$ porque…» sin mirar a qué espacio pertenecen los vectores; o deducir «genera» de «tiene 3 vectores» sin comprobar la independencia.

Teoría: Def. 2.9, U p.82 · Teor. 2.6, U p.88 · determinante y rango, U p.27

Se pide elegir de las siguientes opciones, las verdaderas: A) El vector 1 es una base del espacio vectorial $\mathbb R$. B) Existen espacios vectoriales de dimensión finita, distintos del 0, que no tienen bases.

1. Qué comprobar en A. Por la Def. 2.9 (U p.82), $\{1\}$ es base de $\mathbb R$ si es libre y genera $\mathbb R$. Aquí $\mathbb R$ es un espacio vectorial sobre sí mismo: los «vectores» y los «escalares» son números reales.
2. Genera.

   Todo $a\in\mathbb R$ se escribe

   $$a=a\cdot1,$$

   combinación lineal de $1$ con coeficiente $a$.

3. Libre.

   Si $\lambda\cdot1=0$ entonces $\lambda=0$: la única combinación nula es la trivial (también: $\{v\}$ es libre $\iff v\neq0$).

4. Conclusión A: verdadera. $\{1\}$ es base y $\operatorname{Dim}\mathbb R=1$. (Lo mismo vale para $\{a\}$ con cualquier $a\neq0$; en cambio $\{0\}$ nunca es base: un sistema con el $0$ es ligado, U p.74.)
5. B. «Distintos del 0» es «distintos del espacio nulo». El Teor. 2.3 (existencia de base, U p.87) dice exactamente que todo espacio vectorial finito $V\neq\{0\}$ tiene base, y un espacio de dimensión finita está generado por un número finito de vectores (Def. 2.8). Conclusión B: falsa.

Resultado: solo A es verdadera. Nota sobre el libro. El texto digital de U/E pierde el símbolo $\neq$ («$V=\{0\}$»): debe leerse $V\neq\{0\}$. Y con rigor, la base es el conjunto $\{1\}$, no «el vector 1».

Error típico: pensar que $\{0\}$ es base de $\{0\}$: el vector $0$ no puede formar parte de ninguna base (U p.87), así que $\{0\}$ no tiene base; su dimensión, $\operatorname{Dim}\{0\}=0$, es un convenio. (Otros libros dicen que su base es el conjunto vacío; U no lo usa.)

Teoría: Def. 2.8 y 2.9, U p.82 · Teor. 2.3 y Def. 2.11, U p.87

Si $B=\{(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)\}$ y $v=(3,2,1)$ está expresado respecto a la base canónica, se pide: A) Comprobar que $B$ es una base de $\mathbb R^3$. B) Calcular las coordenadas de $v$ respecto a $B$.

1. A) Por qué basta un determinante. $B$ tiene 3 vectores y $\operatorname{Dim}\mathbb R^3=3$; por el Teor. 2.6 (U p.88) $B$ es base $\iff$ es libre $\iff$ rango 3 $\iff$ determinante no nulo.
2. Determinante (Sarrus): $$\begin{vmatrix}1&1&1\\1&1&0\\1&0&0\end{vmatrix}=(0+0+0)-(1+0+0)=-1\neq0.$$

   (También, desarrollando por la 3.ª fila: $1\cdot\begin{vmatrix}1&1\\1&0\end{vmatrix}=0-1=-1$.) Luego rango 3 y $B$ es base.

3. B) Qué son las coordenadas. Por la Def. 2.10 (U p.85), son los $(\alpha,\beta,\gamma)$ con $$\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}=\alpha\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+\beta\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}+\gamma\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}.$$

   Existen y son únicas porque $B$ es base (U p.82).

4. Sistema (igualando componentes) y matriz ampliada: $$\begin{cases}\alpha+\beta+\gamma=3\\ \alpha+\beta=2\\ \alpha=1\end{cases}\qquad\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&3\\1&1&0&2\\1&0&0&1\end{array}\right).$$
5. Resolver de abajo arriba. $$\alpha=1,\qquad\beta=2-1=1,\qquad\gamma=3-1-1=1.$$
6. Comprobación. $$(1,1,1)+(1,1,0)+(1,0,0)=(3,2,1)\ ✓$$

Resultado: $v=(3,2,1)=(1,1,1)_B$. (Verificado con sympy.)

Error típico: poner los vectores de la base en filas al plantear el sistema de coordenadas (eso resuelve otro sistema). Para el determinante da igual filas o columnas ($\det A=\det A^{t}$); para el sistema, no.

Teoría: Def. 2.10, U p.85 · caracterización de base, U p.82 · Teor. 2.6, U p.88

Si $B=\{e_1,e_2,e_3,e_4\}$ y $B'=\{e'_1,e'_2,e'_3,e'_4\}$ son dos bases de $\mathbb R^4$, tales que $e'_1=e_1+e_2+e_3$, $e'_2=e_2$, $e'_3=e_2-e_3$, $e'_4=e_2-4e_3-2e_4$, y las coordenadas de $v\in\mathbb R^4$ respecto a la base $B'$ son $(2,-1,0,1)$, se pide hallar las coordenadas de $v$ respecto a $B$.

1. Traducir el dato. Por la Def. 2.10: $$v=(2,-1,0,1)_{B'}\iff v=2e'_1-e'_2+0\,e'_3+e'_4.$$
2. Sustituir cada $e'_i$ por su expresión en $B$: $$v=2(e_1+e_2+e_3)-e_2+0\,(e_2-e_3)+(e_2-4e_3-2e_4).$$
3. Agrupar por los vectores de $B$: $$e_1:\ 2,\qquad e_2:\ 2-1+0+1=2,\qquad e_3:\ 2+0-4=-2,\qquad e_4:\ -2.$$

   Así $v=2e_1+2e_2-2e_3-2e_4$.

4. Leer las coordenadas. Como $B$ es base, los coeficientes son únicos (U p.82), luego $v=(2,2,-2,-2)_B$.
5. Comprobación de la hipótesis (el enunciado la da, pero conviene saberla): $B'$ es base si la matriz $P$ cuyas columnas son las coordenadas de $e'_j$ en $B$ tiene $\det\neq0$: $$P=\begin{pmatrix}1&0&0&0\\1&1&1&1\\1&0&-1&-4\\0&0&0&-2\end{pmatrix},$$ $$\det P=1\cdot\begin{vmatrix}1&1&1\\0&-1&-4\\0&0&-2\end{vmatrix}=1\cdot1\cdot(-1)\cdot(-2)=2\neq0.$$
6. Comprobación matricial. Lo hecho equivale a $X_B=P\,X_{B'}$: $$P\begin{pmatrix}2\\-1\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\2\\-2\\-2\end{pmatrix}\ ✓$$

   (Esta fórmula de cambio de base se estudia en U §3.5, p.131-137; aquí basta el cálculo directo de los pasos 1-4.)

Resultado: $v=(2,-1,0,1)_{B'}=(2,2,-2,-2)_B$. (Verificado con sympy: $\det P=2$.)

Nota sobre el libro. E no comprueba que $B'$ sea base; lo da el enunciado.

Error típico: confundir el sentido: con estos datos (los $e'_j$ escritos en función de los $e_i$) el paso directo es $B'\to B$; para ir de $B$ a $B'$ habría que resolver un sistema o invertir $P$. Y poner las coordenadas de los $e'_j$ en filas en vez de en columnas.

Teoría: Def. 2.10, U p.85 · caracterización de base, U p.82 · cambio de base: tema 3.5, U p.131-137

Si $a\neq0$ es un valor real determinado, se pide comprobar si la dimensión del subespacio vectorial generado por los vectores de la forma $(-a,a,-2a,3a)$ depende del valor de $a$.

1. Sacar factor común. $$(-a,a,-2a,3a)=a\,(-1,1,-2,3)=a\,w,\qquad w=(-1,1,-2,3).$$
2. El subespacio generado no depende de $a$. $$\langle aw\rangle=\{\lambda a\,w:\ \lambda\in\mathbb R\}.$$

   Como $a\neq0$, cuando $\lambda$ recorre $\mathbb R$ también $\mu=\lambda a$ lo recorre, así que $\langle aw\rangle=\langle w\rangle$. (Es el Teor. 2.2 de sustitución, U p.79: se sustituye $w$ por $aw$, donde $w$ interviene con coeficiente $a\neq0$.)

3. $\{w\}$ es libre. $w\neq0$ (su 1.ª componente es $-1$), luego $\lambda w=0\Rightarrow\lambda=0$ (U p.74).
4. Base y dimensión. $\{w\}$ es libre y genera $\langle w\rangle$: es base y $\operatorname{Dim}\langle w\rangle=1$. Equivalentemente, por el Teor. 2.5 (U p.88): $$\operatorname{Dim}\langle aw\rangle=\operatorname{rang}\{aw\}=\operatorname{rang}\begin{pmatrix}-a&a&-2a&3a\end{pmatrix}=1,$$

   porque esa fila tiene un elemento no nulo.

Resultado: la dimensión es siempre $1$; no depende de $a$ (mientras $a\neq0$). Si se permitiera $a=0$ el vector sería nulo, el subespacio $\{0\}$ y la dimensión $0$: por eso el enunciado exige $a\neq0$ (el texto digital de E lo muestra como «$a=0$», por la pérdida del símbolo).

Error típico: contestar «depende de $a$» porque el vector depende de $a$: los vectores cambian, pero la recta que generan es la misma.

Teoría: Teor. 2.2, U p.79 · Teor. 2.5, U p.88 · Def. 2.11, U p.87

Si $\wp_2$ es el espacio vectorial de los polinomios reales de grado menor que 3 y una variable, se pide demostrar si $S=\{x^2,\ x^2+x\}$ es una base de dicho espacio.

1. El espacio. $\wp_2=\{ax^2+bx+c\}$ («grado menor que 3» $=$ grado $\le2$). Base canónica $\{x^2,x,1\}$ (U p.85), luego $\operatorname{Dim}\wp_2=3$.
2. Respuesta rápida. $S$ tiene 2 vectores y toda base de $\wp_2$ tiene 3 (Teor. 2.4): $S$ no es base. Para saber qué falla se comprueban las dos condiciones de la Def. 2.9.
3. ¿Genera? Hay que ver si para todo $ax^2+bx+c$ existen $\alpha,\beta$ con $$ax^2+bx+c=\alpha x^2+\beta(x^2+x)=(\alpha+\beta)x^2+\beta x+0.$$

   Igualando coeficientes:

   $$\alpha+\beta=a,\qquad\beta=b,\qquad0=c.$$

   La 3.ª ecuación es imposible si $c\neq0$. Por ejemplo el polinomio $1$ ($a=b=0$, $c=1$) no es combinación lineal de $S$. Luego $S$ no genera $\wp_2$: solo los polinomios sin término independiente.

4. ¿Es libre? $$\alpha x^2+\beta(x^2+x)=0\ \Rightarrow\ (\alpha+\beta)x^2+\beta x=0\ \Rightarrow\ \beta=0,\ \alpha=0.$$

   Sí es libre. (Con coordenadas en $\{x^2,x,1\}$: $x^2\to(1,0,0)$, $x^2+x\to(1,1,0)$; la matriz $\begin{pmatrix}1&0&0\\1&1&0\end{pmatrix}$ tiene rango 2 = nº de vectores.)

5. Conclusión. $S$ es libre pero no generador: no es base. Por el Teor. 2.7 se puede completar con $3-2=1$ vector; por ejemplo $\{x^2,x^2+x,1\}$ sí es base: $$\begin{pmatrix}1&0&0\\1&1&0\\0&0&1\end{pmatrix},\qquad\det=1\neq0.$$

Resultado: no es base (libre, no generador). Nota sobre el libro. E lo explica en una frase (solo genera vectores sin término independiente, $ax^2+bx$); aquí se añade un contraejemplo concreto (el polinomio $1$).

Error típico: contar mal la dimensión de $\wp_n$: es $n+1$, no $n$ (hay que contar el término independiente).

Teoría: Def. 2.9, U p.82 · Ej. U 2.26, U p.84-85 · Teor. 2.4, U p.87 · Teor. 2.7, U p.89

Si $B=\{P(x),P'(x),P''(x),P'''(x)\}$ es una base del espacio vectorial de polinomios reales de grado menor o igual que 3 y una variable, $\wp_3$, siendo $P(x)=x^3+x^2+x+1$, se pide calcular las coordenadas de $Q(x)=x^3+4x^2+9x+10$ respecto a la base $B$.

1. Calcular la base. $$P'(x)=3x^2+2x+1,\qquad P''(x)=6x+2,\qquad P'''(x)=6,$$ $$B=\{x^3+x^2+x+1,\ 3x^2+2x+1,\ 6x+2,\ 6\}.$$
2. Comprobar que es base (el libro no lo hace). En la base canónica $\{x^3,x^2,x,1\}$ ($\operatorname{Dim}\wp_3=4$, U p.89), las coordenadas en columnas son: $$M=\begin{pmatrix}1&0&0&0\\1&3&0&0\\1&2&6&0\\1&1&2&6\end{pmatrix},\qquad\det M=1\cdot3\cdot6\cdot6=108\neq0$$

   (triangular inferior). 4 vectores libres en dimensión 4: base (Teor. 2.6). La razón de fondo: los grados son $3,2,1,0$, todos distintos.

3. Plantear las coordenadas (Def. 2.10). Se buscan $\alpha,\beta,\delta,\gamma$ (en el orden de $B$) con $$x^3+4x^2+9x+10=\alpha(x^3+x^2+x+1)+\beta(3x^2+2x+1)+\delta(6x+2)+\gamma\cdot6.$$
4. Agrupar por grados el segundo miembro: $$\alpha x^3+(\alpha+3\beta)x^2+(\alpha+2\beta+6\delta)x+(\alpha+\beta+2\delta+6\gamma).$$
5. Igualar coeficientes (polinomios iguales $\iff$ mismos coeficientes; U p.82, p.86): $$\left(\begin{array}{cccc|c}1&0&0&0&1\\1&3&0&0&4\\1&2&6&0&9\\1&1&2&6&10\end{array}\right)\iff\begin{cases}\alpha=1\\ \alpha+3\beta=4\\ \alpha+2\beta+6\delta=9\\ \alpha+\beta+2\delta+6\gamma=10\end{cases}$$
6. Resolver de arriba abajo (triangular): $$\alpha=1;\quad3\beta=3\Rightarrow\beta=1;\quad6\delta=9-1-2=6\Rightarrow\delta=1;\quad6\gamma=10-1-1-2=6\Rightarrow\gamma=1.$$
7. Comprobación. $$(x^3+x^2+x+1)+(3x^2+2x+1)+(6x+2)+6=x^3+4x^2+9x+10\ ✓$$

Resultado: $Q=(1,1,1,1)_B$; respecto de la base canónica $\{x^3,x^2,x,1\}$, $Q=(1,4,9,10)$. (Verificado con sympy.)

Notas sobre el libro. (a) E llama $\delta$ al coeficiente de $P''$ y $\gamma$ al de $P'''$; las coordenadas se dan en el orden de la base. (b) No comprueba que $B$ sea base: en examen conviene justificarlo en una línea como en el paso 2. (c) E escribe «$(1,4,9,10)$» respecto de la base canónica ordenada $\{x^3,x^2,x,1\}$ (U usa $\{x^2,x,1\}$, también de mayor a menor grado).

Error típico: olvidar que el coeficiente de $P'''=6$ aporta $6\gamma$ (no $\gamma$) al término independiente; o desordenar las coordenadas respecto del orden de la base.

Teoría: Def. 2.10, U p.85 · Teor. 2.6, U p.88 · Ej. U 2.30, U p.89

Sea $W=\{(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb R^3:\ x_1-2x_2+x_3=0\}$. Halla una base de $W$, su dimensión y las coordenadas de $v=(1,1,1)$ respecto de esa base. ¿Pertenece $(1,0,0)$ a $W$?

1. Pasar a paramétricas (cartesianas $\to$ paramétricas, U §1.4 p.33-34). Se despeja $x_1=2x_2-x_3$ y se dejan libres $x_2=\lambda$, $x_3=\mu$: $$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\lambda\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}.$$
2. Generadores. Todo vector de $W$ es combinación de $w_1=(2,1,0)$ y $w_2=(-1,0,1)$, y ambos cumplen la ecuación: $$2-2+0=0,\qquad-1-0+1=0.$$

   Luego $W=\langle w_1,w_2\rangle$.

3. Libres. $$\lambda w_1+\mu w_2=(2\lambda-\mu,\ \lambda,\ \mu)=0\ \Rightarrow\ \lambda=\mu=0.$$

   (Cada parámetro «vive solo» en una componente: los vectores obtenidos así siempre son libres.)

4. Base y dimensión. $B_W=\{(2,1,0),(-1,0,1)\}$ es base de $W$ y $\operatorname{Dim}W=2$: es un plano por el origen. Regla: $$\operatorname{Dim}W=n-\operatorname{rang}=3-1=2,$$

   con $n$ el nº de incógnitas y rang el rango de la matriz de coeficientes (Rouché: la solución depende de $n-k$ parámetros, con $k=\operatorname{rang}$; U p.30).

5. Coordenadas de $v=(1,1,1)$. Primero $v\in W$: $1-2+1=0$ ✓. Mirando las componentes 2.ª y 3.ª de $v=\lambda w_1+\mu w_2$ se obtiene $\lambda=1$, $\mu=1$; y la 1.ª lo confirma ($2-1=1$). Luego $v=(1,1)_{B_W}$. Ojo: $v$ tiene 2 coordenadas respecto de $B_W$ aunque tenga 3 componentes.
6. $(1,0,0)$: $1-0+0=1\neq0$, no cumple la ecuación: $(1,0,0)\notin W$ y no tiene coordenadas respecto de $B_W$ (el sistema da $\lambda=\mu=0$ y luego $0=1$: incompatible).

Error típico: dar como «coordenadas de $v$ en $B_W$» sus tres componentes $(1,1,1)$: son las de la base canónica de $\mathbb R^3$.

En $\mathbb R^4$ sea $S=\{u_1,u_2,u_3,u_4\}$ con $u_1=(1,2,0,1)$, $u_2=(2,4,1,1)$, $u_3=(0,0,1,-1)$, $u_4=(1,2,1,0)$. a) Calcula $\operatorname{Dim}\langle S\rangle$ y una base. b) Ecuaciones cartesianas de $\langle S\rangle$. c) Completa la base de a) hasta una base de $\mathbb R^4$.

a)

1. Matriz con los vectores en filas y escalonamiento (las operaciones de fila no cambian el subespacio generado ni el rango): $$\begin{pmatrix}1&2&0&1\\2&4&1&1\\0&0&1&-1\\1&2&1&0\end{pmatrix}\xrightarrow[F_4-F_1]{F_2-2F_1}\begin{pmatrix}1&2&0&1\\0&0&1&-1\\0&0&1&-1\\0&0&1&-1\end{pmatrix}\xrightarrow[F_4-F_2]{F_3-F_2}\begin{pmatrix}1&2&0&1\\0&0&1&-1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}.$$
2. Rango 2 (dos filas no nulas) $\Rightarrow\operatorname{Dim}\langle S\rangle=2$ (Teor. 2.5). $S$ es ligado (rango $2<4$). De los pasos se lee: $$u_3=u_2-2u_1,\qquad u_4=u_1+u_3.$$
3. Base. Dos vectores libres de un subespacio de dimensión 2 son base (Teor. 2.6). Sirve $$\{u_1,u_3\}=\{(1,2,0,1),(0,0,1,-1)\}$$

   (no son proporcionales).

b)

4. $x=(x_1,x_2,x_3,x_4)\in\langle S\rangle\iff\operatorname{rang}\{u_1,u_3,x\}=2$. Añadiendo $x$ como 3.ª fila: $F_3-x_1F_1$ da $(0,\ x_2-2x_1,\ x_3,\ x_4-x_1)$; luego $F_3-x_3F_2$ da $(0,\ x_2-2x_1,\ 0,\ x_4-x_1+x_3)$.
5. Para que el rango siga siendo 2 esa fila debe anularse: $$\boxed{\ x_2-2x_1=0,\qquad x_1-x_3-x_4=0\ }$$ (Comprobación: $u_1$: $2-2=0$, $1-0-1=0$; $u_3$: $0$, $0-1+1=0$ ✓.) Son $4-2=2$ ecuaciones, coherente con $\operatorname{Dim}=2$.

c) (Teor. 2.7: hay que añadir $4-2=2$ vectores.)

6. Método sistemático. En la escalonada los pivotes están en las columnas 1 y 3. Se añaden los canónicos de las columnas sin pivote, $e_2=(0,1,0,0)$ y $e_4=(0,0,0,1)$: $$\begin{vmatrix}1&2&0&1\\0&1&0&0\\0&0&1&-1\\0&0&0&1\end{vmatrix}=1\cdot1\cdot1\cdot1=1\neq0.$$ Rango 4: $\{u_1,u_3,e_2,e_4\}$ es base de $\mathbb R^4$ (Teor. 2.6).
7. No vale cualquier par. $\{u_1,u_3,e_3,e_4\}$ es ligado ($u_3=e_3-e_4$); y añadir $u_2$ o $u_4$ tampoco sirve, porque ya están en $\langle S\rangle$.

Error típico: tomar como base los 4 vectores de $S$ «porque generan»: generan $\langle S\rangle$, pero son ligados; una base exige además independencia.

En $\wp_2$ se considera $B_a=\{1+x,\ x+x^2,\ 1+ax^2\}$, $a\in\mathbb R$. a) ¿Para qué valores de $a$ es $B_a$ base de $\wp_2$? b) Para $a=1$, coordenadas de $q(x)=4+3x+3x^2$ respecto de $B_1$. c) Para el valor de $a$ en que no es base, halla $\operatorname{Dim}\langle B_a\rangle$ y complétalo a una base de $\wp_2$.

a)

1. Coordenadas en la base canónica $\{1,x,x^2\}$ (el orden es indiferente para el rango si se usa siempre el mismo): $$1+x\to(1,1,0),\qquad x+x^2\to(0,1,1),\qquad1+ax^2\to(1,0,a).$$
2. Por qué basta un determinante. 3 vectores en $\operatorname{Dim}\wp_2=3$: base $\iff$ rango 3 $\iff\det\neq0$. Con las coordenadas en columnas: $$\det M_a=\begin{vmatrix}1&0&1\\1&1&0\\0&1&a\end{vmatrix}=(a+0+1)-(0+0+0)=a+1.$$
3. Conclusión. $B_a$ es base $\iff a\neq-1$.

b) ($a=1$)

4. Se buscan $\alpha,\beta,\gamma$ con $4+3x+3x^2=\alpha(1+x)+\beta(x+x^2)+\gamma(1+x^2)=(\alpha+\gamma)+(\alpha+\beta)x+(\beta+\gamma)x^2$: $$\left(\begin{array}{ccc|c}1&0&1&4\\1&1&0&3\\0&1&1&3\end{array}\right)\xrightarrow{F_2-F_1}\left(\begin{array}{ccc|c}1&0&1&4\\0&1&-1&-1\\0&1&1&3\end{array}\right)\xrightarrow{F_3-F_2}\left(\begin{array}{ccc|c}1&0&1&4\\0&1&-1&-1\\0&0&2&4\end{array}\right).$$ ($F_2-F_1$ anula el 1 bajo el primer pivote; $F_3-F_2$ anula el 1 bajo el segundo.)
5. Sustitución hacia atrás: $\gamma=2$; $\beta=-1+\gamma=1$; $\alpha=4-\gamma=2$. Comprobación: $2(1+x)+(x+x^2)+2(1+x^2)=4+3x+3x^2$ ✓. Luego $q=(2,1,2)_{B_1}$.

c) ($a=-1$)

6. $B_{-1}=\{1+x,\ x+x^2,\ 1-x^2\}$ es ligado: $(1+x)-(x+x^2)=1-x^2$. Los dos primeros no son proporcionales: $\operatorname{rang}=2$ y $\operatorname{Dim}\langle B_{-1}\rangle=2$ con base $\{1+x,\ x+x^2\}$ (Teor. 2.1: se suprime el vector dependiente).
7. Completar (Teor. 2.7): añadir $x^2$. Las coordenadas en columnas $(1,1,0),(0,1,1),(0,0,1)$ forman una triangular con diagonal $1,1,1$, $\det=1\neq0$: $\{1+x,\ x+x^2,\ x^2\}$ es base de $\wp_2$.

Error típico: concluir «no es base para $a=-1$» y quedarse ahí, cuando se pide también la dimensión: $\det=0$ solo dice que el rango es $\lt3$; hay que encontrar un menor de orden 2 no nulo (o dos vectores no proporcionales) para saber que es 2.

Siendo $\wp_3(x)$ el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que 3 en la variable $x$, se pide razonar si el sistema $\{x,\ x^3,\ x^2-2x,\ 3x^3+2\}$ es o no una base suya.

1. Cuántos vectores hacen falta. La base canónica $\{x^3,x^2,x,1\}$ tiene 4 elementos: $\operatorname{Dim}\wp_3=4$ (U p.89). Toda base tiene 4 vectores (Teor. 2.4, U p.87). El sistema tiene 4: el número cuadra, condición necesaria pero no suficiente.
2. Reducir el trabajo (Teor. 2.6, U p.88). Con exactamente $4=\operatorname{Dim}\wp_3$ vectores basta comprobar una condición: que son libres o que generan. Se hace de las dos formas.
3. Vía A — generan $\wp_3$. Basta que cada vector de la base canónica sea combinación del sistema: $x$ y $x^3$ están en él, y $$x^2=(x^2-2x)+2\cdot x,\qquad1=\tfrac12\big((3x^3+2)-3\cdot x^3\big).$$

   Con 4 generadores en dimensión 4, por el Teor. 2.6 es base.

4. Vía B — determinante de coordenadas (H1, H2). En $\{1,x,x^2,x^3\}$, por columnas: $x\to(0,1,0,0)$, $x^3\to(0,0,0,1)$, $x^2-2x\to(0,-2,1,0)$, $3x^3+2\to(2,0,0,3)$: $$\det\begin{pmatrix}0&0&0&2\\1&0&-2&0\\0&0&1&0\\0&1&0&3\end{pmatrix}=-2\begin{vmatrix}1&0&-2\\0&0&1\\0&1&0\end{vmatrix}=-2\cdot\big(1\cdot(0\cdot0-1\cdot1)\big)=2\neq0.$$

   (La 1.ª fila solo tiene un $2$ en la posición $(1,4)$, de signo $(-1)^{1+4}=-1$; el $3\times3$ se desarrolla por su 1.ª columna.) Rango 4: libres, luego base.

Resultado: sí es base de $\wp_3$. (Verificado con sympy: $\det=2$.)

Omisión en la solución oficial. Dice «es fácil comprobar que los cuatro vectores [de la base canónica] están… en el sistema dado… Por lo tanto, es base» sin escribir las combinaciones ni citar el Teor. 2.6 (4 generadores en dimensión 4). Remite al «Ejemplo 2.20 del libro», que en la 2.ª ed. de U es otro (funciones en $[0,2]$, U p.77); los parecidos son el Ej. U 2.26 ($\wp_2$) o el 2.30 ($\wp_3$). En el examen hay que escribir las combinaciones o el determinante.

Variante con parámetro (propia). ¿Para qué $a$ es $\{x,\ x^3,\ x^2-2x,\ 3x^3+a\}$ base? Con el mismo desarrollo, la 1.ª fila pasa a ser $(0,0,0,a)$ y el factor es $-a\cdot(-1)=a$ (el $3\times3$ vale $-1$), así que el determinante vale ahora $a$: base $\iff a\neq0$ (si $a=0$ ningún polinomio tiene término independiente y no se genera el $1$).

Error típico: concluir «es base» solo porque hay 4 polinomios y $\operatorname{Dim}\wp_3=4$: $\{x,x^3,x^2-2x,3x^3\}$ también tiene 4 y no es base.

Determine si el conjunto $S$ es base de $\mathcal M_{2\times2}$: $$S=\left\{\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&1\\0&1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&0\\1&1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1&0\\1&0\end{pmatrix}\right\}.$$

Llamemos $S_1,S_2,S_3,S_4$ a las cuatro matrices.

1. Dimensión. $\operatorname{Dim}\mathcal M_{2\times2}=4$ (H1; §3). $S$ tiene 4 elementos: por el Teor. 2.6 es base $\iff$ es libre $\iff$ rango 4.
2. Coordenadas en $\{E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}\}$ (las entradas por filas): $$S_1\to(1,1,0,0),\quad S_2\to(0,1,0,1),\quad S_3\to(0,0,1,1),\quad S_4\to(1,0,1,0).$$
3. Rango por Gauss (vectores por filas): $$\begin{pmatrix}1&1&0&0\\0&1&0&1\\0&0&1&1\\1&0&1&0\end{pmatrix}\xrightarrow{F_4-F_1}\begin{pmatrix}1&1&0&0\\0&1&0&1\\0&0&1&1\\0&-1&1&0\end{pmatrix}\xrightarrow{F_4+F_2}\begin{pmatrix}1&1&0&0\\0&1&0&1\\0&0&1&1\\0&0&1&1\end{pmatrix}\xrightarrow{F_4-F_3}\begin{pmatrix}1&1&0&0\\0&1&0&1\\0&0&1&1\\0&0&0&0\end{pmatrix}.$$

   Tres pivotes: rango $3<4$, $S$ es ligado: no es base (equivalentemente, el determinante es 0).

4. Dependencia explícita (convence al corrector). Planteo $\lambda_1S_1+\dots+\lambda_4S_4=0$ entrada a entrada: $$\begin{cases}\lambda_1+\lambda_4=0&(1,1)\\ \lambda_1+\lambda_2=0&(1,2)\\ \lambda_3+\lambda_4=0&(2,1)\\ \lambda_2+\lambda_3=0&(2,2)\end{cases}$$

   Resulta $\lambda_4=-\lambda_1$, $\lambda_2=-\lambda_1$, $\lambda_3=\lambda_1$ y la cuarta se cumple sola. Con $\lambda_1=1$: $S_1-S_2+S_3-S_4=0$, es decir,

   $$\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\0&1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0&0\\1&1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&0\\1&0\end{pmatrix}.$$
5. Qué genera $S$. $\operatorname{Dim}\langle S\rangle=\operatorname{rang}S=3$ (Teor. 2.5): un subespacio de dimensión 3, no todo $\mathcal M_{2\times2}$. Por ejemplo $\{S_2,S_3,S_4\}$ es una base de $\langle S\rangle$: generan $\langle S\rangle$ porque $S_1=S_2-S_3+S_4$ (supresión, Teor. 2.1); son 3 generadores en un espacio de dimensión 3, luego base (Teor. 2.6).

Resultado: $S$ no es base ($\det=0$, rango 3, $S_1=S_2-S_3+S_4$). (Verificado con sympy.)

Comentario sobre la solución oficial. Es correcta, pero justifica el criterio con una «matriz de cambio de base», concepto de §3.5. En §2.3 basta: 4 vectores en dimensión 4, base $\iff$ rango 4 $\iff\det\neq0$ (U p.88 y p.27).

Error típico: calcular el determinante de cada $S_i$ ($\det S_1=0$…) y deducir algo sobre la base. Lo que importa es el determinante de la matriz $4\times4$ formada por las coordenadas de las cuatro matrices.

Decidir si es posible extraer de $\{(1,2,-1),\ (3,1,0),\ (2,-1,1),\ (2,1,0)\}$ un sistema de vectores que formen una base de $\mathbb R^3$. En caso afirmativo, obténgase dicha base.

Llamemos $u=(1,2,-1)$, $v=(3,1,0)$, $w=(2,-1,1)$, $s=(2,1,0)$.

1. Cuándo se puede. $\operatorname{Dim}\mathbb R^3=3$. Se puede extraer una base de $\mathbb R^3$ $\iff$ hay 3 vectores libres entre los 4 $\iff\operatorname{rang}\{u,v,w,s\}=3$ (Def. 2.7, Teor. 2.6). El rango no pasa de 3: son vectores de $\mathbb R^3$.
2. Un primer intento que falla. $$\det(u,v,w)=\begin{vmatrix}1&2&-1\\3&1&0\\2&-1&1\end{vmatrix}=1(1-0)-2(3-0)+(-1)(-3-2)=1-6+5=0.$$

   Son ligados ($w=v-u$). Esto no demuestra que no se pueda: solo que esa terna no sirve.

3. Segundo intento. Por supresión (Teor. 2.1) se quita $w$ y se prueba $\{u,v,s\}$: $$\det(u,v,s)=\begin{vmatrix}1&2&-1\\3&1&0\\2&1&0\end{vmatrix}=(-1)\cdot\begin{vmatrix}3&1\\2&1\end{vmatrix}=(-1)(3-2)=-1\neq0.$$

   (La 3.ª columna solo tiene el $-1$, signo $(-1)^{1+3}=+1$.) Rango 3: libres.

4. Conclusión. 3 vectores libres en dimensión 3: base (Teor. 2.6). Sí se puede extraer: $$B=\{(1,2,-1),(3,1,0),(2,1,0)\}.$$
5. No es la única. Las cuatro ternas dan $$\det(u,v,w)=0,\quad\det(u,v,s)=-1,\quad\det(u,w,s)=-1,\quad\det(v,w,s)=-1:$$

   sirven todas menos $\{u,v,w\}$. La solución oficial elige $\{v,w,s\}$.

Resultado: sí; una base es $\{(1,2,-1),(3,1,0),(2,1,0)\}$ (oficial: $\{(3,1,0),(2,-1,1),(2,1,0)\}$). (Verificado con sympy.)

Omisión en la solución oficial. Dice «el sistema tiene rango 3 … buscamos un menor de orden 3 no nulo» sin calcular ni el rango ni el menor. En el examen hay que escribir el determinante y su valor, y citar por qué 3 libres de $\mathbb R^3$ son base (Teor. 2.6).

Variante: base incompleta (propia). Si solo nos dieran $\{u,v\}$ (libres), el Teor. 2.7 garantiza completar con $3-2=1$ vector. $e_3=(0,0,1)$: $\det(u,v,e_3)=\begin{vmatrix}1&2\\3&1\end{vmatrix}=-5\neq0$, luego $\{u,v,e_3\}$ es base. (No vale $w$, porque $w=v-u\in\langle u,v\rangle$.)

Error típico: calcular solo el primer determinante, ver que es 0 y responder «no se puede». Hay que mirar el rango del sistema completo (o probar otras ternas).

Sean $L_1$ y $L_2$ subespacios de $\mathbb R^4$: $L_1=\langle(3,-4,0,1),\ (2,2,0,-4),\ (1,-6,0,5)\rangle$, $L_2=\langle(1,0,0,0),\ (0,1,0,0),\ (0,0,1,0)\rangle$. Calcule de manera razonada las dimensiones de $L_1$ y $L_2$.

Aclaración propia: los apartados $L_1\cap L_2$ y $L_1+L_2$ son de §2.4 y no se tratan aquí.

1. Herramienta. $\operatorname{Dim}\langle S\rangle=\operatorname{rang}S$ (Teor. 2.5, U p.88) = rango de la matriz con los vectores por filas.
2. Rango de $L_1$. Con $v_1=(3,-4,0,1)$, $v_2=(2,2,0,-4)$, $v_3=(1,-6,0,5)$: $$\begin{pmatrix}3&-4&0&1\\2&2&0&-4\\1&-6&0&5\end{pmatrix}\xrightarrow[F_3\to3F_3-F_1]{F_2\to3F_2-2F_1}\begin{pmatrix}3&-4&0&1\\0&14&0&-14\\0&-14&0&14\end{pmatrix}\xrightarrow{F_3\to F_3+F_2}\begin{pmatrix}3&-4&0&1\\0&14&0&-14\\0&0&0&0\end{pmatrix}.$$

   Detalle de las operaciones:

   $$3F_2-2F_1=(6-6,\ 6+8,\ 0,\ -12-2),\qquad3F_3-F_1=(3-3,\ -18+4,\ 0,\ 15-1).$$

   Multiplicar una fila por $3\neq0$ y sumarle un múltiplo de otra no cambia el rango. Dos pivotes: $\boxed{\operatorname{Dim}L_1=2}$.

3. En lenguaje de bases. $v_1,v_2$ no son proporcionales (la 1.ª componente daría $v_2=\tfrac23v_1$ y la 2.ª, $2=-\tfrac83$: falso): libres. Y $$v_3=v_1-v_2.$$

   Por supresión $L_1=\langle v_1,v_2\rangle$ y $\{v_1,v_2\}$ es base de $L_1$ con 2 vectores.

4. $L_2$. Sus generadores son $e_1,e_2,e_3$; la matriz tiene el menor $$\begin{vmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{vmatrix}=1\neq0:$$

   rango 3, libres, base de $L_2$: $\boxed{\operatorname{Dim}L_2=3}$ ($L_2$ es el hiperplano $x_4=0$, es decir, un subespacio de dimensión $n-1=3$ de $\mathbb R^4$).

5. Variante: completar la base de $L_1$ a una de $\mathbb R^4$ (propia). $\{v_1,v_2\}$ es libre con $2<4$; se completa con $4-2=2$ vectores (Teor. 2.7). Todos los vectores de $L_1$ tienen 3.ª componente 0, así que $e_3$ es buen candidato; se prueba $\{v_1,v_2,e_3,e_4\}$: $$\begin{vmatrix}3&-4&0&1\\2&2&0&-4\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}3&-4\\2&2\end{vmatrix}=6+8=14\neq0.$$

   Es base de $\mathbb R^4$.

Resultado: $\operatorname{Dim}L_1=2$ (base $\{v_1,v_2\}$), $\operatorname{Dim}L_2=3$. (La solución oficial obtiene además $\operatorname{Dim}(L_1\cap L_2)=1$ y $\operatorname{Dim}(L_1+L_2)=4$, tema 2.4.) (Verificado con sympy.)

Error típico: contestar «$\operatorname{Dim}L_1=3$ porque tiene 3 generadores». El número de generadores es solo una cota superior; la dimensión es el número de generadores libres (el rango).

Calcule las coordenadas de la matriz $$A=\begin{pmatrix}11&-2\\-7&1\end{pmatrix}$$ respecto de la base de $\mathcal M_{2\times2}$: $$\mathcal B=\left\{\begin{pmatrix}1&0\\2&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}5&2\\0&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-3&1\\4&0\end{pmatrix}\right\}.$$

1. Qué son las coordenadas. Por la Def. 2.10, son los únicos $(x,y,z,t)$ con $$A=xB_1+yB_2+zB_3+tB_4$$

   (únicos porque $\mathcal B$ es base).

2. Igualar entrada a entrada: $$\begin{pmatrix}11&-2\\-7&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x+5z-3t&y+2z+t\\2x+y+4t&y\end{pmatrix}\iff\begin{cases}x+5z-3t=11&(1,1)\\ y+2z+t=-2&(1,2)\\ 2x+y+4t=-7&(2,1)\\ y=1&(2,2)\end{cases}$$
3. Resolver, empezando por la ecuación más sencilla.

   De $(2,2)$: $y=1$. De $(1,2)$:

   $$2z+t=-3\qquad(a).$$

   De $(2,1)$:

   $$x=-4-2t\qquad(b).$$

   En $(1,1)$ con (b):

   $$-4-2t+5z-3t=11\ \Rightarrow\ z-t=3\qquad(c).$$

   Sumando (a) y (c): $3z=0$, luego $z=0$. De (c), $t=-3$. De (b), $x=2$.

4. Comprobación. $$2\begin{pmatrix}1&0\\2&0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix}+0-3\begin{pmatrix}-3&1\\4&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2+9&1-3\\4+1-12&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}11&-2\\-7&1\end{pmatrix}\ ✓$$
5. (Rigor) ¿Es realmente base? El enunciado lo afirma; el propio cálculo lo confirma: cada paso fue un despeje forzado, el sistema es compatible determinado, así que la matriz $4\times4$ de coordenadas (columnas = coordenadas de $B_1,\dots,B_4$ en la base canónica) tiene rango 4 (Rouché, U p.30): 4 libres en dimensión 4, base (Teor. 2.6). (sympy: $\det=30\neq0$.)

Resultado: $A=(2,1,0,-3)_{\mathcal B}$.

Comentario sobre la solución oficial. Correcta; plantea el mismo sistema y da directamente $x=2,y=1,z=0,t=-3$ sin pasos intermedios. En el examen conviene escribir el orden de despeje y la comprobación.

Error típico: dar como coordenadas las entradas de $A$, $(11,-2,-7,1)$ (son las de la base canónica; Ej. U 2.27), o escribirlas en otro orden que el de $\mathcal B$.

Si $\mathcal B=\{P(x),P'(x),P''(x),P'''(x),P''''(x)\}$ es una base del espacio vectorial de los polinomios reales de una variable de grado menor o igual que 4, $\mathcal P_4$, siendo $P(x)=x^4+x^3+x^2+x+1$, calcule las coordenadas del polinomio $Q(x)=x^4+9x^3+19x^2+35x+59$ respecto a la base $\mathcal B$. ($P',P'',P''',P''''$ son las derivadas sucesivas de $P$.)

Notación: $\mathcal P_4=\wp_4$ (la de U).

1. Calcular la base. $$P'=4x^3+3x^2+2x+1,\quad P''=12x^2+6x+2,\quad P'''=24x+6,\quad P''''=24.$$
2. (Rigor) Comprobar que es base (una línea). $\operatorname{Dim}\mathcal P_4=5$ y $\mathcal B$ tiene 5 polinomios. Con las coordenadas en $\{x^4,x^3,x^2,x,1\}$ por columnas: $$M=\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\1&4&0&0&0\\1&3&12&0&0\\1&2&6&24&0\\1&1&2&6&24\end{pmatrix},\qquad\det M=1\cdot4\cdot12\cdot24\cdot24=27648\neq0.$$

   Rango 5: libres, base (Teor. 2.6). Idea de fondo: grados $4,3,2,1,0$ distintos dan siempre una triangular con diagonal no nula.

3. Plantear la combinación (Def. 2.10). $Q=a_1P+a_2P'+a_3P''+a_4P'''+a_5P''''$; agrupando por potencias: $$a_1x^4+(a_1+4a_2)x^3+(a_1+3a_2+12a_3)x^2+(a_1+2a_2+6a_3+24a_4)x+(a_1+a_2+2a_3+6a_4+24a_5).$$
4. Igualar coeficientes: $$\begin{cases}a_1=1&(x^4)\\ a_1+4a_2=9&(x^3)\\ a_1+3a_2+12a_3=19&(x^2)\\ a_1+2a_2+6a_3+24a_4=35&(x)\\ a_1+a_2+2a_3+6a_4+24a_5=59&(1)\end{cases}$$
5. Resolver por sustitución hacia delante (triangular): $$a_1=1;\quad1+4a_2=9\Rightarrow a_2=2;\quad1+6+12a_3=19\Rightarrow a_3=1;$$ $$1+4+6+24a_4=35\Rightarrow a_4=1;\quad1+2+2+6+24a_5=59\Rightarrow a_5=2.$$
6. Comprobación. $$P+2P'+P''+P'''+2P''''=(x^4+x^3+x^2+x+1)+(8x^3+6x^2+4x+2)+(12x^2+6x+2)+(24x+6)+48$$ $$=x^4+9x^3+19x^2+35x+59\ ✓$$

Resultado: $Q=(1,2,1,1,2)_{\mathcal B}$. (Verificado con sympy: $\det M=27648$.)

Errata en la solución oficial. En la primera línea del desarrollo escribe «$Q(x)=x^4+5x^3+2x^2-x+1=\dots$», que no es el $Q$ del enunciado (errata arrastrada de otro ejercicio); el sistema y el resultado sí usan los coeficientes correctos $1,9,19,35,59$. Tampoco justifica que $\mathcal B$ sea base.

Error típico: equivocarse en las derivadas (p. ej. $P''=12x^2+6x+1$, olvidando que la derivada de $2x$ es $2$) o igualar coeficientes en otro orden que el de las potencias. Ordena de mayor a menor grado y comprueba al final.

Enunciado: con $\bar u=(1,2,-1)$ y $\bar v=(3,1,0)$, ¿generan $\mathbb R^3$? ¿son base? ¿son libres? Visto con la dimensión: $2\lt3=\operatorname{Dim}\mathbb R^3$, luego ni generan ni son base (Teor. 2.4/2.5); sí son libres. Desarrollo completo en el tema 2.2.

Sean $S_1$ el sistema de vectores definido por las filas de $\begin{pmatrix}4&1&-3&-4\\2&4&-4&3\\2&3&1&3\\4&0&-1&2\end{pmatrix}$ y $S_2$ el definido por las filas de $\begin{pmatrix}1&1&-4\\1&5&6\\4&2&3\\-2&0&-2\end{pmatrix}$. Se pide comprobar que $S_1$ es una base de $\mathbb R^4$ y que $S_2$ es un sistema ligado de $\mathbb R^3$.

Parte $S_1$. Filas $F_1=(4,1,-3,-4)$, $F_2=(2,4,-4,3)$, $F_3=(2,3,1,3)$, $F_4=(4,0,-1,2)$.

1. Qué hay que ver. $\operatorname{Dim}\mathbb R^4=4$ y $S_1$ tiene 4 vectores: por el Teor. 2.6 (U p.88) basta que sean libres, es decir, $\operatorname{rang}S_1=4$ ($\iff\det\neq0$, matriz cuadrada).
2. Rango 4 mediante el determinante. $$\det S_1=420\neq0\ \Rightarrow\ \operatorname{rang}S_1=4.$$

   El cálculo completo (ceros con reemplazos, desarrollo por adjuntos y Sarrus) está en el tema 1.3 y no se repite aquí.

3. Conclusión. 4 vectores libres en dimensión 4: base de $\mathbb R^4$ (Teor. 2.6).

Parte $S_2$.

4. Argumento de dimensión, sin cuentas. $S_2$ son 4 vectores de $\mathbb R^3$. El rango de una matriz $4\times3$ es $\le3$ (solo tiene 3 columnas; U p.27), luego $\operatorname{rang}S_2\le3\lt4$: ligado. (Un sistema libre no puede tener más vectores que un generador, $\{e_1,e_2,e_3\}$: U p.81.)
5. Dependencia explícita (opcional). Resolviendo $\lambda_1F_1+\dots+\lambda_4F_4=0$ sale $-5F_1-3F_2+10F_3+16F_4=0$. Por componentes: $-5-3+40-32=0$; $-5-15+20+0=0$; $20-18+30-32=0$ ✓. Además $\det\begin{pmatrix}1&1&-4\\1&5&6\\4&2&3\end{pmatrix}=96\neq0$, luego $\operatorname{rang}S_2=3$.

Resultado: $S_1$ es base de $\mathbb R^4$ ($\det=420$, ver tema 1.3); $S_2$ es ligado (4 vectores en $\mathbb R^3$, rango 3). (Verificado con sympy.)

Comentario sobre la solución oficial. Es correcta, pero en $S_1$ dice «las columnas forman una base» cuando el enunciado habla de filas. No es un error de fondo ($\operatorname{rang}A=\operatorname{rang}A^t$, U p.27: filas y columnas son a la vez base), pero conviene escribir «filas». No muestra los pasos de Gauss ni el determinante; para $S_2$ observa con acierto que no habría hecho falta calcular el rango.

Error típico: calcular el determinante de la matriz $4\times3$ de $S_2$ (no es cuadrada, no existe) o perder tiempo con su rango cuando basta el argumento de dimensión.

Las matrices $X,Y\in\mathcal M_{2\times2}$ cumplen $2X+3Y=A$, $X-Y=B$, con $A=\begin{pmatrix}5&1\\0&4\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}1&-1\\2&0\end{pmatrix}$. (1.º) Calcule $X+Y$. (2.º) Razone si $\{A,B,X,Y\}$ forma o no una base de $\mathcal M_{2\times2}$. (3.º) Calcule la dimensión del subespacio generado por $\{A,B,Y\}$.

1. 1.º ($X+Y$). Es álgebra matricial: se resuelve en el tema 1.2 y aquí solo se usa el resultado: $$Y=\tfrac15(A-2B)=\tfrac15\begin{pmatrix}3&3\\-4&4\end{pmatrix},\qquad X=Y+B=\tfrac15(A+3B),\qquad X+Y=\tfrac15\begin{pmatrix}11&1\\2&8\end{pmatrix}.$$
2. 2.º ¿Base? $\operatorname{Dim}\mathcal M_{2\times2}=4$ y hay 4 matrices: por el Teor. 2.6 es base $\iff$ es libre. Pero el enunciado da $A=2X+3Y$, es decir, $$1\cdot A+0\cdot B-2X-3Y=0$$

   con coeficientes no todos nulos: ligado, luego no es base. (También $B=X-Y$.)

3. 3.º Dimensión. $A$ y $B$ son libres: si $A=\lambda B$, la entrada $(2,1)$ da $0=2\lambda$, así $\lambda=0$ y $A=0$, falso. Además $$Y=\tfrac15A-\tfrac25B\in\langle A,B\rangle,$$

   por lo que (supresión, Teor. 2.1) $\langle A,B,Y\rangle=\langle A,B\rangle$ con base $\{A,B\}$: $\operatorname{Dim}=2$. (Igualmente $X=\tfrac15A+\tfrac35B$, luego $\langle A,B,X,Y\rangle=\langle A,B\rangle$.)

4. Comprobación por coordenadas (U p.88): con $5Y\to(3,3,-4,4)$, $$\operatorname{rang}\begin{pmatrix}5&1&0&4\\1&-1&2&0\\3&3&-4&4\end{pmatrix}=2,$$

   pues la 3.ª fila es la 1.ª menos 2 veces la 2.ª.

Resultado: $X+Y=\tfrac15\begin{pmatrix}11&1\\2&8\end{pmatrix}$; $\{A,B,X,Y\}$ no es base (ligado, $A=2X+3Y$); $\operatorname{Dim}\langle A,B,Y\rangle=2$. (Verificado con sympy: $\operatorname{rang}\{A,B,X,Y\}=2$.)

Comentario sobre la solución oficial. Correcta pero escueta: «no forman una base porque las ecuaciones nos indican que A y B dependen linealmente de X e Y». Conviene escribir la combinación nula y citar la Def. 2.9. En el 3.º no explica por qué es 2 y no 1: falta comprobar que $A,B$ son libres (la oficial argumenta con «$\lambda A=B\Rightarrow\lambda=0$», que es incorrecto: no existe ningún $\lambda$, pues la entrada $(2,1)$ daría $0=2$; la conclusión es correcta).

Error típico: responder «$\operatorname{Dim}=3$ porque hay 3 matrices», o «no es base porque $\det A\neq0$» (confundir el determinante de cada matriz con la independencia del conjunto).

En $V=\mathbb R^3$ con el producto escalar usual y la base canónica $B=\{v_1,v_2,v_3\}$, sean $E=\{(1,3,1),(3,8,2),(2,9,5)\}$ y $U=\langle E\rangle$. (i) Estudie si $E$ es linealmente independiente. (ii) Exprese $U$ mediante ecuaciones paramétricas respecto de $B$. (iii) Exprese $U$ mediante ecuaciones implícitas respecto de $B$. (iv) Determine la dimensión de $U$ y extraiga una base ortonormal de $U$ entre los elementos de $E$.

Reparto: el estudio de independencia y las ecuaciones paramétricas e implícitas, partes (i)-(iii), se desarrollan en el tema 2.2 y no se repiten. Aquí solo lo propio de este tema: la dimensión y la base extraída de $E$.

1. Rango. $\operatorname{rang}E=2$ (Gauss y dependencia $(2,9,5)=11(1,3,1)-3(3,8,2)$ en el tema 2.2); en particular $E$ es ligado.
2. Dimensión. Teor. 2.5 (U p.88): $\operatorname{Dim}U=\operatorname{rang}E=2$.
3. Base extraída de $E$. $(1,3,1)$ y $(3,8,2)$ no son proporcionales (la 1.ª componente fuerza $\lambda=3$ y la 3.ª daría $2\neq3$): libres. Generan $U$ porque el tercero es combinación de ellos (supresión, Teor. 2.1). Dos libres que generan un subespacio de dimensión 2: base de $U$ (Teor. 2.6 aplicado a $U$).

Resultado: $E$ ligado (rango 2); $\operatorname{Dim}U=2$ con base $\{(1,3,1),(3,8,2)\}\subset E$. (Verificado con sympy: $\det E=0$, rango 2.)

Omisiones de la solución oficial. Pone los vectores por columnas y da la escalonada $\begin{pmatrix}1&3&2\\0&-1&3\\0&0&0\end{pmatrix}$ sin escribir las operaciones (es correcta); no justifica por qué $\{(1,3,1),(3,8,2)\}$ es base (ni libres ni generadores).

Error típico: dar como base de $U$ las tres filas de $E$ (ligadas), o decir «$\operatorname{Dim}U=3$ porque $E$ tiene 3 vectores».