Cuádricas

Para que $x_1^2-x_2^2+2\lambda x_1x_3-x_2x_3=0$ sea la ecuación de un cono, el valor de $\lambda$ debe ser: A) $\lambda=\tfrac12$. B) $\lambda=-1$. C) $\lambda=\tfrac12$ ó $\lambda=-\tfrac12$.

1. Matriz: $a_{11}=1$, $a_{22}=-1$, $a_{33}=0$, $a_{12}=0$, $2a_{13}=2\lambda\Rightarrow a_{13}=\lambda$, $2a_{23}=-1\Rightarrow a_{23}=-\tfrac12$; sin parte lineal ni constante: $$A=\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&1&0&\lambda\\0&0&-1&-\tfrac12\\0&\lambda&-\tfrac12&0\end{pmatrix}.$$
2. $|A|=0$ para todo $\lambda$ (primera fila nula) y, como la fila y la columna 0 son nulas, $\operatorname{rang}A=\operatorname{rang}M$.

3. $A_{00}=|M|$ (1.ª fila):

   $$1\big(0-\tfrac14\big)-0+\lambda(0+\lambda)=\lambda^2-\tfrac14.$$
4. Cono ⇔ rango 3 y $A_{00}\neq0$ (cuadro, U p.300) ⇔ $\lambda^2\neq\tfrac14$ ⇔ $\lambda\neq\pm\tfrac12$.
5. Opciones. A) $\lambda=\tfrac12$: $A_{00}=0$ y rango 2 ⇒ par de planos ($J_a=-\tfrac{4\lambda^2+5}4<0$: reales secantes): falsa. C) incluye $\lambda=\tfrac12$: falsa. B) $\lambda=-1$: $A_{00}=\tfrac34\neq0$, rango 3 ⇒ cono; y como $I_a=1-1+0=0$ hay signos mezclados ⇒ cono real: verdadera.

Error típico: creer que «cono» exige un valor concreto de $\lambda$; o aceptar $A_{00}=0$ como cono.

Sea $p^3+2p^2+p+5$ la ecuación de tercer grado asociada a una cuádrica. Entonces esa cuádrica: A) No tiene centro. B) Es un cono. C) No puede ser un par de planos imaginarios.

1. Identificar los invariantes comparando con $p^3-I_ap^2+J_ap-A_{00}$ (U p.299): $-I_a=2\Rightarrow I_a=-2$; $J_a=1$; $-A_{00}=5\Rightarrow A_{00}=-5$.
2. Rango. $A_{00}\neq0$ ⇒ $\operatorname{rang}A\ge3$ (hecho (R)): es 3 ó 4; sin $|A|$ no se decide.
3. A) Falsa. $A_{00}\neq0$ ⇒ centro único (U p.299).
4. B) Falsa (no se puede asegurar): es cono solo si $|A|=0$; con $|A|\neq0$ sería un elipsoide o un hiperboloide.
5. C) Verdadera. Un par de planos exige rango 2 (cuadro), imposible porque el rango es $\ge3$.

Error típico: leer $A_{00}=5$ (sin cambiar el signo) o $I_a=2$.

Si $\lambda=0$, la cuádrica de ecuación $x_1^2-2x_2^2+x_3^2-2x_1x_2+3x_1x_3-4x_2x_3+\lambda=0$ es: A) Un paraboloide. B) Un cono. C) Un par de planos.

1. Matriz: $a_{12}=-1$, $a_{13}=\tfrac32$, $a_{23}=-2$, sin lineales, $a_{00}=\lambda$: $$A=\begin{pmatrix}\lambda&0&0&0\\0&1&-1&\tfrac32\\0&-1&-2&-2\\0&\tfrac32&-2&1\end{pmatrix}.$$

2. $|A|=\lambda\,|M|$ (desarrollo por la 1.ª fila).

   $$|M|=1(-2-4)-(-1)(-1+3)+\tfrac32(2+3)=-6+2+\tfrac{15}2=\tfrac72.$$

   Así $A_{00}=\tfrac72$ y $|A|=\tfrac72\lambda$.

3. Para $\lambda=0$: $|A|=0$ y $A_{00}=\tfrac72\neq0$ ⇒ rango 3 (hecho (R)) ⇒ cono. Respuesta B.
4. Real o imaginario (completa la clasificación): $I_a=1-2+1=0$ ⇒ signos mezclados ⇒ cono real (valores propios $\approx3{,}36;\,-0{,}35;\,-3{,}01$).
5. A) falsa: un paraboloide exige rango 4 y $A_{00}=0$. C) falsa: un par de planos exige rango 2.

Comentario. Una ecuación homogénea de grado 2 con $A_{00}\neq0$ siempre es un cono con vértice en el origen: si $X$ la cumple, $tX$ también.

Error típico: olvidar los factores 2: $-2x_1x_2$ da $a_{12}=-1$ y $3x_1x_3$ da $a_{13}=\tfrac32$.

La cuádrica $x_1^2+x_2^2+x_3^2+4x_1x_2+2ax_1x_3+4x_2x_3+2x_1+4x_2+6x_3=0$, con $a\in\mathbb R$, verifica que: A) Es una cuádrica con centro para cualquier valor de $a$. B) No puede ser un cilindro. C) Siempre es un paraboloide.

1. Matriz: $a_{12}=2$, $a_{13}=a$, $a_{23}=2$, $a_{01}=1$, $a_{02}=2$, $a_{03}=3$, $a_{00}=0$: $$A=\begin{pmatrix}0&1&2&3\\1&1&2&a\\2&2&1&2\\3&a&2&1\end{pmatrix},\qquad M=\begin{pmatrix}1&2&a\\2&1&2\\a&2&1\end{pmatrix}.$$
2. $A_{00}$ (1.ª fila): $1(1-4)-2(2-2a)+a(4-a)=-a^2+8a-7=-(a-1)(a-7)$: se anula en $a=1$ y $a=7$.
3. $|A|=4a^2-26a+34=2(2a^2-13a+17)$, con raíces $a=\tfrac{13\pm\sqrt{33}}4\approx1{,}81;\ 4{,}69$ (ninguna es 1 ni 7).
4. Casos:
   • $a\in\{1,7\}$: $A_{00}=0$ y $|A|=12$ ($a=1$) ó $48$ ($a=7$), $\neq0$ ⇒ rango 4 ⇒ paraboloide; $J_a=-a^2-5<0$ ⇒ hiperbólico.
   • $a=\tfrac{13\pm\sqrt{33}}4$: $|A|=0$ y $A_{00}\approx4{,}22;\ 8{,}53\neq0$ ⇒ rango 3 (hecho (R)) ⇒ cono.
   • Resto: $|A|\neq0$, $A_{00}\neq0$ ⇒ ordinaria con centro.
5. Opciones. A) falsa: para $a=1,7$ no hay centro. C) falsa: solo para $a=1,7$. B) verdadera: un cilindro exige rango 3 y $A_{00}=0$; pero cuando $A_{00}=0$ el rango es 4, y cuando el rango es 3, $A_{00}\neq0$. Nunca ocurren a la vez.

Error típico: concluir «cono» con $|A|=0$ sin ver que $A_{00}\neq0$ allí; o «cilindro» sin comprobar que el rango es 3.

Para que la cuádrica de ecuación $x_1^2+mx_2^2+2x_3^2+2x_1-4x_2-(m+1)=0$ resulte un paraboloide elíptico, debe ser: A) $m>0$. B) $m<0$. C) $m=0$.

1. Matriz: $a_{00}=-(m+1)$, $a_{01}=1$, $a_{02}=-2$, $a_{03}=0$, $M=\operatorname{diag}(1,m,2)$: $$A=\begin{pmatrix}-(m+1)&1&-2&0\\1&1&0&0\\-2&0&m&0\\0&0&0&2\end{pmatrix}.$$

2. $|A|$ (por la 4.ª fila):

   $$2\begin{vmatrix}-(m+1)&1&-2\\1&1&0\\-2&0&m\end{vmatrix}=2\,[-m(m+1)-4-m]=-2(m^2+2m+4).$$

   Como $m^2+2m+4=(m+1)^2+3>0$, $|A|\neq0$ siempre: rango 4.

3. $A_{00}=2m$. Paraboloide (rango 4 y $A_{00}=0$) ⇔ $m=0$.

4. $J_a$

   $$=\begin{vmatrix}m&0\\0&2\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}1&0\\0&2\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}1&0\\0&m\end{vmatrix}=3m+2;$$

   para $m=0$, $J_a=2>0$ ⇒ elíptico. Respuesta C.

5. Comprobación ($m=0$):

   $$x_1^2+2x_3^2+2x_1-4x_2-1=0\iff(x_1+1)^2+2x_3^2=4\big(x_2+\tfrac12\big):$$

   paraboloide elíptico de eje paralelo a $x_2$.

Error típico: imponer solo $A_{00}=0$ sin comprobar $|A|\neq0$ (podría ser un cilindro).

Calcúlese el valor de $a$ para que la cuádrica $x_1^2+x_2^2+ax_3^2+2x_1+2x_2+x_3=a$ sea un paraboloide.

1. Todo a un miembro (la matriz exige «$=0$»): $x_1^2+x_2^2+ax_3^2+2x_1+2x_2+x_3-a=0$. Entonces $a_{00}=-a$, $a_{01}=a_{02}=1$, $2a_{03}=1\Rightarrow a_{03}=\tfrac12$: $$A=\begin{pmatrix}-a&1&1&\tfrac12\\1&1&0&0\\1&0&1&0\\\tfrac12&0&0&a\end{pmatrix},\qquad M=\operatorname{diag}(1,1,a).$$
2. Paraboloide ⇔ rango 4 y $A_{00}=0$. $A_{00}=1\cdot1\cdot a=a$ ⇒ $A_{00}=0\iff a=0$.

3. $|A|$ (por la 4.ª fila):

   $$-\tfrac12\begin{vmatrix}1&1&\tfrac12\\1&0&0\\0&1&0\end{vmatrix}+a\begin{vmatrix}-a&1&1\\1&1&0\\1&0&1\end{vmatrix}=-\tfrac14+a(-a-2)=-\tfrac14-a^2-2a.$$

   Para $a=0$: $|A|=-\tfrac14\neq0$ ⇒ rango 4 ✓.

4. Respuesta: $a=0$. Y $J_a=1\cdot0+1\cdot0+1\cdot1=1>0$ ⇒ paraboloide elíptico. Comprobación: con $a=0$, $(x_1+1)^2+(x_2+1)^2=2-x_3$, paraboloide de revolución de vértice $(-1,-1,2)$.

Error típico: dejar la $a$ del segundo miembro fuera de $a_{00}$.

Si se consideran las cuádricas de ecuación $\lambda x_1^2+x_2^2+2x_3^2+4x_1x_3-2x_2x_3+\lambda x_1+2x_3-1=0$, el valor de $\lambda$ para que: A) Se trate de una cuádrica ordinaria es que $\lambda\neq4$ ó $\lambda\neq-4$ y en ambos casos con centro. B) Sea un cilindro es que $\lambda=4$. C) Sea un cono hiperbólico es que $\lambda=-4$.

1. Matriz: $a_{11}=\lambda$, $a_{22}=1$, $a_{33}=2$, $a_{12}=0$, $a_{13}=2$, $a_{23}=-1$, $a_{01}=\tfrac\lambda2$, $a_{02}=0$, $a_{03}=1$, $a_{00}=-1$: $$A=\begin{pmatrix}-1&\tfrac\lambda2&0&1\\\tfrac\lambda2&\lambda&0&2\\0&0&1&-1\\1&2&-1&2\end{pmatrix}.$$

2. Invariantes: $|A|=\tfrac14(4-\lambda)(4+\lambda)$; $A_{00}=\lambda(2-1)-0+2(0-2)=\lambda-4$; $I_a=\lambda+3$;

   $$J_a=\begin{vmatrix}1&-1\\-1&2\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}\lambda&2\\2&2\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}\lambda&0\\0&1\end{vmatrix}=1+(2\lambda-4)+\lambda=3\lambda-3.$$
3. $\lambda\neq\pm4$: $|A|\neq0$ ⇒ rango 4 (ordinaria) y $A_{00}=\lambda-4\neq0$ ⇒ con centro (elipsoide o hiperboloide).

4. $\lambda=4$: $|A|=0$, $A_{00}=0$; el menor de filas y columnas $\{0,2,3\}$ vale

   $$\begin{vmatrix}-1&0&1\\0&1&-1\\1&-1&2\end{vmatrix}=-2\neq0$$

   ⇒ rango 3. Rango 3 y $A_{00}=0$ ⇒ cilindro. $J_a=9>0$ ⇒ elíptico. ¿Real o imaginario? (criterio corregido del apartado 4): se busca un punto del eje, $Mc=-(a_{01},a_{02},a_{03})^t=(-2,0,-1)^t$, con $c=(-\tfrac12-\tfrac t2,t,t)$, y $d=F(c)=-2$. La ecuación queda $\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2-2=0$ con $\lambda_{1,2}=\tfrac{7\pm\sqrt{13}}2>0$ ⇒ cilindro elíptico real, de eje en la dirección $(-1,2,2)$.

5. $\lambda=-4$: $|A|=0$, $A_{00}=-8\neq0$ ⇒ rango 3 ⇒ cono; $J_a=-15<0$ ⇒ signos mezclados ⇒ cono real (valores propios $\approx-4{,}62;\ 0{,}57;\ 3{,}05$).
6. Opciones: A) falsa (tal como está escrita). B) verdadera. C) verdadera (leyendo «cono real»).

Error típico: dar por buena la frase de A) con «ó»; o decir «cilindro» sin comprobar el rango 3.

Sea la cuádrica $3x^2+2y^2+az^2+4xy+2x+2bz+1=0$, con $a,b\in\mathbb R$. Entonces: A) Si $a=0$ y $b\neq0$ se trata de un paraboloide elíptico. B) Si $a=0$ y $b=0$ se trata de un hiperboloide elíptico. C) Si $a=2$ y $b\neq0$ se trata de un cono imaginario.

1. Matriz ($x,y,z$ por $x_1,x_2,x_3$): $a_{11}=3$, $a_{22}=2$, $a_{33}=a$, $a_{12}=2$, $a_{13}=a_{23}=0$, $a_{01}=1$, $a_{02}=0$, $a_{03}=b$, $a_{00}=1$: $$A=\begin{pmatrix}1&1&0&b\\1&3&2&0\\0&2&2&0\\b&0&0&a\end{pmatrix}.$$

2. Invariantes:

   $$A_{00}=a\begin{vmatrix}3&2\\2&2\end{vmatrix}=2a;$$

   $I_a=5+a$; $J_a=2a+3a+(6-4)=5a+2$. $|A|$ por la 4.ª fila: el adjunto de $a$ es

   $$\begin{vmatrix}1&1&0\\1&3&2\\0&2&2\end{vmatrix}=1(6-4)-1(2-0)=0,$$

   y el término de $b$ (posición $(4,1)$) es

   $$b(-1)^5\begin{vmatrix}1&0&b\\3&2&0\\2&2&0\end{vmatrix}=-b\cdot b(6-4)=-2b^2.$$

   Luego $|A|=-2b^2$, independiente de $a$.

3. A) Verdadera. $a=0$, $b\neq0$: $|A|=-2b^2\neq0$ (rango 4), $A_{00}=0$ ⇒ paraboloide; $J_a=2>0$ ⇒ elíptico.
4. B) Falsa. $a=b=0$: $|A|=0$ y $A_{00}=0$, y hay menores $2\times2$ no nulos (p. ej. $\begin{vmatrix}1&1\\1&3\end{vmatrix}=2$) pero todos los $3\times3$ son nulos ⇒ $\operatorname{rang}A=2$; con $J_a=2>0$ ⇒ par de planos imaginarios secantes (cuadro). No puede ser un hiperboloide (rango 4). Comprobación: la ecuación no contiene $z$; en el plano $xy$ es la cónica $3x^2+4xy+2y^2+2x+1=0$, degenerada con $A_{00}=2>0$ (rectas imaginarias que se cortan en el punto real $(-1,1)$). Los únicos puntos reales forman la recta $\{(-1,1,z)\}$.
5. C) Falsa. $a=2$, $b\neq0$: $|A|=-2b^2<0$ (rango 4), $A_{00}=4\neq0$ ⇒ con centro; $I_a=7>0$, $J_a=12>0$, $A_{00}>0$ ⇒ signos $+++$ (hecho (S)) ⇒ elipsoide; $|A|<0$ ⇒ elipsoide real. Un cono exigiría rango 3.

Error típico: con $a=b=0$ decir «paraboloide» por ser $A_{00}=0$, sin comprobar $|A|\neq0$.

Calcúlese la ecuación reducida de la cuádrica $x_1^2-x_2x_3-2x_1+4x_3+5=0$.

1. Matriz: $a_{11}=1$, $a_{22}=a_{33}=0$, $2a_{23}=-1\Rightarrow a_{23}=-\tfrac12$, $a_{01}=-1$, $a_{02}=0$, $a_{03}=2$, $a_{00}=5$.

   $$M=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&-\tfrac12\\0&-\tfrac12&0\end{pmatrix}.$$
2. Por qué hace falta un giro: el término $x_2x_3$ impide completar cuadrados variable a variable.
3. Valores propios: $|M-\lambda I|=(1-\lambda)\big(\lambda^2-\tfrac14\big)$ ⇒ $\lambda=1,\ \tfrac12,\ -\tfrac12$.
4. Vectores propios. $\lambda=-\tfrac12$: $\tfrac32x_1=0$, $\tfrac12x_2-\tfrac12x_3=0$ ⇒ $(0,1,1)$. $\lambda=\tfrac12$: $x_1=0$, $-\tfrac12x_2-\tfrac12x_3=0$ ⇒ $(0,1,-1)$. $\lambda=1$: $x_2=x_3=0$ ⇒ $(1,0,0)$. Ortogonales dos a dos (valores propios distintos).
5. Matriz de paso ortonormal (orden $-\tfrac12,\tfrac12,1$): $$P=\begin{pmatrix}0&0&1\\\tfrac1{\sqrt2}&\tfrac1{\sqrt2}&0\\\tfrac1{\sqrt2}&-\tfrac1{\sqrt2}&0\end{pmatrix},\qquad P^tMP=\operatorname{diag}\big(-\tfrac12,\tfrac12,1\big).$$ ($\det P=-1$, como en el libro.)

6. Parte lineal girada:

   $$2(-1,0,2)P=2\big(\tfrac2{\sqrt2},-\tfrac2{\sqrt2},-1\big)=(2\sqrt2,-2\sqrt2,-2).$$

   Con $X=PX'$:

   $$-\tfrac12x_1'^2+\tfrac12x_2'^2+x_3'^2+2\sqrt2\,x_1'-2\sqrt2\,x_2'-2x_3'+5=0.$$

7. Completar cuadrados:

   $$-\tfrac12\big(x_1'^2-4\sqrt2x_1'\big)=-\tfrac12(x_1'-2\sqrt2)^2+4;$$ $$\ \tfrac12\big(x_2'^2-4\sqrt2x_2'\big)=\tfrac12(x_2'-2\sqrt2)^2-4;$$

   $\ x_3'^2-2x_3'=(x_3'-1)^2-1$. Constante: $4-4-1+5=4$.

8. Traslación $x_1''=x_1'-2\sqrt2$, $x_2''=x_2'-2\sqrt2$, $x_3''=x_3'-1$: $$-\tfrac12x_1''^2+\tfrac12x_2''^2+x_3''^2+4=0.$$ Controles. $d=|A|/A_{00}=(-1)/(-\tfrac14)=4$ ✓. Centro en coordenadas originales: $X=P(2\sqrt2,2\sqrt2,1)^t=(1,4,0)$, que anula las derivadas parciales ($2x_1-2=0$, $-x_3=0$, $-x_2+4=0$) ✓.
9. Qué superficie es (el libro no lo dice): pasando la constante y dividiendo entre $-4$, $\dfrac{x_2''^2}{8}+\dfrac{x_3''^2}{4}-\dfrac{x_1''^2}{8}=-1$ ⇒ hiperboloide de dos hojas (elíptico, no reglado), con eje en la dirección $(0,1,1)$ (el vector propio de $\lambda=-\tfrac12$). Por invariantes: rango 4 ($|A|=-1$), $A_{00}=-\tfrac14\neq0$, signos $(-,+,+)$ ⇒ hiperboloide; $|A|<0$ ⇒ dos hojas ✓.

Error típico: multiplicar la parte lineal por $P^t$ en vez de por $P$; olvidar el factor 2 de la parte lineal; o equivocarse al completar cuadrados con coeficiente negativo ($-\tfrac12(\dots)^2$ suma $+4$).

Se pide hallar los invariantes de la cuádrica $6x_1^2+3x_2^2+3x_3^2+4x_1x_2-4x_1x_3-2x_2x_3-4x_1-8x_2+9=0$ y calcular los valores propios de la matriz asociada a la forma cuadrática.

1. Coeficientes: $a_{11}=6$, $a_{22}=3$, $a_{33}=3$; $a_{12}=2$, $a_{13}=-2$, $a_{23}=-1$; $a_{01}=-2$, $a_{02}=-4$, $a_{03}=0$ (no hay término en $x_3$); $a_{00}=9$.
2. Matrices: $$A=\begin{pmatrix}9&-2&-4&0\\-2&6&2&-2\\-4&2&3&-1\\0&-2&-1&3\end{pmatrix},\qquad M=\begin{pmatrix}6&2&-2\\2&3&-1\\-2&-1&3\end{pmatrix}.$$
3. $I_a=6+3+3=12$.
4. $A_{00}=|M|$ (1.ª fila): $6(9-1)-2(6-2)+(-2)(-2+6)=48-8-8=32$.

5. $J_a$:

   $$\begin{vmatrix}3&-1\\-1&3\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}6&-2\\-2&3\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}6&2\\2&3\end{vmatrix}=8+14+14=36.$$
6. $|A|$. Hacer ceros en la 4.ª columna: $F_2\leftarrow F_2-2F_3$ da $(6,2,-4,0)$; $F_4\leftarrow F_4+3F_3$ da $(-12,4,8,0)$ (no cambian el determinante). Ahora la 4.ª columna solo tiene el $-1$ de la fila 3, de signo $(-1)^{3+4}=-1$: $$|A|=(-1)(-1)\begin{vmatrix}9&-2&-4\\6&2&-4\\-12&4&8\end{vmatrix}=4\begin{vmatrix}9&-2&-4\\6&2&-4\\-3&1&2\end{vmatrix}=4\,[9(4+4)+2(12-12)-4(6+6)]=4\cdot24=96.$$
7. Valores propios de $M$: $p^3-12p^2+36p-32=0$. $p=2$ lo anula ($8-48+72-32=0$) y $p^3-12p^2+36p-32=(p-2)(p^2-10p+16)=(p-2)^2(p-8)$. Valores propios: $2$ (doble) y $8$.

8. Qué superficie es (el libro no lo dice): $|A|\neq0$ ⇒ rango 4; $A_{00}\neq0$ ⇒ con centro; signos $+++$ ⇒ elipsoide; $|A|=96>0$ ⇒ elipsoide imaginario. Comprobación con el centro: $Mc=-(a_{01},a_{02},a_{03})^t=(2,4,0)^t$ tiene solución $c=(0,\tfrac32,\tfrac12)$; el valor en el centro es $d=3$ y $|A|/A_{00}=96/32=3$ ✓. En ejes principales: $2x_1''^2+2x_2''^2+8x_3''^2+3=0$, imposible en $\mathbb R$ (suma de términos $\ge0$ más 3); en la forma de U:

   $$\frac{x_1''^2}{3/2}+\frac{x_2''^2}{3/2}+\frac{x_3''^2}{3/8}=-1.$$

Error típico: fiarse de un $|A|$ sin comprobarlo: decide real o imaginario.

1. Completar cuadrados:

   $$(x_1-1)^2-1+(x_2+2)^2-4+x_3^2-4=0\iff(x_1-1)^2+(x_2+2)^2+x_3^2=9:$$

   esfera de centro $(1,-2,0)$ y radio $3$ (elipsoide real con $a=b=c=3$, Def. 6.22).

2. Control por invariantes:

   $$A=\begin{pmatrix}-4&-1&2&0\\-1&1&0&0\\2&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix},$$

   $A_{00}=1$, signos $+++$, $|A|=-9<0$ ⇒ elipsoide real ✓; $d=|A|/A_{00}=-9$ ✓ (el $-9$ que pasa al otro miembro).

1. $$M=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&1\\0&1&1\end{pmatrix}:$$

   $A_{00}=1\cdot(1-1)=0$, $I_a=3$, $J_a=0+1+1=2$; valores propios $1,2,0$. Con $c_0=-3$ y con $c_0=5$ el rango es 3 ($|A|=0$; hay un menor $3\times3$ no nulo) ⇒ rango 3 y $A_{00}=0$ ⇒ cilindro; $J_a>0$ ⇒ elíptico.

2. Real o imaginario. Centros: $Mc=(1,0,0)^t$ ⇒ $c_1=1$, $c_2+c_3=0$ (una recta, el eje). En $c=(1,0,0)$: $F(c)=1-2+c_0=c_0-1$.
   • $c_0=-3$: $d=-4$, signo opuesto al de los valores propios ⇒ cilindro elíptico real: $(x_1-1)^2+(x_2+x_3)^2=4$.
   • $c_0=5$: $d=4$ ⇒ $(x_1-1)^2+(x_2+x_3)^2=-4$: cilindro elíptico imaginario (vacío).
3. Moraleja: el cuadro de U (con $J_a$) no distingue estos dos casos; hay que mirar la constante en el eje.

Halla la ecuación reducida de $2x_1^2+2x_2^2+2x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3+2x_2x_3-8x_1-8x_2-8x_3+8=0$.

1. $$M=\begin{pmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{pmatrix},$$

   $(a_{01},a_{02},a_{03})=(-4,-4,-4)$, $a_{00}=8$. Como $M=I+\mathbf 1\mathbf 1^t$: valores propios $4$ (vector $(1,1,1)$) y $1$ doble (plano $x_1+x_2+x_3=0$). Control: $I_a=6=4+1+1$, $A_{00}=4=4\cdot1\cdot1$.

2. Base ortonormal. $u_1=\tfrac1{\sqrt3}(1,1,1)$; en el plano propio de $\lambda=1$: $(1,-1,0)$ y $(1,1,-2)$, ortogonales entre sí (si se parte de $(1,-1,0),(1,0,-1)$, Gram-Schmidt da $(1,0,-1)-\tfrac12(1,-1,0)=\tfrac12(1,1,-2)$).

   $$P=\big(u_1\ \ \tfrac1{\sqrt2}(1,-1,0)\ \ \tfrac1{\sqrt6}(1,1,-2)\big),$$

   $P^tP=I$, $\det P=1$, $P^tMP=\operatorname{diag}(4,1,1)$.

3. Parte lineal girada: $2(-4,-4,-4)P=(-8\sqrt3,0,0)$ ⇒ $4y_1^2-8\sqrt3\,y_1+y_2^2+y_3^2+8=0$ ⇒ $4(y_1-\sqrt3)^2+y_2^2+y_3^2=4$.
4. Reducida: $y_1''=y_1-\sqrt3$, $y_2''=y_2$, $y_3''=y_3$: $\dfrac{y_2''^2}{4}+\dfrac{y_3''^2}{4}+\dfrac{y_1''^2}{1}=1$, un elipsoide real de revolución (semiejes $2,2,1$) con centro $X=P(\sqrt3,0,0)^t=(1,1,1)$. Control: $|A|=-16$, $A_{00}=4$, $d=-4$ ✓.

Clasifique la cuádrica $x_1^2+x_2^2-x_3^2-2x_1+4x_3-4=0$ y halle su centro.

1. Coeficientes: $a_{11}=a_{22}=1$, $a_{33}=-1$, sin cruzados; $2a_{01}=-2\Rightarrow a_{01}=-1$; $a_{02}=0$; $2a_{03}=4\Rightarrow a_{03}=2$; $a_{00}=-4$.

2. Matriz:

   $$A=\begin{pmatrix}-4&-1&0&2\\-1&1&0&0\\0&0&1&0\\2&0&0&-1\end{pmatrix}.$$

3. Invariantes. $A_{00}=|M|=1\cdot1\cdot(-1)=-1\neq0$ ⇒ centro único. $|A|$ (por la 3.ª fila, que solo tiene un elemento):

   $$|A|=\begin{vmatrix}-4&-1&2\\-1&1&0\\2&0&-1\end{vmatrix}=(4+0+0)-(4+0-1)=1$$

   ⇒ rango 4.

4. Signos: $M$ ya es diagonal, valores propios $1,1,-1$: «$++-$» ⇒ hiperboloide. $|A|=1>0$ ⇒ hiperboloide de una hoja (hiperbólico, reglado).

5. Comprobación completando cuadrados:

   $$(x_1-1)^2-1+x_2^2-(x_3-2)^2+4-4=0\iff(x_1-1)^2+x_2^2-(x_3-2)^2=1:$$

   es la reducida de la Def. 6.22 con $a=b=c=1$, $p=1$ ✓. Centro $(1,0,2)$; control $d=|A|/A_{00}=-1$ ✓.

Error típico: olvidar que el $+4$ de $-(x_3-2)^2=-x_3^2+4x_3-4$ también se compensa (suma y resta con el signo del coeficiente de $x_3^2$).

a) Clasifique la cuádrica por invariantes. b) Halle su ecuación reducida y la matriz del giro.

1. Matriz: $a_{23}=2$, $a_{01}=-1$, $a_{02}=1$, $a_{03}=-1$, $a_{00}=0$: $$A=\begin{pmatrix}0&-1&1&-1\\-1&1&0&0\\1&0&2&2\\-1&0&2&2\end{pmatrix},\qquad M=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&2\\0&2&2\end{pmatrix}.$$

2. a) Invariantes. $A_{00}=1\cdot(4-4)=0$ ⇒ sin centro único. $|A|=-8$ (restar la 3.ª fila a la 4.ª deja la fila $(-2,0,0,0)$ y se desarrolla por ella) ⇒ rango 4. Rango 4 y $A_{00}=0$ ⇒ paraboloide.

   $$J_a=\begin{vmatrix}2&2\\2&2\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}1&0\\0&2\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}1&0\\0&2\end{vmatrix}=0+2+2=4>0$$

   ⇒ paraboloide elíptico.

3. b) Giro.

   $$|M-\lambda I|=(1-\lambda)[(2-\lambda)^2-4]=(1-\lambda)\lambda(\lambda-4)$$

   ⇒ $\lambda=1,4,0$ (control: suma $5=I_a$, $1\cdot4=4=J_a$). Vectores: $\lambda=1$: $(1,0,0)$; $\lambda=4$: $(0,1,1)$; $\lambda=0$: $(0,-1,1)$. Normalizados y ordenados para $\det P=+1$:

   $$P=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\tfrac1{\sqrt2}&-\tfrac1{\sqrt2}\\0&\tfrac1{\sqrt2}&\tfrac1{\sqrt2}\end{pmatrix},\ P^tP=I,\ \det P=1,\ P^tMP=\operatorname{diag}(1,4,0).$$
4. Parte lineal girada: $2(-1,1,-1)P=2(-1,0,-\sqrt2)$ (el término en $x_2'$ desaparece porque $(-1,1,-1)\cdot(0,1,1)=0$). En $X=PX'$: $$x_1'^2+4x_2'^2-2x_1'-2\sqrt2\,x_3'=0.$$

5. Traslación:

   $$(x_1'-1)^2+4x_2'^2=2\sqrt2\,x_3'+1=2\sqrt2\big(x_3'+\tfrac1{2\sqrt2}\big).$$

   Con $x_1''=x_1'-1$, $x_2''=x_2'$, $x_3''=x_3'+\tfrac1{2\sqrt2}$:

   $$x_3''=\frac{x_1''^2}{2\sqrt2}+\frac{x_2''^2}{1/\sqrt2},$$ reducida del paraboloide elíptico ($a^2=2\sqrt2\ge b^2=\tfrac1{\sqrt2}$). Vértice en $X'=(1,0,-\tfrac1{2\sqrt2})$, es decir $X=PX'=(1,\tfrac14,-\tfrac14)$ (se anula la ecuación ahí).

Error típico: intentar «completar el cuadrado» en $x_3'$ (no hay $x_3'^2$); o dar una $P$ con $\det P=-1$ y llamarla giro.

Clasifique, según los valores de $k\in\mathbb R$, la cuádrica $x_1^2+x_2^2+kx_3^2+2x_3+1=0$.

1. Matriz:

   $$A=\begin{pmatrix}1&0&0&1\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\1&0&0&k\end{pmatrix},$$

   $M=\operatorname{diag}(1,1,k)$.

2. Invariantes: $|A|=k-1$ (desarrollo por las filas 2 y 3: queda $\begin{vmatrix}1&1\\1&k\end{vmatrix}$), $A_{00}=k$, $J_a=1+k+k=2k+1$; valores propios $1,1,k$.
3. Casos (cuadro):
   • $k=0$: $A_{00}=0$, $|A|=-1\neq0$ ⇒ paraboloide; $J_a=1>0$ ⇒ elíptico ($x_1^2+x_2^2=-2(x_3+\tfrac12)$).
   • $k<0$: $A_{00}<0$, signos $(+,+,-)$ ⇒ hiperboloide; $|A|=k-1<0$ ⇒ dos hojas.
   • $0<k<1$: signos $+++$, $|A|<0$ ⇒ elipsoide real.
   • $k=1$: $|A|=0$, $A_{00}=1\neq0$ ⇒ rango 3, cono; signos $+++$ ⇒ cono imaginario (único punto real: el vértice $(0,0,-1)$).
   • $k>1$: $+++$, $|A|>0$ ⇒ elipsoide imaginario.
4. Comprobación ($k\neq0$, completando cuadrados): $x_1^2+x_2^2+k\big(x_3+\tfrac1k\big)^2=\tfrac{1-k}k$; el signo del segundo miembro frente a los signos $1,1,k$ reproduce los cinco casos (p. ej. $k=1$: $x_1^2+x_2^2+(x_3+1)^2=0$).

Error típico: tratar solo los intervalos y olvidar los valores aislados ($k=0$, $k=1$), que son justo donde cambia el rango o se anula $A_{00}$.