Cónicas

Calcúlense los valores propios de la matriz de la parte cuadrática de la cónica $x_1^2+x_2^2+2x_1x_2-4x_1-1=0$.

1. Separar la parte cuadrática (U p.279): son los términos de grado 2, $f_2=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2$. Los términos $-4x_1$ (lineal) y $-1$ (constante) no intervienen.

2. Su matriz: $a_{11}=1$, $a_{22}=1$ y el coeficiente de $x_1x_2$ es $2a_{12}=2$, luego $a_{12}=1$:

   $$M=\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}$$

   y $f_2=(x_1\ x_2)M(x_1\ x_2)^t$.

3. Polinomio característico:

   $$|M-\lambda I|=\begin{vmatrix}1-\lambda&1\\1&1-\lambda\end{vmatrix}=(1-\lambda)^2-1=\lambda^2-2\lambda=\lambda(\lambda-2).$$
4. Valores propios: $\lambda_1=0$, $\lambda_2=2$.
5. Qué significa. Un valor propio nulo equivale a $A_{00}=|M|=0\cdot2=0$: la cónica no tiene centro (parábola o rectas paralelas). Aquí $|A|=-4\neq0$, así que es una parábola. Control: traza $0+2=2=a_{11}+a_{22}$ ✓.

Error típico: poner $a_{12}=2$ (el coeficiente entero) en lugar de $1$, o meter $-4x_1$ en la matriz $2\times2$.

Dada la cónica $x_1^2+x_2^2+2x_1x_2-4x_2-1=0$, se pide: A) Descomponer la ecuación en parte cuadrática, parte lineal y parte constante y dar las expresiones matriciales de dichas componentes. B) Obtener la ecuación de la cónica referida a una base cuyos vectores sean paralelos a los ejes de la cónica dada. (El apartado B está en el Bloque III.)

1. Parte cuadrática:

   $$f_2=x_1^2+x_2^2+2x_1x_2=(x_1\ x_2)\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}$$

   (la misma matriz que en el E 6.26).

2. Parte lineal:

   $$f_1=-4x_2=(0\ \ -4)\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}.$$

   En la notación de U, $f_1=2(a_{01}\ a_{02})\binom{x_1}{x_2}$ con $a_{01}=0$ y $a_{02}=-2$.

3. Parte constante: $a_{00}=-1$.

4. Control con la matriz completa:

   $$A=\begin{pmatrix}-1&0&-2\\0&1&1\\-2&1&1\end{pmatrix},$$

   $|A|=-4$ y $A_{00}=0$ ⇒ parábola.

Si $x_1^2+4x_2^2-4x_1-16x_2+19=0$ es la ecuación de una cónica, se pide: A) Encontrar su ecuación matricial, explicar qué son los invariantes métricos y calcularlos en este caso. B) Clasificar esta cónica. (El apartado B está en el Bloque II.)

1. Coeficientes (comparando con (6.3)): $a_{11}=1$, $a_{22}=4$, $2a_{12}=0\Rightarrow a_{12}=0$, $2a_{01}=-4\Rightarrow a_{01}=-2$, $2a_{02}=-16\Rightarrow a_{02}=-8$, $a_{00}=19$.
2. Ecuación matricial (Def. 6.17): $$(1\ \ x_1\ \ x_2)\begin{pmatrix}19&-2&-8\\-2&1&0\\-8&0&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\x_1\\x_2\end{pmatrix}=0.$$ Control: al multiplicar sale $19+2(-2)x_1+2(-8)x_2+x_1^2+4x_2^2$ ✓.
3. Qué son los invariantes métricos (U Def. 6.19): parámetros que no varían al cambiar de sistema de coordenadas mediante un giro o una traslación. Son $|A|$, $a_{11}+a_{22}$ y $A_{00}=a_{11}a_{22}-a_{12}^2$.

4. Cálculo. $|A|$ por la 3.ª columna (tiene un 0):

   $$|A|=-8\begin{vmatrix}-2&1\\-8&0\end{vmatrix}+4\begin{vmatrix}19&-2\\-2&1\end{vmatrix}=-8(8)+4(19-4)=-64+60=-4.$$

   Traza $=1+4=5$.

   $$A_{00}=\begin{vmatrix}1&0\\0&4\end{vmatrix}=4.$$

Error típico: no dividir entre 2 (sale $a_{01}=-4$ en vez de $-2$) o poner $a_{00}$ abajo a la derecha.

B) Clasificar esta cónica (la del apartado A).

1. Datos del apartado A: $|A|=-4$, traza $5$, $A_{00}=4$.
2. $|A|\neq0\Rightarrow\operatorname{rang}A=3\Rightarrow$ no degenerada.
3. $A_{00}=4\neq0\Rightarrow$ tiene centro, y como $A_{00}>0$, es una elipse (real o imaginaria).
4. $(a_{11}+a_{22})|A|=5\cdot(-4)=-20<0\Rightarrow$ elipse real. Es la del E 6.28 (centro $(2,2)$, semiejes $1$ y $\tfrac12$).

Error típico: ver solo $A_{00}>0$ y decir «elipse real» (puede ser imaginaria: $x_1^2+x_2^2+1=0$).

La cónica $x_1^2+4x_2^2-6x_1+8x_2+9=0$ es: A) Una parábola. B) Una elipse imaginaria. C) Una hipérbola.

1. Matriz: $a_{11}=1$, $a_{22}=4$, $a_{12}=0$, $a_{01}=-3$, $a_{02}=4$, $a_{00}=9$:

   $$A=\begin{pmatrix}9&-3&4\\-3&1&0\\4&0&4\end{pmatrix}.$$

2. $|A|$ por la 2.ª fila:

   $$|A|=-(-3)\begin{vmatrix}-3&4\\0&4\end{vmatrix}+1\cdot\begin{vmatrix}9&4\\4&4\end{vmatrix}=3(-12)+(36-16)=-36+20=-16.$$

   $A_{00}=1\cdot4-0=4$.

3. Clasificación: $|A|\neq0$ ⇒ no degenerada; $A_{00}=4>0$ ⇒ elipse; $(1+4)(-16)=-80<0$ ⇒ elipse real.
4. Opciones: A) falsa (una parábola exige $A_{00}=0$). B) falsa (la elipse imaginaria exige $(a_{11}+a_{22})|A|>0$). C) falsa (la hipérbola exige $A_{00}<0$).

5. Comprobación sin invariantes (completando cuadrados):

   $$(x_1-3)^2-9+4(x_2+1)^2-4+9=0\iff(x_1-3)^2+4(x_2+1)^2=4\iff\dfrac{(x_1-3)^2}{4}+\dfrac{(x_2+1)^2}{1}=1:$$

   elipse real de centro $(3,-1)$ y semiejes $2$ y $1$.

Error típico: marcar «elipse imaginaria» por ver $A_{00}>0$ sin calcular el signo de $(a_{11}+a_{22})|A|$.

Si $x_1^2+4x_2^2-4x_1-16x_2+19=0$ es la ecuación de una cónica, se pide encontrar la ecuación reducida de la cónica dada.

1. ¿Hace falta giro? El giro sirve para eliminar $x_1x_2$. Aquí $a_{12}=0$: los ejes de la cónica ya son paralelos a los coordenados, no hay giro y se pasa al paso 2.

2. Completar cuadrados en cada variable: $x_1^2-4x_1=(x_1-2)^2-4$ (se suma y resta $(\tfrac42)^2=4$);

   $$4x_2^2-16x_2=4(x_2^2-4x_2)=4\big[(x_2-2)^2-4\big]=4(x_2-2)^2-16.$$

   Sustituyendo: $(x_1-2)^2-4+4(x_2-2)^2-16+19=(x_1-2)^2+4(x_2-2)^2-1=0$.

3. Traslación: $x_1'=x_1-2$, $x_2'=x_2-2$ (el nuevo origen es el centro $(2,2)$).

4. Ecuación reducida:

   $$x_1'^2+4x_2'^2=1\iff\dfrac{x_1'^2}{1^2}+\dfrac{x_2'^2}{(1/2)^2}=1:$$

   elipse (Def. 6.18 con $p=1$), $a=1$, $b=\tfrac12$.

5. Elementos (propio): centro $(2,2)$; eje mayor horizontal; $c=\sqrt{1-\tfrac14}=\tfrac{\sqrt3}2$; focos $(2\pm\tfrac{\sqrt3}2,\,2)$; vértices $(1,2)$, $(3,2)$, $(2,\tfrac32)$, $(2,\tfrac52)$.
6. Control con invariantes: la reducida $x_1'^2+4x_2'^2-1=0$ tiene $|A'|=\det\operatorname{diag}(-1,1,4)=-4$, traza $5$ y $A_{00}=4$: los mismos que en el E 6.25 ✓.

Error típico: completar mal un cuadrado con coeficiente: $4x_2^2-16x_2=4\big[(x_2-2)^2-4\big]$, no $4(x_2-2)^2-4$.

B) Obtener la ecuación de la cónica referida a una base cuyos vectores sean paralelos a los ejes de la cónica dada (cónica del apartado A).

1. Por qué diagonalizar. Los ejes de la cónica son las direcciones en que la parte cuadrática no tiene término cruzado: las direcciones propias de $M$. Como $M$ es simétrica, admite una base ortonormal de vectores propios y $P^tMP$ es diagonal.
2. Valores propios (del E 6.26): $\lambda_1=0$, $\lambda_2=2$.
3. Vectores propios. $\lambda=0$: $Mx=0\iff x_1+x_2=0$ ⇒ $(1,-1)$. $\lambda=2$: $(M-2I)x=0\iff-x_1+x_2=0$ ⇒ $(1,1)$. Son ortogonales ($1-1=0$). Normalizando ($\|\cdot\|=\sqrt2$): $$P=\begin{pmatrix}\tfrac1{\sqrt2}&\tfrac1{\sqrt2}\\-\tfrac1{\sqrt2}&\tfrac1{\sqrt2}\end{pmatrix},\qquad P^tMP=\begin{pmatrix}0&0\\0&2\end{pmatrix}.$$ $\det P=\tfrac12+\tfrac12=1$: es un giro.

4. Cambio $x=Py$. Parte cuadrática: $0\cdot y_1^2+2y_2^2$. Parte lineal:

   $$(0\ \ -4)P=\big(\tfrac4{\sqrt2},\,-\tfrac4{\sqrt2}\big)=(2\sqrt2,\,-2\sqrt2),$$

   o sea $2\sqrt2\,y_1-2\sqrt2\,y_2$. Constante $-1$ (el giro no la cambia).

5. Ecuación en la base de los ejes: $\ 2y_2^2+2\sqrt2\,y_1-2\sqrt2\,y_2-1=0$.

6. Ampliación (terminar la reducción). $2(y_2^2-\sqrt2\,y_2)=2\big(y_2-\tfrac{\sqrt2}2\big)^2-1$, luego

   $$2\big(y_2-\tfrac{\sqrt2}2\big)^2+2\sqrt2\big(y_1-\tfrac1{\sqrt2}\big)=0.$$

   Con $y_1''=y_1-\tfrac1{\sqrt2}$, $y_2''=y_2-\tfrac{\sqrt2}2$: $y_2''^2=-\sqrt2\,y_1''$, una parábola ($2p=-\sqrt2$; abre hacia $y_1$ negativo). Vértice en $y=(\tfrac1{\sqrt2},\tfrac{\sqrt2}2)$, o sea $x=Py=(1,0)$ (comprobación: $1+0+0-0-1=0$ ✓). Invariantes: $|A|=-4\neq0$, $A_{00}=0$ ✓.

Error típico: usar $P$ sin normalizar: entonces $P^tMP=\operatorname{diag}(0,4)\neq\operatorname{diag}(0,2)$ y la cónica se deforma.

La cónica $x_1^2+x_2^2-2x_1+2mx_1x_2-1=0$ será degenerada si: A) $m=5$. B) $m=2$. C) $m=|\sqrt2|$.

1. Criterio (U p.286): degenerada $\iff|A|=0$.
2. Matriz: $a_{11}=a_{22}=1$, $2a_{12}=2m\Rightarrow a_{12}=m$, $2a_{01}=-2\Rightarrow a_{01}=-1$, $a_{02}=0$, $a_{00}=-1$: $$A=\begin{pmatrix}-1&-1&0\\-1&1&m\\0&m&1\end{pmatrix}.$$

3. Determinante completo (por la 1.ª fila):

   $$|A|=-1\begin{vmatrix}1&m\\m&1\end{vmatrix}-(-1)\begin{vmatrix}-1&m\\0&1\end{vmatrix}+0=-(1-m^2)+(-1)=m^2-2.$$

4. $|A|=0\iff m=\pm\sqrt2$. Además el menor

   $$\begin{vmatrix}-1&-1\\-1&1\end{vmatrix}=-2\neq0$$

   ⇒ $\operatorname{rang}A\ge2$ siempre (nunca es recta doble).

5. Opciones. A) $m=5$: $|A|=23\neq0$, no degenerada: falsa. B) $m=2$: $|A|=2\neq0$: falsa. C) $m=\sqrt2$: $|A|=0$: verdadera.

6. Qué degenerada es (propio). Con $m=\pm\sqrt2$: rango 2 y $A_{00}=1-m^2=-1<0$ ⇒ dos rectas reales secantes. Para $m=\sqrt2$:

   $$\big(x_1+(\sqrt2-1)x_2+\sqrt2-1\big)\big(x_1+(\sqrt2+1)x_2-\sqrt2-1\big)=0,$$

   que se cortan en $(-1,\sqrt2)$.

Error típico: mirar solo $A_{00}$ (que vale $1-m^2$): la degeneración la decide $|A|$, no $A_{00}$.

Dada la cónica de ecuación $1+x_1^2+2\lambda x_1x_2+\mu x_2^2+2\alpha x_2=0$, se pide calcular el valor de $\alpha$ para que sea una parábola.

1. Condiciones de parábola (cuadro de U): $\operatorname{rang}A=3$ (es decir, $|A|\neq0$) y $A_{00}=0$. Las dos hacen falta: con $A_{00}=0$ y $|A|=0$ serían rectas paralelas.

2. Matriz: $a_{00}=1$, $a_{01}=0$, $a_{02}=\alpha$, $a_{11}=1$, $a_{12}=\lambda$, $a_{22}=\mu$:

   $$A=\begin{pmatrix}1&0&\alpha\\0&1&\lambda\\\alpha&\lambda&\mu\end{pmatrix}.$$
3. $$|A|=1(\mu-\lambda^2)-0+\alpha(0-\alpha)=\mu-\lambda^2-\alpha^2$$

   y $A_{00}=\mu-\lambda^2$.

4. $A_{00}=0\iff\mu=\lambda^2$. Sustituyendo, $|A|=-\alpha^2$, que es $\neq0\iff\alpha\neq0$.
5. Resultado: es parábola $\iff\mu=\lambda^2$ y $\alpha\neq0$. Lo que se pide de $\alpha$: $\alpha\neq0$ (con $\mu=\lambda^2$).
6. Qué pasa si $\alpha=0$ (propio). $1+(x_1+\lambda x_2)^2=0$: sin puntos reales; rango 2, $A_{00}=0$, $A_{11}+A_{22}=\lambda^2+1>0$ ⇒ par de rectas paralelas imaginarias.

Error típico: imponer solo $A_{00}=0$ (olvida que con $|A|=0$ son rectas paralelas).

Para que la cónica de ecuación $a\,x_1^2+a\,x_2^2+2b\,x_1x_2-a=0$ represente una elipse real se debe verificar: A) $|a|=|b|$. B) $|a|>|b|$. C) $|a|\ge|b|$.

1. Condiciones de elipse real (cuadro de U): $|A|\neq0$, $A_{00}>0$ y $(a_{11}+a_{22})|A|<0$.

2. Matriz (no hay parte lineal):

   $$A=\begin{pmatrix}-a&0&0\\0&a&b\\0&b&a\end{pmatrix}.$$
3. $|A|=-a(a^2-b^2)$ (bloque diagonal) y $A_{00}=a^2-b^2$.
4. $A_{00}>0\iff a^2>b^2\iff|a|>|b|$ (y esto obliga a $a\neq0$). Entonces $|A|=-a(a^2-b^2)\neq0$ ✓.
5. $(a_{11}+a_{22})|A|=2a\cdot(-a)(a^2-b^2)=-2a^2(a^2-b^2)<0$ cuando $|a|>|b|$ ✓.
6. Conclusión: elipse real $\iff|a|>|b|$. Respuesta B.
7. Por qué A y C fallan. Si $|a|=|b|\neq0$: $b=a$ da $a\big[(x_1+x_2)^2-1\big]=0$ y $b=-a$ da $a\big[(x_1-x_2)^2-1\big]=0$: dos rectas paralelas (degenerada). A es falsa y C incluye ese caso, luego también falsa.

8. Ejemplo de E ($a=2$, $b=-1$): $2x_1^2+2x_2^2-2x_1x_2-2=0$;

   $$M=\begin{pmatrix}2&-1\\-1&2\end{pmatrix}$$

   con valores propios $1$ y $3$ ⇒ reducida $y_1^2+3y_2^2=2$, elipse centrada en el origen con ejes en las direcciones $(1,1)$ y $(-1,1)$. Pruébala en la animación.

Error típico: imponer solo $A_{00}>0$ y olvidar el signo de $(a_{11}+a_{22})|A|$.

1. Invariantes:

   $$A=\begin{pmatrix}4&-4&18\\-4&4&0\\18&0&9\end{pmatrix},$$

   $|A|=-1296$, $A_{00}=36>0$ y $(4+9)|A|<0$ ⇒ elipse real.

2. $a_{12}=0$ ⇒ sin giro. Completar: $4(x_1^2-2x_1)=4(x_1-1)^2-4$; $9(x_2^2+4x_2)=9(x_2+2)^2-36$. Queda $4(x_1-1)^2+9(x_2+2)^2-36=0$.
3. Dividiendo entre $36$: $\dfrac{(x_1-1)^2}{9}+\dfrac{(x_2+2)^2}{4}=1$. Centro $(1,-2)$, $a=3$ (horizontal), $b=2$, $c=\sqrt{9-4}=\sqrt5$.
4. Vértices $(-2,-2)$, $(4,-2)$, $(1,0)$, $(1,-4)$; focos $(1\pm\sqrt5,-2)$.
5. Control: $|A|/A_{00}=-1296/36=-36$ es la constante de $4x_1''^2+9x_2''^2-36=0$ ✓.

1. Clasificar:

   $$A=\begin{pmatrix}3&-3&-3\\-3&1&2\\-3&2&1\end{pmatrix},$$

   $|A|=9\neq0$, $A_{00}=1-4=-3<0$ ⇒ hipérbola.

2. Giro:

   $$M=\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix},$$

   $\lambda^2-2\lambda-3=0\Rightarrow\lambda_1=3,\lambda_2=-1$; $u_1=\tfrac1{\sqrt2}(1,1)$, $u_2=\tfrac1{\sqrt2}(-1,1)$;

   $$P=\tfrac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1&-1\\1&1\end{pmatrix},$$

   $\det P=1$ (giro de 45°).

3. Parte lineal: $(-6\ \ -6)P=(-6\sqrt2\ \ 0)$. Ecuación: $3x_1'^2-x_2'^2-6\sqrt2\,x_1'+3=0$.
4. Traslación: $3(x_1'^2-2\sqrt2x_1')=3(x_1'-\sqrt2)^2-6$ ⇒ $3(x_1'-\sqrt2)^2-x_2'^2=3$ ⇒ $x_1''^2-\dfrac{x_2''^2}{3}=1$: hipérbola con $a=1$, $b=\sqrt3$, $c=\sqrt{1+3}=2$.

5. Elementos en coordenadas originales ($x=Px'$): centro $x'=(\sqrt2,0)\Rightarrow x=(1,1)$; vértices

   $$x'_1=\sqrt2\pm1\Rightarrow x=\big(1\pm\tfrac1{\sqrt2},1\pm\tfrac1{\sqrt2}\big);$$

   focos $x'_1=\sqrt2\pm2\Rightarrow x=(1\pm\sqrt2,1\pm\sqrt2)$. Asíntotas $x_2''=\pm\sqrt3\,x_1''$, que pasan por el centro $(1,1)$.

6. Comprobación de la definición: en el punto $(1,1+\sqrt3)$ de la cónica,

   $$|d_1-d_2|=\sqrt{7+2\sqrt6}-\sqrt{7-2\sqrt6}=(\sqrt6+1)-(\sqrt6-1)=2=2a$$

   ✓. Control: $|A|/A_{00}=-3$ ✓.

1. Clasificar:

   $$A=\begin{pmatrix}0&-4&4\\-4&1&1\\4&1&1\end{pmatrix},$$

   $|A|=-64\neq0$, $A_{00}=0$ ⇒ parábola.

2. Giro:

   $$M=\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix},$$

   $\lambda_1=2$ con $u_1=\tfrac1{\sqrt2}(1,1)$ y $\lambda_2=0$ con $u_2=\tfrac1{\sqrt2}(-1,1)$;

   $$P=\tfrac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1&-1\\1&1\end{pmatrix}.$$
3. Parte lineal: $(-8\ \ 8)P=(0\ \ 8\sqrt2)$. Ecuación: $2x_1'^2+8\sqrt2\,x_2'=0\iff x_1'^2=-4\sqrt2\,x_2'$. Ya es reducida (pasa por el origen): no hace falta trasladar.

4. Def. 6.18 con $2p=-4\sqrt2$, $p=-2\sqrt2$: vértice $(0,0)$; foco $(0,\tfrac p2)=(0,-\sqrt2)$ en $x'$ ⇒ $x=P(0,-\sqrt2)^t=(1,-1)$; directriz

   $$x_2'=-\tfrac p2=\sqrt2\iff\tfrac{-x_1+x_2}{\sqrt2}=\sqrt2\iff x_2-x_1=2.$$
5. Comprobación de la definición: $(8,0)$ está en la cónica ($64-64=0$); su distancia al foco es $\sqrt{49+1}=5\sqrt2$ y a la directriz $\tfrac{|0-8-2|}{\sqrt2}=5\sqrt2$ ✓.

1. a) $x_1^2-4x_2^2-2x_1+1=0$.

   $$A=\begin{pmatrix}1&-1&0\\-1&1&0\\0&0&-4\end{pmatrix},$$

   $|A|=0$, rango 2, $A_{00}=-4<0$ ⇒ rectas reales secantes: $(x_1-1)^2=4x_2^2$, o sea $(x_1-2x_2-1)(x_1+2x_2-1)=0$.

2. b) $x_1^2+x_2^2-2x_1+1=0$. Rango 2, $A_{00}=1>0$ ⇒ rectas imaginarias secantes: un punto: $(x_1-1)^2+x_2^2=0\Rightarrow(1,0)$.

3. c) Familia $x_1^2+2x_1x_2+x_2^2+2x_1+2x_2+k=0$, o sea $(x_1+x_2+1)^2=1-k$.

   $$A=\begin{pmatrix}k&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}:$$

   $|A|=0$ siempre (dos filas iguales) y $A_{00}=0$. Si $k\neq1$, rango 2 ⇒ rectas paralelas; $A_{11}+A_{22}=2(k-1)$: $k<1$ ⇒ reales ($x_1+x_2+1=\pm\sqrt{1-k}$; p. ej. $k=0$: $(x_1+x_2)(x_1+x_2+2)=0$); $k>1$ ⇒ imaginarias. Si $k=1$, rango 1 ⇒ recta doble $(x_1+x_2+1)^2=0$.

4. d) Contraejemplo al criterio de U con $A_{11}$. $x_1^2-1=0$ (rectas $x_1=\pm1$) y $x_1^2+1=0$ (sin puntos) tienen ambas $A_{11}=a_{00}a_{22}-a_{02}^2=0$: el criterio del libro no decide. Pero $A_{22}=a_{00}a_{11}-a_{01}^2$ vale $-1$ y $+1$: con $A_{11}+A_{22}$ sí se distingue.

1. $$A=\begin{pmatrix}1&1&0\\1&k&0\\0&0&1\end{pmatrix}:$$

   $|A|=k-1$, $A_{00}=k$, traza $k+1$.

2. Casos:
   • $k>1$: $|A|>0$, $A_{00}>0$ y $(k+1)(k-1)>0$ ⇒ elipse imaginaria. Control $k=2$: $2(x_1+\tfrac12)^2+x_2^2+\tfrac12=0$, sin puntos.
   • $k=1$: $|A|=0$, rango 2, $A_{00}=1>0$ ⇒ un punto: $(x_1+1)^2+x_2^2=0\Rightarrow(-1,0)$.
   • $0<k<1$: $|A|<0$, $A_{00}>0$ y $(k+1)(k-1)<0$ ⇒ elipse real. Control $k=\tfrac12$: $\tfrac12(x_1+2)^2+x_2^2=1$.
   • $k=0$: $|A|=-1\neq0$ y $A_{00}=0$ ⇒ parábola $x_2^2=-2x_1-1$.
   • $k<0$: $|A|<0$ y $A_{00}<0$ ⇒ hipérbola.
3. Moraleja: el parámetro puede cruzar tres fronteras distintas ($A_{00}=0$, $|A|=0$ y el signo de $(a_{11}+a_{22})|A|$); hay que estudiar cada una. (Recórrelo con los botones «P5» de la animación.)

Se pide definir y citar los invariantes métricos de una cónica $\mathcal C$. Nota: utilice su ecuación analítica.

1. Ecuación analítica (U Def. 6.16):

   $$a_{11}x_1^2+2a_{12}x_1x_2+a_{22}x_2^2+2a_{01}x_1+2a_{02}x_2+a_{00}=0,$$

   con matriz asociada $A$ (Def. 6.17) y matriz de la parte cuadrática

   $$M=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{12}&a_{22}\end{pmatrix}.$$
2. Definición (U Def. 6.19): son los parámetros que no varían al pasar de un sistema de coordenadas a otro mediante un giro o una traslación.
3. Cuáles son: $|A|$ (determinante de la matriz de la cónica); $a_{11}+a_{22}$ (traza de $M$); $A_{00}=a_{11}a_{22}-a_{12}^2$ (adjunto de $a_{00}$ en $A$, igual al determinante de $M$).

4. Ampliación (por qué lo son). Un giro $x=Px'$ ($P$ ortogonal con $\det P=1$) seguido de una traslación se escribe $X=NX''$ con

   $$N=\begin{pmatrix}1&0\\ c&P\end{pmatrix}$$

   ($c$ = vector de la traslación en coordenadas originales, de modo que $x=c+Px''$; por bloques). Entonces $X^tAX=X''^t(N^tAN)X''$, así que la matriz nueva es $A''=N^tAN$, con $|A''|=|N|^2|A|=(\det P)^2|A|=|A|$; y el bloque cuadrático nuevo es $P^tMP=P^{-1}MP$ (la traslación no toca los términos de grado 2), semejante a $M$ ⇒ misma traza y mismo determinante. Además $\operatorname{rang}A''=\operatorname{rang}A$, porque $N$ es regular.

5. Solución oficial: correcta (cita los tres).

Error típico: citar solo «el determinante» y olvidar la traza de $M$ y $A_{00}$, o confundir $|A|$ (matriz $3\times3$) con $|M|$.

Calcular los invariantes de la cónica $5x_1^2-3x_1x_2+x_2^2-3x_1+2x_2-5=0$.

1. Coeficientes: $a_{11}=5$, $2a_{12}=-3\Rightarrow a_{12}=-\tfrac32$, $a_{22}=1$, $2a_{01}=-3\Rightarrow a_{01}=-\tfrac32$, $2a_{02}=2\Rightarrow a_{02}=1$, $a_{00}=-5$.

2. Matriz:

   $$A=\begin{pmatrix}-5&-\tfrac32&1\\-\tfrac32&5&-\tfrac32\\1&-\tfrac32&1\end{pmatrix}$$

   (es la de U Ej. 6.29, p.278).

3. $|A|$ (Sarrus): diagonales

   $$(-5)(5)(1)+(-\tfrac32)(-\tfrac32)(1)+(1)(-\tfrac32)(-\tfrac32)=-25+\tfrac94+\tfrac94=-\tfrac{41}2;$$

   antidiagonales

   $$(1)(5)(1)+(-5)(-\tfrac32)(-\tfrac32)+(-\tfrac32)(-\tfrac32)(1)=5-\tfrac{45}4+\tfrac94=-4.$$

   $|A|=-\tfrac{41}2-(-4)=-\tfrac{33}2$.

4. Traza $=5+1=6$. $A_{00}$ $=5\cdot1-\tfrac94=\tfrac{11}4$. (Coincide con U Ej. 6.32, p.285.)
5. Extra para «debidamente justificado» (qué cónica es): $|A|\neq0$ ⇒ rango 3; $A_{00}>0$ ⇒ tipo elipse; $(a_{11}+a_{22})|A|=6\cdot(-\tfrac{33}2)=-99<0$ ⇒ elipse real (U Ej. 6.33, p.287). Su ecuación reducida está más abajo (ampliación, Bloque III).

Error típico: no dividir entre 2 (sale $a_{01}=-3$ en vez de $-\tfrac32$) o poner $a_{00}$ abajo a la derecha.

Clasificar la cónica de ecuación $x_1^2+4x_2^2-6x_1+8x_2+9=0$.

1. $$A=\begin{pmatrix}9&-3&4\\-3&1&0\\4&0&4\end{pmatrix},$$

   $|A|=-16\neq0$ ⇒ rango 3, no degenerada.

2. $A_{00}=4>0$ ⇒ elipse; $(a_{11}+a_{22})|A|=5(-16)<0$ ⇒ elipse real.
3. Opcional (añade valor): reducida $\dfrac{x_1''^2}{4}+x_2''^2=1$ con $x_1''=x_1-3$, $x_2''=x_2+1$. Centro $(3,-1)$; $a=2$, $b=1$, $c=\sqrt{4-1}=\sqrt3$; focos $(3\pm\sqrt3,-1)$; vértices $(1,-1)$, $(5,-1)$, $(3,0)$, $(3,-2)$.

Error típico: decir «elipse» sin aclarar si es real o imaginaria.

La cónica de ecuación $x_2^2+2x_1x_2+x_1^2-2x_2+x_1+1=0$ es: A) Una parábola; B) Una elipse; C) Una recta doble; D) Ninguna de las anteriores.

1. Coeficientes: $a_{11}=1$, $a_{22}=1$, $a_{12}=1$, $a_{01}=\tfrac12$, $a_{02}=-1$, $a_{00}=1$:

   $$A=\begin{pmatrix}1&\tfrac12&-1\\\tfrac12&1&1\\-1&1&1\end{pmatrix}.$$

2. $|A|$ (Sarrus):

   $$1\cdot1\cdot1+\tfrac12\cdot1\cdot(-1)+(-1)\cdot\tfrac12\cdot1-\big[(-1)\cdot1\cdot(-1)+1\cdot1\cdot1+1\cdot\tfrac12\cdot\tfrac12\big]=(1-\tfrac12-\tfrac12)-(1+1+\tfrac14)=-\tfrac94\neq0$$

   ⇒ rango 3, no degenerada (descarta C: una recta doble tiene rango 1).

3. $A_{00}$ $=1\cdot1-1^2=0$ ⇒ parábola (descarta B, que exigiría $A_{00}>0$). Respuesta A.

4. Comprobación por reducción (opcional):

   $$M=\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix},$$

   valores propios $2$ y $0$ con $u_1=\tfrac1{\sqrt2}(1,1)$, $u_2=\tfrac1{\sqrt2}(-1,1)$;

   $$P=\tfrac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1&-1\\1&1\end{pmatrix}$$

   ($\det P=1$, giro de 45°). La ecuación queda $2y_1^2-\tfrac{\sqrt2}2y_1-\tfrac{3\sqrt2}2y_2+1=0$ y, completando,

   $$2\big(y_1-\tfrac{\sqrt2}8\big)^2=\tfrac{3\sqrt2}2\big(y_2-\tfrac{5\sqrt2}{16}\big),$$

   es decir $y_1''^2=\tfrac{3\sqrt2}{4}\,y_2''$: parábola de vértice $(x_1,x_2)=(-\tfrac3{16},\tfrac7{16})$.

Error típico: concluir «parábola» con $A_{00}=0$ sin comprobar $|A|\neq0$ (podrían ser rectas paralelas).

Calcular la ecuación reducida de la cónica $x_1^2+4x_2^2-4x_1-16x_2+19=0$ (2 puntos).

1. No hay término $x_1x_2$ ($a_{12}=0$) ⇒ no se necesita giro.
2. Completar cuadrados: $(x_1-2)^2+4(x_2-2)^2-1=0$.
3. Traslación $x_1'=x_1-2$, $x_2'=x_2-2$ ⇒ $x_1'^2+4x_2'^2=1$, elipse de centro $(2,2)$ y semiejes $1$ y $\tfrac12$.
4. Comprobación por invariantes (recomendable en un problema): $|A|=-4$, $A_{00}=4>0$, $5\cdot(-4)<0$ ⇒ elipse real ✓.

Error típico: dar solo «$x_1^2+4x_2^2=1$» sin indicar que son coordenadas trasladadas.

(El examen solo pide los invariantes; se reduce aquí como ejemplo completo de giro + traslación con valores propios racionales.)

1. Giro.

   $$M=\begin{pmatrix}5&-\tfrac32\\-\tfrac32&1\end{pmatrix}:$$ $$\lambda^2-6\lambda+\tfrac{11}4=0\Rightarrow\lambda=\tfrac{6\pm5}2,$$

   o sea $\lambda_1=\tfrac{11}2$ y $\lambda_2=\tfrac12$.

2. Vectores propios. $\lambda_1$: $-\tfrac12x_1-\tfrac32x_2=0\Rightarrow(3,-1)$. $\lambda_2$: $\tfrac92x_1-\tfrac32x_2=0\Rightarrow(1,3)$.

   $$P=\tfrac1{\sqrt{10}}\begin{pmatrix}3&1\\-1&3\end{pmatrix},$$

   $\det P=1$.

3. Parte lineal:

   $$(-3\ \ 2)P=\big(-\tfrac{11}{\sqrt{10}}\ \ \tfrac3{\sqrt{10}}\big).$$

   Ecuación:

   $$\tfrac{11}2y_1^2+\tfrac12y_2^2-\tfrac{11}{\sqrt{10}}y_1+\tfrac3{\sqrt{10}}y_2-5=0$$

   (con $y=x'$ las coordenadas giradas).

4. Completar cuadrados:

   $$\tfrac{11}2\big(y_1-\tfrac1{\sqrt{10}}\big)^2-\tfrac{11}{20}+\tfrac12\big(y_2+\tfrac3{\sqrt{10}}\big)^2-\tfrac9{20}-5=0\Rightarrow\tfrac{11}2y_1''^2+\tfrac12y_2''^2=6\Rightarrow\dfrac{y_1''^2}{12/11}+\dfrac{y_2''^2}{12}=1.$$

5. Centro

   $$y=(\tfrac1{\sqrt{10}},-\tfrac3{\sqrt{10}})\Rightarrow x=Py=(0,-1).$$

   Semiejes $\sqrt{12/11}$ (en la dirección $(3,-1)$) y $2\sqrt3$ (dirección $(1,3)$); $c^2=12-\tfrac{12}{11}=\tfrac{120}{11}$.

6. Control con invariantes: la reducida $\operatorname{diag}(-6,\tfrac{11}2,\tfrac12)$ da $|A'|=-6\cdot\tfrac{11}4=-\tfrac{33}2$ ✓, traza $6$ ✓ y $A_{00}=\tfrac{11}4$ ✓ (y $d=|A|/A_{00}=-6$ ✓). (Cárgalo en la animación con «Feb. 2018 B».)

Error típico: olvidar transformar la parte lineal al girar (solo se diagonaliza la cuadrática).

Determinar, si es posible, los valores de $\alpha\in\mathbb R$ para que la ecuación $1+x_1^2+2x_1x_2+x_2^2+2\alpha x_2=0$ defina una parábola.

1. $$A=\begin{pmatrix}1&0&\alpha\\0&1&1\\\alpha&1&1\end{pmatrix};$$

   $A_{00}=1\cdot1-1^2=0$ para todo $\alpha$ (la parte cuadrática es $(x_1+x_2)^2$).

2. $|A|=1(1-1)-0+\alpha(0-\alpha)=-\alpha^2$.
3. Parábola $\iff|A|\neq0\iff$ $\alpha\neq0$.
4. Si $\alpha=0$: $(x_1+x_2)^2=-1$, rectas paralelas imaginarias (rango 2, $A_{11}=A_{22}=1>0$).

Error típico: responder «para todo $\alpha$» porque $A_{00}=0$ siempre, sin ver que $|A|=-\alpha^2$ se anula en $\alpha=0$.