Sucesiones y sus límites
Qué es una sucesión, qué significa que «tienda» a un número (o a infinito), cómo se calculan límites sin usar la definición y qué hacer con las indeterminaciones. Es el primer «paso al límite» del curso: series, continuidad y derivadas se construyen sobre él.
0Antes de empezar U p.22
Una sucesión es una lista infinita de números; decimos que converge a $l$ cuando, si esperas lo bastante, todos los términos quedan tan cerca de $l$ como tú quieras. Con esa idea, «un proceso infinito» (que ningún ser finito puede recorrer) se controla con una sola condición finita.
U p.22Qué necesitas saber ya
- Valor absoluto y distancia: $|a-b|$ es la distancia entre $a$ y $b$; desigualdad triangular $|x+y|\le|x|+|y|$ y su variante $\big||x|-|y|\big|\le|x-y|$. Tema 1.1, apartado 3.
- Intervalos, centro y radio: $|x-c|<r\iff x\in(c-r,c+r)$. Tema 1.1, apartado 4.
- Cotas, supremo y axioma del supremo (para la sucesión monótona) y propiedad arquimediana (para «$1/n$ se hace tan pequeño como quieras»). Tema 1.1, apartados 5-8.
- Funciones que U da por conocidas (p. 29): polinomios, trigonométricas, exponencial $e^x$ y logaritmo $\ln x$. Y el factorial: $n!=n(n-1)\cdots2\cdot1$, con $0!=1$ (U p. 25, nota al margen).
- Reglas de potencias: $e^{a+b}=e^ae^b$, $\ \ln(a^b)=b\ln a$ $(a>0)$, $\ \sqrt{pq}=\sqrt p\sqrt q$ $(p,q\ge0)$.
Mapa del tema
| Apartado | Qué contiene | Dónde está en los libros |
|---|---|---|
| 1 Sucesiones | Def. 1.9, término general, definición recursiva, dibujarlas | U pp.22-23, 33 · S pp.690-691 · L p.584 |
| 2 Límite y convergencia | Def. 1.10 ($\varepsilon$–$N$), unicidad, «divergente» | U pp.23-24 · S pp.691-692 · L p.585 |
| 3 Sucesiones acotadas | Def. 1.11, Prop. 1.1 | U p.24 · S p.697 · L p.591 |
| 4 Emparedado y «tiende a 0 por acotada» | Regla del emparedado, Teorema 1.2, Prop. 1.2 | U pp.25-26 · S p.694 · L pp.587-588 |
| 5 Álgebra de límites | Prop. 1.3; cocientes de polinomios | U pp.26-27 · S p.693 · L p.586 |
| 6 Límites infinitos | Def. 1.12 (recta ampliada), límite $\pm\infty$, Prop. 1.4 | U pp.27-28 · S p.693 · L p.585 |
| 7 Indeterminaciones | Las 7 formas, conjugado, fórmula (1.1), continuidad | U pp.29-30 · S p.695 |
| 8 Sucesiones monótonas | Def. 1.13, Teorema 1.3 | U p.31 · S pp.696-699 · L pp.590-591 |
| 9 El número $e$ | Prop. 1.5, indeterminación $1^{\pm\infty}$ | U pp.31-32 · L p.585 |
| 10 Criterio de Stolz | Enunciado, Ejemplo 1.30 | U pp.32-33 |
| 11 Sumas parciales (avance) | Enlace con las series (§1.3) | U p.34 · L p.595 |
| 12 Estrategia y catálogo | Qué técnica usar ante cada límite | propio |
| 13 Ejercicios | E 1.6-1.16 + ejemplos propios | E pp.10-20 |
Qué se pide en los ejercicios
Los once ejercicios de E de esta sección (1.6 a 1.16) piden: razonar con la definición de convergencia y de divergencia (1.6); calcular límites de cocientes con potencias, exponenciales y raíces (1.7, 1.8, 1.9); resolver $\infty-\infty$ con el conjugado (1.10, 1.12); acotar una suma de $n$ términos con el emparedado (1.11); calcular potencias $a_n^{b_n}$ con y sin indeterminación (1.13, 1.14) y usar el criterio de Stolz (1.15, 1.16). E pp.10-20
- §1.2 de U ocupa las pp. 22-33 (no acaba en la 30): monotonía, número $e$ y criterio de Stolz están en las pp. 31-33; §1.3 (Series) empieza a mitad de la p. 33.
- U no define «sucesión divergente» (solo dice que las de límite $\pm\infty$ «no son convergentes», p. 28). Se usa la definición de S: divergente = no convergente.
- La lista de funciones continuas de U (p. 29) no incluye las raíces; se cubre con $\sqrt x=e^{\frac12\ln x}$ o con S p. 693-695.
- U enuncia el emparedado «para todo $n$»; S y L lo enuncian «a partir de un $N$» (apartado 4).
- U no define el número $e$ (usa $\lim_{n\to\infty}(1+1/a_n)^{a_n}=e$ sin más); L p. 585 lo da como $\lim_{x\to\infty}(1+1/x)^x$.
- Del criterio de Stolz, U no dice que hace falta $b_{n+1}\ne b_n$; se precisa en el apartado 10 (explicación propia; ni S ni L tratan Stolz).
1Sucesiones U pp.22-23
Una sucesión es una lista infinita con orden: primer término, segundo, tercero… como los vagones numerados de un tren que no acaba nunca, o el saldo de una cuenta al final de cada mes. A cada número natural $n$ (el «número de vagón») le corresponde un número real $a_n$ (lo que lleva ese vagón). Por eso, técnicamente, es una función de $\mathbb N$ en $\mathbb R$.
U p.22 S p.690Una sucesión de números reales es una aplicación $a:\mathbb N\to\mathbb R$. Se escribe $a_n$ en lugar de $a(n)$: $a_1$ es el primer término, $a_7$ el séptimo. Si todos los términos se dan por una fórmula (p. ej. $a_n=\ln n$), esa fórmula es el término general. La sucesión completa se abrevia $\{a_n\}$.
U pp.22-23- $a(n)=\pi$ es una sucesión constante: todos sus términos valen $\pi$.
- $a(n)=2n-1$ toma los números impares: $a_1=1,\ a_2=3,\ a_3=5,\dots$
Tres formas de dar una sucesión S pp.690-691U p.33U p.23
- Fórmula (término general). $a_n=\dfrac n{n+1}$ da $\frac12,\frac23,\frac34,\frac45,\dots$
- Lista con un patrón. De $\frac35,-\frac4{25},\frac5{125},-\frac6{625},\dots$ se deduce $a_n=(-1)^{n-1}\dfrac{n+2}{5^n}$: los numeradores suben de 1 en 1 empezando en 3, los denominadores son potencias de 5 y el signo alterna.
- Recursiva: se dan los primeros términos y una regla que calcula cada uno con los anteriores. La sucesión de Fibonacci: $a_1=1,\ a_2=1,\ a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$ para $n>2$, que da $1,1,2,3,5,8,\dots$
También pueden empezar en $n=0$ (o en otro entero); entonces el primer término es $a_0$.
Cómo se «ve» una sucesión: dos dibujos S p.691
Hay dos formas útiles de dibujarla: (a) sus términos como puntos sobre la recta real (ver cómo se amontonan), y (b) su gráfica, que son puntos aislados $(n,a_n)$ (ver la evolución con $n$). Se usan las dos a lo largo del tema.
Confundir la sucesión $\{a_n\}$ (lista ordenada e infinita) con el conjunto de sus valores $\{a_n:n\in\mathbb N\}$: la sucesión $(-1)^n$ tiene infinitos términos, pero su conjunto de valores es $\{-1,1\}$. Y tampoco es una serie (una suma infinita): eso viene en el apartado 11 y en el tema 1.3.
2Límite de una sucesión: convergencia U pp.23-24
Alguien te dice que $\{a_n\}$ tiende a $l$. Tú lanzas un reto: «¿estás a menos de $\varepsilon=0{,}001$ de $l$?». La sucesión responde con un número $N$: «a partir del término $N$, todos los términos están a esa distancia de $l$ o menos». Da igual lo pequeño que sea el reto $\varepsilon$: siempre hay respuesta (aunque $N$ sea cada vez mayor). Lo que ocurre al principio no importa, solo el final.
U p.23 S p.692Una sucesión $\{a_n\}$ tiene límite $l\in\mathbb R$ si para cada $\varepsilon>0$ existe un número natural $N$ tal que $$|a_n-l|\le\varepsilon\qquad\text{para todo } n\ge N.$$ Se escribe $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=l$ y se dice que $\{a_n\}$ es convergente.
U p.23 S p.692 L p.585Cómo leerla. $|a_n-l|\le\varepsilon$ significa $l-\varepsilon\le a_n\le l+\varepsilon$: el término $a_n$ está en el intervalo de centro $l$ y radio $\varepsilon$. Por tanto: cualquier intervalo abierto que contenga a $l$ contiene a todos los términos salvo, quizá, un número finito de ellos (U p. 23). S y L escriben $<\varepsilon$ en vez de $\le\varepsilon$: es equivalente, porque $\varepsilon$ es arbitrario. En la definición de U, $N$ es un natural cualquiera que funcione; en L se llama $M$ y puede ser real.
Si $a_n=c$ para todo $n$, entonces $\lim_{n\to\infty} a_n=c$: dado $\varepsilon>0$, $|a_n-c|=0<\varepsilon$ para todo $n\in\mathbb N$ (sirve cualquier $N$).
U p.23- Distancia al supuesto límite: $|a_n-0|=\left|\frac1n\right|=\frac1n$.
- Dado $\varepsilon>0$ queremos $\frac1n\le\varepsilon$ para todo $n\ge N$. Como $n\ge N\Rightarrow\frac1n\le\frac1N$, basta con que $\frac1N\le\varepsilon$, es decir, $\frac1\varepsilon\le N$.
- Tomamos como $N$ el primer natural mayor que $\frac1\varepsilon$ (existe por la propiedad arquimediana, tema 1.1). Con $\varepsilon=\frac1{1000}$ vale $N=1001$; con $\varepsilon=12$ vale $N=1$.
- Calcula y simplifica $|a_n-l|$.
- Resuelve la desigualdad $|a_n-l|\le\varepsilon$ para $n$ (o busca una expresión mayor y más sencilla que $|a_n-l|$ que sea fácil de resolver).
- Elige $N$ natural que cumpla esa condición. Si $|a_n-l|$ (o la cota que uses) decrece con $n$, basta comprobarlo en $n=N$: para $n\ge N$ será aún menor.
Ejemplo propio: $a_n=\frac n{n+1}\to1$. $|a_n-1|=\frac1{n+1}\le\varepsilon\iff n\ge\frac1\varepsilon-1$. Para $\varepsilon=0{,}1$ basta $N=9$: comprobamos $a_9=0{,}9$ y $|0{,}9-1|=0{,}1\le0{,}1$ (por eso U escribe $\le$). Es el dibujo de arriba.
PU incluye notas sobre Maxima: la sucesión $\frac1n$ se define con a[n]:=1/n y el límite se calcula con limit(a[n],n,inf); el factorial $7!$ se escribe 7!;. Sirve para comprobar tus resultados, no para razonarlos.
(1) $N$ depende de $\varepsilon$: no se puede fijar $N$ antes de que te den $\varepsilon$. (2) La condición es para todos los $n\ge N$, no solo para uno: $\{(-1)^n\}$ pasa por 1 infinitas veces y no converge a 1. (3) El límite no tiene por qué alcanzarse ni la sucesión acercarse siempre «por un lado»: $\frac{(-1)^n}{n}$ converge a 0 alternando de lado.
Unicidad del límite
Si $\{a_n\}$ converge, su límite es único: no puede tender a dos números distintos a la vez.
Prueba (la «receta» de U, completada). Supón $a_n\to l$ y $a_n\to m$ con $l\ne m$ y sea $L=|l-m|>0$. Tomando $\varepsilon=L/3$ en la definición, existen $N_1,N_2$ con $|a_n-l|\le L/3$ si $n\ge N_1$ y $|a_n-m|\le L/3$ si $n\ge N_2$. Para $n\ge\max\{N_1,N_2\}$, por la desigualdad triangular, $L=|l-m|=|(l-a_n)+(a_n-m)|\le\frac L3+\frac L3=\frac{2L}3<L$. Absurdo; luego $l=m$.
U p.24¿Y si no converge? «Divergente»
Una sucesión que no converge se llama divergente. Puede serlo de dos maneras: porque sus términos crecen (o decrecen) sin límite (límite $\pm\infty$, apartado 6) o porque oscila sin acercarse a nada, como $(-1)^n$. (U no da esta definición; es la de S y L.)
S p.692 L p.585 U p.28Los términos son $-1,1,-1,1,\dots$ Si tendiera a un $l$, con $\varepsilon=\frac12$ existiría $N$ tal que para $n\ge N$: $|a_n-l|\le\frac12$ y $|a_{n+1}-l|\le\frac12$. Pero entonces $2=|a_{n+1}-a_n|\le|a_{n+1}-l|+|l-a_n|\le1$, absurdo. Luego diverge (oscila).
U p.24 S p.6953Sucesiones acotadas U p.24
Una sucesión está acotada si vive dentro de un «corral»: existe una valla de altura $c$ y otra de altura $-c$ que ningún término salta. Una sucesión convergente no puede escaparse: casi todos sus términos están pegados a $l$ y solo quedan unos pocos «rezagados» del principio, que siempre se pueden encerrar.
P$\{a_n\}$ es acotada si existe $c>0$ tal que $|a_n|\le c$ para todo $n\in\mathbb N$; es decir, si el conjunto $\{a_n:n\in\mathbb N\}$ está acotado (tema 1.1).
Equivalencia con S y L: ellos piden una cota superior $M$ ($a_n\le M$) y una inferior $m$ ($m\le a_n$). Son lo mismo: de $m\le a_n\le M$ sale $|a_n|\le c$ con $c=\max\{|m|,|M|,1\}$ (U exige $c>0$), y de $|a_n|\le c$ salen $M=c$ y $m=-c$.
U p.24 S p.697 L p.591Toda sucesión convergente es acotada. (Su recíproco es falso.)
Prueba (completa lo que U no detalla). Sea $a_n\to l$. Con $\varepsilon=1$ hay $N$ con $|a_n-l|\le1$ para $n\ge N$, luego $|a_n|\le|l|+1$ para $n\ge N$ (triangular). Sea $c=\max\{|a_1|,\dots,|a_{N-1}|,\,|l|+1\}$: es un máximo de un número finito de valores y $c\ge1>0$. Entonces $|a_n|\le c$ para todo $n$.
U p.24Probar «$P\Rightarrow Q$» equivale a probar «no $Q\Rightarrow$ no $P$» (la contrarrecíproca; U lo recuerda al margen, p. 24). Aquí es la herramienta práctica: si una sucesión no está acotada, no converge. Así, $a_n=n$ o $a_n=n^2-n$ divergen sin más cálculo (U lo llama «condición necesaria para la convergencia», p. 24). Pero acotada no implica convergente: $(-1)^n$, y también $(-1)^n+\frac1n$ de la figura.
U p.244Regla del emparedado y «tiende a 0 por acotada» U pp.25-26
Si un jamón está siempre entre dos panes y los dos panes se juntan en el mismo punto, el jamón queda aplastado en ese punto. La dificultad es que de entrada solo tienes el jamón (la sucesión que quieres estudiar): hay que encontrar los panes, y eso se aprende con práctica (U p. 25).
U p.25 S p.694Si $a_n\le b_n\le c_n$ para todo $n\in\mathbb N$ y $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n=\lim_{n\to\infty} c_n=l$, entonces $\displaystyle\lim_{n\to\infty} b_n=l$.
Versión «a partir de un $N$» (S, L): basta que $a_n\le b_n\le c_n$ desde cierto $n_0$ en adelante, porque el límite solo depende del final de la sucesión (U p. 23). Es la que usan los ejercicios.
U p.25 S p.694 L p.587Para todo $n\in\mathbb N$, $0\le\frac1{n^2}\le\frac1n$. Como $\lim_{n\to\infty}0=0$ y $\lim_{n\to\infty}\frac1n=0$ (Ejemplos 1.16-1.17), la regla del emparedado da $\lim_{n\to\infty}\frac1{n^2}=0$.
U p.25Si $\lim_{n\to\infty} a_n=0$ y $\{b_n\}$ es acotada, entonces $\lim_{n\to\infty}(a_nb_n)=0$.
Idea de la prueba. Sea $|b_n|\le c$. Entonces $-c|a_n|\le a_nb_n\le c|a_n|$; como $\big||a_n|-0\big|=|a_n-0|$, la definición da $|a_n|\to0$ y por tanto $c|a_n|\to0$; el emparedado da el resultado. Ojo: no vale si $\{b_n\}$ no está acotada ($\frac1n\cdot n=1$).
U p.25$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac1n\cos^2\!\left(\frac{\exp\frac{n^2}{\sqrt[n]{(n+1)!}}}{\ln|n+2|}\right)=0$. La función coseno toma valores en $[-1,1]$, así que $\cos^2(\cdots)\in[0,1]$ es una sucesión acotada (no importa lo complicado que sea su argumento); y $\frac1n\to0$. Por el Teorema 1.2 el límite existe y es $0$.
U p.25$\lim_{n\to\infty}\dfrac{\operatorname{sen}n}n=0$: $\frac1n\to0$ y $\operatorname{sen}n$ está acotada ($|\operatorname{sen}n|\le1$). También: $-\frac1n\le\frac{\operatorname{sen}n}n\le\frac1n$ y emparedado.
PSi $\lim_{n\to\infty} a_n=l$, entonces $\lim_{n\to\infty}|a_n|=|l|$. Se cumple porque $\big||a_n|-|l|\big|\le|a_n-l|$ (Teorema 1.1 de 1.1). El recíproco solo es cierto si $l=0$: si $|a_n|\to0$ entonces $a_n\to0$, por el emparedado $-|a_n|\le a_n\le|a_n|$. En general es falso: $\{(-1)^n+\frac1n\}$ no converge pero su valor absoluto converge a 1 (U Ejemplo 1.20, figura de la p. 26).
U pp.25-26 S p.694 L p.5885Álgebra de límites U pp.26-27
Si $a_n$ se aproxima a $l$ y $b_n$ a $m$, es natural que $a_n+b_n$ se aproxime a $l+m$, $a_nb_n$ a $lm$ y $\frac{a_n}{b_n}$ a $\frac lm$ (si $m\ne0$). Es la Proposición 1.3: permite calcular límites «por piezas», con una condición: las piezas deben tener límite (finito).
U p.26Hipótesis: los límites de $a_n$ y de $b_n$ existen y son finitos. Entonces:
| Operación | Fórmula | Condición extra |
|---|---|---|
| Suma | $\displaystyle \lim_{n\to\infty}(a_n+b_n)=\lim_{n\to\infty}a_n+\lim_{n\to\infty}b_n$ | ninguna |
| Producto | $\displaystyle \lim_{n\to\infty}(a_nb_n)=\lim_{n\to\infty}a_n\cdot\lim_{n\to\infty}b_n$ | ninguna |
| Cociente | $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{\lim_{n\to\infty}a_n}{\lim_{n\to\infty}b_n}$ | $\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n\ne0$ (y $b_n\ne0$) |
| Restaconsecuencia | $\displaystyle \lim_{n\to\infty}(a_n-b_n)=\lim_{n\to\infty}a_n-\lim_{n\to\infty}b_n$ | ninguna |
| Constanteconsecuencia | $\displaystyle \lim_{n\to\infty}(c\,a_n)=c\,\lim_{n\to\infty}a_n$ | $c\in\mathbb R$ fijo |
En palabras: el límite «pasa» dentro de $+,\ -,\ \cdot,\ /$. Como el límite solo depende del final, basta que $b_n\ne0$ desde cierto $n$ en adelante.
U p.26 S p.693 L p.586$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{2n^2+n+1}{n^2-n+1}$.
- Aplicar la Prop. 1.3 directamente falla: ni el numerador ni el denominador tienen límite finito.
- Dividimos numerador y denominador entre $n^2$ (la mayor potencia del denominador): $\displaystyle\frac{2+\frac1n+\frac1{n^2}}{1-\frac1n+\frac1{n^2}}$.
- Ahora cada pieza tiene límite ($\frac1n\to0$, $\frac1{n^2}\to0$) y el denominador tiende a $1\ne0$: el límite es $\dfrac{2+0+0}{1-0+0}=2$.
En un cociente de expresiones polinómicas, divide numerador y denominador entre el monomio de mayor grado del denominador (U p. 27). Adelanto para calcular «de cabeza»: manda el término de mayor grado, y el resultado depende de los grados: mismo grado → cociente de coeficientes principales; mayor grado arriba → $\pm\infty$; mayor grado abajo → 0.
U p.27- Aplicarla sin que existan los límites: $a_n=n$, $b_n=\frac1n$ tiene $\lim_{n\to\infty} a_nb_n=1$, pero no es $\lim_{n\to\infty} n\cdot0$.
- Usarla con un número de sumandos que crece con $n$: la suma de límites solo vale para un número fijo de sumandos. $\underbrace{\frac1n+\cdots+\frac1n}_{n\text{ veces}}=1$, no $0+\cdots+0=0$ (ver Ejercicio 1.11).
- Dividir por un $b_n$ cuyo límite es 0 (eso da una indeterminación, apartado 7).
6Límites infinitos y la recta ampliada U pp.27-28
Algunas sucesiones no se acercan a ningún número, pero su comportamiento es claro: $n$, $n^2-n$… crecen sin techo. Para hablar de ello y poder «calcular» con ellas, se añaden a $\mathbb R$ dos símbolos, $-\infty$ y $+\infty$, con las reglas de cálculo que esperaríamos. Ojo: $\infty$ no es un número; es una abreviatura de «crece sin límite».
U p.27$\overline{\mathbb R}=\mathbb R\cup\{-\infty,\infty\}$, con $-\infty<x<\infty$ para todo $x\in\mathbb R$ y las operaciones de $\mathbb R$ ampliadas así:
| Regla | Vale para | Ejemplo |
|---|---|---|
| $\dfrac x\infty=\dfrac x{-\infty}=0$ | $x\in\mathbb R$ | $\dfrac5\infty=0$ |
| $x+\infty=\infty$ | $x\in\overline{\mathbb R}$, $x\ne-\infty$ | $-7+\infty=\infty$ |
| $x-\infty=-\infty$ | $x\in\overline{\mathbb R}$, $x\ne\infty$ | $3-\infty=-\infty$ |
| $x\cdot\infty=\infty$ | $x\in(0,\infty]$ | $2\cdot\infty=\infty$ |
| $x\cdot\infty=-\infty$ | $x\in[-\infty,0)$ | $(-2)\cdot\infty=-\infty$ |
| $x^\infty=0$ | $x\in(0,1)$ | $\left(\frac12\right)^\infty=0$ |
| $x^\infty=\infty$ | $x\in(1,\infty]$ | $e^\infty=\infty$ |
| $\infty^x=\infty$ | $x\in(0,\infty]$ | $\infty^2=\infty$ |
| $\infty^x=0$ | $x\in[-\infty,0)$ | $\infty^{-1}=0$ |
Cómo leer la tabla: $\infty$ no es un número; cada regla abrevia un límite. Por ejemplo, «$x+\infty=\infty$» significa que si $a_n\to x$ y $b_n\to\infty$, entonces $a_n+b_n\to\infty$; lo mismo vale para $\cdot$, $-$, potencias… (así se usa en la Prop. 1.4, U p.28). Por ejemplo, «$\left(\frac12\right)^\infty=0$» quiere decir que $\left(\frac12\right)^n\to0$: $0{,}5^{10}\approx0{,}001$ y $0{,}5^{100}\approx8\cdot10^{-31}$.
La tabla recoge las reglas que da U. Hay otras expresiones que no son indeterminaciones aunque U no las liste ($e^{-\infty}=0$, $0^{+\infty}=0$…). Las siete indeterminaciones del apartado 7 son las que no tienen valor fijo.
U p.27$\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n=\infty$ si para cada $k>0$ existe $N\in\mathbb N$ tal que $a_n\ge k$ para todo $n\ge N$. $\ \lim_{n\to\infty} a_n=-\infty$ si $\lim_{n\to\infty}(-a_n)=\infty$. Dicho de otro modo: para cualquier cantidad $k>0$ solo hay un número finito de términos menores que $k$.
Las sucesiones con límite $\pm\infty$ no son convergentes (convergente = límite en $\mathbb R$): son divergentes «de un modo especial». Una sucesión con límite $\pm\infty$ es no acotada.
U p.28 S p.693 L p.585- Dado $\varepsilon>0$ (aquí hace de «$k$») queremos $n^2-n\ge\varepsilon$ para $n\ge N$.
- Para $n\ge2$: $n-1\ge1$, luego $n^2-n=n(n-1)\ge n$.
- Tomando $N\ge\max\{2,\varepsilon\}$: si $n\ge N$, entonces $n\ge2$ y $\ n^2-n\ge n\ge N\ge\varepsilon$.
Aviso: U escribe $N\ge\max\{1,\varepsilon\}$, que falla en $n=1$: con $N=1$ y $\varepsilon\le1$, el término $n=1$ da $n^2-n=0<\varepsilon$. Hay que exigir $N\ge2$.
U p.28La regla del emparedado y las Proposiciones 1.2 y 1.3 siguen siendo válidas si alguno o todos los límites que intervienen valen $\pm\infty$ (y las operaciones se hacen en $\overline{\mathbb R}$ según la Def. 1.12). Como es sencillo probar que $\lim_{n\to\infty} n=\infty$, si al sustituir $n$ por $\infty$ en el término general las operaciones están definidas (no es una indeterminación), el resultado es el límite.
Ejemplo 1.23: $\lim_{n\to\infty} n^2=\infty^2=\infty$.
U p.28Tratar $\infty$ como un número cualquiera: $\infty-\infty=0$ o $\frac\infty\infty=1$ son falsos (apartado 7). Y decir «$\lim_{n\to\infty} n=\infty$ luego converge»: no converge, diverge a $\infty$.
7Indeterminaciones, conjugado y la fórmula (1.1) U pp.29-30
Una expresión como $\infty-\infty$ no tiene valor fijo: depende de quién gana la carrera. Con $n-n=0$, $(n+5)-n=5$ y $n^2-n\to\infty$ tenemos tres sucesiones de la forma «$\infty-\infty$» con tres límites distintos. Por eso, al sustituir $n$ por $\infty$ y encontrar una de estas formas, no se puede concluir nada: hay que transformar la expresión.
P U p.29Cuatro «de operaciones» (p. 29): $\ \dfrac00,\quad\infty-\infty,\quad\pm\infty\cdot0,\quad\dfrac{\pm\infty}{\pm\infty}$.
Y tres «de potencias» (p. 30), que llevan a $\pm\infty\cdot0$ mediante (1.1): $\ 0^0,\quad1^{\pm\infty},\quad\infty^0$.
U pp.29-30Conjugado: $\infty-\infty$ con raíces
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}(n^2-n)$ sin usar la definición. Al sustituir sale $\infty-\infty$. Multiplicamos y dividimos por el conjugado $n^2+n$, usando $(A-B)(A+B)=A^2-B^2$: $$n^2-n=\frac{(n^2-n)(n^2+n)}{n^2+n}=\frac{n^4-n^2}{n^2+n}=\frac{n^2-1}{1+\frac1n}\quad(\text{dividiendo entre }n^2)\ \longrightarrow\ \frac\infty1=\infty.$$ Regla de U: si $\infty-\infty$ procede de $a_n-b_n$, suele ser buena idea multiplicar y dividir por $a_n+b_n$.
U p.29Potencias: la fórmula (1.1)
Si $a_n>0$ para todo $n$: $$\lim_{n\to\infty} a_n^{\,b_n}=\lim_{n\to\infty} e^{\,b_n\ln a_n}=e^{\lim_{n\to\infty} b_n\ln a_n}\qquad(\text{si el último límite existe en }\overline{\mathbb R}).$$ Se basa en $a_n^{b_n}=e^{\ln a_n^{b_n}}=e^{b_n\ln a_n}$ y en poder intercambiar el límite con una función continua (aquí $e^x$).
U p.29Si $\lim_{n\to\infty} a_n=l$ y $f$ es continua en $l$ (con $a_n$ en el dominio de $f$), entonces $\lim_{n\to\infty} f(a_n)=f(l)$. U lo aplica a las funciones que «el lector debe conocer»: polinómicas, trigonométricas, exponenciales y logarítmicas (la continuidad se estudia en el tema 1.4). Las raíces no están en su lista, pero también son continuas: $\sqrt x=e^{\frac12\ln x}$ para $x>0$, y $\sqrt{a_n}\to\sqrt l$ (S p. 693, potencia $p>0$).
U p.29 S p.695Ejemplo 1.25. Calcular $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\cos\!\left(\frac\pi4+\frac1n\right)$.
- Qué pasa dentro. $\frac\pi4+\frac1n\to\frac\pi4$, porque $\frac1n\to0$.
- Meter el límite dentro del coseno. El coseno es continuo, así que $\lim_{n\to\infty}\cos(a_n)=\cos\big(\lim_{n\to\infty}a_n\big)$.
- Resultado: $\cos\frac\pi4=\dfrac{\sqrt2}2\approx0{,}707$.
Calcular $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\frac n{n^2+3}\right)^{n}$.
La base se hace muy pequeña (casi $0$) y se multiplica por sí misma $n$ veces, cada vez más veces: el resultado se hace $0$. Ejemplo numérico: $n=10$ da $\left(\frac{10}{103}\right)^{10}\approx7\cdot10^{-11}$; con $n=100$ es aún mucho menor.
- Mirar la base y el exponente por separado. Base: $\dfrac n{n^2+3}$. Dividiendo arriba y abajo entre $n$ queda $\dfrac1{n+\frac3n}\to0$ (el denominador crece sin límite). Además la base es siempre $>0$. Exponente: $n\to+\infty$. Es del tipo «$0^{\infty}$», que no es indeterminación (apartado 6); lo comprobamos con la fórmula (1.1).
- Escribirlo con $e$ (fórmula 1.1). Como la base es positiva, $a_n^{\,b_n}=e^{\,b_n\ln a_n}$. Aquí: $$\left(\frac n{n^2+3}\right)^{n}=e^{\,n\cdot\ln\frac n{n^2+3}}.$$
- Límite del logaritmo. Cuando un número positivo se acerca a $0$, su $\ln$ se va a $-\infty$ (p.ej. $\ln0{,}001\approx-6{,}9$, $\ln10^{-9}\approx-20{,}7$). Como la base tiende a $0^+$: $$\ln\frac n{n^2+3}\longrightarrow-\infty.$$
- Límite del exponente. $n\to+\infty$ y $\ln\frac n{n^2+3}\to-\infty$; «$(+\infty)\cdot(-\infty)=-\infty$». Es decir, el exponente de $e$ tiende a $-\infty$.
- Último paso. $e^{-\infty}=\lim_{t\to-\infty}e^{t}=0$ (p.ej. $e^{-20}\approx2\cdot10^{-9}$).
Receta (potencia $a_n^{b_n}$): si $a_n>0$, pasa a $e^{b_n\ln a_n}$, calcula el límite de $b_n\ln a_n$ (puede ser $\pm\infty$) y aplica $e^{+\infty}=+\infty$, $e^{-\infty}=0$.
«$1^\infty=1$» o «$0^0=1$» o «$\infty^0=1$»: son indeterminaciones. Y sustituir solo en una parte: $\left(1+\frac1n\right)^n\to1^\infty=1$ es falso; su límite es $e$ (apartado 9). También: aplicar (1.1) con $a_n$ que pueda ser $\le0$ ($\ln$ no está definido).
U p.308Sucesiones monótonas U p.31
Una sucesión monótona siempre avanza en el mismo sentido sobre la recta: cada término queda a la derecha (o a la izquierda) del anterior (U p. 31). Si además tiene un techo, no puede escaparse hacia arriba ni retroceder: se ve forzada a amontonarse contra algún número. Es como subir una escalera con un techo encima: al final solo puedes acercarte al techo.
U p.31 S p.698- $\{a_n\}$ es creciente si $a_n\le a_{n+1}$ para todo $n$; decreciente si $a_n\ge a_{n+1}$ para todo $n$.
- Es estrictamente creciente (resp. decreciente) si $a_n<a_{n+1}$ (resp. $a_n>a_{n+1}$) para todo $n$.
- Es monótona si es creciente o decreciente.
- Una sucesión constante como $\{4\}$ es monótona (creciente y decreciente a la vez) pero no estrictamente.
- $a_n=\frac1n$ es estrictamente decreciente: $a_{n+1}=\frac1{n+1}<\frac1n=a_n$.
Estudia el signo de $a_{n+1}-a_n$ (o, con términos positivos, compara $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ con 1). Ejemplo (L Ej. 8b): $b_n=\frac{2n}{1+n}$ es creciente porque $\frac{2n}{1+n}<\frac{2(n+1)}{2+n}\iff2n(2+n)<2(n+1)^2\iff4n+2n^2<2n^2+4n+2\iff0<2$, y todos los pasos son reversibles. (Cuando sepas derivar, otra vía es ver que la función $f(x)$ correspondiente es creciente: L p. 590, S Ej. 13 p. 697.)
L p.590 S p.697Si $\{a_n\}$ es monótona, entonces: $\{a_n\}$ es convergente si y solo si es acotada.
Prueba. ($\Rightarrow$) es la Proposición 1.1. ($\Leftarrow$) Supón $\{a_n\}$ creciente y acotada. El conjunto $\{a_n\}$ es no vacío y acotado superiormente, así que por el axioma del supremo (tema 1.1) tiene supremo $L$. Dado $\varepsilon>0$, $L-\varepsilon$ no es cota superior, luego existe $N$ con $a_N>L-\varepsilon$. Para $n\ge N$: $L-\varepsilon<a_N\le a_n\le L$, o sea $|a_n-L|<\varepsilon$. Así $a_n\to L$. El caso decreciente es simétrico (con el ínfimo).
Consecuencia: una monótona siempre tiene límite en $\overline{\mathbb R}$: si no está acotada, tiende a $\pm\infty$ (creciente no acotada: para cada $k$ hay $a_N\ge k$ y luego $a_n\ge a_N\ge k$ si $n\ge N$).
U p.31 S p.698 L p.591- $\{\frac1n\}$ es acotada y monótona: converge (a 0).
- $\left\{\frac{n^2}{n+1}\right\}$ es monótona pero no acotada (crece sin techo): diverge.
- $\{(-1)^n\}$ es acotada pero no monótona: diverge.
$a_1=2,\ a_{n+1}=\frac12(a_n+6)$. Los primeros términos $2,4,5,5{,}5,5{,}75,\dots$ sugieren que crece hacia 6.
- Creciente (inducción): $a_2=4>a_1$; si $a_{k+1}>a_k$, entonces $\frac12(a_{k+1}+6)>\frac12(a_k+6)$, es decir $a_{k+2}>a_{k+1}$.
- Acotada: $a_n<6$ para todo $n$. Se cumple para $n=1$; si $a_k<6$, entonces $a_{k+1}=\frac12(a_k+6)<\frac12(12)=6$. Y $a_n\ge a_1=2$.
- Por el Teorema 1.3 existe $L=\lim_{n\to\infty} a_n$. Como $a_{n+1}$ también tiende a $L$, en la recurrencia queda $L=\frac12(L+6)$, luego $L=6$. (El teorema garantiza que el límite existe; no dice cuánto vale: eso se saca de la recurrencia.)
El teorema exige las dos hipótesis a la vez, monótona y acotada: sola, la acotación no basta ($(-1)^n$) ni la monotonía ($n$). Y no da el valor del límite. Otro error: pensar que «monótona» significa «estrictamente creciente»; en U las constantes son monótonas (Ej. 1.27). Ojo con Stewart: allí «creciente» = estrictamente creciente (Def. 10, p. 696); en U una constante es creciente.
9El número $e$ y la indeterminación $1^{\pm\infty}$ U pp.31-32
En $\left(1+\frac1n\right)^n$ hay dos fuerzas opuestas: la base $1+\frac1n$ baja hacia $1$ (y $1^n=1$ no crecería), pero el exponente $n$ crece (y una base mayor que 1 elevada a un exponente enorme crece). El resultado de esa «pelea» no es $1$ ni $\infty$: se estabiliza en el número $e\approx2{,}71828$. (Es el capital final de 1 euro al 100 % anual capitalizado $n$ veces al año.)
| $n$ | 1 | 10 | 100 | 1000 | $10^6$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $(1+1/n)^n$ | 2 | 2,5937 | 2,7048 | 2,7169 | 2,71828 |
Si $\lim_{n\to\infty} a_n=\pm\infty$, entonces $$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1{a_n}\right)^{a_n}=e.$$ (Con $a_n\to\pm\infty$ se tiene $|a_n|>1$ desde cierto $n$, así que $1+\frac1{a_n}>0$ y la potencia está definida.) U la deduce del Teorema 1.3 y no define $e$ aparte; L p. 585 lo toma como $\lim_{x\to\infty}(1+\frac1x)^x$.
U p.31 L p.585Por las propiedades de las potencias, $\left(1+\frac1{n^2}\right)^{2n^2}=\left[\left(1+\frac1{n^2}\right)^{n^2}\right]^2$. Como $a_n=n^2\to\infty$, el corchete tiende a $e$ (Prop. 1.5) y, al intercambiar límite y potencia (función continua), el límite es $e^2$.
U p.32- Clasifica: base $x_n\to1$ y exponente $y_n\to\pm\infty$.
- Escribe la base como $1+\frac1{a_n}$, es decir $a_n=\frac1{x_n-1}$ (definido si $x_n\ne1$; tiende a $\pm\infty$ si $x_n-1$ tiende a 0 con signo constante: base siempre mayor, o siempre menor, que 1).
- Reparte el exponente: $x_n^{y_n}=\Big[\big(1+\frac1{a_n}\big)^{a_n}\Big]^{s_n}$ con $s_n=\frac{y_n}{a_n}=y_n(x_n-1)$.
- Si $s_n\to s\in\mathbb R$, el corchete tiende a $e$ y por (1.1) el límite es $e^s$. En resumen: $\lim_{n\to\infty} x_n^{y_n}=e^{\lim_{n\to\infty} y_n(x_n-1)}$. Si $s_n\to\pm\infty$, el resultado es $e^{\pm\infty}$ ($\infty$ o $0$), por (1.1).
(Deducción propia a partir de U Prop. 1.5 y (1.1); se practica en los Ejercicios 1.13 y 1.16.)
PAplicar la técnica del número $e$ a algo que no es $1^\infty$ (p. ej. base que tiende a $\frac12$ o a $2$: entonces basta la Def. 1.12 y (1.1), ver Ejercicio 1.14), o no conseguir que el exponente sea el mismo $a_n$ que aparece en $1+\frac1{a_n}$.
10Criterio de Stolz U pp.32-33
Si el numerador $a_n$ crece «$X$ unidades por paso» y el denominador $b_n$ crece «$Y$ unidades por paso», al cabo de mucho tiempo su cociente vale aproximadamente $\frac XY$. Stolz formaliza eso: sustituye el cociente $\frac{a_n}{b_n}$ (difícil, típicamente $\frac\infty\infty$) por el cociente de incrementos $\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}$ (más fácil). Es el análogo, para sucesiones, de comparar derivadas. Y tiene un truco: si $a_n$ es una suma de $n$ términos, $a_{n+1}-a_n$ es solo el último sumando, y la suma desaparece.
PSean $\{a_n\}$, $\{b_n\}$ sucesiones con $$\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=l\in\mathbb R.$$ Entonces $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=l$, siempre que se cumpla alguna de estas dos condiciones:
- (i) $\{b_n\}$ es monótona y $\lim_{n\to\infty} b_n=\pm\infty$; o
- (ii) $\{b_n\}$ es monótona y $\lim_{n\to\infty} b_n=\lim_{n\to\infty} a_n=0$.
Precisiones (no están en U): (a) para que el cociente de incrementos tenga sentido hace falta $b_{n+1}\ne b_n$ (en la práctica $b_n$ estrictamente monótona); (b) U enuncia el criterio con $l\in\mathbb R$; E lo enuncia también con $l=\pm\infty$ (E p. 18), cierto si $b_n$ es estrictamente monótona con límite $\pm\infty$, pero para examen cíñete a la versión de U y a $l$ finito; (c) el recíproco es falso: con $b_n=n$ y $a_n=n+(-1)^n$ se tiene $\frac{a_n}{b_n}=1+\frac{(-1)^n}n\to1$ (Teorema 1.2), pero $a_{n+1}-a_n=1-2(-1)^n$ vale alternadamente $3$ y $-1$ y no tiene límite. Si el cociente de incrementos no tiene límite, Stolz no dice nada. Ni S ni L tratan este criterio.
U p.32 P$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1+3+\cdots+(2n+1)}{2+4+\cdots+(2n+2)}$.
- Sean $a_n=1+3+\cdots+(2n+1)$ y $b_n=2+4+\cdots+(2n+2)$. Ambas son crecientes y tienden a $\infty$ (a cada término positivo se le suma una cantidad cada vez mayor). Se cumple (i).
- Sustituir $n\to n+1$: $a_{n+1}=a_n+(2(n+1)+1)$ y $b_{n+1}=b_n+(2(n+1)+2)$. Por tanto $a_{n+1}-a_n=2n+3$ y $b_{n+1}-b_n=2n+4$.
- $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{2n+3}{2n+4}=1$. Por Stolz, el límite pedido es $1$.
Cuando el cociente es de la forma $\frac\infty\infty$ (o $\frac00$, caso (ii)) y el numerador (o el denominador) es una suma con $n$ sumandos, o contiene logaritmos: $\frac{1^2+\cdots+n^2}{n^3}$, $\frac{\ln n}n$, $\frac1{n^2}\big(\text{suma}\big)$. Pasos: (1) identifica $a_n$ y $b_n$; (2) comprueba que $b_n$ es monótona con $b_{n+1}\ne b_n$ y tiende a $\pm\infty$ (o, en el caso $\frac00$, que $a_n\to0$ y $b_n\to0$); (3) calcula $a_{n+1}-a_n$ y $b_{n+1}-b_n$; (4) calcula el límite del cociente.
P11Sucesión de sumas parciales (avance de las series) U p.34
¿Cómo se suma una cantidad infinita de números? No se puede hacer «de golpe», pero sí se pueden sumar los primeros $n$, para cada $n$, y ver si esas sumas se estabilizan. Eso es una sucesión: la de sumas parciales. El tema 1.3 (series) es exactamente el estudio del límite de esa sucesión.
U pp.33-34A partir de $\{a_n\}$ se define $\{s_n\}$ con $s_1=a_1$, $s_2=a_1+a_2$, …, $s_n=\displaystyle\sum_{i=1}^na_i$. Es la sucesión de sumas parciales de $\{a_n\}$. Una serie es el par $(\{a_n\},\{s_n\})$ (U Def. 1.14), y es convergente si $\{s_n\}$ converge (U Def. 1.15, p. 35); se estudia en el tema 1.3.
Ejemplo propio: con $a_n=\frac1{2^n}$, $s_n=\frac12+\frac14+\cdots+\frac1{2^n}=1-\frac1{2^n}\to1$ (porque $0\le\frac1{2^n}\le\frac1n$ y el emparedado da $\frac1{2^n}\to0$).
U p.34 U p.35 L p.595Los Ejercicios 1.11 y 1.16 de E tienen una suma de $n$ términos cuyo número de sumandos crece con $n$, pero son sucesiones (el límite es cuando $n\to\infty$ de esa suma finita), no series. En esa situación no vale «límite de una suma = suma de límites» (apartado 5); se usa el emparedado (1.11) o Stolz (1.16).
12Estrategia y catálogo de límites
Primero sustituye $n$ por $\infty$ y mira qué sale (Prop. 1.4). Si el resultado está definido en $\overline{\mathbb R}$, ya está. Si sale una de las siete indeterminaciones, elige la técnica según esta tabla.
P| Lo que ves | Qué hacer | Dónde |
|---|---|---|
| Cociente $\frac\infty\infty$ de polinomios, exponenciales… | Dividir numerador y denominador entre lo que domina | E 1.8, P1-P3 |
| Raíces de polinomios en un cociente | Sacar la mayor potencia dentro de cada raíz | E 1.7, 1.9, P2 |
| $\infty-\infty$ con raíces | Multiplicar y dividir por el conjugado; luego dividir entre la potencia dominante | E 1.10, 1.12, P4-P6 |
| Suma de $n$ términos parecidos | Acotar cada término por el menor y por el mayor; emparedado | E 1.11, P8 |
| Cociente con una suma de $n$ términos (o con $\ln n$) | Criterio de Stolz | E 1.15, 1.16, P14-P16 |
| Una potencia $a_n^{b_n}$ | Estudiar base y exponente por separado; si no es $1^\infty$, $0^0$ o $\infty^0$, basta (1.1) y la Def. 1.12 | E 1.14, P13 |
| $1^{\pm\infty}$ | Número $e$: $\ e^{\lim_{n\to\infty} y_n(x_n-1)}$ | E 1.13, P10-P12 |
| $\infty^0$, $0^0$ | (1.1): pasar a $e^{b_n\ln a_n}$ y estudiar el exponente | E 1.15, P9 |
| (algo que tiende a 0) $\times$ (algo acotado) | Teorema 1.2 | P7 |
| Sucesión monótona, no se sabe si converge | Ver si está acotada (Teorema 1.3) | S Ej. 14 |
| Probar que no converge | No acotada, o dos comportamientos distintos (oscila) | E 1.6, $(-1)^n$ |
Catálogo de límites de referencia
| Sucesión | Límite | Por qué |
|---|---|---|
| $c$ (constante) | $c$ | U Ej. 1.16 p.23 |
| $\dfrac1{n^r}$, $r>0$ | $0$ | Dado $\varepsilon$, si $n\ge(1/\varepsilon)^{1/r}$ entonces $n^r\ge1/\varepsilon$. (S ec. 4, p. 693) |
| $n^r$, $r>0$ | $\infty$ | Dado $k>0$, si $n\ge k^{1/r}$ entonces $n^r\ge k$ (definición de límite infinito, U p. 28) |
| $r^n$ | $0$ si $|r|<1$ (incluye $r=0$); $1$ si $r=1$; $\infty$ si $r>1$; no converge si $r\le-1$ | $r>0$: $r^n=e^{n\ln r}$ con (1.1). $-1<r<0$: $|r|^n\to0$ y apartado 4. $r=-1$: oscila. $r<-1$: $|r|^n\to\infty$, no acotada. (S Ej. 11, p. 696) |
| $\sqrt[n]a$, $a>0$ | $1$ | $a^{1/n}=e^{(\ln a)/n}\to e^0$, por (1.1) |
| $\sqrt[n]n$ | $1$ | Ejercicio 1.15 (Stolz) |
| $\dfrac{\ln n}n$ | $0$ | Ejercicio 1.15 (Stolz) |
| $\left(1+\dfrac1n\right)^n$ | $e$ | Prop. 1.5 |
| $\dfrac{n!}{n^n}$ | $0$ | $0\le\frac{n!}{n^n}=\frac1n\cdot\frac2n\cdots\frac nn\le\frac1n$ (S Ej. 10, pp. 695-696) |
Regla práctica (no demostrada aquí en general): para $n$ grande, $\ln n\ll n^p\ll a^n\ll n!\ll n^n$ ($p>0$, $a>1$), donde «$\ll$» significa «crece mucho más despacio que». Sirve para saber qué domina en un cociente. De ella solo se prueban aquí algunos casos (los de la tabla). L p. 587 comenta que $n!$ crece más rápido que cualquier exponencial.
S pp.693-696 L p.587 P13Ejercicios del libro, resueltos E pp.10-20
Los once ejercicios de E de la sección 1.2, del más fácil al más difícil (el número entre paréntesis es el de E). Todos los resultados están comprobados con cálculo simbólico (sympy) y, los que tienen sumas, también numéricamente. Pulsa «Mostrar soluciones» arriba para abrirlos todos a la vez. Ojo: en la extracción del texto de E se pierden las raíces; los enunciados de aquí se han copiado del PDF.
Ejercicio 1.6 — ¿puede converger $\{x_ny_n\}$? E pp.10-11
La sucesión $\{x_n\}$ es convergente y la sucesión $\{y_n\}$ es divergente. Razone si puede ser convergente la sucesión $\{x_ny_n\}$.
- Qué se pregunta. «¿Puede ser…?» es una pregunta de existencia: basta un ejemplo. No hace falta que ocurra siempre (y no ocurre siempre; ver el paso 5).
- «Divergente» = no convergente (apartado 2): tiende a $\pm\infty$ o oscila. El ejemplo que sigue vale con cualquiera de los dos sentidos.
- Divergente: $y_n=n$, con límite $+\infty$ (U p. 28), luego no convergente.
- Convergente: $x_n=\frac1{n^2}\to0$ (U Ejemplo 1.18). Entonces $x_ny_n=\frac n{n^2}=\frac1n\to0$ (U Ejemplo 1.17). Sí puede ser convergente. Otro ejemplo: con $x_n=\frac1n$ sale $x_ny_n=1$, constante y convergente.
- El factor convergente tiene que tender a 0 (E no lo dice). Supón $x_n\to l\ne0$ y $x_ny_n\to m$. Con $\varepsilon=|l|/2$ en la Def. 1.10, $x_n\ne0$ desde cierto $n$ (solo importa el final). Entonces $y_n=\frac{x_ny_n}{x_n}\to\frac ml$ por la Prop. 1.3 (cociente): absurdo, porque $\{y_n\}$ diverge. Conclusión: si $\{x_ny_n\}$ converge, necesariamente $x_n\to0$.
Respuesta: sí puede (ejemplo $x_n=\frac1{n^2}$, $y_n=n$), pero solo si $x_n\to0$.
Error típico: responder «nunca» (porque la divergente lo estropea todo) o «siempre». Otro: usar $\lim_{n\to\infty} x_n\cdot\lim_{n\to\infty} y_n$ cuando $\lim_{n\to\infty} y_n$ no existe; la Prop. 1.3 exige que los dos límites existan. Comprobación: con $x_n=\frac1n$, $y_n=(-1)^n$ (oscila) el producto tiende a 0 (Teorema 1.2); con $x_n=1+\frac1n\to1\ne0$ e $y_n=n$ el producto tiende a $+\infty$.
Ejercicio 1.8 — cociente con exponenciales E p.12
Sea $x_n=\dfrac{e^{\,n+\frac3n}+5}{2e^n}$. Se pide calcular su límite cuando $n\to+\infty$.
- Sustituir. Numerador y denominador tienden a $+\infty$ ($e^\infty=\infty$ por Def. 1.12): sale $\frac\infty\infty$, indeterminación.
- Separar lo que domina. $e^{n+3/n}=e^n\,e^{3/n}$, luego $$x_n=\frac{e^ne^{3/n}}{2e^n}+\frac5{2e^n}=\frac{e^{3/n}}2+\frac5{2e^n}.$$ (La misma idea que «dividir entre el término de mayor grado», pero aquí manda $e^n$.)
- Primer sumando. $\frac3n\to0$; como la exponencial es continua, $e^{3/n}\to e^0=1$. El sumando tiende a $\frac12$.
- Segundo sumando. $2e^n\to\infty$ y $\frac5\infty=0$ (Def. 1.12).
- Sumar (Prop. 1.3): $\lim_{n\to\infty} x_n=\frac12+0=\boxed{\tfrac12}$.
Error típico: escribir $e^{n+3/n}=e^n+e^{3/n}$. La exponencial convierte sumas en productos.
Ejercicio 1.7 — cociente con una raíz E pp.11-12
Sea $\{a_n\}$ la sucesión de término general $a_n=\dfrac n{\sqrt{n^3+4}}$. ¿Es convergente?
- Al sustituir sale $\frac{+\infty}{+\infty}$, indeterminación.
- Intuición. Dentro de la raíz domina $n^3$: $\sqrt{n^3+4}\approx n^{3/2}$ y $a_n\approx\frac n{n^{3/2}}=\frac1{\sqrt n}\to0$. Ahora se demuestra.
- Factor común dentro de la raíz: $n^3+4=n^3\left(1+\frac4{n^3}\right)$ y $\sqrt{pq}=\sqrt p\sqrt q$ ($p,q\ge0$), así $\sqrt{n^3+4}=n^{3/2}\sqrt{1+4/n^3}$ y $$a_n=\frac1{n^{1/2}\sqrt{1+4/n^3}}.$$
- Factores del denominador. $\sqrt n\to+\infty$ (dado $k>0$, si $n\ge k^2$ entonces $\sqrt n\ge k$). $1+\frac4{n^3}\to1$ y, por continuidad de la raíz, $\sqrt{1+4/n^3}\to1$.
- Conclusión. El denominador tiende a $+\infty\cdot1=+\infty$ y el cociente a $\frac1{+\infty}=0$. Es convergente y $\lim_{n\to\infty} a_n=0$.
- Otra vía (emparedado). $0\le\frac n{\sqrt{n^3+4}}\le\frac n{\sqrt{n^3}}=\frac1{\sqrt n}\to0$.
Error típico: $\sqrt{n^3+4}=\sqrt{n^3}+2$. La raíz no se reparte sobre una suma.
Ejercicio 1.9 — cociente con dos raíces E pp.12-13
Sea $\{a_n\}$ la sucesión de término general $a_n=\dfrac{\sqrt{16n^4-4}}{n\sqrt{4n^2+5}}$. Se pide calcular su límite cuando $n\to\infty$.
- Sustituir da $\frac\infty\infty$.
- Intuición. Arriba domina $\sqrt{16n^4}=4n^2$; abajo, $n\sqrt{4n^2}=2n^2$. Esperamos $\frac{4n^2}{2n^2}=2$.
- Factor común en cada radicando: $\sqrt{16n^4-4}=n^2\sqrt{16-\frac4{n^4}}$ y $n\sqrt{4n^2+5}=n\cdot n\sqrt{4+\frac5{n^2}}=n^2\sqrt{4+\frac5{n^2}}$ (usamos $\sqrt{n^4}=n^2$, $\sqrt{n^2}=n$, ciertos porque $n>0$).
- Simplificar $n^2$: $a_n=\dfrac{\sqrt{16-4/n^4}}{\sqrt{4+5/n^2}}$.
- Límite. Numerador $\to\sqrt{16}=4$; denominador $\to\sqrt4=2\ne0$. Por la Prop. 1.3: $\lim_{n\to\infty} a_n=\boxed2$.
Error típico: $\sqrt{16n^4-4}=4n^2-2$.
Ejercicio 1.10 — conjugado para $\infty-\infty$ E pp.13-14
Calcular $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\left(\sqrt{n^2+4n+8}-n\right)$.
- Sale $+\infty-(+\infty)$: indeterminación. Aquí no basta mirar lo que domina: los términos dominantes ($\sqrt{n^2}=n$ y $n$) se cancelan y el límite lo decide lo que queda.
- Conjugado (nota al margen de U p. 29), con $(A-B)(A+B)=A^2-B^2$: $$\sqrt{n^2+4n+8}-n=\frac{(n^2+4n+8)-n^2}{\sqrt{n^2+4n+8}+n}=\frac{4n+8}{\sqrt{n^2+4n+8}+n}.$$ El denominador es positivo, así que la operación es válida.
- Ahora es $\frac\infty\infty$. Dividimos entre $n$, con $\sqrt{n^2+4n+8}=n\sqrt{1+\frac4n+\frac8{n^2}}$: $$\frac{4+\frac8n}{\sqrt{1+\frac4n+\frac8{n^2}}+1}\longrightarrow\frac4{1+1}=\boxed2.$$
Error típico: concluir «$\infty-\infty=0$» o que el límite es 0 porque $\sqrt{n^2+4n+8}\approx n$: esa aproximación pierde justo el término $4n$, que da el 2.
Ejercicio 1.12 — conjugado con parámetros E pp.15-16
Encontrar la relación entre $a$ y $b$ para que $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\left(\sqrt{n^2+an+1}-\sqrt{n^2+bn}\right)$ valga 2.
- Es $+\infty-(+\infty)$. Para $n$ grande los dos radicandos son positivos sean cuales sean $a$ y $b$, y el límite solo depende del final.
- Conjugado: $$\frac{(n^2+an+1)-(n^2+bn)}{\sqrt{n^2+an+1}+\sqrt{n^2+bn}}=\frac{(a-b)n+1}{\sqrt{n^2+an+1}+\sqrt{n^2+bn}}.$$
- Dividir entre $n$: $$\frac{(a-b)+\frac1n}{\sqrt{1+\frac an+\frac1{n^2}}+\sqrt{1+\frac bn}}\longrightarrow\frac{a-b}{1+1}=\frac{a-b}2.$$
- Imponer la condición: $\frac{a-b}2=2\iff\boxed{a-b=4}$. Hay infinitos pares, p. ej. $a=5$, $b=1$.
Error típico: equivocarse de signo al restar $(n^2+bn)$, o creer que el $+1$ del radicando influye (al dividir entre $n$ desaparece).
Ejercicio 1.14 — una potencia que NO es indeterminación E pp.17-18
Calcular el límite de $a_n=\left(\dfrac{n^4-n+1}{2n^4-n+2}\right)^{\frac{n^2}{n+1}}$.
- Estudia base y exponente por separado (siempre, antes de lanzarte con el número $e$). Base: $u_n=\dfrac{1-\frac1{n^3}+\frac1{n^4}}{2-\frac1{n^3}+\frac2{n^4}}\to\frac12$ (dividiendo entre $n^4$) y $u_n>0$. Exponente: $t_n=\dfrac{n^2}{n+1}=\dfrac n{1+1/n}\to+\infty$.
- ¿Indeterminación? La forma es $\left(\frac12\right)^{+\infty}$, que no está en la lista de U (p. 30): $0^0$, $1^{\pm\infty}$, $\infty^0$. La Def. 1.12 dice $x^\infty=0$ si $x\in(0,1)$.
- Justificación con (1.1): $a_n=e^{t_n\ln u_n}$. Por la continuidad de $\ln$, $\ln u_n\to\ln\frac12<0$; luego $t_n\ln u_n\to(+\infty)\cdot\ln\frac12=-\infty$ y $e^{-\infty}=0$. Así $\lim_{n\to\infty} a_n=\boxed0$.
- Comprobación elemental (emparedado). $u_n\le\frac35\iff5(n^4-n+1)\le3(2n^4-n+2)\iff0\le n^4+2n+1$ (siempre cierto). Además $t_n=\frac{n^2}{n+1}\ge n-1$, porque $n^2\ge n^2-1$. Con base en $(0,1)$, mayor exponente da menor valor: $0<a_n\le\left(\frac35\right)^{n-1}\to0$.
Nota sobre E: E escribe $\lim_{n\to\infty}(\text{base})^{\lim_{n\to\infty}(\text{exponente})}$ dejando la base con $n$; ningún resultado del libro lo justifica tal como está escrito. El resultado es correcto, pero la forma rigurosa es la del paso 3.
Error típico: aplicar mecánicamente la técnica del número $e$ (como en el 1.13) a algo que no es $1^\infty$.
Ejercicio 1.13 — indeterminación $1^\infty$ E pp.16-17
Calcular, si existe, $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\left(\frac{5n+2}{5n+3}\right)^{3n+1}$.
- Clasificar. La base tiende a 1 y el exponente a $+\infty$: forma $1^{+\infty}$, indeterminada (U p. 30).
- Herramienta: Prop. 1.5. Hay que escribir la base como $1+\frac1{a_n}$.
- La base: $\dfrac{5n+2}{5n+3}=1-\dfrac1{5n+3}=1+\dfrac1{a_n}$ con $a_n=-(5n+3)\to-\infty$.
- Que el exponente sea $a_n$: $\left(1+\frac1{a_n}\right)^{3n+1}=\left[\left(1+\frac1{a_n}\right)^{a_n}\right]^{s_n}$ con $s_n=\dfrac{3n+1}{a_n}=-\dfrac{3n+1}{5n+3}\to-\dfrac35$.
- Paso al límite con (1.1): si $w_n\to e$ y $s_n\to s$ (finito), $w_n^{s_n}=e^{s_n\ln w_n}\to e^{s\ln e}=e^s$. Por tanto $$\lim_{n\to\infty}\left(\frac{5n+2}{5n+3}\right)^{3n+1}=\boxed{e^{-3/5}}.$$
Error típico: decir «$1^\infty=1$», o aplicar la Prop. 1.5 sin conseguir que la base sea exactamente $1+\frac1{a_n}$ con el mismo $a_n$ en el exponente.
Ejercicio 1.11 — regla del emparedado con una suma E pp.14-15
Sea $b_n=\dfrac1{\sqrt{n^2+1}}+\dfrac1{\sqrt{n^2+2}}+\cdots+\dfrac1{\sqrt{n^2+n}}$. ¿Cuál es su límite cuando $n\to\infty$?
- Por qué no sirve «suma de límites». La Prop. 1.3 vale para un número fijo de sumandos. Aquí hay $n$ sumandos: cada uno tiende a 0 pero cada vez hay más. (E lo llama «equivalente a $0\cdot\infty$»: es una analogía, no una igualdad.)
- Comparar cada sumando. Para $1\le k\le n$: $n^2+1\le n^2+k\le n^2+n$. La raíz es creciente y $x\mapsto\frac1x$ decreciente en $(0,\infty)$, luego $$\frac1{\sqrt{n^2+n}}\le\frac1{\sqrt{n^2+k}}\le\frac1{\sqrt{n^2+1}}.$$ (Paso que E da por evidente.)
- Sumar las $n$ desigualdades ($k=1,\dots,n$): quedan $n$ copias de cada cota, $$a_n:=\frac n{\sqrt{n^2+n}}\le b_n\le\frac n{\sqrt{n^2+1}}=:c_n.$$
- Límite de los «panes». $a_n=\dfrac1{\sqrt{1+1/n}}\to1$ y $c_n=\dfrac1{\sqrt{1+1/n^2}}\to1$.
- Regla del emparedado: $\lim_{n\to\infty} b_n=\boxed1$. Comprobación numérica: $b_{10}\approx0{,}9739$, $b_{100}\approx0{,}99749$, $b_{10^4}\approx0{,}999975$.
Error típico: sumar los límites de los sumandos ($0+0+\dots=0$) y concluir que el límite es 0.
Ejercicio 1.15 — $\sqrt[n]n$ con el criterio de Stolz E pp.18-19
Calcular el límite de $a_n=\sqrt[n]n$.
- Clasificar. $\sqrt[n]n=n^{1/n}$: base $\to+\infty$, exponente $\to0$. Forma $\infty^0$, indeterminada.
- Fórmula (1.1): $n^{1/n}=e^{\frac1n\ln n}$. Si $L=\lim_{n\to\infty}\frac{\ln n}n$, el límite pedido es $e^L$ (continuidad de la exponencial).
- Stolz para $\frac{\ln n}n$ (forma $\frac\infty\infty$), con $a_n=\ln n$, $b_n=n$. Hipótesis: $b_n$ es estrictamente creciente, $b_n\to\infty$ y $b_{n+1}-b_n=1\ne0$ ✓. Cociente de incrementos: $\dfrac{\ln(n+1)-\ln n}{(n+1)-n}=\ln\!\left(1+\tfrac1n\right)\to\ln1=0$ (continuidad del $\ln$). Por Stolz, $\lim_{n\to\infty}\frac{\ln n}n=0$.
- Conclusión: $\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]n=e^0=\boxed1$.
Erratas de E (p. 18): donde dice «$e^a=e^{\ln a^b}=e^{b\ln a}$» debe decir $a^b=e^{\ln a^b}=e^{b\ln a}$ (con $a>0$). Además, la nota al margen enuncia Stolz con $l\in\overline{\mathbb R}$ y U (p. 32) solo con $l\in\mathbb R$; aquí $l=0$, así que no afecta.
Error típico: afirmar «$\infty^0=1$» sin más, o «$n^{1/n}\to n^0=1$» (sustituir solo en el exponente). (S resuelve $\frac{\ln n}n$ con la regla de l'Hôpital, S Ejemplo 6 p. 694, que es del tema 2: aquí solo sirve de contraste.)
Ejercicio 1.16 — Stolz con una suma de $n$ términos E pp.19-20
Calcular, si existe, $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac1{n^2}\left(\frac21+\frac{3^2}2+\frac{4^3}{3^2}+\cdots+\frac{(n+1)^n}{n^{n-1}}\right)$.
- Término $k$-ésimo: $\frac{(k+1)^k}{k^{k-1}}$ (para $k=1,2,3$ da $\frac21,\frac{3^2}2,\frac{4^3}{3^2}$ ✓).
- Como cociente: $s_n=\frac{A_n}{B_n}$ con $A_n=\sum_{k=1}^n\frac{(k+1)^k}{k^{k-1}}$ y $B_n=n^2$. Cada sumando es $\ge1$, luego $A_n\ge n\to\infty$: forma $\frac\infty\infty$. Los sumandos son muy distintos entre sí, así que el emparedado del 1.11 no funciona bien.
- Por qué Stolz: al restar términos consecutivos la suma desaparece: $A_{n+1}-A_n=\dfrac{(n+2)^{n+1}}{(n+1)^n}$. Hipótesis: $B_n=n^2$ es creciente, $B_n\to\infty$ y $B_{n+1}-B_n=2n+1\ne0$ ✓.
- Cociente de Stolz: $\dfrac{A_{n+1}-A_n}{B_{n+1}-B_n}=\dfrac{(n+2)^{n+1}}{(2n+1)(n+1)^n}=\dfrac{n+2}{2n+1}\cdot\left(\dfrac{n+2}{n+1}\right)^{n}$.
- Primer factor: $\frac{n+2}{2n+1}=\frac{1+2/n}{2+1/n}\to\frac12$.
- Segundo factor ($1^\infty$). Con $m=n+1$: $\left(\frac{n+2}{n+1}\right)^n=\left(1+\frac1m\right)^{m-1}=\dfrac{(1+\frac1m)^m}{1+\frac1m}\to\dfrac e1=e$ (Prop. 1.5 con $a_m=m$ y Prop. 1.3).
- Conclusión (Stolz): $\lim_{n\to\infty} s_n=\frac12\cdot e=\boxed{\dfrac e2}\approx1{,}35914$. Comprobación numérica: $s_{100}\approx1{,}35967$, $s_{1000}\approx1{,}359149$.
Sobre el desarrollo de E: usa $\frac{a_n-a_{n-1}}{b_n-b_{n-1}}$ en lugar de $\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}$: es la misma sucesión desplazada un lugar y tiene el mismo límite. Erratas menores: «$n\to++\infty$» (p. 19) y, en la p. 20, «límite de una serie de números racionales»: es una sucesión (contiene una suma finita, no una serie).
Error típico: no comprobar la hipótesis sobre el denominador (monótono y con límite $\pm\infty$, o numerador y denominador con límite 0), o calcular $B_{n+1}-B_n$ como $1$ en lugar de $2n+1$.
Ejemplos propios (de fácil a difícil)
Ejemplos propios A — cocientes («lo que domina») P
- P1 (fácil). $\lim_{n\to\infty}\dfrac{3n^2-n+2}{5n^2+4}$. Dividimos entre $n^2$: $\dfrac{3-\frac1n+\frac2{n^2}}{5+\frac4{n^2}}\to\dfrac35$.
- P2 (media). $\lim_{n\to\infty}\dfrac{\sqrt{9n^2+n}}{2n+1}$. Como $\sqrt{9n^2+n}=n\sqrt{9+1/n}$, dividimos entre $n$: $\dfrac{\sqrt{9+1/n}}{2+1/n}\to\dfrac32$.
- P3 (difícil). $\lim_{n\to\infty}\dfrac{2^n+3^n}{3^{n+1}+1}$. Domina $3^n$: dividimos entre $3^n$: $\dfrac{(2/3)^n+1}{3+(1/3)^n}\to\dfrac{0+1}{3+0}=\dfrac13$, porque $x^\infty=0$ para $x\in(0,1)$ (Def. 1.12).
Ejemplos propios B — conjugado P
- P4 (fácil). $\lim_{n\to\infty}(\sqrt{n^2+n}-n)=\lim_{n\to\infty}\dfrac n{\sqrt{n^2+n}+n}=\lim_{n\to\infty}\dfrac1{\sqrt{1+1/n}+1}=\dfrac12$.
- P5 (media). $\lim_{n\to\infty}\sqrt n\,(\sqrt{n+1}-\sqrt n)=\lim_{n\to\infty}\dfrac{\sqrt n}{\sqrt{n+1}+\sqrt n}=\lim_{n\to\infty}\dfrac1{\sqrt{1+1/n}+1}=\dfrac12$. (Forma $\infty\cdot0$.)
- P6 (difícil). ¿Para qué $c$ es $\lim_{n\to\infty}(\sqrt{n^2+cn}-n)=5$? Con el conjugado queda $\dfrac{cn}{\sqrt{n^2+cn}+n}\to\dfrac c2$, luego $c=10$. Del mismo modo, $\lim_{n\to\infty}(\sqrt{n^2+3n}-\sqrt{n^2-n})=\dfrac{3-(-1)}2=2$.
Ejemplos propios C — emparedado e infinitésimo por acotada P
- P7 (fácil). $\lim_{n\to\infty}\dfrac{\operatorname{sen}n}n=0$: $\frac1n\to0$ y $\operatorname{sen}n$ acotada (Teorema 1.2); o $-\frac1n\le\frac{\operatorname{sen}n}n\le\frac1n$ y emparedado.
- P8 (media). $\lim_{n\to\infty}\displaystyle\sum_{k=1}^n\frac n{n^2+k}=1$. Cada sumando está entre $\frac n{n^2+n}$ y $\frac n{n^2+1}$; multiplicando por $n$ sumandos, $\frac{n^2}{n^2+n}\le b_n\le\frac{n^2}{n^2+1}$, y las dos cotas tienden a 1.
- P9 (difícil). $\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{2^n+3^n}=3$. Se cumple $3^n\le2^n+3^n\le2\cdot3^n$. Como $x\mapsto x^{1/n}$ es creciente, $3\le a_n\le3\cdot2^{1/n}$, y $2^{1/n}=e^{(\ln2)/n}\to e^0=1$ por (1.1). Emparedado: el límite es 3.
Ejemplos propios D — potencias: $1^\infty$ y casos que no son indeterminación P
- P10 (fácil). $\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac2n\right)^n=\lim_{n\to\infty}\Big[\big(1+\frac1{a_n}\big)^{a_n}\Big]^2$ con $a_n=\frac n2$: es $e^2$ (como el Ejemplo 1.29).
- P11 (media). $\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n+3}{n-1}\right)^{2n}$. Como $\frac{n+3}{n-1}=1+\frac4{n-1}$, la receta da $2n\cdot\frac4{n-1}\to8$: el límite es $e^8$.
- P12 (media). $\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n^2+1}{n^2-n}\right)^n$. Aquí $x_n-1=\frac{n+1}{n^2-n}$ y $n(x_n-1)=\frac{n^2+n}{n^2-n}\to1$: el límite es $e$.
- P13 (trampa). $\lim_{n\to\infty}\left(\frac{2n+1}{n+3}\right)^n=+\infty$: la base tiende a $2>1$, no es $1^\infty$, y $x^\infty=\infty$ para $x>1$. En cambio $\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n+1}{3n}\right)^{\sqrt n}=0$, porque la base tiende a $\frac13\in(0,1)$.
Ejemplos propios E — criterio de Stolz P
- P14 (fácil). $\lim_{n\to\infty}\dfrac{1^2+2^2+\cdots+n^2}{n^3}$. Stolz con $b_n=n^3$: $\dfrac{(n+1)^2}{(n+1)^3-n^3}=\dfrac{(n+1)^2}{3n^2+3n+1}\to\dfrac13$. Igual, $\dfrac{1+2+\cdots+n}{n^2}\to\dfrac12$.
- P15 (difícil). $\lim_{n\to\infty}\dfrac{\ln n}{\sqrt n}=0$. Stolz con $b_n=\sqrt n$ (creciente, $\to\infty$): $$\frac{\ln(n+1)-\ln n}{\sqrt{n+1}-\sqrt n}=\ln\!\left(1+\tfrac1n\right)(\sqrt{n+1}+\sqrt n)=\underbrace{n\ln\!\left(1+\tfrac1n\right)}_{=\ln(1+1/n)^n\to\ln e=1}\cdot\underbrace{\frac{\sqrt{n+1}+\sqrt n}n}_{\to0}\to0.$$
- P16 (difícil). $\lim_{n\to\infty}\dfrac{1+\sqrt2+\sqrt[3]3+\cdots+\sqrt[n]n}n=1$. Stolz con $b_n=n$: el cociente de incrementos es $\sqrt[n+1]{n+1}\to1$ (Ejercicio 1.15).
14Así lo preguntan en el examen X pp.4-150
Estos son los tipos reales de problema que caen sobre sucesiones en los exámenes resueltos (fuente X, Exámenes resueltos de Cálculo; la página citada es la del PDF). Casi todos son «preguntas cortas» de 1 punto: la dificultad no está en la teoría, sino en reconocer el tipo y aplicar la receta correcta sin perder tiempo. Se ordenan de fácil a difícil, y todos se resuelven con lo que has visto en este tema.
Examen 1 — Teoría: convergente, acotada, monótona (test) X p.119
Una sucesión de números reales puede ser a la vez: A) convergente y no acotada; B) no convergente y acotada; C) estrictamente creciente y estrictamente decreciente; D) ninguna de las anteriores.
Hay que decidir cuál de las opciones puede pasar. Las imposibles chocan con un teorema; la posible se demuestra con un ejemplo sencillo.
- A es imposible. Una sucesión que converge se acerca a un número y no puede escaparse hacia el infinito: convergente $\Rightarrow$ acotada (U Prop. 1.1, p. 24).
- B es posible. $a_n=(-1)^n$ vale $-1,1,-1,1,\dots$: nunca pasa de $1$ en valor absoluto (acotada) y no se decide por ningún límite (no converge) (U p. 24).
- C es imposible. «Estrictamente creciente» pide $a_{n+1}>a_n$ y «estrictamente decreciente» pide $a_{n+1}<a_n$ (U Def. 1.13, p. 31): se contradicen.
- D es falsa porque B es cierta.
Lo que escribes en el examen: «A) falsa: toda convergente está acotada. C) falsa: $a_{n+1}>a_n$ y $a_{n+1}<a_n$ son incompatibles. B) cierta: $(-1)^n$. Respuesta: B.»
Solo dice «La opción cierta es B» y remite a otro libro que no es del curso; la justificación de arriba es propia.
Examen 2 — Cociente $\frac\infty\infty$ con raíces X p.4
Calcular $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n^2+1}-\sqrt{9n^2+2}}{3n-2+\sqrt{4n^2-3}}$.
Para $n$ enorme, cada raíz «vale casi» un múltiplo de $n$: $\sqrt{n^2+1}\approx n$, $\sqrt{9n^2+2}\approx3n$, $\sqrt{4n^2-3}\approx2n$. Se divide todo entre $n$ y lo que sobra tiende a 0.
- Dividir arriba y abajo entre $n$, metiendo $n$ dentro de cada raíz como $n=\sqrt{n^2}$: $$\frac{\sqrt{1+\frac1{n^2}}-\sqrt{9+\frac2{n^2}}}{3-\frac2n+\sqrt{4-\frac3{n^2}}}.$$
- Pasar al límite. Los términos $\frac1{n^2},\frac2n,\frac3{n^2}$ tienden a 0 y las raíces conservan el límite (U p. 29; álgebra de límites, U pp. 26-27): $$\frac{1-3}{3+2}=\boxed{-\tfrac25}.$$
Lo que escribes en el examen: los dos pasos anteriores, tal cual.
Examen 3 — $\infty-\infty$ con raíces: el conjugado X p.19
Calcular $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\sqrt{n^2-2n}-\sqrt{n^2+4}\right)$.
Restar dos raíces casi iguales no se puede hacer «a ojo»: se multiplica y divide por la suma de las mismas raíces (el conjugado) para que la resta desaparezca.
- Reconocer el tipo. Las dos raíces tienden a $+\infty$: es $\infty-\infty$ (U p. 29).
- Multiplicar y dividir por el conjugado $\sqrt{n^2-2n}+\sqrt{n^2+4}$, usando $(A-B)(A+B)=A^2-B^2$ (U Ej. 1.25, p. 30): $$\frac{(n^2-2n)-(n^2+4)}{\sqrt{n^2-2n}+\sqrt{n^2+4}}=\frac{-2n-4}{\sqrt{n^2-2n}+\sqrt{n^2+4}}.$$
- Dividir arriba y abajo entre $n$ (como en el Examen 2): $$\frac{-2-\frac4n}{\sqrt{1-\frac2n}+\sqrt{1+\frac4{n^2}}}\longrightarrow\frac{-2}{1+1}=\boxed{-1}.$$
Lo que escribes en el examen: los pasos 2 y 3.
Examen 4 — Acotada por algo que tiende a 0 X p.115
Señalar el valor de $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\cos^2\!\left(\dfrac{\exp\dfrac{n^2}{\sqrt[n]{(n+1)!}}}{\ln|n|}\right)}{n}$: A) $\infty$; B) $0$; C) $1$; D) ninguno de los anteriores.
El coseno al cuadrado, lleve dentro lo que lleve, es un número entre 0 y 1. Dividirlo entre $n$ lo aplasta hacia 0. No hay que calcular nada de lo de dentro.
- Acotar. Sea $b_n=\cos^2(\cdots)$. Como $-1\le\cos t\le1$, $0\le b_n\le1$.
- Emparedar. Entonces $0\le\dfrac{b_n}{n}\le\dfrac1n$ y ambos extremos tienden a 0, luego el límite es 0 (U Teorema 1.2, p. 25; o «acotada por infinitésimo», U Prop. 1.2, p. 26). Respuesta: B) 0.
Lo que escribes en el examen: $0\le\frac{\cos^2(\cdots)}{n}\le\frac1n\to0$, luego el límite es 0.
La solución impresa es correcta pero escueta. (El argumento solo está definido para $n\ge2$; no afecta al límite.)
Examen 5 — Indeterminación $1^\infty$ (y su contraste: base que no tiende a 1) X p.40, p.13
Sea $a_n=\left(\dfrac{n^2+n+1}{n^2-n-1}\right)^{\frac{n^2}{n+2}}$. ¿Cuánto vale $\lim_{n\to\infty} a_n$? Justifique la respuesta.
Base $\to1$ elevada a exponente $\to\infty$: el resultado es $e$ elevado a «(exponente)·(base $-\,1$)». Solo hay que calcular ese producto.
- Reconocer el tipo. La base $x_n=\frac{n^2+n+1}{n^2-n-1}\to1$ y el exponente $y_n=\frac{n^2}{n+2}\to+\infty$: es $1^\infty$ (U Prop. 1.5, p. 31).
- Calcular el producto $y_n(x_n-1)$. Como $x_n-1=\frac{2n+1}{n^2-n-1}$: $$y_n(x_n-1)=\frac{n^2(2n+1)}{(n+2)(n^2-n-1)}=\frac{2n^3+n^2}{n^3+n^2-3n-2}\to2,$$ porque numerador y denominador tienen el mismo grado y se divide entre $n^3$.
- Aplicar la fórmula $\lim_{n\to\infty} x_n^{y_n}=e^{\lim_{n\to\infty} y_n(x_n-1)}$ (U p. 29 y p. 31): $\boxed{e^{2}}$.
Lo que escribes en el examen: «Forma $1^\infty$; $\lim_{n\to\infty} y_n(x_n-1)=2$; luego el límite es $e^2$.»
Contraste: cuando NO es $1^\infty$ (Febrero 2011, X p.13). Calcular $\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n^2+2n}{16n^2+4n-7}\right)^{n}$. La base tiende a $\frac1{16}\ne1$: no hay indeterminación. Para $n$ grande la base es positiva y menor que $\frac12$, luego $0<a_n\le(\tfrac12)^n\to0$. El límite es 0 (es $r^n$ con $|r|<1$).
- X p.40 es correcta pero no justifica el paso al límite del corchete y el exponente (Prop. 1.5 + (1.1)), ni comprueba que $x_n-1$ tenga signo constante. Además $a_1=(-3)^{1/3}$ no está definida como potencia real: es irrelevante, pero di «para $n\ge2$».
- X p.13: la vía alternativa escribe «$\ln l=n\ln\lim_{n\to\infty}(\dots)$», con la $n$ fuera del límite, lo que no tiene sentido. Lo correcto es $\ln l=\lim_{n\to\infty}\big(n\ln x_n\big)=-\infty$, luego $l=0$.
Examen 6 — Límite con parámetro: $(\cos a)^n$ X p.150
Calcular, en función de $a\in\mathbb R$, el límite $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}(\cos a)^n$.
Para cada $a$ fijo, $\cos a$ es un número fijo $r$ entre $-1$ y $1$, y $(\cos a)^n=r^n$ es una sucesión geométrica que ya conoces. Solo hay que separar los casos.
- Casos de $r^n$. Si $|r|<1$, $r^n\to0$ (p. ej. $0{,}5^n=0{,}5;\,0{,}25;\,0{,}125;\dots$). Si $r=1$, todos los términos valen $1$. Si $r=-1$, vale $-1,1,-1,\dots$ y no converge.
- Traducir a $a$. $\cos a=1$ cuando $a=2k\pi$: el límite es 1. $\cos a=-1$ cuando $a=(2k+1)\pi$: el límite no existe. Para cualquier otro $a$, $|\cos a|<1$ y el límite es 0.
Lo que escribes en el examen: los tres casos del paso 2, con $k\in\mathbb Z$.
La solución impresa es correcta y completa.
- Criterio de Stolz (cocientes con una suma de $n$ términos, $\frac{\ln n}n$, $\sqrt[n]n$): ningún examen de X lo pide, pero está en E (Ejercicios 1.15-1.16).
- Demostración con la definición $\varepsilon$–$N$ de que $\lim_{n\to\infty} a_n=l$ (Ejercicio 1.6 de E, U Ej. 1.17).
- Sucesiones monótonas y acotadas, o definidas por recurrencia (Teorema 1.3 de U): no aparecen como problema en el índice de X.
- Emparedado con una suma de $n$ términos (Ejercicio 1.11 de E): X solo trae el caso «acotada por infinitésimo» (Examen 4).
15Chuleta y lista de comprobación
| Concepto | Qué recordar |
|---|---|
| Sucesión | $a:\mathbb N\to\mathbb R$, término general $a_n$, notación $\{a_n\}$; puede ser recursiva. |
| Límite (Def. 1.10) | $\lim_{n\to\infty} a_n=l\iff\forall\varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb N:\ |a_n-l|\le\varepsilon\ \ \forall n\ge N$. El límite, si existe, es único. Solo importa el final. |
| Divergente | No convergente: límite $\pm\infty$ u oscilación ($(-1)^n$). |
| Acotada / convergente | Convergente $\Rightarrow$ acotada (no al revés). No acotada $\Rightarrow$ no converge. |
| Emparedado | $a_n\le b_n\le c_n$ (desde cierto $n$) y $a_n,c_n\to l\Rightarrow b_n\to l$. |
| Teorema 1.2 | $a_n\to0$ y $b_n$ acotada $\Rightarrow a_nb_n\to0$. |
| Valor absoluto | $a_n\to l\Rightarrow|a_n|\to|l|$; recíproco solo si $l=0$. |
| Álgebra (Prop. 1.3) | Suma, producto, cociente ($b_n\ne0$, $\lim_{n\to\infty} b_n\ne0$) si los límites existen. No vale con un número creciente de sumandos. |
| $\overline{\mathbb R}$ (Def. 1.12) | $\frac x\infty=0$; $x\cdot\infty=\pm\infty$ según el signo de $x\ne0$; $x^\infty=0$ si $0<x<1$, $=\infty$ si $x>1$; $\infty^x=\infty$ si $x>0$, $=0$ si $x<0$. |
| Indeterminaciones | $\frac00$, $\infty-\infty$, $\pm\infty\cdot0$, $\frac{\pm\infty}{\pm\infty}$, $0^0$, $1^{\pm\infty}$, $\infty^0$. |
| Conjugado | $\infty-\infty$ con raíces: multiplicar y dividir por $a_n+b_n$. |
| Fórmula (1.1) | $a_n>0$: $\lim_{n\to\infty} a_n^{b_n}=e^{\lim_{n\to\infty} b_n\ln a_n}$. |
| Monótona (Teo. 1.3) | Monótona: convergente $\iff$ acotada. Monótona no acotada $\to\pm\infty$. |
| Número $e$ (Prop. 1.5) | $a_n\to\pm\infty\Rightarrow(1+\frac1{a_n})^{a_n}\to e$. Si $x_n\to1$ ($x_n\ne1$, $x_n-1$ de signo constante), $y_n\to\pm\infty$: $x_n^{y_n}\to e^{\lim_{n\to\infty} y_n(x_n-1)}$ (si ese límite es $\pm\infty$, da $e^{\pm\infty}$). |
| Stolz | $\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=l\in\mathbb R$ y $b_n$ monótona ($b_{n+1}\ne b_n$) con $b_n\to\pm\infty$ (o $a_n,b_n\to0$) $\Rightarrow\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=l$. |
- Tratar $\infty$ como un número: $\infty-\infty=0$, $\frac\infty\infty=1$, $1^\infty=1$, $\infty^0=1$.
- Aplicar la Prop. 1.3 sin que existan los límites, o con un número de sumandos que crece con $n$.
- Escribir $\sqrt{a+b}=\sqrt a+\sqrt b$, $e^{a+b}=e^a+e^b$, $\sqrt{16n^4-4}=4n^2-2$.
- Aplicar el número $e$ a algo que no es $1^\infty$; o cambiar solo la base o solo el exponente.
- Creer que acotada implica convergente, o que monótona implica convergente.
- Usar Stolz sin comprobar que $b_n$ es monótona y tiende a $\pm\infty$; o sin que exista el límite del cociente de incrementos.
- En la definición: fijar $N$ antes que $\varepsilon$.
Lista de comprobación: «sé hacer…»
- Enunciar la definición $\varepsilon$–$N$ de límite y demostrar $\lim_{n\to\infty}\frac1n=0$ o $\lim_{n\to\infty}\frac n{n+1}=1$ con ella.
- Explicar por qué el límite es único y por qué convergente implica acotada (y por qué el recíproco falla).
- Decir si una sucesión converge, diverge a $\pm\infty$ u oscila, y demostrar que $(-1)^n$ no converge.
- Calcular límites de cocientes de polinomios, exponenciales y raíces dividiendo entre lo que domina.
- Resolver $\infty-\infty$ con el conjugado (incluso con parámetros).
- Reconocer las siete indeterminaciones y usar la fórmula (1.1) para las potencias.
- Resolver $1^\infty$ con el número $e$ y saber cuándo una potencia no es indeterminada.
- Acotar una suma de $n$ términos y aplicar el emparedado.
- Aplicar el criterio de Stolz comprobando sus hipótesis.
- Probar que una sucesión monótona converge viendo que está acotada, y calcular su límite con la recurrencia.
16Fuentes de este tema
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Lista automática de todas las etiquetas usadas (libro y página impresa). U = Cálculo para Ingenieros (pág. impresa = PDF + 2; §1.2 ocupa las pp. 22-33), E = libro de ejercicios, X = Exámenes resueltos de Cálculo (página del PDF), S = Stewart §11.1 (pp. 690-699), L = Larson §9.1 (pp. 584-591; impresa = PDF − 17), P = explicación propia (definición de divergente, pruebas completadas, recetas, ejemplos propios y precisiones sobre Stolz, que ni S ni L tratan).