Funciones de varias variables

La ley de los gases ideales es $PV=nRT$, con $n$ moles y $R=0{,}082$ atm·l/(K·mol). La presión (atm) como función de $T$ (K) y $V$ (l), $V>0$, es $P(T,V)=\dfrac{nRT}{V}$. ¿Cuál es el valor de $P(273,2)$ si $n=0{,}1$ y qué significa?

1. Sustituir $n=0{,}1$, $R=0{,}082$, $T=273$, $V=2$: $P(273,2)=\dfrac{0{,}1\cdot0{,}082\cdot273}{2}=\dfrac{2{,}2386}{2}=1{,}1193$ atm.
2. Significado: es la presión que ejercen $0{,}1$ moles de gas ideal encerrados en $2$ litros a $273$ K (aprox. $0$ °C).

Con los datos de 4.9: 1) Reformular y contestar «¿para qué valor de $T$ se cumple $P(T,2)=1$?». 2) ¿Qué significa la función $P(T,2)$? Descríbela. 3) ¿Qué significa $P(273,V)$? Descríbela. 4) Representar la curva de nivel $P(T,V)=1$ y decir qué verifican sus elementos.

1. Apartado 1. «¿A qué temperatura $0{,}1$ moles ocupan $2$ litros a $1$ atm?». Es una ecuación con una incógnita: $\dfrac{0{,}1\cdot0{,}082\,T}{2}=1\iff T=\dfrac2{0{,}0082}\approx243{,}9$ K.
2. Apartado 2. Con $V=2$: $P(T,2)=0{,}0041\,T$, una recta por el origen: a volumen fijo, la presión es proporcional a la temperatura.
3. Apartado 3. Con $T=273$: $P(273,V)=\dfrac{2{,}2386}{V}$, $V>0$: una hipérbola decreciente. Tiende a $0$ cuando $V\to+\infty$ y a $+\infty$ cuando $V\to0^+$ (más volumen, menos presión).
4. Apartado 4. Curva de nivel $1$: $\dfrac{0{,}0082\,T}{V}=1\iff V=0{,}0082\,T$, con $T,V>0$: una semirrecta (sin el origen). Cada punto $(T,V)$ de ella es una pareja (temperatura, volumen) con presión exactamente $1$ atm. Comprobación: $(243{,}9;\,2)$ está en ella, coherente con el apartado 1.

La gráfica de $f:D\subset\mathbb R^2\to\mathbb R$ es: a) un conjunto de $\mathbb R$; b) un conjunto de $\mathbb R^2$; c) un conjunto de $\mathbb R^3$; d) ninguna de las anteriores.

1. Definición (U p.155): gráfica $=\{(x,y,z):(x,y)\in D,\ z=f(x,y)\}$.
2. Contar coordenadas: cada elemento es una terna $(x,y,z)$, un punto de $\mathbb R^3$.

Respuesta: c). (En una variable la gráfica de $y=f(x)$ es un conjunto de pares $(x,f(x))$, de $\mathbb R^2$.)

¿Puede tener la gráfica de una función $f:D\subset\mathbb R^2\to\mathbb R$ forma de balón?

1. Qué exige la Def. 4.3: a cada $(x,y)\in D$ le corresponde un único $f(x,y)$.
2. Una esfera $x^2+y^2+z^2=1$: sobre $(0,0)$ están $(0,0,1)$ y $(0,0,-1)$, que pedirían $f(0,0)=1$ y $f(0,0)=-1$ a la vez. Imposible.
3. Prueba de la recta vertical en $\mathbb R^3$: toda recta vertical corta a la gráfica como mucho una vez. Es lo mismo que en una variable impide que una circunferencia sea la gráfica de $y=f(x)$.

Respuesta: no. Sí puede serlo la mitad superior, $z=\sqrt{1-x^2-y^2}$ en el disco $x^2+y^2\le1$.

Sea $f(x,y)=\sqrt{x^2-y^3}$. ¿Cuál es su dominio? Dar su expresión analítica y representarlo.

1. Condición (U p.153): $x^2-y^3\ge0\iff y^3\le x^2$.
2. Despejar $y$. La raíz cúbica está definida para todo número (también negativos) y es estrictamente creciente, así que conserva las desigualdades: $y^3\le x^2\iff y\le\sqrt[3]{x^2}=x^{2/3}$.
3. Dominio: $D=\{(x,y)\in\mathbb R^2:y\le x^{2/3}\}$: los puntos sobre o debajo de la curva $y=x^{2/3}$ (con un «pico» en el origen y simétrica respecto del eje $y$). Todo el semiplano $y\le0$ está dentro.
4. Comprobación: $(1,1)$: $1-1=0\ge0$, está en $D$ (sobre la curva) y $f(1,1)=0$. $(8,4)$: $64-64=0$, también. $(0,1)$: $0-1<0$, no está.

Sea $f(x,y)=\sqrt{\ln(xy)}$. ¿Cuál es su dominio?

1. Logaritmo: $xy>0$ (mismo signo y ninguno nulo: cuadrantes I y III sin los ejes).
2. Raíz: $\ln(xy)\ge0\iff xy\ge e^0=1$ (porque $\ln$ es creciente y $\ln1=0$). Esto ya implica $xy>0$.
3. Caso $x>0$ (entonces $y>0$): dividir por $x>0$ no cambia el sentido: $y\ge\dfrac1x$ (por encima de la rama del primer cuadrante, incluida).
4. Caso $x<0$ (entonces $y<0$): dividir por $x<0$ sí cambia el sentido: $y\le\dfrac1x$ (por debajo de la rama del tercer cuadrante, incluida).
5. Dominio: $D=\{x>0,\ y\ge\tfrac1x\}\cup\{x<0,\ y\le\tfrac1x\}=\{(x,y):xy\ge1\}$.
6. Comprobación: $(2,1)$: $2\ge1$ ✓. $(-1,-3)$: $3\ge1$ ✓. $(1,\tfrac12)$: $\tfrac12<1$ ✗ (su $\ln$ es negativo).

Determina el dominio y la imagen de $f(x,y,z)=\cos(xz+\ln y)$.

1. Dominio: $\cos$ y $xz$ están definidos siempre; $\ln y$ exige $y>0$. $D=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3:y>0\}$ (un semiespacio).
2. Imagen, cota: $-1\le\cos u\le1$, luego $f(D)\subset[-1,1]$.
3. Imagen, se alcanza todo: con puntos $(x,1,1)\in D$ queda $f(x,1,1)=\cos(x+0)=\cos x$, que, para $x\in[0,\pi]$, toma todos los valores entre $1$ y $-1$ (es continua: valores intermedios). Así $[-1,1]\subset f(D)$.
4. Resultado: $D=\{y>0\}$, imagen $[-1,1]$.

En la figura se representan 6 curvas de nivel $\{f=k\}$, $k=1,\dots,6$, de una función $f$. Estima si $f$ crece, decrece o se mantiene prácticamente sin cambios en: 1. punto $(0,2)$, dirección $\mathbf j=(0,1)$; 2. punto $(4,0)$, dirección $\mathbf j$; 3. punto $(4,-1)$, dirección $-\mathbf i$; 4. punto $(4,-1)$, dirección $\mathbf i-2\mathbf j$.

1. Leer la figura. Las curvas son elipses aproximadamente centradas en $(0,0)$, con etiquetas $1,\dots,6$ crecientes hacia fuera. Según E (p.148), $(0,2)$ está sobre la curva $4$ y $(4,-1)$ sobre la $5$.
2. $(0,2)$, dirección $(0,1)$: es el punto más alto de su elipse; al subir verticalmente se cruzan la $5$ y la $6$: crece.
3. $(4,0)$, dirección $(0,1)$: está en el extremo derecho de una elipse, donde la tangente es vertical. Moverse en vertical es moverse tangente a la curva de nivel: prácticamente sin cambios (de primer orden).
4. $(4,-1)$, dirección $-\mathbf i=(-1,0)$: estamos sobre la $5$ y hacia la izquierda se entra en la $4$: decrece.
5. $(4,-1)$, dirección $\mathbf i-2\mathbf j=(1,-2)$: a la derecha y abajo se sale de la elipse hacia la $6$: crece.

Respuestas: crece, se mantiene, decrece, crece (coinciden con E).

Sea $f(x,y)=x^2-\dfrac{y^2}3+8$. Determina las curvas de nivel. ¿Qué tipo de curvas son?

1. Ecuación: $x^2-\dfrac{y^2}3=C'$, con $C'=C-8$.
2. $C'>0$ ($C>8$): dividiendo por $C'$, $\dfrac{x^2}{C'}-\dfrac{y^2}{3C'}=1$: hipérbola que corta al eje $x$ en $(\pm\sqrt{C'},0)$ y se abre a izquierda y derecha.
3. $C'<0$ ($C<8$): $\dfrac{y^2}{3|C'|}-\dfrac{x^2}{|C'|}=1$: hipérbola que corta al eje $y$ en $(0,\pm\sqrt{3|C'|})$ y se abre arriba y abajo.
4. $C'=0$ ($C=8$): $x^2=\dfrac{y^2}3\iff y=\pm\sqrt3\,x$: dos rectas que se cortan en el origen (las asíntotas de todas las hipérbolas). Contienen al punto $(0,0)$, donde $f=8$.

Determina las curvas de nivel de $f(x,y)=x^2-y$. ¿Qué tipo de curvas son?

1. Curva de nivel $C$: $x^2-y=C$, $C\in\mathbb R$.
2. Despejar: $y=x^2-C$: la parábola $y=x^2$ trasladada verticalmente (vértice $(0,-C)$).
3. Todas son parábolas (no hay casos especiales). Imagen de $f$: $\mathbb R$ (por ejemplo $f(0,y)=-y$).

Estudia si existe $\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2+y^3}{x^2+y^2}$.

1. Sustituir: $\tfrac00$, indeterminado. Hay que estudiar caminos.
2. Reiterado «primero $y$»: con $x\ne0$ fijo, $\lim_{y\to0}\dfrac{x^2+y^3}{x^2+y^2}=\dfrac{x^2}{x^2}=1$; luego $\lim_{x\to0}1=1$.
3. Reiterado «primero $x$»: con $y\ne0$ fijo, $\lim_{x\to0}\dfrac{x^2+y^3}{x^2+y^2}=\dfrac{y^3}{y^2}=y$; luego $\lim_{y\to0}y=0$.
4. Conclusión: $1\ne0$; por la condición necesaria (U p.161) el límite no existe.
5. Alternativa con rectas (si los reiterados coincidieran): $y=mx$ da $\dfrac{1+m^3x}{1+m^2}\to\dfrac1{1+m^2}$, que depende de $m$.

E resuelve igual (correcto). Es exactamente la pregunta X p.4 (feb. 2010).

Razona si es cierto que cualquier $f:D\subset\mathbb R^2\to\mathbb R$ tiene límite en $(x_0,y_0)$ si los reiterados existen y coinciden: $\lim_{y\to y_0}\big(\lim_{x\to x_0}f\big)=\lim_{x\to x_0}\big(\lim_{y\to y_0}f\big)$.

1. Qué dice la teoría (U p.161): si el límite existe, los reiterados (si existen) coinciden con él. Es una condición necesaria, no suficiente.
2. Contraejemplo: $f(x,y)=\dfrac{xy}{x^2+y^2}$ en $(0,0)$. Reiterado 1: con $y\ne0$ fijo, $\lim_{x\to0}\frac{xy}{x^2+y^2}=0$; luego $0$. Reiterado 2: por simetría, $0$. Camino $y=x$: $f(x,x)=\frac{x^2}{2x^2}=\frac12\to\frac12\ne0$.
3. Dos caminos con límites distintos: no existe el límite aunque los reiterados coinciden.

Respuesta: falso.

Para $f(x,y)=y\operatorname{sen}(x^2+1)$, $g(x,y)=\dfrac{\ln(3+x^2y^2)}{3+x^2+y^4}$, $h(x,y)=\sqrt{x^2y}$, determina su dominio y estudia cuáles son continuas.

1. $f$: $y$, $x^2+1$ y $\operatorname{sen}$ están definidos siempre: dominio $\mathbb R^2$. Composición y producto de continuas: continua en $\mathbb R^2$.
2. $g$, dominio: $3+x^2y^2\ge3>0$ (el logaritmo existe) y $3+x^2+y^4\ge3>0$ (el denominador no se anula): dominio $\mathbb R^2$. Cociente de continuas con denominador $\ne0$: continua en $\mathbb R^2$.
3. $h$, dominio: raíz $\Rightarrow x^2y\ge0$. Como $x^2\ge0$: si $x\ne0$, la condición es $y\ge0$; si $x=0$, $x^2y=0\ge0$ para cualquier $y$. Así $D_h=\{y\ge0\}\cup\{(0,y):y\in\mathbb R\}$: el semiplano superior más el eje $y$ entero. Por ejemplo $(0,-5)\in D_h$ y $h(0,-5)=0$.
4. $h$, continuidad: composición de un polinomio con $\sqrt{\cdot}$, continua en $[0,\infty)$: continua en todo $D_h$. (En los puntos $(0,y)$, $y<0$, los únicos puntos del dominio cercanos están en el eje $y$, donde $h=0$; la Def. 4.4 solo mira puntos del dominio.)

Sea $f(x,y)=(x^2+y^2)\operatorname{sen}\dfrac1{x^2+y^2}$ si $(x,y)\ne(0,0)$, $f(0,0)=0$. Estudia su continuidad.

1. Fuera del origen: composición, cociente (denominador $\ne0$) y producto de continuas. Continua en $\mathbb R^2\setminus\{(0,0)\}$.
2. En el origen hay que ver si $\lim_{(x,y)\to(0,0)}f=0=f(0,0)$. Sustituir da «$0\cdot\operatorname{sen}(\infty)$», sin sentido: hay que acotar.
3. Polares (U p.165): $x^2+y^2=\rho^2$, así que $F(\rho,\theta)=\rho^2\operatorname{sen}\dfrac1{\rho^2}$ (ni siquiera depende de $\theta$).
4. Acotar: $|F-0|=\rho^2\left|\operatorname{sen}\dfrac1{\rho^2}\right|\le\rho^2=:h(\rho)\to0$. Por el caso 2 de U p.165, $\lim_{(x,y)\to(0,0)}f=0$.
5. Sin polares: $\lim_{(x,y)\to(0,0)}(x^2+y^2)=0$ y el seno está acotado por $1$; «infinitésimo por acotada» (U p.165).
6. Conclusión: el límite vale $0=f(0,0)$: $f$ es continua en todo $\mathbb R^2$.

E resuelve igual (correcto).

Sea $f(x,y)=\dfrac{y^2}x$ si $x\ne0$, $f(x,y)=0$ si $x=0$. Estudia su continuidad en el origen.

1. Qué hay que ver: continua en $(0,0)\iff \lim_{(x,y)\to(0,0)}f=f(0,0)=0$.
2. Rectas $y=mx$: $f(x,mx)=\dfrac{m^2x^2}x=m^2x\to0$ para todo $m$. Eje $y$ ($x=0$): $f(0,y)=0\to0$.
3. Todas las rectas dan $0$, pero eso no prueba nada. Busquemos una curva que haga $y^2$ y $x$ «del mismo tamaño»: $x=y^2$. Entonces $f(y^2,y)=\dfrac{y^2}{y^2}=1\to1$.
4. Conclusión: por $x=y^2$ el límite es $1\ne0=f(0,0)$: $f$ no es continua en $(0,0)$ (y el límite ni existe).
5. Más aún: por $x=y^2/k$ ($k\ne0$) sale $f=k$: acercándose por parábolas se consigue cualquier valor.

E resuelve igual (correcto).

Sea $f(x,y)=\dfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2}$ si $(x,y)\ne(0,0)$, $f(0,0)=0$. ¿Es continua?

1. En $(x,y)\ne(0,0)$: cociente de polinomios con denominador $x^2+y^2\ne0$: continua (U p.166).
2. Eje $y$ ($x=0$, $y\ne0$): $f(0,y)=\dfrac{-y^2}{y^2}=-1\to-1$.
3. Eje $x$ ($y=0$, $x\ne0$): $f(x,0)=\dfrac{x^2}{x^2}=1\to1$.
4. Conclusión: dos caminos con límites distintos: no existe $\lim_{(x,y)\to(0,0)}f$, luego $f$ no es continua en $(0,0)$. Es continua en $\mathbb R^2\setminus\{(0,0)\}$.
5. En polares: $F=\cos^2\theta-\operatorname{sen}^2\theta=\cos2\theta$ depende de $\theta$ (caso 1 de U p.165).

Halla y dibuja el dominio de $f(x,y)=\sqrt{y-x^2}+\ln(4-x^2-y^2)$. Variante: ¿qué cambia si es $g(x,y)=\dfrac{\sqrt{y-x^2}}{\ln(4-x^2-y^2)}$?

1. Raíz: $y-x^2\ge0\iff y\ge x^2$: sobre o por encima de la parábola (con la parábola).
2. Logaritmo: $4-x^2-y^2>0\iff x^2+y^2<4$: disco abierto de radio $2$ (sin la circunferencia).
3. Dominio de $f$: $\{y\ge x^2,\ x^2+y^2<4\}$: una «gota» limitada abajo por la parábola (incluida) y arriba por la circunferencia (excluida). Se cortan en $y+y^2=4$, $y=\frac{-1+\sqrt{17}}2\approx1{,}56$, $x\approx\pm1{,}25$; esos dos puntos no están en $D_f$.
4. Comprobación: $(0,1)$ ✓; $(1{,}5;\,1{,}5)$: $1{,}5-2{,}25<0$ ✗; $(0,2)$: $\ln0$ ✗.
5. Variante $g$: además $\ln(4-x^2-y^2)\ne0\iff x^2+y^2\ne3$: hay que quitar el arco de la circunferencia de radio $\sqrt3$ que queda dentro de la región (por ejemplo, el punto $(0,\sqrt3)$).

Describe las curvas de nivel de (a) $f(x,y)=x^2+4y^2$ y (b) $g(x,y)=xy$, e indica la imagen de cada función.

1. (a) Nivel $k$: $x^2+4y^2=k$. Si $k<0$: vacía. Si $k=0$: solo $(0,0)$. Si $k>0$: $\dfrac{x^2}k+\dfrac{y^2}{k/4}=1$, elipse de semiejes $\sqrt k$ (en $x$) y $\frac{\sqrt k}2$ (en $y$); por ejemplo, $k=4$ pasa por $(\pm2,0)$ y $(0,\pm1)$. Imagen: $[0,\infty)$.
2. (b) Nivel $k$: $xy=k$. Si $k\ne0$: $y=k/x$, hipérbola (cuadrantes I y III si $k>0$; II y IV si $k<0$). Si $k=0$: $x=0$ o $y=0$, los dos ejes. Imagen: $\mathbb R$ ($g(x,1)=x$).
3. Lectura: en (a), como en E 4.16, las elipses crecen hacia fuera. En (b) el signo de $g$ cambia al cruzar los ejes (silla de montar).

Estudia $\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy^2}{x^2+y^4}$.

1. Sustituir: $\tfrac00$.
2. Reiterados: con $y\ne0$ fijo, $\lim_{x\to0}\frac{xy^2}{x^2+y^4}=\frac0{y^4}=0$; con $x\ne0$ fijo, $\lim_{y\to0}=\frac0{x^2}=0$. Ambos $0$.
3. Rectas $y=mx$: $\dfrac{m^2x^3}{x^2+m^4x^4}=\dfrac{m^2x}{1+m^4x^2}\to0$. Todas $0$; aún no se sabe nada.
4. Curva que iguala grados: en el denominador compiten $x^2$ e $y^4$; con $x=y^2$ valen lo mismo: $f(y^2,y)=\dfrac{y^4}{y^4+y^4}=\dfrac12$. Con $x=-y^2$ sale $-\frac12$.
5. Conclusión: $\frac12\ne0$: no existe.
6. Trampa de las polares: $F(\rho,\theta)=\dfrac{\rho\cos\theta\operatorname{sen}^2\theta}{\cos^2\theta+\rho^2\operatorname{sen}^4\theta}$. Para cada $\theta$ fijo con $\cos\theta\ne0$, $F\to0$ (el denominador tiende a $\cos^2\theta\ne0$); si $\cos\theta=0$, $F=0$. ¡Todos los rayos dan $0$! Pero no hay cota $|F|\le h(\rho)$ sin $\theta$: cuando $\cos\theta$ es muy pequeño, el denominador también. Es el caso 3 de U p.165 (no se concluye).

Sea $f(x,y)=\dfrac{(x-1)\,y^2}{(x-1)^2+y^2}$ si $(x,y)\ne(1,0)$, $f(1,0)=c$. ¿Para qué valor de $c$ es $f$ continua en $\mathbb R^2$?

1. Fuera de $(1,0)$: cociente de polinomios con denominador $(x-1)^2+y^2\ne0$: continua.
2. Caminos (para intuir): recta $x=1$: $f=0$; rectas $y=m(x-1)$: $\dfrac{m^2(x-1)}{1+m^2}\to0$. Candidato $l=0$.
3. Probarlo con polares centradas en $(1,0)$: $x=1+\rho\cos\theta$, $y=\rho\operatorname{sen}\theta$. El denominador es $\rho^2$ y el numerador $\rho^3\cos\theta\operatorname{sen}^2\theta$: $F=\rho\cos\theta\operatorname{sen}^2\theta$ y $|F-0|\le\rho\to0$ (cota sin $\theta$). Límite $0$.
4. Alternativa (emparedado): $\dfrac{y^2}{(x-1)^2+y^2}\le1$, luego $|f|\le|x-1|\to0$.
5. Continuidad en $(1,0)$: $\lim_{(x,y)\to(1,0)}f=0$, así que es continua $\iff c=0$. Respuesta: $c=0$. Para otro $c$, $f$ es discontinua en $(1,0)$ y continua en el resto.

Sea $f(x,y)=\dfrac{x^3}{x^2+2y^2}$ si $(x,y)\ne(0,0)$, $f(0,0)=0$. Estudia su continuidad.

1. Fuera del origen: cociente de polinomios con denominador $\ne0$: continua.
2. Polares: $x^2+2y^2=\rho^2(\cos^2\theta+2\operatorname{sen}^2\theta)=\rho^2(1+\operatorname{sen}^2\theta)$, porque $\cos^2\theta+\operatorname{sen}^2\theta=1$. Así $F(\rho,\theta)=\dfrac{\rho\cos^3\theta}{1+\operatorname{sen}^2\theta}$.
3. Acotar sin $\theta$: el denominador es $\ge1$ y $|\cos\theta|\le1$, luego $|F-0|\le\rho=:h(\rho)\to0$. El límite es $0=f(0,0)$: continua en $\mathbb R^2$.

Mismo truco en las variantes de examen: $\dfrac{x^2y^2}{x^2+2y^2}$ da $F=\dfrac{\rho^2\cos^2\theta\operatorname{sen}^2\theta}{1+\operatorname{sen}^2\theta}$, con $|F|\le\rho^2$ (X pp.61-63, feb. 2016, Modelo A); e $y^3\operatorname{sen}\frac1{x^2+2y^2}$ da $|F|\le\rho^3$ (X pp.71-72, sept. 2016, Modelo A; «infinitésimo por acotada»). X pp.90-92 (feb. 2018, Modelo A) usa justo $\frac{x^3}{x^2+2y^2}$, pero en esa pregunta lo que se pide son derivadas parciales y diferenciabilidad (§4.3 y Tema 5); la parte de §4.2 es la continuidad de las parciales por reiterados y rectas.

Sean $f(x,y)=\ln(4-x^2-y^2)$ y $g(x,y)=\sqrt{x^2+y^2-1}$. Calcule el dominio de $h(x,y)=f(x,y)+g(x,y)$.

1. Dominio de $f$: logaritmo $\Rightarrow4-x^2-y^2>0\iff x^2+y^2<4$: disco abierto de centro $(0,0)$ y radio $2$.
2. Dominio de $g$: raíz $\Rightarrow x^2+y^2\ge1$: puntos a distancia $\ge1$ del origen (el exterior del disco de radio 1, con su circunferencia).
3. Dominio de $h$: la intersección, $D=\{1\le x^2+y^2<4\}$: una corona circular que incluye la circunferencia de radio 1 y no incluye la de radio 2.
4. Comprobación: $(1,0)$: $h=\ln3+0$ ✓. $(2,0)$: $\ln0$ ✗. $(0,\tfrac32)$: $\ln(1{,}75)+\sqrt{1{,}25}$ ✓.

X da lo mismo (correcto).

Determinar el dominio y la imagen de $f(x,y)=x\ln y+y\ln x$.

1. Dominio: $\ln y$ exige $y>0$ y $\ln x$ exige $x>0$: $D=\{x>0,\ y>0\}$ (primer cuadrante abierto, sin ejes).
2. Imagen: tomemos los puntos $(x,1)$ con $x>0$, que están en $D$. Ahí $f(x,1)=x\ln1+1\cdot\ln x=\ln x$. Cuando $x$ recorre $(0,\infty)$, $\ln x$ recorre todo $\mathbb R$ (por ejemplo, $f(e^c,1)=c$ para cualquier $c$). La imagen es $\mathbb R$.

Sea $f:\mathbb R^2\to\mathbb R$ dada por $f(x,y)=2x^2+2y^2-4$. Dibuje sus curvas de nivel.

1. Curva de nivel $C$: $2x^2+2y^2-4=C\iff x^2+y^2=\dfrac{C+4}2$.
2. $C>-4$: circunferencia de centro $(0,0)$ y radio $\sqrt{\frac{C+4}2}$. Por ejemplo $C=-2$: radio $1$; $C=4$: radio $2$; $C=14$: radio $3$.
3. $C=-4$: $x^2+y^2=0$, el punto $(0,0)$ (el mínimo de $f$).
4. $C<-4$: $x^2+y^2<0$ es imposible: vacía.
5. Dibujo: circunferencias concéntricas; los radios crecen como $\sqrt{C+4}$, así que a igual salto de $C$ las curvas se van juntando (la gráfica, un paraboloide, se hace más empinada). Imagen de $f$: $[-4,\infty)$.

Estúdiese si existe el límite $\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}$.

1. Sustituir: $\tfrac00$.
2. Eje $y$ ($x=0$, $y\ne0$): $f(0,y)=\dfrac{-y^2}{y^2}=-1\to-1$.
3. Eje $x$ ($y=0$, $x\ne0$): $f(x,0)=\dfrac{x^2}{x^2}=1\to1$.
4. No existe: dos caminos, dos valores (U p.161).

Es la misma función que E 4.24. Imprecisión de X: llama «límites laterales» a los límites a lo largo de los ejes; «laterales» se usa en una variable ($x\to a^\pm$). Lo correcto: «límites a lo largo de los ejes».

Sea $f(x,y)=\operatorname{arctg}\dfrac{xy}{x^2+y^2}$ si $(x,y)\ne(0,0)$, $f(0,0)=0$. Estudiar la continuidad de $f$ en $\mathbb R^2$.

1. Fuera del origen: $\frac{xy}{x^2+y^2}$ es un cociente de polinomios con denominador $\ne0$ y $\operatorname{arctg}$ es continua en $\mathbb R$: composición continua. Continua en $\mathbb R^2\setminus\{(0,0)\}$.
2. Origen, rectas $y=mx$ ($x\ne0$): $\dfrac{x\cdot mx}{x^2+m^2x^2}=\dfrac m{1+m^2}$ (constante). Luego $f(x,mx)=\operatorname{arctg}\dfrac m{1+m^2}$ para todo $x\ne0$ y su límite es ese mismo número.
3. Depende de $m$: $m=0$ da $\operatorname{arctg}0=0$; $m=1$ da $\operatorname{arctg}\frac12\approx0{,}4636$. Distintos (el arcotangente es estrictamente creciente).
4. Conclusión: no existe $\lim_{(x,y)\to(0,0)}f$, luego $f$ no es continua en $(0,0)$ y es continua en $\mathbb R^2\setminus\{(0,0)\}$.
5. En polares: $F=\operatorname{arctg}\dfrac{\operatorname{sen}2\theta}2$ depende de $\theta$ (caso 1).

Calcule el límite $\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^3+y^4}{x^2+y^2}$.

1. Sustituir: $\tfrac00$. Los caminos (eje $x$: $f=x\to0$; eje $y$: $f=y^2\to0$; rectas: $\to0$) sugieren $l=0$. Hay que probarlo.
2. Polares (U p.165): $x^2+y^2=\rho^2$ y $F(\rho,\theta)=\dfrac{\rho^3\cos^3\theta+\rho^4\operatorname{sen}^4\theta}{\rho^2}=\rho\cos^3\theta+\rho^2\operatorname{sen}^4\theta$.
3. Acotar sin $\theta$: como $|\cos\theta|\le1$ y $|\operatorname{sen}\theta|\le1$, $|F-0|\le\rho+\rho^2=:h(\rho)\to0$.
4. Conclusión (caso 2 de U p.165): el límite vale $0$.

X da lo mismo (correcto); su frase «$\cos^3\theta+\rho\operatorname{sen}^4\theta$ está acotado» es cierta para $\rho\le1$; con la $h(\rho)$ explícita queda más claro.

Sea $f(x,y)=\dfrac{x^2y^3}{x^4+y^2}$ si $(x,y)\ne(0,0)$ y $f(0,0)=1$. Estudiar la continuidad de $f$ en $(0,0)$.

1. Lo que hay que comparar: continua en $(0,0)\iff \lim_{(x,y)\to(0,0)}f=f(0,0)=1$.
2. Rectas $y=mx$: $f(x,mx)=\dfrac{m^3x^5}{x^4+m^2x^2}=\dfrac{m^3x^3}{x^2+m^2}\to0$ (para $m\ne0$ el denominador tiende a $m^2\ne0$; para $m=0$, $f=0$). Eje $y$: $f(0,y)=0$.
3. Basta para la discontinuidad. Si el límite existiera, valdría lo mismo que por las rectas, $0$, y $0\ne1$. Si no existiera, tampoco habría continuidad. En los dos casos $f$ no es continua en $(0,0)$.
4. Extra (no necesario): el límite sí existe y vale $0$. Como $\frac{y^2}{x^4+y^2}\le1$, $|f|=x^2|y|\cdot\frac{y^2}{x^4+y^2}\le x^2|y|\to0$ (emparedado). Con $f(0,0)=0$ sería continua.

X: resultado correcto. Escribe «$\lim_{(x,mx)\to(0,0)}$», notación poco habitual (mejor $\lim_{x\to0}f(x,mx)$).