Matrices ortogonales

Demuéstrese que si $A$ es una matriz ortogonal de orden $m\times n$ y $\bar x\in\mathbb R^n$ entonces $\|A\bar x\|=\|\bar x\|$ considerando el producto escalar estándar.

Idea. Primero se prueba que conserva el producto escalar; la norma sale porque se define con él.

1. Producto escalar como producto de matrices. Con el estándar, $\bar x\cdot\bar y=X^tY$ (U p.196). Igual en $\mathbb R^m$: $A\bar x\cdot A\bar y=(AX)^t(AY)$.
2. Trasponer el producto: $(AX)^t=X^tA^t$, luego $A\bar x\cdot A\bar y=X^tA^tAY$.
3. Usar $A$ ortogonal. Teor. 5.5: $A^tA=I_n$. Entonces $X^t(A^tA)Y=X^tY=\bar x\cdot\bar y$.

4. Pasar a la norma. $\|\bar v\|=\sqrt{\bar v\cdot\bar v}$ (Def. 5.3). Con $\bar y=\bar x$:

   $$\|A\bar x\|=\sqrt{A\bar x\cdot A\bar x}=\sqrt{\bar x\cdot\bar x}=\|\bar x\|.$$

   $\blacksquare$

5. Consecuencias. Distancias y ángulos se definen con el producto escalar: $d(A\bar x,A\bar y)=\|A(\bar x-\bar y)\|=\|\bar x-\bar y\|$ y $\cos(A\bar x,A\bar y)=\cos(\bar x,\bar y)$; en particular $A\bar x\perp A\bar y\iff\bar x\perp\bar y$.

Comprobación numérica. $A=\tfrac13\begin{pmatrix}1&2\cr2&1\cr2&-2\end{pmatrix}$ y $\bar x=(3,0)$: $A\bar x=(1,2,2)$, $\|A\bar x\|=3=\|\bar x\|$.

Error típico: usar $AA^t=I$ en lugar de $A^tA=I$: si $A$ no es cuadrada, $AA^t\neq I_m$ y la prueba no funciona. Lo que aparece al desarrollar $(AX)^t(AY)$ es $A^tA$. Teoría: U Teor. 5.5 p.215 y propiedades p.217; U Def. 5.3 p.199.

Se pide caracterizar las matrices ortogonales de $\mathcal M_{2\times2}$.

Idea. El libro se queda en tres ecuaciones. Vamos más allá: solo hay giros ($\det=1$) y simetrías ($\det=-1$), cada una con un ángulo.

1. Plantear.

   $$A=\begin{pmatrix}a&b\cr c&d\end{pmatrix}$$

   es ortogonal $\iff A^tA=I_2$:

   $$\begin{pmatrix}a^2+c^2&ab+cd\cr ab+cd&b^2+d^2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\cr0&1\end{pmatrix},$$

   es decir $a^2+c^2=1,\ ab+cd=0,\ b^2+d^2=1$ (columna 1 unitaria, columnas perpendiculares, columna 2 unitaria). Esto es lo que da el libro.

2. Primera columna. $a^2+c^2=1$: el punto $(a,c)$ está en la circunferencia unidad, luego hay un único $\theta\in[0,2\pi)$ con $a=\cos\theta$, $c=\sin\theta$.
3. Segunda columna. $ab+cd=0$ dice $(b,d)\perp(a,c)$: una ecuación homogénea con $(a,c)\neq(0,0)$, solución de dimensión $1$. $(-c,a)$ es solución no nula, así que $(b,d)=k(-c,a)$.
4. Normalizar. $b^2+d^2=k^2(c^2+a^2)=k^2=1\Rightarrow k=\pm1$. Dos posibilidades: $$R_\theta=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\cr\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}\ (k=1),\qquad S_\theta=\begin{pmatrix}\cos\theta&\sin\theta\cr\sin\theta&-\cos\theta\end{pmatrix}\ (k=-1).$$ Ambas cumplen las tres ecuaciones: esa es la caracterización completa.
5. Distinguirlas. $\det R_\theta=\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$, $\det S_\theta=-1$ (coherente con 5.18 C).
6. $R_\theta$ es un giro: $R_\theta e_1=(\cos\theta,\sin\theta)$ y $R_\theta e_2=(-\sin\theta,\cos\theta)$; ambos vectores de la base giran $\theta$ en sentido antihorario y, por linealidad, todo el plano (Ej. 5.28 de U: $\theta=45^\circ$).
7. $S_\theta$ es una simetría respecto de la recta de ángulo $\theta/2$: con $v_1=(\cos\frac\theta2,\sin\frac\theta2)$ y $v_2=(-\sin\frac\theta2,\cos\frac\theta2)$ se comprueba (con $\cos\theta=\cos^2\frac\theta2-\sin^2\frac\theta2$, $\sin\theta=2\sin\frac\theta2\cos\frac\theta2$) que $S_\theta v_1=v_1$, $S_\theta v_2=-v_2$.

8. Ejemplos. $\theta=90^\circ$:

   $$R=\begin{pmatrix}0&-1\cr1&0\end{pmatrix}$$

   (cuarto de vuelta) y

   $$S=\begin{pmatrix}0&1\cr1&0\end{pmatrix}$$

   (simetría respecto de $y=x$, ángulo $45^\circ$). $\theta=0$: $R=I$, $S=\operatorname{diag}(1,-1)$ (simetría respecto de $OX$).

Error típico: creer que toda ortogonal $2\times2$ es un giro ($\begin{pmatrix}0&1\cr1&0\end{pmatrix}$ tiene $\det=-1$); decir que $S_\theta$ refleja respecto de la recta de ángulo $\theta$ (es $\theta/2$). Teoría: U Teor. 5.5 p.215, Ej. 5.28 p.217.

Si $A\in\mathcal M_{m\times n}$ es una matriz ortogonal se pide probar: A) $\operatorname{rang}(A)=n$. B) $n\le m$. C) Si $m=n$, entonces $\det(A)=-1$ o bien $\det(A)=1$. D) En general, $A^t$ no es necesariamente ortogonal. E) El sistema $AX=B$ es compatible determinado o incompatible.

Punto de partida. Sean $\bar c_1,\dots,\bar c_n\in\mathbb R^m$ las columnas. Por la Def. 5.13, son ortonormales: $\bar c_i\cdot\bar c_j=0$ si $i\neq j$ y $\|\bar c_i\|=1$.

1. A) $\operatorname{rang}A=n$. Cada $\bar c_i$ mide $1$, luego es no nulo. Los $\bar c_i$ son ortogonales dos a dos y no nulos: por el Teor. 5.2 (U p.206) son linealmente independientes. (Recordatorio: si $\sum\lambda_j\bar c_j=0$, multiplicando por $\bar c_i$ queda $\lambda_i\|\bar c_i\|^2=0$.) El rango es el número máximo de columnas independientes: $\operatorname{rang}A=n$. $\blacksquare$
2. B) $n\le m$. El rango nunca supera el número de filas: $n=\operatorname{rang}A\le m$. (En $\mathbb R^m$ no caben más de $m$ vectores independientes: una «ortogonal» $2\times3$ es imposible.) $\blacksquare$

3. C) Si $m=n$, $\det A=\pm1$. $A^tA=I_n$. Tomando determinantes y usando $\det(BC)=\det B\det C$, $\det A^t=\det A$ (U p.26): $1=\det(A^t)\det(A)=(\det A)^2$. Luego $\det A=\pm1$. $\blacksquare$ Ojo: el recíproco es falso,

   $$\begin{pmatrix}2&0\cr0&\frac12\end{pmatrix}.$$

4. D) $A^t$ no es necesariamente ortogonal. Contraejemplo:

   $$A=\begin{pmatrix}1&0\cr0&0\cr0&1\end{pmatrix}$$

   es ortogonal (columnas $(1,0,0),(0,0,1)$ ortonormales), pero

   $$A^t=\begin{pmatrix}1&0&0\cr0&0&1\end{pmatrix}$$

   tiene una columna nula (no unitaria): $AA^t=\operatorname{diag}(1,0,1)\neq I_3$. Además, por B), una $2\times3$ no puede ser ortogonal nunca. Matiz que el libro omite: si $m=n$, $A^{-1}=A^t$ da $AA^t=I$, es decir $(A^t)^tA^t=I$: $A^t$ sí es ortogonal, y las filas de una cuadrada ortogonal también son ortonormales.

5. E) $AX=B$ es compatible determinado o incompatible. $A$ tiene rango $n$ y la ampliada $(A\mid B)$ tiene $n+1$ columnas, así que $n\le\operatorname{rang}(A\mid B)\le n+1$. Si vale $n$: rango $A=$ rango ampliada $=$ nº de incógnitas, compatible determinado (Rouché-Frobenius, U p.30). Si vale $n+1$: incompatible. Nunca indeterminado (exigiría $\operatorname{rang}A\lt n$). Si $m=n$, $\operatorname{rang}(A\mid B)\le m=n$, luego solo compatible determinado. $\blacksquare$ (Es el X Feb. 2022 B, ya desarrollado en tema 1.4.)

Error típico: «$\det A=\pm1\Rightarrow A$ ortogonal» (falso); decir que $A^t$ nunca es ortogonal (en cuadradas siempre lo es). Teoría: U Def. 5.13 p.214, Teor. 5.5-5.6 p.215-216; U Teor. 5.2 p.206; U p.26, p.30.

Si $AX=B$ es un sistema de ecuaciones lineales compatible determinado y $A$ es una matriz ortogonal, ¿es posible simplificar el cálculo de la solución de dicho sistema?

1. Sea $X$ la solución: $AX=B$.
2. Multiplicamos a la izquierda por $A^t$ ($n\times m$ por $m\times1$, tiene sentido): $A^tAX=A^tB$.
3. Por el Teor. 5.5, $A^tA=I_n$: $X=A^tB$.
4. Respuesta: sí. Un solo producto matriz-vector, sin Gauss ni inversa ni Cramer. Si $A$ es cuadrada es $X=A^{-1}B$ con $A^{-1}=A^t$ (Teor. 5.6). Cada componente es $x_i=\bar c_i\cdot B$: las coordenadas de $B$ en la base ortonormal formada por las columnas (Teor. 5.3; es el Ej. 5.27 de U).
5. Cuidado con la hipótesis «compatible». Si $A$ es $m\times n$ con $m\gt n$, del paso 2 solo se deduce «si hay solución, es $A^tB$». Para saber si la hay, comprueba $A(A^tB)=B$. Si es incompatible, $A^tB$ no es solución: es la de mínimos cuadrados (tema 5.4).

Ejemplo. $A=\tfrac13\begin{pmatrix}2&-2&1\cr1&2&2\cr2&1&-2\end{pmatrix}$ (ortogonal, Propio 1 C), $B=(1,4,-1)^t$: $X=A^tB=\tfrac13(2+4-2,\,-2+8-1,\,1+8+2)=\tfrac13(4,5,11)$ y se comprueba $AX=B$.

Error típico: aplicar $X=A^tB$ a un sistema rectangular sin verificar compatibilidad. Teoría: U Teor. 5.5 p.215, Teor. 5.6 p.216, Ej. 5.27 p.216-217.

Si $A$ es una matriz ortogonal cuadrada, sus posibles valores propios son: A) Todos los reales positivos. B) $0$ y $1$. C) $\pm1$.

1. Valor propio real. Sea $\lambda\in\mathbb R$ con vector propio $\bar v\neq\bar0$: $A\bar v=\lambda\bar v$.

2. Tomar normas y usar 5.16:

   $$\|\bar v\|=\|A\bar v\|=\|\lambda\bar v\|=|\lambda|\,\|\bar v\|.$$

   Como $\|\bar v\|\neq0$: $|\lambda|=1$, es decir $\lambda=1$ o $\lambda=-1$. (El libro razona con matrices: traspone $A\bar v=\lambda\bar v$, multiplica por $A\bar v$ y llega a $\bar v^t\bar v=\lambda^2\bar v^t\bar v$, o sea $\lambda^2=1$.)

3. A) Falsa: un real positivo $\neq1$ (p. ej. $2$) nunca es valor propio; además $-I_2$ es ortogonal y su único valor propio es $-1\lt0$.
4. B) Falsa: $0$ nunca lo es: $\det A=\pm1\neq0$ (5.18 C), $A$ es regular.
5. C) Correcta, leída como «los únicos valores propios reales posibles son $1$ y $-1$» (así la enuncia U en la autoevaluación, p.238, cuestión 6). No significa que estén los dos ($I$ solo tiene $1$) ni que haya alguno real.

6. Una ortogonal puede no tener valores propios reales. El giro de $90^\circ$,

   $$R=\begin{pmatrix}0&-1\cr1&0\end{pmatrix},$$

   es ortogonal y su ecuación característica $\lambda^2+1=0$ no tiene raíces reales (sus raíces complejas $\pm i$ tienen módulo $1$). En general $R_\theta$:

   $$\lambda^2-2\cos\theta\,\lambda+1=0\Rightarrow\lambda=\cos\theta\pm i\sin\theta,$$

   módulo $1$; reales solo si $\theta=0,\pi$.

7. Ampliación (fuera del alcance de U, que trabaja en $\mathbb R$): toda raíz compleja $\lambda$ del polinomio característico de una ortogonal real cumple $|\lambda|=1$: si $A\bar v=\lambda\bar v$ con $\bar v\in\mathbb C^n$, conjugando y multiplicando se obtiene $v^*A^tAv=|\lambda|^2\,v^*v$ (con $v^*=\overline{v}^{\,t}$, el vector conjugado y traspuesto), y como $A^tA=I$ y $v^*v=\sum|v_i|^2\gt0$, sale $|\lambda|^2=1$. Los valores propios están en la circunferencia unidad; los reales son sus dos puntos $\pm1$.

Respuesta: C.

Error típico: leer C como «siempre tiene los valores propios $1$ y $-1$» o «siempre es diagonalizable». Teoría: U Def. 4.6-4.9 p.151-152; U p.217; U p.238 (cuestión 6).

Compruébese si las matrices siguientes son ortogonales: A) $A$ simétrica de orden $n$ tal que $A^2=I_n$. B) $A=\begin{pmatrix}1&0\cr0&1\cr1&0\cr0&0\end{pmatrix}$. C) $A$ de orden $m\times n$ tal que $AA^t=I_m$. D) Las matrices elementales.

Criterio en todos los apartados: $A$ ortogonal $\iff A^tA=I_n$ (Teor. 5.5).

1. A) Sí lo es. Simétrica: $A^t=A$. Entonces $A^tA=AA=A^2=I_n$. $\blacksquare$ Ejemplos: $I_n$;

   $$\begin{pmatrix}0&1\cr1&0\end{pmatrix};$$

   la simetría respecto del plano $x+y+z=0$,

   $$\tfrac13\begin{pmatrix}1&-2&-2\cr-2&1&-2\cr-2&-2&1\end{pmatrix}$$

   (matriz de Householder del Propio 4). Geométricamente: «aplicarla dos veces lo deja todo igual»; las ortogonales simétricas son exactamente las simetrías ortogonales respecto de un subespacio (valores propios $\pm1$): $I$, la simetría respecto de un plano, la simetría respecto de una recta (en $\mathbb R^3$, el giro de $180^\circ$ alrededor de ella, p. ej. U Ej. 5.26) y $-I$. (Es el X Sept. 2025, sección 10.)

2. B) No lo es. Columnas $\bar c_1=(1,0,1,0)$, $\bar c_2=(0,1,0,0)$: perpendiculares pero $\|\bar c_1\|=\sqrt2\neq1$.

   $$A^tA=\begin{pmatrix}2&0\cr0&1\end{pmatrix}\neq I_2.$$

   Ortogonal pero no ortonormal. (Dividiendo la 1.ª columna por $\sqrt2$ sí lo sería.)

3. C) No necesariamente. $AA^t=I_m$ dice que las filas son ortonormales, no las columnas. Contraejemplo: $A=(1\ \ 0)$ ($1\times2$): $AA^t=(1)=I_1$, pero

   $$A^tA=\begin{pmatrix}1&0\cr0&0\end{pmatrix}\neq I_2$$

   (la 2.ª columna es nula). Además $n=2\gt m=1$, imposible para una ortogonal (5.18 B). Errata del libro: escribe «$A^tA=I$»; es $AA^t=I_1$. Matiz: si $m=n$, $AA^t=I$ implica $A^t=A^{-1}$ y entonces $A$ sí es ortogonal: el contraejemplo ha de ser rectangular.

4. D) Solo algunas. Una matriz elemental (Def. 1.2, U p.15) sale de $I_n$ con una operación por filas. Tres tipos, estudiados por columnas:
   • Permutación $F_i\leftrightarrow F_j$: sí, siempre. Sus columnas son $e_1,\dots,e_n$ reordenadas: ortonormales. ($E_{12}=\begin{pmatrix}0&1\cr1&0\end{pmatrix}$.)
   • $F_i\to\alpha F_i$ ($\alpha\neq0$): solo si $\alpha=\pm1$. Su columna $i$ es $\alpha e_i$, de norma $|\alpha|$; las demás son perpendiculares. Contraejemplo del libro: $\begin{pmatrix}2&0\cr0&1\end{pmatrix}$. Para $\alpha=-1$, $\operatorname{diag}(1,\dots,-1,\dots,1)$ sí es ortogonal.
   • $F_i\to F_i+\lambda F_j$ ($i\neq j$, $\lambda\neq0$): nunca. Su columna $j$ es $e_j+\lambda e_i$, de norma $\sqrt{1+\lambda^2}\gt1$. Contraejemplo: $\begin{pmatrix}1&0\cr2&1\end{pmatrix}$, $A^tA=\begin{pmatrix}5&2\cr2&1\end{pmatrix}$. En general $\begin{pmatrix}1&0\cr\lambda&1\end{pmatrix}^t\begin{pmatrix}1&0\cr\lambda&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1+\lambda^2&\lambda\cr\lambda&1\end{pmatrix}=I\iff\lambda=0$. (Errata menor: el libro escribe $\lambda\alpha$.)
   Conclusión: las elementales no son, en general, ortogonales; lo son las de permutación y las de tipo $F_i\to-F_i$ (y la identidad).

Error típico: confundir «columnas ortogonales» con «matriz ortogonal» (B); confundir $AA^t$ con $A^tA$ en rectangulares (C). Teoría: U Teor. 5.5-5.6 p.215-216; U Def. 1.2 p.15-16.

Compruébese si $A=\begin{pmatrix}\frac1{\sqrt2}&0&\frac1{\sqrt2}\cr0&1&0\cr-\frac1{\sqrt2}&0&\frac1{\sqrt2}\end{pmatrix}$ es ortogonal.

Tres caminos, como el libro; en el examen basta uno bien justificado.

1. Por columnas (Def. 5.13). $\bar c_1=\left(\frac1{\sqrt2},0,-\frac1{\sqrt2}\right)$, $\bar c_2=(0,1,0)$, $\bar c_3=\left(\frac1{\sqrt2},0,\frac1{\sqrt2}\right)$. Normas: $\frac12+\frac12=1$, $1$, $\frac12+\frac12=1$. Productos: $\bar c_1\cdot\bar c_2=0$, $\bar c_2\cdot\bar c_3=0$, $\bar c_1\cdot\bar c_3=\frac12-\frac12=0$. Sistema ortonormal ⇒ ortogonal.
2. Por $A^tA$ (Teor. 5.5). La entrada $(i,j)$ de $A^tA$ es $\bar c_i\cdot\bar c_j$; por el paso 1, $A^tA=I_3$.

3. Por la inversa (Teor. 5.6).

   $$|A|=1\cdot\left(\frac1{\sqrt2}\cdot\frac1{\sqrt2}-\frac1{\sqrt2}\cdot\left(-\frac1{\sqrt2}\right)\right)=1$$

   (desarrollo por la fila 2) y, con la adjunta,

   $$A^{-1}=\begin{pmatrix}\frac1{\sqrt2}&0&-\frac1{\sqrt2}\cr0&1&0\cr\frac1{\sqrt2}&0&\frac1{\sqrt2}\end{pmatrix}=A^t$$

   ✓.

4. Interpretación (propio). $\det A=1$ y $A\bar e_2=\bar e_2$: el eje $OY$ queda fijo. En el plano $XZ$ actúa como

   $$\begin{pmatrix}\cos45^\circ&\sin45^\circ\cr-\sin45^\circ&\cos45^\circ\end{pmatrix}:$$

   es un giro de $45^\circ$ alrededor del eje $OY$. Por la traza:

   $$\operatorname{tr}A=\sqrt2+1=1+2\cos\theta\Rightarrow\cos\theta=\frac{\sqrt2}2,$$

   $\theta=45^\circ$. Los otros dos valores propios son complejos, $\frac{\sqrt2}2\pm\frac{\sqrt2}2i$, de módulo $1$. (Carga el preset «E 5.25» en la animación 3D.)

Respuesta: sí, $A$ es ortogonal (y $\det A=1$). Errata del libro: en el segundo método escribe $\operatorname{Col}A=\{(\frac12,0,-\frac12),(-\frac12,0,-\frac12),(\frac12,0,\frac12)\}$, mal dos veces (denominador $\sqrt2$, no $2$, y la 2.ª columna es $(0,1,0)$); las comprobaciones que siguen usan los vectores correctos. «Usando MAXIMA» no es materia de examen.

Error típico: comprobar solo las normas (o solo la perpendicularidad). Teoría: U Def. 5.13 p.214, Teor. 5.5-5.6 p.215-216.

Se pide deducir, en términos generales, las propiedades de las matrices $Q$ y $R$ de la factorización $QR$ de una matriz $A\in\mathcal M_{m\times n}$ cuyas columnas son linealmente independientes.

Idea. Gram-Schmidt convierte las columnas $\bar c_1,\dots,\bar c_n$ en una base ortonormal $\bar u_1,\dots,\bar u_n$ del mismo subespacio, de modo que cada $\bar c_j$ solo usa $\bar u_1,\dots,\bar u_j$. Escrito en forma matricial, eso es $A=QR$ con $R$ triangular.

1. Ortogonalizar (U p.207-208): $\bar e_1=\bar c_1$,

   $$\bar e_j=\bar c_j-\sum_{i\lt j}\frac{\bar c_j\cdot\bar e_i}{\bar e_i\cdot\bar e_i}\bar e_i.$$

   Cada $\bar e_j\neq\bar0$ (si no, $\bar c_j$ sería combinación de los anteriores) y

   $$\langle\bar e_1,\dots,\bar e_j\rangle=\langle\bar c_1,\dots,\bar c_j\rangle.$$
2. Normalizar: $\bar u_j=\bar e_j/\|\bar e_j\|$; $Q=(\bar u_1\ \cdots\ \bar u_n)\in\mathcal M_{m\times n}$.
3. Propiedad de $Q$. Columnas ortonormales ⇒ $Q^tQ=I_n$ (Teor. 5.5) y son una base ortonormal de $\langle\operatorname{Col}A\rangle$. Si $m\gt n$, $QQ^t\neq I_m$ (5.18 D).
4. Cada columna de $A$ en la base $\{\bar u_i\}$. Por el paso 1, $\bar c_j\in\langle\bar u_1,\dots,\bar u_j\rangle$. En base ortonormal las coordenadas son productos escalares (Teor. 5.3): $\bar c_j=\sum_{i\le j}r_{ij}\bar u_i$ con $r_{ij}=\bar c_j\cdot\bar u_i$, y $r_{ij}=0$ si $i\gt j$.
5. Forma matricial. Para $j=1,\dots,n$: la columna $j$ de $A$ es $Q$ por la columna $j$ de $R=(r_{ij})$, es decir $A=QR$, con $R$ triangular superior ($r_{ij}=0$ si $i\gt j$).

6. Diagonal positiva. $r_{jj}=\bar c_j\cdot\bar u_j$; como

   $$\bar c_j=\bar e_j+(\text{comb. de }\bar u_1,\dots,\bar u_{j-1})$$

   y $\bar u_j\perp\bar u_i$ ($i\lt j$): $r_{jj}=\bar e_j\cdot\bar u_j=\|\bar e_j\|\gt0$.

7. $R$ regular: triangular con $\det R=r_{11}\cdots r_{nn}\gt0$.
8. Cómo calcular $R$: de $A=QR$, multiplicando por $Q^t$: $Q^tA=Q^tQR=R$, es decir $R=Q^tA$ (U p.218).
9. Lectura del libro (operaciones por columnas): el paso 1 son reemplazos $C_j\to C_j-\sum\lambda_iC_i$ (matrices triangulares con unos) y el paso 2 multiplicaciones $C_j\to\alpha_jC_j$ con $\alpha_j=1/\|\bar e_j\|\gt0$; $AE=Q$ con $E$ triangular superior de diagonal positiva y $R=E^{-1}$ hereda esas propiedades. (Errata menor: «$C_i\leftrightarrow\alpha_iC_i$» debe ser «$C_i\to\alpha_iC_i$».)

Resumen. $Q\in\mathcal M_{m\times n}$, $Q^tQ=I_n$, columnas = base ortonormal de $\langle\operatorname{Col}A\rangle$. $R\in\mathcal M_{n\times n}$ triangular superior, regular, $r_{jj}=\|\bar e_j\|\gt0$, $R=Q^tA$, $r_{ij}=\bar c_j\cdot\bar u_i$.

Error típico: olvidar que $r_{jj}=\|\bar e_j\|$ (el vector ortogonalizado), no la norma de $\bar c_j$. Teoría: U §5.2.2 p.218; U §5.1.5 p.207-208; Teor. 5.3 p.207.

Calcúlese una factorización $QR$ de $A=\begin{pmatrix}1&0&1\cr0&1&2\cr-1&2&1\cr0&1&1\end{pmatrix}$.

1. Columnas libres. $\bar c_1=(1,0,-1,0)$, $\bar c_2=(0,1,2,1)$, $\bar c_3=(1,2,1,1)$. Escalonando: $F_3\to F_3+F_1$ da $(0,2,2)$; con $F_2=(0,1,2)$: $F_3\to F_3-2F_2$ da $(0,0,-2)$, $F_4\to F_4-F_2$ da $(0,0,-1)$, $F_4\to F_4-\frac12F_3$ da $0$. Tres filas no nulas: $\operatorname{rang}A=3=n$. Existe la $QR$.
2. $\bar e_1$. $\bar e_1=\bar c_1=(1,0,-1,0)$, $\bar e_1\cdot\bar e_1=2$.
3. $\bar e_2$. $\bar c_2\cdot\bar e_1=-2$: $\bar e_2=\bar c_2+\bar e_1=(1,1,1,1)$, $\bar e_2\cdot\bar e_2=4$. Control: $\bar e_2\cdot\bar e_1=1-1=0$ ✓.

4. $\bar e_3$. $\bar c_3\cdot\bar e_1=0$ (¡ya es perpendicular a $\bar e_1$: ese término desaparece!) y $\bar c_3\cdot\bar e_2=5$:

   $$\bar e_3=\bar c_3-\tfrac54\bar e_2=\left(-\tfrac14,\tfrac34,-\tfrac14,-\tfrac14\right).$$

   Controles: $\bar e_3\cdot\bar e_1=0$, $\bar e_3\cdot\bar e_2=\frac{-1+3-1-1}4=0$ ✓.

5. Normalizar. $\|\bar e_1\|=\sqrt2$, $\|\bar e_2\|=2$, $\|\bar e_3\|=\sqrt{\frac{12}{16}}=\frac{\sqrt3}2$ (truco: normaliza $4\bar e_3=(-1,3,-1,-1)$, de norma $2\sqrt3$). $\bar u_1=\left(\frac1{\sqrt2},0,-\frac1{\sqrt2},0\right)$, $\bar u_2=\left(\frac12,\frac12,\frac12,\frac12\right)$,

   $$\bar u_3=\left(-\frac1{2\sqrt3},\frac{\sqrt3}2,-\frac1{2\sqrt3},-\frac1{2\sqrt3}\right).$$$$Q=\begin{pmatrix}\frac1{\sqrt2}&\frac12&-\frac1{2\sqrt3}\cr0&\frac12&\frac{\sqrt3}2\cr-\frac1{\sqrt2}&\frac12&-\frac1{2\sqrt3}\cr0&\frac12&-\frac1{2\sqrt3}\end{pmatrix},\qquad Q^tQ=I_3 .$$
6. $R=Q^tA$, entrada a entrada $r_{ij}=\bar c_j\cdot\bar u_i$: $r_{11}=\sqrt2$, $r_{12}=\frac{-2}{\sqrt2}=-\sqrt2$, $r_{13}=0$; $r_{22}=\frac{0+1+2+1}2=2$, $r_{23}=\frac52$; $r_{33}=\frac{-1+6-1-1}{2\sqrt3}=\frac{\sqrt3}2$; debajo de la diagonal, $0$. $$R=\begin{pmatrix}\sqrt2&-\sqrt2&0\cr0&2&\frac52\cr0&0&\frac{\sqrt3}2\end{pmatrix}.$$ La diagonal coincide con $\|\bar e_j\|$ ✓.

7. Comprobación. $QR=A$. Columna 3:

   $$0\cdot\bar u_1+\frac52\bar u_2+\frac{\sqrt3}2\bar u_3=\left(\frac54,\frac54,\frac54,\frac54\right)+\left(-\frac14,\frac34,-\frac14,-\frac14\right)=(1,2,1,1)=\bar c_3$$

   ✓.

El libro coincide en todo.

Error típico: restar al calcular $\bar e_3$ la proyección sobre $\bar c_1,\bar c_2$ (columnas originales) en vez de sobre $\bar e_1,\bar e_2$. Teoría: U §5.2.2 p.218-220 (Ej. 5.29); U §5.1.5 p.207-208.

Utilizando la factorización $QR$, se pide resolver $\begin{pmatrix}1&0&1\cr0&1&2\cr-1&2&1\cr0&1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\cr y\cr z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\cr2\cr1\cr1\end{pmatrix}$.

1. Comprobar compatibilidad (el libro la afirma al final con «rango 3, 3 incógnitas», pero sin mirar el rango de la ampliada). $A$ es $4\times3$: puede ser incompatible (5.18 E). Observamos que $\bar b=(1,2,1,1)$ es la tercera columna de $A$, luego $\operatorname{rang}(A\mid\bar b)=\operatorname{rang}A=3=$ nº de incógnitas: compatible determinado (Rouché, U p.30).
2. Sustituir $A=QR$ (de 5.23): $QRX=\bar b$.
3. Multiplicar por $Q^t$ y usar $Q^tQ=I_3$: $RX=Q^t\bar b$. (Esto es una implicación: si el sistema fuera incompatible, $RX=Q^t\bar b$ daría la solución de mínimos cuadrados, no una solución de verdad. Por eso hacía falta el paso 1.)
4. Calcular $Q^t\bar b$: $\bar u_1\cdot\bar b=\frac{1-1}{\sqrt2}=0$; $\bar u_2\cdot\bar b=\frac{1+2+1+1}2=\frac52$; $\bar u_3\cdot\bar b=\frac{-1+6-1-1}{2\sqrt3}=\frac{\sqrt3}2$.

5. Sistema triangular:

   $$\begin{pmatrix}\sqrt2&-\sqrt2&0\cr0&2&\frac52\cr0&0&\frac{\sqrt3}2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\cr y\cr z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\cr\frac52\cr\frac{\sqrt3}2\end{pmatrix}\iff\begin{cases}\sqrt2x-\sqrt2y=0\cr2y+\frac52z=\frac52\cr\frac{\sqrt3}2z=\frac{\sqrt3}2\end{cases}$$
6. Sustitución regresiva (de abajo arriba; cada ecuación añade una sola incógnita con coeficiente $r_{jj}\gt0$): $z=1$; $2y=\frac52-\frac52=0\Rightarrow y=0$; $\sqrt2x=\sqrt2y=0\Rightarrow x=0$.
7. Comprobación. $A(0,0,1)^t=(1,2,1,1)^t=\bar b$ ✓.

Solución: $x=0,\ y=0,\ z=1$ (coincide con el libro). Errata de la primera ecuación y argumento insuficiente de la compatibilidad: ver el recuadro de erratas.

Error típico: resolver $RX=Q^t\bar b$ y no comprobar en $AX=\bar b$ cuando $A$ es rectangular. Teoría: U §5.2.2 p.218; U §1.4 p.30; adelanto de U §5.4.

Decide si son ortogonales: A) $\frac15\begin{pmatrix}3&-4\cr4&3\end{pmatrix}$; B) $\begin{pmatrix}1&1\cr-1&1\end{pmatrix}$; C) $\frac13\begin{pmatrix}2&-2&1\cr1&2&2\cr2&1&-2\end{pmatrix}$. Para las que lo sean, da la inversa y el determinante.

1. A. Columnas $\frac15(3,4)$, $\frac15(-4,3)$: normas $1$, producto $\frac{-12+12}{25}=0$. Ortogonal; $\det=\frac{9+16}{25}=1$: giro con $\cos\theta=\frac35$, $\sin\theta=\frac45$ ($\theta\approx53{,}13^\circ$);

   $$A^{-1}=A^t=\frac15\begin{pmatrix}3&4\cr-4&3\end{pmatrix}.$$
2. B. Columnas $(1,-1)$, $(1,1)$: perpendiculares pero de norma $\sqrt2$; $B^tB=2I\neq I$: no (sí lo es $\frac1{\sqrt2}B$).
3. C. Sacando el $\frac13$: normas $\frac{\sqrt{4+1+4}}3=1$ las tres; productos (sin $\frac19$): $-4+2+2=0$, $2+2-4=0$, $-2+4-2=0$. Ortogonal, $C^{-1}=C^t$, $\det C=-1$ y $\operatorname{tr}C=\frac{2+2-2}3=\frac23\neq1$: no es un giro y tampoco una simetría respecto de un plano, sino una simetría rotatoria (rotorreflexión: giro compuesto con simetría).

Error típico: olvidar el factor común al calcular normas (la columna $(2,1,2)$ mide $3$, no $1$).

Halla todas las matrices ortogonales de orden $2$ cuya primera fila sea $\left(\frac35,\frac45\right)$.

1. $A$ cuadrada ortogonal ⇒ $AA^t=I$: las filas también son ortonormales (5.18 D). Buscamos una 2.ª fila $(x,y)$ unitaria y perpendicular a $(\frac35,\frac45)$.
2. $\frac35x+\frac45y=0\Rightarrow(x,y)=k(-4,3)$; norma $25k^2=1\Rightarrow k=\pm\frac15$.

3. Dos soluciones:

   $$\begin{pmatrix}\frac35&\frac45\cr-\frac45&\frac35\end{pmatrix}$$

   ($\det=1$, giro) y

   $$\begin{pmatrix}\frac35&\frac45\cr\frac45&-\frac35\end{pmatrix}$$

   ($\det=-1$, simetría). En ambas $A^tA=I$.

Error típico: dar una única solución: siempre hay dos.

Halla $a,b,c$ para que $M=\begin{pmatrix}\frac13&\frac23&a\cr\frac23&\frac13&b\cr\frac23&-\frac23&c\end{pmatrix}$ sea ortogonal. ¿Para cuál es $\det M=1$?

1. Columnas 1 y 2 ya válidas: normas $\frac{\sqrt{1+4+4}}3=1$, producto $\frac{2+2-4}9=0$.
2. La columna 3, $\bar w=(a,b,c)$, debe ser perpendicular a $(1,2,2)$ y a $(2,1,-2)$: $a+2b+2c=0$, $2a+b-2c=0$. Sumando: $3a+3b=0\Rightarrow b=-a$; en la primera, $a-2a+2c=0\Rightarrow c=\frac a2$. Así $\bar w=\frac a2(2,-2,1)$.
3. Norma 1: $\frac{a^2}4\cdot9=1\Rightarrow a=\pm\frac23$. Soluciones: $(a,b,c)=\left(\frac23,-\frac23,\frac13\right)$ o $\left(-\frac23,\frac23,-\frac13\right)$.
4. Con la segunda, $\det M=1$ (giro); con la primera, $\det M=-1$.

Variante sin solución (como U Ej. 5.25). $A=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}t&1\cr1&t\end{pmatrix}$: $A^tA=\begin{pmatrix}\frac{t^2+1}2&t\cr t&\frac{t^2+1}2\end{pmatrix}$ exige $t=0$ y $\frac{t^2+1}2=1$: incompatible, ningún $t$ sirve.

Error típico: imponer normas antes que perpendicularidad y acabar con un sistema no lineal innecesariamente difícil.

Sea $\bar w=(1,1,1)$ y $\bar u=\bar w/\|\bar w\|$. Calcula $H=I-2\bar u\bar u^t$, prueba que es simétrica y ortogonal y describe qué hace.

1. $$\bar u\bar u^t=\frac{\bar w\bar w^t}{\bar w^t\bar w}=\frac13\begin{pmatrix}1&1&1\cr1&1&1\cr1&1&1\end{pmatrix},$$

   luego

   $$H=\frac13\begin{pmatrix}1&-2&-2\cr-2&1&-2\cr-2&-2&1\end{pmatrix}.$$

2. Simétrica: $H^t=I-2(\bar u\bar u^t)^t=H$. Ortogonal:

   $$H^tH=H^2=I-4\bar u\bar u^t+4\bar u(\bar u^t\bar u)\bar u^t=I$$

   porque $\bar u^t\bar u=1$ (o por 5.21 A).

3. Qué hace: $H\bar u=-\bar u$ y, si $\bar x\perp\bar u$, $H\bar x=\bar x$: es la simetría respecto del plano $x+y+z=0$. Numérico: $H(1,1,1)=(-1,-1,-1)$, $H(1,-1,0)=(1,-1,0)$.
4. Valores propios $1,1,-1$; $\det H=-1$.

Error típico: usar $\bar w$ sin normalizar en $I-2\bar w\bar w^t$ (no sale ortogonal).

Prueba que $P=\begin{pmatrix}0&0&1\cr1&0&0\cr0&1&0\end{pmatrix}$ es la matriz de un giro y halla su eje y su ángulo.

1. Ortogonal con $\det=1$: columnas $e_2,e_3,e_1$; $\det P=1$.
2. Eje $=\operatorname{Nuc}(P-I)$: $-x+z=0,\ x-y=0,\ y-z=0\Rightarrow x=y=z$. Eje $=\langle(1,1,1)\rangle$.
3. Por qué hay eje: polinomio característico de grado $3$ real ⇒ raíz real; por 5.20 vale $\pm1$; con $\det=1$ y las otras dos complejas conjugadas ($\mu\bar\mu=1$), la real es $1$. Aquí $|P-\lambda I|=-\lambda^3+1$, raíces $1$ y $-\frac12\pm\frac{\sqrt3}2i$.

4. Ángulo por la traza:

   $$\operatorname{tr}P=0=1+2\cos\theta\Rightarrow\cos\theta=-\frac12\Rightarrow\theta=120^\circ.$$

   Comprobación: en la base ortonormal $\frac1{\sqrt2}(1,-1,0),\frac1{\sqrt6}(1,1,-2),\frac1{\sqrt3}(1,1,1)$ la matriz es

   $$\begin{pmatrix}-\frac12&-\frac{\sqrt3}2&0\cr\frac{\sqrt3}2&-\frac12&0\cr0&0&1\end{pmatrix}.$$

   Además $P^3=I$.

Error típico: usar $\cos\theta=\frac{\operatorname{tr}A}3$ o $\frac{\operatorname{tr}A}2$; buscar el eje en $\operatorname{Nuc}(A+I)$.

Halla la matriz (en la base canónica) de la simetría ortogonal $S$ respecto del plano $\pi:x+2y+2z=0$. Comprueba que es ortogonal con $\det S=-1$.

1. Idea: $\bar v=\bar v_\pi+\bar v_n$ (componente en el plano + componente normal); la simetría conserva la primera y cambia de signo la segunda: $S\bar v=\bar v-2\bar v_n$.
2. Componente normal = proyección sobre $\bar n=(1,2,2)$ (Def. 5.12): $\bar v_n=\frac{\bar n\bar n^t}{9}\bar v$.

3. Matriz:

   $$S=I-\frac29\bar n\bar n^t=I-\frac29\begin{pmatrix}1&2&2\cr2&4&4\cr2&4&4\end{pmatrix}=\frac19\begin{pmatrix}7&-4&-4\cr-4&1&-8\cr-4&-8&1\end{pmatrix}.$$
4. Ortogonal: $49+16+16=81$ ✓; $(7,-4,-4)\cdot(-4,1,-8)=-28-4+32=0$ ✓; las demás igual.
5. Valores propios: $S\bar n=-\bar n$ ($-1$); $S(-2,1,0)=(-2,1,0)$ y $S(-2,0,1)=(-2,0,1)$ (base del plano, valor $1$). $\det S=-1$.
6. Ejemplo: $\bar v=(1,1,1)$: $\bar v\cdot\bar n=5$, $S\bar v=\bar v-\frac{10}9\bar n=\frac19(-1,-11,-11)$.

Error típico: calcular la proyección $I-\frac{\bar n\bar n^t}{\bar n^t\bar n}$ (no ortogonal, $\det=0$) en vez de la simetría (factor $2$).

$R_z=\begin{pmatrix}0&-1&0\cr1&0&0\cr0&0&1\end{pmatrix}$ (giro de $90^\circ$ alrededor de $OZ$) y $R_x=\begin{pmatrix}1&0&0\cr0&0&-1\cr0&1&0\end{pmatrix}$ (giro de $90^\circ$ alrededor de $OX$). Calcula $R_zR_x$ y $R_xR_z$, prueba que son giros y halla eje y ángulo.

1. El producto de ortogonales es ortogonal (Propio 11): $(R_zR_x)^t(R_zR_x)=R_x^tR_z^tR_zR_x=I$, y $\det=1\cdot1=1$: son giros.
2. $$R_zR_x=\begin{pmatrix}0&0&1\cr1&0&0\cr0&1&0\end{pmatrix}=P$$

   del Propio 5: eje $\langle(1,1,1)\rangle$, ángulo $120^\circ$.

3. $$R_xR_z=\begin{pmatrix}0&-1&0\cr0&0&-1\cr1&0&0\end{pmatrix}:$$

   traza $0\Rightarrow\theta=120^\circ$; eje $=\operatorname{Nuc}(R_xR_z-I)$: $-x-y=0,\ -y-z=0,\ x-z=0\Rightarrow\langle(1,-1,1)\rangle$.

4. Moraleja: $R_zR_x\neq R_xR_z$ (mismo ángulo, distinto eje): los giros de $\mathbb R^3$ no conmutan.

Error típico: multiplicar en el orden equivocado ($R_zR_x$ es «primero $R_x$, luego $R_z$»).

Factoriza $A=\begin{pmatrix}1&3\cr2&3\cr2&0\end{pmatrix}$ como $QR$.

1. Columnas $\bar c_1=(1,2,2)$, $\bar c_2=(3,3,0)$ no proporcionales ⇒ libres (rango $2$).
2. $\bar e_1=\bar c_1$, $\bar e_1\cdot\bar e_1=9$; $\bar c_2\cdot\bar e_1=9$: $\bar e_2=\bar c_2-\bar e_1=(2,1,-2)$. Control: $\bar e_2\cdot\bar e_1=2+2-4=0$ ✓.

3. $\|\bar e_1\|=\|\bar e_2\|=3$:

   $$Q=\frac13\begin{pmatrix}1&2\cr2&1\cr2&-2\end{pmatrix}.$$

4. $R=Q^tA$: $r_{11}=3$, $r_{12}=\bar c_2\cdot\bar u_1=\frac{3+6}3=3$, $r_{22}=\bar c_2\cdot\bar u_2=\frac{6+3}3=3$:

   $$R=\begin{pmatrix}3&3\cr0&3\end{pmatrix}.$$

5. Comprobación: $QR=A$; $Q^tQ=I_2$ pero

   $$QQ^t=\frac19\begin{pmatrix}5&4&-2\cr4&5&2\cr-2&2&8\end{pmatrix}\neq I_3$$

   (es la proyección ortogonal sobre $\operatorname{Col}A$).

Factoriza $A=\begin{pmatrix}1&3&5\cr2&3&1\cr2&0&1\end{pmatrix}$ como $QR$.

1. $\det A=-27\neq0$ ⇒ columnas libres.
2. $\bar e_1=(1,2,2)$, $\bar e_2=(2,1,-2)$ (igual que el Propio 8).
3. $\bar c_3=(5,1,1)$: $\bar c_3\cdot\bar e_1=9$, $\bar c_3\cdot\bar e_2=9$, ambos con $\bar e_i\cdot\bar e_i=9$: $\bar e_3=\bar c_3-\bar e_1-\bar e_2=(2,-2,1)$. Controles: $\bar e_3\cdot\bar e_1=2-4+2=0$, $\bar e_3\cdot\bar e_2=4-2-2=0$ ✓; $\|\bar e_3\|=3$.
4. $$Q=\frac13\begin{pmatrix}1&2&2\cr2&1&-2\cr2&-2&1\end{pmatrix}$$

   (cuadrada ortogonal, $\det Q=-1$),

   $$R=Q^tA=\begin{pmatrix}3&3&3\cr0&3&3\cr0&0&3\end{pmatrix}$$

   ($r_{13}=\bar c_3\cdot\bar u_1=3$, $r_{23}=3$, $r_{33}=\|\bar e_3\|=3$). $QR=A$.

5. Nota: $\det A=\det Q\det R=-1\cdot27$ ✓.

Resuelve $A\bar x=(4,2,5)^t$ con la $A$ del Propio 9 usando su $QR$.

1. $A$ cuadrada regular ⇒ compatible determinado; $RX=Q^t\bar b$ es equivalente ($Q$ invertible).
2. $Q^t\bar b=\frac13(4+4+10,\ 8+2-10,\ 8-4+5)=(6,0,3)$.
3. $$\begin{cases}3x+3y+3z=6\cr3y+3z=0\cr3z=3\end{cases}\Rightarrow z=1,\ y=-1,\ x=2.$$
4. Comprobación: $A(2,-1,1)^t=(2-3+5,\,4-3+1,\,4+0+1)=(4,2,5)$ ✓.

Sean $A,B$ ortogonales de orden $n$. Prueba: (a) $AB$ es ortogonal; (b) $A^{-1}=A^t$ es ortogonal; (c) la matriz de cambio de base entre dos bases ortonormales de $\mathbb R^n$ es ortogonal.

1. (a) $(AB)^t(AB)=B^tA^tAB=B^tIB=B^tB=I$.
2. (b) $A^{-1}=A^t$ y $(A^t)^tA^t=AA^t=AA^{-1}=I$.

3. (c) Sea $\mathcal B$ ortonormal (p. ej. la canónica) y $\mathcal B'=\{\bar v_1,\dots,\bar v_n\}$ ortonormal; $P$ tiene por columnas las coordenadas de $\bar v_j$ en $\mathcal B$. Como la Gram de $\mathcal B$ es $I$, $\bar v_i\cdot\bar v_j=P_i^tP_j$ (columnas de $P$), así que $P^tP=(\bar v_i\cdot\bar v_j)=I$. Ejemplo:

   $$P=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1&-1\cr1&1\end{pmatrix},$$

   $X'=P^tX$ sin invertir.

Error típico: pensar que la suma de ortogonales es ortogonal: $I+I=2I$ no lo es.

1. Ortogonal no implica diagonalizable. El giro de $90^\circ$ es ortogonal y sin valores propios reales (5.20): no es diagonalizable en $\mathbb R$. Igual el $P$ del Propio 5 (un solo valor propio real).
2. «Ortogonalmente diagonalizable» (tema 5.3) significa $A=P\Lambda P^t$ con $P$ ortogonal; se dice de matrices simétricas (Teor. 5.7, U p.223) y no tiene que ver con que la propia $A$ sea ortogonal. Las que son ambas cosas son las simétricas ortogonales (valores propios $\pm1$: Householder, Propio 4).
3. Mínimos cuadrados por $QR$ (solo mención; tema 5.4). Si $A\bar x=\bar b$ es incompatible y $A=QR$, la solución de mínimos cuadrados es la de $R\hat x=Q^t\bar b$. Ejemplo: $A$ del Propio 8, $\bar b=(1,0,0)$: $Q^t\bar b=\left(\frac13,\frac23\right)$; $3y=\frac23\Rightarrow y=\frac29$; $3x+3y=\frac13\Rightarrow x=-\frac19$. Coincide con las ecuaciones normales $A^tA\hat x=A^t\bar b$ y no cumple $A\hat x=\bar b$ (por eso en 5.24 había que comprobar la compatibilidad).

Determínese si es verdadera la afirmación.

1. Verdadera. Sea $A\bar v=\lambda\bar v$ con $\bar v\neq\bar0$ y $\lambda\in\mathbb R$. Entonces $\lambda\neq0$ (una ortogonal es regular, $\det=\pm1$). Trasponiendo y multiplicando: $(A\bar v)^t(A\bar v)=(\lambda\bar v)^t(\lambda\bar v)$, es decir $\bar v^tA^tA\bar v=\lambda^2\bar v^t\bar v$.
2. Como $A^tA=I$: $\bar v^t\bar v=\lambda^2\bar v^t\bar v$ y, al ser $\bar v^t\bar v=\|\bar v\|^2\neq0$, queda $\lambda^2=1$: $\lambda=1$ o $\lambda=-1$. (Es el E 5.20.)

Las demás cuestiones de la autoevaluación (1-5, 8) son del tema 5.1; la 9 es del tema 5.3 y la 10 del 5.4; la 7 (subespacios ortogonales ⇒ suma directa) está en el 5.1.

Defina transformación ortogonal y enuncie un ejemplo en $\mathbb R^2$.

1. Definición. Sea $V$ un espacio euclídeo (con producto escalar $\bullet$). U (p.217) llama transformación ortogonal a un endomorfismo $f:V\to V$ (aplicación lineal de $V$ en sí mismo) cuya matriz asociada, en bases ortonormales, es ortogonal; la formulación habitual en las soluciones oficiales es que $f$ conserva el producto escalar: $f(u)\bullet f(v)=u\bullet v$ para todo $u,v$. En $\mathbb R^n$ estándar ambas equivalen (la matriz en la base canónica cumple $A^tA=I$, Teor. 5.5) ($A^tA=I$, Teor. 5.5). La razón es $Ax\cdot Ay=(AX)^t(AY)=X^tA^tAY=X^tY=x\cdot y$ (E 5.16).
2. Consecuencias (por qué se llama «ortogonal»): conserva la norma ($\|f(u)\|=\sqrt{f(u)\bullet f(u)}=\|u\|$), la distancia ($d(f(u),f(v))=\|f(u-v)\|=\|u-v\|$, usa linealidad), el ángulo y la ortogonalidad. En $\mathbb R^n$ están relacionadas con giros y simetrías.

3. Ejemplo: simetría respecto del eje $OX$, $f(x_1,x_2)=(x_1,-x_2)$. Es lineal; sus columnas son $f(1,0)=(1,0)$, $f(0,1)=(0,-1)$ (Def. 3.4, U p.116):

   $$A=\begin{pmatrix}1&0\cr0&-1\end{pmatrix}.$$

4. Justificar que es ortogonal. Con la matriz:

   $$A^tA=\begin{pmatrix}1&0\cr0&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\cr0&-1\end{pmatrix}=I_2$$

   (Teor. 5.5). Directamente: $f(u)\cdot f(v)=u_1v_1+(-u_2)(-v_2)=u\cdot v$ ✓.

5. Interpretación. Refleja cada vector en el eje $OX$ sin cambiar su longitud; $\det A=-1$, como corresponde a una simetría.

Error típico: (i) contar el método de Gram-Schmidt: «ortogonal» aquí se refiere a la aplicación, no a una base (la oficial de Feb. 2024 avisa de que lo hizo el 95 % de los alumnos); (ii) dar un ejemplo sin comprobarlo; (iii) dar como ejemplo $f(x)=2x$: conserva la perpendicularidad pero $f(u)\cdot f(v)=4\,u\cdot v$ y $(2I)^t(2I)=4I\neq I$.

Nota sobre la oficial: solo dice «véase el libro» y da $\begin{pmatrix}1&0\cr0&-1\end{pmatrix}$ sin justificar.

Sea $V$ un espacio vectorial dotado de un producto escalar $\bullet$. Defina transformación ortogonal $T:V\to V$ y dé un ejemplo de transformación ortogonal $T:\mathbb R^2\to\mathbb R^2$.

1. Definición. $T:V\to V$ es una transformación ortogonal si es lineal y $T(u)\bullet T(v)=u\bullet v$ para todo $u,v\in V$ (formulación de la solución oficial de Feb. 2024; U p.217 la define como endomorfismo cuya matriz asociada, en bases ortonormales, es ortogonal).
2. Matiz sobre la definición de U. U la introduce como «endomorfismo cuya matriz asociada es ortogonal»: es exacto si la base es ortonormal para $\bullet$. En otra base la condición sería $A^tGA=G$ (Gram, U p.196). Para no meterse en ese lío, en un $V$ general conviene dar la definición por la conservación del producto escalar.

3. Ejemplo: giro de $90^\circ$, $T(x,y)=(-y,x)$. Columnas $T(1,0)=(0,1)$, $T(0,1)=(-1,0)$:

   $$A=\begin{pmatrix}0&-1\cr1&0\end{pmatrix},$$ $$A^tA=\begin{pmatrix}0&1\cr-1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&-1\cr1&0\end{pmatrix}=I_2.$$
4. Comprobación con la definición: $T(u)\cdot T(v)=(-u_2)(-v_2)+u_1v_1=u\cdot v$ ✓. Numérico: $T(1,0)=(0,1)$ gira $(1,0)$ un ángulo recto y mantiene la norma $1$.

5. Otros ejemplos válidos: el giro de $45^\circ$ del Ej. 5.28,

   $$\frac{\sqrt2}2\begin{pmatrix}1&-1\cr1&1\end{pmatrix}$$

   (es el que da la oficial), y la simetría

   $$\begin{pmatrix}1&0\cr0&-1\end{pmatrix}.$$

   En general el giro de ángulo $\theta$ es $R_\theta$ y su $A^tA=I$ sale de $\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$.

Error típico: responder con Gram-Schmidt (una base ortonormal no es una transformación ortogonal); olvidar que $T$ ha de ser lineal: una traslación $T(x)=x+(1,0)$ conserva distancias pero no es lineal ($T(0)\neq0$).

Sea $A\in\mathcal M_{n\times n}$ una matriz simétrica de orden $n$ tal que $A^2=I_n$. Razone si la matriz $A$ es o no ortogonal.

1. Criterio. Teor. 5.5: $A$ es ortogonal $\iff A^tA=I_n$. Es lo único que hay que comprobar.
2. Usamos la simetría: $A^t=A$ (U §1.2). Entonces $A^tA=AA=A^2$.
3. Usamos la hipótesis $A^2=I_n$: $A^tA=I_n$.
4. Conclusión: $A$ es ortogonal. Equivalentemente (Teor. 5.6), $A^{-1}=A^t=A$: es su propia inversa. (Es el E 5.21 A.)

5. Ejemplos (el enunciado no es vacío):

   $$\begin{pmatrix}0&1\cr1&0\end{pmatrix}$$

   (simetría respecto de $y=x$) y

   $$\begin{pmatrix}1&0\cr0&-1\end{pmatrix}:$$

   simétricas, con $A^2=I$ y $A^tA=I$.

Error típico: (i) quitar la hipótesis de simetría: $A^2=I$ sola no basta: $C=\begin{pmatrix}1&1\cr0&-1\end{pmatrix}$ cumple $C^2=I$ pero $C^tC=\begin{pmatrix}1&1\cr1&2\end{pmatrix}\neq I$ (sus columnas $(1,0)$ y $(1,-1)$ no son perpendiculares). (ii) creer el recíproco «ortogonal ⇒ simétrica»: el giro $\begin{pmatrix}0&-1\cr1&0\end{pmatrix}$ es ortogonal y no es simétrico. (iii) escribir $AA^t$ como hace la oficial cuando lo definido es $A^tA$: aquí coinciden porque $A=A^t$, pero en rectangulares no.

Calcule una matriz ortogonal de orden 2 tal que su primera fila sea $\left(\frac{\sqrt2}2\ \ \frac{\sqrt2}2\right)$.

1. Planteamiento.

   $$A=\begin{pmatrix}\frac{\sqrt2}2&\frac{\sqrt2}2\cr a&b\end{pmatrix}.$$

   Por el Teor. 5.6, $A$ es ortogonal $\iff$ sus columnas $c_1=\left(\frac{\sqrt2}2,a\right)$, $c_2=\left(\frac{\sqrt2}2,b\right)$ son una base ortonormal de $\mathbb R^2$ (las condiciones de E 5.17).

2. Condiciones (con $\left(\frac{\sqrt2}2\right)^2=\frac12$): $\|c_1\|^2=\frac12+a^2=1$, $\|c_2\|^2=\frac12+b^2=1$, $c_1\cdot c_2=\frac12+ab=0$.
3. Resolver. $a^2=b^2=\frac12$, es decir $a,b=\pm\frac{\sqrt2}2$; la tercera exige $ab=-\frac12$: signos opuestos. Dos soluciones: $$A_1=\begin{pmatrix}\frac{\sqrt2}2&\frac{\sqrt2}2\cr-\frac{\sqrt2}2&\frac{\sqrt2}2\end{pmatrix}\ (\det=1,\ \text{giro de }-45^\circ),\qquad A_2=\begin{pmatrix}\frac{\sqrt2}2&\frac{\sqrt2}2\cr\frac{\sqrt2}2&-\frac{\sqrt2}2\end{pmatrix}\ (\det=-1,\ \text{simetría}).$$

4. Comprobación.

   $$A_1^tA_1=\begin{pmatrix}\frac12+\frac12&\frac12-\frac12\cr\frac12-\frac12&\frac12+\frac12\end{pmatrix}=I_2$$

   ✓ ($A_2$ igual).

5. Vía más rápida, por filas. En una cuadrada ortogonal $AA^t=I$: las filas son ortonormales. La 2.ª fila $(a,b)$ es unitaria y perpendicular a $(1,1)$: proporcional a $(-1,1)$, $(a,b)=\pm\frac{\sqrt2}2(-1,1)$. Salen las mismas dos soluciones.

Error típico: (i) imponer solo que las columnas sean unitarias y olvidar la perpendicularidad: $a=b=\frac{\sqrt2}2$ da $\frac{\sqrt2}2\begin{pmatrix}1&1\cr1&1\end{pmatrix}$, con $\det=0$; (ii) creer que la solución es única: la oficial da una solución posible ($A_1$) y, como el enunciado pide «una», basta; conviene además mencionar que hay dos; (iii) confundir fila con columna: aquí da igual por ser cuadrada, pero hay que decir por qué.

Hallar, si es posible, los valores de $s$ y $t$ tales que la matriz $A$ de filas $\left(\frac27,\frac t7,\frac s7\right),\ \left(\frac37,\frac s7,\frac27\right),\ \left(\frac s7,\frac{-2}7,\frac t7\right)$ es ortogonal.

$A=\frac17\begin{pmatrix}2&t&s\cr3&s&2\cr s&-2&t\end{pmatrix}$.

1. Criterio. $A$ ortogonal $\iff A^tA=I_3$; la entrada $(i,j)$ es columna $i$ · columna $j$. Para no arrastrar el $\frac17$ trabajamos con las columnas de $7A$: $c_1=(2,3,s)$, $c_2=(t,s,-2)$, $c_3=(s,2,t)$. Cada una ha de medir $7$ y las tres han de ser perpendiculares (método del Ej. 5.25 de U).
2. Normas. $\|c_1\|^2=4+9+s^2=49\Rightarrow s^2=36\Rightarrow s=\pm6$. $\|c_2\|^2=t^2+s^2+4=49\Rightarrow t^2=9\Rightarrow t=\pm3$. $\|c_3\|^2=s^2+4+t^2=49$ es la misma condición.
3. Perpendicularidad (lo que la oficial no escribe): $c_1\cdot c_2=2t+3s-2s=2t+s=0$; $c_1\cdot c_3=2s+6+st=0$; $c_2\cdot c_3=ts+2s-2t=0$.
4. Candidatos $(s,t)\in\{(\pm6,\pm3)\}$ en $2t+s=0$: solo sirven $(6,-3)$ y $(-6,3)$. Con $(6,-3)$: $c_1\cdot c_3=12+6-18=0$ ✓ y $c_2\cdot c_3=-18+12+6=0$ ✓. Con $(-6,3)$: $c_1\cdot c_3=-12+6-18=-24\neq0$ ✗.

5. Conclusión. Única solución $s=6$, $t=-3$:

   $$A=\frac17\begin{pmatrix}2&-3&6\cr3&6&2\cr6&-2&-3\end{pmatrix},$$

   $A^tA=I_3$, $\det A=-1$ (coherente con 5.18 C; $A$ tiene un valor propio real $-1$ y dos complejos, E 5.20). Además $\operatorname{tr}A=\frac57\neq1$: no es una simetría respecto de un plano, sino una simetría rotatoria.

Error típico: (i) quedarse en «$s=\pm6,\ t=\pm3$»: la normalización es necesaria pero no suficiente (Ej. 5.24 de U); (ii) comprobar un solo producto cruzado: $(-6,3)$ cumple $c_1\cdot c_2=0$ pero falla $c_1\cdot c_3$; (iii) mezclar filas y columnas: se puede trabajar con filas (en una cuadrada ortogonal también son ortonormales), pero con un solo criterio de principio a fin.

Nota sobre la oficial: da $s=\pm6$, $t=\pm3$ y «solo es válido el par $(6,-3)$» sin hacer las comprobaciones; el resultado es correcto. La cabecera de las soluciones dice «ENERO 2021» y el enunciado «ENERO 2022».

Explicar en qué consiste el método de factorización $QR$ de una matriz $A$ tal que el sistema de vectores definido por las columnas de $A$, $\operatorname{Col}A$, es linealmente independiente.

Modelo de respuesta.

1. Qué es (U §5.2.2, p.218). Si $A\in\mathcal M_{m\times n}$ tiene columnas $c_1,\dots,c_n$ linealmente independientes, se puede escribir $A=QR$ con $Q\in\mathcal M_{m\times n}$ de columnas $q_1,\dots,q_n$ ortonormales ($Q^tQ=I_n$; base ortonormal del subespacio generado por $\operatorname{Col}A$) y $R\in\mathcal M_{n\times n}$ triangular superior, regular y con diagonal positiva, $R=Q^tA$.
2. Por qué hace falta la independencia. Gram-Schmidt (U p.207) divide en cada paso entre $u_k\cdot u_k$; si una columna fuese combinación de las anteriores saldría $u_k=0$ y no se podría normalizar.
3. Cómo se calcula $Q$: Gram-Schmidt sobre las columnas. Paso 1 (ortogonalizar): $u_1=c_1$, $u_k=c_k-\sum_{j\lt k}\frac{c_k\cdot u_j}{u_j\cdot u_j}u_j$. Paso 2 (normalizar): $q_k=u_k/\|u_k\|$.
4. Cómo se calcula $R$. De $A=QR$ y $Q^tQ=I$: $R=Q^tA$, es decir $r_{jk}=q_j\cdot c_k$.
5. Por qué $R$ es triangular superior con diagonal positiva. Por construcción $c_k$ es combinación de $q_1,\dots,q_k$ solamente: $c_k=\sum_{j\le k}(c_k\cdot q_j)q_j$, luego $r_{jk}=0$ si $j\gt k$, y $r_{kk}=\|u_k\|\gt0$ (E 5.22).

6. Ejemplo breve.

   $$A=\begin{pmatrix}1&3\cr2&3\cr2&0\end{pmatrix}:$$

   $u_1=(1,2,2)$, $\|u_1\|=3$, $q_1=\frac13(1,2,2)$; $c_2\cdot q_1=3$, $u_2=c_2-3q_1=(2,1,-2)$, $\|u_2\|=3$, $q_2=\frac13(2,1,-2)$.

   $$Q=\frac13\begin{pmatrix}1&2\cr2&1\cr2&-2\end{pmatrix},$$ $$R=Q^tA=\begin{pmatrix}3&3\cr0&3\end{pmatrix},$$

   y $QR=A$.

7. Para qué sirve. Resolver $Ax=b$ (si es compatible): $QRx=b\Rightarrow Rx=Q^tb$, triangular, por sustitución regresiva (E 5.24); mínimos cuadrados (tema 5.4): la solución de $A^tAx=A^tb$ es la de $Rx=Q^tb$; y el cálculo numérico de valores propios.

Error típico: (i) normalizar las filas en lugar de las columnas; (ii) $R=AQ^t$ o $QA$: es $Q^tA$; (iii) $R=Q^{-1}A$ con $Q$ no cuadrada (no tiene inversa); (iv) confundir con la $R=Q^{-1}$ del cambio de base (tema 3.5).

Nota sobre la oficial: solo remite a «la página 218 del libro».

Hallar la factorización $QR$ de la matriz $A=\begin{pmatrix}\frac1{\sqrt2}&\sqrt2\cr\frac1{\sqrt2}&0\cr0&0\end{pmatrix}$.

1. Hipótesis. $c_1=\left(\frac1{\sqrt2},\frac1{\sqrt2},0\right)$, $c_2=(\sqrt2,0,0)$ no son proporcionales (la 2.ª componente de $c_2$ es $0$ y la de $c_1$ no): libres, la $QR$ existe.
2. Primer vector. $\|c_1\|^2=\frac12+\frac12=1$: ya es unitario, $q_1=c_1$.

3. Segundo vector. $c_2\cdot q_1=\sqrt2\cdot\frac1{\sqrt2}=1$, y como $q_1\cdot q_1=1$:

   $$u_2=c_2-(c_2\cdot q_1)q_1=(\sqrt2,0,0)-\left(\frac1{\sqrt2},\frac1{\sqrt2},0\right)=\left(\frac1{\sqrt2},-\frac1{\sqrt2},0\right)$$

   (usando $\sqrt2-\frac1{\sqrt2}=\frac1{\sqrt2}$). Control: $u_2\cdot q_1=\frac12-\frac12=0$ ✓.

4. Normalizar. $\|u_2\|^2=\frac12+\frac12=1$: $q_2=u_2$.

   $$Q=\begin{pmatrix}\frac1{\sqrt2}&\frac1{\sqrt2}\cr\frac1{\sqrt2}&-\frac1{\sqrt2}\cr0&0\end{pmatrix},$$

   $Q^tQ=I_2$.

5. $R=Q^tA$: $r_{11}=q_1\cdot c_1=1$; $r_{12}=q_1\cdot c_2=1$; $r_{21}=q_2\cdot c_1=\frac12-\frac12=0$; $r_{22}=q_2\cdot c_2=\sqrt2\cdot\frac1{\sqrt2}=1$.

   $$R=\begin{pmatrix}1&1\cr0&1\end{pmatrix}$$

   (triangular superior, diagonal positiva).

6. Comprobación. $QR$, col. 1: $1\cdot q_1=c_1$ ✓; col. 2: $q_1+q_2=\left(\frac2{\sqrt2},0,0\right)=(\sqrt2,0,0)=c_2$ ✓.

Observación. Es exactamente el Ej. 5.30 de U (p.219-220): allí $q_2$ se obtiene «a ojo» (un vector unitario perpendicular a $q_1$ en el plano $z=0$). Si se elige a ojo hay que vigilar el signo: con $q_2=\left(-\frac1{\sqrt2},\frac1{\sqrt2},0\right)$ saldría $r_{22}=-1\lt0$, y U exige diagonal positiva.

Error típico: tomar $q_2$ con el signo cambiado ($r_{22}\lt0$); normalizar $u_2$ sin comprobar su norma (aquí vale $1$ por casualidad).

Frontera: el apartado b) (mínimos cuadrados con $B=(1,1,1)^t$ usando esta $QR$: $Q^tB=(\sqrt2,0)^t$, $RX=Q^tB\Rightarrow y=0,\ x=\sqrt2$) es del tema 5.4 (desarrollado allí). La oficial es correcta.

Halla todas las matrices ortogonales $A=\begin{pmatrix}\frac35&a\cr b&c\end{pmatrix}$.

1. Por Teor. 5.5 (o E 5.17) las columnas $(\frac35,b)$ y $(a,c)$ son unitarias y perpendiculares.
2. 1.ª columna unitaria: $\frac9{25}+b^2=1\Rightarrow b=\pm\frac45$.
3. 2.ª columna: unitaria y perpendicular a la primera; en $\mathbb R^2$ los únicos unitarios perpendiculares a $(p,q)$ son $\pm(-q,p)$: $(a,c)=\pm(-b,\frac35)$.

4. Cuatro matrices:

   $$\begin{pmatrix}\frac35&-\frac45\cr\frac45&\frac35\end{pmatrix},$$ $$\begin{pmatrix}\frac35&\frac45\cr\frac45&-\frac35\end{pmatrix},$$ $$\begin{pmatrix}\frac35&\frac45\cr-\frac45&\frac35\end{pmatrix},$$ $$\begin{pmatrix}\frac35&-\frac45\cr-\frac45&-\frac35\end{pmatrix}.$$

   Determinante $1$ en la 1.ª y la 3.ª (giros), $-1$ en la 2.ª y la 4.ª (simetrías).

Sea $A=\frac13\begin{pmatrix}2&-1&2\cr2&2&-1\cr-1&2&2\end{pmatrix}$. a) Comprueba que es ortogonal y da $A^{-1}$. b) Coordenadas de $x=(3,0,3)$ en la base ortonormal $\operatorname{Col}A$. c) Resuelve $AX=(1,1,1)^t$. d) Comprueba que conserva el producto escalar de $u=(1,2,3)$ y $v=(1,0,-1)$. e) $\det A$ y valores propios reales.

1. a) Columnas de $3A$: $(2,2,-1)$, $(-1,2,2)$, $(2,-1,2)$. Normas$^2$: $4+4+1=9$ ⇒ unitarias en $A$. Productos: $-2+4-2=0$, $4-2-2=0$, $-2-2+4=0$. Ortogonal:

   $$A^{-1}=A^t=\frac13\begin{pmatrix}2&2&-1\cr-1&2&2\cr2&-1&2\end{pmatrix},$$

   sin Gauss-Jordan.

2. b) Base ortonormal ⇒ $c_i=x\cdot e_i$: $c_1=\frac{6+0-3}3=1$, $c_2=\frac{-3+0+6}3=1$, $c_3=\frac{6+0+6}3=4$. En matriz: $A^tx=(1,1,4)$. Comprobación: $A(1,1,4)^t=(3,0,3)^t$ ✓. Es un cambio de base entre ortonormales: $P=A$ ortogonal, $P^{-1}=P^t$.
3. c) $X=A^tB=\frac13(3,3,3)=(1,1,1)^t$ (E 5.19): $(1,1,1)$ es solución y además vector propio de valor propio $1$.
4. d) $Au=\frac13(6,3,9)=(2,1,3)$, $Av=\frac13(0,3,-3)=(0,1,-1)$: $Au\cdot Av=0+1-3=-2=u\cdot v$ ✓; $\|Au\|=\sqrt{14}=\|u\|$.
5. e) $\det A=1$. Valores propios: $1$ y $\frac12\pm\frac{\sqrt3}2i$; el único real es $1$, eje $\langle(1,1,1)\rangle$: giro de $60^\circ$ alrededor de ese eje ($\cos\theta=\frac{\operatorname{tr}A-1}2=\frac12$). No todos los valores propios son $\pm1$, solo los reales.

Calcula la $QR$ de $A=\begin{pmatrix}1&3&5\cr2&3&1\cr2&0&1\end{pmatrix}$ y úsala para resolver $AX=(9,0,9)^t$.

1. $\det A=-27\neq0$: columnas libres, existe la $QR$.
2. $u_1=(1,2,2)$, $\|u_1\|=3$, $q_1=\frac13(1,2,2)$. $c_2\cdot q_1=3$: $u_2=(3,3,0)-(1,2,2)=(2,1,-2)$, $\|u_2\|=3$, $q_2=\frac13(2,1,-2)$. $c_3\cdot q_1=3$, $c_3\cdot q_2=3$: $u_3=(5,1,1)-(1,2,2)-(2,1,-2)=(2,-2,1)$, $q_3=\frac13(2,-2,1)$.
3. $$Q=\frac13\begin{pmatrix}1&2&2\cr2&1&-2\cr2&-2&1\end{pmatrix},$$ $$R=Q^tA=\begin{pmatrix}3&3&3\cr0&3&3\cr0&0&3\end{pmatrix},$$

   $QR=A$ ✓.

4. $AX=b\iff RX=Q^tb$. $Q^tb=\frac13(9+18,\,18-18,\,18+9)=(9,0,9)$. Sustitución regresiva en $RX=(9,0,9)^t$: $3z=9\Rightarrow z=3$; $3y+3z=0\Rightarrow y=-3$; $3x+3y+3z=9\Rightarrow x=3$. Solución $X=(3,-3,3)$; comprobación $A(3,-3,3)^t=(3-9+15,\,6-9+3,\,6+0+3)=(9,0,9)$ ✓.

Error típico: usar $u_j$ sin normalizar en lugar de $q_j$ para calcular $r_{jk}$.