Operaciones con aplicaciones lineales y con matrices

Si $f_A(x_1,x_2)=(x_1,2x_2)$ y $f_B(x_1,x_2)=(x_1-x_2,-x_1+x_2)$ son endomorfismos de $\mathbb R^2$, se pide comprobar si es cierta alguna de las opciones siguientes: A) Las filas de la matriz asociada a $f_A+2f_B$ son $(3,-2)$ y $(-2,4)$. B) Las filas de la matriz asociada a $2f_B$ son $(2,-1)$ y $(-2,1)$. C) Las filas de la asociada a $f_A\circ f_B$ son $(1,-2)$ y $(-1,2)$. D) Las filas de la asociada a $f_B\circ f_A$ son $(1,-1)$.

Qué se pide. Hay dos endomorfismos de $\mathbb R^2$ y hay que hallar la matriz (en la base canónica, porque no se dice otra) de cuatro aplicaciones construidas con ellos: una combinación $f_A+2f_B$, un múltiplo $2f_B$ y las dos composiciones. Después se comparan sus filas con las de cada opción. Puede haber varias ciertas.

1. Matriz de $f_A$ (Def. 3.4, U p.116; columna $j$ = $f_A(e_j)$): $$f_A(1,0)=(1,0),\quad f_A(0,1)=(0,2)\ \Rightarrow\ A=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}.$$
2. Matriz de $f_B$: $$f_B(1,0)=(1,-1),\quad f_B(0,1)=(-1,1)\ \Rightarrow\ B=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix}.$$

   Comprobación con $Y=BX$:

   $$\begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix}\binom{x_1}{x_2}=\binom{x_1-x_2}{-x_1+x_2}\ ✓$$
3. Opción A: $f_A+2f_B$. Ambas van de $\mathbb R^2$ a $\mathbb R^2$, así que se pueden sumar (Def. 3.5). Su matriz es $A+2B$ (Def. 3.7 y 3.10): $$A+2B=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2&-2\\-2&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&-2\\-2&4\end{pmatrix}.$$

   Filas $(3,-2)$ y $(-2,4)$: A es cierta. Con la definición:

   $$(f_A+2f_B)(x_1,x_2)=(x_1,2x_2)+2(x_1-x_2,-x_1+x_2)=(3x_1-2x_2,\ -2x_1+4x_2)\ ✓$$
4. Opción B: $2f_B$. Se multiplica cada elemento por 2: $$2B=\begin{pmatrix}2&-2\\-2&2\end{pmatrix}.$$

   Filas $(2,-2)$ y $(-2,2)$, no $(2,-1)$ y $(-2,1)$: B es falsa. (Error de la opción: multiplicar por 2 solo la primera columna. Contraejemplo: $2f_B(0,1)=(-2,2)$, pero la matriz propuesta envía $(0,1)$ a $(-1,1)$.)

5. Opción C: $f_A\circ f_B$. Primero actúa $f_B$ y después $f_A$, así que la matriz es $AB$ (la de $f_A$ a la izquierda): $$AB=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-1\\-2&2\end{pmatrix}.$$

   Filas $(1,-1)$ y $(-2,2)$, no $(1,-2)$ y $(-1,2)$: C es falsa. Con la definición:

   $$f_A(f_B(x_1,x_2))=f_A(x_1-x_2,-x_1+x_2)=(x_1-x_2,\ -2x_1+2x_2)\ ✓$$

   De dónde sale la opción C: sus filas son las de $BA$ (siguiente paso), la matriz de $f_B\circ f_A$: es la trampa del orden.

6. Opción D: $f_B\circ f_A$. Primero $f_A$, luego $f_B$; matriz $BA$: $$BA=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-2\\-1&2\end{pmatrix}.$$

   Comprobación:

   $$f_B(f_A(x_1,x_2))=f_B(x_1,2x_2)=(x_1-2x_2,\ -x_1+2x_2)\ ✓$$

   La opción D da una sola fila $(1,-1)$: sería una matriz $1\times2$, una aplicación $\mathbb R^2\to\mathbb R$, pero $f_B\circ f_A$ va de $\mathbb R^2$ a $\mathbb R^2$ y su matriz es $2\times2$. Además la primera fila de $BA$ es $(1,-2)$. D es falsa.

7. Conclusión: solo A es cierta (coincide con E pp.106-107).
8. Observación (no conmutatividad): $$AB=\begin{pmatrix}1&-1\\-2&2\end{pmatrix}\neq\begin{pmatrix}1&-2\\-1&2\end{pmatrix}=BA:$$

   $f_A\circ f_B\neq f_B\circ f_A$ aunque ambas existan y sean del mismo tamaño (U p.128). (Verificado con sympy.)

Error típico: para $f_A\circ f_B$ multiplicar $BA$ «porque $f_B$ actúa primero» (opción C). El orden de escritura de $f_A\circ f_B$ y de $AB$ es el mismo; es el orden de aplicación el que va al revés: $(f_A\circ f_B)(X)=A(BX)=(AB)X$.

Nota sobre el libro: E no dice por qué fallan B, C y D, y escribe «$f_B(f_A)(x)$» por $f_B(f_A(x))$. Teoría: Def. 3.5-3.10, U pp.118-121 · Def. 3.11-3.12, U pp.124-126.

La composición de aplicaciones lineales verifica: A) Es conmutativa. B) La composición de dos aplicaciones no nulas puede ser nula. C) Existe una aplicación neutra para la composición.

Qué se pide. Decidir qué propiedades tiene la operación «componer». Una afirmación general («es conmutativa») se refuta con un contraejemplo; una afirmación de existencia («puede ser nula») se prueba con un ejemplo. Se razona con matrices porque la matriz de $f\circ g$ es $AB$.

1. Opción A (conmutativa): falsa. Conmutativa significaría $f\circ g=g\circ f$ para todo par. Hay dos formas de que falle:
   • (a) Una composición no existe (ejemplo de E). Sean $f_A:\mathbb R^2\to\mathbb R^2$ y $f_B:\mathbb R^3\to\mathbb R^2$ con $$A=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&2\end{pmatrix}.$$ $f_A\circ f_B$ existe ($\mathbb R^3\to\mathbb R^2\to\mathbb R^2$), pero $f_B\circ f_A$ no: $f_A$ devuelve vectores de $\mathbb R^2$ y $f_B$ solo actúa sobre $\mathbb R^3$ (con matrices, $BA$ no se puede calcular: $B$ tiene 3 columnas y $A$ tiene 2 filas).
   • (b) Ambas existen y son distintas (añadido; más convincente). Con los endomorfismos del Ej. 3.30: $$AB=\begin{pmatrix}1&-1\\-2&2\end{pmatrix}\neq BA=\begin{pmatrix}1&-2\\-1&2\end{pmatrix}.$$ Numéricamente: $(f_A\circ f_B)(1,0)=f_A(1,-1)=(1,-2)$ pero $(f_B\circ f_A)(1,0)=f_B(1,0)=(1,-1)$.
2. Opción B (dos no nulas pueden dar la nula): cierta. Con el ejemplo (a): $f_A\neq0$ (envía $(1,0)$ a $(1,0)$) y $f_B\neq0$ (envía $(0,1,0)$ a $(0,1)$), pero $$AB=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}.$$

   Con aplicaciones:

   $$f_A(f_B(x_1,x_2,x_3))=f_A(0,\,x_2+2x_3)=(0,0)\quad\text{para todo vector.}$$

   Por qué ocurre: todo lo que sale de $f_B$ está en el eje $x_2$ ($\operatorname{Im}f_B$) y ese eje es justo lo que $f_A$ anula ($\operatorname{Nuc}f_A$). En general, $f\circ g=0\iff\operatorname{Im}g\subseteq\operatorname{Nuc}f$. Ejemplo más corto: $N=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$, $f_N(x_1,x_2)=(x_2,0)$ es no nula pero $N^2=0$. Consecuencia: con matrices no vale «si $AB=0$ entonces $A=0$ o $B=0$».

3. Opción C (existe neutro): cierta, con un matiz. Para $f:V\to W$ se cumple $f\circ i_V=f$ e $i_W\circ f=f$ (U p.128), porque $$f(i_V(x))=f(x),\qquad i_W(f(x))=f(x).$$

   Con matrices, $AI_m=A$ e $I_nA=A$ si $A$ es $n\times m$. Por ejemplo con $B$ del apartado (a) ($2\times3$): $BI_3=B$, $I_2B=B$, mientras que $BI_2$ ni siquiera está definida. Matiz: si $V\neq W$ las dos identidades son distintas; en endomorfismos de un mismo $V$ hay un único neutro $i_V$ (matriz $I$).

4. Conclusión: B y C son ciertas, A es falsa (coincide con E p.108). (Verificado con sympy.)

Error típico: trasladar reglas de los números: «$AB=BA$», «$AB=0\Rightarrow A=0$ o $B=0$», «$(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$».

Nota sobre el libro: el libro lo dice solo de pasada («la matriz unidad correspondiente»), sin distinguir $i_V$ de $i_W$. Teoría: propiedades, U p.128.

Sean $f,g:\mathbb R^2\to\mathbb R^3$, $f(x,y)=(x+2y,\ y,\ -x+y)$ y $g(x,y)=(x,\ 2x-y,\ 3y)$. Halla la matriz de $3f-2g$ en las bases canónicas y la imagen de $(1,-1)$.

Qué se pide. La matriz $3\times2$ de la combinación y su valor en un vector, comprobado con la definición.

1. Se puede operar: $f$ y $g$ tienen el mismo espacio inicial ($\mathbb R^2$) y final ($\mathbb R^3$) (Def. 3.5): ambas matrices son $3\times2$.
2. Matrices (columnas $f(e_1)$, $f(e_2)$): $$f(1,0)=(1,0,-1),\ f(0,1)=(2,1,1);\qquad g(1,0)=(1,2,0),\ g(0,1)=(0,-1,3),$$ $$F=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\\-1&1\end{pmatrix},\qquad G=\begin{pmatrix}1&0\\2&-1\\0&3\end{pmatrix}.$$
3. Combinación (Def. 3.7 y 3.10): $$3F-2G=\begin{pmatrix}3&6\\0&3\\-3&3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2&0\\4&-2\\0&6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&6\\-4&5\\-3&-3\end{pmatrix}.$$

   Ecuaciones:

   $$(3f-2g)(x,y)=(x+6y,\ -4x+5y,\ -3x-3y).$$
4. Imagen de $(1,-1)$ con $Y=(3F-2G)X$: $$\begin{pmatrix}1-6\\-4-5\\-3+3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-5\\-9\\0\end{pmatrix}.$$
5. Comprobación por la definición: $$f(1,-1)=(-1,-1,-2),\qquad g(1,-1)=(1,3,-3),$$ $$3(-1,-1,-2)-2(1,3,-3)=(-5,-9,0)\ ✓$$

Error típico: intentar sumar $f:\mathbb R^2\to\mathbb R^3$ con $h:\mathbb R^3\to\mathbb R^2$: ni la suma de aplicaciones ni la de matrices ($3\times2$ y $2\times3$) está definida.

Sean $f:\mathbb R^3\to\mathbb R^2$, $f(x,y,z)=(x+z,\ y-z)$ y $g:\mathbb R^2\to\mathbb R^3$, $g(x,y)=(x,\ x+y,\ y)$. a) Di qué composiciones $f\circ g$, $g\circ f$ existen, entre qué espacios van y su matriz. b) Con $p(x,y)=(x+y,\ y)$ y $q(x,y)=(x,\ x)$ (endomorfismos de $\mathbb R^2$), comprueba que $p\circ q\neq q\circ p$.

Qué se pide. Hallar el diagrama de espacios, las matrices de las composiciones y comprobar la no conmutatividad con un contraejemplo.

1. Diagramas (Def. 3.11): $$\mathbb R^2\xrightarrow{g}\mathbb R^3\xrightarrow{f}\mathbb R^2\ \Rightarrow\ f\circ g:\mathbb R^2\to\mathbb R^2;\qquad\mathbb R^3\xrightarrow{f}\mathbb R^2\xrightarrow{g}\mathbb R^3\ \Rightarrow\ g\circ f:\mathbb R^3\to\mathbb R^3.$$

   Existen las dos.

2. Matrices: $$A=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&-1\end{pmatrix}\ (f,\ 2\times3),\qquad B=\begin{pmatrix}1&0\\1&1\\0&1\end{pmatrix}\ (g,\ 3\times2).$$
3. $f\circ g$, matriz $AB$ ($(2\times3)(3\times2)=2\times2$): $$AB=\begin{pmatrix}1+0+0&0+0+1\\0+1+0&0+1-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix},\qquad(f\circ g)(x,y)=(x+y,\ x).$$

   Comprobación:

   $$f(g(x,y))=f(x,\,x+y,\,y)=(x+y,\ (x+y)-y)=(x+y,\ x)\ ✓$$
4. $g\circ f$, matriz $BA$ ($(3\times2)(2\times3)=3\times3$): $$BA=\begin{pmatrix}1&0&1\\1&1&0\\0&1&-1\end{pmatrix},\qquad(g\circ f)(x,y,z)=(x+z,\ x+y,\ y-z).$$

   Comprobación:

   $$g(x+z,\ y-z)=(x+z,\ x+z+y-z,\ y-z)\ ✓$$

   $AB$ y $BA$ ni siquiera tienen el mismo tamaño.

5. b) Mismo espacio, aun así distintas. $$P=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix},\qquad Q=\begin{pmatrix}1&0\\1&0\end{pmatrix},$$ $$PQ=\begin{pmatrix}2&0\\1&0\end{pmatrix}\ (p\circ q),\qquad QP=\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}\ (q\circ p).$$

   Contraejemplo numérico:

   $$(p\circ q)(0,1)=p(0,0)=(0,0),\qquad(q\circ p)(0,1)=q(1,1)=(1,1).$$

Error típico: pensar que si las dos composiciones existen y son del mismo tamaño entonces coinciden.

Sea $f:\mathbb R^2\to\mathbb R^2$, $f(x,y)=(2x+y,\ x+y)$, e $i$ la identidad de $\mathbb R^2$. a) Halla la matriz de $f\circ f$ y comprueba que $f\circ f-3f+i=0$ (aplicación nula). b) Deduce, sin multiplicar más matrices, que $f\circ(3i-f)=i$ y $(3i-f)\circ f=i$; da la fórmula de $3i-f$. c) Expresa $f^3=f\circ f\circ f$ y $f^4$ como $\alpha f+\beta i$ y calcula $f^3(1,0)$.

Qué se pide. Usar las propiedades de la composición (distributiva, identidad) para trabajar con «polinomios» en $f$ sin recalcular matrices.

1. Matriz de $f$: $$f(1,0)=(2,1),\quad f(0,1)=(1,1)\ \Rightarrow\ A=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix};$$

   la de $i$ es $I$.

2. a) $f\circ f$: matriz $$A\cdot A=A^2=\begin{pmatrix}4+1&2+1\\2+1&1+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&3\\3&2\end{pmatrix}.$$

   La matriz de $f\circ f-3f+i$ es

   $$A^2-3A+I=\begin{pmatrix}5&3\\3&2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}6&3\\3&3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}.$$

   Matriz nula $\Rightarrow$ aplicación nula (la correspondencia es biyectiva, U p.118). Comprobación:

   $$f(f(1,0))=f(2,1)=(5,3),\qquad(5,3)-3(2,1)+(1,0)=(0,0)\ ✓$$
3. b) Factorizar. De a), $3f-f\circ f=i$. Por la distributiva, $f\circ(\lambda g)=\lambda(f\circ g)$ (para sacar el 3) y las identidades (U p.128): $$f\circ(3i-f)=3(f\circ i)-f\circ f=3f-f\circ f=i;$$

   e igual por la otra distributiva, $(3i-f)\circ f=3f-f\circ f=i$. Fórmula:

   $$(3i-f)(x,y)=(3x,3y)-(2x+y,\ x+y)=(x-y,\ -x+2y),\qquad3I-A=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}.$$

   Comprobación:

   $$A(3I-A)=\begin{pmatrix}2-1&-2+2\\1-1&-1+2\end{pmatrix}=I\ ✓$$

   (Anticipo de §3.5: $3i-f$ «deshace» $f$; será la aplicación inversa, y $3I-A$ la matriz inversa de $A$.)

4. c) Potencias. Con $f\circ f=3f-i$ y la distributiva: $$f^3=f\circ(3f-i)=3\,f\circ f-f=3(3f-i)-f=8f-3i,$$ $$f^4=f\circ f^3=8\,f\circ f-3f=8(3f-i)-3f=21f-8i.$$

   Matrices:

   $$A^3=8A-3I=\begin{pmatrix}13&8\\8&5\end{pmatrix},\qquad A^4=21A-8I=\begin{pmatrix}34&21\\21&13\end{pmatrix}.$$

   $f^3(1,0)=8(2,1)-3(1,0)=(13,8)$; directo:

   $$f(1,0)=(2,1),\quad f(2,1)=(5,3),\quad f(5,3)=(13,8)\ ✓$$

Error típico: confundir $f\circ f$ (matriz $A^2$, producto de matrices) con «elevar al cuadrado cada elemento» de $A$ ($\begin{pmatrix}4&1\cr1&1\end{pmatrix}\neq A^2$).

Considerando las aplicaciones lineales $f:\mathbb R\to\mathbb R^3$ definidas por $f(y)=(y,0,2y)$ y $g:\mathbb R^2\to\mathbb R$ por $g(x_1,x_2)=x_1-x_2$, calcular la matriz asociada a $f\circ g$ en las bases canónicas.

Qué se pide. $f\circ g$ es «primero $g$, después $f$»: $\mathbb R^2\xrightarrow{g}\mathbb R\xrightarrow{f}\mathbb R^3$. Su matriz en canónicas es $3\times2$. (Es exactamente el Ej. 3.23-3.25 de U, con las mismas $f$ y $g$.)

1. ¿Se puede componer? $g$ llega a $\mathbb R$ y $f$ sale de $\mathbb R$: sí (Def. 3.11).
2. Matriz de $g$: $$g(1,0)=1,\quad g(0,1)=-1\ \Rightarrow\ B=\begin{pmatrix}1&-1\end{pmatrix}\ (1\times2).$$
3. Matriz de $f$: la base canónica de $\mathbb R$ es $\{1\}$ y $f(1)=(1,0,2)$: $$A=\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}\ (3\times1).$$
4. Tamaños: $(3\times1)(1\times2)=3\times2$ ✓.
5. Producto (Def. 3.12): $$C=AB=\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\cdot1&1\cdot(-1)\\0\cdot1&0\cdot(-1)\\2\cdot1&2\cdot(-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-1\\0&0\\2&-2\end{pmatrix}.$$
6. Comprobación por sustitución: $$(f\circ g)(x_1,x_2)=f(x_1-x_2)=(x_1-x_2,\ 0,\ 2x_1-2x_2),$$

   cuya matriz es la misma ✓.

Error típico: calcular $BA=\begin{pmatrix}1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\cr0\cr2\end{pmatrix}$: con estos tamaños ni se puede ($1\times2$ por $3\times1$), y $g\circ f$ no existe.

Sobre la oficial: correcta, pero solo remite al Ej. 3.24 de U y da la matriz.

Sean $f:\mathbb R\to\mathbb R^3$ y $g:\mathbb R^2\to\mathbb R$ las aplicaciones lineales definidas por $f(x)=(0,5x,x)$ y $g(x,y)=2x+y$. Halle la representación matricial de la aplicación compuesta $f\circ g$.

Qué se pide. La expresión $Y=CX$ (Def. 3.13, U p.126) de $f\circ g:\mathbb R^2\to\mathbb R^3$ en canónicas, con $C$ de tamaño $3\times2$.

1. Cadena: $\mathbb R^2\xrightarrow{g}\mathbb R\xrightarrow{f}\mathbb R^3$: se puede componer.
2. Matrices: $$g(1,0)=2,\ g(0,1)=1\ \Rightarrow\ A_g=\begin{pmatrix}2&1\end{pmatrix}\ (1\times2),$$ $$f(1)=(0,5,1)\ \Rightarrow\ A_f=\begin{pmatrix}0\\5\\1\end{pmatrix}\ (3\times1).$$
3. Producto ($g$ actúa primero, va a la derecha): $$C=A_fA_g=\begin{pmatrix}0\\5\\1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\10&5\\2&1\end{pmatrix}.$$
4. Representación matricial: $$(f\circ g)(x,y)=\begin{pmatrix}0&0\\10&5\\2&1\end{pmatrix}\binom xy=\begin{pmatrix}0\\10x+5y\\2x+y\end{pmatrix}.$$
5. Comprobación: $$f(g(x,y))=f(2x+y)=(0,\ 5(2x+y),\ 2x+y)\ ✓$$

Error típico: escribir $A_f$ como fila $(0\ 5\ 1)$: tiene 3 filas (dimensión de llegada) y 1 columna. Sobre la oficial: correcta.

Sean $f:\mathbb R^2\to\mathbb R^3$ y $g:\mathbb R^3\to\mathbb R$ las aplicaciones lineales definidas por $f(x,y)=(x+y,\ 5y,\ -2x)$ y $g(x,y,z)=3x-y+z$. Halle la representación matricial de la aplicación compuesta $g\circ f$ y calcule $(g\circ f)(3,2)$.

Qué se pide. Ahora el orden es el contrario: $g\circ f$ = «primero $f$, después $g$»: $\mathbb R^2\xrightarrow{f}\mathbb R^3\xrightarrow{g}\mathbb R$. Matriz $1\times2$ y su valor en $(3,2)$.

1. ¿Se puede componer? $f$ llega a $\mathbb R^3$, donde sale $g$: sí. (Al revés, $f\circ g$ no existe: $g$ llega a $\mathbb R$ y $f$ sale de $\mathbb R^2$.)
2. Matrices: $$f(1,0)=(1,0,-2),\ f(0,1)=(1,5,0)\ \Rightarrow\ A_f=\begin{pmatrix}1&1\\0&5\\-2&0\end{pmatrix}\ (3\times2),$$ $$A_g=\begin{pmatrix}3&-1&1\end{pmatrix}\ (1\times3).$$
3. Producto ($f$ actúa primero, $A_f$ a la derecha): $(1\times3)(3\times2)=1\times2$: $$A_gA_f=\begin{pmatrix}3&-1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\0&5\\-2&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3-0-2&\ 3-5+0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-2\end{pmatrix}.$$
4. Representación: $$(g\circ f)(x,y)=\begin{pmatrix}1&-2\end{pmatrix}\binom xy=x-2y.$$
5. Valor: $$(g\circ f)(3,2)=3-4=-1.$$
6. Comprobación sin matrices: $$f(3,2)=(5,10,-6),\qquad g(5,10,-6)=15-10-6=-1\ ✓$$

Error típico: calcular $A_fA_g$ ($3\times2$ por $1\times3$: no se puede) o confundir $g\circ f$ con $f\circ g$. Sobre la oficial: correcta.

Hallar la aplicación lineal $h$ definida por $f\circ g$ ($f$ compuesta con $g$) siendo $f(x_1,x_2)=(x_1,\ x_2-x_1,\ 3x_1)$ y $g(y_1,y_2)=(2y_1-y_2,\ 0)$.

Qué se pide. La fórmula de $h$. Hay que deducir los espacios: $g:\mathbb R^2\to\mathbb R^2$ y $f:\mathbb R^2\to\mathbb R^3$, luego $h:\mathbb R^2\to\mathbb R^3$.

1. ¿Se puede componer? $g$ llega a $\mathbb R^2$ y $f$ sale de $\mathbb R^2$: sí.
2. Sustitución (Def. 3.11): $(x_1,x_2)=g(y_1,y_2)=(2y_1-y_2,\ 0)$ y se lleva a $f$ (componentes $x_1$, $x_2-x_1$, $3x_1$): $$h(y_1,y_2)=f(2y_1-y_2,\ 0)=\big(2y_1-y_2,\ -(2y_1-y_2),\ 3(2y_1-y_2)\big)$$ $$=(2y_1-y_2,\ -2y_1+y_2,\ 6y_1-3y_2).$$
3. Comprobación con matrices: $$A_f=\begin{pmatrix}1&0\\-1&1\\3&0\end{pmatrix},\quad A_g=\begin{pmatrix}2&-1\\0&0\end{pmatrix},\quad A_fA_g=\begin{pmatrix}2&-1\\-2&1\\6&-3\end{pmatrix},$$

   cuyas filas son los coeficientes de las tres componentes de $h$ ✓.

4. Observación. $g\circ f$ no se puede formar ($f$ llega a $\mathbb R^3$ y $g$ sale de $\mathbb R^2$). Y $h$ tiene rango 1 (columnas proporcionales) porque ya la imagen de $g$ es $\langle(1,0)\rangle$.

Error típico: sustituir mal la posición, olvidando que la 2.ª componente de $f$ es $x_2-x_1$ con $x_2=0$; o hacer $g(f(\cdot))$. Sobre la oficial: correcta (da solo la fórmula).

Consideremos $f:\mathbb R\to\mathbb R^5$, $g:\mathbb R^3\to\mathbb R^2$ y $h:\mathbb R^2\to\mathbb R^4$ definidas por $f(x)=(x,\ 2+x,\ 3x,\ 4x,\ 5x)$, $g(x,y,z)=(x+y+z,\ -5x-5y-5z)$ y $h(x,y)=(4x-5y,\ y,\ x,\ -3x+7y)$. [1.er apartado: ¿$f$ lineal? → tema 3.1; 2.º: núcleo e imagen de $g$ → tema 3.2.] Calcule la matriz asociada a la aplicación lineal $h\circ g$.

Qué se pide. $h\circ g:\mathbb R^3\xrightarrow{g}\mathbb R^2\xrightarrow{h}\mathbb R^4$; su matriz en canónicas es $4\times3$. ($f$ no interviene.)

1. ¿Se puede componer? $g$ llega a $\mathbb R^2$ y $h$ sale de $\mathbb R^2$: sí.
2. Matrices (fila $i$ = coeficientes de la componente $i$): $$A_g=\begin{pmatrix}1&1&1\cr-5&-5&-5\end{pmatrix}\ (2\times3),\qquad A_h=\begin{pmatrix}4&-5\cr0&1\cr1&0\cr-3&7\end{pmatrix}\ (4\times2).$$
3. Producto $A_hA_g$, de tamaño $(4\times2)(2\times3)=4\times3$. La columna $j$ de $A_hA_g$ es $A_h$ por la columna $j$ de $A_g$, y las tres columnas de $A_g$ son iguales a $\binom{1}{-5}$: $$A_h\begin{pmatrix}1\cr-5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4+25\cr-5\cr1\cr-3-35\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}29\cr-5\cr1\cr-38\end{pmatrix}\ \Rightarrow\ A_hA_g=\begin{pmatrix}29&29&29\cr-5&-5&-5\cr1&1&1\cr-38&-38&-38\end{pmatrix}.$$
4. Comprobación por sustitución. Con $u=x+y+z$, $v=-5u$: $h(u,v)=(4u-5v,\ v,\ u,\ -3u+7v)=(29u,\ -5u,\ u,\ -38u)$ ✓.
5. Interpretación (tema 3.2). $\operatorname{rang}A_h=2$ (sus columnas $(4,0,1,-3)$ y $(-5,1,0,7)$ son independientes), luego $h$ es inyectiva y $\operatorname{Nuc}(h\circ g)=\operatorname{Nuc}g=\{x+y+z=0\}$, de dimensión $3-1=2$; por eso el rango de $h\circ g$ es $3-2=1$. Su imagen es $h(\operatorname{Im}g)=\langle(29,-5,1,-38)\rangle$.

Error típico: calcular $A_gA_h$ ($2\times3$ por $4\times2$: imposible) o meter $f$ en la composición; o tomar $A_g$ como $3\times2$ (imágenes en filas). Sobre la oficial: correcta.

Sea $f=3g-5h:\mathbb R^2\to\mathbb R^3$, en donde $g,h:\mathbb R^2\to\mathbb R^3$ son las aplicaciones $g(x,y)=(-y,\ 4y+7x,\ 3x)$ y $h(x,y)=\begin{pmatrix}1&-5\cr-3&0\cr2&-6\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\cr y\end{pmatrix}$. Halle la representación matricial de $f$.

Qué se pide. La matriz $3\times2$ de $f$ en canónicas y la expresión $Y=AX$. $h$ viene en forma matricial y $g$ en forma de fórmula: hay que poner las dos en el mismo formato.

1. ¿Se puede sumar? $g$ y $h$ van de $\mathbb R^2$ en $\mathbb R^3$: sí; $f$ tiene matriz $3\times2$.
2. Matriz de $g$. Cuidado con el orden de las variables: la 2.ª componente es $4y+7x=7x+4y$: $$A_g=\begin{pmatrix}0&-1\cr7&4\cr3&0\end{pmatrix}\quad\big(g(1,0)=(0,7,3),\ g(0,1)=(-1,4,0)\big).$$
3. Matriz de $h$: la dada, $A_h=\begin{pmatrix}1&-5\cr-3&0\cr2&-6\end{pmatrix}$ (ambas en canónicas, condición de la Def. 3.7).
4. Combinación (Def. 3.7 y 3.10): $$A_f=3A_g-5A_h=\begin{pmatrix}0&-3\cr21&12\cr9&0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}5&-25\cr-15&0\cr10&-30\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-5&22\cr36&12\cr-1&30\end{pmatrix}.$$
5. Representación: $f(x,y)=(-5x+22y,\ 36x+12y,\ -x+30y)$.
6. Comprobación con $(1,2)$ (Def. 3.5 y 3.8): $g(1,2)=(-2,15,3)$, $h(1,2)=(-9,-3,-10)$ y $3g-5h=(-6+45,\ 45+15,\ 9+50)=(39,60,59)$; y $A_f\binom12=(-5+44,\ 36+24,\ -1+60)=(39,60,59)$ ✓.

Error típico: leer mal $A_g$ por el orden de las variables ($4y+7x$ → poner $(4,7)$ en vez de $(7,4)$); multiplicar matrices en vez de sumarlas (una «$-$» entre aplicaciones no es composición); errores de signo al restar $5A_h$. Sobre la oficial: correcta.

Sean $f,g:\mathbb R^2\to\mathbb R^2$, $f(x,y)=(x+2y,\ 3x)$, $g(x,y)=(y,\ x-y)$. Halle la matriz de $2f-3g$ y compruébela en $(1,1)$.

Qué se pide. Matriz $2\times2$ de la combinación y comprobación con un vector.

1. Mismos espacios: se pueden combinar. $$A_f=\begin{pmatrix}1&2\\3&0\end{pmatrix},\qquad A_g=\begin{pmatrix}0&1\\1&-1\end{pmatrix}.$$
2. Combino las matrices: $$2A_f-3A_g=\begin{pmatrix}2&4\\6&0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0&3\\3&-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&1\\3&3\end{pmatrix}.$$
3. Comprobación en $(1,1)$: $$f(1,1)=(3,3),\quad g(1,1)=(1,0),\quad2(3,3)-3(1,0)=(3,6);\qquad\begin{pmatrix}2&1\\3&3\end{pmatrix}\binom11=\binom36\ ✓$$

Sean $f:\mathbb R^2\to\mathbb R^3$, $f(x,y)=(x,\ x+y,\ 2y)$ y $g:\mathbb R^3\to\mathbb R^2$, $g(x,y,z)=(x-z,\ y)$. Calcule las matrices de $g\circ f$ y de $f\circ g$. ¿Son iguales?

Qué se pide. Las dos matrices, con sus tamaños, y compararlas.

1. Cadenas: $g\circ f:\mathbb R^2\to\mathbb R^2$ (matriz $2\times2$); $f\circ g:\mathbb R^3\to\mathbb R^3$ (matriz $3\times3$). Ambas existen (como en U Ej. 3.27).
2. Matrices: $$A_f=\begin{pmatrix}1&0\\1&1\\0&2\end{pmatrix},\qquad A_g=\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&1&0\end{pmatrix}.$$
3. $g\circ f$: $$A_{g\circ f}=A_gA_f=\begin{pmatrix}1&-2\\1&1\end{pmatrix}.$$

   Sustitución: $g(x,\ x+y,\ 2y)=(x-2y,\ x+y)$ ✓.

4. $f\circ g$: $$A_{f\circ g}=A_fA_g=\begin{pmatrix}1&0&-1\\1&1&-1\\0&2&0\end{pmatrix}.$$

   Sustitución: $f(x-z,\ y)=(x-z,\ x-z+y,\ 2y)$ ✓.

5. No son iguales: ni siquiera tienen el mismo tamaño. Además $\det A_{g\circ f}=3\neq0$ mientras que $\det A_{f\circ g}=0$ ($f\circ g$ pasa por $\mathbb R^2$, así que su imagen tiene dimensión $\le2$).

El ejemplo propio 3 de la sección 5 ($f\circ f-3f+i=0$) es el ejercicio de examen típico sobre propiedades de la composición, con anticipo de la inversa de §3.5.