Operaciones entre subespacios. Suma directa

Sabiendo que $L_1=\{(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb R^3\mid x_1=0\}$ y $L_2=\langle(-1,0,2),(0,1,1)\rangle$, se pide: A) Ecuaciones del subespacio $L_1\cap L_2$. B) Dimensión del subespacio $L_1\cap L_2$.

Idea. Un vector está en $L_1\cap L_2$ si cumple a la vez las condiciones de $L_1$ y de $L_2$. Las condiciones que se pueden «juntar» son las ecuaciones cartesianas: lo primero es pasar $L_2$ (dado por generadores) a cartesianas.

1. $L_1$ ya está en cartesianas: $x_1=0$.

   Sus vectores son

   $$(0,x_2,x_3)=x_2(0,1,0)+x_3(0,0,1),$$

   y $\{(0,1,0),(0,0,1)\}$ es libre: base, $\operatorname{Dim}L_1=2$ (Def. 2.9 y 2.11, U p.82 y p.87). Es un plano.

2. $L_2$ en paramétricas (Def. 2.4, U p.71): $$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\alpha\begin{pmatrix}-1\\0\\2\end{pmatrix}+\beta\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}\iff\begin{cases}x_1=-\alpha\\x_2=\beta\\x_3=2\alpha+\beta\end{cases}$$

   Los dos generadores no son proporcionales: libres, $\operatorname{Dim}L_2=2$ (Teor. 2.5, U p.88).

3. $L_2$ en cartesianas (eliminar parámetros).

   De las dos primeras, $\alpha=-x_1$ y $\beta=x_2$. Sustituyendo en la tercera:

   $$x_3=-2x_1+x_2.$$

   Comprobación por rangos: $(x_1,x_2,x_3)\in L_2$ si y solo si añadirlo a los generadores no sube el rango:

   $$\begin{vmatrix}-1&0&2\\0&1&1\\x_1&x_2&x_3\end{vmatrix}=-2x_1+x_2-x_3=0.$$

   Misma ecuación. Comprobamos los generadores: $-2(-1)+0-2=0$ ✓ y $0+1-1=0$ ✓.

4. A) Ecuaciones de $L_1\cap L_2$ (juntar, U p.91, Ej. 2.32): $$L_1\cap L_2:\ \begin{cases}x_1=0\\x_3=-2x_1+x_2\end{cases}\iff\begin{cases}x_1=0\\x_3=x_2\end{cases}$$

   (sustituyendo $x_1=0$ en la segunda).

5. B) Dimensión. Resolviendo: $x_2=\lambda$ libre, $x_1=0$, $x_3=\lambda$; los vectores son $\lambda(0,1,1)$. Luego $$L_1\cap L_2=\langle(0,1,1)\rangle,$$

   $\{(0,1,1)\}$ es base (un vector no nulo es libre) y $\operatorname{Dim}(L_1\cap L_2)=1$: una recta. Paramétricas: $x_1=0$, $x_2=\alpha$, $x_3=\alpha$.

6. Comprobación con Grassmann (U p.95): $$L_1+L_2=\langle(0,1,0),(0,0,1),(-1,0,2),(0,1,1)\rangle$$

   tiene rango 3, luego es $\mathbb R^3$, y $3+1=2+2$ ✓.

Resultado: $L_1\cap L_2:\ x_1=0,\ x_2=x_3$, de dimensión 1, $=\langle(0,1,1)\rangle$. (Verificado con sympy.)

Nota sobre el libro. Coincide. El libro afirma «$\operatorname{Dim}L_1=2$» sin justificarlo; aquí se ha justificado.

Error típico: intentar intersecar «igualando generadores» (decir que la intersección son los generadores comunes). Aquí $(0,1,1)$ sí es generador de $L_2$, pero en general un vector de la intersección no aparece en ninguna lista de generadores (ver 2.37).

Teoría: Def. 2.4, U p.71 · Teor. 2.5, U p.88 · intersección, U p.91 · Grassmann, U p.95

Siendo $H=\{(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb R^3\mid x_1=0,\ x_2=x_3\}$ y $G=\{(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb R^3\mid x_1=0\}$, se pide: A) Unas ecuaciones paramétricas de $H+G$. B) Comprobar si $H+G$ es suma directa.

1. Observa la inclusión $H\subset G$. Todo vector de $H$ cumple $x_1=0$ (y además $x_2=x_3$), luego cumple la única ecuación de $G$. Entonces: $$H\cap G=H,\qquad H\cup G=G.$$
2. Si $H\subset G$, entonces $H+G=G$ (Def. 2.12, U p.93), en dos inclusiones.

   $H+G\subset G$: un vector de $H+G$ es $h+g$ con $h\in H\subset G$ y $g\in G$; como $G$ es subespacio (cerrado para la suma, U p.62), $h+g\in G$.

   $G\subset H+G$: todo $g\in G$ es $g=0+g$ con $0\in H$.

3. A) Paramétricas de $H+G=G$. $G$ solo impone $x_1=0$; $x_2,x_3$ son libres: $$\begin{cases}x_1=0\\x_2=\alpha\\x_3=\beta\end{cases}\qquad(\alpha,\beta\in\mathbb R),\qquad\operatorname{Dim}(H+G)=2.$$
4. B) ¿Es directa? Por la caracterización (U p.97) lo es $\iff H\cap G=\{0\}$. Pero $$H\cap G=H=\langle(0,1,1)\rangle\neq\{(0,0,0)\}:$$

   contiene, p. ej., $(0,1,1)$. No es suma directa.

5. Comprobación con la definición (Def. 2.13, U p.96): $(0,1,1)\in H+G$ tiene dos descomposiciones: $$(0,1,1)=\underbrace{(0,1,1)}_{\in H}+\underbrace{(0,0,0)}_{\in G}=\underbrace{(0,0,0)}_{\in H}+\underbrace{(0,1,1)}_{\in G}.$$
6. Comprobación con Grassmann (U p.95): $$\operatorname{Dim}(H+G)+\operatorname{Dim}(H\cap G)=2+1=3=\operatorname{Dim}H+\operatorname{Dim}G=1+2\ ✓$$

Resultado: $H+G=G$, paramétricas $x_1=0,\ x_2=\alpha,\ x_3=\beta$; no es suma directa. (Verificado con sympy.)

Nota sobre el libro. Coincide. En el texto digital la última línea aparece como «$H\cap G=H=\{(0,0,0)\}$»: es un «$\neq$» perdido; debe leerse $H\cap G=H\neq\{(0,0,0)\}$.

Error típico: confundir $H+G$ con $H\cup G$ (aquí coinciden porque $H\subset G$, pero en general la unión no es subespacio), o creer que $1+2=3$ es la dimensión de la suma.

Teoría: Def. 2.12, U p.93 · Def. 2.13, U p.96 · caracterización, U p.97 · Grassmann, U p.95

Sean $E$ el subespacio de $\mathbb R^3$ generado por $(1,0,-1)$ y $(0,1,-1)$ y $F$ el subespacio generado por $(1,1,-2)$, $(2,1,-3)$ y $(0,1,-1)$, se pide: A) Demostrar que $E=F$. B) Ecuaciones cartesianas de $F$.

Idea. Dos subespacios son iguales si cada uno está contenido en el otro. Con dimensiones es más cómodo: si $E\subset F$ y $\operatorname{Dim}E=\operatorname{Dim}F$, entonces $E=F$.

1. $\operatorname{Dim}E$. $$\operatorname{Dim}E=\operatorname{rang}\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&1&-1\end{pmatrix}=2$$

   (el menor $\begin{vmatrix}1&0\\0&1\end{vmatrix}=1\neq0$; Teor. 2.5, U p.88).

2. $\operatorname{Dim}F$. Calculo el determinante de la matriz de generadores: $$\det\begin{pmatrix}1&1&-2\\2&1&-3\\0&1&-1\end{pmatrix}=1(-1+3)-1(-2-0)+(-2)(2-0)=2+2-4=0.$$

   Hay un menor $2\times2$ no nulo, $\begin{vmatrix}1&1\\2&1\end{vmatrix}=-1$: rango 2, $\operatorname{Dim}F=2$. (Dependencia explícita: $(0,1,-1)=2(1,1,-2)-(2,1,-3)$.)

3. $E\subset F$: los generadores de $E$ están en $F$. $(0,1,-1)$ es un generador de $F$. Para $(1,0,-1)$ busco $a(1,1,-2)+b(2,1,-3)+c(0,1,-1)=(1,0,-1)$. Una solución es $a=-1$, $b=1$, $c=0$: $$-(1,1,-2)+(2,1,-3)=(1,0,-1)\ ✓$$

   (hay infinitas, porque los generadores de $F$ son dependientes). Como $E$ es el menor subespacio que contiene a esos dos vectores (Teor. 2.8, U p.91) y $F$ es un subespacio que los contiene, $E\subset F$.

4. Igualdad. $(1,0,-1),(0,1,-1)$ son dos vectores libres de $F$ y $\operatorname{Dim}F=2$: por el Teor. 2.6 (U p.88) forman una base de $F$. Por tanto $F=E$. ∎

   Alternativa por rangos: $\operatorname{rang}(E)=\operatorname{rang}(F)=\operatorname{rang}(E\cup F)=2$ (los 5 vectores juntos tienen rango 2): si al juntar los generadores el rango no sube, cada subespacio está contenido en el otro.

5. B) Cartesianas de $F(=E)$. Con la base $\{(1,0,-1),(0,1,-1)\}$, $(x_1,x_2,x_3)\in F$ si el rango no sube al añadirlo: $$\begin{vmatrix}1&0&-1\\0&1&-1\\x_1&x_2&x_3\end{vmatrix}=1\cdot(x_3+x_2)+(-1)(0-x_1)=x_1+x_2+x_3=0.$$

   Equivalentemente: paramétricas $x_1=\alpha$, $x_2=\beta$, $x_3=-\alpha-\beta$, luego $x_3=-x_1-x_2$. Comprobación con los generadores de $F$:

   $$1+1-2=0,\qquad2+1-3=0,\qquad0+1-1=0\ ✓$$

Resultado: $E=F$, y $F:\ x_1+x_2+x_3=0$. (Verificado con sympy.)

Nota sobre el libro. Coincide; usa bien «dos vectores libres en un espacio de dimensión 2 son base» (Teor. 2.6).

Error típico: pensar que $E\neq F$ porque tienen distinto número de generadores (2 frente a 3), o comprobar solo que las dimensiones coinciden: dos planos distintos de $\mathbb R^3$ tienen la misma dimensión y no son iguales.

Teoría: Teor. 2.5 y 2.6, U p.88 · Teor. 2.8, U p.91 · cartesianas, U p.71

Se pide comprobar si los conjuntos $U_1=\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\mid x_4=-x_3\}$, subespacio de $\mathbb R^4$, y $B_1=\{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,-1)\}$ y $B_2=\{(0,0,0,1)\}$ verifican: A) $B_1$ es base de $U_1$. B) $B_2$ es base de un suplementario, $U_2$, de $U_1$. C) Una base de $U_1$ y otra de $U_2$ forman base de $\mathbb R^4$. D) La dimensión de $U_1\cap U_2$ es cero.

1. A) Verdadera. Hay que ver que $B_1\subset U_1$, que genera $U_1$ y que es libre (Def. 2.9, U p.82).

   Pertenencia: los tres vectores cumplen $x_4=-x_3$ ($0=-0$, $0=-0$, $-1=-1$).

   Generador: un vector de $U_1$ es $(x_1,x_2,x_3,-x_3)$ y

   $$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\-x_3\end{pmatrix}=x_1\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}+x_2\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}+x_3\begin{pmatrix}0\\0\\1\\-1\end{pmatrix}.$$

   Libre:

   $$\alpha(1,0,0,0)+\beta(0,1,0,0)+\gamma(0,0,1,-1)=(\alpha,\beta,\gamma,-\gamma)=0\ \Rightarrow\ \alpha=\beta=\gamma=0$$

   (Def. 2.6, U p.74). Luego $B_1$ es base y $\operatorname{Dim}U_1=3$.

2. B) Verdadera. Sea $U_2=\langle(0,0,0,1)\rangle$, $\operatorname{Dim}U_2=1$. Hay que ver que $\mathbb R^4=U_1\oplus U_2$ (Def. 2.14, U p.97).

   Intersección: un vector de $U_2$ es $(0,0,0,t)$; está en $U_1$ si $t=-0=0$. Luego $U_1\cap U_2=\{0\}$ y la suma es directa (U p.97).

   Suma: por Grassmann,

   $$\operatorname{Dim}(U_1+U_2)=3+1-0=4,$$

   y un subespacio de $\mathbb R^4$ de dimensión 4 es $\mathbb R^4$ (Teor. 2.6, U p.88).

   Alternativa (la del libro): $B_1\cup B_2$ es base de $\mathbb R^4$ porque

   $$\det\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&-1\\0&0&0&1\end{pmatrix}=1\neq0$$

   (triangular superior: producto de la diagonal). El libro dice «al añadir $(0,0,0,1)$ a $B_1$ se obtiene una base de $\mathbb R^4$» sin justificarlo; el determinante es la justificación. Así $B_2$ es base de un suplementario (no es único: $\langle(0,0,1,0)\rangle$ también lo es).

3. C) Verdadera. Es lo que acabamos de ver: $B_1\cup B_2$ es base de $\mathbb R^4$. En general, si $V=U_1\oplus U_2$, la unión de una base de $U_1$ y una de $U_2$ es base de $V$ (genera $U_1+U_2=V$, Ej. U 2.36, y tiene $\operatorname{Dim}U_1+\operatorname{Dim}U_2=\operatorname{Dim}V$ vectores; Teor. 2.6).
4. D) Verdadera. Grassmann: $$4+\operatorname{Dim}(U_1\cap U_2)=3+1\ \Rightarrow\ \operatorname{Dim}(U_1\cap U_2)=0,$$

   es decir $U_1\cap U_2=\{0\}$ (ya visto en B).

Resultado: A, B, C y D son verdaderas. (Verificado con sympy: $\det=1$.)

Nota sobre el libro. Coincide (todas verdaderas). Omisión: no justifica que $B_1\cup B_2$ sea base de $\mathbb R^4$ (falta el determinante o la intersección).

Error típico: decir «el suplementario» como si fuera único, o creer que es el complemento conjuntista $V\setminus U$ (que ni contiene al $0$).

Teoría: Def. 2.9, U p.82 · Teor. 2.6 y 2.7, U p.88-89 · Grassmann, U p.95 · Def. 2.14, U p.97

Siendo $L_1=\langle(1,0,0),(0,0,1)\rangle$ y $L_2=\langle(1,1,1)\rangle$, se pide comprobar si se verifica: A) $L_1\cap L_2$ no es un subespacio vectorial. B) $(x_1,x_2,x_3)=\alpha(1,1,1)$ son ecuaciones paramétricas de $L_1\cap L_2$. C) $L_1+L_2$ es suma directa. D) Hay distintas posibilidades de descomponer el vector $(2,5,9)$ como suma de un vector de $L_1$ y uno de $L_2$.

1. A) Falsa. La intersección de subespacios es siempre subespacio (U p.91). Motivo: si $u,v\in L_1\cap L_2$, entonces $u+\lambda v$ está en $L_1$ y en $L_2$, y $0$ está en ambos.
2. Cálculo de $L_1\cap L_2$.

   $L_1$: $\lambda(1,0,0)+\mu(0,0,1)=(\lambda,0,\mu)$, cartesiana $x_2=0$. $L_2$: vectores $(\alpha,\alpha,\alpha)$. Un vector de $L_2$ está en $L_1$ si $x_2=0$, es decir $\alpha=0$. Luego

   $$L_1\cap L_2=\{(0,0,0)\}.$$
3. B) Falsa. $\alpha(1,1,1)$ describe toda la recta $L_2$, pero la intersección es solo $\{0\}$ (p. ej. $(1,1,1)\notin L_1$, porque $x_2=1\neq0$).
4. C) Verdadera. Por la caracterización (U p.97): $L_1\cap L_2=\{0\}\iff$ suma directa. Además, por Grassmann, $$\operatorname{Dim}(L_1+L_2)=2+1-0=3,$$

   luego $L_1\oplus L_2=\mathbb R^3$: son suplementarios. Comprobación directa:

   $$\det\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\1&1&1\end{pmatrix}=1\cdot(0-1)=-1\neq0:$$

   los tres generadores juntos son base de $\mathbb R^3$.

5. D) Falsa. Se buscan $\lambda,\mu,\alpha$ con $(2,5,9)=(\lambda,0,\mu)+(\alpha,\alpha,\alpha)$: $$\left(\begin{array}{ccc|c}1&0&1&2\\0&0&1&5\\0&1&1&9\end{array}\right)\ (\text{incógnitas }\lambda,\mu,\alpha)\ \Rightarrow\ \alpha=5,\ \lambda=2-5=-3,\ \mu=9-5=4.$$

   Solución única (la matriz de coeficientes tiene $\det=-1\neq0$):

   $$(2,5,9)=\underbrace{(-3,0,4)}_{\in L_1}+\underbrace{(5,5,5)}_{\in L_2}.$$

   Es justo lo que garantiza la suma directa (Def. 2.13, U p.96). En general:

   $$(x_1,x_2,x_3)=(x_1-x_2,\ 0,\ x_3-x_2)+(x_2,x_2,x_2).$$

Resultado: A falsa, B falsa, C verdadera, D falsa. (Verificado con sympy.)

Nota sobre el libro. Coincide. El libro remite a su Ejercicio 2.12 para que la intersección de subespacios es subespacio; aquí se da la razón en una línea.

Error típico: responder «verdadera» a B porque $\alpha(1,1,1)$ «está en $L_2$»: estar en $L_2$ no basta, hay que estar también en $L_1$.

Teoría: intersección, U p.91 · Grassmann, U p.95 · Def. 2.13, U p.96 · caracterización y Def. 2.14, U p.97

Si $L_1$ y $L_2$ son $L_1=\langle(1,0,1,1),(1,0,0,0),(0,0,1,1)\rangle$ y $L_2=\langle(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0)\rangle$, se pide estudiar las dimensiones de $L_1$, $L_2$, $L_1\cap L_2$ y de la suma $L_1+L_2$.

1. $\operatorname{Dim}L_1$. $$(1,0,1,1)=(1,0,0,0)+(0,0,1,1):$$

   el primer generador es combinación de los otros dos y se suprime (Teor. 2.1, U p.79). $\{(1,0,0,0),(0,0,1,1)\}$ es libre (no proporcionales): $\operatorname{Dim}L_1=2$.

2. $\operatorname{Dim}L_2$. Sus tres generadores son $e_1,e_2,e_3$ canónicos (la matriz contiene la identidad $3\times3$): rango 3, $\operatorname{Dim}L_2=3$.
3. Cartesianas.

   $L_1$: $\alpha(1,0,0,0)+\beta(0,0,1,1)=(\alpha,0,\beta,\beta)$, luego

   $$x_2=0,\qquad x_3=x_4\qquad(4-2=2\text{ ecuaciones}\ ✓).$$

   $L_2$: $(\alpha,\beta,\gamma,0)$, luego $x_4=0$ ($4-3=1$ ✓).

4. $L_1\cap L_2$ (U p.91): se juntan $x_2=0$, $x_3=x_4$, $x_4=0$, lo que da $$x_2=x_3=x_4=0,\qquad x_1\ \text{libre}.$$

   Luego $L_1\cap L_2=\langle(1,0,0,0)\rangle$, $\operatorname{Dim}(L_1\cap L_2)=1$ (el generador común). En consecuencia $L_1\cap L_2\neq\{0\}$ y la suma no es directa (U p.97).

5. $\operatorname{Dim}(L_1+L_2)$ por Grassmann (U p.95): $$2+3=\operatorname{Dim}(L_1+L_2)+1\ \Rightarrow\ \operatorname{Dim}(L_1+L_2)=4,$$

   luego $L_1+L_2=\mathbb R^4$. Comprobación directa (Ej. U 2.36, U p.94):

   $$L_1+L_2=\langle(1,0,0,0),(0,0,1,1),(0,1,0,0),(0,0,1,0)\rangle,$$

   que tiene rango 4.

Resultado: dimensiones $2,\ 3,\ 1,\ 4$; la suma no es directa. (Verificado con sympy.)

Nota sobre el libro. Dimensiones correctas. Donde el texto digital dice «Como consecuencia $L_1\cap L_2=\{(0,0,0,0)\}$» debe leerse $L_1\cap L_2\neq\{(0,0,0,0)\}$ (acaba de probar que su dimensión es 1: «$\neq$» perdido). El libro no saca la conclusión de que la suma no es directa; aquí se añade.

Error típico: calcular $\operatorname{Dim}(L_1+L_2)=2+3=5$: en $\mathbb R^4$ es imposible, y además olvida restar la intersección.

Teoría: Teor. 2.1, U p.79 · Teor. 2.5, U p.88 · intersección, U p.91 · suma y Grassmann, U p.94-95

Si $A$ es el subespacio de $\mathbb R^4$ generado por $\{(1,2,1,1),(-1,0,1,0),(2,2,0,1)\}$ y $B=\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\mid 2x_1-2x_2+2x_3-x_4=0\}$ es otro subespacio de $\mathbb R^4$, se pide estudiar las dimensiones de $A$ y de $B$, y demostrar si verifica que $A+B=A\oplus B$.

1. $\operatorname{Dim}A$. $$(2,2,0,1)=(1,2,1,1)-(-1,0,1,0):$$

   el tercer generador sobra (Teor. 2.1, U p.79). $\{(1,2,1,1),(-1,0,1,0)\}$ es libre (no proporcionales: la 2.ª coordenada, $2\neq0$, lo impide). $\operatorname{Dim}A=2$.

2. $\operatorname{Dim}B$. Despejando $x_4=2x_1-2x_2+2x_3$, con $x_1=\alpha$, $x_2=\beta$, $x_3=\delta$ libres: $$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=\alpha\begin{pmatrix}1\\0\\0\\2\end{pmatrix}+\beta\begin{pmatrix}0\\1\\0\\-2\end{pmatrix}+\delta\begin{pmatrix}0\\0\\1\\2\end{pmatrix}.$$

   Los tres vectores generan $B$ y son libres (sus tres primeras coordenadas forman la identidad): base, $\operatorname{Dim}B=3$ (un hiperplano: $4-1$ ecuación).

3. $\operatorname{Dim}(A+B)$ — paso que el libro omite. $A+B\supset B$, luego $\operatorname{Dim}(A+B)\ge3$. Veamos si $A\subset B$: el generador $(1,2,1,1)$ en la ecuación de $B$ da $$2-4+2-1=-1\neq0,$$

   así que $(1,2,1,1)\notin B$. Entonces $A+B$ contiene estrictamente a $B$ y su dimensión es $>3$ (un subespacio que contiene estrictamente a otro tiene dimensión mayor, por (H2) de §9: si tuvieran la misma dimensión coincidirían); como está en $\mathbb R^4$, $\operatorname{Dim}(A+B)\le4$ (H2), luego $\operatorname{Dim}(A+B)=4$ y $A+B=\mathbb R^4$ (H2 otra vez).

4. Grassmann (U p.95): $$2+3=4+\operatorname{Dim}(A\cap B)\ \Rightarrow\ \operatorname{Dim}(A\cap B)=1.$$
5. Conclusión. $A\cap B\neq\{0\}$: por la caracterización (U p.97), $A+B$ no es suma directa: $A+B\neq A\oplus B$.
6. Extra: quién es $A\cap B$ (no se pide, pero confirma). Cartesianas de $A$: $$\alpha(1,2,1,1)+\beta(-1,0,1,0)=(\alpha-\beta,\ 2\alpha,\ \alpha+\beta,\ \alpha)\ \Rightarrow\ x_2=2x_4,\quad x_1+x_3=2x_4.$$

   Con la de $B$:

   $$2(x_1+x_3)-2x_2-x_4=4x_4-4x_4-x_4=-x_4=0\ \Rightarrow\ x_4=0,\ x_2=0,\ x_3=-x_1.$$

   Así $A\cap B=\langle(1,0,-1,0)\rangle$, y en efecto $(1,0,-1,0)=-(-1,0,1,0)\in A$ y $2-0-2-0=0$ ✓. Observa que $(1,0,-1,0)$ no es ninguno de los generadores dados.

Resultado: $\operatorname{Dim}A=2$, $\operatorname{Dim}B=3$, $\operatorname{Dim}(A+B)=4$, $\operatorname{Dim}(A\cap B)=1$; no es suma directa. (Verificado con sympy: rango de los 5 generadores juntos $=4$.)

Nota sobre el libro. Resultado correcto pero incompleto: el libro escribe «$2+3=\operatorname{Dim}(A\cap B)+4$» usando $\operatorname{Dim}(A+B)=4$ sin haberlo probado (en examen no se valoraría). Falta el paso 3. Además, la última línea del texto digital, «$A\cap B=\{(0,0,0,0)\}$», es un «$\neq$» perdido: debe ser $A\cap B\neq\{0\}$.

Error típico: dar por hecho que $A+B=\mathbb R^4$ «porque $2+3\ge4$»: no es cierto en general (si $A\subset B$, $A+B=B$ tiene dimensión 3 y $A\cap B=A$ tiene dimensión 2).

Teoría: Teor. 2.1, U p.79 · Teor. 2.5, U p.88 · Grassmann, U p.95 · caracterización, U p.97

En $\mathbb R^3$, sean $U_1=\{x_1+x_2+x_3=0\}$ y $U_2=\langle(1,1,1)\rangle$. (a) Prueba que $\mathbb R^3=U_1\oplus U_2$. (b) Descompón $v=(3,0,0)$ como suma de un vector de $U_1$ y otro de $U_2$.

1. Dimensiones. $\operatorname{Dim}U_1=2$ (una ecuación en $\mathbb R^3$; base $\{(1,-1,0),(1,0,-1)\}$, despejando $x_1=-x_2-x_3$). $\operatorname{Dim}U_2=1$.
2. Intersección. Un vector de $U_2$ es $t(1,1,1)$; cumple la ecuación de $U_1$ si $$3t=0\ \Rightarrow\ t=0.$$

   Luego $U_1\cap U_2=\{0\}$: suma directa (U p.97).

3. Suma. Grassmann: $$\operatorname{Dim}(U_1+U_2)=2+1-0=3,$$

   luego $U_1\oplus U_2=\mathbb R^3$: suplementarios (Def. 2.14). Comprobación: el determinante de $(1,-1,0),(1,0,-1),(1,1,1)$ es $3\neq0$.

4. (b) Buscamos $v=t(1,1,1)+u$ con $u\in U_1$. Entonces $u=(3-t,-t,-t)$ debe cumplir $$(3-t)-t-t=0\ \Rightarrow\ t=1.$$

   Luego:

   $$(3,0,0)=\underbrace{(2,-1,-1)}_{\in U_1}+\underbrace{(1,1,1)}_{\in U_2},$$

   y es la única descomposición (Def. 2.13). En general, $t=\tfrac{x_1+x_2+x_3}{3}$.

Error típico: dar $U_1\cap U_2$ por vacía: nunca lo es, contiene al $0$; «suma directa» significa $U_1\cap U_2=\{0\}$, no $\varnothing$.

En $\mathbb R^4$, $U=\langle(1,1,0,0),(0,1,1,0)\rangle$ y $W=\langle(1,0,-1,0),(0,0,1,1)\rangle$. Halla $\operatorname{Dim}$, una base y ecuaciones cartesianas de $U+W$ y de $U\cap W$; ¿es directa la suma? Halla un suplementario de $U+W$.

1. Dimensiones de $U$ y $W$. Cada par de generadores no es proporcional: $\operatorname{Dim}U=\operatorname{Dim}W=2$.
2. Suma (Def. 2.12 y Ej. U 2.36). $U+W$ está generado por los cuatro vectores; se escalona (filas): $$\begin{pmatrix}1&1&0&0\\0&1&1&0\\1&0&-1&0\\0&0&1&1\end{pmatrix}\xrightarrow{F_3-F_1}\begin{pmatrix}1&1&0&0\\0&1&1&0\\0&-1&-1&0\\0&0&1&1\end{pmatrix}\xrightarrow{F_3+F_2}\begin{pmatrix}1&1&0&0\\0&1&1&0\\0&0&0&0\\0&0&1&1\end{pmatrix}.$$

   Rango 3: $\operatorname{Dim}(U+W)=3$, base $\{(1,1,0,0),(0,1,1,0),(0,0,1,1)\}$. La fila nula dice que $(1,0,-1,0)=(1,1,0,0)-(0,1,1,0)$: ese vector de $W$ ya está en $U$.

3. Cartesiana de $U+W$: $$\begin{vmatrix}1&1&0&0\\0&1&1&0\\0&0&1&1\\x_1&x_2&x_3&x_4\end{vmatrix}=-x_1+x_2-x_3+x_4=0\iff x_1-x_2+x_3-x_4=0.$$

   (Comprobación: los cuatro generadores la cumplen.)

4. Intersección por Grassmann: $$\operatorname{Dim}(U\cap W)=2+2-3=1.$$

   Cuál es: cartesianas de $U$: $(\alpha,\alpha+\beta,\beta,0)\Rightarrow x_2=x_1+x_3,\ x_4=0$; de $W$: $(\gamma,0,-\gamma+\delta,\delta)\Rightarrow x_2=0,\ x_3=x_4-x_1$. Juntas: $x_2=0$, $x_4=0$, $x_3=-x_1$, es decir

   $$U\cap W=\langle(1,0,-1,0)\rangle.$$
5. ¿Directa? No: $U\cap W\neq\{0\}$ (U p.97).
6. Suplementario de $U+W$ (base incompleta, Teor. 2.7). Se añade $(0,0,0,1)$: el determinante de $\{(1,1,0,0),(0,1,1,0),(0,0,1,1),(0,0,0,1)\}$ es $1\neq0$ (triangular), luego $$\mathbb R^4=(U+W)\oplus\langle(0,0,0,1)\rangle.$$

   (Atajo: $(0,0,0,1)$ no cumple $x_1-x_2+x_3-x_4=0$ y un vector fuera de un hiperplano genera un suplementario suyo.)

Error típico: tomar como base de $U+W$ los cuatro vectores «porque generan»: son ligados (rango 3).

En $\mathbb R^4$, $U=\langle(1,0,1,0),(0,1,0,1)\rangle$ y $W_a=\langle(1,1,a,1),(0,1,1,a)\rangle$, $a\in\mathbb R$. Estudia, según $a$, $\operatorname{Dim}(U+W_a)$ y $\operatorname{Dim}(U\cap W_a)$. ¿Para qué valores es $\mathbb R^4=U\oplus W_a$?

1. Dimensiones de los sumandos. $\operatorname{Dim}U=2$ (no proporcionales). $\operatorname{Dim}W_a=2$ para todo $a$: el menor de las dos primeras coordenadas es $$\begin{vmatrix}1&1\\0&1\end{vmatrix}=1\neq0.$$

   (Importante comprobarlo: si para algún $a$ los generadores de $W_a$ fueran dependientes, cambiaría Grassmann.)

2. Rango de la unión (Ej. U 2.36). Se escalona: $$\begin{pmatrix}1&0&1&0\\0&1&0&1\\1&1&a&1\\0&1&1&a\end{pmatrix}\xrightarrow[F_4-F_2]{F_3-F_1-F_2}\begin{pmatrix}1&0&1&0\\0&1&0&1\\0&0&a-1&0\\0&0&1&a-1\end{pmatrix},$$

   y

   $$\det=1\cdot1\cdot\begin{vmatrix}a-1&0\\1&a-1\end{vmatrix}=(a-1)^2.$$
3. Caso $a\neq1$. $\det\neq0$: rango 4, $\operatorname{Dim}(U+W_a)=4$ y, por Grassmann, $$\operatorname{Dim}(U\cap W_a)=2+2-4=0.$$

   Entonces $\mathbb R^4=U\oplus W_a$.

4. Caso $a=1$. La matriz escalonada tiene filas $(0,0,0,0)$ y $(0,0,1,0)$: rango 3. $\operatorname{Dim}(U+W_1)=3$ y $$\operatorname{Dim}(U\cap W_1)=2+2-3=1.$$

   Concretamente $(1,1,1,1)=(1,0,1,0)+(0,1,0,1)\in U$ y es generador de $W_1$: $U\cap W_1=\langle(1,1,1,1)\rangle$. La suma no es directa.

5. Respuesta: $\mathbb R^4=U\oplus W_a\iff a\neq1$.

Error típico: concluir del determinante solo «$a\neq1$» sin estudiar el caso $a=1$ por separado (allí hay que calcular el rango), u olvidar comprobar que $\operatorname{Dim}W_a$ no depende de $a$.

Considerar $U_1=\{(x_1,x_2,x_3,x_4): x_1=x_2=x_3=x_4\}$ y $U_2=\{(x_1,x_2,x_3,x_4): x_1=x_2;\ x_3=x_4\}$. Justificar si son o no ciertas las siguientes afirmaciones: A) Su suma, $U_1+U_2$, es directa; B) La dimensión de $U_1\cap U_2$ es 0; C) $U_1$ y $U_2$ son subespacios suplementarios.

1. Base de $U_1$. Llamando $\alpha$ al valor común, $(x_1,\dots,x_4)=\alpha(1,1,1,1)$. $\{(1,1,1,1)\}$ genera $U_1$ y es libre (vector no nulo): base, $\operatorname{Dim}U_1=1$ (coincide con (H1): 3 ecuaciones independientes en $\mathbb R^4$, $4-3=1$).
2. Base de $U_2$. Con $x_1=x_2=\alpha$ y $x_3=x_4=\beta$: $$\alpha(1,1,0,0)+\beta(0,0,1,1).$$

   Generan y son libres (no proporcionales): base, $\operatorname{Dim}U_2=2$.

3. Observación clave: $U_1\subset U_2$. Hay que comprobarlo: un vector de $U_1$ es $(\alpha,\alpha,\alpha,\alpha)$, que cumple $x_1=x_2$ y $x_3=x_4$, luego está en $U_2$. Equivalentemente: $$(1,1,1,1)=(1,1,0,0)+(0,0,1,1)\in U_2.$$
4. Consecuencias. $U_1\cap U_2=U_1$, de dimensión 1. $U_1+U_2=U_2$ (por un lado $U_2\subset U_1+U_2$, con $u_2=0+u_2$; por otro, si $u_1\in U_1\subset U_2$ y $u_2\in U_2$, $u_1+u_2\in U_2$ porque $U_2$ es subespacio), de dimensión 2. Grassmann: $$2+1=1+2\ ✓$$
5. A) Falsa. Por la caracterización (U p.97), $U_1+U_2$ es directa $\iff U_1\cap U_2=\{0\}$, y aquí $U_1\cap U_2=U_1\neq\{0\}$. También con la Def. 2.13: $$(1,1,1,1)=\underbrace{(1,1,1,1)}_{\in U_1}+\underbrace{(0,0,0,0)}_{\in U_2}=\underbrace{(0,0,0,0)}_{\in U_1}+\underbrace{(1,1,1,1)}_{\in U_2}.$$
6. B) Falsa. $\operatorname{Dim}(U_1\cap U_2)=\operatorname{Dim}U_1=1\neq0$.
7. C) Falsa. Serían suplementarios si $\mathbb R^4=U_1\oplus U_2$ (Def. 2.14). Fallan las dos condiciones: la suma no es directa (A) y $U_1+U_2=U_2$ tiene dimensión $2\neq4$.

Resultado: las tres afirmaciones son falsas. (Verificado con sympy.)

Sobre la solución oficial. Dice «Claramente, $U_1\subset U_2$» sin comprobarlo y no explica por qué eso hace falsas A, B y C. En el examen hay que escribir los pasos 3-7.

Error típico: pensar que la suma es directa «porque $1+2\le4$» o «porque las bases juntas son 3 vectores»: el criterio es la intersección. Si las bases juntas son ligadas, la suma no es directa.

Encontrar unas ecuaciones paramétricas del subespacio $U_1\cap U_2$ siendo $U_1=\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in\mathbb R^4: x_1=2x_2;\ x_3=x_4\}$ y $U_2=\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in\mathbb R^4: x_1=2x_3\}$.

1. Qué es la intersección. Un subespacio de $\mathbb R^4$ (U p.91) formado por los vectores que cumplen todas las ecuaciones de ambos (U Ej. 2.32-2.33): $$U_1\cap U_2:\quad\begin{cases}x_1-2x_2=0\\ x_3-x_4=0\\ x_1-2x_3=0\end{cases}$$
2. ¿Cuántos parámetros? (H1). La matriz de coeficientes es $$\begin{pmatrix}1&-2&0&0\\0&0&1&-1\\1&0&-2&0\end{pmatrix}.$$

   Tiene rango 3: el menor de las columnas 1, 3 y 4 vale

   $$\begin{vmatrix}1&0&0\\0&1&-1\\1&-2&0\end{vmatrix}=1\cdot(0-2)=-2\neq0.$$

   Por Rouché (U p.30) la solución depende de $4-3=1$ parámetro: $\operatorname{Dim}(U_1\cap U_2)=1$.

3. Resolver. Parámetro $x_2=\alpha$. De la 1.ª, $x_1=2\alpha$. De la 3.ª, $x_3=x_1/2=\alpha$. De la 2.ª, $x_4=x_3=\alpha$.
4. Ecuaciones paramétricas: $$U_1\cap U_2:\ \begin{cases}x_1=2\alpha\\x_2=\alpha\\x_3=\alpha\\x_4=\alpha\end{cases}\quad\alpha\in\mathbb R,\qquad\text{es decir, } U_1\cap U_2=\langle(2,1,1,1)\rangle.$$
5. Comprobación. $(2,1,1,1)$: $2=2\cdot1$ ✓ y $1=1$ ✓ (está en $U_1$); $2=2\cdot1$ ✓ (está en $U_2$).

Resultado: $U_1\cap U_2=\langle(2,1,1,1)\rangle$. (Verificado con sympy: núcleo de la matriz del paso 2.)

Sobre la solución oficial. Da «$x_1=2x_2=2x_3=2x_4$» y las paramétricas sin explicar que hay que juntar las ecuaciones ni por qué sale un parámetro. Es correcta.

Error típico: dar como «paramétricas» unas ecuaciones que aún tienen relaciones entre las $x_i$ (eso son cartesianas), o poner tantos parámetros «a ojo» sin calcular el rango (aquí saldría un plano en lugar de una recta).

En el espacio vectorial $\mathbb R^3$ se consideran los subespacios: $S$ generado por los vectores $\{(1,0,1),(0,2,0)\}$ y $T$ generado por $\{(1,1,2),(0,0,1)\}$. Calcular el subespacio $S\cap T$.

Método 1: pasar a cartesianas y juntar.

1. Dimensiones. $(1,0,1)$ y $(0,2,0)$ no son proporcionales: $\operatorname{Dim}S=2$ (Teor. 2.5, U p.88). Igual para $T$. Son dos planos por el origen.
2. Cartesiana de $S$. $$a(1,0,1)+b(0,2,0)=(a,2b,a):\qquad x_1=a,\quad x_2=2b,\quad x_3=a.$$

   Solo hay una condición: $S:\ x_1-x_3=0$ (por (H1), $3-2=1$ ecuación; comprobación: $1-1=0$ y $0-0=0$ ✓).

3. Cartesiana de $T$. $$c(1,1,2)+d(0,0,1)=(c,\ c,\ 2c+d):$$

   $x_3$ libre (por $d$) y $x_1=x_2=c$: $T:\ x_1-x_2=0$ (comprobación: $1-1=0$, $0-0=0$ ✓).

4. Intersección: $x_1=x_3$ y $x_1=x_2$; rango 2, $3-2=1$ parámetro: $$x_1=x_2=x_3=\lambda,\qquad S\cap T=\langle(1,1,1)\rangle,\qquad\operatorname{Dim}(S\cap T)=1.$$

Método 2: igualar combinaciones lineales.

5. Un vector está en $S\cap T$ si es combinación de los generadores de $S$ y de los de $T$: $$a(1,0,1)+b(0,2,0)=c(1,1,2)+d(0,0,1)\iff\begin{cases}a=c\\2b=c\\a=2c+d\end{cases}$$ De ahí $a=c$, $b=c/2$, $d=a-2c=-c$. Sustituyendo en el lado de $S$: $c(1,0,1)+\tfrac c2(0,2,0)=c(1,1,1)$: de nuevo $S\cap T=\langle(1,1,1)\rangle$.
6. Comprobación con Grassmann. $S+T=\langle(1,0,1),(0,2,0),(1,1,2),(0,0,1)\rangle$ tiene rango 3 (p. ej. $\det\begin{pmatrix}1&0&1\\0&2&0\\0&0&1\end{pmatrix}=2\neq0$): $\operatorname{Dim}(S+T)=3$ y $\operatorname{Dim}(S\cap T)=2+2-3=1$ ✓.

Resultado: $S\cap T=\langle(1,1,1)\rangle$. (Verificado con sympy.)

Sobre la solución oficial. Usa Grassmann para saber que la intersección es una recta (bien) y luego las cartesianas $x-z=0$, $x-y=0$, pero no muestra cómo se obtienen ni el rango 3 de los cuatro vectores.

Error típico: «como $S$ y $T$ no tienen generadores en común, $S\cap T=\{0\}$». Falso: la intersección se calcula con los vectores de los subespacios, no con los conjuntos de generadores. Dos planos distintos de $\mathbb R^3$ por el origen siempre se cortan en una recta ($2+2-3=1$).

Sea $V$ un espacio vectorial de dimensión 9. Consideremos dos subespacios de $V$, $M$ y $N$. Si la dimensión de $M$ es 5 y la dimensión de $M\cap N$ es 3, señale todas las posibles dimensiones del subespacio $N$.

1. Grassmann con los datos: $$\operatorname{Dim}(M+N)+3=5+\operatorname{Dim}N\ \Rightarrow\ \operatorname{Dim}N=\operatorname{Dim}(M+N)-2.$$

   Acotar $\operatorname{Dim}N$ es acotar $\operatorname{Dim}(M+N)$.

2. Cota superior. $M+N$ es un subespacio de $V$ (Def. 2.12), luego por (H2) $\operatorname{Dim}(M+N)\le9$ y $\operatorname{Dim}N\le7$.
3. Cota inferior. $M\subset M+N$ ($m=m+0$ con $0\in N$): $\operatorname{Dim}(M+N)\ge5$ y $\operatorname{Dim}N\ge3$. (Lo mismo sale de $M\cap N\subset N$.)
4. Todas las intermedias son posibles (paso necesario: el enunciado pide todas las posibles y una cota no garantiza que cada valor se alcance). Con $V=\mathbb R^9$, base canónica $e_1,\dots,e_9$, $M=\langle e_1,\dots,e_5\rangle$ y, para $k=0,\dots,4$, $$N_k=\langle e_1,e_2,e_3,\ e_6,\dots,e_{5+k}\rangle\quad(\text{para }k=0,\ N_0=\langle e_1,e_2,e_3\rangle).$$

   Entonces $\operatorname{Dim}N_k=3+k$, $M\cap N_k=\langle e_1,e_2,e_3\rangle$ (dimensión 3) y $M+N_k=\langle e_1,\dots,e_{5+k}\rangle$. Se obtiene $\operatorname{Dim}N=3,4,5,6,7$.

Resultado: $\operatorname{Dim}N\in\{3,4,5,6,7\}$. (Verificado con sympy para cada $k$.)

Sobre la solución oficial. Da las dos cotas y concluye «3, 4, 5, 6 y 7»: falta el paso 4 (que cada valor se alcanza con un ejemplo) y afirma $\operatorname{Dim}(M+N)\le9$ sin justificarlo (H2).

Error típico: escribir Grassmann con $\operatorname{Dim}V$ en lugar de $\operatorname{Dim}(M+N)$ (saldría solo $\operatorname{Dim}N=7$), o con $M\cup N$ en lugar de $M+N$.

Si $\{x^2,1\}$ y $\{x^2+1\}$ son sistemas generadores de dos subespacios $F$ y $G$, respectivamente, hallar $F+G$, $F\cup G$ y $F\cap G$.

Los vectores son polinomios; se trabaja en los polinomios de grado $\le2$, con base canónica $\{1,x,x^2\}$. Este ejercicio ilustra también la cuestión de la unión de subespacios del tema 2.1 (cuándo la unión sí es subespacio). El PDF de soluciones lleva la cabecera «Enero 2021», errata: el enunciado es de 2022.

1. Qué son $F$ y $G$. $$F=\langle x^2,1\rangle=\{ax^2+b:\ a,b\in\mathbb R\},\qquad G=\langle x^2+1\rangle=\{c(x^2+1):\ c\in\mathbb R\}.$$

   ($F$ son los polinomios sin término en $x$.)

2. Dimensiones. $\{x^2,1\}$ es libre: $ax^2+b\cdot1=0$ (polinomio nulo) obliga a $a=b=0$ (Def. 2.6, U p.74), luego $\operatorname{Dim}F=2$. $\{x^2+1\}$ es un vector no nulo: $\operatorname{Dim}G=1$.
3. Observación clave: $G\subset F$. $$x^2+1=1\cdot x^2+1\cdot1$$

   es combinación lineal de los generadores de $F$, así que está en $F$; y como $F$ es subespacio, $c(x^2+1)\in F$ para todo $c$. En coordenadas respecto de $\{1,x,x^2\}$: $(1,0,1)=(1,0,0)+(0,0,1)$.

4. Intersección. Todo vector de $G$ está también en $F$, y $F\cap G\subset G$ siempre: $$F\cap G=G=\langle x^2+1\rangle,\qquad\text{dimensión }1.$$
5. Suma (Def. 2.12, U p.93). $F\subset F+G$ (tomando $g=0$). Recíprocamente, si $f\in F$ y $g\in G\subset F$, entonces $f+g\in F$ por ser $F$ subespacio. Luego $$F+G=F=\langle x^2,1\rangle,\qquad\text{dimensión }2.$$
6. Comprobación con Grassmann (U p.95): $$\operatorname{Dim}(F+G)+\operatorname{Dim}(F\cap G)=2+1=3=\operatorname{Dim}F+\operatorname{Dim}G\ ✓$$
7. Unión. $F\cup G$ son los polinomios que están en $F$ o en $G$; como $G\subset F$, $F\cup G=F$. Aquí la unión sí es subespacio: es la excepción a «en general no» (U p.92), que ocurre justo cuando uno contiene al otro (véase la chuleta).

Resultado: $F\cap G=G=\langle x^2+1\rangle$; $F+G=F=\langle x^2,1\rangle$; $F\cup G=F$. (Verificado con sympy en coordenadas: rango de $\{(0,0,1),(1,0,0)\}$ = rango con $(1,0,1)$ añadido = 2.)

Sobre la solución oficial. Dice solo «la intersección es $G$, la suma es $F$ y la unión es $F$», sin justificar $G\subset F$ (paso 3), que es lo que hace funcionar todo; en el examen lo no justificado no se puntúa.

Error típico: decir «$F\cap G=\{0\}$ porque los generadores son distintos», o afirmar que la unión «nunca» es subespacio.

Consideramos en $\mathbb R^3$ los subespacios vectoriales $F=\{(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb R^3\mid x_3=x_2,\ x_1=-x_2\}$ y $G=\{\lambda(0,1,1),\ \forall\lambda\in\mathbb R\}$. Se pide calcular una base, las ecuaciones cartesianas y paramétricas del subespacio $F+G$. Hallar un subespacio suplementario de $F+G$.

1. Generador de $F$. Con $x_2=\alpha$: $x_3=\alpha$, $x_1=-\alpha$, luego $$F=\langle(-1,1,1)\rangle$$

   (dos ecuaciones independientes: dimensión $3-2=1$, (H1)).

2. Generador de $G$. Por definición $G=\langle(0,1,1)\rangle$.
3. Generadores de $F+G$. Todo vector es $u_1+u_2$ con $u_1=\alpha(-1,1,1)$ y $u_2=\beta(0,1,1)$ (Def. 2.12): $$F+G=\langle(-1,1,1),(0,1,1)\rangle.$$
4. Base y dimensión. No son proporcionales (el primero tiene $x_1=-1$ y el segundo $x_1=0$): libres, base. $\operatorname{Dim}(F+G)=2$, un plano. De paso: $\operatorname{Dim}F+\operatorname{Dim}G=2=\operatorname{Dim}(F+G)$, así que por Grassmann $F\cap G=\{0\}$ y la suma es incluso directa (no se pide, pero es gratis).
5. Ecuaciones paramétricas: $$F+G:\ \begin{cases}x_1=-\alpha\\x_2=\alpha+\beta\\x_3=\alpha+\beta\end{cases}\qquad\alpha,\beta\in\mathbb R.$$
6. Ecuación cartesiana. Un plano de $\mathbb R^3$ tiene $3-2=1$ ecuación. De las paramétricas, $x_2$ y $x_3$ valen lo mismo: $$F+G:\ x_2-x_3=0.$$

   Comprobación: $(-1,1,1)$: $1-1=0$ ✓; $(0,1,1)$: $1-1=0$ ✓. (Con determinante:)

   $$\begin{vmatrix}x_1&x_2&x_3\\-1&1&1\\0&1&1\end{vmatrix}=x_2-x_3.$$
7. Suplementario. Se busca $W$ con $\mathbb R^3=(F+G)\oplus W$ (Def. 2.14). Por (H3) basta $\operatorname{Dim}W=3-2=1$ y $W\cap(F+G)=\{0\}$. Se toma un vector canónico que no cumpla $x_2=x_3$: $(0,1,0)$ ($1\neq0$). Sea $W=\langle(0,1,0)\rangle$. Un vector $\lambda(0,1,0)$ cumple $x_2=x_3$ solo si $\lambda=0$: $W\cap(F+G)=\{0\}$ (suma directa), y $\operatorname{Dim}((F+G)\oplus W)=2+1=3$, luego es $\mathbb R^3$ (H2). Equivalentemente: $$\det\begin{pmatrix}-1&1&1\\0&1&1\\0&1&0\end{pmatrix}=-1\cdot(0-1)=1\neq0:$$

   base de $\mathbb R^3$ (se ha completado la base de $F+G$, Teor. 2.7).

Resultado: base $\{(-1,1,1),(0,1,1)\}$; paramétricas del paso 5; cartesiana $x_2=x_3$; un suplementario: $\langle(0,1,0)\rangle$ (también valdría $\langle(0,0,1)\rangle$, pero no $\langle(1,0,0)\rangle$). (Verificado con sympy.)

Sobre la solución oficial. Correcta. Justifica el suplementario solo con «el rango de los tres vectores es 3»: falta decir por qué eso basta (los tres vectores son base de $\mathbb R^3$, luego la suma es $\mathbb R^3$ y por Grassmann la intersección es $\{0\}$).

Error típico: elegir un vector canónico sin comprobarlo: $(1,0,0)$ sí cumple $x_2=x_3$ ($0=0$), está en $F+G$ (de hecho $(1,0,0)=-(-1,1,1)+(0,1,1)$) y $\langle(1,0,0)\rangle$ no es suplementario.

En el espacio vectorial $\mathbb R^3$, con las operaciones habituales, definir un subespacio $U$ de dimensión 2 mediante unas ecuaciones paramétricas (0.5 ptos.) y calcular el subespacio intersección $U\cap V$, indicando qué dimensión tiene, siendo $V$ el subespacio generado por $\{(1,1,1),(2,1,0),(0,1,2)\}$ (0.5 ptos.). Calcular un subespacio suplementario al subespacio $U+V$. (1 pto.)

La respuesta depende del $U$ elegido; se sigue la elección de la solución oficial y al final se comenta otra.

1. Definir $U$. $$U:\ x=\alpha,\ y=\beta,\ z=-\alpha-\beta,\qquad\text{es decir}\quad U=\langle(1,0,-1),(0,1,-1)\rangle.$$

   Hay que justificar $\operatorname{Dim}U=2$: los dos vectores generan $U$ y son libres (no proporcionales): base. Eliminando parámetros, $U:\ x+y+z=0$.

2. Dimensión de $V$. Los tres generadores son ligados: $$(0,1,2)=2(1,1,1)-(2,1,0)\ ✓$$

   Por supresión (Teor. 2.1), $V=\langle(1,1,1),(2,1,0)\rangle$, no proporcionales: $\operatorname{Dim}V=2$.

3. Cartesiana de $V$. $$\begin{vmatrix}x&y&z\\1&1&1\\2&1&0\end{vmatrix}=-x+2y-z=0\iff V:\ x-2y+z=0.$$

   Comprobación: $(1,1,1)$: $1-2+1=0$ ✓; $(2,1,0)$: $2-2=0$ ✓; $(0,1,2)$: $-2+2=0$ ✓.

4. Intersección: $x+y+z=0$ y $x-2y+z=0$. Restando, $3y=0\Rightarrow y=0$, y $z=-x$. Con $x=\lambda$: $$U\cap V=\langle(1,0,-1)\rangle,\qquad\operatorname{Dim}(U\cap V)=1.$$
5. $U+V$ por Grassmann: $$\operatorname{Dim}(U+V)=2+2-1=3;$$

   como $U+V\subset\mathbb R^3$, por (H2) $U+V=\mathbb R^3$.

6. Suplementario de $U+V=\mathbb R^3$. Por (H3) necesita $\operatorname{Dim}W=3-3=0$: $W=\{0\}$. En efecto, $\mathbb R^3\cap\{0\}=\{0\}$ (directa) y $\mathbb R^3+\{0\}=\mathbb R^3$. El suplementario es el subespacio trivial $\{0\}$ (y es el único).
7. Si se elige otro $U$. El resultado cambia. Si alguien tomara $U=V$ (paramétricas $x=\alpha$, $y=\beta$, $z=-\alpha+2\beta$), entonces $U\cap V=V$ (dimensión 2), $U+V=V$ y un suplementario sería $\langle(1,0,0)\rangle$ (pues $1-0+0\neq0$ y $2+1=3$). Cualquier elección correcta y bien justificada vale; lo que cuenta es la coherencia.

Resultado: con el $U$ elegido, $U\cap V=\langle(1,0,-1)\rangle$ (dimensión 1), $U+V=\mathbb R^3$ y su suplementario es $\{0\}$. (Verificado con sympy.)

Sobre la solución oficial. (i) Escribe «$U\cap V=\{(1,0,-1)\}$»: con llaves es el conjunto de un solo vector, que no es subespacio (no contiene al $0$); debe ser $\langle(1,0,-1)\rangle$. (ii) No justifica la ecuación de $V$ ni que $\operatorname{Dim}U=2$. (iii) Dice «el subespacio suplementario de $\mathbb R^3$» sin explicar que $U+V=\mathbb R^3$ se sigue de (H2).

Error típico: responder «no tiene suplementario» o dar una recta: $\{0\}$ es un subespacio (el trivial) y es el suplementario de todo el espacio.

(a) Sea $V$ un espacio vectorial, y $U_1$, $U_2$ subespacios vectoriales de $V$. Defina los subespacios suma $U_1+U_2$ e intersección $U_1\cap U_2$. (0.5 puntos) (b) Sean $U_1=\langle(2,0,2,1),(0,3,1,0)\rangle$ y $U_2=\{(x,y,z,t)\in\mathbb R^4: x=0,\ y-3z=0\}$ subespacios de $\mathbb R^4$. Calcule de manera razonada una base de $U_1+U_2$ y una base de $U_1\cap U_2$. (1 punto) (c) Considere el conjunto $U_1\cup U_2$ para los $U_1$, $U_2$ de (b). Determine de manera razonada si $U_1\cup U_2$ es o no un subespacio vectorial de $\mathbb R^4$. (0.5 puntos)

(a) Definiciones (U p.91 y Def. 2.12, p.93): $$U_1\cap U_2=\{v\in V:\ v\in U_1\ \text{y}\ v\in U_2\},\qquad U_1+U_2=\{u_1+u_2:\ u_1\in U_1,\ u_2\in U_2\}.$$ Ambos son subespacios de $V$. Conviene añadir que $U_1+U_2$ es el menor subespacio que contiene a $U_1\cup U_2$ (U p.93).

(b)

1. Base de $U_1$. $(2,0,2,1)$ y $(0,3,1,0)$ no son proporcionales: libres, base, $\operatorname{Dim}U_1=2$.
2. Base de $U_2$. Con $x=0$ e $y=3z$, los parámetros son $z$ y $t$: $$(0,3z,z,t)=z(0,3,1,0)+t(0,0,0,1).$$

   No proporcionales: base $\{(0,3,1,0),(0,0,0,1)\}$, $\operatorname{Dim}U_2=2$ (H1: $4-2$).

3. Intersección: vectores de $U_1$ que cumplen las ecuaciones de $U_2$. Un vector genérico de $U_1$ es $$a(2,0,2,1)+b(0,3,1,0)=(2a,\ 3b,\ 2a+b,\ a).$$

   Con $x=0$: $2a=0\Rightarrow a=0$. Con $y-3z=0$:

   $$3b-3(2a+b)=-6a=0,$$

   que ya se cumple con $a=0$. Quedan los vectores $b(0,3,1,0)$:

   $$U_1\cap U_2=\langle(0,3,1,0)\rangle,\quad\text{base }\{(0,3,1,0)\},\quad\operatorname{Dim}(U_1\cap U_2)=1.$$

   (Parametrizar uno e imponer las ecuaciones del otro es lo más rápido cuando uno viene por generadores y el otro por ecuaciones.)

4. Suma: unir bases y quitar sobrantes. $$U_1+U_2=\langle(2,0,2,1),(0,3,1,0),(0,3,1,0),(0,0,0,1)\rangle=\langle(2,0,2,1),(0,3,1,0),(0,0,0,1)\rangle$$

   (el repetido se suprime, Teor. 2.1). Por Grassmann, $\operatorname{Dim}(U_1+U_2)=2+2-1=3$; los 3 generadores que quedan generan un subespacio de dimensión 3, luego son libres y base. Comprobación del rango: el menor de las columnas 1, 2 y 4 es

   $$\begin{vmatrix}2&0&1\\0&3&0\\0&0&1\end{vmatrix}=6\neq0.$$

   Base de $U_1+U_2$: $\{(2,0,2,1),(0,3,1,0),(0,0,0,1)\}$ (su cartesiana, no pedida, es $3x+y-3z=0$).

(c) $U_1\cup U_2$ no es subespacio: con $u=(2,0,2,1)\in U_1$ y $w=(0,0,0,1)\in U_2$, $u+w=(2,0,2,2)\notin U_1\cup U_2$. Desarrollo completo en el tema 2.1.

Resultado: base de $U_1+U_2$: $\{(2,0,2,1),(0,3,1,0),(0,0,0,1)\}$; base de $U_1\cap U_2$: $\{(0,3,1,0)\}$; la unión no es subespacio. (Verificado con sympy.)

Sobre la solución oficial. Para la intersección solo dice «$(2,0,2,1)\notin U_2$ (porque $2\neq0$) y, por tanto, $U_1\cap U_2=\langle(0,3,1,0)\rangle$». Es válido pero faltan pasos: hay que decir que $(0,3,1,0)$ está en los dos (en $U_1$ es generador; en $U_2$, $x=0$ y $3-3=0$), luego $1\le\operatorname{Dim}(U_1\cap U_2)$; y que $U_1\cap U_2\neq U_1$ (porque $(2,0,2,1)\notin U_2$), luego $\operatorname{Dim}(U_1\cap U_2)\lt2$ por (H2). Para la suma no justifica que los tres vectores sean libres.

Error típico: confundir suma con unión («$U_1+U_2=U_1\cup U_2$»): la suma es un subespacio, mucho más grande; la unión, en general, ni siquiera es subespacio.

Sean $L_1$ y $L_2$ subespacios de $\mathbb R^4$: $L_1=\langle(3,-4,0,1),(2,2,0,-4),(1,-6,0,5)\rangle$, $L_2=\langle(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0)\rangle$. Calcule de manera razonada las dimensiones de $L_1$ (0.5 p.), $L_2$ (0.5 p.), $L_1\cap L_2$ (0.5 p.) y $L_1+L_2$ (0.5 p.).

Las dimensiones de $L_1$ y $L_2$ (pasos 1 y 2) se desarrollan con detalle en el tema 2.3; aquí se resumen y se desarrolla lo propio de este tema: intersección, suma y Grassmann. Llamamos $v_1=(3,-4,0,1)$, $v_2=(2,2,0,-4)$, $v_3=(1,-6,0,5)$.

1. $\operatorname{Dim}L_1$. $$v_1-v_2=(1,-6,0,5)=v_3:$$

   $v_3$ es combinación de $v_1,v_2$ y, por supresión (Teor. 2.1, U p.79), $L_1=\langle v_1,v_2\rangle$. No son proporcionales (la 1.ª coordenada daría $\lambda=2/3$ y la 2.ª $\lambda=-1/2$): libres. $\operatorname{Dim}L_1=2$.

2. $\operatorname{Dim}L_2$. Son tres vectores canónicos distintos: libres (la matriz que forman contiene la identidad $3\times3$, rango 3). $\operatorname{Dim}L_2=3$.
3. Cartesianas de $L_1$ (para poder cortar). Un vector de $L_1$ es $\alpha v_1+\beta v_2$: $$x_1=3\alpha+2\beta,\quad x_2=-4\alpha+2\beta,\quad x_3=0,\quad x_4=\alpha-4\beta.$$

   Con $\operatorname{Dim}L_1=2$ en $\mathbb R^4$ hay $4-2=2$ ecuaciones independientes (H1). Una es $x_3=0$. Para la otra se eliminan $\alpha,\beta$: $x_1+x_2=-\alpha+4\beta=-x_4$, es decir $x_1+x_2+x_4=0$.

   $$L_1:\ \begin{cases}x_3=0\\ x_1+x_2+x_4=0\end{cases}$$

   Comprobación: $v_1$: $3-4+1=0$ ✓; $v_2$: $2+2-4=0$ ✓.

4. Cartesiana de $L_2$. $\alpha e_1+\beta e_2+\gamma e_3=(\alpha,\beta,\gamma,0)$: la 4.ª coordenada siempre es 0 y las otras tres son libres. $L_2:\ x_4=0$ ($4-3=1$ ecuación).
5. Intersección: juntar todas las ecuaciones (un vector de $L_1\cap L_2$ cumple las de ambos; U p.91, Ej. 2.33): $$L_1\cap L_2:\ x_3=0,\quad x_1+x_2+x_4=0,\quad x_4=0\iff x_3=0,\ x_4=0,\ x_1+x_2=0.$$

   Las tres ecuaciones son independientes (cada una tiene una incógnita que no aparece en las otras: $x_3$, $x_4$, $x_1$): rango 3 y $4-3=1$ parámetro. Con $x_1=\lambda$, $x_2=-\lambda$:

   $$L_1\cap L_2=\langle(1,-1,0,0)\rangle,\qquad\operatorname{Dim}(L_1\cap L_2)=1.$$

   Vía más corta: un vector $\alpha v_1+\beta v_2$ de $L_1$ está en $L_2$ si su 4.ª coordenada es 0: $\alpha-4\beta=0\Rightarrow\alpha=4\beta$ y queda

   $$\beta(4v_1+v_2)=\beta(14,-14,0,0)=14\beta(1,-1,0,0).$$

   Mismo resultado.

6. Suma: Grassmann (U p.95) con las otras tres dimensiones ya calculadas: $$\operatorname{Dim}(L_1+L_2)=\operatorname{Dim}L_1+\operatorname{Dim}L_2-\operatorname{Dim}(L_1\cap L_2)=2+3-1=4.$$

   $L_1+L_2$ es un subespacio de $\mathbb R^4$ de dimensión 4: por (H2), es todo $\mathbb R^4$.

7. Comprobación independiente. $L_1+L_2=\langle v_1,v_2,e_1,e_2,e_3\rangle$ (Def. 2.12: se unen los generadores). $\det(e_1,e_2,e_3,v_1)$, desarrollando por la 4.ª fila $(0,0,0,1)$, vale $1\neq0$: rango 4 ✓.

Resultado: $\operatorname{Dim}L_1=2$, $\operatorname{Dim}L_2=3$, $\operatorname{Dim}(L_1\cap L_2)=1$ ($L_1\cap L_2=\langle(1,-1,0,0)\rangle$), $\operatorname{Dim}(L_1+L_2)=4$ ($L_1+L_2=\mathbb R^4$). (Verificado con sympy: rangos 2, 3, 4; det $=1$.)

Sobre la solución oficial. Es correcta, pero da las cartesianas de $L_1$ sin mostrar la eliminación de parámetros y no explica por qué $L_1\cap L_2$ tiene dimensión 1 (rango 3 del sistema conjunto).

Fallo recurrente (señalado en el propio examen): «confundir suma de subespacios con unión de subespacios», que en general no es un subespacio. Error típico: escribir $\operatorname{Dim}(L_1+L_2)=2+3=5$, imposible en $\mathbb R^4$: eso solo vale si la suma es directa, y aquí $L_1\cap L_2\neq\{0\}$.