Ecuaciones y matriz asociada

Si $f:\mathbb R^3\to\mathbb R^2$ es una aplicación lineal, tal que $f(1,0,0)=(1,1)$, $f(0,1,0)=(1,1)$ y $f(0,0,1)=(1,0)$, entonces las filas de la matriz asociada a $f$ en las bases canónicas son: A) $(1,1),(1,0),(0,1)$. B) $(1,1),(0,1),(1,1)$. C) $(1,1,1),(1,1,0)$.

Qué se pide. Construir la matriz en bases canónicas y leerla por filas, que es lo que comparan las opciones.

1. Tamaño (Def. 3.4, U p.116): columnas $=\operatorname{Dim}\mathbb R^3=3$; filas $=\operatorname{Dim}\mathbb R^2=2$. La matriz es $2\times3$: 2 filas de 3 elementos. Esto ya descarta A) y B), que dan 3 filas de 2 elementos (matrices $3\times2$, es decir, la de una aplicación $\mathbb R^2\to\mathbb R^3$).
2. Columnas. Las bases son canónicas, así que las coordenadas de cada imagen son sus componentes y las columnas son directamente $f(e_1),f(e_2),f(e_3)$: $$A=\big(\,f(e_1)\ \big|\ f(e_2)\ \big|\ f(e_3)\,\big)=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&0\end{pmatrix}.$$
3. Filas. Leída por filas, $A$ tiene $(1,1,1)$ y $(1,1,0)$: solo C) es correcta.
4. Ecuaciones ($Y=AX$, U p.117): $$\begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}\iff\begin{cases}y_1=x_1+x_2+x_3\\y_2=x_1+x_2\end{cases}$$

   Comprobación con el Teor. 3.2:

   $$f(x_1,x_2,x_3)=x_1(1,1)+x_2(1,1)+x_3(1,0)=(x_1+x_2+x_3,\ x_1+x_2)\ ✓$$

   Por ejemplo $f(2,-1,3)=(4,1)$.

Resultado: $A=\begin{pmatrix}1&1&1\cr1&1&0\end{pmatrix}$; correcta: C. (Verificado con sympy.)

Nota sobre el libro. E solo apunta el tamaño (tres columnas y dos filas; margen: «imágenes en $\mathbb R^2$») y da la opción C; el argumento que descarta A y B ($3\times2$ frente a $2\times3$) se desarrolla aquí. Las ecuaciones de la imagen de este mismo $f$ están en E 3.16 (tema 3.2).

Error típico: poner las imágenes en filas (sale la traspuesta, $3\times2$, que no puede multiplicar a un vector de $\mathbb R^3$), o confundir «filas» con «columnas» al leer las opciones.

Teoría: Teor. 3.2, U p.114 · Def. 3.4, U p.116 · $Y=AX$, U p.117

Si $f:\mathbb R^3\to\mathcal M_{2\times2}$ es una aplicación lineal, tal que $f(1,0,0)$, $f(0,1,0)$, $f(0,0,1)$ son, respectivamente, las matrices de filas $\{(3,1),(2,4)\}$, $\{(1,-1),(-5,5)\}$ y $\{(2,-2),(-1,4)\}$, se pide calcular la matriz asociada a $f$.

Qué se pide. Aquí el espacio de llegada no es $\mathbb R^n$: las imágenes son matrices $2\times2$. Una matriz asociada no admite «matrices dentro de matrices»: hay que pasar cada imagen a coordenadas.

1. Elegir bases. El enunciado no las da: se toman las canónicas, $\{e_1,e_2,e_3\}$ en $\mathbb R^3$ y, en $\mathcal M_{2\times2}$, $$E_{11}=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix},\ E_{12}=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix},\ E_{21}=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix},\ E_{22}=\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix},$$

   y $S=\{E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}\}$ (en este orden). Como

   $$\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=aE_{11}+bE_{12}+cE_{21}+dE_{22},$$

   sus coordenadas en $S$ son $(a,b,c,d)$: las entradas leídas por filas (Def. 2.10, U p.85).

2. Tamaño. $\operatorname{Dim}\mathbb R^3=3$ columnas y $\operatorname{Dim}\mathcal M_{2\times2}=4$ filas: $4\times3$ (Def. 3.4). Es lo que E llama «evidente».
3. Coordenadas de cada imagen ($f(e_1),f(e_2),f(e_3)$, una por línea): $$\begin{pmatrix}3&1\\2&4\end{pmatrix}\to(3,1,2,4),\qquad\begin{pmatrix}1&-1\\-5&5\end{pmatrix}\to(1,-1,-5,5),\qquad\begin{pmatrix}2&-2\\-1&4\end{pmatrix}\to(2,-2,-1,4).$$
4. Matriz (esas coordenadas en columna): $$A=\begin{pmatrix}3&1&2\\1&-1&-2\\2&-5&-1\\4&5&4\end{pmatrix}.$$
5. Ecuaciones y comprobación. $Y=AX$ da $$\begin{cases}y_1=3x_1+x_2+2x_3\\y_2=x_1-x_2-2x_3\\y_3=2x_1-5x_2-x_3\\y_4=4x_1+5x_2+4x_3\end{cases}$$

   y $f(x_1,x_2,x_3)=\begin{pmatrix}y_1&y_2\\y_3&y_4\end{pmatrix}$. Con un vector (propiedad 3, U p.103):

   $$f(1,1,1)=f(e_1)+f(e_2)+f(e_3)=\begin{pmatrix}6&-2\\-4&13\end{pmatrix},\qquad A\,(1,1,1)^T=(6,-2,-4,13)^T\ ✓$$

Resultado: $A$ de arriba, $4\times3$. (Verificado con sympy; también $A\,(2,0,-1)^T=(4,4,5,4)^T=2f(e_1)-f(e_3)$.)

Nota sobre el libro. Coincide; solo dice «como es evidente» el tamaño $4\times3$, que sale de la Def. 3.4.

Error típico: «pegar» las tres matrices en una $2\times6$; o leer las entradas por filas $(a,b,c,d)$ en una columna y por columnas $(a,c,b,d)$ en otra: el orden lo fija la base y debe ser el mismo en todas las columnas.

Teoría: Def. 2.10, U p.85 · Def. 3.4, U p.116 · $Y=AX$, U p.117

El endomorfismo de $P_3$ que asigna a cada polinomio de grado $\le3$ su derivada tiene por matriz asociada en la base canónica:

A) $\begin{pmatrix}1&0&0&0\cr1&1&0&0\cr1&1&1&0\cr1&1&1&1\end{pmatrix}$

B) $\begin{pmatrix}1&0&0&0\cr0&1&0&0\cr0&0&1&0\cr0&0&0&1\end{pmatrix}$

C) $\begin{pmatrix}0&0&0&0\cr3&0&0&0\cr0&1&0&0\cr0&0&2&0\end{pmatrix}$

D) Ninguna de las anteriores.

Qué se pide. La matriz de $f(p)=p'$ respecto de $\{1,x,x^2,x^3\}$ (la misma en partida y en llegada, por ser endomorfismo), y compararla con las opciones.

1. $f$ es un endomorfismo lineal (endomorfismo = aplicación lineal de un espacio en sí mismo, $V=W$; E lo da por supuesto): $$(p+\lambda q)'=p'+\lambda q'\quad\text{(Def. 3.1, U p.101)},$$

   y si $\operatorname{gr}p\le3$ entonces $\operatorname{gr}p'\le2\le3$: $f:P_3\to P_3$.

2. Base y coordenadas. $B=\{1,x,x^2,x^3\}$: $a+bx+cx^2+dx^3$ tiene coordenadas $(a,b,c,d)$ (el orden es el de la base: término independiente primero). $\operatorname{Dim}P_3=4$: matriz $4\times4$.
3. Imágenes de la base y sus coordenadas: $$f(1)=0\to(0,0,0,0),\qquad f(x)=1\to(1,0,0,0),$$ $$f(x^2)=2x\to(0,2,0,0),\qquad f(x^3)=3x^2\to(0,0,3,0).$$
4. Matriz (en columna, Def. 3.4): $$D=\begin{pmatrix}0&1&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&3\\0&0&0&0\end{pmatrix}.$$
5. Comparación. Basta mirar una columna: la columna $j$ debe ser $f$ del $j$-ésimo vector de la base.
   • A) tiene 1.ª columna $(1,1,1,1)$: diría $f(1)=1+x+x^2+x^3$, pero $f(1)=0$. Falsa.
   • B) es la identidad: es la matriz de $p\mapsto p$, no de la derivada ($f(x)=1\neq x$). Falsa.
   • C) su 1.ª columna $(0,3,0,0)$ diría $f(1)=3x$, pero $f(1)=0$; falsa (su 2.ª columna $(0,0,1,0)$ diría $f(x)=x^2\neq1$). Tampoco es la traspuesta de $D$.

   Respuesta: D).

6. Uso de la matriz (ejemplo del propio E). $P(x)=2x^3+5x^2-1$ tiene coordenadas $(-1,0,5,2)$ y $$D\begin{pmatrix}-1\\0\\5\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\10\\6\\0\end{pmatrix}\ \to\ 10x+6x^2=P'(x)\ ✓$$

   En general $D\,(a,b,c,d)^T=(b,2c,3d,0)^T$, las coordenadas de $b+2cx+3dx^2$.

Resultado: $D$ como arriba; respuesta D). (Verificado con sympy.)

Nota sobre el libro. E dice «las opciones A, B y C no son correctas» sin indicar qué aplicación representan (A es la matriz de otra aplicación, B la de la identidad) ni justificar que la derivada sea lineal y endomorfismo.

Error típico: ordenar la base al revés sin decirlo, o escribir $2x^3+5x^2-1$ como $(2,5,0,-1)$; poner $f(1)=1$ (la derivada de una constante es $0$).

Teoría: Def. 3.1, U p.101 · Def. 3.4, U p.116 · $Y=AX$, U p.117 · Lay §5.4 Ej. 2, p.290. Este endomorfismo reaparece en E 3.25-3.27 y 3.29 (tema 3.2).

Si $f(1)=3+2x+x^2$, $f(x)=2$ y $f(x^2)=2x^2$ en el endomorfismo $f$ de $P_2$ (polinomios reales de grado 2), es cierto que: A) No hay datos suficientes para escribir la matriz de $f$. B) No se pueden escribir las ecuaciones de $f$. C) No hay datos suficientes para encontrar la imagen de $x+3$. D) Las coordenadas de $f(x+3)$ respecto a la base canónica son $(11,6,3)$.

Lectura del enunciado. $P_2$ son los polinomios de grado $\le2$ (los de grado exactamente 2 no forman espacio vectorial: $x^2+(-x^2)=0$). Y «$f(x)=2$» quiere decir: la imagen del polinomio $x$ es el polinomio constante $2$, no «$f$ evaluada en $x$».

Qué se pide. Decidir si las imágenes de $1,x,x^2$ bastan para conocer $f$ (matriz, ecuaciones, imagen de cualquier polinomio) y calcular $f(x+3)$.

1. ¿Datos suficientes? (A falsa). $\{1,x,x^2\}$ es una base de $P_2$. Por el Teor. 3.2 (U p.114), conocer las imágenes de todos los vectores de una base determina $f$, y por el Teor. 3.3 y la Def. 3.4 (U p.115-116) la matriz queda determinada y es única. A) es falsa.
2. Matriz. Coordenadas en $\{1,x,x^2\}$: $$f(1)=3+2x+x^2\to(3,2,1),\quad f(x)=2=2+0x+0x^2\to(2,0,0),\quad f(x^2)=2x^2\to(0,0,2).$$

   En columna:

   $$A=\begin{pmatrix}3&2&0\\2&0&0\\1&0&2\end{pmatrix}.$$
3. Ecuaciones (B falsa). Si $p=x_1+x_2x+x_3x^2$ y $f(p)=y_1+y_2x+y_3x^2$, entonces $Y=AX$: $$\begin{cases}y_1=3x_1+2x_2\\y_2=2x_1\\y_3=x_1+2x_3\end{cases}$$

   Se pueden escribir: B) es falsa.

4. Imagen de $x+3$ (C falsa, D cierta). $x+3=3\cdot1+1\cdot x+0\cdot x^2$ tiene coordenadas $(3,1,0)$ (¡el término independiente primero!).
   • Con la matriz: $$A\begin{pmatrix}3\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}9+2\\6\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}11\\6\\3\end{pmatrix}.$$
   • Sin la matriz (Teor. 3.2): $$f(3+x)=3f(1)+f(x)=3(3+2x+x^2)+2=11+6x+3x^2\to(11,6,3).$$

   Se puede calcular: C) es falsa y D) es la única cierta.

Resultado: $A$ como arriba; única cierta: D). (Verificado con sympy; además $\det A=-8\neq0$: $f$ es biyectiva, dato no pedido.)

Nota sobre el libro. E escribe «$P_2$ (polinomios reales de grado 2)»: debe ser grado $\le2$ (el margen de E p.96 lo aclara, aunque escribe «$P_3$» donde quiere decir $P_2$: otra errata).

Error típico: leer $f(x)=2$ como «$f$ vale 2 en el punto $x$» y no saber qué columna poner (es $(2,0,0)$); escribir las coordenadas de $x+3$ como $(1,3,0)$.

Teoría: Teor. 3.2-3.3, U p.114-115 · Def. 3.4, U p.116 · $Y=AX$, U p.117

Sea $f$ la aplicación lineal cuya matriz en las bases canónicas es $A=\begin{pmatrix}1&0&2\cr-1&1&0\end{pmatrix}$. (a) ¿Entre qué espacios va $f$? (b) Escribe sus ecuaciones y $f(x_1,x_2,x_3)$. (c) Calcula $f(2,-1,1)$ y $f(-2,-2,1)$. (d) Da $f(e_1),f(e_2),f(e_3)$.

1. (a) Espacios. $A$ es $2\times3$: 3 columnas $\Rightarrow\operatorname{Dim}V=3$; 2 filas $\Rightarrow\operatorname{Dim}W=2$ (Def. 3.4). Con bases canónicas, $f:\mathbb R^3\to\mathbb R^2$.
2. (b) Ecuaciones ($Y=AX$): $$y_1=x_1+2x_3,\quad y_2=-x_1+x_2\ \Rightarrow\ f(x_1,x_2,x_3)=(x_1+2x_3,\ -x_1+x_2).$$
3. (c) $$f(2,-1,1)=(2+2,\ -2-1)=(4,-3),\qquad f(-2,-2,1)=(-2+2,\ 2-2)=(0,0)$$

   (este vector está en el núcleo: ver tema 3.2).

4. (d) Las imágenes de la base canónica son las columnas: $$f(e_1)=(1,-1),\quad f(e_2)=(0,1),\quad f(e_3)=(2,0).$$

Sea $f:\mathbb R^2\to\mathbb R^3$ lineal con $f(1,1)=(1,0,2)$ y $f(1,2)=(2,1,3)$. (a) Justifica que $f$ queda determinada. (b) Escribe la matriz de $f$ respecto de $B=\{(1,1),(1,2)\}$ y la canónica $C_3$ de $\mathbb R^3$. (c) Halla la matriz en bases canónicas y $f(x,y)$.

1. (a) $u_1=(1,1)$, $u_2=(1,2)$ son independientes: $$\begin{vmatrix}1&1\\1&2\end{vmatrix}=1\neq0.$$

   Dos vectores libres en un espacio de dimensión 2 son base (Teor. 2.6, U p.88). Por el Teor. 3.2, las imágenes de una base determinan $f$.

2. (b) $M(f;B,C_3)$. Columnas = coordenadas canónicas de $f(u_1)$ y $f(u_2)$: $$M(f;B,C_3)=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\\2&3\end{pmatrix}.$$

   Ojo: esta matriz multiplica a las coordenadas en $B$, no a $(x,y)$.

3. (c) Expresar la canónica en función de $B$. $e_1=\alpha u_1+\beta u_2$: $$(1,0)=(\alpha+\beta,\ \alpha+2\beta)\ \Rightarrow\ \beta=-1,\ \alpha=2\ \Rightarrow\ e_1=2u_1-u_2.$$

   Análogamente $e_2=-u_1+u_2$.

4. Imágenes de la canónica (propiedad 3, U p.103): $$f(e_1)=2f(u_1)-f(u_2)=2(1,0,2)-(2,1,3)=(0,-1,1),$$ $$f(e_2)=-f(u_1)+f(u_2)=(1,1,1).$$
5. Matriz canónica y fórmula: $$A=\begin{pmatrix}0&1\\-1&1\\1&1\end{pmatrix},\qquad f(x,y)=(y,\ -x+y,\ x+y).$$

   Comprobación: $f(1,1)=(1,0,2)$ ✓ y $f(1,2)=(2,1,3)$ ✓.

Error típico: poner $f(1,1)$ y $f(1,2)$ como columnas y creer que es la matriz en bases canónicas (lo es respecto de $B$ en la partida, no de $C_2$): con ella, $A\,(1,0)^T$ daría $(1,0,2)=f(1,1)$, no $f(1,0)$.

Sea $f:\mathbb R^3\to\mathbb R^2$, $f(x,y,z)=(x+y,\ y+z)$. Halla la matriz de $f$ respecto de $B=\{(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)\}$ en $\mathbb R^3$ y $S=\{(1,1),(1,2)\}$ en $\mathbb R^2$. Úsala para calcular, en coordenadas de $S$, la imagen del vector cuyas coordenadas en $B$ son $(1,1,1)$, y compruébalo.

1. Son bases. $$\begin{vmatrix}1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\end{vmatrix}=1\neq0,\qquad\begin{vmatrix}1&1\\1&2\end{vmatrix}=1\neq0.$$

   Tamaño de la matriz: $2\times3$.

2. Imágenes de los vectores de $B$: $$f(1,0,0)=(1,0),\quad f(1,1,0)=(2,1),\quad f(1,1,1)=(2,2).$$
3. Coordenadas en $S$ de un vector genérico $(p,q)$: $$(p,q)=a(1,1)+b(1,2)\ \Rightarrow\ a+b=p,\ a+2b=q\ \Rightarrow\ b=q-p,\ a=2p-q.$$

   Entonces:

   $$(1,0)=(2,-1)_S,\qquad(2,1)=(3,-1)_S,\qquad(2,2)=(2,0)_S$$

   (comprueba, p. ej., $3(1,1)-(1,2)=(2,1)$).

4. Matriz (columna $j$ = coordenadas en $S$ de $f(b_j)$): $$M(f;B,S)=\begin{pmatrix}2&3&2\\-1&-1&0\end{pmatrix}.$$
5. Imagen del vector $(1,1,1)_B$: $$\begin{pmatrix}2&3&2\\-1&-1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7\\-2\end{pmatrix}_S .$$
6. Comprobación por otro camino. $$(1,1,1)_B=(1,0,0)+(1,1,0)+(1,1,1)=(3,2,1)\ \text{en canónicas};\qquad f(3,2,1)=(5,3),$$ $$7(1,1)-2(1,2)=(5,3)\ ✓$$

Error típico: poner como columnas las imágenes $f(b_j)$ en coordenadas canónicas, $(1,0),(2,1),(2,2)$: eso es $M(f;B,C_2)$, no $M(f;B,S)$. O aplicar la matriz a $(1,1,1)$ pensando que son coordenadas canónicas.

Sea $f(x,y,z,t)=(x+2y-z+3t,\ 2x+4y+6t,\ -x-2y+z-3t)$ una aplicación lineal de $\mathbb R^4$ en $\mathbb R^3$. Halle la matriz $A$ asociada a $f$ (0.5 puntos). (Siguen: escalonada reducida de $A$, tema 1.2, y base de $\operatorname{Nuc}f$, tema 3.2.)

Qué se pide. No se dan bases: se entienden las canónicas de $\mathbb R^4$ (partida) y $\mathbb R^3$ (llegada). Hay que escribir $A$ con $f(v)=Av$.

1. Tamaño (Def. 3.4): $m=4$ columnas y $n=3$ filas: $A$ es $3\times4$.
2. Imágenes de la base canónica, sustituyendo en la fórmula: $$f(e_1)=(1,2,-1),\quad f(e_2)=(2,4,-2),\quad f(e_3)=(-1,0,1),\quad f(e_4)=(3,6,-3).$$
3. Matriz (esas componentes en columna): $$A=\begin{pmatrix}1&2&-1&3\\2&4&0&6\\-1&-2&1&-3\end{pmatrix}.$$

   En la 2.ª fila falta la variable $z$: va un 0.

4. Comprobación ($Y=AX$, U p.117): $A\,(x,y,z,t)^T$ reproduce las tres componentes de la fórmula ✓.

Resultado: la matriz de arriba. (Verificado con sympy: rango 2.) Sobre la oficial: correcta, sin justificación; en el examen conviene una línea: «la columna $j$ es $f(e_j)$».

Error típico: poner las imágenes en filas (sale una $4\times3$ que no multiplica a $X\in\mathbb R^4$); olvidar el $0$ de una variable ausente.

Sea $f:\wp_4\to\wp_1$, $f(p)=p'''$ (derivada tercera), con la base $(p_0,p_1,\dots,p_n)$ de $\wp_n$, $p_k(x)=x^k$. Nota: si $p(x)=7+3x^2+2x^3+x^4$, entonces $(f(p))(x)=12+24x$. (i) Describa núcleo e imagen (tema 3.2). (ii) Dé la expresión matricial de $f$ (1 punto).

Qué se pide. La «expresión matricial» es $Y=AX$ (U p.117), con $X$ las coordenadas de $p$ en $(1,x,x^2,x^3,x^4)$ e $Y$ las de $f(p)$ en $(1,x)$.

1. Tamaño. $\operatorname{Dim}\wp_4=5$ columnas y $\operatorname{Dim}\wp_1=2$ filas: $A$ es $2\times5$.
2. Imagen de cada vector de la base de partida (derivar tres veces): $$f(1)=f(x)=f(x^2)=0,\qquad f(x^3)=6,\qquad f(x^4)=24x.$$
3. Coordenadas en $(1,x)$ (los coeficientes, en el orden de la base): $$0\to(0,0),\qquad6=6\cdot1+0\cdot x\to(6,0),\qquad24x\to(0,24).$$
4. Matriz (en columna): $$A=\begin{pmatrix}0&0&0&6&0\\0&0&0&0&24\end{pmatrix}.$$
5. Expresión matricial. Con $p=a_0+a_1x+\dots+a_4x^4$ y $f(p)=b_0+b_1x$: $$\begin{pmatrix}b_0\\b_1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&0&6&0\\0&0&0&0&24\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_0\\a_1\\a_2\\a_3\\a_4\end{pmatrix}\iff\begin{cases}b_0=6a_3\\b_1=24a_4\end{cases}$$
6. Comprobación con la nota. $p=7+3x^2+2x^3+x^4$ tiene coordenadas $(7,0,3,2,1)$ y $$A\,(7,0,3,2,1)^T=(12,24)^T,$$

   es decir, $f(p)=12+24x$ ✓.

7. De paso (tema 3.2): $\operatorname{rang}A=2=\operatorname{Dim}\operatorname{Im}f$, luego $\operatorname{Im}f=\wp_1$ y $\operatorname{Dim}\operatorname{Nuc}f=5-2=3$.

Resultado: $b_0=6a_3$, $b_1=24a_4$. (Verificado con sympy.) Sobre la oficial: la matriz es correcta, pero iguala «$f(p)$» a un producto matriz-columna (hay que igualar la columna de coordenadas de $f(p)$), y escribe «$a_0+\dots+a_4x^4=6a_3+24a_4x$» olvidando el $f(\cdot)$.

Error típico: una matriz $5\times5$ (sería la derivada tercera como endomorfismo de $\wp_4$, no $\wp_4\to\wp_1$); usar el orden $x^2,x,1$ cuando el enunciado fija $1,x,x^2,\dots$.

Se pide escribir la matriz de la aplicación lineal definida por $f(1,2)=(2,3)$ y $f(2,0)=(4,0)$ respecto de las bases canónicas.

Qué se pide. $f:\mathbb R^2\to\mathbb R^2$: matriz $2\times2$ cuyas columnas son $f(1,0)$ y $f(0,1)$, que no se dan.

1. ¿Está bien definida? $$\det\begin{pmatrix}1&2\\2&0\end{pmatrix}=-4\neq0:$$

   $\{(1,2),(2,0)\}$ es base y, por el Teor. 3.2, $f$ queda determinada.

2. Primera columna. $(2,0)=2\,(1,0)$, así que por linealidad $f(2,0)=2f(1,0)$ y $$f(1,0)=\tfrac12(4,0)=(2,0).$$
3. Segunda columna. $(1,2)=(1,0)+2\,(0,1)$, luego $f(1,2)=f(1,0)+2f(0,1)$ y $$f(0,1)=\tfrac12\big[f(1,2)-f(1,0)\big]=\tfrac12\big[(2,3)-(2,0)\big]=\left(0,\tfrac32\right).$$
4. Matriz: $$A=\begin{pmatrix}2&0\\0&\tfrac32\end{pmatrix}.$$

   Comprobación: $A\binom12=\binom23$ ✓ y $A\binom20=\binom40$ ✓.

Resultado: $A=\begin{pmatrix}2&0\cr0&3/2\end{pmatrix}$. (Verificado con sympy: $FP^{-1}$.) Sobre la oficial: correcta, con una errata («se trata de hallar $f(0,1)$ y $f(0,1)$»: el primero es $f(1,0)$) y otra al escribir «$f(2,0))$».

Error típico: poner como columnas $f(1,2)$ y $f(2,0)$: es la matriz respecto de la base $\{(1,2),(2,0)\}$ en la partida, no la canónica.

Si $B=\{(1,1,0),(2,3,1),(0,-2,1)\}$ es una base de $\mathbb R^3$ y $f$ es un endomorfismo de $\mathbb R^3$ tal que, en la base canónica, $f(1,1,0)=(3,2,0)$, $f(2,3,1)=(1,-2,1)$, $f(0,-2,1)=(4,0,1)$, se pide encontrar su matriz asociada (referida a la base canónica de $\mathbb R^3$).

Qué se pide. Matriz $3\times3$ en la canónica: columnas $f(e_1),f(e_2),f(e_3)$.

1. $B$ es base (el enunciado lo afirma; conviene verlo): $$\det\begin{pmatrix}1&2&0\\1&3&-2\\0&1&1\end{pmatrix}=3\neq0.$$
2. Plantear con incógnitas vectoriales $u=f(e_1)$, $v=f(e_2)$, $w=f(e_3)$. Como $$(1,1,0)=e_1+e_2,\qquad(2,3,1)=2e_1+3e_2+e_3,\qquad(0,-2,1)=-2e_2+e_3,$$

   la propiedad 3 da

   $$\begin{cases}u+v=(3,2,0)\\2u+3v+w=(1,-2,1)\\-2v+w=(4,0,1)\end{cases}$$
3. Gauss con vectores. Los coeficientes forman la matriz $3\times3$ de la izquierda y cada fila del segundo miembro es un vector de $\mathbb R^3$. Matriz ampliada de partida: $$\left(\begin{array}{ccc|ccc}1&1&0&3&2&0\\2&3&1&1&-2&1\\0&-2&1&4&0&1\end{array}\right)$$

   Con $F_2\to F_2-2F_1$ (anula el 2 de la 1.ª columna; los vectores se restan componente a componente: $(1,-2,1)-2(3,2,0)=(-5,-6,1)$):

   $$\left(\begin{array}{ccc|ccc}1&1&0&3&2&0\\0&1&1&-5&-6&1\\0&-2&1&4&0&1\end{array}\right)$$

   Con $F_3\to F_3+2F_2$ (anula el $-2$ de la 2.ª columna):

   $$\left(\begin{array}{ccc|ccc}1&1&0&3&2&0\\0&1&1&-5&-6&1\\0&0&3&-6&-12&3\end{array}\right)$$
4. Despejar hacia arriba. $F_3/3$ da $w=(-2,-4,1)$. De la fila 2: $$v=(-5,-6,1)-w=(-3,-2,0).$$

   De la fila 1:

   $$u=(3,2,0)-v=(6,4,0).$$
5. Matriz (columnas $u,v,w$): $$A=\begin{pmatrix}6&-3&-2\\4&-2&-4\\0&0&1\end{pmatrix}.$$
6. Comprobación (lo más seguro): $$A\,(1,1,0)^T=(3,2,0)^T\ ✓,\qquad A\,(2,3,1)^T=(12-9-2,\ 8-6-4,\ 1)=(1,-2,1)\ ✓,$$ $$A\,(0,-2,1)^T=(6-2,\ 4-4,\ 1)=(4,0,1)\ ✓$$
7. Vía compacta. Con $P$ (vectores de $B$ en columna) y $F$ (sus imágenes en columna), $AP=F\Rightarrow A=FP^{-1}$; es la fórmula de cambio de base del tema 3.5 (Def. 3.15, U p.136). Sin calculadora, el sistema de arriba suele ser más corto.

Resultado: $A$ como arriba. (Verificado con sympy: $\det P=3$, $A=FP^{-1}$, $AP=F$.) Sobre la oficial: resultado correcto; plantea el sistema pero no muestra cómo lo resuelve, y la cabecera de las soluciones dice «ENERO 2021» (errata: el examen es de 2022).

Error típico: poner directamente $(3,2,0),(1,-2,1),(4,0,1)$ como columnas: es la matriz de $f$ respecto de $B$ (partida) y la canónica (llegada), no la pedida. Y equivocarse en un signo al despejar sin comprobar.

Hallar la matriz asociada, en las bases $\{(1,0,1),(1,0,0),(1,1,0)\}$ y $\{(0,1),(1,0)\}$, de la aplicación lineal $f:\mathbb R^3\to\mathbb R^2$ definida por $f(x,y,z)=(x-y-z,\ z)$.

Qué se pide. $B=\{(1,0,1),(1,0,0),(1,1,0)\}$ es la base de partida ($\mathbb R^3$, 3 columnas) y $S=\{(0,1),(1,0)\}$ la de llegada ($\mathbb R^2$, 2 filas): matriz $2\times3$.

1. Son bases. $$\det\begin{pmatrix}1&1&1\\0&0&1\\1&0&0\end{pmatrix}=1\neq0;$$

   $S$ es la canónica con el orden cambiado.

2. Imágenes de los vectores de $B$: $$f(1,0,1)=(0,1),\quad f(1,0,0)=(1,0),\quad f(1,1,0)=(0,0).$$
3. Coordenadas en $S=\{u_1=(0,1),u_2=(1,0)\}$. $$(a,b)=\alpha(0,1)+\beta(1,0)=(\beta,\alpha),$$

   luego las coordenadas son $(b,a)$ (se intercambian). Así

   $$(0,1)=(1,0)_S,\qquad(1,0)=(0,1)_S,\qquad(0,0)=(0,0)_S.$$
4. Matriz (coordenadas en columna, en el orden de $B$): $$A=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}.$$
5. Comprobación. $v=(2,1,1)$: $v=\alpha(1,0,1)+\beta(1,0,0)+\gamma(1,1,0)$ da $\gamma=1$ (2.ª comp.), $\alpha=1$ (3.ª), $\beta=0$, así que $v=(1,0,1)_B$. Entonces $$A\,(1,0,1)^T=(1,0)^T,$$

   que en $S$ es $1\cdot(0,1)+0\cdot(1,0)=(0,1)$; directamente, $f(2,1,1)=(0,1)$ ✓.

6. Contraste. En las bases canónicas la matriz sería $$\begin{pmatrix}1&-1&-1\\0&0&1\end{pmatrix}:$$

   otra matriz para la misma $f$ (el Teor. 3.3 dice «única para las bases elegidas»).

Resultado: $A=\begin{pmatrix}1&0&0\cr0&1&0\end{pmatrix}$. (Verificado con sympy.) Sobre la oficial: correcta y bien explicada.

Error típico: dejar las imágenes $(0,1),(1,0),(0,0)$ tal cual como columnas (usar la canónica en la llegada: sale $\begin{pmatrix}0&1&0\cr1&0&0\end{pmatrix}$, incorrecta), o calcular las coordenadas de los vectores de $B$ en lugar de las de sus imágenes.

Sea $f(x_1,x_2)=(-7x_1+6x_2,\ -9x_1+8x_2)$ una aplicación lineal de $\mathbb R^2$ en $\mathbb R^2$ respecto a la base canónica. Halle la matriz asociada a $f$ con respecto a la base $B=\{(1,-1),(1,1)\}$ (1 punto). (El 2.º apartado, diagonalizar, es del tema 4.3.)

Qué se pide. Es un endomorfismo: «respecto a la base $B$» significa $B$ en la partida y en la llegada. Columna $j$ = coordenadas en $B$ de $f(b_j)$.

1. $B$ es base: $$\det\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix}=2\neq0.$$
2. Imágenes de los vectores de $B$: $$f(1,-1)=(-7-6,\ -9-8)=(-13,-17),\qquad f(1,1)=(-7+6,\ -9+8)=(-1,-1).$$
3. Coordenadas en $B$ de un vector genérico (se hace una sola vez): $$(p,q)=a(1,-1)+b(1,1)=(a+b,\ -a+b).$$

   Sumando, $2b=p+q$; restando, $2a=p-q$. Luego

   $$a=\frac{p-q}2,\qquad b=\frac{p+q}2.$$
4. Aplicarlo: $(-13,-17)$: $a=\frac{-13+17}2=2$, $b=\frac{-30}2=-15$, es decir $(2,-15)_B$. $(-1,-1)$: $a=0$, $b=-1$, es decir $(0,-1)_B$.
5. Matriz: $$A_B=M(f;B,B)=\begin{pmatrix}2&0\\-15&-1\end{pmatrix}.$$
6. Comprobación: $$2(1,-1)-15(1,1)=(-13,-17)\ ✓,\qquad0(1,-1)-1(1,1)=(-1,-1)\ ✓$$

   Control extra (se justificará en 4.1): traza ($1$) y determinante ($-2$) coinciden con los de $\begin{pmatrix}-7&6\\-9&8\end{pmatrix}$ ($-7+8=1$; $-56+54=-2$) ✓.

7. Vía alternativa (tema 3.5). $A_B=P^{-1}AP$ con $P=\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix}$ (vectores de $B$ en columna). Da lo mismo.

Resultado: $A_B=\begin{pmatrix}2&0\cr-15&-1\end{pmatrix}$. (Verificado con sympy.) Sobre la oficial: correcta; en la vía alternativa llama $B$ tanto a la base como a la matriz de paso (conviene llamarla $P$).

Error típico: dejar las imágenes en canónicas (columnas $(-13,-17)$ y $(-1,-1)$): es la matriz de $B$ a la canónica, no la pedida. O calcular $PAP^{-1}$ (orden inverso).

Consideremos en $\mathbb R^3$ la base $B=\{u_1,u_2,u_3\}$ y en $\mathbb R^4$ la base $B'=\{v_1,v_2,v_3,v_4\}$. Determine de manera razonada el rango de la matriz asociada a la aplicación lineal $f:\mathbb R^3\to\mathbb R^4$ definida por $f(u_1)=-v_1+v_2+v_3$, $f(u_2)=v_1-v_2-v_3$ y $f(u_3)=(0,0,0,0)$.

Qué se pide. Construir la matriz respecto de $B$ y $B'$ y calcular su rango. No hace falta saber quiénes son los $u_i$, $v_j$: basta con las coordenadas.

1. Tamaño: $4\times3$ (4 filas = $\operatorname{Dim}\mathbb R^4$; 3 columnas = $\operatorname{Dim}\mathbb R^3$).
2. Coordenadas en $B'$ de cada imagen (los coeficientes de $v_1,\dots,v_4$): $$f(u_1)=(-1,1,1,0)_{B'},\qquad f(u_2)=(1,-1,-1,0)_{B'},\qquad f(u_3)=\bar0=(0,0,0,0)_{B'}$$

   (el vector nulo tiene coordenadas nulas en cualquier base).

3. Matriz (en columna): $$A=\begin{pmatrix}-1&1&0\\1&-1&0\\1&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}.$$
4. Rango. La 3.ª columna es nula; la 2.ª es $-1$ por la 1.ª; la 1.ª no es nula. Las columnas generan $\langle C_1\rangle$, de dimensión 1: $\operatorname{rang}A=1$ (Teor. 2.5).
5. Interpretación. $\operatorname{Dim}\operatorname{Im}f=1$ y $\operatorname{Dim}\operatorname{Nuc}f=3-1=2$ (Teor. 3.1, U p.111). De hecho, $$\operatorname{Nuc}f=\langle u_1+u_2,\ u_3\rangle,\qquad f(u_1+u_2)=f(u_1)+f(u_2)=\bar0:$$

   las soluciones de $AX=0$ son coordenadas en $B$ ($X=(1,1,0)$ y $X=(0,0,1)$) y se traducen de vuelta a vectores.

Resultado: $\operatorname{rang}A=1$. (Verificado con sympy.) Sobre la oficial: resultado correcto, pero dice que las columnas son «las coordenadas de la base $B$ respecto de $B'$» (deben ser las de las imágenes $f(u_j)$) y «como la 1.ª y la 2.ª son dependientes, el rango es 1» necesita añadir que la 3.ª es nula y la 1.ª no.

Error típico: escribir las coordenadas en filas (traspuesta); creer que, como $f(u_3)=\bar0$, la matriz «no tiene 3.ª columna» (tiene una columna de ceros); concluir rango 2 al ver dos columnas no nulas sin notar que son proporcionales.

Es cierto: A) Las matrices de cambio de base son singulares. B) La matriz asociada a una aplicación lineal depende de las bases fijadas. C) Todas las aplicaciones lineales son endomorfismos. D) Ninguna de las anteriores.

Qué se pide. Elegir la afirmación verdadera justificando por qué las otras fallan (son los ítems 8, 10 y 7 de la autoevaluación del cap. 3, U p.138).

1. B) Verdadera. La Def. 3.4 (U p.116) usa las coordenadas de $f(e_j)$ en la base $S$, con los $e_j$ de la base $B$: si cambia $B$ o $S$, cambian las columnas. El Teor. 3.3 (U p.115) dice que la matriz es única para las bases elegidas. Ejemplo: la $f$ de Feb. 2026 (ejercicio anterior) tiene $$\begin{pmatrix}-7&6\\-9&8\end{pmatrix}\ \text{en la canónica y}\ \begin{pmatrix}2&0\\-15&-1\end{pmatrix}\ \text{en }B=\{(1,-1),(1,1)\}.$$
2. A) Falsa. Las matrices de cambio de base son regulares (U §3.5, p.135): sus columnas son coordenadas de los vectores de una base, que son independientes, así que su rango es máximo y tienen inversa. «Singular» significaría determinante $0$.
3. C) Falsa. Un endomorfismo es una aplicación lineal de un espacio en sí mismo ($V=W$; E p.95 (margen); U §4.1.3 p.148). Contraejemplo: $f:\mathbb R^2\to\mathbb R^3$, $f(x_1,x_2)=(x_1,x_2,0)$, lineal pero con matriz $3\times2$ (ni cuadrada).
4. D) Falsa, porque B es cierta. Respuesta: B.

Resultado: B. Sobre la oficial: correcta pero sin justificar («véase la teoría»).

Error típico: elegir A confundiendo «matriz de cambio de base» con «matriz asociada a una aplicación no invertible», o creer que la matriz «es» la aplicación.

Sea $f:\mathbb R^3\to\mathbb R^3$, $f(x,y,z)=(x-2y,\ 3z,\ x+y+z)$. Escribe su matriz en la base canónica, sus ecuaciones y calcula $f(1,1,1)$ con la matriz.

Qué se pide. Matriz canónica de una $f$ dada por fórmula, sus ecuaciones y una imagen calculada con la matriz.

1. Columnas: $$f(e_1)=(1,0,1),\quad f(e_2)=(-2,0,1),\quad f(e_3)=(0,3,1).$$

   Matriz:

   $$A=\begin{pmatrix}1&-2&0\\0&0&3\\1&1&1\end{pmatrix}$$

   (fila $i$ = coeficientes de la componente $i$; ojo a los ceros).

2. Ecuaciones: $$y_1=x_1-2x_2,\qquad y_2=3x_3,\qquad y_3=x_1+x_2+x_3.$$
3. Compruebo con $(1,1,1)$: $$A\,(1,1,1)^T=(-1,3,3)^T;\qquad f(1,1,1)=(1-2,\ 3,\ 3)\ ✓$$

   (Además $\det A=-9\neq0$: $\operatorname{Im}f=\mathbb R^3$.)

$f:\mathbb R^3\to\mathbb R^3$ lineal con $f(1,2,1)=(3,1,5)$, $f(0,1,1)=(2,0,1)$ y $f(0,0,1)=(2,-1,0)$. Halla su matriz canónica y $f(1,2,-1)$.

Qué se pide. Las imágenes se dan sobre una base no canónica; hay que deducir $f(e_1),f(e_2),f(e_3)$ por linealidad.

1. ¿Base? $$\begin{vmatrix}1&0&0\\2&1&0\\1&1&1\end{vmatrix}=1\neq0\quad\text{(triangular)}:$$

   $b_1=(1,2,1)$, $b_2=(0,1,1)$, $b_3=(0,0,1)$ forman base y $f$ queda determinada.

2. Los $e_j$ con la base dada (de abajo arriba, porque $b_3=e_3$ y $b_2$ solo tiene $e_2,e_3$): $$e_3=b_3,\qquad e_2=b_2-b_3.$$

   Como $b_1=e_1+2e_2+e_3$:

   $$e_1=b_1-2e_2-e_3=b_1-2b_2+b_3.$$

   Comprobación: $(1,2,1)-2(0,1,1)+(0,0,1)=(1,0,0)$ ✓.

3. Linealidad: $$f(e_3)=f(b_3)=(2,-1,0),\qquad f(e_2)=f(b_2)-f(b_3)=(2,0,1)-(2,-1,0)=(0,1,1),$$ $$f(e_1)=f(b_1)-2f(b_2)+f(b_3)=(3,1,5)-(4,0,2)+(2,-1,0)=(1,0,3).$$
4. Matriz (columnas $f(e_1),f(e_2),f(e_3)$): $$A=\begin{pmatrix}1&0&2\\0&1&-1\\3&1&0\end{pmatrix}.$$

   Comprobación:

   $$A\,(1,2,1)^T=(3,1,5)^T\ ✓,\quad A\,(0,1,1)^T=(2,0,1)^T\ ✓,\quad A\,(0,0,1)^T=(2,-1,0)^T\ ✓$$
5. Imagen pedida: $$f(1,2,-1)=A\,(1,2,-1)^T=(1-2,\ 2+1,\ 3+2)=(-1,3,5).$$

Sea $f:\wp_2\to\wp_2$, $f(p)(x)=p(x+1)$. Halla su matriz en la base $\{1,x,x^2\}$ y úsala para calcular $f(2-x+3x^2)$.

Qué se pide. La matriz de un endomorfismo de polinomios, pasando cada imagen a coordenadas en $\{1,x,x^2\}$.

1. Es lineal: $$(p+\lambda q)(x+1)=p(x+1)+\lambda q(x+1).$$
2. Imágenes de la base: $$f(1)=1,\qquad f(x)=1+x,\qquad f(x^2)=(x+1)^2=1+2x+x^2;$$

   coordenadas $(1,0,0)$, $(1,1,0)$, $(1,2,1)$.

3. Matriz ($\operatorname{Dim}\wp_2=3$): $$A=\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&2\\0&0&1\end{pmatrix}.$$
4. $p=2-x+3x^2$ tiene coordenadas $(2,-1,3)$ y $$A\,(2,-1,3)^T=(4,5,3)^T,$$

   es decir, $f(p)=4+5x+3x^2$. Comprobación directa:

   $$2-(x+1)+3(x+1)^2=2-x-1+3x^2+6x+3=4+5x+3x^2\ ✓$$

$f:\mathbb R^3\to\mathbb R^2$, $f(x,y,z)=(x+y,\ y-z)$. Halla su matriz respecto de $B=\{(1,1,0),(0,1,1),(1,0,1)\}$ y $S=\{(1,0),(1,1)\}$ y compruébala con $v=(1,2,1)$.

Qué se pide. Matriz respecto de bases no canónicas $B$ (partida) y $S$ (llegada) y su comprobación con un vector dado en coordenadas de $B$.

1. Bases: el determinante de $B$ (en columnas) vale $2\neq0$ y $$\begin{vmatrix}1&1\\0&1\end{vmatrix}=1\neq0.$$
2. Imágenes: $$f(1,1,0)=(2,1),\quad f(0,1,1)=(1,0),\quad f(1,0,1)=(1,-1).$$
3. Coordenadas en $S$: $$(p,q)=a(1,0)+b(1,1)=(a+b,\ b)\ \Rightarrow\ b=q,\ a=p-q.$$

   Así:

   $$(2,1)=(1,1)_S,\qquad(1,0)=(1,0)_S,\qquad(1,-1)=(2,-1)_S.$$
4. Matriz: $$M(f;B,S)=\begin{pmatrix}1&1&2\\1&0&-1\end{pmatrix}.$$
5. Comprobación. $v=(1,2,1)=(1,1,0)+(0,1,1)$, es decir $v=(1,1,0)_B$. Entonces $$A\,(1,1,0)^T=(2,1)^T_S\ \Rightarrow\ f(v)=2(1,0)+1(1,1)=(3,1).$$

   Directamente, $f(1,2,1)=(3,\,1)$ ✓.