Producto escalar

Sea $E$ un espacio vectorial con un producto escalar tal que la matriz de Gram en una base $B=\{e_1,e_2,e_3\}$ es $G=\begin{pmatrix}1&0&1\cr0&1&1\cr1&1&1\end{pmatrix}$. Elegir la proposición correcta: A) $B$ no es ortonormal. B) $e_1$ es ortogonal al subespacio generado por $\{e_2,e_3\}$. C) Los vectores de $B$ son unitarios.

Qué se pide. Traducir cada frase a entradas de $G$.

1. Leer $G$ (Def. 5.2): $g_{ij}=e_i\bullet e_j$. Diagonal: $e_i\bullet e_i=1$ para $i=1,2,3$. Fuera: $e_1\bullet e_2=0$, $e_1\bullet e_3=1$, $e_2\bullet e_3=1$.
2. A) Cierta. Ortonormal $\iff G=I$. Aquí $g_{13}=1\ne0$: $e_1$ y $e_3$ no son ortogonales.
3. B) Falsa. Ser ortogonal a $\langle e_2,e_3\rangle$ exige serlo a ambos generadores (Def. 5.8): $e_1\bullet e_2=0$ pero $e_1\bullet e_3=1\ne0$.
4. C) Cierta. $\|e_i\|=\sqrt{g_{ii}}=1$.

Aviso 1 (ambigüedad). A y C son ciertas a la vez (el libro lo reconoce) aunque el enunciado pide «la» correcta.

Aviso 2 (errata de fondo). Esta $G$ no puede ser de Gram: $\Delta_1=1$, $\Delta_2=1$, $\Delta_3=\det G=-1\lt 0$ (Sylvester falla). Concretamente, con $x=e_1+e_2-e_3$, $X=(1,1,-1)^t$, $GX=(0,0,1)^t$ y $x\bullet x=X^tGX=-1\lt 0$: viola la propiedad 4. La lectura «formal» de A/B/C sigue siendo la que espera el libro. Con $g_{33}=3$ la matriz sí sería de Gram ($\Delta=1,1,1$) y entonces C sería falsa y solo A cierta.

Error típico: mirar solo la diagonal («unitarios») y concluir «ortonormal»; o comprobar la ortogonalidad a un subespacio con un solo generador. Teoría: U Def. 5.2 p.196; Def. 5.8 p.203; Def. 5.9 p.204.

Si $f((x_1,x_2),(y_1,y_2))=(x_1\ x_2)\begin{pmatrix}2&1\cr\lambda-2&4\lambda\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_1\cr y_2\end{pmatrix}$ es un producto escalar en $\mathbb R^2$, el valor de $\lambda$: A) es único. B) es cualquiera. C) puede ser $\lambda=1$.

Qué se pide. Saber qué propiedades se cumplen siempre y cuáles imponen condición.

1. Lo gratis. $f(x,y)=X^tAY$ es lineal en cada variable para todo $\lambda$: propiedades 2 y 3 de la Def. 5.1. Hay que imponer simetría y positividad.
2. Simetría. $f(e_1,e_2)=a_{12}=1$ y $f(e_2,e_1)=a_{21}=\lambda-2$. Han de ser iguales: $\lambda=3$.

3. Positividad (el libro la omite). Con $\lambda=3$,

   $$A=\begin{pmatrix}2&1\cr1&12\end{pmatrix}$$ $$f(x,x)=2x_1^2+2x_1x_2+12x_2^2=2\left(x_1+\frac12x_2\right)^2+\frac{23}2x_2^2\ge0,$$

   y solo vale $0$ si $x_2=0$ y $x_1=0$. (Con Sylvester: $\Delta_1=2$, $\Delta_2=24-1=23>0$.) Por tanto $\lambda=3$ sí funciona.

4. Opciones. A) cierta (la simetría fuerza $\lambda=3$ y el paso 3 asegura que sirve). B) falsa ($\lambda=0$ no es simétrica). C) falsa: con $\lambda=1$, $f(e_1,e_2)=1\ne-1=f(e_2,e_1)$.

Error típico: quedarse en «$A$ simétrica» y olvidar la positividad: sin el paso 3 no sabrías si hay algún $\lambda$ válido. Teoría: U Def. 5.1 p.194; p.197; Sylvester U p.267.

Si $G$ y $G'$ son dos matrices asociadas al mismo producto escalar respecto de dos bases distintas $B$ y $B'$, entonces: A) $G$ y $G'$ son equivalentes. B) $\operatorname{rang}G\neq\operatorname{rang}G'$. C) $\det G=\det G'$.

Qué se pide. Consecuencias de $G'=Q^tGQ$.

1. Relación: Teorema 5.1 (U p.198): $G'=Q^tGQ$ con $Q$ regular. Es decir, $G'$ es congruente con $G$ (Def. 4.4, U p.147).
2. A) Cierta. Equivalentes: $G'=MGN$ con $M,N$ regulares (Def. 4.3, p.146). Basta $M=Q^t$, $N=Q$ (regulares: $\det Q^t=\det Q\ne0$).
3. B) Falsa. Las matrices equivalentes tienen el mismo rango. (Además $G$ es definida positiva, luego regular: ambos rangos son $n$.)

4. C) Falsa en general. $\det G'=\det Q^t\det G\det Q=(\det Q)^2\det G$, que solo coincide si $\det Q=\pm1$. Contraejemplo: estándar en $\mathbb R^2$, $B$ canónica ($G=I$), $B'=\{(2,0),(0,1)\}$:

   $$G'=\begin{pmatrix}4&0\cr0&1\end{pmatrix},$$

   $\det G'=4\ne1$.

Observación: la congruencia por sí sola solo conserva el signo de $\det G$. Que el determinante de una Gram sea positivo se debe a que $G$ es definida positiva ($|G|=\Delta_n>0$), o a que en una base ortonormal $G=I$ y entonces $\det G=(\det Q)^2>0$ en cualquier otra.

Error típico: confundir con el cambio de base de un endomorfismo ($A'=Q^{-1}AQ$, que sí conserva el determinante). Teoría: U Teor. 5.1 p.198; Def. 4.3-4.4 p.146-147.

En un espacio euclídeo $E$ de dimensión $3$ hay una base $B=\{e_1,e_2,e_3\}$ con $\|e_1\|=1$, $e_2\cdot e_2=1$, $\|e_3\|=\sqrt2$; $e_1\perp e_2$ y $2e_2-e_3$ es ortogonal a $e_1$ y a $e_3$. Calcular la matriz métrica en $B$.

Qué se pide. Los 6 números $g_{11},g_{22},g_{33},g_{12},g_{13},g_{23}$ (la matriz es simétrica).

1. Diagonal (norma al cuadrado): $g_{11}=1$, $g_{22}=1$, $g_{33}=(\sqrt2)^2=2$.
2. $g_{12}$: $e_1\perp e_2\Rightarrow g_{12}=0$.

3. $g_{13}$:

   $$0=(2e_2-e_3)\bullet e_1=2\,e_2\bullet e_1-e_3\bullet e_1=2\cdot0-g_{13}\Rightarrow g_{13}=0.$$

4. $g_{23}$:

   $$0=(2e_2-e_3)\bullet e_3=2g_{23}-g_{33}=2g_{23}-2\Rightarrow g_{23}=1.$$

5. Resultado:

   $$G_B=\begin{pmatrix}1&0&0\cr0&1&1\cr0&1&2\end{pmatrix}.$$

   Coherencia: $\Delta=1,1,1>0$ ✓.

Error típico: poner $g_{33}=\sqrt2$ (es la norma, no su cuadrado). Teoría: U Def. 5.2 p.196; Def. 5.3 p.199.

Dos vectores $u_1,u_2$ de un espacio euclídeo cumplen $\|u_1\|=1$, $\|u_2\|=3$ y $\cos(u_1,u_2)=\frac12$. Determinar la matriz $G$ del producto escalar en el subespacio generado por $\{u_1,u_2\}$.

Qué se pide. La matriz de Gram en la base $\{u_1,u_2\}$.

1. Son base: si $u_2=cu_1$ el coseno sería $\pm1$; como vale $\frac12$ no son proporcionales, luego son base de su subespacio.
2. Diagonal: $u_1\bullet u_1=1$, $u_2\bullet u_2=9$.

3. Fuera (despejando de la Def. 5.6):

   $$u_1\bullet u_2=\|u_1\|\|u_2\|\cos=1\cdot3\cdot\frac12=\frac32.$$

4. Resultado:

   $$G=\begin{pmatrix}1&\frac32\cr\frac32&9\end{pmatrix}.$$

   Control: $\Delta_1=1$, $\det G=9-\frac94=\frac{27}4>0$ ✓ (el ángulo es de $60^\circ$).

Error típico: poner las normas ($1$ y $3$) en la diagonal en vez de sus cuadrados. Teoría: U Def. 5.6 p.201; Def. 5.2 p.196.

La matriz asociada a un producto escalar en la base canónica es $G=\begin{pmatrix}1&1&0\cr1&1&0\cr0&0&1\end{pmatrix}$. Calcular la matriz de Gram $G'$ en la base $B'=\{(1,0,0),(0,0,1),(0,1,0)\}$.

Qué se pide. Aplicar el cambio de base de la Gram.

1. Vía 1 (reordenar). $B'=\{e_1,e_3,e_2\}$: la canónica con $e_2,e_3$ intercambiados. Se intercambian las filas y columnas 2 y 3 de $G$: $g'_{12}=g_{13}=0$, $g'_{13}=g_{12}=1$, $g'_{22}=g_{33}=1$, $g'_{33}=g_{22}=1$, $g'_{23}=g_{32}=0$.

2. Vía 2 (Teorema 5.1). $Q$ = vectores de $B'$ en columnas:

   $$Q=\begin{pmatrix}1&0&0\cr0&0&1\cr0&1&0\end{pmatrix}$$$$G'=Q^tGQ=\begin{pmatrix}1&0&1\cr0&1&0\cr1&0&1\end{pmatrix}.$$

Errata de fondo (no señalada por el libro). $G$ no es la matriz de un producto escalar: $\det G=0$ ($\Delta_2=1-1=0$). Con $x=(1,-1,0)\ne0$: $x\bullet x=X^tGX=0$, lo que contradice la propiedad 5. La forma $(x_1+x_2)^2+x_3^2$ es solo semidefinida positiva. El cálculo de $G'$ es correcto como cambio de base de una forma bilineal simétrica (tema 6.1), y $G'$ hereda el defecto ($\det G'=0$). Corrección mínima: $g_{22}=2$.

Error típico: usar $Q^{-1}GQ$ (semejanza) o poner los vectores por filas (aquí $Q$ es simétrica y no se nota, en general sí). Teoría: U Teor. 5.1 p.198.

Calcular el determinante de la matriz de Gram del producto usual de $\mathbb R^3$ respecto de la base $\{(1,1,2),(3,1,1),(-2,-1,2)\}$.

Qué se pide. $\det G$; hay dos caminos.

1. Vía 1 (calcular $G$). $g_{ij}=u_i\cdot u_j$: $g_{11}=6$, $g_{22}=11$, $g_{33}=(-2)(-2)+(-1)(-1)+2\cdot2=9$, $g_{12}=3+1+2=6$, $g_{13}=-2-1+4=1$, $g_{23}=-6-1+2=-5$.

   $$G=\begin{pmatrix}6&6&1\cr6&11&-5\cr1&-5&9\end{pmatrix}$$

   y $\det G=6(99-25)-6(54+5)+1(-30-11)=444-354-41=49$.

2. Vía 2 (Teorema 5.1). En la canónica $G=I$, así que $G=Q^tQ$ con

   $$Q=\begin{pmatrix}1&3&-2\cr1&1&-1\cr2&1&2\end{pmatrix}$$

   (vectores en columnas). $\det Q=1(2+1)-3(2+2)-2(1-2)=3-12+2=-7$ y $\det G=(\det Q)^2=49$.

3. Lectura. $\det Q\ne0$ confirma que es base; $\det G=(\det Q)^2>0$, como corresponde a una Gram (es definida positiva); menores $6,30,49>0$.

Nota. En la vía 1 el libro escribe el término $g_{33}$ como «$-2\cdot(-2)-1\cdot(-1)+2\cdot2$»; debe leerse $(-2)(-2)+(-1)(-1)+2\cdot2=4+1+4=9$. Es una notación ambigua, no un error: expresión y resultado son correctos.

Error típico: calcular $\det Q$ y olvidar elevar al cuadrado (daría $-7$, imposible en una Gram). Teoría: U Teor. 5.1 p.198; Ej. 5.4 p.197.

En $\mathcal M_{2\times2}$ se define $\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\cr a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}\bullet\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}\cr b_{21}&b_{22}\end{pmatrix}=a_{11}b_{11}+a_{12}b_{12}+a_{21}b_{21}+a_{22}b_{22}$. Normalizar $\begin{pmatrix}1&2\cr1&-3\end{pmatrix}$.

Qué se pide. Dividir el «vector» (aquí una matriz) entre su norma.

1. Idea. Normalizar es dividir entre la norma para obtener un vector de norma $1$ con la misma dirección (Def. 5.4). El producto dado es el estándar de $\mathbb R^4$ leyendo la matriz entrada a entrada.
2. Norma (Def. 5.3): $\|A\|=\sqrt{A\bullet A}=\sqrt{1+4+1+9}=\sqrt{15}$.

3. Normalizado:

   $$\dfrac A{\sqrt{15}}=\begin{pmatrix}\frac1{\sqrt{15}}&\frac2{\sqrt{15}}\cr\frac1{\sqrt{15}}&-\frac3{\sqrt{15}}\end{pmatrix}.$$

4. Comprobación:

   $$\left\|\frac A{\sqrt{15}}\right\|^2=\frac1{15}(A\bullet A)=1$$

   (homogeneidad).

Error típico: usar $\det A$ o $AA$ en vez del producto dado, u olvidar la raíz. Teoría: U Def. 5.3 p.199, Def. 5.4 p.200.

En $\mathbb R^4$ (estándar) existe, al menos, un vector $(x,y,z,t)$ de norma $1$ y perpendicular a $(1,2,3,0)$ y $(1,1,0,0)$ que verifica la ecuación: A) $x+3z=0$. B) $t=z=0$. C) $x=3z=-y$.

Qué se pide. Describir el conjunto de candidatos y ver qué ecuación admite algún unitario.

1. Condiciones: $x+2y+3z=0$ y $x+y=0$; norma $1$: $x^2+y^2+z^2+t^2=1$.
2. Resolver: $y=-x$, $x-2x+3z=0\Rightarrow x=3z$. Con $z=\alpha$, $t=\beta$: $(x,y,z,t)=(3\alpha,-3\alpha,\alpha,\beta)$, es decir $W=\langle(3,-3,1,0),(0,0,0,1)\rangle$ (¡$t$ es parámetro libre aunque no aparezca!). Norma $1$: $19\alpha^2+\beta^2=1$.
3. A) Cierta. Con $x+3z=0$: $3\alpha+3\alpha=0\Rightarrow\alpha=0$, $\beta=\pm1$: existe $(0,0,0,\pm1)$.
4. B) Falsa. $t=z=0\Rightarrow\alpha=\beta=0$: solo el vector nulo, que tiene norma $0\ne1$. (El libro dice «no tiene solución»: con precisión, «no tiene solución de norma 1».)
5. C) Cierta. $x=3z$ y $x=-y$ describen exactamente $W$, así que todo unitario de $W$ las cumple: $\frac1{\sqrt{19}}(3,-3,1,0)$ (norma $\frac{19}{19}=1$) o $(0,0,0,1)$.

Aviso: A y C son ciertas (el libro lo dice): la pregunta no tiene respuesta única.

Error típico: olvidar la variable libre $t$. Teoría: U Ejemplo 5.16 p.203 (ortogonal a varios vectores); Def. 5.3 p.199.

Se considera el producto escalar en $\mathbb R^3$ con matriz métrica $G=\begin{pmatrix}1&1&0\cr1&2&-1\cr0&-1&5\end{pmatrix}$. Calcular las ecuaciones paramétricas y la dimensión del suplementario ortogonal del subespacio $U:\ x+y+2z=0$.

Qué se pide. $U^\perp$ con este producto.

1. Comprobación previa: $G$ es simétrica y $\Delta_1=1$, $\Delta_2=1$, $\Delta_3=4>0$: es un producto escalar.
2. Base de $U$: una ecuación en $\mathbb R^3\Rightarrow\dim U=2$. Despejando $x=-y-2z$: $u_1=(1,-1,0)$, $u_2=(-2,0,1)$ (independientes).
3. Dimensión: $U\oplus U^\perp=\mathbb R^3\Rightarrow\dim U^\perp=1$.
4. Condiciones (Def. 5.8, con $G$): $v=(a,b,c)$ ha de cumplir $u_i^tGv=0$. Calculamos las filas $u_1^tG=(1,-1,0)G=(0,-1,1)$ y $u_2^tG=(-2,0,1)G=(-2,-3,5)$. Ecuaciones: $-b+c=0$ y $-2a-3b+5c=0$.
5. Resolver: $c=b$; $-2a-3b+5b=0\Rightarrow a=b$. $U^\perp=\langle(1,1,1)\rangle$: paramétricas $x=\alpha$, $y=\alpha$, $z=\alpha$; dimensión 1.
6. Comprobación: $(1,1,1)\notin U$ ($1+1+2=4\ne0$), coherente con $U\cap U^\perp=\{0\}$.

Error típico: usar el vector normal $(1,1,2)$ de la ecuación de $U$: solo vale con el estándar. Aquí $(1,1,2)G=(2,2,9)$ da $(2,2,9)\cdot(1,-1,0)=0$ pero $(2,2,9)\cdot(-2,0,1)=5\ne0$. Teoría: U Def. 5.8 p.203; Def. 5.10 p.209; Sylvester p.267.

$L_1=\langle(1,0,0),(0,0,1)\rangle$ y $L_2=\langle(1,1,1)\rangle$ en $\mathbb R^3$. A) Demostrar que $L_1\cap L_2$ es subespacio (caracterización). B) Discutir si $L_1\cup L_2$ lo es. C) Ecuaciones cartesianas de $L_1+L_2$. D) Con el producto estándar, un subespacio ortogonal a $L_1$ y si es suplementario.

Qué se pide. A-C son repaso de los temas 2.1 y 2.4; D es de esta sección. Previo: $L_1=\{(\alpha,0,\beta)\}$ (plano $y=0$) y $L_2=\{(\gamma,\gamma,\gamma)\}$ (recta $x=y=z$).

1. A. Caracterización (U (2.2), p.66): $0\in L_1\cap L_2$; si $u,v\in L_1\cap L_2$ y $\lambda,\mu\in\mathbb R$, $\lambda u+\mu v\in L_1$ (subespacio) y $\in L_2$, luego en la intersección. Concretamente $(\gamma,\gamma,\gamma)\in L_1\iff\gamma=0$: $L_1\cap L_2=\{0\}$.
2. B. No es subespacio. Contraejemplo: $(0,0,1)\in L_1$ y $(1,1,1)\in L_2$; su diferencia $(-1,-1,0)$ no está en $L_1$ ($y\ne0$) ni en $L_2$ (componentes distintas). La unión solo es subespacio si uno contiene al otro.

3. C. $L_1+L_2=\langle(1,0,0),(0,0,1),(1,1,1)\rangle$, y

   $$\det\begin{pmatrix}1&0&1\cr0&0&1\cr0&1&1\end{pmatrix}=-1\ne0:$$

   rango $3$, $L_1+L_2=\mathbb R^3$ (Grassmann: $2+1-0=3$). No hay ecuaciones cartesianas (ninguna restricción). Como $L_1\cap L_2=\{0\}$, la suma es directa: $L_2$ es suplementario de $L_1$ pero no ortogonal ($(1,1,1)\cdot(1,0,0)=1$).

4. D. $v=(x,y,z)\perp L_1\iff v\cdot(1,0,0)=x=0$ y $v\cdot(0,0,1)=z=0$. Así $U=\{x=0,\ z=0\}=\langle(0,1,0)\rangle$ (paramétricas $x=0$, $y=\lambda$, $z=0$).
5. ¿Suplementario? $L_1\cap U=\{0\}$ y $\dim L_1+\dim U=3$: $L_1\oplus U=\mathbb R^3$. Sí; siendo ortogonal y suplementario, es $L_1^\perp$ (único). (Matiz: los subespacios ortogonales a $L_1$ son exactamente $\{0\}$ y $\langle(0,1,0)\rangle$.)

Error típico: pensar que «suplementario» implica «ortogonal» ($L_2$ es suplementario de $L_1$ y no ortogonal); o decir «la unión en general no es subespacio» sin contraejemplo. Teoría: U p.66, p.91-97 (2.4); Def. 5.8 p.203; Def. 5.10 p.209.

En $\mathbb R^3$ con el producto estándar, un subespacio ortogonal a $U:\ x+2y-z=0$ cumple: A) es $\langle(1,2,3)\rangle$. B) puede tener dimensión $2$. C) es cualquier recta perpendicular a $U$.

Qué se pide. Decidir qué es un subespacio ortogonal a un plano.

1. $U^\perp$. Con el estándar, los coeficientes de la ecuación dan el normal: $U^\perp=\langle(1,2,-1)\rangle$. Un subespacio ortogonal a $U$ es cualquiera contenido en $U^\perp$: $\{0\}$ o $U^\perp$ (dimensión $\le1$).
2. A) Falsa. $(1,2,3)\cdot(1,0,1)=4\ne0$ ($(1,0,1)\in U$): no es ortogonal.
3. B) Falsa. Si $V\perp U$, $U\cap V=\{0\}$ (un $w$ en ambos cumple $w\bullet w=0\Rightarrow w=0$), la suma es directa y $\dim U+\dim V\le3\Rightarrow\dim V\le1$.
4. C) Falsa. Una recta perpendicular al plano que no pasa por el origen no es subespacio; y el único subespacio de dimensión $1$ ortogonal a $U$ es $\langle(1,2,-1)\rangle$.

Errata confirmada: ninguna opción es correcta (el libro razona las tres como falsas). Probablemente A debía ser $\langle(1,2,-1)\rangle$. Además la justificación de B dice «dimensión necesariamente 1»: olvida $\{0\}$; lo correcto es $\dim V\le1$.

Error típico: confundir «recta perpendicular» (afín) con «subespacio» (pasa por el origen). Teoría: U Def. 5.10 p.209; Ejemplo 5.22 p.209-210.

Calcular un subespacio ortogonal que no sea el suplementario ortogonal de $U=\langle(1,2,-3,0),(1,0,-1,0)\rangle$.

Qué se pide. Un subespacio estrictamente contenido en $U^\perp$. (Producto estándar de $\mathbb R^4$, convenio de U.)

1. $\dim U=2$ (los generadores no son proporcionales).
2. $U^\perp$: $(x,y,z,t)\cdot(1,2,-3,0)=x+2y-3z=0$ y $(x,y,z,t)\cdot(1,0,-1,0)=x-z=0$. De la 2.ª, $z=x$; en la 1.ª, $x+2y-3x=0\Rightarrow y=x$: $(a,a,a,t)$, $U^\perp=\langle(1,1,1,0),(0,0,0,1)\rangle$, $\dim=2=4-2$.
3. Idea: $W\perp U\iff W\subseteq U^\perp$. Para que no sea el suplementario ortogonal basta $W\subsetneq U^\perp$, p. ej. de dimensión $1$ (entonces $\dim U+\dim W=3\lt 4$).
4. Ejemplos: $W=\langle(1,1,1,1)\rangle$ (comprobación: $1+2-3+0=0$ y $1-1=0$), o $\langle(2,2,2,0)\rangle$, o $\{0\}$.

Error típico: proponer un vector ortogonal solo a uno de los generadores. Teoría: U Def. 5.10 p.209.

Hallar la mínima distancia (mejor aproximación) del vector $v=(1,1,0)$ al subespacio $U=\langle(1,-1,0),(-1,0,1)\rangle$ y el vector $u\in U$ que la realiza.

Qué se pide. $u=\operatorname{Proy}_Uv$ y $\|v-u\|$ (Teorema 5.4). Puedes verlo en la animación 3D de la sección 6 (preset «E 5.14»).

1. Por qué la proyección. Por el Teorema 5.4 (p.213), el vector de $U$ más cercano a $v$ es $v_U=\operatorname{Proy}_Uv$ y la distancia mínima es $\|v-v_U\|$.
2. $U^\perp$: $(a,b,c)\cdot(1,-1,0)=a-b=0$ y $(a,b,c)\cdot(-1,0,1)=-a+c=0$: $U^\perp=\langle(1,1,1)\rangle$.
3. Descomponer $(1,1,0)=\alpha(1,-1,0)+\beta(-1,0,1)+\gamma(1,1,1)$: $\alpha-\beta+\gamma=1$, $-\alpha+\gamma=1$, $\beta+\gamma=0$. Sumando: $3\gamma=2$, $\gamma=\frac23$; $\alpha=-\frac13$, $\beta=-\frac23$.

4. Proyección:

   $$v_U=-\frac13(1,-1,0)-\frac23(-1,0,1)=\left(\frac13,\frac13,-\frac23\right);$$

   $w=\gamma(1,1,1)=\left(\frac23,\frac23,\frac23\right)$.

5. Distancia:

   $$d(v,U)=\|w\|=\sqrt{\frac49\cdot3}=\frac2{\sqrt3}=\frac{2\sqrt3}3\approx1{,}155.$$

6. Vía rápida (comprobación).

   $$w=\operatorname{Proy}_nv=\frac{v\cdot n}{n\cdot n}n=\frac23(1,1,1)$$

   con $n=(1,1,1)$, y $v_U=v-w$. Mismo resultado.

Error típico: proyectar $v$ sobre cada generador de $U$ y sumar: solo vale si son ortogonales (aquí $(1,-1,0)\cdot(-1,0,1)=-1\ne0$). Teoría: U Def. 5.11 p.210; Def. 5.12 p.211; Teor. 5.4 p.213.

Sea $U=\langle(1,0,-1,1),(2,0,3,-1)\rangle$ (estándar de $\mathbb R^4$). A) Base ortogonal $B_1$ de $U$. B) Base ortonormal $B_2$ de $U^\perp$. C) Coordenadas en $B_1$ de $(4,0,1,1)\in U$. D) Coordenadas en $B_2$ de $(4,5,-6,-10)\in U^\perp$. E) Proyección ortogonal de $(1,0,1,0)$ sobre $U$.

Qué se pide. Un recorrido completo por las herramientas del tema.

1. A) Gram-Schmidt. $u_1=(1,0,-1,1)$, $u_2=(2,0,3,-1)$ (independientes). $e_1=u_1$; $u_2\cdot e_1=2-3-1=-2$, $e_1\cdot e_1=3$: $e_2=u_2+\frac23e_1=\left(\frac83,0,\frac73,-\frac13\right)$. Control: $e_2\cdot e_1=\frac83-\frac73-\frac13=0$ ✓. Multiplicando por $3$: $B_1=\{(1,0,-1,1),(8,0,7,-1)\}$.
2. B) $U^\perp$. $x-z+t=0$ y $2x+3z-t=0$ ($\dim=4-2=2$). Sumando: $3x+2z=0$. Con $y$ libre y $x=2s$: $z=-3s$, $t=z-x=-5s$; solución $y(0,1,0,0)+s(2,0,-3,-5)$. Ya son ortogonales ($(0,1,0,0)\cdot(2,0,-3,-5)=0$), no hace falta Gram-Schmidt. Normas $1$ y $\sqrt{4+9+25}=\sqrt{38}$: $B_2=\left\{(0,1,0,0),\frac1{\sqrt{38}}(2,0,-3,-5)\right\}$.
3. C) Teorema 5.3. $(4,0,1,1)=2u_1+u_2\in U$ ✓. $c_i=\frac{x\cdot e_i}{e_i\cdot e_i}$: $c_1=\frac{4-1+1}3=\frac43$, $c_2=\frac{32+7-1}{64+49+1}=\frac{38}{114}=\frac13$. Coordenadas $\left(\frac43,\frac13\right)_{B_1}$. Comprobación: $\frac43(1,0,-1,1)+\frac13(8,0,7,-1)=(4,0,1,1)$ ✓.

4. D) Base ortonormal: $c_i=x\cdot e_i$. Está en $U^\perp$ ($4+6-10=0$, $8-18+10=0$). $c_1=5$;

   $$c_2=\frac{8+18+50}{\sqrt{38}}=\frac{76}{\sqrt{38}}=2\sqrt{38}.$$

   Coordenadas $(5,\,2\sqrt{38})_{B_2}$.

5. E) Fórmula (5.2) con la base ortogonal $B_1$: $z=(1,0,1,0)$, $z\cdot e_1=1-1=0$; $z\cdot e_2=8+7=15$ y $e_2\cdot e_2=114$: $c_2=\frac{15}{114}=\frac5{38}$.

   $$\operatorname{Proy}_Uz=\frac5{38}(8,0,7,-1)=\left(\frac{20}{19},0,\frac{35}{38},-\frac5{38}\right).$$

6. Comprobación de E:

   $$z-\operatorname{Proy}_Uz=\left(-\frac1{19},0,\frac3{38},\frac5{38}\right)=-\frac1{38}(2,0,-3,-5)\in U^\perp$$

   ✓. (Distancia de $z$ a $U$: $\frac{\sqrt{38}}{38}$.)

Error típico: aplicar Fourier con la base original $\{u_1,u_2\}$ (no ortogonal): daría un vector incorrecto. Teoría: U Teor. 5.3 p.207; §5.1.5 p.207-208; Ec. (5.2) p.212.

¿Es $x\bullet y=2x_1y_1+x_1y_2+x_2y_1+x_2y_2$ un producto escalar en $\mathbb R^2$? ¿Y $x\circ y=x_1y_1-x_2y_2$?

1. Forma matricial:

   $$G=\begin{pmatrix}2&1\cr1&1\end{pmatrix}$$

   (el coeficiente de $x_iy_j$ va en la posición $(i,j)$).

2. Propiedad 1: intercambiar $x\leftrightarrow y$ da la misma expresión ($G$ simétrica) ✓. 2-3: cada término es (constante)$\cdot x_iy_j$, lineal en $x$ ✓.
3. 4-5: $x\bullet x=2x_1^2+2x_1x_2+x_2^2=x_1^2+(x_1+x_2)^2\ge0$, y vale $0$ $\iff x_1=0$ y $x_1+x_2=0\iff x=0$ ✓. Sí es producto escalar.
4. $\circ$: $(0,1)\circ(0,1)=-1\lt 0$ viola la 4: no lo es (es el Ejemplo 5.2 de U).

¿Para qué $a$ define $G=\begin{pmatrix}1&a\cr a&4\end{pmatrix}$ un producto escalar en $\mathbb R^2$?

1. Simétrica para todo $a$.
2. Definida positiva (Sylvester): $\Delta_1=1>0$; $\Delta_2=4-a^2>0\iff-2\lt a\lt 2$.
3. Por qué falla en el borde: con $a=2$ y $x=(2,-1)$: $x\bullet x=4+2\cdot2\cdot2\cdot(-1)+4=0$ con $x\ne0$ (viola la 5).

Resultado: $a\in(-2,2)$. Con $|a|>2$ aparecen vectores con $x\bullet x\lt 0$.

¿Para qué $k$ es $G=\begin{pmatrix}1&1&0\cr1&2&1\cr0&1&k\end{pmatrix}$ matriz de Gram?

1. Simétrica ✓. $\Delta_1=1$, $\Delta_2=2-1=1$, $\Delta_3=1(2k-1)-1(k-0)=k-1$.
2. Definida positiva $\iff k>1$.
3. Para $k=1$: $x=(1,-1,1)$ da $X^tGX=k-1=0$ con $x\ne0$: falla.

En $\mathcal P_2$ (grado $\le2$) sea $p\bullet q=\int_{-1}^1p(x)q(x)\,dx$. (a) Justifica que es producto escalar. (b) Matriz de Gram en $\{1,x,x^2\}$. (c) Norma de $1+x$ y de $x^2$ y coseno del ángulo que forman.

1. (a) Simetría ($pq=qp$) y linealidad (de la integral). Positividad: $p\bullet p=\int p^2\ge0$; si $\int_{-1}^1p^2=0$ con $p^2\ge0$ continua, $p\equiv0$ en $[-1,1]$, y un polinomio con infinitas raíces es el nulo ✓.

2. (b) $\int_{-1}^1x^m\,dx=0$ si $m$ impar y $\frac2{m+1}$ si par:

   $$G=\begin{pmatrix}2&0&\frac23\cr0&\frac23&0\cr\frac23&0&\frac25\end{pmatrix}$$

   ($\Delta=2,\frac43,\frac{32}{135}>0$ ✓).

3. (c) $1+x\leftrightarrow(1,1,0)$, $x^2\leftrightarrow(0,0,1)$. $(1+x)\bullet x^2=g_{13}+g_{23}=\frac23$; $\|1+x\|^2=g_{11}+2g_{12}+g_{22}=2+\frac23=\frac83$, $\|1+x\|=\frac{2\sqrt6}3$; $\|x^2\|=\sqrt{2/5}=\frac{\sqrt{10}}5$.

   $$\cos=\dfrac{2/3}{\frac{2\sqrt6}3\cdot\frac{\sqrt{10}}5}=\dfrac{\sqrt{15}}6\approx0{,}645.$$

Con $G=\begin{pmatrix}2&1\cr1&1\end{pmatrix}$ (Propio 1) en la canónica, halla $G'$ en $B'=\{(1,0),(1,-2)\}$ y comprueba con $u=(1,1)_{B'}$, $w=(2,-1)_{B'}$.

1. $$Q=\begin{pmatrix}1&1\cr0&-2\end{pmatrix}$$

   (columnas = vectores de $B'$).

2. $$GQ=\begin{pmatrix}2&0\cr1&-1\end{pmatrix};$$ $$G'=Q^t(GQ)=\begin{pmatrix}1&0\cr1&-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&0\cr1&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&0\cr0&2\end{pmatrix}.$$
3. Lectura: $B'$ es ortogonal para este producto (aunque $(1,0)\cdot(1,-2)=1\ne0$ con el estándar). $\det G'=4=(\det Q)^2\det G=4\cdot1$ ✓.
4. Comprobación: $u\bullet w=(1,1)G'(2,-1)^t=2(2-1)=2$. En canónicas: $u=Q(1,1)^t=(2,-2)$, $w=Q(2,-1)^t=(1,2)$ y $(2,-2)G(1,2)^t=(2,-2)\cdot(4,3)=2$ ✓.

Con $G=\begin{pmatrix}2&1\cr1&1\end{pmatrix}$: normas de $e_1,e_2$, ángulo que forman, distancia entre ellos y un vector ortogonal a $e_1$.

1. $e_1\bullet e_2=g_{12}=1$; $\|e_1\|=\sqrt2$, $\|e_2\|=1$.
2. $\cos=\frac1{\sqrt2\cdot1}=\frac{\sqrt2}2$: ángulo $45^\circ$ (¡no $90^\circ$ como con el estándar!).
3. $d(e_1,e_2)=\|(1,-1)\|=\sqrt{2-2+1}=1$.
4. Ortogonal a $e_1$: $(1,0)G(a,b)^t=2a+b=0\Rightarrow(1,-2)$ (coherente con Propio 5); $\|(1,-2)\|=\sqrt{2-4+4}=\sqrt2$.

Con el estándar de $\mathbb R^3$, $u=(1,2,2)$, $v=(2,-1,2)$: comprueba $|u\cdot v|\le\|u\|\|v\|$ y $\|u+v\|\le\|u\|+\|v\|$. ¿Por qué garantiza Cauchy-Schwarz que la Def. 5.6 tiene sentido?

1. $u\cdot v=4$, $\|u\|=\|v\|=3$: $4\le9$ ✓. $u+v=(3,1,4)$, $\|u+v\|=\sqrt{26}\approx5{,}10\le6$ ✓.
2. Sentido del coseno: Cauchy-Schwarz da $-1\le\frac{u\bullet v}{\|u\|\|v\|}\le1$ en cualquier espacio euclídeo, luego existe un ángulo con ese coseno (U lo usa sin demostrarlo).

3. La triangular se deduce:

   $$\|u+v\|^2=\|u\|^2+2u\bullet v+\|v\|^2\le\|u\|^2+2\|u\|\|v\|+\|v\|^2=(\|u\|+\|v\|)^2.$$
4. Igualdad solo si son proporcionales (aquí no: $4\lt 9$).

En $\mathbb R^3$ con $G=\begin{pmatrix}1&1&0\cr1&2&1\cr0&1&2\end{pmatrix}$ (Propio 3 con $k=2$, definida positiva) halla $U^\perp$ para (a) $U=\langle(1,0,0)\rangle$, (b) $L_1=\langle(1,0,0),(0,0,1)\rangle$ y compáralo con el estándar.

1. (a) $(1,0,0)G=(1,1,0)$, ecuación $x+y=0$: $U^\perp=\langle(-1,1,0),(0,0,1)\rangle$, $\dim2=3-1$. (Con el estándar sería $x=0$.)
2. (b) $(1,0,0)G=(1,1,0)$ y $(0,0,1)G=(0,1,2)$: $x+y=0$, $y+2z=0\Rightarrow z=t$, $y=-2t$, $x=2t$: $L_1^\perp=\langle(2,-2,1)\rangle$. (Con el estándar, Ejercicio 5.6 D: $\langle(0,1,0)\rangle$.)
3. Comprobación: $(2,-2,1)\notin L_1$ ($y\ne0$), luego $L_1\oplus L_1^\perp=\mathbb R^3$.

Moraleja: el ortogonal depende del producto escalar; cada condición es $u_i^tGX=0$, no $u_i^tX=0$.

Ortonormaliza $\{(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)\}$ (estándar).

1. $e_1=(1,1,0)$, $e_1\cdot e_1=2$.
2. $e_2=(1,0,1)-\frac12(1,1,0)=\left(\frac12,-\frac12,1\right)$; reescalado, $e_2'=(1,-1,2)$ ($e_2'\cdot e_2'=6$). Control $e_1\cdot e_2'=0$ ✓.
3. $$e_3=(0,1,1)-\frac{(0,1,1)\cdot e_1}2e_1-\frac{(0,1,1)\cdot e_2'}6e_2'=(0,1,1)-\frac12(1,1,0)-\frac16(1,-1,2)=\left(-\frac23,\frac23,\frac23\right),$$

   o $e_3'=(-1,1,1)$. Controles: $e_3'\cdot e_1=0$, $e_3'\cdot e_2'=-1-1+2=0$ ✓.

4. Normalizar: $$\left\{\frac1{\sqrt2}(1,1,0),\ \frac1{\sqrt6}(1,-1,2),\ \frac1{\sqrt3}(-1,1,1)\right\}.$$

Con $p\bullet q=\int_{-1}^1pq$: (a) ortogonaliza $\{1,x,x^2\}$; (b) halla el polinomio de grado $\le1$ más próximo a $x^3$ y la distancia.

1. (a) $e_1=1$, $e_1\bullet e_1=2$. $e_2=x-\frac{\int x}{2}\cdot1=x$ ($\int_{-1}^1x=0$), $e_2\bullet e_2=\frac23$.

   $$e_3=x^2-\frac{x^2\bullet1}2\cdot1-\frac{x^2\bullet x}{2/3}x=x^2-\frac13,$$ $$\|e_3\|^2=\int(x^4-\frac23x^2+\frac19)=\frac25-\frac49+\frac29=\frac8{45}.$$

   Ortonormal: $\left\{\frac1{\sqrt2},\sqrt{\tfrac32}\,x,\tfrac{3\sqrt{10}}4\left(x^2-\tfrac13\right)\right\}$ (son, salvo constantes, los polinomios de Legendre).

2. (b) Por el Teorema 5.4 es $\operatorname{Proy}_{\langle1,x\rangle}x^3$ con la base ortogonal $\{1,x\}$: $c_1=\frac{\int x^3}2=0$, $c_2=\frac{\int x^4}{2/3}=\frac{2/5}{2/3}=\frac35$. Proyección: $\frac35x$.

3. Distancia:

   $$\|x^3-\frac35x\|^2=\int(x^6-\frac65x^4+\frac9{25}x^2)=\frac27-\frac{12}{25}+\frac6{25}=\frac8{175},$$

   $d=\frac{2\sqrt{14}}{35}\approx0{,}214$.

(a) Proyecta $v=(1,2,3)$ sobre la recta $\langle(1,1,1)\rangle$. (b) Proyecta $v=(2,0,3)$ sobre el plano $U=\langle(1,0,1),(0,1,1)\rangle$. En ambos, descompón $v=u+w$, calcula la distancia mínima y comprueba Pitágoras. (Mismos datos que las animaciones del apartado 6.)

1. (a) $d=(1,1,1)$: $u=\frac{v\cdot d}{d\cdot d}d=\frac63(1,1,1)=(2,2,2)$. $w=v-u=(-1,0,1)$, $w\cdot d=0$ ✓. Distancia $\|w\|=\sqrt2$. Pitágoras: $\|v\|^2=14=\|u\|^2+\|w\|^2=12+2$ ✓.

2. (b) Base ortogonal de $U$ (los generadores no lo son: $(1,0,1)\cdot(0,1,1)=1$): $e_1=(1,0,1)$,

   $$e_2=(0,1,1)-\frac12(1,0,1)=\left(-\frac12,1,\frac12\right)\to(-1,2,1).$$

3. Fourier (5.2):

   $$u=\frac{v\cdot e_1}2e_1+\frac{v\cdot e_2}6e_2=\frac52(1,0,1)+\frac16(-1,2,1)=\left(\frac73,\frac13,\frac83\right).$$
4. $w=v-u=\left(-\frac13,-\frac13,\frac13\right)$, paralelo a la normal $n=(1,0,1)\times(0,1,1)=(-1,-1,1)$ ✓. Distancia $\|w\|=\frac1{\sqrt3}$; atajo $\frac{|v\cdot n|}{\|n\|}=\frac{|-2+3|}{\sqrt3}$ ✓.

5. Pitágoras:

   $$\|v\|^2=13=\|u\|^2+\|w\|^2=\frac{49+1+64}9+\frac39=\frac{117}9=13$$

   ✓.

En $\mathbb R^4$ (estándar): (a) $U=\langle(1,1,0,0),(0,1,1,1)\rangle$; (b) $W=\{x+y+z+t=0\}$. Halla $U^\perp$ y $W^\perp$ con ecuaciones, bases y dimensiones.

1. (a) Generadores $\to$ ecuaciones: $x+y=0$ y $y+z+t=0$. Libres $z,t$: $y=-z-t$, $x=z+t$, $U^\perp=\langle(1,-1,1,0),(1,-1,0,1)\rangle$. $\dim U+\dim U^\perp=2+2=4$ ✓.
2. (b) Ecuaciones $\to$ generadores: $W$ es justamente el conjunto de vectores ortogonales a $(1,1,1,1)$, así $W^\perp=\langle(1,1,1,1)\rangle$; $\dim W=3$, $3+1=4$ ✓.
3. Regla (estándar): generadores de $U$ = filas de $A$ $\Rightarrow$ $U^\perp=\{AX=0\}$ (Lay: $(\operatorname{Fil}A)^\perp=\operatorname{Nul}A$); si $U$ viene por ecuaciones, $U^\perp$ está generado por los vectores de coeficientes.

Estudiar si $(x_1,x_2,x_3,x_4)\bullet(y_1,y_2,y_3,y_4)=10x_1y_1-x_2y_2-7x_3y_4-7x_4y_3+x_3y_3+2x_4y_4$ define o no un producto escalar en $\mathbb R^4$.

Qué se pide. Comprobar la Def. 5.1; para decir «no» basta un contraejemplo (como U en el Ejemplo 5.2).

1. Las tres primeras sí. La expresión es un polinomio con un término $x_iy_j$ en cada sumando: lineal en $x$ (propiedades 2-3); y simétrica porque los coeficientes de $x_3y_4$ y $x_4y_3$ son iguales ($-7$) y el resto son $x_iy_i$.
2. Probar la 4. El término $-x_2y_2$ es negativo: con $u=(0,1,0,0)$, $u\bullet u=-1\lt 0$.
3. Conclusión: falla la propiedad 4: no es producto escalar. (Otro testigo: $(0,0,1,1)$ da $1-14+2=-11\lt 0$.)

Error típico: (i) «No es producto escalar porque no es el usual»: hay infinitos. (ii) Escribir «$u\bullet u=-1\le0$»: «$\le0$» no refuta nada (el $0$ cumple $0\ge0$); hace falta $\lt 0$, o $=0$ con $u\ne0$. La oficial escribe «$\le0$»: el número es correcto, la desigualdad está mal elegida.

Calcule la matriz de Gram respecto de la base canónica del producto escalar de $\mathbb R^3$ dado por $(x_1,x_2,x_3)\bullet(y_1,y_2,y_3)=8x_1y_1-3x_1y_2-3x_2y_1+5x_2y_2+9x_3y_3$.

1. Definición: $G=(g_{ij})$, $g_{ij}=e_i\bullet e_j$ (Def. 5.2), y $x\bullet y=X^tGY=\sum g_{ij}x_iy_j$ (en la canónica, coordenadas = componentes).
2. $g_{ij}$ = coeficiente de $x_iy_j$ (método del Ejemplo 5.5 de U): $g_{11}=8$, $g_{12}=-3$, $g_{21}=-3$, $g_{22}=5$, $g_{33}=9$; los demás no aparecen: $0$.
3. Comprobación directa: $e_1\bullet e_2$: solo sobrevive $-3x_1y_2=-3$ ✓. $$G=\begin{pmatrix}8&-3&0\cr-3&5&0\cr0&0&9\end{pmatrix}.$$
4. Coherencia: simétrica, $g_{ii}>0$ (y $\Delta=8,31,279>0$).

Error típico: dividir entre $2$ los coeficientes cruzados como en una forma cuadrática ($-3x_1y_2-3x_2y_1$ ya están separados). Si la expresión trajera $-6x_1y_2$ y nada en $x_2y_1$, no sería simétrica ni producto escalar.

Calcule la matriz asociada al producto escalar estándar en $\mathbb R^3$ respecto de la base $\{(1,1,1),(2,1,1),(2,0,1)\}$.

1. Es base:

   $$\det\begin{pmatrix}1&2&2\cr1&1&0\cr1&1&1\end{pmatrix}=-1\ne0.$$
2. Tabla de productos ($g_{ij}=v_i\cdot v_j$, por simetría basta calcular 6): $v_1\cdot v_1=3$, $v_1\cdot v_2=2+1+1=4$, $v_1\cdot v_3=2+0+1=3$, $v_2\cdot v_2=6$, $v_2\cdot v_3=4+0+1=5$, $v_3\cdot v_3=5$. $$G'=\begin{pmatrix}3&4&3\cr4&6&5\cr3&5&5\end{pmatrix}.$$
3. Otra vía (Teor. 5.1): $G'=Q^tIQ=Q^tQ$ con los vectores en columnas de $Q$. Mismo resultado (y $\det G'=(\det Q)^2=1$).

Error típico: calcular $QQ^t$ (filas por filas) o dar la identidad «porque es el estándar»: $G=I$ solo en una base ortonormal (U p.206).

En el espacio euclídeo $\mathbb R^4$ hay una base $B=\{e_1,\dots,e_4\}$ con $e_i\bullet e_j=i\cdot j$ para $i\ne j$ y $|e_i|^2=1+i^2$. Hallar la matriz de Gram en $B$.

1. Definición: $g_{ij}=e_i\bullet e_j$.
2. Fuera de la diagonal ($i\ne j$): $g_{ij}=ij$: $g_{12}=2$, $g_{13}=3$, $g_{14}=4$, $g_{23}=6$, $g_{24}=8$, $g_{34}=12$ (y simétricos).
3. Diagonal: $g_{ii}=\|e_i\|^2=1+i^2$: $2,5,10,17$. $$G=\begin{pmatrix}2&2&3&4\cr2&5&6&8\cr3&6&10&12\cr4&8&12&17\end{pmatrix}.$$
4. Control: simétrica y $g_{ii}>0$. (Curiosidad: $G=I+ww^t$ con $w=(1,2,3,4)^t$, así $X^tGX=\|X\|^2+(w\cdot X)^2>0$: los datos son coherentes.)

Error típico: poner la norma $\sqrt{1+i^2}$ en la diagonal, o poner $i\cdot i=i^2$ olvidando que la regla $ij$ es solo para $i\ne j$.

Calcule el coseno del ángulo que forman $(1,2,3)$ y $(1,1,5)$ en $\mathbb R^3$ con el producto escalar estándar.

1. Fórmula (Def. 5.6): $\cos=\dfrac{u\cdot v}{\|u\|\|v\|}$.
2. $u\cdot v=1+2+15=18$; $\|u\|=\sqrt{14}$; $\|v\|=\sqrt{27}=3\sqrt3$.
3. $$\cos=\dfrac{18}{3\sqrt{42}}=\dfrac6{\sqrt{42}}=\dfrac{\sqrt{42}}7\approx0{,}926$$

   (ángulo $\approx22{,}2^\circ$; positivo, agudo).

La oficial deja $\frac{1+2+15}{\sqrt{1+4+9}\sqrt{1+1+25}}$ sin simplificar (vale en examen).

Error típico: olvidar las raíces de las normas (dividir entre $14\cdot27$).

$\{u_1,u_2\}$ es una base de $\mathbb R^2$ con un producto escalar cuya matriz de Gram tiene por filas $(1,\frac32)$ y $(\frac32,10)$. Hallar la norma de $u_1-u_2$.

1. La Gram es en la base $\{u_1,u_2\}$: $u_1\bullet u_1=1$, $u_1\bullet u_2=\frac32$, $u_2\bullet u_2=10$. No hace falta saber quiénes son $u_1,u_2$.

2. Vía propiedades:

   $$(u_1-u_2)\bullet(u_1-u_2)=u_1\bullet u_1-2\,u_1\bullet u_2+u_2\bullet u_2=1-3+10=8.$$

3. Vía matricial: coordenadas $(1,-1)$:

   $$\begin{pmatrix}1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&\frac32\cr\frac32&10\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\cr-1\end{pmatrix}=8.$$
4. $\|u_1-u_2\|=\sqrt8=2\sqrt2$ (también $d(u_1,u_2)$).

Aviso sobre la oficial: escribe «$(u_1-u_2)\cdot(u_1-u_2)=\sqrt{\dots}=\sqrt8$», mezclando el producto escalar (que vale $8$) con la norma ($\sqrt8$). El resultado es correcto.

Error típico: usar las componentes de $u_1,u_2$ como si fuera la canónica, o el producto estándar ($\|(1,-1)\|=\sqrt2$, mal).

En $\mathbb R^3$ se define un producto escalar cuya matriz de Gram en la base canónica es $\begin{pmatrix}1&1&0\cr1&2&-1\cr0&-1&5\end{pmatrix}$. Calcule la norma del vector $(1,1,2)$.

1. $u\bullet u=U^tGU$ (en la canónica las coordenadas son las componentes).
2. $$GU=\begin{pmatrix}1+1+0\cr1+2-2\cr0-1+10\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\cr1\cr9\end{pmatrix};$$

   $U^t(GU)=2+1+18=21$.

3. $\|u\|=\sqrt{21}$. (Comprobación: $G$ es definida positiva, menores $1,1,4$.)

Error típico: usar el estándar ($1+1+4=6$) u olvidar la raíz.

En $\mathbb R^3$ se define un producto escalar cuya matriz de Gram en la base canónica es $G=\begin{pmatrix}2&3&1\cr3&1&0\cr1&0&2\end{pmatrix}$. Calcule la norma del vector $(1,0,2)$.

1. $$GU=\begin{pmatrix}2+0+2\cr3+0+0\cr1+0+4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\cr3\cr5\end{pmatrix},$$

   $U^tGU=4+0+10=14$.

2. $\|(1,0,2)\|=\sqrt{14}$ (coincide con la oficial).

Aviso (error del enunciado). Esa $G$ no puede ser de Gram: con $w=(1,-1,0)$, $W^tGW=\begin{pmatrix}1&-1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1\cr2\cr1\end{pmatrix}=-3\lt 0$, violando la propiedad 4. Pasa las dos comprobaciones de U p.197 (simétrica, $g_{ii}>0$): no son suficientes. (Sylvester: menores $2,-7,-15$.) El cálculo pedido sale igual, pero conviene señalarlo.

Error típico: creer que «simétrica con diagonal positiva» basta para que sea de Gram.

En $\mathcal M_{2\times2}$ se define $A\bullet B=\operatorname{traza}(A^tB)$. Calcule la norma de $\begin{pmatrix}5&-9\cr2&1\end{pmatrix}$.

1. Norma (Def. 5.3): $\|A\|=\sqrt{\operatorname{traza}(A^tA)}$.
2. $$A^tA=\begin{pmatrix}5&2\cr-9&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}5&-9\cr2&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}29&-43\cr-43&82\end{pmatrix};$$

   solo hace falta la diagonal: $25+4=29$ y $81+1=82$.

3. $\operatorname{traza}=111$, $\|A\|=\sqrt{111}$.
4. Atajo. El elemento $(j,j)$ de $A^tB$ es $\sum_ia_{ij}b_{ij}$; sumando, $\operatorname{traza}(A^tB)=\sum_{i,j}a_{ij}b_{ij}$: el producto estándar de las 4 entradas. Así $\|A\|^2=25+81+4+1=111$ ✓ (y por eso cumple la Def. 5.1).

Error típico: calcular $\operatorname{traza}(A)$ o $\det(A^tA)$; olvidar la raíz.

Sean $E_1=\begin{pmatrix}1&0\cr0&1\end{pmatrix}$, $E_2=\begin{pmatrix}1&0\cr0&-1\end{pmatrix}$, $E_3=\begin{pmatrix}0&1\cr1&0\end{pmatrix}$, $E_4=\begin{pmatrix}0&-1\cr1&0\end{pmatrix}$ con $A\bullet B=\operatorname{traza}(A^tB)$. Demuestre que $E=\{E_1,E_2,E_3,E_4\}$ es ortogonal.

1. Qué probar (Def. 5.9): (a) $E_i\bullet E_j=0$ para $i\ne j$ (6 productos) y (b) $E_i\ne0$.
2. Herramienta: $\operatorname{traza}(A^tB)=\sum a_{ij}b_{ij}$. Con las entradas en orden $(a_{11},a_{12},a_{21},a_{22})$: $E_1\sim(1,0,0,1)$, $E_2\sim(1,0,0,-1)$, $E_3\sim(0,1,1,0)$, $E_4\sim(0,-1,1,0)$.
3. Los 6 productos: $E_1\bullet E_2=1-1=0$; $E_1\bullet E_3=0$; $E_1\bullet E_4=0$; $E_2\bullet E_3=0$; $E_2\bullet E_4=0$; $E_3\bullet E_4=-1+1=0$.
4. No nulos: $E_i\bullet E_i=2\ne0$ (la oficial omite esta comprobación, que forma parte de la definición).
5. Conclusión: $E$ es ortogonal. Por el Teorema 5.2 es libre, y son $4$ en un espacio de dimensión $4$: base ortogonal; $\{E_i/\sqrt2\}$ es ortonormal.

Error típico: comprobar solo productos consecutivos, o calcular $\operatorname{traza}(AB)$ sin trasponer (con $E_4$ cambia el signo: $\operatorname{traza}(E_4E_4)=-2$ mientras $E_4\bullet E_4=2$).

Sean $f_1=1$, $f_2=x$, $f_3=\frac{3x^2-1}2$. Demuestre que $\{f_1,f_2,f_3\}$ es ortogonal con $f\bullet g=\int_{-1}^1f(x)g(x)\,dx$.

1. Qué probar: los 3 productos cruzados son $0$ y ninguna función es nula (modelo: Ejemplo 5.20 de U).
2. $$f_1\bullet f_2=\int_{-1}^1x\,dx=\left[\frac{x^2}2\right]_{-1}^1=0.$$
3. $$f_2\bullet f_3=\int_{-1}^1\frac{3x^3-x}2dx=\left[\frac{3x^4}8-\frac{x^2}4\right]_{-1}^1=0.$$
4. $$f_1\bullet f_3=\int_{-1}^1\frac{3x^2-1}2dx=\left[\frac{x^3}2-\frac x2\right]_{-1}^1=0.$$
5. No nulas: $f_1\bullet f_1=2$, $f_2\bullet f_2=\frac23$, $f_3\bullet f_3=\frac25$, todas $\ne0$. Luego ortogonal (y libre, Teorema 5.2).

Aviso sobre la oficial: en $f_1\bullet f_3$ escribe la primitiva $\left[\frac{3x^3}6-\frac x4\right]$; la correcta es $\frac{3x^3}6-\frac x2=\frac{x^3-x}2$. Con la primitiva oficial saldría $\frac12\ne0$; el «$=0$» final es correcto pero no se sigue de lo escrito. También omite comprobar que son no nulas.

Error típico: equivocarse en la primitiva (como la oficial) o integrar en $[0,1]$.

Definir y proporcionar un ejemplo de sistema ortonormal de un espacio euclídeo.

1. Definición (Def. 5.9): en $(V,\bullet)$, $S=\{u_1,\dots,u_p\}$ es ortonormal si $u_i\bullet u_j=0$ para $i\ne j$ (ortogonales dos a dos) y $\|u_i\|=1$ para todo $i$ (unitarios). (Un ortogonal exige además $u_i\neq0$: aquí es automático.)
2. Ejemplo no trivial en $\mathbb R^2$ estándar: $S=\{(\frac35,\frac45),(-\frac45,\frac35)\}$. $u_1\cdot u_2=-\frac{12}{25}+\frac{12}{25}=0$; $\|u_1\|^2=\frac{9+16}{25}=1$, $\|u_2\|^2=1$.
3. La oficial da la base canónica $\{(1,0),(0,1)\}$, también válida.

Error típico: definir solo «vectores perpendiculares» (falta norma $1$), u olvidar el producto escalar.

Justificar si siempre es posible hallar una base ortonormal de un espacio euclídeo. Se puede razonar con un ejemplo concreto.

1. Respuesta: sí, en todo espacio euclídeo $V\ne\{0\}$ de dimensión finita.
2. Por qué. $V$ tiene una base $B=\{u_1,\dots,u_n\}$ (tema 2.3), libre; Gram-Schmidt (U §5.1.5) produce un sistema ortonormal $S'$ con $\langle S'\rangle=\langle B\rangle=V$. Un ortonormal es ortogonal, luego libre (Teor. 5.2); como además genera, es base. U lo dice: «todo espacio euclídeo $V$ posee bases ortonormales» (p.208).

3. Ejemplo con un producto no estándar (U Ejemplo 5.5):

   $$G=\begin{pmatrix}4&1\cr1&9\end{pmatrix}.$$

   La canónica no es ortonormal ($e_1\bullet e_1=4$, $e_1\bullet e_2=1$). $w_1=e_1=(1,0)$, $w_1\bullet w_1=4$;

   $$w_2=e_2-\frac{e_2\bullet w_1}{w_1\bullet w_1}w_1=(0,1)-\frac14(1,0)=\left(-\frac14,1\right)$$

   (comprobación: $w_2\bullet w_1=-\frac14\cdot4+1\cdot1=0$ ✓); $w_2\bullet w_2=\frac{35}4$. Base ortonormal: $\left\{\left(\frac12,0\right),\left(-\frac1{2\sqrt{35}},\frac2{\sqrt{35}}\right)\right\}$.

4. Ejemplo más simple (estándar): $\{(1,1),(0,2)\}\to\{(1,1),(-1,1)\}\to\left\{\frac1{\sqrt2}(1,1),\frac1{\sqrt2}(-1,1)\right\}$.

Error típico: responder «sí, la canónica»: solo es ortonormal con el estándar. La oficial no justifica nada.

Calcular una base ortonormal a partir de la base $\{(1,0,1),(1,1,0),(0,0,2)\}$.

Qué se pide. Es exactamente el Ejemplo 5.21 de U (estándar, pues no se especifica otro).

1. Ortogonalizar. $e_1=(1,0,1)$, $e_1\cdot e_1=2$.
2. $$e_2=u_2-\frac{u_2\cdot e_1}{e_1\cdot e_1}e_1=(1,1,0)-\frac12(1,0,1)=\left(\frac12,1,-\frac12\right).$$

   Control $e_2\cdot e_1=0$ ✓; $e_2\cdot e_2=\frac32$.

3. $u_3\cdot e_1=2$, $u_3\cdot e_2=-1$:

   $$e_3=(0,0,2)-1\cdot(1,0,1)+\frac23\left(\frac12,1,-\frac12\right)=\left(-\frac23,\frac23,\frac23\right).$$

   Control: $e_3\cdot e_1=0$, $e_3\cdot e_2=-\frac13+\frac23-\frac13=0$ ✓.

4. Normalizar: $\|e_1\|=\sqrt2$, $\|e_2\|=\sqrt{3/2}$, $\|e_3\|=\frac2{\sqrt3}$: $$e_1'=\tfrac1{\sqrt2}(1,0,1),\quad e_2'=\tfrac1{\sqrt6}(1,2,-1),\quad e_3'=\tfrac1{\sqrt3}(-1,1,1).$$

Truco: antes de seguir, sustituye $e_2$ por $(1,2,-1)$ y $e_3$ por $(-1,1,1)$: la ortogonalidad no depende de la escala. Comentario a la oficial: añade «otra opción es un cambio de base a la canónica»: la canónica ya es ortonormal para el estándar, pero el ejercicio pide «a partir de la base» dada, es decir Gram-Schmidt.

Error típico: proyectar sobre los $u_i$ originales en vez de sobre los $e_i$; normalizar en medio y usar la fórmula con un $e_i\cdot e_i$ equivocado.

En $\mathbb R^4$ euclídeo, $U=\{x-y=0,\ z-t=0\}$. Entonces $U^\perp$ es: A) $\langle(1,-1,0,0),(-1,1,1,-1)\rangle$; B) $\{x=y=z=t\}$; C) $\{x-y=0,\ z+t=0\}$; D) ninguno.

1. Base de $U$: $(x,x,z,z)=x(1,1,0,0)+z(0,0,1,1)$, $\dim U=2$.
2. $U^\perp$: $(a,b,c,d)\perp U\iff a+b=0,\ c+d=0$: $U^\perp=\langle(1,-1,0,0),(0,0,1,-1)\rangle$, $\dim=4-2=2$.
3. A. $(1,-1,0,0)$: $1-1=0$, ✓. $(-1,1,1,-1)$: $-1+1=0$, $1-1=0$ ✓. No proporcionales: generan un subespacio de dimensión $2$ contenido en $U^\perp$ (de dimensión $2$) $\Rightarrow$ es $U^\perp$. A es correcta.
4. B es la recta $\langle(1,1,1,1)\rangle$ (dimensión $1$; además $(1,1,1,1)\cdot(1,1,0,0)=2\ne0$). Falsa. C contiene $(1,1,0,0)\in U$, que no es ortogonal a sí mismo. Falsa.

Error típico: tomar como $U^\perp$ las ecuaciones «parecidas» (opción C), o comprobar solo la ortogonalidad sin la dimensión (un subespacio más pequeño también es ortogonal, pero no es el suplementario).

Calcular el subespacio $V$ de $\mathbb R^4$ de los vectores ortogonales a $(0,1,-1,4)$ y $(2,1,1,0)$ (0,5 ptos.). Hallar el subespacio $V^\perp$ ortogonal a $V$ (0,5 ptos.).

1. Ecuaciones de $V$ (Ejemplo 5.16): $y-z+4t=0$ y $2x+y+z=0$. Los vectores no son proporcionales (rango $2$): $\dim V=2$.
2. Base de $V$: $z=\alpha$, $t=\beta$: $y=\alpha-4\beta$, $x=-\alpha+2\beta$: $V=\langle(-1,1,1,0),(2,-4,0,1)\rangle$ (ambos anulan las dos ecuaciones ✓).
3. $V^\perp$ sin cálculo. Sea $W=\langle(0,1,-1,4),(2,1,1,0)\rangle$. Por definición de $V$, los generadores de $W$ son ortogonales a $V$, luego $W\subset V^\perp$. Como $V\oplus V^\perp=\mathbb R^4$, $\dim V^\perp=4-2=2=\dim W$: $V^\perp=W$.
4. Comprobación directa: $V^\perp$: $-a+b+c=0$, $2a-4b+d=0$ $\Rightarrow a(1,0,1,-2)+b(0,1,-1,4)$, y $(2,1,1,0)=2(1,0,1,-2)+(0,1,-1,4)$ ✓.

La oficial da el resultado sin justificar $V^\perp=W$: en el examen hay que dar el argumento del paso 3.

Error típico: dar $V^\perp$ con dimensión equivocada o confundir $V$ (ecuaciones) con $V^\perp$ (generadores).

Determinar el subconjunto $V$ de $\mathbb R^4$ (producto habitual) de los vectores ortogonales a la vez a $a=(2,1,1,0)$, $b=(1,0,1,-1)$, $c=(1,-2,-1,3)$ (1 pto.). Calcular su dimensión (0,5 pto.).

1. Ecuaciones: $2x+y+z=0$; $x+z-t=0$; $x-2y-z+3t=0$.
2. Es subespacio: soluciones de un sistema homogéneo (o $V=\langle a,b,c\rangle^\perp$).
3. Resolver: $x=t-z$; en la 1.ª, $2t-2z+y+z=0\Rightarrow y=z-2t$; en la 3.ª, $(t-z)-2(z-2t)-z+3t=8t-4z=0\Rightarrow z=2t$, $x=-t$, $y=0$: $V=\langle(-1,0,2,1)\rangle$.
4. Dimensión $1$: equivalentemente $\operatorname{rango}\{a,b,c\}=3$ y $\dim V=4-3=1$.
5. Comprobación: $(-1,0,2,1)\cdot a=-2+2=0$, $\cdot b=-1+2-1=0$, $\cdot c=-1-2+3=0$ ✓.

Error típico: afirmar $\dim V=1$ sin comprobar que los tres vectores son independientes (si fueran dependientes, $\dim V$ sería $2$).

Encuentre un subespacio $V$ de $\mathbb R^3$ ortogonal al subespacio $U$ definido por $x+z=0;\ y=0$. Razone si $V$ es suplementario de $U$.

1. $U$ es una recta: $y=0$, $z=-x$: $U=\langle(1,0,-1)\rangle$.
2. Ortogonales a $U$ (Def. 5.8): $(x,y,z)\cdot(1,0,-1)=x-z=0$. Todos ellos forman el plano $U^\perp:\ x-z=0=\langle(1,0,1),(0,1,0)\rangle$.
3. Elección: un subespacio ortogonal a $U$ es cualquiera de $U^\perp$; elegimos $V=U^\perp$.

4. ¿Suplementario?

   $$\det\begin{pmatrix}1&1&0\cr0&0&1\cr-1&1&0\end{pmatrix}=-2\ne0:$$

   $\{(1,0,-1),(1,0,1),(0,1,0)\}$ es base de $\mathbb R^3$, luego $U+V=\mathbb R^3$ y $U\cap V=\{0\}$ ($1+2-3=0$). Sí: es el suplementario ortogonal $U^\perp$.

5. Matiz: con $V'=\langle(0,1,0)\rangle$ (ortogonal a $U$) la suma $U\oplus V'$ tiene dimensión $2\lt 3$: no suplementario. Solo $U^\perp$ es ortogonal y suplementario.

Aviso sobre la oficial: llama «$V$» al subespacio dado (que es $U$) y mezcla los nombres; el contenido es correcto. (El tema 2.4 solo lo cita en «Para practicar»: se desarrolla aquí.)

Error típico: pensar que «ortogonal» implica «suplementario» (falla con la recta), o que todo suplementario es ortogonal (el plano $z=0$ es suplementario de $U$ pero $(1,0,0)\cdot(1,0,-1)=1$).

La proyección del vector $(1,0,-5)$ sobre $\langle(1,1,0),(0,0,1)\rangle$ es: A) $(\frac12,\frac12,-5)$; B) $(\frac12,-\frac12,-1)$; C) $(-\frac12,\frac13,-2)$; D) ninguna.

1. ¿Base ortogonal? $(1,1,0)\cdot(0,0,1)=0$ ✓ y no nulos: se puede usar (5.2) sin Gram-Schmidt.
2. $\frac{v\cdot e_1}{e_1\cdot e_1}=\frac12$, $\frac{v\cdot e_2}{e_2\cdot e_2}=-5$.
3. $$\operatorname{Proy}_Uv=\frac12(1,1,0)-5(0,0,1)=\left(\frac12,\frac12,-5\right):$$

   opción A.

4. Control:

   $$v-\operatorname{Proy}=(\frac12,-\frac12,0)\perp(1,1,0),(0,0,1)$$

   ✓. Atajo: B y C no están en $U$ (todo vector de $U$ tiene $1.^a$ y $2.^a$ componentes iguales) y la proyección siempre está en $U$.

Error típico: usar la fórmula con una base no ortogonal, u olvidar dividir entre $e_i\cdot e_i$.

Calcule la proyección ortogonal de $v=(2,0,-3)$ sobre $U=\langle(1,1,0),(0,0,1)\rangle$.

1. $u_1=(1,1,0)$, $u_2=(0,0,1)$ son ortogonales y no nulos: base ortogonal.
2. (5.2): $\frac{v\cdot u_1}{u_1\cdot u_1}=\frac22=1$, $\frac{v\cdot u_2}{u_2\cdot u_2}=-3$.
3. $\operatorname{Proy}_Uv=(1,1,0)-3(0,0,1)=(1,1,-3)$. Control: $v-\operatorname{Proy}=(1,-1,0)\perp u_1,u_2$ ✓.

La oficial normaliza primero ($v_1=\frac1{\sqrt2}(1,1,0)$, $v_2=u_2$) y usa $\sum(v\cdot v_i)v_i$: mismo resultado; la versión ortogonal evita raíces.

Error típico: normalizar y luego olvidar multiplicar otra vez por $v_i$ (dar solo los coeficientes $\sqrt2$, $-3$).

Hallar la proyección del vector $(1,1,1)$ sobre el plano $2x+y-z=0$.

Qué se pide. Tres vías; la 1.ª es la más rápida (estándar).

1. Vía $U^\perp$. El plano son los vectores ortogonales a $n=(2,1,-1)$: $U^\perp=\langle n\rangle$ (Ejemplo 5.22, en sentido inverso). Como $v=\operatorname{Proy}_Uv+\operatorname{Proy}_{U^\perp}v$ y

   $$\operatorname{Proy}_{U^\perp}v=\frac{v\cdot n}{n\cdot n}n=\frac26(2,1,-1):$$ $$\operatorname{Proy}_Uv=(1,1,1)-\frac13(2,1,-1)=\left(\frac13,\frac23,\frac43\right).$$

2. Vía base ortogonal. Base de $U$: $(0,1,1)$, $(1,-2,0)$ (cumplen la ecuación), no ortogonales ($\cdot=-2$). Gram-Schmidt: $e_1=(0,1,1)$, $e_2=(1,-2,0)-\frac{-2}2(0,1,1)=(1,-1,1)$. (5.2):

   $$\frac22(0,1,1)+\frac13(1,-1,1)=\left(\frac13,\frac23,\frac43\right).$$
3. Vía descomposición (la oficial). $(1,1,1)=\alpha(0,1,1)+\beta(1,-2,0)+\gamma(2,1,-1)$: $\alpha=\frac43$, $\beta=\gamma=\frac13$; la proyección es $\alpha(0,1,1)+\beta(1,-2,0)$, mismo vector.
4. Control: $2\cdot\frac13+\frac23-\frac43=0$ (está en el plano) y $v-\operatorname{Proy}=\frac13(2,1,-1)\parallel n$ ✓. Distancia al plano: $\frac{\sqrt6}3$.

Aviso sobre la oficial: escribe «$\alpha(0,1,-1)+\beta(1,-2,0)$»: errata, debe ser $(0,1,1)$ ($(0,1,-1)$ no está en el plano). El resultado final es correcto.

Error típico: aplicar (5.2) con la base no ortogonal $\{(0,1,1),(1,-2,0)\}$: daría $\left(-\frac15,\frac75,1\right)$, que no es la proyección.

Calcule la proyección ortogonal de $v=(0,1,0,0)$ sobre $U=\langle(3,0,0,4),(-4,\sqrt{12},\sqrt{12},3)\rangle$.

1. ¿Base ortogonal? $u_1\cdot u_2=-12+0+0+12=0$ ✓, ambos no nulos: ortogonal (y libre, Teor. 5.2).
2. Normas al cuadrado: $u_1\cdot u_1=25$; $u_2\cdot u_2=16+12+12+9=49$.
3. Coeficientes: $v\cdot u_1=0$ (¡desaparece!), $v\cdot u_2=\sqrt{12}=2\sqrt3$.
4. $$\operatorname{Proy}_Uv=\frac{2\sqrt3}{49}(-4,2\sqrt3,2\sqrt3,3)=\left(-\frac{8\sqrt3}{49},\frac{12}{49},\frac{12}{49},\frac{6\sqrt3}{49}\right).$$
5. Control: $v-\operatorname{Proy}=\frac1{49}(8\sqrt3,37,-12,-6\sqrt3)$ es ortogonal a $u_1$ y $u_2$ ✓.

La oficial normaliza ($v_1=(\frac35,0,0,\frac45)$, $v_2=\frac17u_2$) y da $\left(\frac{-4\sqrt{12}}{49},\frac{12}{49},\frac{12}{49},\frac{3\sqrt{12}}{49}\right)$: correcto, igual que el nuestro con $\sqrt{12}=2\sqrt3$.

Error típico: $\sqrt{12}\cdot\sqrt{12}=12$, no $144$; olvidar la raíz al normalizar ($\|u_2\|=7$, no $49$) si usas la versión ortonormal.

En $\mathbb R^2$ con $G=\begin{pmatrix}2&1\cr1&1\end{pmatrix}$ (canónica), $u=(1,0)$, $v=(-1,2)$. Calcular $\|u\|$, $\|v\|$, $u\bullet v$ y $d(u,v)$.

1. $u\bullet u=g_{11}=2\Rightarrow\|u\|=\sqrt2$.
2. $$Gv=\begin{pmatrix}-2+2\cr-1+2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\cr1\end{pmatrix};$$

   $v\bullet v=(-1)\cdot0+2\cdot1=2\Rightarrow\|v\|=\sqrt2$; $u\bullet v=1\cdot0+0\cdot1=0$: son ortogonales para $\bullet$, aunque con el estándar $u\cdot v=-1\ne0$.

3. $d(u,v)=\|(2,-2)\|$: $G(2,-2)^t=(2,0)^t$, $(2,-2)\cdot(2,0)=4$, $d=2$. Pitágoras: $2+2=4$ ✓.

Moraleja: «ortogonal» depende del producto escalar. (Es el preset «Propio: (2,1,1) con u ⟂ v» de la animación 2D.)

$v=(1,2,3)$ y $U=\langle(1,1,0),(1,0,1)\rangle$ (estándar). Hallar $\operatorname{Proy}_Uv$ y $d(v,U)$.

1. Gram-Schmidt: $e_1=(1,1,0)$, $e_2=(1,0,1)-\frac12(1,1,0)=\left(\frac12,-\frac12,1\right)$ ($e_1\cdot e_2=0$ ✓); $e_1\cdot e_1=2$, $e_2\cdot e_2=\frac32$.
2. $v\cdot e_1=3$, $v\cdot e_2=\frac12-1+3=\frac52$.
3. $$\operatorname{Proy}_Uv=\frac32(1,1,0)+\frac{5/2}{3/2}\left(\frac12,-\frac12,1\right)=\left(\frac73,\frac23,\frac53\right).$$

4. Control por la normal: $n=(1,1,0)\times(1,0,1)=(1,-1,-1)$;

   $$v-\frac{v\cdot n}3n=(1,2,3)+\frac43(1,-1,-1)=\left(\frac73,\frac23,\frac53\right)$$

   ✓. Distancia $\left\|\frac43(-1,1,1)\right\|=\frac4{\sqrt3}$.

En $\mathbb R^3$, $x\bullet y=x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3+a\,(x_1y_2+x_2y_1+x_2y_3+x_3y_2)$. ¿Para qué $a$ es producto escalar? Si no lo es, da un vector testigo.

1. Matriz: el coeficiente de $x_iy_j$ es $g_{ij}$:

   $$G=\begin{pmatrix}1&a&0\cr a&1&a\cr0&a&1\end{pmatrix},$$

   simétrica para todo $a$ (propiedades 1-3 siempre).

2. Sylvester: $\Delta_1=1$, $\Delta_2=1-a^2$, $\Delta_3=|G|=1\cdot(1-a^2)-a\cdot(a\cdot1-0)=1-2a^2$.
3. Definida positiva $\iff1-a^2>0$ y $1-2a^2>0\iff|a|\lt\frac1{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}2$ (la segunda condición implica la primera).
4. Testigo para $|a|\ge\frac{\sqrt2}2$ (con $a>0$; si $a\lt0$ cambia el signo de $x_2$): $x=(1,-\sqrt2,1)\ne0$ da $x\bullet x=1+2+1+2a(-\sqrt2)+2a(-\sqrt2)=4-4\sqrt2\,a$. Si $a=\frac{\sqrt2}2$ vale $0$ con $x\ne0$: falla la propiedad 5; si $a>\frac{\sqrt2}2$ es negativo: falla la 4.

Resultado: producto escalar $\iff|a|\lt\frac{\sqrt2}2$. Nota que $\Delta_2>0$ no basta: para $a=0{,}8$ se tiene $\Delta_2=0{,}36>0$ pero $\Delta_3=-0{,}28\lt0$.