Matriz inversa y cambios de base

Sean $B=\{e_1,e_2,e_3\}$ y $B'=\{e'_1,e'_2,e'_3\}$ bases de $\mathbb R^3$ relacionadas por $e'_1=e_1+e_2$ y $e'_2=e_2+e_3$. Si $x$ es un vector tal que $x=(6,5,7)_B=(2,3,4)_{B'}$, entonces $e'_3$ es: A) $(0,0,1)_{B'}$. B) $(1,0,1)_B$. C) $(0,0,1)_B$. D) Ninguna de las anteriores.

Qué se pide. Las bases son abstractas (no sabemos qué vectores son $e_1,e_2,e_3$): solo trabajamos con coeficientes. Conocemos dos vectores de $B'$ en función de $B$, pero no el tercero. El dato que falta lo da un vector $x$ con sus coordenadas en las dos bases. Hay que decidir qué descripciones de $e'_3$ son correctas. Atención: hay dos ciertas.

1. Opción A (sin cálculos). $e'_3=0e'_1+0e'_2+1e'_3$, luego $e'_3=(0,0,1)_{B'}$ por la Def. 2.10. Es cierto para el tercer vector de cualquier base (E p.109). A es cierta.
2. Incógnita. $$e'_3=\alpha e_1+\beta e_2+\gamma e_3=(\alpha,\beta,\gamma)_B\quad\text{(la 3.ª columna de }Q).$$
3. Dos expresiones de $x$: $$\text{(i) }x=6e_1+5e_2+7e_3;\qquad\text{(ii) }x=2e'_1+3e'_2+4e'_3.$$
4. Pasar (ii) a la base $B$ sustituyendo los $e'_j$: $$2(e_1+e_2)+3(e_2+e_3)+4(\alpha e_1+\beta e_2+\gamma e_3)=(2+4\alpha)e_1+(5+4\beta)e_2+(3+4\gamma)e_3.$$

   (Equivale a $x_B=Qx_{B'}$ con $Q=\begin{pmatrix}1&0&\alpha\\1&1&\beta\\0&1&\gamma\end{pmatrix}$ y $x_{B'}=(2,3,4)$.)

5. Igualar coordenadas. Son el mismo vector en la misma base $B$; las coordenadas son únicas, luego los coeficientes coinciden: $$\begin{cases}2+4\alpha=6\\5+4\beta=5\\3+4\gamma=7\end{cases}\ \Rightarrow\ \alpha=1,\ \beta=0,\ \gamma=1.$$

   El sistema tiene solución única porque el coeficiente de $e'_3$ en $x$ es $4\neq0$ (si fuera 0, el dato $x$ no diría nada sobre $e'_3$).

6. Opción B. $e'_3=e_1+e_3=(1,0,1)_B$. B es cierta.
7. Comprobación de que $B'$ es base: $$Q=\begin{pmatrix}1&0&1\\1&1&0\\0&1&1\end{pmatrix},\qquad\det Q=1\cdot1-0+1\cdot1=2\neq0\ ✓$$
8. Opción C, falsa (contraejemplo). Si fuera $e'_3=e_3=(0,0,1)_B$, entonces $$2e'_1+3e'_2+4e'_3=2e_1+5e_2+7e_3=(2,5,7)_B\neq(6,5,7)_B.$$

   C confunde la descripción en $B'$ de la opción A con la descripción en $B$.

9. Opción D, falsa, porque A y B son ciertas.

Error típico: marcar solo B y perder la A, que es cierta «por definición»; o confundir $(0,0,1)_{B'}$ con $(0,0,1)_B$ (el subíndice es parte de la información).

Nota sobre el libro: el enunciado no advierte de que hay dos correctas, y no justifica por qué C es falsa. Teoría: Def. 2.10 (U p.85) y Def. 3.14 (U p.132).

Si $B'=\{(1,0,1),(0,1,1),(-1,0,0)\}$ es base de $\mathbb R^3$ y $x_{B'}=(1,2,3)_{B'}$, las coordenadas de $x$ en la base canónica $B$ son: A) $(-1,2,-3)_B$. B) $(-2,2,3)_B$. C) $(2,1,3)_B$. D) Ninguna de las anteriores.

Qué se pide. Nos dan $x$ «descrito» en la base nueva: $(1,2,3)_{B'}$ significa $x=1e'_1+2e'_2+3e'_3$. Hay que obtener su descripción en la canónica, es decir, sus componentes. Es el sentido «de nueva a antigua», el fácil.

1. Significado de las coordenadas (Def. 2.10): $$x=1\,(1,0,1)+2\,(0,1,1)+3\,(-1,0,0).$$

   Los vectores de $B'$ vienen dados por sus componentes, es decir, ya escritos en la canónica.

2. Operar: $$x=(1+0-3,\ 0+2+0,\ 1+2+0)=(-2,2,3),$$

   luego $x=(-2,2,3)_B$.

3. Opciones. B es la correcta. A y C no coinciden con el cálculo; basta la primera coordenada $x_1=x'_1-x'_3=-2$ (ver E 3.35) para descartar A ($-1$) y C ($2$). D es falsa porque B es cierta.

Error típico: calcular $Q^{-1}x_{B'}=(1,2,0)$ (sentido contrario) o $Q^tx_{B'}=(4,5,-1)$ (vectores por filas). Nota: el libro no explica por qué fallan A y C. Teoría: Def. 3.14, U p.132.

Utilizando las bases dadas en el Ejercicio 3.33, calcular la matriz $Q_{B'B}$ (para pasar de las coordenadas de un vector cualquiera respecto a $B'$ a las coordenadas respecto a $B$).

Qué se pide. En vez de hacer la cuenta de 3.33 para un vector, la matriz que la hace para cualquier vector: $x_B=Qx_{B'}$. En nuestra notación $Q_{B'B}=Q$.

1. Interpretación: $Q$ es la matriz de la identidad $i:(\mathbb R^3,B')\to(\mathbb R^3,B)$ (E p.111; autoevaluación U, ítem 9).
2. Columnas (Def. 3.14): la columna $j$ es $e'_j$ escrito en $B$. Como $$e'_1=(1,0,0)_{B'}=(1,0,1)_B,\quad e'_2=(0,1,0)_{B'}=(0,1,1)_B,\quad e'_3=(0,0,1)_{B'}=(-1,0,0)_B,$$ $$Q=Q_{B'B}=\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&1&0\\1&1&0\end{pmatrix}.$$
3. Control: desarrollando por la 2.ª fila, $$\det Q=\begin{vmatrix}1&-1\\1&0\end{vmatrix}=1\neq0:$$

   es regular y $B'$ es base. Y $Q\,(1,2,3)^t=(-2,2,3)^t$ reproduce el 3.33.

Error típico: ponerlos en filas ($Q^t$): $Q^t(1,2,3)^t=(4,5,-1)\neq(-2,2,3)$. Teoría: Def. 3.14, U p.132.

Resuélvase el Ejercicio 3.33 utilizando las ecuaciones del cambio de base.

Qué se pide. Lo mismo que 3.33, pero escribiendo primero las ecuaciones $x_B=Qx_{B'}$ y sustituyendo después.

1. Ecuaciones (fila $i$ de $Q$ por $x_{B'}$): $$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&1&0\\1&1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x'_1\\x'_2\\x'_3\end{pmatrix}\iff\begin{cases}x_1=x'_1-x'_3\\x_2=x'_2\\x_3=x'_1+x'_2\end{cases}$$
2. Sustituir $(x'_1,x'_2,x'_3)=(1,2,3)$: $$x_1=1-3=-2,\qquad x_2=2,\qquad x_3=1+2=3.$$
3. $x=(1,2,3)_{B'}=(-2,2,3)_B$: opción B, como en 3.33.

Error típico: leer $Q$ por columnas al escribir las ecuaciones ($x_1=x'_1+x'_3$, …): son las ecuaciones de $Q^t$.

En las mismas condiciones del Ejercicio 3.33, se pide: A) Demostrar que la matriz $Q_{BB'}$ utilizada para pasar de $B$ a $B'$ es la inversa de la matriz $Q_{B'B}$, utilizada para pasar de $B'$ a $B$. B) Encontrar $Q_{BB'}$. C) Escribir las ecuaciones de cambio de base $B$ a base $B'$.

Qué se pide. Ahora el sentido es el difícil: dado un vector por sus componentes, hallar sus coordenadas en $B'$. A) justificar que la matriz de ese cambio es $Q^{-1}$; B) calcularla; C) escribir sus ecuaciones.

1. A) Demostración. Sea $R=Q_{BB'}$, con $x_{B'}=Rx_B$ para todo $x$. Encadenando: $$x_{B'}\xrightarrow{Q}x_B=Qx_{B'}\xrightarrow{R}RQ\,x_{B'}.$$

   Como volvemos al mismo vector en la misma base, $RQ\,x_{B'}=x_{B'}$ para todo $x_{B'}$; con los tres vectores de la base canónica de $\mathbb R^3$ se obtiene $RQ=I$. Igual en el otro orden: $QR=I$. Por la definición de inversa, $R=Q^{-1}$. $\square$

2. B) Cálculo. Se usa el camino 1 del apartado 3 (despejar): $$e_1=-e'_3,\qquad e_3=e'_1+e'_3,\qquad e_2=-e'_1+e'_2-e'_3.$$

   Por columnas:

   $$Q_{BB'}=Q^{-1}=\begin{pmatrix}0&-1&1\\0&1&0\\-1&-1&1\end{pmatrix}.$$

   (El libro resuelve cada columna como un sistema; p. ej. $(1,0,0)=\alpha(1,0,1)+\beta(0,1,1)+\gamma(-1,0,0)$ da $(\alpha,\beta,\gamma)=(0,0,-1)$: son tres sistemas con la misma matriz $Q$. También sirve Gauss-Jordan o la adjunta, con el mismo resultado.)

3. Comprobación $Q^{-1}Q=I$ (ver apartado 3) y con el vector de 3.33: $$Q^{-1}(-2,2,3)^t=(0-2+3,\ 2,\ 2-2+3)=(1,2,3)\ ✓$$
4. C) Ecuaciones de $B$ a $B'$ (filas de $x_{B'}=Q^{-1}x_B$): $$x'_1=-x_2+x_3,\qquad x'_2=x_2,\qquad x'_3=-x_1-x_2+x_3.$$

Error típico: (a) usar la misma $Q$ para ir de $B$ a $B'$ ($Q(-2,2,3)^t=(-5,2,0)\neq(1,2,3)$); (b) poner las coordenadas del despeje en filas: sale $(Q^{-1})^t$. Teoría: U p.135.

Si $f(x_1,x_2,x_3)=(x_1,\ x_1-x_2,\ x_2-x_1)$ son las ecuaciones de una aplicación lineal referidas a la base canónica $B$, se pide calcular sus ecuaciones referidas a la base $B'=\{(1,0,1),(0,1,1),(-1,0,0)\}$ de ejercicios anteriores.

Qué se pide. $f$ es un endomorfismo de $\mathbb R^3$. «Ecuaciones referidas a $B'$» significa: si un vector tiene coordenadas $(x'_1,x'_2,x'_3)$ en $B'$, qué coordenadas $(y'_1,y'_2,y'_3)$ tiene su imagen también en $B'$. Es decir, la matriz $A'$ de $f$ con $B'$ en la salida y en la llegada.

1. Matriz en la canónica (Def. 3.4): $$f(1,0,0)=(1,1,-1),\quad f(0,1,0)=(0,-1,1),\quad f(0,0,1)=(0,0,0),$$ $$A=\begin{pmatrix}1&0&0\\1&-1&0\\-1&1&0\end{pmatrix}.$$
2. Diagrama (Def. 3.15 con $P=Q$): $$x_{B'}\xrightarrow{Q}x_B\xrightarrow{A}(f(x))_B\xrightarrow{Q^{-1}}(f(x))_{B'}\ \Rightarrow\ A'=Q^{-1}AQ.$$

   (En E: $Q_{BB'}\,A\,Q_{B'B}$.)

3. Matrices de cambio (de 3.34 y 3.36): $$Q=\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&1&0\\1&1&0\end{pmatrix},\qquad Q^{-1}=\begin{pmatrix}0&-1&1\\0&1&0\\-1&-1&1\end{pmatrix}.$$
4. Producto (asociativo, pero sin cambiar el orden). Primero $Q^{-1}A$: $$Q^{-1}A=\begin{pmatrix}-1-1&1+1&0\\1&-1&0\\-1-1-1&1+1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&2&0\\1&-1&0\\-3&2&0\end{pmatrix}.$$

   Después por $Q$ (columnas $(1,0,1)$, $(0,1,1)$, $(-1,0,0)$):

   $$A'=(Q^{-1}A)Q=\begin{pmatrix}-2&2&2\\1&-1&-1\\-3&2&3\end{pmatrix}.$$
5. Ecuaciones en $B'$ ($Y'=A'X'$): $$y'_1=-2x'_1+2x'_2+2x'_3,\qquad y'_2=x'_1-x'_2-x'_3,\qquad y'_3=-3x'_1+2x'_2+3x'_3.$$
6. Comprobación por la Def. 3.4 (columna $j$ de $A'$ = $f(e'_j)$ en $B'$): $f(e'_1)=f(1,0,1)=(1,1,-1)$ y, con las ecuaciones de 3.36 C, sus coordenadas en $B'$ son $$x'_1=-1-1=-2,\qquad x'_2=1,\qquad x'_3=-1-1-1=-3:$$

   columna $(-2,1,-3)$ ✓. Igual $f(e'_2)=(0,-1,1)\mapsto(2,-1,2)_{B'}$ ✓ y $f(e'_3)=(-1,-1,1)\mapsto(2,-1,3)_{B'}$ ✓.

7. Control: $\det A=0$ (columna nula) y $\det A'=0$ (la fila 1 es $-2$ veces la fila 2), como debe ser.

Error típico: $QAQ^{-1}$ (orden invertido; da una matriz distinta, $\begin{pmatrix}0&-3&2\cr0&-2&1\cr0&-3&2\end{pmatrix}$) o detenerse en $AQ$ (imágenes en la canónica, no en $B'$). Teoría: Def. 3.15, U p.136.

$B=\{e_1,e_2\}$ y $B'=\{e'_1,e'_2\}$ son bases de $\mathbb R^2$ con $e'_1=e_1+e_2$, $e'_2=e_1-e_2$; $U=\{u_1,u_2,u_3\}$ y $U'=\{u'_1,u'_2,u'_3\}$ son bases de $\mathbb R^3$ con $u'_1=u_1+u_3$, $u'_2=u_1-u_2$, $u'_3=u_2$; $f:(\mathbb R^2,B)\to(\mathbb R^3,U)$ es la aplicación lineal tal que $f(1,2)_B=(1,0,1)_U$ y $f(0,1)_B=(2,1,0)_U$. Se pide: A) matriz $A$ asociada a $f$. B) matriz $Q_{B'B}$ del cambio de base $B'$ a $B$. C) matriz $P_{U'U}$ del cambio de $U'$ a $U$. D) matriz $P_{UU'}$ del cambio de $U$ a $U'$. E) matriz $A'$ asociada a $f:(\mathbb R^2,B')\to(\mathbb R^3,U')$.

Qué se pide. El caso general: $f$ va de un espacio a otro y se cambian las bases en los dos. En nuestra notación: B) $Q$, C) $P$, D) $P^{-1}$, E) $A'=P^{-1}AQ$. Es la versión de E del Ej. 3.31 de U, con un dato distinto: $(1,0,1)$ en vez de $(1,0,-1)$.

1. A) $A$ (Def. 3.4: columnas $f(e_1)$, $f(e_2)$ en $U$). $(0,1)_B=e_2$, luego $f(e_2)=(2,1,0)_U$. $(1,2)_B=e_1+2e_2$ y por linealidad $f(e_1)+2f(e_2)=(1,0,1)_U$, así que $$f(e_1)=(1,0,1)-2(2,1,0)=(-3,-2,1)_U,\qquad A=\begin{pmatrix}-3&2\\-2&1\\1&0\end{pmatrix}\ (3\times2).$$

   Comprobación: $A\binom12=(1,0,1)$ y $A\binom01=(2,1,0)$ ✓.

2. B) $Q=Q_{B'B}$ (columnas = $e'_j$ en $B$): $e'_1=(1,1)_B$, $e'_2=(1,-1)_B$, luego $$Q=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}.$$
3. C) $P=P_{U'U}$ (columnas = $u'_j$ en $U$): $u'_1=(1,0,1)_U$, $u'_2=(1,-1,0)_U$, $u'_3=(0,1,0)_U$: $$P=\begin{pmatrix}1&1&0\\0&-1&1\\1&0&0\end{pmatrix},\qquad\det P=1\neq0.$$
4. D) $P^{-1}=P_{UU'}$ despejando la base antigua (U p.137): $$u_2=u'_3,\qquad u_1=u'_2+u_2=u'_2+u'_3,\qquad u_3=u'_1-u_1=u'_1-u'_2-u'_3.$$

   Por columnas:

   $$P^{-1}=\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&-1\\1&1&-1\end{pmatrix}.$$

   Es la misma $P^{-1}$ que en U Ej. 3.31 (mismas relaciones entre $U$ y $U'$).

5. E) $A'=P^{-1}AQ$. Tamaños: $(3\times3)(3\times2)(2\times2)=3\times2$ ✓. Primero $AQ$ (sus columnas son $f(e'_1)$, $f(e'_2)$ en $U$): $$AQ=\begin{pmatrix}-3+2&-3-2\\-2+1&-2-1\\1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&-5\\-1&-3\\1&1\end{pmatrix}.$$

   Luego $P^{-1}$ las pasa a $U'$:

   $$A'=P^{-1}(AQ)=\begin{pmatrix}1&1\\-1-1&-5-1\\-1-1-1&-5-3-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\-2&-6\\-3&-9\end{pmatrix}.$$
6. Comprobación por la Def. 3.4 (columna 1): $f(e'_1)=-u_1-u_2+u_3$ y $$1u'_1-2u'_2-3u'_3=(u_1+u_3)-2(u_1-u_2)-3u_2=-u_1-u_2+u_3\ ✓$$
7. Comprobación con un vector: $$(2,3)_{B'}=2e'_1+3e'_2=5e_1-e_2=(5,-1)_B;\qquad A\binom5{-1}=(-17,-11,5)_U.$$

   Con $A'$: $A'\binom23=(5,-22,-33)_{U'}$ y $P\,(5,-22,-33)^t=(-17,-11,5)_U$ ✓.

Error típico: (a) $Q^{-1}AP$ ni siquiera se puede multiplicar ($2\times2$ por $3\times2$); (b) $PAQ$ tiene el tamaño correcto pero es falso: solo lo detecta una comprobación con un vector; (c) copiar el $A'$ de U Ej. 3.31, que tiene otro dato ($\begin{pmatrix}-1&-1\cr0&-4\cr-1&-7\end{pmatrix}$). Teoría: Def. 3.15, U p.136.

Si en el espacio vectorial $P_3$ de polinomios de grado menor que cuatro se consideran las bases $B'=\{1,\ x+1,\ (x+1)^2,\ x^3\}$ y la canónica $B=\{1,x,x^2,x^3\}$, es cierto que las filas de la matriz de cambio de base $B'$ a la base $B$ son: A) $(1,1,1,0),(0,1,2,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)$. B) $(1,0,0,0),(1,1,0,0),(1,2,1,0),(0,0,0,1)$. C) $(1,1,0,0),(1,1,0,0),(1,2,1,0),(0,1,0,1)$.

Qué se pide. El mismo método que en $\mathbb R^n$, pero los «vectores» son polinomios. La matriz de cambio de $B'$ a $B$ es nuestra $Q$ ($x_B=Qx_{B'}$), cuyas columnas son los polinomios de $B'$ escritos en $B$. Ojo: se preguntan sus filas.

1. Coordenadas en la canónica (coeficientes de $1,x,x^2,x^3$ en ese orden, con los ceros): $$1=(1,0,0,0)_B,\qquad x+1=(1,1,0,0)_B,$$ $$(x+1)^2=1+2x+x^2=(1,2,1,0)_B,\qquad x^3=(0,0,0,1)_B.$$
2. Por columnas (Def. 3.14): $$Q=\begin{pmatrix}1&1&1&0\\0&1&2&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}.$$
3. Filas: $(1,1,1,0)$, $(0,1,2,0)$, $(0,0,1,0)$, $(0,0,0,1)$: A es cierta.
4. B es falsa: sus filas son las columnas de $Q$; la matriz de B es $Q^t$ (error de poner las coordenadas por filas). Contraejemplo: $(0,1,0,0)_{B'}=x+1$ tiene coordenadas canónicas $(1,1,0,0)$, la 2.ª columna de $Q$; con la matriz de B saldría su 2.ª columna, $(0,1,2,0)$, es decir $x+2x^2\neq x+1$.
5. C es falsa: tiene dos filas iguales, luego determinante 0. Una matriz de cambio de base es siempre regular (U p.135): C no puede serlo.
6. Control: $Q$ es triangular superior con unos en la diagonal, $\det Q=1\neq0$ (U p.26); confirma también que $B'$ es base de $P_3$.

Error típico: contestar B por leer «filas» y poner las coordenadas de cada polinomio en fila; olvidar desarrollar $(x+1)^2$. Nota: el libro no justifica por qué B y C son falsas.

Si $f:\mathbb R^3\to\mathbb R^2$ es la aplicación lineal definida por $f(1,0,-1)=(0,3)$, $f(1,-2,3)=(6,-4)$, $f(0,-2,1)=(-3,2)$, se pide calcular la matriz asociada a $f$ respecto las bases canónicas.

Qué se pide. Conocemos las imágenes de una base no canónica $V=\{v_1,v_2,v_3\}$ y queremos la matriz canónica $M$ ($2\times3$), cuyas columnas son $f(e_1)$, $f(e_2)$, $f(e_3)$ (Def. 3.4). El método «de 3.3» (tema 3.3) es escribir los $e_i$ en función de los $v_j$ y aplicar la linealidad; el «de 3.5» es la fórmula de cambio de base. Se dan los dos.

1. $V$ es base. Los $v_j$ en columnas: $$Q=\begin{pmatrix}1&1&0\\0&-2&-2\\-1&3&1\end{pmatrix}.$$

   Desarrollo por la 1.ª columna:

   $$\det Q=1\cdot\begin{vmatrix}-2&-2\\3&1\end{vmatrix}+(-1)\begin{vmatrix}1&0\\-2&-2\end{vmatrix}=4+2=6\neq0\ ✓$$

   $Q$ es el cambio de $V$ a la canónica: $x_C=Q\,x_V$.

2. Coordenadas de $e_1,e_2,e_3$ en $V$ = columnas de $Q^{-1}$ (U p.135), por Gauss-Jordan (U p.18). Se anula la columna 1 con $F_3+F_1$, se normaliza el pivote de la 2.ª fila con $-\tfrac12F_2$, se anula con $F_3-4F_2$, se normaliza con $-\tfrac13F_3$ y se limpia hacia arriba: $$\left(\begin{array}{ccc|ccc}1&1&0&1&0&0\\0&-2&-2&0&1&0\\-1&3&1&0&0&1\end{array}\right)\xrightarrow{F_3+F_1}\left(\begin{array}{ccc|ccc}1&1&0&1&0&0\\0&-2&-2&0&1&0\\0&4&1&1&0&1\end{array}\right)\xrightarrow{-\frac12F_2}\left(\begin{array}{ccc|ccc}1&1&0&1&0&0\\0&1&1&0&-\frac12&0\\0&4&1&1&0&1\end{array}\right)$$ $$\xrightarrow{F_3-4F_2}\left(\begin{array}{ccc|ccc}1&1&0&1&0&0\\0&1&1&0&-\frac12&0\\0&0&-3&1&2&1\end{array}\right)\xrightarrow{-\frac13F_3}\left(\begin{array}{ccc|ccc}1&1&0&1&0&0\\0&1&1&0&-\frac12&0\\0&0&1&-\frac13&-\frac23&-\frac13\end{array}\right)$$ $$\xrightarrow{F_2-F_3}\left(\begin{array}{ccc|ccc}1&1&0&1&0&0\\0&1&0&\frac13&\frac16&\frac13\\0&0&1&-\frac13&-\frac23&-\frac13\end{array}\right)\xrightarrow{F_1-F_2}\left(\begin{array}{ccc|ccc}1&0&0&\frac23&-\frac16&-\frac13\\0&1&0&\frac13&\frac16&\frac13\\0&0&1&-\frac13&-\frac23&-\frac13\end{array}\right).$$

   Es decir:

   $$e_1=\tfrac23v_1+\tfrac13v_2-\tfrac13v_3,\quad e_2=-\tfrac16v_1+\tfrac16v_2-\tfrac23v_3,\quad e_3=-\tfrac13v_1+\tfrac13v_2-\tfrac13v_3,$$

   las combinaciones que da E.

3. Método de 3.3 (linealidad): $$f(e_1)=\tfrac23(0,3)+\tfrac13(6,-4)-\tfrac13(-3,2)=(3,0),$$ $$f(e_2)=-\tfrac16(0,3)+\tfrac16(6,-4)-\tfrac23(-3,2)=(3,-\tfrac52),$$ $$f(e_3)=-\tfrac13(0,3)+\tfrac13(6,-4)-\tfrac13(-3,2)=(3,-3).$$ $$M=\begin{pmatrix}3&3&3\\0&-\frac52&-3\end{pmatrix}.$$
4. Método de 3.5 (Def. 3.15). Sea $$F=\begin{pmatrix}0&6&-3\\3&-4&2\end{pmatrix}$$

   (columnas $f(v_j)$ en la canónica de $\mathbb R^2$): es la matriz de $f$ con $V$ en la salida y la canónica en la llegada. Tomando como «antiguas» las canónicas (matriz $M$), como «nueva» $V$ en la salida (cambio $Q$) y la canónica en la llegada (cambio $P=I$), la fórmula da $F=I^{-1}MQ=MQ$. Despejando ($Q$ regular):

   $$M=F\,Q^{-1}=\begin{pmatrix}0&6&-3\\3&-4&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac23&-\frac16&-\frac13\\\frac13&\frac16&\frac13\\-\frac13&-\frac23&-\frac13\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&3&3\\0&-\frac52&-3\end{pmatrix}.$$

   Es el producto «$AB$» de E p.118 (allí $A=F$ y $B=Q^{-1}$).

5. Comprobación: $$M(1,0,-1)^t=(0,3)\ ✓,\qquad M(1,-2,3)^t=(3-6+9,\ 5-9)=(6,-4)\ ✓,\qquad M(0,-2,1)^t=(-6+3,\ 5-3)=(-3,2)\ ✓$$
6. Observación de E. Con $V$ en la salida y $S'=\{(0,3),(-3,2)\}$ en la llegada, $$P=\begin{pmatrix}0&-3\\3&2\end{pmatrix}\ (\det P=9),\qquad P^{-1}MQ=P^{-1}F=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-2&1\end{pmatrix}.$$

   Directamente: $f(v_1)=(0,3)=1\cdot(0,3)+0\cdot(-3,2)$; $f(v_2)=(6,-4)=0\cdot(0,3)-2\cdot(-3,2)$; $f(v_3)=(-3,2)=0\cdot(0,3)+1\cdot(-3,2)$ ✓.

Error típico: (a) tomar $F$ como si fuese la matriz canónica; (b) multiplicar $FQ$ en vez de $FQ^{-1}$; (c) llamar a $Q^{-1}$ «cambio de $V$ a la canónica», como hace E: con el convenio de la Def. 3.14 ese nombre corresponde a $Q$. Teoría: Def. 3.4 (U p.116), U p.135-136.

En $\mathbb R^2$, sea $C$ la base canónica y $B'=\{(2,1),(1,1)\}$. (a) Matriz de cambio de $B'$ a $C$. (b) Componentes del vector $x=(1,3)_{B'}$. (c) Coordenadas en $B'$ de $y=(3,1)$. (d) Interpreta las columnas de $Q^{-1}$.

Qué se pide. Practicar los dos sentidos: nueva $\to$ antigua (multiplicar) y antigua $\to$ nueva (invertir).

1. $Q$: columnas = vectores de $B'$ (Def. 3.14): $$Q=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix},\qquad\det Q=2-1=1\neq0$$

   (dos vectores con rango 2 son base de $\mathbb R^2$).

2. (b) De nueva a antigua, multiplicar: $$x_C=Q\binom13=\binom{2+3}{1+3}=\binom54.$$

   Comprobación: $1(2,1)+3(1,1)=(5,4)$ ✓.

3. (c) De antigua a nueva, invertir. Fórmula $2\times2$: $$Q^{-1}=\frac11\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}.$$

   Entonces:

   $$y_{B'}=Q^{-1}\binom31=\binom{3-1}{-3+2}=\binom2{-1}.$$

   Comprobación: $2(2,1)-1(1,1)=(3,1)$ ✓.

4. (d) La 2.ª columna de $Q^{-1}$ es $(-1,2)$: es $e_2=(0,1)$ escrito en $B'$, pues $-(2,1)+2(1,1)=(0,1)$ ✓. Las columnas de $Q^{-1}$ son la base antigua escrita en la nueva.

Sea $f(x,y)=(3x+y,\ 2x)$ y $B'=\{(1,1),(2,1)\}$. Halla la matriz de $f$ en la base $B'$ con la fórmula y compruébala con la Def. 3.4 y con un vector.

Qué se pide. Matriz $A'$ de un endomorfismo de $\mathbb R^2$ en una base nueva, con comprobación.

1. Matrices: $$A=\begin{pmatrix}3&1\\2&0\end{pmatrix}\ (\text{canónica}),\qquad Q=\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix},\qquad\det Q=1-2=-1\neq0,$$ $$Q^{-1}=\frac1{-1}\begin{pmatrix}1&-2\\-1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&2\\1&-1\end{pmatrix}.$$
2. $AQ$ (columnas $f(1,1)=(4,2)$ y $f(2,1)=(7,4)$): $$AQ=\begin{pmatrix}3+1&6+1\\2&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&7\\2&4\end{pmatrix}.$$
3. $A'=Q^{-1}(AQ)$: $$A'=\begin{pmatrix}-4+4&-7+8\\4-2&7-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\2&3\end{pmatrix}.$$
4. Comprobación con la Def. 3.4: $f(1,1)=(4,2)=a(1,1)+b(2,1)$ da $a+2b=4$, $a+b=2$, luego $b=2$, $a=0$: columna $(0,2)$ ✓. $f(2,1)=(7,4)$ da $a+2b=7$, $a+b=4$, luego $b=3$, $a=1$: columna $(1,3)$ ✓.
5. Con un vector: $(1,1)_{B'}=(1,1)+(2,1)=(3,2)$ y $f(3,2)=(11,6)$. Con $A'$: $$A'\binom11=\binom15_{B'},\qquad1(1,1)+5(2,1)=(11,6)\ ✓$$
6. Controles y trampa: $\det A'=-2=\det A$ y traza $3=3$. Pero el orden equivocado $$QAQ^{-1}=\begin{pmatrix}-6&13\\-4&9\end{pmatrix}$$

   también tiene determinante $-2$ y traza 3: esos controles no detectan el error, los pasos 4 o 5 sí.

Sea $f(x,y)=(x+y,\ 2x,\ x-y)$. En $\mathbb R^2$ se toma $B'=\{(1,1),(0,1)\}$ y en $\mathbb R^3$, $S'=\{(1,0,0),(1,1,0),(0,1,1)\}$. (a) Matriz $A'$ de $f$ en $B'$ y $S'$. (b) Imagen en $S'$ del vector $(2,-1)_{B'}$, con comprobación.

Qué se pide. Aplicar la Def. 3.15 con espacios de salida y llegada distintos, y comprobar con un vector.

1. Canónicas: $$A=\begin{pmatrix}1&1\\2&0\\1&-1\end{pmatrix}\ (3\times2).$$
2. Cambios: salida y llegada, $$Q=\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix},\qquad P=\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}\ (\text{triangular},\ \det P=1).$$
3. $P^{-1}$ despejando (U p.137): $e_1=s'_1$; $e_2=s'_2-s'_1$; $e_3=s'_3-e_2=s'_1-s'_2+s'_3$. Por columnas: $$P^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1&1\\0&1&-1\\0&0&1\end{pmatrix}\quad(PP^{-1}=I\ ✓).$$
4. $AQ$ (columnas $f(1,1)$, $f(0,1)$): $$AQ=\begin{pmatrix}2&1\\2&0\\0&-1\end{pmatrix},\qquad A'=P^{-1}AQ=\begin{pmatrix}2-2+0&1-0-1\\2-0&0+1\\0&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\2&1\\0&-1\end{pmatrix}.$$
5. Def. 3.4 (columna 2): $f(0,1)=(1,0,-1)=\alpha(1,0,0)+\beta(1,1,0)+\gamma(0,1,1)$ da $\gamma=-1$, $\beta+\gamma=0\Rightarrow\beta=1$, $\alpha+\beta=1\Rightarrow\alpha=0$: $(0,1,-1)$ ✓.
6. (b) $$A'\binom2{-1}=\begin{pmatrix}0\\3\\1\end{pmatrix}_{S'},$$

   que en canónicas es $3(1,1,0)+1(0,1,1)=(3,4,1)$. Directamente: $(2,-1)_{B'}=2(1,1)-(0,1)=(2,1)$ y $f(2,1)=(3,4,1)$ ✓.

Error típico: $Q^{-1}AP$ no existe ($2\times2$ por $3\times2$): si el producto «no cuadra», se han cambiado los papeles de $P$ y $Q$.

Sea $f(x,y,z)=(x+2y,\ y,\ x+z)$ con matriz canónica $A$. (a) Calcula $A^{-1}$ interpretando $A$ como una matriz de cambio de base (método de U p.137). (b) Deduce una aplicación lineal $g$ con $g\circ f=f\circ g=\mathrm{id}$. (c) ¿Qué pasa con $h(x,y)=(x+y,\ 2x+2y)$?

Qué se pide. Ver que «invertir una matriz» es «cambiar de base en sentido contrario», y que eso deshace la aplicación. (Anticipo marcado: U no trata la aplicación inversa.)

1. La matriz y su determinante (desarrollo por la 2.ª fila): $$A=\begin{pmatrix}1&2&0\\0&1&0\\1&0&1\end{pmatrix},\qquad\det A=1\neq0.$$

   Sus columnas $b_1=(1,0,1)$, $b_2=(2,1,0)$, $b_3=(0,0,1)$ son 3 vectores de rango 3: forman una base $B'$, y $A$ es exactamente la matriz de cambio de $B'$ a la canónica.

2. (a) $A^{-1}$ es el cambio contrario: sus columnas son $e_1,e_2,e_3$ escritos en $B'$. Despejando: $$e_3=b_3,\qquad e_1=b_1-e_3=b_1-b_3,\qquad e_2=b_2-2e_1=-2b_1+b_2+2b_3.$$

   Por columnas:

   $$A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-2&0\\0&1&0\\-1&2&1\end{pmatrix},\qquad AA^{-1}=I\ ✓$$

   Es el objetivo de U p.131: «calcular la matriz inversa como la matriz asociada al cambio de base inverso».

3. (b) Sea $g$ la aplicación de matriz $A^{-1}$: $$g(a,b,c)=(a-2b,\ b,\ -a+2b+c).$$

   La matriz de $f\circ g$ es $AA^{-1}=I$ y la de $g\circ f$ es $A^{-1}A=I$ (Def. 3.12): ambas son la identidad. Comprobación:

   $$f(g(a,b,c))=\big((a-2b)+2b,\ b,\ (a-2b)+(-a+2b+c)\big)=(a,b,c)\ ✓$$

   y $g(f(x,y,z))=(x,y,z)$ ✓. Esa $g$ es la aplicación inversa $f^{-1}$.

4. (c) $$H=\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix},\qquad\det H=0:$$

   no es regular y sus columnas no forman base. Además $h(1,-1)=(0,0)=h(0,0)$: dos vectores distintos con la misma imagen ($\operatorname{Nuc}h=\langle(-1,1)\rangle\neq\{0\}$, tema 3.2); ninguna $g$ puede «deshacer» $h$.

Si $U=\{\bar u_1,\bar u_2,\bar u_3\}$ y $U'=\{\bar u'_1,\bar u'_2,\bar u'_3\}$ son bases de $\mathbb R^3$, cuyos vectores están relacionados por $\bar u'_1=\bar u_1+\bar u_3$; $\bar u'_2=\bar u_1-\bar u_2$ y $\bar u'_3=\bar u_2$, es cierto que el determinante de la matriz asociada al cambio de la base $U$ a la base $U'$ es: A) 1; B) $-1$; C) 0; D) Otro diferente.

Qué se pide. Hay dos bases de $\mathbb R^3$, una «antigua» $U$ y una «nueva» $U'$, y se dice cómo se escribe cada vector nuevo con los antiguos. No sabemos qué vectores son, y no hace falta: la matriz de cambio solo usa coeficientes. Hay que construir la matriz de cambio y calcular su determinante.

1. Coordenadas de los vectores nuevos en la base antigua (Def. 2.10), contando los coeficientes de $\bar u_1,\bar u_2,\bar u_3$ en ese orden, con los ceros: $$\bar u'_1=(1,0,1)_U,\qquad\bar u'_2=(1,-1,0)_U,\qquad\bar u'_3=(0,1,0)_U.$$
2. Matriz de cambio (Def. 3.14), esas coordenadas por columnas: $x_U=Qx_{U'}$ con $$Q=\begin{pmatrix}1&1&0\\0&-1&1\\1&0&0\end{pmatrix}.$$

   Es exactamente la matriz $P$ del Ej. 3.31 de U (mismas relaciones).

3. Determinante. Desarrollo por la 3.ª fila (un solo elemento no nulo, el $1$ de la posición $(3,1)$, signo $(-1)^{3+1}=+1$): $$\det Q=1\cdot\begin{vmatrix}1&0\\-1&1\end{vmatrix}=1.$$

   Es distinto de 0, como debe ser: descarta C sin más cuentas.

4. ¿Y si «de $U$ a $U'$» significa la matriz inversa? (la frase es ambigua: con el título de la Def. 3.14, «de $U$ a $U'$» sería $x_{U'}=Px_U$ con matriz $R=Q^{-1}$). Entonces $\det R=1/\det Q=1$. Comprobación directa despejando (U p.137): $$\bar u_2=\bar u'_3,\qquad\bar u_1=\bar u'_2+\bar u'_3,\qquad\bar u_3=\bar u'_1-\bar u'_2-\bar u'_3,$$ $$R=Q^{-1}=\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&-1\\1&1&-1\end{pmatrix},\qquad\det R=1.$$
5. Respuesta: A) 1, con cualquiera de las dos lecturas.

Error típico: poner las coordenadas por filas (da $Q^t$; el determinante coincide pero la matriz está mal); olvidar los ceros; equivocarse de signo en el adjunto y contestar B. Sobre la oficial: correcta (A), pero solo da la matriz y la opción, sin calcular el determinante ni aclarar el sentido.

Si $\mathcal B=\{\bar v_1,\bar v_2,\bar v_3\}$ y $\mathcal B'=\{\bar u_1,\bar u_2,\bar u_3\}$ son bases de $\mathbb R^3$, cuyos vectores están relacionados por $\bar u_1=2\bar v_1-\bar v_2$, $\bar u_2=5\bar v_1-\bar v_3$ y $\bar u_3=4\bar v_2$, calcule el determinante de la matriz de cambio de coordenadas respecto de $\mathcal B'$ a coordenadas respecto de $\mathcal B$.

Qué se pide. Ahora el sentido está claro: se parte de coordenadas en $\mathcal B'$ y se quieren las de $\mathcal B$: la $Q$ de $x_{\mathcal B}=Qx_{\mathcal B'}$ (Def. 3.14). Como el resultado no será $\pm1$, el sentido sí importa.

1. Por qué la matriz se construye así. Sea $w=\alpha_1\bar u_1+\alpha_2\bar u_2+\alpha_3\bar u_3$, con coordenadas $(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)_{\mathcal B'}$. Sustituyendo los $\bar u_j$: $$w=(2\alpha_1+5\alpha_2)\bar v_1+(-\alpha_1+4\alpha_3)\bar v_2+(-\alpha_2)\bar v_3.$$

   Las coordenadas en $\mathcal B$ son

   $$\beta_1=2\alpha_1+5\alpha_2,\qquad\beta_2=-\alpha_1+4\alpha_3,\qquad\beta_3=-\alpha_2.$$
2. Matriz. Los coeficientes fila a fila; sus columnas son las coordenadas de $\bar u_1,\bar u_2,\bar u_3$ en $\mathcal B$: $$\begin{pmatrix}\beta_1\\\beta_2\\\beta_3\end{pmatrix}=\underbrace{\begin{pmatrix}2&5&0\\-1&0&4\\0&-1&0\end{pmatrix}}_{Q}\begin{pmatrix}\alpha_1\\\alpha_2\\\alpha_3\end{pmatrix}.$$
3. Determinante. Desarrollo por la 3.ª fila, cuyo único elemento no nulo es el $-1$ de la posición $(3,2)$, con signo $(-1)^{3+2}=-1$ y menor $\begin{vmatrix}2&0\\-1&4\end{vmatrix}=8$: $$\det Q=(-1)\cdot(-1)\cdot8=8.$$
4. Comprobación de sentido. El cambio contrario, de $\mathcal B$ a $\mathcal B'$, tendría determinante $1/8$. La respuesta pedida es $|Q|=\mathbf{8}$.

Error típico: contestar $1/8$ por invertir el sentido; confundir los nombres de las bases ($\mathcal B'$ está formada por los $\bar u$). Sobre la oficial: el resultado (8) es correcto, pero tiene una errata («$\beta_2\bar u_2$» donde debía decir $\beta_2\bar v_2$) y llama $A$ a la matriz de cambio.

Sea $f(x_1,x_2)=(-7x_1+6x_2,\ -9x_1+8x_2)$ una aplicación lineal de $\mathbb R^2$ en $\mathbb R^2$ respecto a la base canónica. Halle la matriz asociada a $f$ con respecto a la base $B=\{(1,-1),(1,1)\}$. (El 2.º apartado, «estudie si $f$ es diagonalizable…», es del tema 4.3.)

Qué se pide. $f$ es un endomorfismo. «La matriz respecto a la base $B$» significa $B$ en la salida y en la llegada. Conocemos la matriz en la canónica $C$ y queremos la de $B$. El 1.er apartado ya se resolvió por la Def. 3.4 en el tema 3.3; aquí se rehace por la fórmula $Q^{-1}AQ$ y se comparan las dos vías.

1. Matriz en la canónica (Def. 3.4): $$A=\begin{pmatrix}-7&6\\-9&8\end{pmatrix}.$$
2. Matriz de cambio $Q$ de $B$ (nueva) a $C$ (antigua): columnas = vectores de $B$, $$Q=\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix},\qquad\det Q=1+1=2\neq0$$

   (confirma que $B$ es base).

3. Fórmula (Def. 3.15 con $P=Q$): $A_B=Q^{-1}AQ$.
4. Inversa (adjunta, $2\times2$): $$Q^{-1}=\frac12\begin{pmatrix}1&-1\\1&1\end{pmatrix}.$$

   Comprobación:

   $$\frac12\begin{pmatrix}1&-1\\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix}=\frac12\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}=I\ ✓$$
5. Producto (asociativo, pero sin cambiar el orden): $$Q^{-1}A=\frac12\begin{pmatrix}-7+9&6-8\\-7-9&6+8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-1\\-8&7\end{pmatrix},$$ $$A_B=\begin{pmatrix}1&-1\\-8&7\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&0\\-15&-1\end{pmatrix}.$$
6. Comparación con la otra vía. Las columnas $(2,-15)_B$ y $(0,-1)_B$ de $A_B$ son las mismas que se obtienen en el tema 3.3 por la Def. 3.4. Aquí $$AQ=\begin{pmatrix}-13&-1\\-17&-1\end{pmatrix}$$

   junta las imágenes $f(1,-1)$ y $f(1,1)$, y $Q^{-1}$ las pasa a coordenadas en $B$.

7. Comprobación con un vector. $v=(2,1)_B=2(1,-1)+1(1,1)=(3,-1)$. Directamente $f(3,-1)=(-27,-35)$. Con la nueva matriz, $$A_B\binom21=\binom4{-31},\qquad4(1,-1)-31(1,1)=(-27,-35)\ ✓$$
8. Control rápido. Traza ($2-1=1$) y determinante ($-2$) coinciden con los de $A$ ($-7+8=1$; $-56+54=-2$): $\det(Q^{-1}AQ)=\det A$.

Error típico: (a) invertir el orden y calcular $QAQ^{-1}=\begin{pmatrix}-1&15\cr0&2\end{pmatrix}$, que es la matriz en otra base (el control del determinante no lo detecta; la comprobación con un vector sí); (b) poner los vectores de $B$ en filas, que da otra vez $\begin{pmatrix}-1&15\cr0&2\end{pmatrix}$; (c) dejar el resultado como $AQ$. Sobre la oficial: correcta, pero llama $B$ a la vez a la base y a la matriz de cambio. Enlace natural con el 2.º apartado (tema 4.3): con $P=\begin{pmatrix}2&1\cr3&1\end{pmatrix}$, cuyas columnas son vectores propios, la misma fórmula da $P^{-1}AP=\begin{pmatrix}2&0\cr0&-1\end{pmatrix}$ (diagonal).