Aplicaciones lineales: conceptos y propiedades

Si $f:\mathbb R^2\to\mathbb R$ es la aplicación definida por $f(x_1,x_2)=x_1-x_2+1$, se pide: A) Calcular las imágenes de algunos vectores de $\mathbb R^2$. B) Comprobar si la aplicación dada, $f$, es lineal. C) Justificar si $f$ es un endomorfismo.

1. A) Imágenes. Se sustituye en $x_1-x_2+1$: $$f(5,2)=4,\quad f(0,0)=1,\quad f(-3,-2)=-3+2+1=0,$$ $$f(4,-2)=4+2+1=7,\quad f(-2,1)=-2-1+1=-2,\quad f(-7,-3)=-7+3+1=-3.$$
2. B) Atajo con el neutro. Toda aplicación lineal cumple $f(0)=0$ (P1). Aquí $$f(0,0)=1\neq0,$$

   luego $f$ no es lineal (Ej. U 3.7: basta $f(0)\neq0$).

3. B) Por la definición (lo que hace E). Con $x=(x_1,x_2)$, $y=(y_1,y_2)$: $$f(x+\lambda y)=x_1+\lambda y_1-x_2-\lambda y_2+1,$$ $$f(x)+\lambda f(y)=(x_1-x_2+1)+\lambda(y_1-y_2+1)=x_1-x_2+1+\lambda y_1-\lambda y_2+\lambda.$$

   La diferencia es $\lambda$, que no es $0$ si $\lambda\neq0$. Omisión de E: para concluir hay que decir que la igualdad falla para algún caso concreto, p. ej. $x=y=(0,0)$, $\lambda=1$:

   $$f(0,0)=1,\qquad f(0,0)+1\cdot f(0,0)=2.$$

   (La definición exige la igualdad para todos; un caso que falle basta.)

4. C) Endomorfismo = lineal y espacio inicial = final (E p.80). Aquí fallan las dos: no es lineal y $\mathbb R^2\neq\mathbb R$. No es endomorfismo.

Resultado: B) no lineal; C) no endomorfismo.

Nota sobre el libro. El resultado coincide; en B concluye sin indicar el caso concreto y en el texto digital el «$\neq$» se pierde.

Error típico: pensar que es lineal «porque es de grado 1»; el $+1$ la hace afín. Y al revés, deducir «es lineal» de $f(0)=0$.

Teoría: Def. 3.1, U p.101 · P1, U p.103 · Ej. U 3.4 y 3.7, U p.104

Si $f:\mathbb R^2\to\mathbb R^3$ es la aplicación definida por $f(x_1,x_2)=(2x_1,3x_1+x_2,x_1+x_2)$, se pide: A) Describir en qué consiste la aplicación dada. B) Escribir con lenguaje simbólico la definición de aplicación lineal entre los espacios vectoriales $V$ y $W$. C) Comprobar si la aplicación dada, $f$, es lineal. D) Justificar si $f$ es un endomorfismo.

1. A) Leer la aplicación. El espacio inicial es $\mathbb R^2$ (pares) y el final $\mathbb R^3$ (ternas). A cada par $(x_1,x_2)$ le asocia la terna cuya 1.ª componente es el doble de $x_1$, la 2.ª es $3x_1+x_2$ y la 3.ª es $x_1+x_2$. Por ejemplo $f(1,0)=(2,3,1)$ y $f(0,1)=(0,1,1)$. Es una aplicación porque cada par tiene una única imagen (U p.103).
2. B) Definición simbólica. $f:V\to W$ es lineal si $$f(x+\lambda y)=f(x)+\lambda f(y)\qquad\forall x,y\in V,\ \forall\lambda\in\mathbb R$$ (Def. 3.1, U p.101), o, por separado, $f(x+y)=f(x)+f(y)$ y $f(\lambda x)=\lambda f(x)$.
3. C) Vectores genéricos. $x=(x_1,x_2)$, $y=(y_1,y_2)$, $\lambda\in\mathbb R$; $x+\lambda y=(x_1+\lambda y_1,\ x_2+\lambda y_2)$.
4. Primer miembro (se aplica la fórmula a las componentes de $x+\lambda y$): $$f(x+\lambda y)=\begin{pmatrix}2(x_1+\lambda y_1)\cr3(x_1+\lambda y_1)+(x_2+\lambda y_2)\cr(x_1+\lambda y_1)+(x_2+\lambda y_2)\end{pmatrix}.$$
5. Segundo miembro: $$\begin{gathered}f(x)+\lambda f(y)=\cr\begin{pmatrix}2x_1\cr3x_1+x_2\cr{}x_1+x_2\end{pmatrix}\cr+\lambda\begin{pmatrix}2y_1\cr3y_1+y_2\cr{}y_1+y_2\end{pmatrix}\cr=\cr\begin{pmatrix}2x_1+2\lambda y_1\cr3x_1+x_2+3\lambda y_1+\lambda y_2\cr{}x_1+x_2+\lambda y_1+\lambda y_2\end{pmatrix}.\end{gathered}$$ Al desarrollar los paréntesis del primer miembro (propiedad distributiva) sale exactamente lo mismo componente a componente. Por la Def. 3.1, $f$ es lineal. (Técnica del Ej. U 3.2: desarrollar por separado los dos miembros.)
6. Alternativa por separado (como hace E). Suma: $f(x+y)=\big(2(x_1+y_1),\,3(x_1+y_1)+x_2+y_2,\,x_1+y_1+x_2+y_2\big)=f(x)+f(y)$. Escalares: $f(\lambda x)=(2\lambda x_1,\,3\lambda x_1+\lambda x_2,\,\lambda x_1+\lambda x_2)=\lambda f(x)$.
7. D) $f$ es lineal, pero el espacio inicial $\mathbb R^2$ no coincide con el final $\mathbb R^3$: no es endomorfismo.

Resultado: $f$ es lineal y no es endomorfismo.

Nota sobre el libro. En C, E escribe la imagen de $x+y$ con cuatro componentes (la tercera repetida): errata tipográfica; debe tener tres.

Error típico: escribir directamente $f(x+\lambda y)=f(x)+\lambda f(y)$ como primer paso, y confundir «lineal» con «endomorfismo».

Teoría: Def. 3.1, U p.101 · Ej. U 3.2, U p.102

Compruébese que no es endomorfismo la aplicación $f(x_1,x_2,x_3,x_4)=(x_1,1,x_3,1)$.

1. Espacios. Se sobreentiende $f:\mathbb R^4\to\mathbb R^4$ (el enunciado no lo dice). Como coinciden, la única forma de que no sea endomorfismo es que no sea lineal.
2. Atajo. $f(0,0,0,0)=(0,1,0,1)\neq(0,0,0,0)$. Por P1 una aplicación lineal lleva el neutro al neutro: $f$ no es lineal (Ej. U 3.7).
3. Por la definición (como E): $$\begin{gathered}f(x+\lambda y)=\cr\begin{pmatrix}x_1+\lambda y_1\cr1\cr{}x_3+\lambda y_3\cr1\end{pmatrix},\cr{}f(x)+\lambda f(y)=\cr\begin{pmatrix}x_1+\lambda y_1\cr1+\lambda\cr{}x_3+\lambda y_3\cr1+\lambda\end{pmatrix}.\end{gathered}$$ Las componentes 2.ª y 4.ª difieren en $\lambda$; con $\lambda=1$ no coinciden.
4. Conclusión. Al no ser lineal, no es endomorfismo.

Resultado: $f$ no es lineal, luego no es endomorfismo.

Nota sobre el libro. El enunciado no indica los espacios y la solución del libro tiene un paréntesis de más («$1))$»), errata tipográfica. Además se pierde un «$\neq$»: la frase que describe lo que no se verifica, «$f(x)+\lambda f(y)=f(x+\lambda y)$», debe leerse con $\neq$.

Error típico: creer que como $x_2$ y $x_4$ «desaparecen» es una proyección lineal: las componentes constantes $1$ la estropean.

Teoría: Def. 3.1, U p.101 · P1, U p.103 · Ej. U 3.7, U p.104

Siendo $f$ cualquier aplicación lineal de $\mathbb R^2$ en $\mathbb R^3$, se pide: A) Demostrar que $f(0,0)=(0,0,0)$. B) Comprobar si es cierta alguna de las igualdades: $5f(3,2)=f(15,2)$; $5f(3,2)=f(3,10)$; $5f(3,2)=f(15,10)$.

1. A) Idea. Solo sabemos que $f$ es lineal (no su fórmula), así que hay que usar la definición. Truco: el neutro es suma de sí mismo, $(0,0)=(0,0)+(0,0)$.
2. Aplicar la linealidad ($\lambda=1$): $$f(0,0)=f\big((0,0)+(0,0)\big)=f(0,0)+f(0,0).$$
3. Despejar. Sumando a ambos lados el opuesto $-f(0,0)\in\mathbb R^3$: $$f(0,0)-f(0,0)=f(0,0)+f(0,0)-f(0,0)\ \Rightarrow\ (0,0,0)=f(0,0).$$

   (Es la demostración del Ej. U 3.4.) Alternativa:

   $$f(0,0)=f(0\cdot(1,1))=0\cdot f(1,1)=(0,0,0).$$
4. B) Qué dice la linealidad. $f(\lambda y)=\lambda f(y)$, así que $$5f(3,2)=f\big(5\cdot(3,2)\big)=f(15,10):$$

   la tercera igualdad es siempre cierta.

5. Las otras dos. $5(3,2)=(15,10)$ es distinto de $(15,2)$ y de $(3,10)$; la linealidad no obliga a que $f(15,2)$ o $f(3,10)$ valgan $5f(3,2)$. No son ciertas en general (el Ej. 3.5 da un $f$ concreto en que fallan). Matiz: para alguna $f$ particular (la nula) podrían cumplirse.

Resultado: $f(0,0)=(0,0,0)$; solo $5f(3,2)=f(15,10)$ es cierta en general.

Error típico: multiplicar por el escalar solo una componente del vector original, como si $f$ fuera «lineal en cada variable por separado».

Teoría: Def. 3.1, U p.101 · P1, U p.103 · Ej. U 3.4, U p.104 · opuesto (S3), U p.58

Si $f$ es la aplicación lineal definida en el Ejercicio 3.2, se pide: comprobar que se verifican las respuestas dadas en el Ejercicio 3.4.

$f(x_1,x_2)=(2x_1,\,3x_1+x_2,\,x_1+x_2)$, lineal por el Ejercicio 3.2.

1. (A) $f(0,0)=(0,0,0)$ ✓ (concuerda con P1).
2. (B) Con la fórmula del Ej. 3.2: $$f(3,2)=(6,\ 9+2,\ 3+2)=(6,11,5)\ \Rightarrow\ 5f(3,2)=(30,55,25).$$
3. Comparo con las tres imágenes: $$f(15,2)=(30,\ 45+2,\ 17)=(30,47,17)\neq(30,55,25),$$ $$f(3,10)=(6,\ 9+10,\ 13)=(6,19,13)\neq(30,55,25),$$ $$f(15,10)=(30,\ 45+10,\ 25)=(30,55,25)=5f(3,2)\ ✓$$
4. Solo la tercera, como se predijo.

Resultado: se confirma lo del Ej. 3.4.

Nota sobre el libro. En el texto digital de E los «$\neq$» de los pasos 3 y 4 aparecen como «$=$» (símbolo perdido); la frase del libro («No es cierto») confirma que son desigualdades.

Error típico: un solo caso numérico que cumple la igualdad no demuestra linealidad: un ejemplo confirma, solo un contraejemplo refuta.

Teoría: Def. 3.1, U p.101 · P1, U p.103

Si $f$ es la aplicación del Ejercicio 3.3, se pide responder verdadero o falso a las siguientes cuestiones: A) Se tiene que verificar $f(0,0,0,0)=(0,0,0,0)$. B) Se tiene que verificar $f(5(2,3,1,0))=5f(2,3,1,0)$. C) Se tiene que verificar $f(2,3,1,0)=f(1,2,1,0)+f(1,1,0,0)$.

Aquí $f(x_1,x_2,x_3,x_4)=(x_1,1,x_3,1)$, que no es lineal (Ej. 3.3). Por tanto ninguna propiedad «tiene que verificarse»: se comprueba calculando.

1. (A) Falsa. $$f(0,0,0,0)=(0,1,0,1)\neq(0,0,0,0).$$
2. (B) Falsa. $$f(5(2,3,1,0))=f(10,15,5,0)=(10,1,5,1),$$ $$5f(2,3,1,0)=5(2,1,1,1)=(10,5,5,5).$$

   Distintos.

3. (C) Falsa. $(2,3,1,0)=(1,2,1,0)+(1,1,0,0)$, pero $$f(2,3,1,0)=(2,1,1,1),$$ $$f(1,2,1,0)+f(1,1,0,0)=(1,1,1,1)+(1,1,0,1)=(2,2,1,2).$$

   Distintos.

4. Lectura. Son las tres propiedades de una lineal (P1, conserva escalares, conserva sumas) y las tres fallan: cualquiera de ellas, por sí sola, demuestra que $f$ no es lineal.

Resultado: A, B y C son falsas.

Nota sobre el libro. Mismo problema de «$\neq$» perdido en la extracción del texto.

Error típico: responder «verdadero» por reflejo porque «las aplicaciones cumplen $f(0)=0$»: eso solo vale para las lineales.

Teoría: Def. 3.1, U p.101 · P1, U p.103

Si $f:\mathbb R\to\mathbb R^3$ es la aplicación $f(x)=(x,1,-x)$, se pide comprobar si $f$ verifica: A) Conserva la suma de vectores. B) Conserva el producto de escalar por vector. C) Transforma el neutro de $(\mathbb R,+)$ en el neutro de $(\mathbb R^3,+)$. D) Es una aplicación lineal. E) Ninguna de las anteriores.

1. (A) Suma. $$f(x+y)=(x+y,\ 1,\ -x-y),$$ $$f(x)+f(y)=(x,1,-x)+(y,1,-y)=(x+y,\ 2,\ -x-y).$$

   La 2.ª componente es $1$ frente a $2$: no conserva la suma (para ningún par $x,y$).

2. (B) Escalares. $$f(\lambda x)=(\lambda x,\ 1,\ -\lambda x),\qquad\lambda f(x)=(\lambda x,\ \lambda,\ -\lambda x).$$

   Coinciden solo si $\lambda=1$; si $\lambda\neq1$ (p. ej. $\lambda=2$) son distintos: no conserva el producto.

3. (C) Neutro. $$f(0)=(0,1,0)\neq(0,0,0):$$

   no lleva el neutro al neutro.

4. (D) Una aplicación lineal cumple las tres anteriores (suma: $\lambda=1$ en la definición; neutro: P1). Como fallan, no es lineal; bastaría una cualquiera (por ejemplo C, Ej. U 3.7).
5. (E) Como A, B, C y D son falsas, la correcta es E.

Resultado: la respuesta es E.

Nota sobre el libro. En el texto digital la frase «Si $\lambda=1\Rightarrow\lambda f(x)=f(\lambda x)$» contradice lo que sigue: es «si $\lambda\neq1$»; el «$\neq$» se perdió, igual que en A y C.

Error típico: comprobar el producto por escalares solo con $\lambda=1$ y concluir que sí se conserva: hay que mirar todos los $\lambda$.

Teoría: Def. 3.1, U p.101 · conserva suma y escalares, U p.103 · P1, U p.103 · Ej. U 3.7, U p.104

Compruébese que la aplicación $f:\mathbb R\to\mathbb R^3$, tal que $f(x)=(x,0,-x)$, es lineal.

1. Datos genéricos. $x,y\in\mathbb R$ (los vectores del espacio inicial son números reales) y $\lambda\in\mathbb R$.
2. Primer miembro. $f(x+\lambda y)=\big(x+\lambda y,\ 0,\ -(x+\lambda y)\big)=(x+\lambda y,\ 0,\ -x-\lambda y)$.
3. Segundo miembro. $$\begin{gathered}f(x)+\lambda f(y)=(x,0,-x)\cr+\lambda(y,0,-y)\cr=(x+\lambda y,\ 0+\lambda\cdot0,\cr-x-\lambda y)\cr=(x+\lambda y,\ 0,\ -x-\lambda y).\end{gathered}$$ Clave: la 2.ª componente es $0+\lambda\cdot0=0$.
4. Comparación. Coinciden para todo $x,y,\lambda$: por la Def. 3.1, $f$ es lineal.

Resultado: $f$ es lineal.

Nota sobre el libro. E dice «es evidente» y omite el paso 3; en el examen hay que escribirlo.

Error típico: despachar con «es evidente»: en el examen «los resultados que no estén debidamente justificados no podrán ser valorados».

Teoría: Def. 3.1, U p.101

Sin hacer operaciones, se pide responder verdadero o falso a las siguientes afirmaciones: A) La aplicación $f:\mathbb R^2\to\mathbb R^2$, tal que $f(x_1,x_2)=(x_1+2,x_2)$, es lineal. B) $f$ es un endomorfismo de $\mathbb R^2$. C) En algún endomorfismo de $\mathbb R^2$ puede ocurrir $f(0)\neq0$. D) Con MAXIMA se puede saber si una aplicación dada es lineal.

1. (A) Falsa. $f(0,0)=(2,0)\neq(0,0)$; por P1 y el Ej. U 3.7, $f$ no es lineal. Es una traslación de vector $(2,0)$: mueve el origen.
2. (B) Falsa. Aunque $V=W=\mathbb R^2$, un endomorfismo debe ser lineal, y por A no lo es.
3. (C) Falsa. Un endomorfismo es, en particular, lineal, y toda aplicación lineal cumple $f(0)=0$ (P1). En ningún endomorfismo ocurre $f(0)\neq0$.
4. (D) Trata de Maxima, que no entra en examen: E la da por cierta (encadenando varias instrucciones) y U p.104 dice al margen que Maxima «no tiene ninguna instrucción que determine si una aplicación es lineal»; no se contradicen (no hay una instrucción específica). No se desarrolla.

Resultado: A falsa, B falsa, C falsa (D, fuera de examen).

Nota sobre el libro. En el texto digital A y C pierden el «$\neq$» (aparecen como «$f(0,0)=(2,0)=(0,0)$» y «$f(0)=(0)$»).

Error típico: pensar que una traslación $x\mapsto x+c$ es lineal porque «conserva la forma» de las figuras: no conserva el origen.

Teoría: P1, U p.103 · Ej. U 3.7 y nota de Maxima, U p.104

Si $f:\mathbb R^2\to\mathbb R^3$ es una aplicación lineal que verifica $f(1,0)=(1,2,0)$ y $f(0,1)=(0,3,1)$, se pide comprobar si es cierto que: A) $f(5,7)=(5,31,7)$. B) $f(1,1)=(1,0,1)$. C) Las imágenes de todos los vectores de $\mathbb R^2$ están en el plano de ecuación $2x_1-x_2+3x_3=0$. D) Ninguna de las anteriores.

1. Base conocida. $\{(1,0),(0,1)\}$ es la base canónica de $\mathbb R^2$ y conocemos las imágenes de sus dos vectores.
2. (A) $(5,7)=5(1,0)+7(0,1)$. Por P3: $$f(5,7)=5(1,2,0)+7(0,3,1)=(5,\ 10+21,\ 7)=(5,31,7).$$

   Cierta.

3. (B) $(1,1)=1(1,0)+1(0,1)$, luego $$f(1,1)=(1,2,0)+(0,3,1)=(1,5,1)\neq(1,0,1).$$

   Falsa.

4. (C) Fórmula general. Para $(a,b)\in\mathbb R^2$: $$f(a,b)=a(1,2,0)+b(0,3,1)=(a,\ 2a+3b,\ b).$$

   Llamando $(x_1,x_2,x_3)$ a la imagen: $x_1=a$, $x_2=2a+3b$, $x_3=b$.

5. Sustituir en el plano: $$2x_1-x_2+3x_3=2a-(2a+3b)+3b=0\quad\text{para todos }a,b.$$

   Luego toda imagen está en el plano: Cierta.

6. (D) Falsa, porque A y C son ciertas.

Resultado: son ciertas A y C.

Error típico: en C, comprobar solo con uno o dos vectores: hay que verificarlo para el vector genérico $(a,b)$. (C es un anticipo de la imagen, tema 3.2.)

Teoría: P3, U p.103 · base canónica y coordenadas, U p.82-85 (Def. 2.9, 2.10) · Teor. 3.2, U p.114

Si $f$ es un endomorfismo de $\mathbb R^2$, tal que $f(1,1)=(1,4)$ y $f(2,-1)=(-2,3)$, se pide: A) Calcular la imagen de $(3,-1)$. B) Comprobar que $f(0,0)=(0,0)$.

1. ¿Es $B=\{(1,1),(2,-1)\}$ base de $\mathbb R^2$? (E lo afirma sin justificar.) Son 2 vectores en un espacio de dimensión 2: basta que sean libres (Teor. 2.6). Si $\alpha(1,1)+\beta(2,-1)=(0,0)$: $$\alpha+2\beta=0,\qquad\alpha-\beta=0\ \Rightarrow\ \beta=0,\ \alpha=0.$$

   Libres, luego base. Equivalente:

   $$\begin{vmatrix}1&2\\1&-1\end{vmatrix}=-3\neq0.$$
2. Coordenadas de $(3,-1)$ en $B$. Buscamos $\alpha,\beta$ con $(3,-1)=\alpha(1,1)+\beta(2,-1)$: $$\begin{aligned}\alpha+2\beta&=3\\\alpha-\beta&=-1\end{aligned}$$

   Restando la 2.ª a la 1.ª, $3\beta=4$, o sea $\beta=\tfrac43$; entonces $\alpha=\beta-1=\tfrac13$. Comprobación:

   $$\tfrac13+\tfrac83=3\ ✓,\qquad\tfrac13-\tfrac43=-1\ ✓$$
3. Aplicar P3: $$\begin{aligned}f(3,-1)&=\tfrac13f(1,1)+\tfrac43f(2,-1)\\&=\tfrac13(1,4)+\tfrac43(-2,3)\\&=\left(\tfrac13-\tfrac83,\ \tfrac43+4\right)\\&=\left(-\tfrac73,\ \tfrac{16}3\right).\end{aligned}$$

   Comprobación independiente: de la misma forma $f(1,0)=\left(-\tfrac13,\tfrac73\right)$ y $f(0,1)=\left(\tfrac43,\tfrac53\right)$, y

   $$3f(1,0)-f(0,1)=\left(-\tfrac73,\ \tfrac{16}3\right)\ ✓$$
4. B) $f$ es lineal (es endomorfismo), luego por P1 $f(0,0)=(0,0)$. Directamente: $(0,0)=0\cdot(1,1)$, así que $$f(0,0)=0\cdot f(1,1)=(0,0).$$

Resultado: $f(3,-1)=\left(-\tfrac73,\tfrac{16}3\right)$ y $f(0,0)=(0,0)$.

Nota sobre el libro. E no justifica que $B$ sea base, y en B usa $f(1,0)$ y $f(0,1)$, que el enunciado no da (vale porque van multiplicados por 0, pero es más limpio usar un vector cuya imagen se conoce).

Error típico: usar las componentes $3,-1$ como coeficientes: $3f(1,1)-f(2,-1)$ está mal. Primero hay que pasar a coordenadas en $B$.

Teoría: P1, P3, U p.103 · independencia, U p.74 · Teor. 2.6, U p.88 · Def. 2.10 (coordenadas), U p.85

Si $f:\mathbb R^2\to\mathbb R^3$ es una aplicación lineal en la que se conocen las imágenes de los elementos de una base de $\mathbb R^2$, se pide analizar si es correcta alguna de las afirmaciones siguientes: A) Es posible obtener la imagen de cualquier vector de $\mathbb R^2$. B) Cualquier vector de $\mathbb R^3$ tiene un original en $\mathbb R^2$. C) $\operatorname{Im}(f)$ es $\mathbb R^3$. D) Ninguna de las anteriores.

1. (A) Correcta. Sea $\{e_1,e_2\}$ la base cuyas imágenes conocemos. Todo $v\in\mathbb R^2$ se escribe $v=a_1e_1+a_2e_2$ (la base es generadora; las coordenadas son únicas, Def. 2.9-2.10). Por P3, $f(v)=a_1f(e_1)+a_2f(e_2)$: calculable con los datos. Vale para cualquier base (el Ej. 3.11 lo hace con una no canónica).
2. (B) Falsa. Por el paso anterior, toda imagen es combinación lineal de dos vectores $f(e_1),f(e_2)$ de $\mathbb R^3$. El conjunto de esas combinaciones tiene dimensión $\le2$ (Teor. 2.5), y $\mathbb R^3$ tiene dimensión 3: siempre hay vectores de $\mathbb R^3$ sin original. Contraejemplo concreto (el de E): la aplicación nula $f(x_1,x_2)=(0,0,0)$, que es lineal y en la que solo $(0,0,0)$ tiene original.
3. (C) Falsa. $\operatorname{Im}(f)=\{w\in\mathbb R^3: w=f(v)\text{ para algún }v\}$ (Def. 3.2, U p.106, tema 3.2). Decir $\operatorname{Im}f=\mathbb R^3$ es lo mismo que B. Matiz que E omite: la afirmación falla para toda $f:\mathbb R^2\to\mathbb R^3$ lineal, no solo para la nula.
4. (D) Falsa, porque A es correcta.

Resultado: solo A es correcta.

Error típico: confundir «conocer $f$ en todo $V$» (A, cierto) con «$f$ llega a todo $W$» (B/C): son cosas distintas.

Teoría: P3, U p.103 · Def. 2.9-2.10, U p.82-85 · Teor. 2.5, U p.88 · (adelanto) Def. 3.2, U p.106 y Teor. 3.2, U p.114

Si $f$ es un endomorfismo de $V$, se pide justificar si son ciertas o falsas las afirmaciones siguientes: A) Es falso que $f(0)=0$, con $0\in V$. B) Es falso que $f(-x)=-f(x)$, con $x\in V$. C) Es falso que $f(x)=f(y)\Rightarrow f(x-y)=0$, con $x,y,0\in V$. D) Si $S$ es subespacio de $V$, entonces $f(S)$ es subespacio de $V$.

Ojo con la lógica: A, B y C afirman «es falso que …». Si lo de dentro es cierto, la afirmación es falsa (negación de una verdad).

1. (A) Falsa, porque $f(0)=0$ es cierto: $$f(0)=f(0\cdot x)=0\cdot f(x)=0\quad\text{(P1)}.$$
2. (B) Falsa, porque $f(-x)=-f(x)$ es cierto: $$f(-x)=f((-1)x)=(-1)f(x)=-f(x)\quad\text{(P2)}.$$

   Se usa que $(-1)x$ es el opuesto de $x$:

   $$x+(-1)x=(1+(-1))x=0\cdot x=0$$

   (E2 y E4, U p.58; $0\cdot x=0$, U p.74).

3. (C) Falsa, porque la implicación es cierta: $x-y=x+(-1)y$ y, por la Def. 3.1 con $\lambda=-1$, $$f(x-y)=f(x)-f(y).$$

   Si $f(x)=f(y)$, esto vale $0$.

4. (D) Cierta. Por definición $f(S)=\{f(s): s\in S\}$ (el conjunto de las imágenes) y, como $f:V\to V$, $f(S)\subseteq V$. Usamos la caracterización de subespacio (2.2, U p.66): no vacío y cerrado para $w_1+\lambda w_2$.
   • No vacío: $0\in S$ (todo subespacio contiene al neutro), luego $f(0)=0\in f(S)$.
   • Cerrado: sean $w_1,w_2\in f(S)$ y $\lambda\in\mathbb R$. Por definición de $f(S)$ existen $x,y\in S$ con $w_1=f(x)$, $w_2=f(y)$. Entonces $$w_1+\lambda w_2=f(x)+\lambda f(y)=f(x+\lambda y),$$ y $x+\lambda y\in S$ porque $S$ es subespacio. Luego $w_1+\lambda w_2$ es la imagen de un vector de $S$: está en $f(S)$.

   Por tanto $f(S)$ es subespacio.

Resultado: A, B y C falsas; D cierta.

Nota sobre el libro. En D, E escribe solo «$f(x+\lambda y)=f(x)+\lambda f(y)\in f(S)$» sin decir que $x+\lambda y\in S$ ni comprobar que $f(S)\neq\emptyset$.

Error típico: contestar «verdadero» a «es falso que $f(0)=0$» por leer solo la fórmula; y, en D, olvidar decir que $x+\lambda y\in S$: es justo ahí donde se usa que $S$ es subespacio.

Teoría: P1, P2, U p.103 · Def. 2.2 y caracterización (2.2), U p.62 y p.66 · $0\cdot v=0$, U p.74 · (anticipo: imagen de un subespacio, tema 3.2)

Si $f$ es la aplicación lineal $f(x_1,x_2,x_3)=(x_1,x_2)$, se pide decir si son ciertas o falsas las implicaciones siguientes: A) $\{x,y\}$ libre $\Rightarrow\{f(x),f(y)\}$ libre. B) $\{f(x),f(y)\}$ ligado $\Rightarrow\{x,y\}$ ligado. C) $\{f(x),f(y)\}$ libre $\Rightarrow\{x,y\}$ libre. D) Ninguna de las anteriores.

($f$ es la proyección de $\mathbb R^3$ sobre el plano $x_1x_2$: «olvida» la tercera coordenada.)

1. (A) Falsa. Contraejemplo: $x=(0,1,0)$, $y=(0,1,1)$. Son libres: $$\lambda x+\mu y=(0,\ \lambda+\mu,\ \mu)=0\ \Rightarrow\ \mu=0,\ \lambda=0.$$

   Sus imágenes $f(x)=(0,1)$ y $f(y)=(0,1)$ son iguales, luego ligadas:

   $$1\cdot f(x)-1\cdot f(y)=0.$$

   Es P5 (como el Ej. U 3.6).

2. (B) Falsa. El mismo ejemplo: $\{f(x),f(y)\}$ ligado y $\{x,y\}$ libre. B es la recíproca de P4, y la recíproca de una implicación cierta no tiene por qué serlo.
3. (C) Cierta, para cualquier aplicación lineal. C es la contrarrecíproca de P4 (apartado «La contrarrecíproca de P4» de §3). Prueba directa: supongamos $\{f(x),f(y)\}$ libre y sea $\lambda x+\mu y=0$. Aplicando $f$ y usando la linealidad y P1: $$\lambda f(x)+\mu f(y)=f(\lambda x+\mu y)=f(0)=0.$$

   Como $\{f(x),f(y)\}$ es libre, $\lambda=\mu=0$: $\{x,y\}$ es libre. (E lo hace con coordenadas; este argumento es más general y no depende de la fórmula de $f$.)

4. (D) Falsa, porque C es cierta.

Resultado: solo C es cierta.

Error típico: creer que una aplicación lineal conserva la independencia (solo si $f$ es inyectiva, $\operatorname{Nuc}f=\{0\}$, tema 3.2; si no, unos libres se conservan y otros no, como se ve en A y B), y confundir la recíproca (B) con la contrarrecíproca (C) de P4.

Teoría: P1, P4, P5, U p.103 · Ej. U 3.5-3.6, U p.104 · Def. 2.5-2.6, U p.73-74

¿Son lineales $g,h:\mathbb R^2\to\mathbb R^2$, $g(x,y)=(x+y,\ 2x-y)$ y $h(x,y)=(x+y,\ xy)$?

1. $g$. Con $u=(x,y)$, $v=(x',y')$: $$\begin{gathered}g(u+\lambda v)=\cr\begin{pmatrix}x+y+\lambda(x'+y')\cr2x-y+\lambda(2x'-y')\end{pmatrix},\cr{}g(u)+\lambda g(v)=\cr\begin{pmatrix}x+y\cr2x-y\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}x'+y'\cr2x'-y'\end{pmatrix}\cr=\cr\begin{pmatrix}x+y+\lambda(x'+y')\cr2x-y+\lambda(2x'-y')\end{pmatrix}.\end{gathered}$$ Las dos componentes coinciden: lineal (Def. 3.1) y además endomorfismo ($\mathbb R^2\to\mathbb R^2$).
2. $h$. $h(0,0)=(0,0)$: el atajo de P1 no decide. Probamos escalares con $\lambda=2$, $u=(1,1)$: $h(2,2)=(4,4)$, pero $2h(1,1)=2(2,1)=(4,2)$. Distintos: no lineal. El culpable es el producto $xy$ (al multiplicar por $\lambda$ sale $\lambda^2xy$).

$f:\mathbb R^2\to\mathbb R^3$ es lineal con $f(1,1)=(2,0,2)$ y $f(1,-1)=(0,2,4)$. Halla $f(x,y)$ y $f(2,4)$.

1. Base. $\begin{vmatrix}1&1\cr1&-1\end{vmatrix}=-2\neq0$: libre y, al ser 2 vectores en $\mathbb R^2$, base (Teor. 2.6).
2. Coordenadas. $(x,y)=a(1,1)+b(1,-1)$: $a+b=x$, $a-b=y\Rightarrow a=\tfrac{x+y}2$, $b=\tfrac{x-y}2$.
3. P3. $$\begin{aligned}f(x,y)&=\tfrac{x+y}2(2,0,2)\cr&\quad+\tfrac{x-y}2(0,2,4)\cr&=\big(x+y,\ x-y,\cr&\qquad(x+y)+2(x-y)\big)\cr&=(x+y,\ x-y,\ 3x-y).\end{aligned}$$
4. Comprobación. $f(1,1)=(2,0,2)$ ✓, $f(1,-1)=(0,2,4)$ ✓. Y $f(2,4)=(6,-2,2)$.

(a) ¿Son lineales $t,d:\mathcal M_{2\times2}\to\mathbb R$, $t(A)=a_{11}+a_{22}$ (traza) y $d(A)=\det A$? (b) ¿Existe una aplicación lineal $f:\mathbb R^2\to\mathbb R^2$ con $f(1,2)=(1,0)$ y $f(2,4)=(3,1)$?

1. (a) Traza: sí. $\mathcal M_{2\times2}$ es espacio vectorial (U p.62). La diagonal de $A+\lambda B$ es $a_{11}+\lambda b_{11}$, $a_{22}+\lambda b_{22}$, luego $$t(A+\lambda B)=(a_{11}+a_{22})+\lambda(b_{11}+b_{22})=t(A)+\lambda t(B).$$

   Lineal.

2. (a) Determinante: no. $d(0)=0$, así que P1 no decide. Escalares: $$d(2I_2)=\begin{vmatrix}2&0\\0&2\end{vmatrix}=4,\qquad2\,d(I_2)=2.$$

   No lineal (en orden 2, $\det(\lambda A)=\lambda^2\det A$).

3. (b) No existe. $(2,4)=2(1,2)$: los dos vectores son ligados. Si $f$ fuera lineal, $$f(2,4)=2f(1,2)=(2,0)\neq(3,1).$$

   Los datos son incompatibles con la linealidad.

Si $f$ es una aplicación lineal tal que $f(1,2)=(2,3)$ y $f(2,1)=(1,1)$, calcular el valor de $f(1,1)$.

1. Qué sabemos y qué no. Solo conocemos la imagen de dos vectores; no tenemos fórmula de $f$. Lo único utilizable es que $f$ es lineal (Def. 3.1) y su consecuencia P3 (U p.103).
2. Combinación lineal. Buscamos $\alpha,\beta$ con $\alpha(1,2)+\beta(2,1)=(1,1)$: $$\begin{aligned}\alpha+2\beta&=1\\2\alpha+\beta&=1\end{aligned}$$

   Restando la 2.ª a la 1.ª, $-\alpha+\beta=0$, o sea $\alpha=\beta$; sustituyendo, $3\alpha=1$, así que $\alpha=\beta=\tfrac13$. Comprobación:

   $$\tfrac13(1,2)+\tfrac13(2,1)=\tfrac13(3,3)=(1,1)\ ✓$$

   (Hay solución porque $\begin{vmatrix}1&2\\2&1\end{vmatrix}=-3\neq0$: son base de $\mathbb R^2$.)

3. Linealidad (P3 con $n=2$): $$\begin{aligned}f(1,1)&=f\!\left(\tfrac13(1,2)+\tfrac13(2,1)\right)\\&=\tfrac13f(1,2)+\tfrac13f(2,1)\\&=\tfrac13(2,3)+\tfrac13(1,1)\\&=\tfrac13(3,4)=\left(1,\tfrac43\right).\end{aligned}$$

Resultado: $f(1,1)=\left(1,\tfrac43\right)$.

Sobre la solución oficial. Correcta, sin errata; solo que no muestra de dónde salen los coeficientes $\tfrac13$.

Error típico: «sumar los datos» sin más: $f(1,2)+f(2,1)=(3,4)$ es $f(3,3)$, no $f(1,1)$. Otro: creer que hace falta la fórmula de $f$ (o la matriz); no hace falta.

Sea $f:\mathbb R^2\to\mathbb R^4$ una aplicación lineal tal que $f(1,3)=(4,-6,0,7)$ y $f(-4,2)=(1,-1,0,2)$. Halle $f(0,42)$.

1. Combinación lineal. Buscamos $\alpha,\beta$ con $\alpha(1,3)+\beta(-4,2)=(0,42)$: $$\begin{aligned}\alpha-4\beta&=0\\3\alpha+2\beta&=42\end{aligned}$$

   De la 1.ª, $\alpha=4\beta$. En la 2.ª:

   $$12\beta+2\beta=14\beta=42\ \Rightarrow\ \beta=3,\quad\alpha=12.$$

   Comprobación:

   $$12(1,3)+3(-4,2)=(12-12,\ 36+6)=(0,42)\ ✓$$
2. Linealidad (P3): $$f(0,42)=12f(1,3)+3f(-4,2)=12(4,-6,0,7)+3(1,-1,0,2)$$ $$=(48+3,\ -72-3,\ 0,\ 84+6)=(51,\ -75,\ 0,\ 90).$$

Resultado: $f(0,42)=(51,-75,0,90)$.

Sobre la solución oficial. Correcta; da directamente los coeficientes $12$ y $3$ sin el sistema que los produce (en el examen hay que escribirlo: «lo que no se justifica no se puntúa»).

Error típico: intentar «dividir»: $(0,42)$ no es múltiplo de ninguno de los dos vectores dados; hay que combinar los dos. Y equivocarse de orden: los coeficientes salen de los originales $(1,3)$, $(-4,2)$ y se aplican a las imágenes.

Sea $f:\mathbb R^2\to\mathcal M_{2\times2}$ una aplicación lineal tal que $f(5,1)=\begin{pmatrix}1&3\cr-2&4\end{pmatrix}$ y $f(3,2)=\begin{pmatrix}0&1\cr7&-2\end{pmatrix}$. Halle $f(-7,0)$.

1. Los «vectores» de llegada son matrices, pero no cambia nada: $\mathcal M_{2\times2}$ es un espacio vectorial (U §2.1) y P3 vale para cualquier $W$.
2. Combinación lineal en $\mathbb R^2$. $\alpha(5,1)+\beta(3,2)=(-7,0)$: $$\begin{aligned}5\alpha+3\beta&=-7\\\alpha+2\beta&=0\end{aligned}$$

   De la 2.ª, $\alpha=-2\beta$. En la 1.ª:

   $$-10\beta+3\beta=-7\beta=-7\ \Rightarrow\ \beta=1,\quad\alpha=-2.$$

   Comprobación: $-2(5,1)+(3,2)=(-7,0)$ ✓.

3. Linealidad (P3), con suma de matrices y producto por escalar entrada a entrada: $$\begin{aligned}f(-7,0)&=-2\begin{pmatrix}1&3\\-2&4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0&1\\7&-2\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}-2&-6\\4&-8\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0&1\\7&-2\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}-2&-5\\11&-10\end{pmatrix}.\end{aligned}$$

Resultado: $f(-7,0)=\begin{pmatrix}-2&-5\cr11&-10\end{pmatrix}$.

Sobre la solución oficial. Correcta; como en el ejercicio anterior, no muestra cómo se obtienen $-2$ y $1$.

Error típico: multiplicar matrices (producto matricial) en lugar de combinarlas linealmente; o aplicar el $-2$ solo a una fila.

Sea $f:\mathcal M_{2\times2}\to\mathbb R^3$ una aplicación lineal tal que $f\begin{pmatrix}1&2\cr0&-1\end{pmatrix}=(1,2,3)$, $f\begin{pmatrix}3&1\cr-2&4\end{pmatrix}=(2,3,4)$, $f\begin{pmatrix}-1&0\cr5&2\end{pmatrix}=(3,4,5)$, $f\begin{pmatrix}2&-3\cr1&1\end{pmatrix}=(4,5,6)$. Halle $f\begin{pmatrix}5&0\cr4&6\end{pmatrix}$.

Llamamos $M_1,M_2,M_3,M_4$ a las cuatro matrices dadas y $N=\begin{pmatrix}5&0\cr4&6\end{pmatrix}$.

1. Planteamiento. Buscamos $a,b,c,d$ con $aM_1+bM_2+cM_3+dM_4=N$. Igualando entrada a entrada (posiciones 11, 12, 21, 22): $$\begin{cases}a+3b-c+2d=5\\2a+b-3d=0\\-2b+5c+d=4\\-a+4b+2c+d=6\end{cases}$$
2. Probar primero los coeficientes más sencillos. Es un sistema $4\times4$; antes de escalonar conviene probar $a=b=c=d=1$ (la suma de las cuatro): $$1+3-1+2=5\ ✓,\quad2+1+0-3=0\ ✓,\quad0-2+5+1=4\ ✓,\quad-1+4+2+1=6\ ✓$$

   Luego $N=M_1+M_2+M_3+M_4$. (Si no se ve, se resuelve por Gauss; la solución es única porque el determinante de la matriz del sistema vale $215\neq0$, es decir, $\{M_1,\dots,M_4\}$ es base de $\mathcal M_{2\times2}$. Para calcular $f(N)$ basta una combinación cualquiera.)

3. Linealidad (P3): $$\begin{aligned}f(N)&=f(M_1)+f(M_2)+f(M_3)+f(M_4)\\&=(1,2,3)+(2,3,4)+(3,4,5)+(4,5,6)\\&=(10,14,18).\end{aligned}$$

Resultado: $f\begin{pmatrix}5&0\cr4&6\end{pmatrix}=(10,14,18)$.

Sobre la solución oficial. Correcta, pero da la descomposición $N=M_1+M_2+M_3+M_4$ sin decir cómo se encuentra ni comprobarla entrada a entrada; en el examen hay que escribir esa comprobación.

Error típico: aplicar $f$ entrada a entrada, o «sumar las matrices dadas» y olvidar comprobar que la suma es exactamente $N$.

Consideremos las aplicaciones $f:\mathbb R\to\mathbb R^5$, $g:\mathbb R^3\to\mathbb R^2$ y $h:\mathbb R^2\to\mathbb R^4$ definidas por $f(x)=(x,2+x,3x,4x,5x)$, $g(x,y,z)=(x+y+z,-5x-5y-5z)$ y $h(x,y)=(4x-5y,y,x,-3x+7y)$. Indique de manera razonada si $f$ es aplicación lineal (1 punto). (Los otros dos apartados —núcleo e imagen de $g$, matriz de $h\circ g$— son de los temas 3.2 y 3.4.)

1. Recordar P1 (U p.103, demostrada en el Ej. U 3.4): toda aplicación lineal cumple $f(0_V)=0_W$. Leída al revés: si $f(0_V)\neq0_W$, $f$ no puede ser lineal.
2. Calcular $f(0)$. Aquí $0_V=0\in\mathbb R$ y $0_W=(0,0,0,0,0)\in\mathbb R^5$: $$f(0)=(0,\ 2+0,\ 0,\ 0,\ 0)=(0,2,0,0,0)\neq(0,0,0,0,0).$$
3. Conclusión. $f$ no es lineal. El culpable es el término independiente «$2+$» de la 2.ª componente.
4. Comprobación alternativa con la Def. 3.1 (contraejemplo directo): con $v=u=1$, $\lambda=1$: $$f(1+1)=f(2)=(2,4,6,8,10),\qquad f(1)+f(1)=2(1,3,3,4,5)=(2,6,6,8,10).$$

   No coinciden.

Resultado: $f$ no es lineal porque $f(0)=(0,2,0,0,0)\neq0$.

Comentario sobre $g$ y $h$ (para los otros apartados): el enunciado no dice que sean lineales, pero lo son: cada componente es una combinación sin término independiente, es decir $g(v)=A_gv$ y $h(v)=A_hv$ con $A_g=\begin{pmatrix}1&1&1\cr-5&-5&-5\end{pmatrix}$ y $A_h=\begin{pmatrix}4&-5\cr0&1\cr1&0\cr-3&7\end{pmatrix}$, y $A(v+\lambda u)=Av+\lambda Au$ por la distributividad del producto de matrices (tema 1.2).

Sobre la solución oficial. Correcta y suficiente («$f$ no es lineal porque $f(0)=(0,2,0,0,0)$»); en el examen conviene citar la propiedad que se usa ($f$ lineal $\Rightarrow f(0)=0$).

Error típico: ver que cada componente «es de primer grado» y concluir que es lineal: $2+x$ lo es, pero no en el sentido del álgebra lineal (es afín). Y el error recíproco: comprobar $f(0)=0$ y concluir que sí es lineal.

Sea $D_{2\times2}$ el conjunto de matrices diagonales de orden 2 y $f:\mathbb R^2\to D_{2\times2}$ una aplicación tal que $f(x,y)=\begin{pmatrix}x&0\cr0&x-y\end{pmatrix}$. Calcule los subespacios núcleo e imagen de $f$.

Por qué se incluye aquí. El enunciado dice «una aplicación», no «una aplicación lineal»; hablar de subespacios núcleo e imagen solo tiene sentido si $f$ es lineal (U §3.2), así que lo primero es comprobarlo. La solución oficial lo hace en una nota. Es el único ejercicio de examen en que se demuestra que una aplicación sí es lineal: modelo del método B en sentido positivo. (Los apartados de núcleo e imagen se desarrollan en el tema 3.2; aquí solo se demuestra la linealidad.)

1. Vectores genéricos. $v=(x_1,y_1)$, $u=(x_2,y_2)$, $\lambda\in\mathbb R$; $v+\lambda u=(x_1+\lambda x_2,\ y_1+\lambda y_2)$.
2. Primer miembro. $$\begin{gathered}f(v+\lambda u)=\cr\begin{pmatrix}x_1+\lambda x_2&0\cr0&c\end{pmatrix},\cr{}c=(x_1+\lambda x_2)-(y_1+\lambda y_2).\end{gathered}$$
3. Segundo miembro. $$\begin{gathered}f(v)+\lambda f(u)=\cr\begin{pmatrix}x_1&0\cr0&x_1-y_1\end{pmatrix}\cr+\lambda\begin{pmatrix}x_2&0\cr0&x_2-y_2\end{pmatrix}\cr=\begin{pmatrix}x_1+\lambda x_2&0\cr0&c_2\end{pmatrix},\cr{}c_2=x_1-y_1+\lambda x_2-\lambda y_2.\end{gathered}$$
4. Comparar. La entrada $(2,2)$ del primer miembro, reordenada, es $x_1-y_1+\lambda x_2-\lambda y_2$: ambos miembros coinciden para todo $v,u,\lambda$. Además $f(x,y)$ es diagonal, así que $f$ va de verdad a $D_{2\times2}$ (subespacio de $\mathcal M_{2\times2}$). Por tanto $f$ es lineal.

Resultado: $f$ es lineal. (Resto del ejercicio, con resultado oficial verificado: $\operatorname{Nuc}f=\{(0,0)\}$ y $\operatorname{Im}f=D_{2\times2}$, de dimensión 2; se razona en el tema 3.2.)

Sobre la solución oficial. Correcta. Comprueba por separado $f(v)+f(u)=f(v+u)$ y $\lambda f(v)=f(\lambda v)$, lo que equivale a la Def. 3.1 de U (que lo junta en una sola condición).

Sea $f:\wp_2\to\mathbb R^2$, $f(p)=(p(0),\ p'(1))$. Pruebe que es lineal y calcule $f(1+x+x^2)$.

1. Linealidad. Para $p,q\in\wp_2$ y $\lambda\in\mathbb R$, evaluar respeta sumas y escalares y la derivada es lineal: $$(p+\lambda q)(0)=p(0)+\lambda q(0),\qquad(p+\lambda q)'(1)=p'(1)+\lambda q'(1).$$

   Luego $f(p+\lambda q)=f(p)+\lambda f(q)$: lineal.

2. Imagen. Para $p=1+x+x^2$: $$p(0)=1,\qquad p'(x)=1+2x,\qquad p'(1)=3,$$

   así que $f(p)=(1,3)$.

Sea $f:\mathbb R^2\to\mathbb R^3$ lineal con $f(1,1)=(1,0,2)$ y $f(1,-1)=(3,2,0)$. (a) Halle $f(3,1)$. (b) Halle $f(0,1)$. (c) Verdadero o falso: «si $\{v_1,v_2\}$ es libre, $\{f(v_1),f(v_2)\}$ también lo es, para cualquier aplicación lineal».

1. (a) Busco $\alpha(1,1)+\beta(1,-1)=(3,1)$: $$\alpha+\beta=3,\quad\alpha-\beta=1\ \Rightarrow\ \alpha=2,\ \beta=1.$$

   Entonces:

   $$f(3,1)=2(1,0,2)+(3,2,0)=(5,2,4).$$
2. (b) $$(0,1)=\tfrac12(1,1)-\tfrac12(1,-1)\ \Rightarrow\ f(0,1)=\tfrac12\big[(1,0,2)-(3,2,0)\big]=(-1,-1,1).$$
3. (c) Falso (P5; Ej. U 3.6). Contraejemplo: $g:\mathbb R^3\to\mathbb R^2$, $g(x,y,z)=(x+y,\ x+y)$ es lineal (cada componente es combinación de coordenadas sin término independiente); $\{(1,0,0),(0,1,0)\}$ es libre y sus imágenes son $(1,1)$ y $(1,1)$, ligadas. Lo que sí es siempre cierto es lo contrario: imágenes de vectores dependientes son dependientes (P4). Para que lo libre se conserve hace falta $\operatorname{Nuc}f=\{0\}$ (tema 3.2).