Formas cuadráticas

Si $Q(x)=X^tAX$ es la expresión analítica de una forma cuadrática, la imagen del vector $x\in\mathbb R^n$ es: A) Un vector de $\mathbb R^n$. B) Un escalar.

1. Tipo de aplicación. Por la Def. 6.7 (U p.256), $Q:E\to\mathbb R$ con $Q(x)=f(x,x)$, y $f$ toma valores en $\mathbb R$ (Def. 6.2). Luego $Q(x)\in\mathbb R$: A es falsa.
2. Comprobación por dimensiones. $X^t$ es $1\times n$, $A$ es $n\times n$, $X$ es $n\times1$. $(1\times n)(n\times n)$ es $1\times n$ y $(1\times n)(n\times1)$ es $1\times1$: un solo número. B es cierta.

Error típico: confundir $Q(x)=X^tAX$ (escalar) con $AX$ (vector).

Decídase si las siguientes aplicaciones son formas cuadráticas: A) $Q(x_1,x_2,x_3)=x_1^2-x_1x_2x_3$. B) $Q(x_1,x_2,x_3)=x_2^2+x_1$. C) $Q(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+x_3^2-x_1x_2$.

1. Criterio. La expresión analítica es $Q=\sum a_{ij}x_ix_j$ (U p.257): todos los monomios de grado exactamente 2. Recíprocamente, todo polinomio homogéneo de grado 2 es $X^tAX$ con $A$ simétrica (sección 3). Basta mirar el grado de cada monomio.
2. A) $x_1x_2x_3$ tiene grado 3 → no.
3. B) $x_1$ tiene grado 1 → no (como el Ej. 6.18 a de U).
4. C) $x_1^2,\ x_2^2,\ x_3^2,\ x_1x_2$ son de grado 2 → sí. Su matriz (desdoblando $-x_1x_2=-\tfrac12x_1x_2-\tfrac12x_2x_1$): $$A=\begin{pmatrix}1&-\tfrac12&0\\-\tfrac12&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}.$$

Sólo C es forma cuadrática, como dice E.

Error típico: aceptar B «porque tiene un cuadrado», o rechazar C «porque tiene un cruzado».

Sea $Q$ una forma cuadrática definida en $\mathbb R^3$ asociada a la forma bilineal simétrica $f:\mathbb R^3\times\mathbb R^3\to\mathbb R$ y $x=(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb R^3$. Entonces: A) $Q(x_1,x_2,x_3)=f(x_1,x_2,x_3)$. B) $Q(2x)=2f(x,x)$. C) $Q(x)+Q(x)=Q(2x)$.

1. A) falsa. Por la Def. 6.7, $Q(x)=f(x,x)$: $f$ necesita dos vectores; $f(x_1,x_2,x_3)$ no tiene sentido. Lo correcto es $f\big((x_1,x_2,x_3),(x_1,x_2,x_3)\big)$.
2. B) falsa. $Q(2x)=f(2x,2x)$. Linealidad en la 1.ª variable: $=2f(x,2x)$; en la 2.ª: $=2\cdot2f(x,x)=4f(x,x)=4Q(x)$, no $2f(x,x)$.
3. C) falsa. $Q(x)+Q(x)=2Q(x)$ y $Q(2x)=4Q(x)$ por el paso 2. Contraejemplo: $f$ = producto escalar, $x=e_1$: $2Q(e_1)=2\neq4=Q(2e_1)$.

Error típico: tratar $Q$ como lineal: $Q(2x)=2Q(x)$.

Si $Q$ es la forma cuadrática generada por la aplicación bilineal simétrica $f$, se cumple: A) La forma cuadrática asociada a la forma bilineal $g$ definida por $g(x,y)=f(y,x)$ no es $Q$. B) $Q(x+y)=Q(x)+Q(y)+2f(x,y)$. C) $Q(x+y)=f(x,x)+f(y,y)$.

1. A) falsa. La forma cuadrática de $g$ es $x\mapsto g(x,x)=f(x,x)=Q(x)$ (con el mismo vector en los dos huecos el orden da igual). Además, como $f$ es simétrica, $g(x,y)=f(y,x)=f(x,y)$: ¡$g$ es la propia $f$!

2. B) cierta.

   $$Q(x+y)=f(x+y,x+y)=f(x,x+y)+f(y,x+y)=f(x,x)+f(x,y)+f(y,x)+f(y,y);$$

   por simetría $f(y,x)=f(x,y)$, luego $Q(x+y)=Q(x)+Q(y)+2f(x,y)$.

3. C) falsa porque difiere de B en $2f(x,y)$, que no es 0 en general. Contraejemplo: producto escalar, $x=y=e_1$: $Q(2e_1)=4\neq2$.
4. Consecuencia (polarización): $f(x,y)=\tfrac12[Q(x+y)-Q(x)-Q(y)]$. Se usa en E 6.14.

Error típico: olvidar el cruzado $2f(x,y)$ (como en $(a+b)^2\neq a^2+b^2$).

Si $f((x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2,y_3))=x_1y_1-x_1y_2-x_2y_1+3x_1y_3+3x_3y_1+x_3y_3$ es la forma bilineal asociada a la forma cuadrática $Q$, se verifica: A) La matriz de $Q$ es única. B) La matriz de $Q$ es simétrica. C) La expresión de $Q$ es un polinomio homogéneo de grado tres.

1. Matriz de $f$. $a_{ij}$ es el coeficiente de $x_iy_j$: $a_{11}=1$, $a_{12}=a_{21}=-1$, $a_{13}=a_{31}=3$, $a_{33}=1$, resto 0: $$A=\begin{pmatrix}1&-1&3\\-1&0&0\\3&0&1\end{pmatrix}.$$ Es simétrica ($a_{ij}=a_{ji}$), luego $f$ es simétrica y genera una forma cuadrática.
2. Expresión de $Q$. Sustituir $y$ por $x$: $Q(x)=x_1^2-2x_1x_2+6x_1x_3+x_3^2$.
3. C) falsa: cada sumando es de grado 2.
4. B) cierta: la matriz de $Q$ es la de la bilineal simétrica $f$ (Def. 6.7).
5. A) cierta, con matiz. Hay una única matriz simétrica con $Q=X^tAX$ (diagonal = coeficientes de los cuadrados; fuera, mitad de cada cruzado). Pero $Q$ también se escribe con matrices no simétricas, p. ej. $$M_1=\begin{pmatrix}1&-2&6\\0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix},\qquad M_2=\begin{pmatrix}1&-3&4\\1&0&0\\2&0&1\end{pmatrix},$$ y ambas cumplen $x^tM_kx=Q(x)$ y $\tfrac12(M_k+M_k^t)=A$. Lo que hace única a $A$ es ser simétrica (y la base fijada; en otra base la matriz es $P^tAP$).

Error típico: poner el coeficiente completo del cruzado fuera de la diagonal (da el doble).

Si $\{e_1,e_2,e_3\}$ es la base canónica de $\mathbb R^3$ y $Q:\mathbb R^3\to\mathbb R$ es una forma cuadrática tal que $Q(e_1)=0$, $Q(e_2)=-2$, $Q(e_3)=3$, $Q(e_1+e_2)=-4$, $Q(e_1+e_3)=6$, $Q(e_2+e_3)=5$, calcúlese la matriz de $Q$ en la base canónica.

1. Qué hay que hallar. La matriz de $Q$ es la de la bilineal simétrica $f$ que la genera, $a_{ij}=f(e_i,e_j)$. Como es simétrica, bastan 3 entradas diagonales y 3 por encima de la diagonal.
2. Diagonal. $a_{ii}=f(e_i,e_i)=Q(e_i)$: $a_{11}=0$, $a_{22}=-2$, $a_{33}=3$.
3. Fuera de la diagonal. Por E 6.11 B, $Q(e_i+e_j)=Q(e_i)+Q(e_j)+2f(e_i,e_j)$, luego $a_{ij}=\tfrac12[Q(e_i+e_j)-Q(e_i)-Q(e_j)]$:
   • $a_{12}=\tfrac12[-4-0-(-2)]=-1$.
   • $a_{13}=\tfrac12[6-0-3]=\tfrac32$.
   • $a_{23}=\tfrac12[5-(-2)-3]=2$.
4. Por simetría $a_{21}=-1$, $a_{31}=\tfrac32$, $a_{32}=2$: $$A=\begin{pmatrix}0&-1&\tfrac32\\-1&-2&2\\\tfrac32&2&3\end{pmatrix}.$$
5. Comprobación: con esta $A$, $Q(e_1),Q(e_2),Q(e_3),Q(e_1+e_2),Q(e_1+e_3),Q(e_2+e_3)$ valen $0,-2,3,-4,6,5$ ✓ (por ejemplo $Q(e_1+e_2)=0-2+2(-1)=-4$).

Error típico: tomar $a_{ij}=Q(e_i+e_j)$ o no dividir entre 2.

Si $B=\{e_1,e_2\}$ y $B'=\{e_1',e_2'\}$ son bases de $\mathbb R^2$ tales que $e_1'=e_1$ y $e_2'=e_1-e_2$, y la matriz de una forma cuadrática $Q$ de $\mathbb R^2$ es $\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}$ en la base $B$, escríbanse las expresiones analítica y matricial de $Q$ en $B'$.

1. Expresión en $B$. $Q_B(x)=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2=(x_1+x_2)^2$.
2. Matriz de paso $P$ (columnas = $B'$ en coordenadas de $B$): $e_1'=(1,0)$, $e_2'=(1,-1)$: $$P=\begin{pmatrix}1&1\\0&-1\end{pmatrix},\qquad |P|=-1\neq0.$$
3. Por qué $P^tAP$. Si $X=PX'$, $Q=X^tAX=(PX')^tA(PX')=X'^t(P^tAP)X'$ (Teor. 6.1, Def. 6.4).

4. Cálculo.

   $$AP=\begin{pmatrix}1&0\\1&0\end{pmatrix}$$ $$P^t(AP)=\begin{pmatrix}1&0\\1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}.$$

5. Resultado. Matricial:

   $$Q_{B'}(x)=(x_1'\ \ x_2')\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1'\\x_2'\end{pmatrix}.$$

   Analítica: $Q_{B'}(x)=x_1'^2$.

6. Comprobación directa. $x=x_1'e_1'+x_2'e_2'=(x_1'+x_2')e_1-x_2'e_2$, así que $x_1=x_1'+x_2'$, $x_2=-x_2'$ y $(x_1+x_2)^2=x_1'^2$ ✓. El rango (1) se conserva.

E escribe las coordenadas en $B'$ también como $x_1,x_2$; aquí se distinguen ($x_1',x_2'$) para no confundirlas.

Error típico: poner los vectores de $B'$ en filas o usar $P^{-1}AP$ (eso es para endomorfismos, tema 4).

Sea la forma cuadrática $Q$ de $\mathbb R^3$ definida por $Q(x_1,x_2,x_3)=ax_1^2+2ax_1x_2+ax_2^2+(a-1)x_3^2$, con $a\neq0$. Estúdiese su rango en función de $a$.

1. Matriz. Diagonal $a,\ a,\ a-1$; $2ax_1x_2\Rightarrow a_{12}=a_{21}=a$; sin $x_1x_3$ ni $x_2x_3$: $$A=\begin{pmatrix}a&a&0\\a&a&0\\0&0&a-1\end{pmatrix}.$$
2. Determinante. Las filas 1 y 2 son iguales, así que $|A|=0$ para todo $a$ y $\operatorname{rang}A\le2$.

3. Menor de orden 2. Filas y columnas $\{1,3\}$:

   $$\begin{vmatrix}a&0\\0&a-1\end{vmatrix}=a(a-1).$$

   Con $a\neq0$ es no nulo $\iff a\neq1$. Por tanto $\operatorname{rang}A=2$ si $a\neq1$ (y $a\neq0$).

4. Caso $a=1$.

   $$A=\begin{pmatrix}1&1&0\\1&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}:$$

   todas las filas son proporcionales a $(1,1,0)$, rango 1. (Los menores de orden 2 que no usan la fila/columna 3 valen

   $$\begin{vmatrix}1&1\\1&1\end{vmatrix}=0$$

   y los que la usan tienen una fila o columna nula.)

5. Conclusión. $\operatorname{rang}Q=2$ si $a\neq0,1$; $\operatorname{rang}Q=1$ si $a=1$.

Error típico: concluir «rango 2» sólo porque $|A|=0$, sin exhibir un menor de orden 2 no nulo, o no estudiar aparte los valores que anulan ese menor.

Para $Q(x_1,x_2,x_3)=x_1^2-4x_1x_2+6x_2x_3-3x_3^2$ halla su matriz, calcula $Q(1,2,0)$ y su rango.

1. Diagonal: $a_{11}=1$, $a_{22}=0$, $a_{33}=-3$. Cruzados: $-4x_1x_2\Rightarrow a_{12}=-2$; $6x_2x_3\Rightarrow a_{23}=3$; sin $x_1x_3\Rightarrow a_{13}=0$: $$A=\begin{pmatrix}1&-2&0\\-2&0&3\\0&3&-3\end{pmatrix}.$$
2. $Q(1,2,0)$: $AX=(1-4,\ -2,\ 6)^t=(-3,-2,6)^t$ y $X^tAX=-3-4+0=-7$. Con el polinomio: $1-8+0-0=-7$ ✓.

3. Rango: desarrollando $|A|$ por la 1.ª fila,

   $$|A|=1\cdot\begin{vmatrix}0&3\\3&-3\end{vmatrix}-(-2)\begin{vmatrix}-2&3\\0&-3\end{vmatrix}=1\cdot(-9)+2\cdot6=3\neq0.$$

   Luego el rango es $3$.

Sea $f(x,y)=x^tMy$ con $M=\begin{pmatrix}1&4\\0&3\end{pmatrix}$ y $Q(x)=f(x,x)$. Halla la matriz de $Q$.

1. $Q(x)=x_1^2+4x_1x_2+3x_2^2$. Además $f$ no es simétrica ($m_{12}=4\neq0=m_{21}$), así que $M$ no es «la matriz de $Q$» en el sentido de U.

2. $M=S+K$ con

   $$S=\tfrac12(M+M^t)=\begin{pmatrix}1&2\\2&3\end{pmatrix}$$ $$K=\tfrac12(M-M^t)=\begin{pmatrix}0&2\\-2&0\end{pmatrix}$$

   (antisimétrica).

3. $X^tKX=0$ siempre (una antisimétrica da $f_K(x,x)=0$), luego $Q=X^tSX$: la matriz de $Q$ es $S$, la de la bilineal simétrica $x_1y_1+2x_1y_2+2x_2y_1+3x_2y_2$.
4. Rango: $|S|=3-4=-1\neq0$, rango 2.

$Q$ es forma cuadrática de $\mathbb R^2$ con $Q(e_1)=2$, $Q(e_2)=-1$, $Q(e_1+e_2)=3$. Halla su matriz y $Q(3,-1)$.

1. $a_{11}=Q(e_1)=2$, $a_{22}=Q(e_2)=-1$, $a_{12}=\tfrac12[3-2-(-1)]=1$:

   $$A=\begin{pmatrix}2&1\\1&-1\end{pmatrix},$$

   $Q=2x_1^2+2x_1x_2-x_2^2$.

2. $Q(3,-1)=18-6-1=11$. Control: $Q(e_1-e_2)=2-2-1=-1$, que coincide con $Q(e_1)+Q(-e_2)+2f(e_1,-e_2)=2-1-2=-1$ ✓.

Estudia el rango de $Q=x_1^2+2ax_1x_2+x_2^2+a\,x_3^2$ según $a$.

1. $$A=\begin{pmatrix}1&a&0\\a&1&0\\0&0&a\end{pmatrix}$$

   (bloque $2\times2$ y $a_{33}=a$), $|A|=a(1-a^2)$.

2. Si $a\notin\{0,1,-1\}$: $|A|\neq0$, rango 3.

3. $a=0$: $A=\operatorname{diag}(1,1,0)$, rango 2. $a=1$:

   $$A=\begin{pmatrix}1&1&0\\1&1&0\\0&0&1\end{pmatrix},$$

   el menor de las filas/columnas $\{1,3\}$ vale $1\neq0$, rango 2. $a=-1$:

   $$A=\begin{pmatrix}1&-1&0\\-1&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix},$$

   el menor $\{1,3\}$ vale

   $$\begin{vmatrix}1&0\\0&-1\end{vmatrix}=-1\neq0,$$

   rango 2.

$Q(x_1,x_2)=x_1^2+2x_1x_2+2x_2^2$ en la canónica; $B'=\{(1,0),(-1,1)\}$. Halla $Q$ en $B'$ y comprueba con $x=(2,1)$.

1. $$A=\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix},$$ $$P=\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}$$

   (columnas = vectores de $B'$), $|P|=1$.

2. $$AP=\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}$$ $$A'=P^t(AP)=\begin{pmatrix}1&0\\-1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.$$

   Luego $Q_{B'}=x_1'^2+x_2'^2$.

3. Explicación: $Q=(x_1+x_2)^2+x_2^2$ (completando cuadrados); las nuevas coordenadas son $x_1'=x_1+x_2$, $x_2'=x_2$, es decir $X'=P^{-1}X$ con

   $$P^{-1}=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}.$$
4. Control: $x=(2,1)$ da $Q=4+4+2=10$; $X'=P^{-1}X=(3,1)$ y $3^2+1^2=10$ ✓. El rango es 2 en ambas bases.

NO es una forma cuadrática, la aplicación: A) $Q(x_1,x_2,x_3)=x_1^2-x_1x_2$; B) $Q(x_1,x_2,x_3)=x_1^2-x_2^2+x_3^2-x_1x_2$; C) $Q(x_1,x_2,x_3)=x_2^2-x_1$; D) Ninguna de las anteriores.

1. A: monomios $x_1^2$ y $x_1x_2$, ambos de grado 2 → sí es forma cuadrática (que falte $x_3$ no importa: su coeficiente es 0).
2. B: todos de grado 2 → sí.
3. C: $-x_1$ es de grado 1 → no es (U Ej. 6.18 a, p.258).
4. Respuesta: C. Coincide con la oficial (que remite a E 6.12).

Determine de manera razonada si la siguiente aplicación $Q:\mathbb R^3\to\mathbb R$ define o no una forma cuadrática: $Q(x,y,z)=2xy-5xz+xyz-x^2$.

1. Si $Q$ fuese forma cuadrática existiría $A$ simétrica con $Q(x)=X^tAX=\sum a_{ij}x_ix_j$ (U Def. 6.8, p.256 y p.257): un polinomio con todos sus monomios de grado 2.
2. El sumando $xyz$ es de grado 3 y no se cancela con ningún otro.
3. Otra justificación, más robusta: si fuera cuadrática, $Q(\lambda v)=\lambda^2Q(v)$. Con $v=(1,1,1)$: $Q(1,1,1)=2-5+1-1=-3$ y $Q(2,2,2)=8-20+8-4=-8\neq4\cdot(-3)=-12$. Contradicción.
4. Conclusión: no es forma cuadrática. Coincide con la oficial.

Escribir una forma cuadrática de $\mathbb R^2$ que no esté expresada en la forma canónica.

1. Qué es la forma canónica. Una expresión de $Q$ con sólo términos cuadrados $d_1x_1^2+d_2x_2^2$, es decir, con matriz diagonal (se trabaja en U §6.3, p.259, y en el tema 6.3; aquí basta la idea).

2. La expresión general en $\mathbb R^2$ es $Q=ax_1^2+bx_1x_2+cx_2^2$, con matriz

   $$\begin{pmatrix}a&b/2\\b/2&c\end{pmatrix}$$

   (desdoblando, U Ej. 6.16). Es diagonal $\iff b=0$.

3. Sirve cualquier $Q$ con $b\neq0$, por ejemplo $Q(x_1,x_2)=x_1x_2$ (U Ej. 6.17 a, p.257), de matriz

   $$\begin{pmatrix}0&1/2\\1/2&0\end{pmatrix},$$

   no diagonal.

Error típico (lo avisa la oficial): confundir forma cuadrática (una aplicación $\mathbb R^n\to\mathbb R$) con cuádrica (una superficie).

Si $Q$ es una forma cuadrática de $\mathbb R^3$ tal que $Q(1,2,3)=5$, calcule el valor de $Q(3,6,9)$.

1. Observación clave: $(3,6,9)=3\,(1,2,3)$.
2. $Q$ está generada por una bilineal simétrica $f$ (Def. 6.7): $Q(3v)=f(3v,3v)$, con $v=(1,2,3)$.
3. Por bilinealidad (Def. 6.1), $f(3v,3v)=3\cdot3\,f(v,v)=9Q(v)$.
4. $Q(3,6,9)=9\cdot5=\mathbf{45}$.

Si $Q$ es una forma cuadrática de $\mathbb R^4$ tal que $Q(-2,5,3,1)=10$, calcule el valor de $Q(-10,25,15,5)$.

1. $(-10,25,15,5)=5\,(-2,5,3,1)$ (compruébalo coordenada a coordenada).
2. $Q(5v)=f(5v,5v)=5^2f(v,v)=25\,Q(v)$ por bilinealidad.
3. $Q(-10,25,15,5)=25\cdot10=\mathbf{250}$. Coincide con la oficial («fallo recurrente: multiplicar simplemente por 5»).

Sea $Q:\mathbb R^3\to\mathbb R$ una forma cuadrática tal que $Q(2,4,6)=-5$. Calcule $Q(6,12,18)$.

1. $(6,12,18)=3\,(2,4,6)$.
2. $Q(3v)=3^2Q(v)=9\cdot(-5)=\mathbf{-45}$ (mismo razonamiento). Coincide con la oficial.
3. El signo se conserva: $\lambda^2>0$. Por eso $Q(\lambda v)$ y $Q(v)$ tienen siempre el mismo signo (idea clave en la clasificación, 6.3).

Halle la matriz asociada a la forma cuadrática $Q:\mathbb R^3\to\mathbb R$ donde $Q(x,y,z)=x^2+y^2-z^2+5xy-3xz$.

1. Diagonal: $a_{11}=1$, $a_{22}=1$, $a_{33}=-1$.
2. $5xy=\tfrac52xy+\tfrac52yx\Rightarrow a_{12}=a_{21}=\tfrac52$.
3. $-3xz\Rightarrow a_{13}=a_{31}=-\tfrac32$.
4. No hay $yz\Rightarrow a_{23}=a_{32}=0$. $$A=\begin{pmatrix}1&\tfrac52&-\tfrac32\\[2pt]\tfrac52&1&0\\[2pt]-\tfrac32&0&-1\end{pmatrix}.$$
5. Comprobación: $X^tAX=x^2+y^2-z^2+2\cdot\tfrac52xy+2\cdot(-\tfrac32)xz=Q$ ✓. Coincide con la oficial.

Sea $Q(x_1,x_2,x_3)=6x_1^2+4x_1x_2+4x_1x_3+8x_2x_3$ una forma cuadrática. Halle la matriz $A$ asociada a $Q$. (El 2.º apartado, autovalor del autovector $(2,1,1)$, está en el tema 4.2, y el 3.º, signatura, en el 6.3.)

1. Cuadrados: $a_{11}=6$; no hay $x_2^2$ ni $x_3^2$, luego $a_{22}=a_{33}=0$.
2. $4x_1x_2\Rightarrow a_{12}=a_{21}=2$; $4x_1x_3\Rightarrow a_{13}=a_{31}=2$; $8x_2x_3\Rightarrow a_{23}=a_{32}=4$. $$A=\begin{pmatrix}6&2&2\\2&0&4\\2&4&0\end{pmatrix}.$$
3. Comprobación: $X^tAX=Q$ ✓. (Dato para los otros apartados: $A(2,1,1)^t=(16,8,8)^t=8\,(2,1,1)^t$ y $|A-\lambda I|=-(\lambda-8)(\lambda+4)(\lambda-2)$.)

Sea $a\in\mathbb R$ y consideremos la forma cuadrática $Q(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2+3x_2^2+4x_3^2-2x_1x_2+2ax_1x_3$. Halle la matriz asociada a $Q$. (El 2.º apartado, Sylvester, está en el tema 6.3.)

1. Diagonal: $2,\ 3,\ 4$.
2. $-2x_1x_2\Rightarrow a_{12}=a_{21}=-1$; $2a\,x_1x_3\Rightarrow a_{13}=a_{31}=a$; no hay $x_2x_3\Rightarrow a_{23}=0$. $$A=\begin{pmatrix}2&-1&a\\-1&3&0\\a&0&4\end{pmatrix}.$$
3. Comprobación: $X^tAX=Q$ ✓. (Para el apartado siguiente: $\Delta_2=5$ y $|A|=20-3a^2$.)

Si $Q$ es una forma cuadrática de $\mathbb R^3$ generada por la forma bilineal $f$, calcular $Q(1,1,1)$ sabiendo que la matriz asociada a $f$ es $\begin{pmatrix}1&3&0\\3&1&2\\0&2&1\end{pmatrix}$.

1. La matriz es simétrica, así que $f$ es simétrica (U p.253) y $Q(x)=f(x,x)=X^tAX$ (Def. 6.7-6.8).
2. $AX$ con $X=(1,1,1)^t$ es la suma de cada fila: $AX=(4,6,3)^t$.
3. $X^t(AX)=4+6+3=\mathbf{13}$. Coincide con la oficial.
4. Alternativa: el polinomio es $Q=x_1^2+x_2^2+x_3^2+6x_1x_2+4x_2x_3$ y en $(1,1,1)$ da $3+6+4=13$.

Truco: $Q(1,\dots,1)$ es la suma de todas las entradas de $A$.

Si $A$ es la matriz asociada a una forma bilineal antisimétrica, explique qué relación existe entre $A$ y $-A$ y, en particular, cuánto valen los $a_{ii}$ para todo $i$.

1. Definición. $f$ antisimétrica significa $f(x,y)=-f(y,x)$ para todo $x,y$ (Def. 6.6, U p.252).
2. Entradas de $A$. $a_{ij}=f(e_i,e_j)$ (Def. 6.3, U p.246). Aplicando el paso 1 a $x=e_i$, $y=e_j$: $a_{ij}=-a_{ji}$ para todos $i,j$; es decir, $A=-A^t$, o equivalentemente $\boxed{-A=A^t}$ (U p.255: antisimétrica $\iff$ matriz antisimétrica).
3. Diagonal. Con $i=j$: $a_{ii}=-a_{ii}\Rightarrow2a_{ii}=0\Rightarrow a_{ii}=0$ para todo $i$ (margen de U p.254).
4. Consecuencia (no pedida): $f(x,x)=-f(x,x)\Rightarrow f(x,x)=0$. Una antisimétrica no genera ninguna forma cuadrática no nula.

La oficial sólo dice «$A=-A^t$, $a_{ii}=0$»; la pregunta pide explicar, así que hay que dar los pasos 1-3.

Hallar el rango de la forma cuadrática $Q(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_1x_2+2x_2x_3$.

1. $$A=\begin{pmatrix}1&\tfrac12&0\\\tfrac12&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}$$

   ($x_1x_2\Rightarrow\tfrac12$; $2x_2x_3\Rightarrow1$; sin $x_2^2$, $x_3^2$, $x_1x_3$).

2. $|A|$ desarrollando por la 3.ª fila:

   $$-1\cdot\begin{vmatrix}1&0\\\tfrac12&1\end{vmatrix}=-1\neq0.$$
3. $\operatorname{rang}Q=3$. Coincide con la oficial.

Dada la forma cuadrática $Q(x_1,x_2)=3x_1^2+ax_1x_2+3x_2^2$, halle los valores de $a\in\mathbb R$ para que el rango de $Q$ sea 1.

1. $$A=\begin{pmatrix}3&a/2\\a/2&3\end{pmatrix}$$

   (el coeficiente $a$ se reparte: $a/2$ y $a/2$).

2. Como $a_{11}=3\neq0$, el rango es al menos 1; en $2\times2$, rango 1 $\iff|A|=0$.
3. $|A|=9-\dfrac{a^2}4=0\iff a^2=36\iff a=6$ o $a=-6$.

4. Comprobación: $a=6$:

   $$\begin{pmatrix}3&3\\3&3\end{pmatrix}$$

   rango 1; $a=-6$:

   $$\begin{pmatrix}3&-3\\-3&3\end{pmatrix}$$

   rango 1. De hecho $Q=3(x_1\pm x_2)^2$.

5. Solución: $a=\pm6$. Coincide con la oficial (fallo recurrente: olvidar $-6$ o poner $a$ en lugar de $a/2$).

Sea $Q(x_1,x_2)=ax_1^2+10x_1x_2+ax_2^2$ una forma cuadrática con $a\neq0$. Calcule el rango de $Q$ en función del parámetro $a$.

1. $$A=\begin{pmatrix}a&5\\5&a\end{pmatrix};$$

   $|A|=a^2-25$.

2. Si $a\neq\pm5$: $|A|\neq0$ ⇒ rango 2.
3. Si $a=\pm5$: $|A|=0$ y $a_{11}=a\neq0$ ⇒ rango 1.

Coincide con la oficial.

Sea $Q$ la forma cuadrática de $\mathbb R^3$ definida por $Q(x_1,x_2,x_3)=ax_1^2+(a-1)x_2^2+ax_3^2+2ax_2x_3$, con $a\in\mathbb R$. Estudie el rango de $Q$ en función de $a$.

1. $$A=\begin{pmatrix}a&0&0\\0&a-1&a\\0&a&a\end{pmatrix}$$

   ($2ax_2x_3\Rightarrow a_{23}=a_{32}=a$).

2. Por la 1.ª fila: $|A|=a\big[(a-1)a-a^2\big]=a(-a)=-a^2$.
3. Si $a\neq0$: $|A|\neq0$ ⇒ rango 3.

4. Si $a=0$:

   $$A=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix},$$

   una sola entrada no nula ⇒ rango 1 ($Q=-x_2^2$).

Coincide con la oficial.