Estructuras algebraicas: operaciones, grupos y sus propiedades
Una operación es una regla que combina dos elementos de un conjunto para dar otro. ¿Es asociativa? ¿Conmutativa? ¿Tiene elemento neutro? ¿Cada elemento tiene simétrico? Saber contestar estas cuatro preguntas con orden y con demostración es una pregunta casi fija del examen, y es la base de la definición de espacio vectorial (tema 2.1).
0Antes de empezar U p.57-58
El libro de teoría no tiene un apartado dedicado a estructuras algebraicas: solo las usa como herramienta al definir espacio vectorial (U p.57-58: las propiedades S1–S4 y la palabra «grupo»). Sin embargo, el libro de ejercicios sí propone ejercicios de este tipo (E 2.1, 2.3, 2.4, 2.5) y los exámenes los piden con frecuencia, con enunciados del tipo «estudiar si la operación $\diamond$ verifica las propiedades asociativa, conmutativa, elemento neutro y elemento simétrico». Por eso se ha creado este apartado: reúne la teoría mínima (que en U está repartida y casi sin explicar) y todos los ejercicios de examen de este estilo.
Qué necesitas saber ya
- Aritmética de los números reales: asociativa, conmutativa y distributiva de $+$ y $\cdot$; $\mathbb R^+=\{x\in\mathbb R: x>0\}$; $\mathbb R^2=\{(x_1,x_2)\}$ (pares ordenados).
- Álgebra elemental: desarrollar productos, agrupar términos y despejar una incógnita de una ecuación.
- Qué es «$\forall$» (para todo) y «$\exists$» (existe): la diferencia entre «para todo $a$ se cumple» (hay que demostrar en general) y «no se cumple» (basta un contraejemplo).
Mapa del tema
| Apartado | Qué contiene | Dónde está en los libros |
|---|---|---|
| 1 Operación interna | Qué es y cuándo es «cerrada» | U p.57 · E Ej. 2.3 (p.48) |
| 2 Las cuatro propiedades | Asociativa, neutro, simétrico, conmutativa: cómo se demuestran y cómo se refutan | U p.58 (S1–S4) |
| 3 Grupo y subgrupo | Grupo, grupo conmutativo, conexión con espacio vectorial | U p.58 · E Ej. 2.5 (p.50) |
| 4 Ejemplos propios | Tres operaciones sencillas, de más fácil a más trampa | P |
| 5 Ejercicios del libro | E 2.1, 2.3, 2.4, 2.5 | E pp.46-50 |
| 6 Ejemplos de examen | 3 ejercicios de convocatorias anteriores, resueltos | X |
Siempre lo mismo: te dan un conjunto ($\mathbb R$, $\mathbb Z$, $\mathbb R^+\times\mathbb R$…) y una fórmula para combinar dos elementos ($a\diamond b=ab-b+a$, $(x_1,x_2)\ast(y_1,y_2)=(x_1y_1,x_2+y_2)$…), y te preguntan cuáles de las cuatro propiedades se cumplen. No basta con dar «sí» o «no»: el examen puntúa el proceso («lo que no se justifica no se puntúa»). Si la propiedad se cumple, hay que demostrarla en general; si no se cumple, hay que dar un contraejemplo con números.
1Operación interna U p.57
Una operación es una «máquina» con dos entradas y una salida: metes dos elementos del conjunto, $a$ y $b$, y sale uno solo, $a\ast b$. La suma de números es una máquina así: entran $3$ y $4$, sale $7$. Pero cuidado con la salida: para que sea una operación del conjunto, lo que sale tiene que seguir dentro del conjunto. Con los números naturales y la resta, $3-5=-2$ ya no es natural: la máquina «se sale del conjunto».
Una operación interna en un conjunto $V$ es una regla que a cada par $(a,b)$ de elementos de $V$ le asigna un único elemento $a\ast b$ de $V$. A la condición «$a\ast b\in V$ siempre» se le llama cierre («la operación es cerrada en $V$»).
U p.57(a) En $\mathbb N$ con $a\ast b=a-b$: no, $3\ast5=-2\notin\mathbb N$ (un contraejemplo basta). (b) En $V=\{(x_1,x_2):x_1>0\}$ con $(x_1,x_2)\ast(y_1,y_2)=(x_1y_1,\,x_2+y_2)$: sí, porque si $x_1>0$ e $y_1>0$ entonces $x_1y_1>0$, y $x_2+y_2$ es un real cualquiera: el resultado tiene la primera coordenada positiva, luego está en $V$.
E p.48En los enunciados de examen te suelen decir ya «operación interna», pero escribe siempre una línea comprobando el cierre cuando el conjunto no es todo $\mathbb R$ (p. ej. $\mathbb R^+$, un intervalo, matrices con una condición): es lo primero que se pierde, y es donde fallan el neutro y el simétrico (que deben estar dentro de $V$).
2Las cuatro propiedades S1–S4 U p.58
Sea $\ast$ una operación interna en $V$ y $a,b,c$ elementos cualesquiera de $V$. U las numera así (S1–S4, p.58); en el examen se nombran por su nombre:
$(a\ast b)\ast c=a\ast(b\ast c)$ para todos $a,b,c\in V$.
Qué significa: da igual con qué pareja empiezas cuando combinas tres elementos seguidos.
U p.58Existe $e\in V$ tal que $a\ast e=e\ast a=a$ para todo $a\in V$.
Qué significa: un elemento «que no hace nada» al combinarse con cualquiera (el $0$ en la suma, el $1$ en el producto). Es uno solo para todo el conjunto: no puede depender de $a$.
U p.58Para cada $a\in V$ existe $a'\in V$ tal que $a\ast a'=a'\ast a=e$ (el neutro de esa operación).
Qué significa: cada elemento tiene un «deshacedor» que lo anula y deja el neutro (el opuesto $-a$ en la suma, el inverso $1/a$ en el producto). U lo llama también opuesto o inverso.
U p.58$a\ast b=b\ast a$ para todos $a,b\in V$.
Qué significa: el orden de los dos elementos no importa.
U p.58Cada propiedad exige que se cumpla para todos los elementos. Por eso:
- Para demostrar que se cumple hay que usar letras ($a,b,c$ genéricos) y una cuenta general. Probar con unos números no demuestra nada.
- Para demostrar que NO se cumple basta un solo contraejemplo con números concretos (y se debe escribir la cuenta numérica completa). Es lo más rápido y lo más claro.
Cómo se comprueba cada una (el método)
| Propiedad | Para demostrar que SÍ se cumple | Para demostrar que NO se cumple |
|---|---|---|
| Asociativa | Desarrolla por separado $(a\ast b)\ast c$ y $a\ast(b\ast c)$ (sustituyendo la fórmula dos veces) y comprueba que dan la misma expresión. | Unos $a,b,c$ concretos con $(a\ast b)\ast c\neq a\ast(b\ast c)$. (Para encontrarlos: resta los dos desarrollos y busca valores que no la anulen.) |
| Conmutativa | Desarrolla $a\ast b$ y $b\ast a$ y comprueba que coinciden (usando que $+$ y $\cdot$ de reales son conmutativas). | Unos $a,b$ concretos con $a\ast b\neq b\ast a$. |
| Neutro | Despeja $e$ de $a\ast e=a$. Comprueba: (i) que no depende de $a$; (ii) que $e\in V$; (iii) que también vale por la izquierda, $e\ast a=a$. | Una de las tres falla: la ecuación $a\ast e=a$ no tiene solución, o la solución depende de $a$, o no está en $V$, o vale solo por un lado. |
| Simétrico | (Solo si hay neutro $e$.) Despeja $a'$ de $a\ast a'=e$. Comprueba que $a'\in V$ para todo $a$ y que también $a'\ast a=e$. | No hay neutro (entonces ni se plantea), o hay un $a$ concreto sin simétrico (o cuyo simétrico queda fuera de $V$). |
Elige una operación y cambia $a,b,c$ y el candidato a neutro $e$. La tabla compara los dos lados de cada propiedad: un solo caso en rojo demuestra que la propiedad falla.
PEl simétrico se define a partir del neutro ($a\ast a'=e$): sin neutro no se puede hablar de simétrico. Por eso, en un ejercicio, se estudia el neutro antes que el simétrico, y si el neutro no existe la respuesta a S3 es «no» (o «no tiene sentido»). La asociativa y la conmutativa son independientes de las demás: una operación puede tener neutro y no ser asociativa, etc. (los ejemplos de abajo lo muestran).
Puede pasar (ejemplo B de §4 y el examen de Ene. 2020): existe un $e$ con $a\ast e=a$ para todo $a$ («neutro por la derecha») pero $e\ast a\neq a$. Eso no es un elemento neutro: S2 exige las dos igualdades. Si la operación no es conmutativa hay que comprobar siempre los dos lados; si es conmutativa, basta uno (el otro sale solo).
3Grupo, grupo conmutativo y subgrupo U p.58
Si $\ast$ es una operación interna en $V$ que verifica S1, S2 y S3 (asociativa, neutro y simétrico), el par $(V,\ast)$ se llama grupo. Si además verifica S4 (conmutativa), es un grupo conmutativo (o abeliano). Esto es lo que se llama una estructura algebraica: un conjunto con una operación que cumple ciertas propiedades.
U p.58- $(\mathbb R,+)$ es grupo conmutativo: neutro $0$, simétrico de $a$ es $-a$ (U p.58). También $(\mathbb R^2,+)$ (U p.58, Ej. 2.3).
- $(\mathbb R,\cdot)$ no es grupo: el $0$ no tiene inverso. En cambio $(\mathbb R\setminus\{0\},\cdot)$ sí es grupo conmutativo, y $(\mathbb R^+,\cdot)$ también.
- $(\mathbb N,+)$ no es grupo: sin opuestos (y sin $0$ si $\mathbb N$ empieza en 1). $(\mathbb Z,+)$ sí lo es.
- Las matrices $n\times n$ con el producto no son un grupo conmutativo: $AB\neq BA$ en general (tema 1.2); y no son grupo, porque las matrices singulares no tienen inversa.
Un espacio vectorial $(V,\ast,\bullet,\mathbb R)$ es, por definición, un grupo conmutativo $(V,\ast)$ (propiedades S1–S4) más una operación externa con escalares que cumple E1–E4. Es decir, «las cuatro propiedades de este tema» son la mitad de la definición de espacio vectorial (tema 2.1). Y como un subespacio es un espacio vectorial, en particular $(U,+)$ es un grupo conmutativo (U p.63 y p.65).
U p.58, 63, 65Un subconjunto $U\subset V$ es un subgrupo de $(V,\ast)$ si, con la misma operación, $(U,\ast)$ es un grupo. En la práctica se comprueba: (i) $U$ contiene al neutro de $V$; (ii) la operación es cerrada en $U$ ($a,b\in U\Rightarrow a\ast b\in U$); (iii) el simétrico de cada elemento de $U$ está en $U$.
E lo usa en el Ej. 2.5: «no basta que el elemento neutro pertenezca al subconjunto: es condición necesaria, no suficiente».
E p.504Tres ejemplos propios, de menos a más trampa P
- Qué se pide: decidir S1–S4 en $\mathbb R$. Es interna: el resultado es un real.
- Conmutativa: se comparan los dos órdenes (suma y producto de reales son conmutativos): $$a\ast b=a+b+ab\qquad b\ast a=b+a+ba$$ Son iguales. Sí.
- Asociativa: se desarrollan los dos miembros por separado: $$\begin{aligned}(a\ast b)\ast c&=(a+b+ab)\ast c\\&=(a+b+ab)+c\\&\quad+(a+b+ab)\,c\\&=a+b+c+ab\\&\quad+ac+bc+abc,\end{aligned}$$ $$\begin{aligned}a\ast(b\ast c)&=a\ast(b+c+bc)\\&=a+(b+c+bc)\\&\quad+a(b+c+bc)\\&=a+b+c+ab\\&\quad+ac+bc+abc.\end{aligned}$$ Coinciden. Sí.
- Neutro: se despeja $e$ de $a\ast e=a$: $$\begin{aligned}a+e+ae&=a\\e+ae&=0\\e\,(1+a)&=0\end{aligned}$$ Para que valga para todo $a$ hace falta $e=0$ (no depende de $a$ y está en $\mathbb R$). Por la izquierda vale por la conmutatividad. Sí, $e=0$.
- Simétrico: se despeja $a'$ de $a\ast a'=0$ (el neutro): $$\begin{aligned}a+a'+aa'&=0\\a'\,(1+a)&=-a\\a'&=\frac{-a}{1+a}\end{aligned}$$ Esto solo es posible si $a\neq-1$. Contraejemplo: $a=-1$ no tiene simétrico, porque $$(-1)\ast a'=-1+a'-a'=-1\neq0\quad\text{para cualquier }a'.$$ No se cumple en todo $\mathbb R$.
Resultado: cumple S1, S2, S4 pero no S3: $(\mathbb R,\ast)$ no es grupo. Si quitamos el elemento problemático, $(\mathbb R\setminus\{-1\},\ast)$ sí es grupo conmutativo (hay que ver que sigue siendo cerrado: $a\ast b=(a+1)(b+1)-1$, que solo vale $-1$ si $a=-1$ o $b=-1$).
Moraleja: el simétrico es la propiedad que falla «en un solo punto». (Verificado con sympy.)
- Asociativa: $(a\ast b)\ast c=a\ast c=a$ y $a\ast(b\ast c)=a\ast(b)=a$. Coinciden. Sí.
- Conmutativa: $a\ast b=a$ pero $b\ast a=b$. Contraejemplo: $1\ast2=1$ y $2\ast1=2$. No.
- Neutro: por la derecha, $a\ast e=a$ se cumple para cualquier $e$. Por la izquierda, $e\ast a=e$, que debería valer $a$ para todo $a$: imposible (con $e=3$, $a=5$: $3\ast5=3\neq5$). No hay neutro.
- Simétrico: sin neutro, no tiene sentido. No.
Resultado: solo cumple la asociativa. Ilustra que «neutro por la derecha» $\neq$ «neutro».
Es interna ($\sqrt{ab}>0$) y conmutativa ($\sqrt{ab}=\sqrt{ba}$). Asociativa: $(a\ast b)\ast c=\sqrt{\sqrt{ab}\,c}$ y $a\ast(b\ast c)=\sqrt{a\sqrt{bc}}$. Contraejemplo con $a=1,\ b=1,\ c=16$: $(1\ast1)\ast16=\sqrt{1\cdot16}=4$; $1\ast(1\ast16)=1\ast4=\sqrt{4}=2$. $4\neq2$: no es asociativa. (Lección: parecerse a «un producto» no garantiza nada; hay que hacer las cuentas.)
5Ejercicios del libro, resueltos E p.46-50
Son ejercicios del capítulo 2 de E, pero tratan solo estructuras algebraicas (el libro los coloca en §2.1 porque ahí aparece la definición de espacio vectorial). Se resuelven aquí con más detalle.
Ejercicio 2.1 — el neutro de $(a,b)\ast(c,d)=(ac,\,b+d)$ en $\{(a,b):a>0\}$ E p.46
Si $V=\{(a,b)\in\mathbb R^2\mid a>0\}$ y $(a,b)\ast(c,d)=(ac,\,b+d)$, el elemento neutro de $(V,\ast)$ verifica: A) Es $(0,0)$. B) Existe y pertenece a $V$. C) No existe.
Averiguar cuál es el neutro de esta operación (no el de la suma de siempre) y comprobar si está dentro de $V$.
- Planteo. Un neutro $(c,d)$ debe cumplir $(a,b)\ast(c,d)=(a,b)$ para todo $(a,b)\in V$. Por la definición, $(a,b)\ast(c,d)=(ac,\,b+d)$.
- Se iguala componente a componente: $ac=a$ y $b+d=b$. Como $a>0$ se puede dividir entre $a$: $c=1$; y $d=0$.
- Candidato: $(1,0)$. No depende de $(a,b)$ ✓ y está en $V$ porque $1>0$ ✓.
- Por el otro lado: $(1,0)\ast(a,b)=(1\cdot a,\,0+b)=(a,b)$ ✓.
- A) Falsa: $(0,0)\notin V$ (su primera coordenada no es $>0$) y además $(a,b)\ast(0,0)=(0,b)\neq(a,b)$. B) Verdadera: el neutro es $(1,0)\in V$. C) Falsa (existe).
Ejercicio 2.3 — $(x_1y_1,\,x_2+y_2)$ en $\mathbb R^+\times\mathbb R$: asociativa, neutro, simétrico, grupo conmutativo E p.48
El conjunto $V=\{(x_1,x_2)\mid x_1\in\mathbb R^+,\ x_2\in\mathbb R\}$ con la operación $(x_1,x_2)\ast(y_1,y_2)=(x_1y_1,\,x_2+y_2)$ verifica: A) Es asociativo. B) Existe elemento neutro. C) Todo elemento tiene un simétrico. D) Es grupo conmutativo.
Es exactamente la misma operación que en los exámenes de Feb. 2019 y Sept. 2017. Se resuelve completa, con todos los pasos, en §6 (Feb. 2019 y Sept. 2017); el resultado es: A, B, C y D son verdaderas, con neutro $(1,0)$ y simétrico de $(x_1,x_2)$ igual a $(1/x_1,\,-x_2)$.
Ejercicio 2.4 — $x\ast y=xy+1$ en $\mathbb Z$ E p.49
Se pide comprobar si la operación $x\ast y=xy+1$ en el conjunto de los números enteros $\mathbb Z$ verifica alguna de las propiedades: A) Asociativa. B) Existe elemento neutro. C) Conmutativa. D) Se puede definir en MAXIMA… (D, sobre Maxima, queda fuera de examen; se omite).
Para cada propiedad, decir si se cumple siempre (con demostración) o si falla (con contraejemplo). La operación es interna: $xy+1$ es entero si $x,y$ lo son.
- A) Asociativa. Se desarrollan los dos miembros por separado: $(x\ast y)\ast z=(xy+1)\ast z=(xy+1)z+1=xyz+z+1$ y $x\ast(y\ast z)=x\ast(yz+1)=x(yz+1)+1=xyz+x+1$. Difieren en $z-x$: no coinciden en general. Contraejemplo: $x=y=0,\ z=1$: $(0\ast0)\ast1=1\ast1=2$ pero $0\ast(0\ast1)=0\ast1=1$. Falsa.
- B) Neutro. Se despeja $e$ de $x\ast e=x$: $xe+1=x\iff e=\dfrac{x-1}{x}$. Depende de $x$ (para $x=2$ sale $\frac12$, que ni siquiera es entero; para $x=0$ no hay solución, pues $0\cdot e+1=1\neq0$). No existe un $e$ válido para todos. Falsa.
- C) Conmutativa. $x\ast y=xy+1=yx+1=y\ast x$ por la conmutatividad del producto en $\mathbb Z$. Verdadera.
Resultado: solo es conmutativa. Como no es asociativa ni tiene neutro, tampoco es grupo.
Ejercicio 2.5 — $(U,+)$ con $x_1x_2=0$ no es subgrupo de $(\mathbb R^2,+)$ E p.50
Demostrar que $(U,+)$ no es subgrupo de $(\mathbb R^2,+)$ si $U=\{(x_1,x_2)\mid x_1x_2=0\}\subset\mathbb R^2$.
Subgrupo = subconjunto que, con la misma suma, vuelve a ser grupo. Para negar que lo es basta con que falle una condición: aquí fallará el cierre (la suma de dos elementos de $U$ se sale de $U$).
- Quién es $U$. Los pares con alguna coordenada nula: los dos ejes coordenados (la «cruz»).
- Comprobación del neutro (no basta, pero conviene): $(0,0)\in U$, pues $0\cdot0=0$. Es condición necesaria, no suficiente.
- Cierre. Si $(x_1,x_2),(y_1,y_2)\in U$ (es decir $x_1x_2=0$ y $y_1y_2=0$), la suma es $(x_1+y_1,\,x_2+y_2)$ y su producto de coordenadas es $$\begin{aligned}(x_1+y_1)(x_2+y_2)&=x_1x_2+x_1y_2\\&\quad+y_1x_2+y_1y_2\\&=x_1y_2+y_1x_2,\end{aligned}$$ que no tiene por qué ser $0$.
- Contraejemplo. $(1,0)\in U$ ($1\cdot0=0$) y $(0,2)\in U$ ($0\cdot2=0$), pero su suma $(1,2)\notin U$ porque $1\cdot2=2\neq0$. Luego la suma no es una operación interna de $U$.
Conclusión: $(U,+)$ no es subgrupo (ni, por tanto, subespacio) de $(\mathbb R^2,+)$.
6Ejemplos de examen X
Los tres ejercicios de este tipo que han caído en los 24 exámenes disponibles (feb. 2017 – feb. 2026, y sept. 2017 – 2025), de menos a más difícil. Las soluciones oficiales son muy breves (dos de ellas solo remiten al libro) y una tiene errores; aquí se desarrolla el razonamiento completo, que es lo que puntúa.
Feb. 2019 (tipo A), ejercicio 2 · Sept. 2017 (tipo A), problema a) — la operación $(x_1y_1,\ x_2+y_2)$ en $\mathbb R^+\times\mathbb R$ X Feb. 2019 (A) X Sept. 2017 (A)
Feb. 2019: En el conjunto $V=\{(x_1,x_2)\mid x_1\in\mathbb R^+,\ x_2\in\mathbb R\}$ y considerando la operación interna definida por $(x_1,x_2)\ast(y_1,y_2)=(x_1y_1,\ x_2+y_2)$, razonar si se cumplen o no las propiedades: asociativa, elemento neutro y conmutativa. Sept. 2017 (2 puntos): lo mismo, pidiendo además el elemento simétrico.
Un conjunto de pares $(x_1,x_2)$ en el que la primera coordenada es positiva, y una operación que multiplica las primeras coordenadas y suma las segundas. Hay que decidir S1 (asociativa), S2 (neutro), S3 (simétrico, solo en Sept. 2017) y S4 (conmutativa), razonando cada una. Prueba numérica para orientarte: $(2,3)\ast(4,5)=(8,8)$.
- ¿La operación es interna? Si $x_1>0$ e $y_1>0$, entonces $x_1y_1>0$; y $x_2+y_2\in\mathbb R$. El resultado está en $V$. Por qué: sin cierre no hay estructura que estudiar.
- Asociativa (S1). Con $u=(x_1,x_2)$, $v=(y_1,y_2)$, $w=(z_1,z_2)$: $$\begin{aligned}(u\ast v)\ast w&=(x_1y_1,\,x_2+y_2)\\&\quad\ast(z_1,z_2)\\&=\big((x_1y_1)z_1,\\&\quad (x_2+y_2)+z_2\big),\end{aligned}$$ $$\begin{aligned}u\ast(v\ast w)&=(x_1,x_2)\\&\quad\ast(y_1z_1,\,y_2+z_2)\\&=\big(x_1(y_1z_1),\\&\quad x_2+(y_2+z_2)\big).\end{aligned}$$ Coinciden componente a componente por la asociatividad del producto y de la suma en $\mathbb R$. Se cumple.
- Neutro (S2). Se despeja $e=(e_1,e_2)$ de $u\ast e=u$: $$(x_1e_1,\ x_2+e_2)=(x_1,x_2)$$ Se igualan las coordenadas, una a una (en la primera se divide entre $x_1>0$): $$\begin{cases}x_1e_1=x_1\ \Rightarrow\ e_1=1\\[2pt] x_2+e_2=x_2\ \Rightarrow\ e_2=0.\end{cases}$$ El candidato $e=(1,0)$ no depende de $u$, está en $V$ ($1>0$) y vale por la izquierda: $(1,0)\ast(x_1,x_2)=(1\cdot x_1,\,0+x_2)=(x_1,x_2)$. Se cumple, con $e=(1,0)$.
- Simétrico (S3; solo Sept. 2017). Con el neutro ya hallado se resuelve $u\ast u'=e$: $$(x_1x_1',\ x_2+x_2')=(1,0)$$ $$\begin{cases}x_1x_1'=1\ \Rightarrow\ x_1'=\dfrac1{x_1}\\[4pt] x_2+x_2'=0\ \Rightarrow\ x_2'=-x_2.\end{cases}$$ Hay que comprobar que $u'\in V$: $\frac1{x_1}>0$ ✓ (esto es lo que obliga a que $x_1>0$). Por el otro lado, $u'\ast u=(\frac1{x_1}x_1,\,-x_2+x_2)=(1,0)$ ✓. Se cumple: el simétrico de $(x_1,x_2)$ es $\big(\frac1{x_1},\,-x_2\big)$. Comprobación numérica: el simétrico de $(2,3)$ es $(\frac12,-3)$ y $(2,3)\ast(\frac12,-3)=(1,0)$ ✓.
- Conmutativa (S4). Se desarrollan los dos órdenes: $$\begin{aligned}(x_1,x_2)\ast(y_1,y_2)&=(x_1y_1,\,x_2+y_2)\\(y_1,y_2)\ast(x_1,x_2)&=(y_1x_1,\,y_2+x_2)\end{aligned}$$ Coinciden por la conmutatividad del producto y de la suma en $\mathbb R$. Se cumple.
Resultado: se cumplen las cuatro propiedades: $(V,\ast)$ es un grupo conmutativo. (En Feb. 2019 bastan los pasos 1, 2, 3 y 5.) (Verificado con sympy.)
La función $(x_1,x_2)\mapsto(\ln x_1,\,x_2)$ convierte esta operación en la suma ordinaria de $\mathbb R^2$ (el logaritmo transforma productos en sumas). Por eso el neutro es «el cero de esa suma» ($\ln1=0$) y el simétrico es «el opuesto» ($-\ln x_1=\ln\frac1{x_1}$). Si $V$ incluyera $x_1\le0$ fallarían el cierre o el simétrico.
Error típico: dar $(0,0)$ como neutro «porque el neutro es el cero» ($(0,0)\notin V$ y $(x_1,x_2)\ast(0,0)=(0,x_2)\neq(x_1,x_2)$), o $(-x_1,-x_2)$ como simétrico ($-x_1<0$ no está en $V$ y $(x_1,x_2)\ast(-x_1,-x_2)=(-x_1^2,0)\neq(1,0)$); y olvidar comprobar que $1/x_1>0$.
Sobre la solución oficial. En ambos exámenes solo dice «Véase la solución en el Ejercicio 2.3 del libro de Ejercicios resueltos»; en Feb. 2019 añade que «la conmutativa es trivial por ser la suma y el producto en $\mathbb R$ conmutativos». En el examen eso no basta: hay que escribir el desarrollo (pasos 2-5).
Ene. 2020 (tipo A), ejercicio 2 — la operación $a\diamond b=ab-b+a$ en $\mathbb R$ X Ene. 2020 (A)
Estudiar si la operación $\diamond$ definida en el conjunto de los números reales $\mathbb R$, mediante $a\diamond b=a\cdot b-b+a$, verifica las propiedades: asociativa, conmutativa, elemento neutro y elemento simétrico.
El conjunto es $\mathbb R$ (sin restricciones, así que el cierre es evidente: el resultado es un real). La «operación» es: multiplica $a$ por $b$, resta $b$ y suma $a$. Hay que decidir cuatro propiedades razonando cada una: si se cumple, demostración general; si no, contraejemplo con números. Orientación numérica: $2\diamond3=6-3+2=5$.
Estrategia: esta operación no se parece a una operación «buena» (no es simétrica en $a$ y $b$), así que lo normal es que fallen las propiedades que dependen del orden. Se comprueba cada una con cuidado.
- Conmutativa (S4). Se calcula la diferencia entre los dos órdenes: $$a\diamond b-b\diamond a=(ab-b+a)-(ba-a+b)=2a-2b.$$ Solo es $0$ si $a=b$. Contraejemplo (con $a=2$, $b=3$): $$\begin{aligned}2\diamond3&=2\cdot3-3+2=5\\3\diamond2&=3\cdot2-2+3=7\end{aligned}$$ Como $5\neq7$, no se cumple.
- Asociativa (S1). Se desarrollan los dos miembros por separado: $$\begin{aligned}(a\diamond b)\diamond c&=(ab-b+a)\diamond c\\&=(ab-b+a)\,c-c\\&\quad +(ab-b+a)\\&=abc-bc+ac\\&\quad -c+ab-b+a,\end{aligned}$$ $$\begin{aligned}a\diamond(b\diamond c)&=a\diamond(bc-c+b)\\&=a(bc-c+b)\\&\quad -(bc-c+b)+a\\&=abc-ac+ab\\&\quad -bc+c-b+a.\end{aligned}$$ Su diferencia es $$(a\diamond b)\diamond c-a\diamond(b\diamond c)=2ac-2c=2c\,(a-1),$$ distinta de $0$ en general. Contraejemplo con $a=b=c=2$: $$\begin{aligned}2\diamond2&=4-2+2=4\\(2\diamond2)\diamond2&=4\diamond2=8-2+4=10\\2\diamond(2\diamond2)&=2\diamond4=8-4+2=6\end{aligned}$$ Como $10\neq6$, no se cumple.
- Elemento neutro (S2). Un neutro $e$ debe cumplir las dos igualdades $a\diamond e=a$ y $e\diamond a=a$ para todo $a$.
- Por la derecha: $a\diamond e=ae-e+a=a\iff e(a-1)=0$. Para que valga para todo $a$ hace falta $e=0$. Y en efecto $a\diamond0=0-0+a=a$ ✓. Luego $e=0$ es neutro por la derecha.
- Por la izquierda: con ese $e=0$: $0\diamond a=0-a+0=-a$, que es $\neq a$ salvo si $a=0$. Contraejemplo: $0\diamond1=-1\neq1$. (En general, $e\diamond a=a\iff ea-a+e=a\iff e=\frac{2a}{a+1}$, que depende de $a$: no hay un $e$ común.)
- Elemento simétrico (S3). Se define como $a\diamond a'=a'\diamond a=e$, siendo $e$ el neutro. Como no existe neutro, no existe elemento simétrico (la propiedad ni siquiera tiene sentido). No se cumple.
Resultado: la operación no verifica ninguna de las cuatro propiedades. (Verificado con sympy.)
Error típico: comprobar solo $a\diamond e=a$, encontrar $e=0$ y declarar que «$0$ es el neutro». En una operación no conmutativa hay que mirar los dos lados.
(i) Escribe $(a\diamond b)\diamond c=abc-c+a\cdot b-b+a$: al multiplicar $(ab-b+a)\cdot c$ olvida los términos $-bc+ac$ (la conclusión «no asociativa» es correcta, pero el desarrollo escrito no). (ii) Dice que $a\cdot e-e+a=e\cdot a-a+e=a$ «no tiene solución para ningún valor de $e$»: es falso para la primera igualdad, que sí tiene la solución $e=0$; lo que ocurre es que no hay una solución común a las dos. La conclusión final (no hay neutro, luego no hay simétrico) sí es correcta.
| Examen | Operación | S1 | S2 | S3 | S4 |
|---|---|---|---|---|---|
| Feb. 2019 (A) ej. 2 / Sept. 2017 (A) prob. a) | $(x_1y_1,\,x_2+y_2)$ en $\mathbb R^+\times\mathbb R$ | sí | sí, $(1,0)$ | sí, $(1/x_1,-x_2)$ | sí |
| Ene. 2020 (A) ej. 2 | $ab-b+a$ en $\mathbb R$ | no | no (solo por la dcha., $e=0$) | no (sin neutro) | no |
- No hay más ejercicios de examen sobre operaciones o estructuras algebraicas en los 24 exámenes disponibles. Los de espacios vectoriales (tema 2.1) usan S1–S4 al comprobar si un conjunto con operaciones raras es espacio vectorial o subespacio.
7Chuleta, lista de comprobación y errores frecuentes
| Propiedad | Qué hay que demostrar | Método | Hipótesis / cuidado |
|---|---|---|---|
| Cierre | $a,b\in V\Rightarrow a\ast b\in V$ | Una línea con la condición de $V$ | Se pierde con $\mathbb R^+$, intervalos, matrices con condición |
| S1 Asociativa | $(a\ast b)\ast c=a\ast(b\ast c)$ | Desarrollar los dos miembros y comparar | Para refutar: contraejemplo con números |
| S2 Neutro | $\exists e\in V:\ a\ast e=e\ast a=a\ \forall a$ | Despejar $e$ de $a\ast e=a$; comprobar independencia de $a$, $e\in V$, y el otro lado | No existe si $e$ depende de $a$, queda fuera de $V$ o solo vale por un lado |
| S3 Simétrico | $\forall a\ \exists a'\in V:\ a\ast a'=a'\ast a=e$ | Despejar $a'$ de $a\ast a'=e$; comprobar $a'\in V$ | Requiere neutro. Un elemento sin simétrico basta para que falle |
| S4 Conmutativa | $a\ast b=b\ast a$ | Comparar $a\ast b$ y $b\ast a$ | Si no es conmutativa, mirar los dos lados en S2 y S3 |
| Grupo | S1 + S2 + S3 | — | «Conmutativo» o «abeliano» si además S4 |
| Espacio vectorial | $(V,\ast)$ grupo conmutativo $+$ E1–E4 | tema 2.1 | U p.58 |
| Subgrupo | Contiene $e$, cerrado, con simétricos | Un fallo basta para refutar | E Ej. 2.5 |
- Sé decir, con mis palabras, qué significa cada una de S1–S4 y dar un ejemplo y un contraejemplo de cada una.
- Sé comprobar el cierre de una operación en un conjunto como $\mathbb R^+\times\mathbb R$.
- Sé demostrar la asociativa y la conmutativa desarrollando los dos miembros, y refutarlas con un contraejemplo numérico.
- Sé despejar el neutro, comprobar que no depende de $a$, que está en $V$ y que vale por los dos lados.
- Sé despejar el simétrico con el neutro de esa operación y comprobar que pertenece a $V$.
- Sé que sin neutro no hay simétrico y que el orden de resolución es: cierre, asociativa, neutro, simétrico, conmutativa.
- Sé qué es un grupo, un grupo conmutativo y un subgrupo, y cómo se conecta todo con la definición de espacio vectorial.
- Sé escribir la respuesta como la pide el examen: cada propiedad con su razonamiento y su conclusión («se cumple» / «no se cumple»), nunca «sí» o «no» a secas.
- Suponer que el neutro es $0$ y el simétrico $-a$ «como siempre»: dependen de la operación (en $\mathbb R^+\times\mathbb R$ el neutro es $(1,0)$).
- Comprobar el neutro por un solo lado en una operación no conmutativa (Ene. 2020: $e=0$ funciona por la derecha, pero no por la izquierda).
- Dar un neutro o un simétrico que no pertenecen al conjunto $V$.
- Declarar «se cumple» tras probar con unos números: eso no demuestra una propiedad universal. Y declarar «no se cumple» sin contraejemplo numérico.
- Estudiar el simétrico cuando no hay neutro, o con un neutro equivocado.
- En la asociativa, desarrollar mal un doble producto y perder términos (el error de la solución oficial de Ene. 2020): desarrolla los dos miembros por separado y revisa término a término.
- Confundir «tiene neutro» con «el neutro depende del elemento»: $e=\frac{x-1}{x}$ (E 2.4) no es un neutro, es un neutro «por elemento», que no existe.
- Olvidar que la comprobación es «para todo»: basta un elemento sin simétrico (p. ej. $a=-1$ en el ejemplo A) para que S3 falle.